Wiskunde voor 3 havo. deel 2. Versie Samensteller

Wiskunde voor 3 havo deel 2 Versie 2013

Samensteller

© 2013 Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie. Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0). Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via [email protected]. Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

Inhoud Voorwoord 1

3

Kwadratische verbanden

5

1.1

Kwadratische functies

6

1.2

Nulpunten en top

1.3

Kwadratische vergelijkingen

1.4

Handig oplossen

1.5

Totaalbeeld

2

13

33

Ruimtemeetkunde

39

2.1

Lichamen

2.2

Aanzichten

2.3

Doorsneden

2.4

Inhoud en oppervlakte

2.5

Totaalbeeld

3

40 46 54

Exponentiële verbanden Groeiactoren

3.2

Exponentiële groei

3.3

Exponentiële functies

3.4

Totaalbeeld Statistiek

77

78 85 93

100

105

4.1

Steekproeven

4.2

Frequenties en klassen

4.3

Centrum en spreiding

4.4

Kansen

4.5

Wegen en bomen

4.6

Totaalbeeld

5

61

69

3.1

4

Functies

19

27

106 109 116

123 130

135

141

5.1

Wat is een functie?

5.2

Domein en bereik

5.3

Transformatie van standaardfuncties

5.4

Functies vergelijken

5.5

Families van functies

5.6

Totaalbeeld

Register

142 148 156

162 169

174

178

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 1

PAGINA 2

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

Voorwoord Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina. Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst: Bekijk eerst: www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen. Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken. Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf Totaalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal. > > > > >

Verkennen Uitleg Theorie en Voorbeelden Verwerken Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 3

PAGINA 4

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1

Kwadratische verbanden

Kwadratische functies Nulpunten en top

6

13

Kwadratische vergelijkingen Handig oplossen Totaalbeeld

33

27

19

1.1

Kwadratische functies

Verkennen Opgave 1 Bekijk de applet: tennisbal

Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies in de lengte van het veld. Het tennisveld is 24 m lang en het net is 1 m hoog. De baan van de bal is een kromme lijn. In het getekende assenstelsel geldt voor die baan de formule ℎ = −0,01 ⋅ (u� − 10)2 + 1,5 Hierin stelt ℎ de hoogte van de bal boven het tennisveld en is u� de afstand van de monding van het tenniskanon tot het punt recht onder de bal. Hoe hoog komt de tennisbal maximaal?

Uitleg

Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies in de lengte van het veld. Het tennisveld is 24 m lang en het net is 1 m hoog. De baan van de bal is een kromme lijn. In het getekende assenstelsel geldt voor die baan de formule ℎ = −0,01 ⋅ (u� − 10)2 + 1,5 Deze formule is van de vorm ℎ = ... en dus is ℎ een functie van u�. In dit geval is er sprake van een kwadratische functie. Hieronder zie je de bijbehorende tabel. Je ziet dat de toename van de hoogte van de tennisbal steeds wat minder wordt. Hoeveel minder is moeilijk in te schatten. Op het eerste gezicht lijkt er geen regelmaat in de rij van de toenames te zitten. Maar als je de verandering van de toenames bekijkt is deze constant. Toeval of geen toeval?

PAGINA 6

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN

u�

0

ℎ

0,50 0,86 1,14 1,34 1,46 1,50 1,46

toename

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

1,34

1,14

0,86

0,50

0,06

−0,46

0,36 0,28 0,20 0,12 0,04 −0,04 −0,12 −0,20 −0,28 −0,36 −0,44 −0,52

De grafiek hierboven is een deel van een parabool. Je ziet dat het hoogste punt de coördinaten (10;1,5) is. Dit noem je de top van de parabool. De top ligt op de symmetrieas van de parabool. In dit geval is het de lijn u� = 10.

Opgave 2 Bekijk in de Uitleg op pagina 6 de baan van een tennisbal die wordt afgeschoten door een tenniskanon. De formule die de baan van de bal beschrijft is gegeven. a

Waarom hoort deze formule bij een kwadratische functie?

b

Bereken zelf de hoogte van de tennisbal als u� = 3.

c

Je ziet dat er ook een rij is gemaakt van de toenames van de hoogte telkens als u� met 2 wordt verhoogd. Maak zelf een rij met de verandering van die toenames.

d

De top van de parabool kun je uit de tabel aflezen. Maar je kunt hem ook direct uit de formule afleiden. Ga na hoe.

Opgave 3 Een hangbrug is met tuidraden opgehangen aan twee kabels die zijn bevestigd aan twee grote pilaren aan weerszijden van de brug. De kabels hangen dan in de vorm van een parabool. Een mogelijke formule voor zo’n parabool is ℎ = 0,01 ⋅ (u� − 70)2 + 16 Hierin is ℎ de hoogte van een punt op de kabel boven het wegdek van de brug en u� de afstand in meters tot de linker toren. a

Hoe hoog boven het wegdek zit de kabel aan de linker toren vast?

b

Maak een tabel met voor u� de waarden 0, 10, 20, enzovoorts. Maak ook een rij met afnames en een rij met de verandering van de afnames. Wat valt op bij die laatste rij?

c

Hoe groot is de afstand tussen beide torens?

d

Welk punt is de top van de parabool? Hoe hoog zit de kabel daar boven het wegdek?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 7


Theorie en voorbeelden

Bekijk de applet: kwadratische functie Bij een kwadratische functie hoort een formule van de vorm u� = u� ⋅ (u� − u�)2 + u� met u� ≠ 0. De bijbehorende grafiek is een parabool met top (u�, u�) en symmetrieas u� = u�. > Als u� > 0 heb je een dalparabool met een laagste waarde, een minimum van u� voor u� = u�. > Als u� < 0 heb je een bergparabool met een laagste waarde, een maximum van u� voor u� = u�. En maximum of een minimum noem je een uiterste waarde of ook wel een extreme waarde van een functie. Als je in een bijbehorende tabel de waarden van u� met vaste stappen laat toenemen, dan kun je een kwadratisch verband herkennen aan de symmetrie in de tabel. Kenmerkend voor een kwadratisch verband is ook dat de verandering van de toenames (of de afnames) constant is.

