´ ´ GEOMETRIE ZAPISKY Z ANALYTICKE
1
1
ˇ SOURADNICE, BODY
Souˇ radnice, body
1.1
Prostor
• prostor m˚ uˇzeme ch´ apat jako nˇejak´e prostˇred´ı, ve kter´em m˚ uˇzeme m´ıt r˚ uzn´e vˇeci na r˚ uzn´ ych m´ıstech • m´ısto, poloha - tohle potˇrebujeme nˇejak popsat • abychom mohli zmˇeˇrit nebo ˇr´ıci, kde co je, potˇrebujeme nˇejak´ y souˇ radn´ y syst´ em • vˇetˇsina naˇs´ı analytick´e geometrie bude v tzv. euklidovsk´ em prostoru • euklidovsk´ y prostor pouˇz´ıvaj´ı i nˇekter´e programy pro 3D animaci nebo modelov´an´ı (napˇr. 3D Studio Max) • prostor˚ u jinak existuje cel´ a ˇrada, m˚ uˇze to b´ yt mapa, dokonce poˇc´ıtaˇcov´a s´ıt’ (IP adresy, webov´e str´anky...)
1.2
Popis polohy v prostoru
• abychom mohli ˇr´ıci, kde pˇresnˇe se nach´az´ı dan´e m´ısto, potˇrebujeme nˇejak´e u ´daje, kter´e budou takov´e m´ısto jednoznaˇcnˇe identifikovat • takov´e u ´daje naz´ yv´ ame souˇ radnicemi • mus´ıme si pro nˇe zav´est nˇejak´ y syst´em - tedy souˇradnicov´ y syst´em
(a) na ˇsachovnici pouˇziv´ ame dvojice p´ısmeno- (b) IP adresy r˚ uzn´ ych pˇr´ıstroj˚ u jsou de facto ˇc´ıslo tak´e souˇradnicemi
obr´ azek 1: pˇr´ıklady pouˇzit´ı r˚ uzn´ ych souˇradnicov´ ych syst´em˚ u
1.2.1
Souˇ radnicov´ y syst´ em
• s r˚ uzn´ ymi souˇradn´ ymi syst´emy se setk´ av´ame naprosto bˇeˇznˇe • m˚ uˇze to b´ yt GPS poloha na mapˇe v navigaci(zemˇepisn´a ˇs´ıˇrka, d´elka, nadmoˇrsk´a v´ yˇska), poˇstovn´ı adresa, ˇsachovnicov´ a souˇradnice nebo i IP adresa poˇc´ıtaˇce, popˇr. telefonu (192.168.1.1)... • pˇr´ıklady vid´ıte na obr´ azku 1 • pro naˇse potˇreby budeme pouˇz´ıvat kart´ ezskou soustavu souˇ radnic
1
´ ´ GEOMETRIE ZAPISKY Z ANALYTICKE
1.2.2
1
ˇ SOURADNICE, BODY
Kart´ ezsk´ a soustava souˇ radnic
• jedna z nejuˇziteˇcnˇejˇs´ıch soustav, zejm´ena pokud n´as zaj´ımaj´ı hranat´e vˇeci • ˇcasto se to s n´ı pˇreh´ an´ı, d´ıky tomu je tak´e zn´ama jako tzv. kart´ezsk´ y mor • nejjednoduˇsˇs´ı forma - ˇ c´ıseln´ a osa (viz obr´azek 2) • pˇredstavit si ji lze jako tyˇcku, na kter´e si vyznaˇc´ıme 0, 1 a zbytek doznaˇc´ıme podle jejich vzd´alenosti • kladn´ a ˇc´ısla jdou zpravidla doprava • bez jednotek - nejsme ve fyzice
obr´ azek 2: zn´azornˇen´ı ˇc´ıseln´e osy • co kdyˇz vezmeme dvˇe osy na sebe kolm´e? • jako bychom svaˇrili dvˇe k sobˇe - na obr´ azku 3