Voorbeeld 1 Bekijk de applet: kwadratische functie Bij een kwadratische functie hoort de formule u� = (u� − 1)2 + 3. Bereken de extreme waarde van deze kwadratische functie en teken de bijbehorende parabool. De top van de parabool kun je uit de formule aflezen: 𝑇(1,3). De parabool heeft daarom de lijn u� = 1 als symmetrieas en je ziet dat het een dalparabool is. De extreme waarde is daarom een minimum van 3 voor u� = 1 Nu kun je gemakkelijk een tabel maken en de grafiek tekenen.

Opgave 4 > www.math4all.nl > 3 HAVO > Kwadratische functies > Voorbeeld 1 Bekijk het voorbeeld en werk met de applet. a

Stel in de applet de formule in die in het voorbeeld is gegeven. Hoe zie je aan de formule dat de grafiek van deze functie een dalparabool is?

b

Waarom is het belangrijk om eerst de symmetrieas te weten voor je een tabel maakt?

c

Hier zie je een geschikte tabel voor deze parabool. Maak hem af en teken de parabool. u�

−2

−1

0

1

2

3

4

u�

PAGINA 8

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


d

Maak een extra rij in deze tabel met daarin de afnames van de u�-waarden elke stap. En maak ook een extra rij met de verandering van die afnames.

e

Is de verandering van de afnames constant?

Opgave 5 Bepaal van de volgende kwadratische functies de extreme waarde en de symmetrieas. Vermeld ook welke soort parabool het betreft. Gebruik eventueel de applet in de Theorie op pagina 8. a

u� = −(u� + 1)2 − 4

b

u� = 2(u� − 4)2 + 1

c

u� = −0,01(u� − √3) + 2

2

Opgave 6 Gegeven is de formule u� = (2u� − 4)2 + 3. a

Laat zien dat je deze formule kunt schrijven als u� = 4(u� − 2)2 + 3.

b

Deze formule hoort dus ook bij een kwadratische functie. Welke uiterste waarde en welke symmetrieas heeft de bijbehorende parabool?

Voorbeeld 2 Bekijk de applet: kwadratische functie Bij een kwadratische functie hoort de formule u� = (u� − 1)2 − 3. Bereken de snijpunten van de bijbehorende parabool met beide coördinaatassen. Het snijpunt met de u�-as kun je eenvoudig berekenen door u� = 0 in te vullen: u� = (0 − 1)2 − 3 = −2. Het snijpunt met de u�-as is dus (0, − 2). Met de u�-as heeft de parabool twee snijpunten die je vindt door u� = 0 te nemen. Dat geeft de vergelijking (u� − 1)2 − 3 = 0. Deze vergelijking kun je oplossen door terugrekenen. Je vindt u� = 1 ± √3. Nu kun je beide snijpunten wel opschrijven. Als dat wordt gevraagd kun je ze benaderen in bijvoorbeeld één decimaal nauwkeurig.

Opgave 7 Bekijk in Voorbeeld 2 op pagina 9 hoe je bij een kwadratische functie de snijpunten van de bijbehorende parabool met de beide coördinaatassen kun opstellen. a

Stel in de applet de formule in die in het voorbeeld is gegeven. Lees de gevraagde punten uit je figuur af.

b

Laat zien hoe de de snijpunten met de u�-as worden berekend. Schrijf hun exacte coördinaten op.

c

Laat zien dat beide snijpunten met de u�-as evenver van de symmetrieas van de parabool liggen.

d

Geef een benadering van de snijpunten met de u�-as in twee decimalen nauwkeurig. Ga na dat ze passen bij wat je uit de figuur hebt afgelezen.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 9


Opgave 8 Een kwadratische functie is gegeven door de formule u� = −4(u� − 8,5)2 + 5. a

Bereken van de bijbehorende parabool het snijpunt met de u�-as.

b

Bereken de exacte snijpunten van de bijbehorende parabool met de u�-as.

Voorbeeld 3 Door de top van een parabool gaan twee lijnen die precies één punt met de parabool gemeenschappelijk hebben. Eén van die twee lijnen is de symmetrieas van de parabool. De andere lijn noem je een raaklijn aan de parabool in de top. Bekijk nu de parabool met formule u� = (u� − 3)2 + 2. Welke lijn is de symmetrieas en welke lijn is de raaklijn door de top? De top is 𝑇(3,2). De symmetrieas is de lijn u� = 3. De raaklijn door de top is de lijn u� = 2.

Opgave 9 In het voorbeeld wordt uitgelegd wat de raaklijn door de top van een parabool is. a

Waarom is bij een kwadratische functie de raaklijn door de top altijd horizontaal, dus evenwijdig aan de u�-as?

b

De parabool met formule u� = −0,5(u� − 1)2 + u� heeft ook de lijn u� = 2 als raaklijn door de top. Welke waarde moet u� dan hebben? Gegeven is een parabool door de formule u� = (u� − 3)2 + 5.

c

Welke lijn raakt deze parabool in de top?

d

Waaraan zie je dat deze parabool geen snijpunten met de u�-as heeft? En hoe zit het met het snijpunt met de u�-as?

Opgave 10 Gegeven is een kwadratische functie van de vorm u� = u�(u� + 3)2 + u�. a

De lijn u� = 1 raakt de bijbehorende parabool. Welke waarde heeft u�?

b

Welke lijn is de symmetrieas van deze parabool?

c

De waarde van u� heeft geen enkele invloed op je voorgaande twee antwoorden. Hoe komt dat en waarop heeft de waarde van u� wel invloed?

PAGINA 10

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Verwerken Opgave 11 Van een kwadratische functie is de formule u� = −0,5(u� − 6)2 + 10. De bijbehorende grafiek is een bergparabool. a

Waarom is de bijbehorende grafiek een bergparabool? Welk punt is de top van die parabool?

b

Welke extreme waarde heeft deze kwadratische functie?

c

Maak een geschikte tabel en teken de parabool. Zorg er voor dat de top in ieder geval duidelijk in beeld is.

d

Maak een tabel van de toenames van de u�-waarden bij een toename van u� met 2. Maak ook een tabel met de verandering van de toenames. Is die verandering constant?

Opgave 12 Bereken van elk van de volgende kwadratische functies de extreme waarde. a

u� = (u� + 5)2 + 7

b

u� = −2(u� − 12)2 + 45

c

u� = (u� + √2) − √3

d

u� = 5,5 − 3(u� − 2)2

2

Opgave 13 Je ziet hier een parabool. De bijbehorende formule is u� = −2(u� − 3)2 + 5. a

Bepaal de top van deze parabool en bereken het snijpunt met de u�-as.

b

Bereken de coördinaten van de snijpunten van deze parabool met de u�-as.

c

Bereken de exacte afstand tussen de snijpunten van deze parabool met de u�-as.

Opgave 14 Gegeven is een parabool met formule u� = −0,5(u� − 10)2 + 40 en een lijn met vergelijking u� = u�. a

Bereken de snijpunten van deze parabool met de beide coördinaatassen.

b

Voor welke waarde van u� is de lijn een raaklijn aan de parabool?

c

Voor welke waarden van u� hebben de lijn en de parabool twee snijpunten?

d

Voor welke waarden van u� hebben de lijn en de parabool geen snijpunten?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 11


Toepassen Opgave 15: Kogelbaan In een experiment wordt vanaf een 50 meter hoge toren een tennisbal afgeschoten die uiteindelijk zal neerkomen op het plein voor deze toren. De baan die de kogel volgt wordt gefilmd en met behulp van een computerprogramma wordt de baan van de bal berekend. De hoogte van de tennisbal boven de grond wordt bij benadering gegeven voor de formule ℎ = −4(u� − 2,5)2 + 85, waarin ℎ de hoogte van de bal boven de begane grond in meters en u� de afstand van het punt op de grond recht onder de plaats van afschieten en het punt op de grond recht onder de bal is. Ook u� is in m. a

Waaraan kun je zien dat deze tennisbal nogal steil omhoog wordt geschoten?

b

Hoe hoog boven de grond komt deze tennisbal maximaal?

c

Hoeveel m vanaf het punt op de grond recht onder het afschietpunt komt de bal weer op de grond?

Opgave 16: Hangbrug Je ziet hier een hangbrug. Het wegdek is tussen beide torens 100 m lang. De ophangpunten van de kabels zitten aan de buitenkant van de torens op 100 m boven het wegdek. De kortste van de 19 tuidraden is 10 m lang. Je ziet één van beide kabels. Hij hangt in de vorm van een parabool. Neem aan dat de u�-as samenvalt met het wegdek en de u�-as over de kortste tuidraad loopt. Neem aan dat de eenheden op beide assen in 1 m zijn. De 9 formule van de bijbehorende kwadratische functie is dan u� = 250 u�2 + 10. a

Ga na dat de parabool bij deze formule past bij de tekening van de hangbrug.

b

Hoelang is de negentiende tuidraad gezien vanaf de linker toren?

PAGINA 12

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.2

Nulpunten en top

Verkennen Opgave 1 Een boer heeft een stuk weiland naast een vijver. Hij wil naast de vijver een stuk grond afzetten met 100 m hekwerk. Zie figuur hieronder. Langs de vijver komt geen hek. u� is de lengte van 𝐴𝐵. Door u� te veranderen kun je de oppervlakte veranderen. Bekijk de applet: weiland tegen vijver

Hoe groot is de oppervlakte 𝐴 van het landje maximaal?

Uitleg Een boer heeft een stuk weiland naast een vijver. Hij wil naast de vijver een stuk grond afzetten met 200 m hekwerk. Zie figuur hieronder. Langs de vijver komt geen hek. u� is de lengte van 𝐴𝐵. Voor de oppervlakte van het weiland krijg je dan de formule: 𝐴 = u�(100 − 2u�) = 100u� − 2u�2 Deze formule kun je kennelijk in twee vormen schrijven: een vorm met haakjes en een vorm die als hoogste macht van u� een kwadraat heeft, maar ook nog een term heeft waarin u� niet in het kwadraat staat. Er is dan ook sprake van een kwadratische functie. Maar hoe bepaal je het maximum van die functie? Je kunt natuurlijk een grafiek van deze functie tekenen door eerst een tabel te maken. Maar welke waarden moet je kiezen om in te vullen? Daarvoor bereken je eerst de nulpunten, de snijpunten met de u�-as van deze functie, want je weet dat die er moeten zijn. Daartoe moet je oplossen u�(100 − 2u�) = 0. Juist vanwege de haakjes is dat eenvoudig: u� = 0 ∨ 100 − 2u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 50. De nulpunten zijn dus (0,0) en (50,0). Daarom maak je een tabel met voor u� de waarden 0, 10, 20, 30, 40 en 50. Je kunt dan de parabool tekenen en de top bepalen.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 13


Opgave 2 Bekijk in de Uitleg op pagina 13 hoe je de nulpunten van de kwadratische functie 𝐴 = u�(100 − 2u�) = 100u� − 2u�2 bepaalt. a

Waarom is dit het gemakkelijkst vanuit de vorm met de haakjes? Je kunt nu een geschikte tabel maken bij de gegeven functie.

b

Doe dat en teken de bijbehorende grafiek.

c

Welke symmetrieas heeft de bijbehorende parabool? Hoe kun je die uit de twee nulpunten afleiden? Je kunt nu de top van de parabool bepalen. Daarmee bepaal je de maximale oppervlakte van het landje.

d

Bereken die top en geef de maximale waarde van het landje.

Opgave 3 Gegeven is de kwadratische functie u� = 0, 5 (u� − 2) (u� − 6). a

Bereken de nulpunten van deze kwadratische functie.

b

Waarom is u� = 4 de symmetrieas van de bijbehorende parabool?

c

Bepaal de top van deze parabool.

d

Teken de parabool.