(a) standardn´ı vyznaˇcen´ı os
(b) i takto to lze, otoˇcit si osy m˚ uˇzeme jakkoliv
obr´ azek 3: kart´ezsk´ y kˇr´ıˇz“ v rovinˇe - ˇcerven´a oznaˇcuje osu x, zelen´a osu y ” • co tˇreba tˇret´ı? • pˇrivaˇr´ıme jeˇstˇe jednu - obr´ azek 4 • tˇri osy, tak jak jsou na obr´ azku 4a, tvoˇr´ı tzv. pravotoˇcivou“ soustavu ” • at’ takovou soustavu jakkoliv natoˇc´ıme, poˇr´ad bude pravotoˇciv´a - m˚ uˇzeme s n´ı dˇelat cokoliv, co se svaˇren´ ymi tyˇckami, jen pros´ım nerozb´ıjet • pravotoˇciv´ a ne proto, jak je natoˇcen´ a, ale protoˇze osy takhle poskl´adan´e ( svaˇren´e“) maj´ı nˇekter´e pˇekn´e ” vlastnosti • levotoˇciv´e existuj´ı tak´e (napˇr. vymˇen´ıme osy x a y), ty ale nebudeme pouˇz´ıvat • levotoˇciv´e se obˇcas objevuj´ı v kn´ıˇzk´ ach - POZOR! • mus´ıme m´ıt na pamˇeti, ˇze jsou to matematick´e tyˇcky - nikde nepˇrek´aˇzej´ı, jsou nekoneˇcnˇe tenk´e a nekoneˇcnˇe dlouh´e, naˇse svaˇrov´ an´ı je pˇribl´ıˇzen´ı 2
´ ´ GEOMETRIE ZAPISKY Z ANALYTICKE
(a) osy ve 3D - naˇse“ vyznaˇcen´ı ”
1
ˇ SOURADNICE, BODY
(b) obˇcas existuje i toto vyznaˇcen´ı, ale opˇet jde jen o otoˇcen´ı
obr´ azek 4: kart´ezsk´ a soustava ve 3D - ˇcerven´a oznaˇcuje osu x, zelen´a osu y, modr´a osu z
1.3
Souˇ radnice
• uˇz m´ ame souˇradnou soustavu, tak jak tedy s tˇemi souˇradnicemi? • kdyˇz chceme urˇcit polohu nˇejak´eho objektu, nˇekam posad´ıme tyto svaˇren´e tyˇcky a oznaˇc´ıme, jak daleko na kaˇzd´e z nich se dan´ y objekt nach´ az´ı • bude to nˇejak´e re´ aln´e ˇc´ıslo - jsou to pˇreci ˇc´ıseln´e osy • tˇemto ˇc´ısl˚ um budeme ˇr´ıkat souˇradnice • kaˇzd´ a souˇradnice patˇr´ı ke sv´e ose, takˇze si je zap´ıˇseme nˇejak pˇrehlednˇe za sebou, nejl´epe [x, y, z] • na ˇc´ıseln´e ose m´ ame jen jednu souˇradnici - jednorozmˇ ern´ y prostor (1D) • na pap´ıˇre (v rovinˇe) potˇrebujeme dvˇe osy - dvojrozmˇ ern´ y prostor (2D) • v m´ıstnosti (v prostoru) potˇrebujeme dvˇe osy - trojrozmˇ ern´ y prostor (3D) • zab´ yvat se budeme hlavnˇe 2D, obˇcas sklouzneme do 3D • z´ akladn´ım objektem, jehoˇz souˇradnice budeme cht´ıt zn´at, je bod
1.4
Bod