Opgave 4 Gegeven is de kwadratische functie u� = u�2 − 5u� + 6. a

Ontbind deze functie eerst in factoren; gebruik de som-en-product methode. Bereken daarna de nulpunten van deze kwadratische functie.

b

Welke symmetrieas heeft de bijbehorende parabool?

c

Bepaal de top van deze parabool.

d

Teken de parabool.

Theorie en voorbeelden

Bekijk de applet: kwadratische functies Kwadratische functies kunnen verschillende vormen aannemen: > u� = u� ⋅ (u� − u�)2 + u� waarin (u�, u�) de top van de parabool is. > u� = u�(u� − u�)(u� − u�) > u� = u�u�2 + u�u� + u� Dat het hier voor u� ≠ 0 bij alledrie om kwadratische functies gaat, wordt duidelijk als je bij de eerste twee vormen de haakjes uitwerkt. De hoogste macht van u� die dan in de formule voorkomt is 2. Bij kwadratische functies van de vorm u� = u� ⋅ (u� − u�)2 + u� is de top van de parabool meteen uit de formule af te lezen. Het berekenen van de snijpunten met de u�-as, de nulpunten doe je door de vergelijking u� = 0 op te lossen.

PAGINA 14

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Bij kwadratische functies van de vorm u� = u�(u� − u�)(u� − u�) kun je juist de nulpunten meteen zien: (u�, 0) en (u�, 0). De top bepaal je dan door te bedenken dat hij op de symmetrieas ligt, dus een u�-coördinaat heeft midden tussen u� en u� in. Bij kwadratische functies van de vorm u� = u�u�2 + u�u� + u� probeer je door ontbinden in factoren in de vorm te brengen waarin je de nulpunten meteen kunt zien. Dat lukt echter niet altijd...

Voorbeeld 1 Bekijk de applet bij voorbeeld 2 Bij een kwadratische functie hoort de formule u� = −0,2(u� − 3)(u� + 2). Bepaal de nulpunten van de bijbehorende parabool en bereken de top. Als de formule van een kwadratische functie een vorm heeft zoals die hierboven, kun je de nulpunten uit de formule aflezen. Immers −0,2(u� − 3)(u� + 2) = 0 kun je (na delen door −0,2) splitsen in u� − 3 = 0 ∨ u� + 2 = 0 en dat geeft u� = 3 ∨ u� = −2. De nulpunten zijn daarom (−2,0) en (3,0). De top van deze parabool kun je berekenen door gebruik te maken van de symmetrie. De symmetrieas is de verticale lijn die midden tussen beide nulpunten door de u�-as gaat. Dus dat is de lijn u� = 0,5. Omdat de top van de parabool op de symmetrieas ligt kun je hem nu berekenen: de u�-waarde van de top is 0,5 en die kun je in de formule invullen om de bijbehorende u�-waarde te vinden.

Opgave 5 > www.math4all.nl > 3 HAVO > Nulpunten en top > Voorbeeld 1 Bekijk het voorbeeld en werk met de applet. Zorg er eerst voor dat de formule van het voorbeeld in de applet staat ingesteld. a

Ga na, dat de nulpunten die je uit de formule afleest overeen komen met die in de grafiek.

b

Bereken de coördinaten van de top van de parabool.

Opgave 6 > www.math4all.nl > 3 HAVO > Nulpunten en top > Voorbeeld 1 Bekijk het voorbeeld en werk met de applet. Stel in de applet de formule u� = (u� − 2)(u� − 5) in. a

Bereken de coördinaten van de top van de bijbehorende parabool. Stel in de applet de formule u� = −2u�(u� − 5) in.

b

Bereken de coördinaten van de top van de bijbehorende parabool. Je kunt in de applet steeds weer een nieuwe formule van de vorm u� = u�(u� − u�)(u� − u�) instellen en jezelf zo oefenen in het vinden van de top van de bijbehorende parabool.

c

Oefen dit met behulp van de applet.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 15


Opgave 7 Gegeven is de kwadratische functie met formule u� = 3u�2 + 42u� + 120. a

Door ontbinden in factoren kun je de formule schrijven in de vorm u� = u�(u� − u�)(u� − u�). Laat dat zien en geef dan de nulpunten van deze functie.

b

Bereken de uiterste waarde van deze kwadratische functie.

Voorbeeld 2 Bekijk de applet bij voorbeeld 2 Bij een kwadratische functie hoort de formule u� = 2u�2 − 6u� − 1. Bereken de top van de bijbehorende parabool. Bij deze formule kun je de uitdrukking rechts van het isgelijkteken niet in factoren ontbinden. Om de top te kunnen berekenen heb je de symmetrieas van de parabool nodig. Die kun je bepalen door twee punten op de parabool met dezelfde u� op te zoeken. De symmetrieas vind je dan door het gemiddelde van de u�-coördinaten van die twee punten te berekenen. In dit geval kun je twee punten met u� = −1 gemakkelijk berekenen. Immers uit 2u�2 − 6u� − 1 = −1 volgt 2u�2 − 6u� = 0. Die vergelijking is wel te ontbinden en op te lossen: 2u�2 − 6u� = 0 geeft 2u�(u� − 3) = 0, zodat u� = 0 ∨ u� = 3. De twee punten met u� = −1 zijn (0, − 1) en (3, − 1) en de symmetrieas van de parabool is u� = 1,5. Nu is de top van de parabool te berekenen en kun je een geschikte tabel en grafiek maken.

Opgave 8 > www.math4all.nl > 3 HAVO > Nulpunten en top > Voorbeeld 2 Bekijk het voorbeeld en werk met de applet. Zorg er eerst voor dat de formule van het voorbeeld in de applet staat ingesteld. a

Waarom wordt u� = −1 opgelost en niet een andere u�-waarde gekozen?

b

Leg uit hoe je aan de symmetrieas van de bijbehorende parabool komt.

c

Hoe zou je de nulpunten van deze parabool kunnen berekenen?

Opgave 9 Werk opnieuw met de applet in Voorbeeld 2 op pagina 16. Nu heb je een kwadratische functie met formule u� = 1,5u�2 + 3u� − 4,5. Stel dit in de applet in. a

Bereken de exacte coördinaten van twee punten op deze parabool die dezelfde u�-waarde hebben.

b

Bereken de top van de parabool. Komt hij overeen met de top van de parabool in de applet?

c

Je kunt in de applet steeds weer een nieuwe parabool instellen en dan de top berekenen. Oefen dit (met een medeleerling) tot je geen fouten meer maakt.

PAGINA 16

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 10 Bekijk nu de formule u� = −0,5u�2 + 50u�. De parabool die bij deze formule hoort krijg je met de applet in Voorbeeld 2 op pagina 16 niet in beeld. Om deze parabool te kunnen tekenen is het nuttig om eerst de top en de nulpunten te berekenen. a

Van deze parabool kun je de exacte nulpunten berekenen. Laat dat zien.

b

Welk punt is nu de top van de parabool?

c

Maak een schets van de parabool.

Verwerken Opgave 11 Je ziet hier de baan van een tennisbal die door een tennisser op de baseline wordt geraakt en aan de andere kant van het net op de grond komt. Veronderstel dat de baan van de bal een zuivere parabool is. Er geldt: ℎ = −0,01(u� + 2)(u� − 21).

a

Op welke hoogte wordt de bal boven de baseline geraakt?

b

Na hoeveel m vanaf de baseline komt de bal (voor de andere baseline) weer op de grond?

c

Waar zit het hoogste punt van de bal?

Opgave 12 Hieronder is telkens de formule van een kwadratische functie gegeven. Bereken de nulpunten en de extrteme waarde. a

u� = 2u�(u� − 30)

b

u� = (u� − 2,5)2 − 1

c

u� = −0,5(u� − 4)(u� + 1)

d

u� = (u� − 3)2 + 1

e

u� = (4 − u�)2 − 7,5

f

u� = −2(u� + 1)2

Opgave 13 Gegeven is de kwadratische functie u� = 0,5u�2 − u� − 4. a

Bereken de nulpunten van deze functie.

b

Bereken de top van de bijbehorende parabool.

c

Teken de bijbehorende parabool.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 17


Opgave 14 Gegeven is de kwadratische functie u� = 0,5u�2 − u� + 1. a

Bereken van deze functie twee punten met dezelfde u�-waarde.

b

Bereken de top van de bijbehorende parabool.

c

Teken de bijbehorende parabool.

Opgave 15 Bereken van de volgende parabolen de coördinaten van de top. a

u� = u�2 + 8u� + 2

b

u� = u�2 − 2u� + 10

c

u� = 2u�2 + 10u� − 8

d

u� = −4(u� − 8)(u� + 3)

e

u� = 0,5u�2 + u�

f

u� = −u�2 + 6u� − 4

Toepassen Opgave 16: Soepverkoop (1) Bekijk het verhaal van de verkoop van erwtensoep in > www.math4all.nl > 3 HAVO > Nulpunten en top > Toepassen a

Leid zelf de lineaire formule voor u� als functie van u� af.

b

Ga met behulp van de tabel na, dat de opbrengst stijgt als de prijs naar beneden gaat.

c

Als de kantinebeheerder de prijs verder laat zakken worden er nog meer koppen soep verkocht. Blijft zijn opbrengst dan als maar stijgen?

d

Waaraan zie je dat de opbrengst 𝑅 een kwadratische functie van u� is? En waaraan zie je dat de opbrengst een maximum heeft?

e

Bereken het maximum van 𝑅. Welke prijs moet de kantiebeheerder vragen als hij een zo groot mogelijk opbrengst wil hebben?

f

Is het verstandig om een zo groot mogelijk opbrengst te willen hebben?

Opgave 17: Soepverkoop (2) Nu ga je niet kijken naar een zo groot mogelijk opbrengst, maar naar een zo groot mogelijke winst. a

Wat is het verschil tussen opbrengst en winst? Neem aan dat het maken van elke kop soep €50 cent kost.

b

Leg uit, waarom dan voor de winst geldt 𝑊 = (u� − 50)(340 − 2u�).

c

Ook bij deze formule is de grafiek een parabool. Bepaal de twee nulpunten van deze parabool. Wat betekenen deze getallen voor de winst?

d

Bereken het maximum van 𝑊. Welke prijs moet de kantiebeheerder vragen als hij een zo groot mogelijk winst wil hebben?

PAGINA 18

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.3

Kwadratische vergelijkingen

Verkennen Opgave 1 Wanneer je van een kwadratische functie de nulpunten wilt berekenen, moet je een vergelijking oplossen. Neem bijvoorbeeld u� = u�2 + 6u� + 8. Wil je van deze kwadratische functie de nulpunten berekenen dan moet je u�2 + 6u� + 8 = 0 oplossen. Los deze vergelijking op met behulp van ontbinden in factoren.

Opgave 2 Bekijk nu de functie u� = u�2 + 6u� + 7. Wil je van deze kwadratische functie de nulpunten berekenen dan moet je u�2 + 6u� + 7 = 0 oplossen. Kun je deze vergelijking exact oplossen?

Uitleg Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm u�u�2 + u�u� + u� = 0 heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits u� ≠ 0) omdat de hoogste macht van de onbekende u� die voorkomt 2 is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.) Soms kun je een kwadratische vergelijking oplossen, bijvoorbeeld door ontbinden of door terugrekenen. Maar dat lukt lang niet altijd. Wiskundigen hebben zich al honderden jaren geleden over dit probleem gebogen. Ze hebben de abc-formule gevonden: −u�+√u�2 −4u�u�

−u�−√u�2 −4u�u�

De oplossing van de vergelijking u�u�2 + u�u� + u� = 0 is u� = ∨ u� = als u� ≠ 0. 2u� 2u� Als je nu u�2 + 6u� + 7 = 0 wilt oplossen, dan maak je van de bovenstaande oplossing gebruik. Je leest af u� = 1, u� = 6 en u� = 7. Deze drie getallen vul je in de oplossing van de algemene vergelijking in en je krijgt de oplossing van jouw vergelijking: −6+√62 −4⋅1⋅7

−6−√62 −4⋅1⋅7

u� = ∨ u� = 2⋅1 2⋅1 ofwel: −6+√8 −6−√8 u� = ∨ u� = 2 2 Het is handiger om de vorm u�2 − 4u�u� die onder het wortelteken staat afzonderlijk te berekenen. Je noemt deze uitdrukking de discriminant 𝐷 = u�2 − 4u�u�.