• bod oznaˇcuje nˇejak´e pˇresn´e m´ısto, je nekoneˇcnˇe mal´ y a nem´a tvar - tedy naˇse znaˇcky na tyˇck´ach budou tak´e pˇresn´e • kaˇzd´ y bod je d´ an sv´ ymi souˇradnicemi dokonale • body budeme znaˇcit velk´ ymi p´ısmeny - napˇr. A,B,X • jejich souˇradnice do hranat´ ych z´ avorek, oddˇelujeme ˇc´arkami (nebo stˇredn´ıkem) - napˇr. [2,3] ve 2D nebo [1,2,8] ve 3D • cel´ y z´ apis nˇejak´eho bodu: A[1,2] • m˚ uˇzeme ps´ at i A=[1,2] nebo A=A[1,2] • ve 3D samozˇrejmˇe napˇr. A[2,3,1] • obecnˇe budu bod a jeho souˇradnice znaˇcit A[Ax , Ay ], popˇr. A[Ax , Ay , Az ] • pozn´ amka - A oznaˇcuje bod, tedy nˇejak´ y matematick´ y objekt, zat´ımco Ax , Ay , Az jsou prostˇe ˇc´ısla • body uˇz um´ıme popsat i zakreslit (viz obr´azky 5 a 6)
3
´ ´ GEOMETRIE ZAPISKY Z ANALYTICKE
1
ˇ SOURADNICE, BODY
obr´ azek 5: zn´ azornˇen´ı bodu A[2,3] v rovinˇe - osa x je vodorovn´a a jde doprava, osa y jde svisle nahoru 1.4.1
Operace s body
• co s body vlastnˇe m˚ uˇzeme dˇelat? • v analogii s mapou: 1. jak se z jednoho bodu dostanu do druh´eho? 2. jak´ a je mezi dvˇema body vzd´ alenost? • abych se z bodu A dostal do bodu B, na mapˇe mus´ım zvolit smˇer a vzd´alenost - kart´ezsk´a soustava mi tuto u ´lohu trochu ulehˇc´ı • body od sebe prostˇe odeˇctu“ a odeˇc´ıt´ am je tzv. po sloˇzk´ach“ ” ” • pˇr´ıklad: B − A = B[3, 5] − A[2, 3] = (3 − 2, 5 − 3) = (1, 2) • obecnˇe: B − A = B[Bx , By ] − A[Ax , Ay ] = (Bx − Ax , By − Ay ) • obecnˇe ve 3D: B − A = B[Bx , By , Bz ] − A[Ax , Ay , Az ] = (Bx − Ax , By − Ay , Bz − Az ) • proˇc najednou kulat´e z´ avorky? • z´ıskali jsme totiˇz nov´ y objekt - tzv. vektor • viz dalˇs´ı ˇc´ ast textu • grafick´e odvozen´ı vzd´ alenosti vid´ıme na obr´azku 7 - u ´seˇcky s rozd´ıly pˇr´ısluˇsn´ ych souˇradnic tvoˇr´ı odvˇesny pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka! • podle Pythagorovy vˇety bude tedy vzd´ alenost dvou bod˚ u (vˇsimnˇete si oznaˇcen´ı): q |B − A| = (Bx − Ax )2 + (By − Ay )2
4
´ ´ GEOMETRIE ZAPISKY Z ANALYTICKE
1
ˇ SOURADNICE, BODY
obr´ azek 6: zn´ azornˇen´ı bodu A[2,3,1] v prostoru - ˇcerven´a osa je x, zelen´a y a modr´a opˇet z
obr´ azek 7: grafick´e zn´azornˇen´ı rozd´ılu dvou bod˚ u • pˇr´ıklad zm´ınˇen´ y v´ yˇse: |B − A| =
p
(3 − 2)2 + (5 − 3)2 =
√
1+4=
√
5
• Ve 3D vzd´ alenost dvou bod˚ u obecnˇe poˇc´ıt´ame podobnˇe: q |B − A| = (Bx − Ax )2 + (By − Ay )2 + (Bz − Az )2 • pozn´ amka - vzd´ alenost bod˚ u A a B tak´e znaˇc´ıme |AB|
5