Opgave 3 Bekijk in de Uitleg op pagina 19 hoe je een kwadratische vergelijking oplost met de abc-formule. a

Los zelf de vergelijking u�2 + 6u� + 7 = 0 op met behulp van de abc-formule.

b

Vergelijk je antwoord met dat in de Uitleg op pagina 19. Komen ze overeen?

c

Geef benaderingen van beide u�-waarden van de oplossing in drie decimalen nauwkeurig. In opgave 1 op pagina 19 werd de oplossing van u�2 + 6u� + 8 = 0 gevraagd.

d

Bepaal de oplossing van deze vergelijking met de abc-formule. Ga na, dat je oplossing overeen komt met de oplossing die je eerder hebt gevonden. Bij het gebruik van de abc-formule moet je er wel op letten dat de vergelijking die je oplost kwadratisch is en de vorm u�u�2 + u�u� + u� = 0 heeft.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 19


e

Waarom betekent dit dat u� ≠ 0?

f

Los op: 4 + 2u�2 = 6u�.

Opgave 4 Los de volgende vergelijkingen op met de abc-formule. a

u�2 + 12u� + 4 = 0

b

2u�2 + 5u� − 10 = 0

c

5u� − u�2 + 7 = 0

d

9u�2 = 17 − 10u�

e

2u�2 + 16 = 12u�

f

3u�2 + 8u� − 3 = 0

Opgave 5 Bekijk in de Uitleg op pagina 19 wat de discriminant van een kwadratische vergelijking is. Bekijk de vergelijking 2u�2 − 6u� − 1 = 0. a

Bereken de discriminant van deze vergelijking.

b

Bereken vervolgens de oplossing.

c

Geef een benadering van de oplossing van deze vergelijking in één decimaal nauwkeurig. Bekijk nu de vergelijking 2u�2 − 6u� + 4,5 = 0.

d

Bereken eerst de discriminant. Leg uit dat je aan de discriminant kunt zien dat de oplossing van de vergelijking maar één waarde heeft. Bereken vervolgens die éne oplossing. Bekijk nu de vergelijking 2u�2 − 6u� + 6 = 0.

e

Laat met behulp van de discriminant zien, dat de vergelijking geen reële oplossing heeft.

Opgave 6 Bepaal van de volgende kwadratische vergelijkingen eerst het aantal oplossingen (dus het aantal waarden in de oplossing). Los ze vervolgens op. a

2u�2 + 5u� − 20 = 0

b

11 + 3u�2 = 9u�

c

3u�2 = 4u� − 1

d

4u�2 − 20u� + 25 = 0

PAGINA 20

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Theorie en voorbeelden Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm u�u�2 + u�u� + u� = 0 heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits u� ≠ 0) omdat de hoogste macht van de onbekende u� die voorkomt 2 is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.) De oplossing van de vergelijking u�u�2 + u�u� + u� = 0 met u� ≠ 0 is −u�+√u�2 −4u�u�

−u�−√u�2 −4u�u�

u� = ∨ u� = 2u� 2u� Deze oplossing noem je de abc-formule. Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe u�u�2 + u�u� + u� = 0 in algemene zin oplossen met behulp van kwadraat afsplitsen. Neem aan dat u� ≠ 0 (anders is het ook geen kwadratische vergelijking!). Je kunt dan aan beide kanten van het is gelijkteken delen door u�. Dat geeft: u� u� u�2 + u� u� + u� = 0 Een kwadraat afsplitsen levert op: u� 2 u� 2 u� u� 2 u� 2 u� u�2 −4u�u� (u� + 2u� ) − ( 2u� ) + u� = 0 en (u� + 2u� ) = ( 2u� ) − u� = 4u�2 Worteltrekken: 2 −4u�u� u� u� + 2u� = ±√ u� 4u� 2 En nu een beetje herleiden: u�

u�2 −4u�u�

−u�

√u�2 −4u�u�

−u�±√u�2 −4u�u�

u� = − 2u� ± √ 4u�2 = 2u� ± = 2u� 2u� En hiermee is de abc-formule gevonden. Het is bij het oplossen van een kwadratische vergelijking handig om eerst de discriminant 𝐷 = u�2 −4u�u� te berekenen. > Als 𝐷 > 0 heb je twee waarden in de oplossing. > Als 𝐷 = 0 heb je één waarde in de oplossing. > Als 𝐷 < 0 heb je geen reële waarden in de oplossing. Je kunt hiermee de oplossing van elke kwadratische vergelijking kortweg zo opschrijven: −u�±√𝐷

De oplossing van de vergelijking u�u�2 + u�u� + u� = 0 is u� = . 2u� Bekijk ook de (engelstalige) videoclip ‘quadratic formula’ in het Practicum.

Voorbeeld 1 Los de vergelijking (u� − 2)(u� − 3) = 3 op. Haakjes uitwerken en op 0 herleiden levert de vergelijking u�2 − 5u� + 3 = 0 op. Deze vergelijking kun je oplossen met de abc-formule. Je berekent dan liever eerst de discriminant, dan weet je of er een oplossing is. Lees af: u� = 1, u� = −5 en u� = 3. En dus is 𝐷 = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 13. De discriminant is positief en de oplossing bestaat dus uit twee waarden. −−5±√13 5±√13 De oplossing is u� = = . 2⋅1 2

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 21


Opgave 7 Bekijk in Voorbeeld 1 op pagina 21 hoe een kwadratische vergelijking wordt opgelost met de abc-formule. Leer deze formule uit het hoofd en zorg dat je de manier van werken beheerst! a

Herleiden op 0 is een belangrijke stap voordat je de abc-formule gaat toepassen. Waaom voer je deze stap eigenlijk uit?

b

Laat zien, dat je door haakjes uitwerken en op 0 herleiden inderdaad op u�2 − 5u� + 3 = 0 komt.

c

Waarom staat bij de berekening van de discriminant de −5 eigenlijk tussen haakjes?

d

Schrijf beide waarden van de oplossing afzonderlijk op en benader ze in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 8 Los de volgende vergelijkingen op indien mogelijk. a

3u�2 + 4 = 7u�

b

(u� + 1)(2u� − 1) = 4

c

4u� = u�2 + 7

d

(u� + 3)2 = 4u�

e

(2u� + 4)2 = 32u�

f

(2u� + 4)2 = 32

Opgave 9 Bekijk de vergelijking (u� + 4)2 = 4 + u�2 . a

Is dit een kwadratische vergelijking?

b

Werk de haakjes uit en herleid de vergelijking op 0.

c

Hoe los je nu de vergelijking verder op?

Opgave 10 Oefen nu het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule via > www.math4all.nl > 3 HAVO > Kwadratische vergelijkingen > Practicum 2 Je oefent jezelf met behulp van AlgebraKIT. Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer maakt.

PAGINA 22

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Voorbeeld 2 Gegeven zijn een kwadratische functie met formule u�1 = u�2 + 8u� + 1 en een lineaire functie met formule u�2 = 2u� − 4. Bereken de coördinaten van de snijpunten van hun grafieken. In de snijpunten geldt u�2 + 8u� + 1 = 2u� − 4. Deze vergelijking kun je oplossen door eerst op 0 te herleiden en dan de abc-formule toe te passen. Aan de grafieken zie je dat er twee u�-waarden uit moeten komen. Uit u�2 + 6u� + 5 = 0 lees je af: u� = 1, u� = 6 en u� = 5. −6±√16

De oplossing is u� = . En dus vind je u� = −5 ∨ u� = −1. 2⋅1 Om beide snijpunten te vinden, moet je deze u�-waarden nog invullen. Ga na, dat dit de snijpunten (−5, − 14) en (−1, − 6) oplevert.

Opgave 11 Bekijk in Voorbeeld 2 op pagina 23 hoe je de snijpunten van een parabool en een rechte lijn berekent. a

In dit voorbeeld is de abc-formule gebruikt om de kwadratische vergelijking op te lossen. Dit kan ook met de som-en-productmethode. Laat dat zien.

b

Waarom is hier het werken met de discriminant overbodig?

c

Als je de twee u�-waarden hebt gevonden, moet je de bijbehorende u�-waarden berekenen. Laat zien hoe je dat doet.

d

Maakt het uit in welke van beide formules je de gevonden waarden van u� invult? Waarom?

Opgave 12 Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken bij de volgende formules. a

u�1 = u�2 + 3u� + 1 en u�2 = −u� − 2.

b

u�1 = (u� + 2)(u� − 3) en u�2 = 2u� + 4.

c

u�1 = u�2 en u�2 = 2.

Opgave 13 In de voorgaande opgave en ook in Voorbeeld 2 op pagina 23 waren de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken gehele getallen. Maar dat hoeft niet. Neem bijvoorbeeld de functies u�1 = (u� + 1)2 en u�2 = 4 − u�2 . a

Met welke vergelijking bereken je de snijpunten van de twee bijbehorende grafieken?

b

Hoe kun je aan de discriminant van deze vergelijking zien dat er twee snijpunten zijn waarvan de coördinaten geen gehele getallen zijn?

c

Bereken de snijpunten van beide parabolen op twee decimalen nauwkeurig.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 23


Verwerken Opgave 14 Bereken de oplossing van de volgende kwadratische vergelijkingen. a

u�2 + 5u� + 1 = 0

b

2u�2 − 3u� − 2 = 0

c

−5u�2 − 7u� = 1

d

u�(2u� + 3) = 3

e

u�(2u� + 3) = 3u�

f

u�(2u� + 3) = 0

g

(u� + 3)(u� − 5) = 2

h

(u� + 3)(u� − 5) = 0

i

(2u� + 5)2 = 5

Opgave 15 Onderzoek hoeveel oplossingen de volgende kwadratische vergelijkingen hebben (dus uit hoeveel waarden de oplossing bestaat). a

2u�2 + 5u� − 1 = 0

b

5u�2 − u� = 1

c

−2u�2 + 6u� = 18

d

(1 − 2u�)2 = 12

e

(u� − 1)2 + 4 = 0

Opgave 16 Je ziet hier de grafieken van twee kwadratische functies en een lineaire functie. Ga er van uit dat de roosterpunten die op de grafieken lijken te liggen dat ook inderdaad doen. Bij het berekenen van snijpunten of nulpunten, moet je telkens een vergelijking oplossen. Aan de discriminant van die vergelijking kun je zien hoeveel snijpunten er zijn. Geef in de volgende gevallen aan of die discriminant negatief, positief of 0 is en ook of die discriminant een kwadraat is. a

u�1 = u�3

b

u�1 = u�2

c

u�2 = u�3

d

u�3 = 0

e

u�2 = 0

f

u�2 = 4

PAGINA 24

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 17 Hieronder zijn telkens twee formules gegeven. Bereken de eventuele snijpunten van de bijbehorende grafieken. Geef waar nodig benaderingen in één decimaal nauwkeurig. a

u�1 = −2u�2 + 8u� en u�2 = 2u� − 36.

b

u�1 = (u� − 10)2 − 50 en u�2 = 10 − 5u�.

Toepassen Opgave 18: Een kwadraat afsplitsen Bekijk in > www.math4all.nl > 3 HAVO > Kwadratische vergelijkingen > Toepassen hoe je een kwadratische functie door kwadraat afsplitsen kunt schrijven in de vorm u� = u�(u� − u�)2 + u�. a

Wat is het voordeel van die vorm?

b

Laat zien, dat u�2 + 8u� = (u� + 4)2 − 16.

c

Schrijf nu de kwadratische functie u� = u�2 + 8u� + 2 in een vorm waarin je de top kunt aflezen. Kwadraat afsplitsen werkt ook als er mintekens in de formules voorkomen, alleen kun je dan niet altijd meer een figuur erbij tekenen. Splits een kwadraat af bij de volgende kwadratische functies.

d

u� = u�2 + 6u� − 12

e

u� = u�2 − 4u� + 9

f

u� = u�2 + 5u�

Opgave 19: Een vergelijking oplossen door kwadraat afsplitsen Je kunt nu het kwadraat afsplitsen toepassen bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Elke kwadratische vergelijking kun je er mee oplossen... Neem eerst de vergelijking u�2 + 6u� + 1 = 0. a

Splits nu aan de linkerzijde van het isgelijkteken een kwadraat af. Los vervolgens de vergelijking op door terugrekenen. Op dezelfde manier kun je de volgende vergelijkingen oplossen.

b

Los op: u�2 + 8u� − 15 = 0.

c

Los op: u�2 − 8u� + 2 = 0.

d

Los op: 2u�2 − 8u� + 2 = 0.

Opgave 20: Een lastig geval Kwadraat afsplitsen is een manier om elke kwadratische vergelijking op te lossen. Los op: 3u�2 + 7u� + 1 = 0.

Opgave 21: De abc-formule afleiden Kwadraat afsplitsen gaat altijd op dezelfde manier. Als je dit dus één keer netjes doet met de algemene vorm van een kwadratische vergelijking dan krijg je een formule voor alle oplossingen van een kwadratische vergelijking van die vorm.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 25


Los op: u�u�2 + u�u� + u� = 0.

PAGINA 26

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.4

Handig oplossen

Verkennen Opgave 1 Je wilt de vergelijking 2u�2 + 12u� = −10 oplossen. Doe dit op zoveel mogelijk verschillende manieren. Welke manier is het handigst?

Opgave 2 Je wilt de vergelijking 2u�2 + 12u� = 0 oplossen. Laat zien hoe je dit op de handigste manier kunt doen.

Uitleg De vergelijking 2u�2 + 12u� = −10 kan op meerdere manieren opgelost worden. Allereerst merk je op dat het een kwadratische vergelijking en een drieterm is. Je herleid dan eerst op 0: 2u�2 + 12u� + 10 = 0 Je kunt nu de abc-formule gebruiken om de vergelijking op te lossen. Maar delen door 2 maakt hem in ieder geval eenvoudiger: u�2 + 6u� + 5 = 0 Nog steeds kun je de abc-formule toepassen, of je kunt een kwadraat afsplitsen, maar nu is ontbinden met de som-en-product-methode handiger. Bij drietermen kies je meestal voor ontbinden (als je snel een ontbinding ziet) of anders voor de abc-formule. Maar hoe werk je bij een tweeterm? Stel je wilt de vergelijking 2u�2 + 12u� = 0 oplossen. De abc-formule kan natuurlijk met u� = 2, u� = 12 en u� = 0. Maar dat is wel erg onhandig. Gewoon de GGD buiten haakjes halen gaat echt veel sneller...

Opgave 3 Kwadratische vergelijkingen kun je beter niet altijd met de abc-formule oplossen. Die formule is als het ware de laatste mogelijkheid als je geen snellere manier kunt vinden. a

Bekijk eerst de vergelijkingen in de Uitleg op pagina 27. Als je deze vergelijkingen nog niet hebt opgelost, doe dit dan alsnog. Bekijk de vergelijking 0,5u�2 = 4u� − 6.

b

Wordt deze vergelijking na op 0 herleiden een drieterm of een tweeterm?

c

Kun je deze vergelijking oplossen door ontbinden in factoren? Los de vergelijking verder op. Bekijk de vergelijking 0,5u�2 = 4u� − 5.

d

Waarom kun je deze vergelijking alleen met de abc-formule oplossen? Laat zien hoe je dat doet. Bekijk de vergelijking 0,5u�2 − 4u� = 5u�.

e

Wordt deze vergelijking na op 0 herleiden een drieterm of een tweeterm? En gebruik je dan de abc-formule?

f

Los deze vergelijking zo handig mogelijk op.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 27


Opgave 4 Zoek bij de volgende vergelijkingen steeds de handigste manier van oplossen. Bereken vervolgens de exacte oplossingen. a

0,1u�(u� − 2) = 1

b

0,1(u� − 2)2 = 1

c

0,1u�(u� − 2) = 0

d

0,1u�(u� − 1) = 2

Theorie en voorbeelden Een kwadratische vergelijking (of tweedegraads vergelijking) kun je op meerdere manieren oplossen. De abc-formule lukt altijd als je hem in de vorm u�u�2 + u�u� + u� = 0 hebt geschreven (met u� ≠ 0). Maar regelmatig is de abc-formule niet nodig. Hier zie je welke keuzes je daarbij kunt maken. > Komt de variabele maar op één plaats voor? Ga dan terugrekenen, met name worteltrekken. > Heeft de vergelijking de vorm van een ontbinding die op 0 uitkomt? Splits de vergelijking dan in twee eenvoudiger vormen. > Komen er in de vergelijking haakjes voor, maar kun je niet meteen ontbinden in factoren? Werk dan eerst de haakjes uit. > Kun je na op 0 herleiden alle termen door hetzelfde getal delen? Doe dit dan en maak de vergelijking eenvoudiger. > Kun je na op 0 herleiden en vereenvoudigen ontbinden in factoren? Doe dit dan en lees de oplossing uit de ontbinding af. > Kun je na op 0 herleiden en vereenvoudigen niet ontbinden in factoren? Gebruik de abc-formule of splits een kwadraat af. Als je deze stappen in deze volgorde doorloopt, kun je elke kwadratische vergelijking op zo handig mogelijke manier oplossen.

Voorbeeld 1 Je ziet hier een drietal kwadratische vergelijkingen die op elkaar lijken. > (u� − 2)(u� + 3) = 6 > (u� − 2)(u� + 3) = 7 > (u� − 2)(u� + 3) = 0 Van welke van deze vergelijkingen kun je de oplossingen ‘zo zien’? En welke kun je alleen oplossen met de abc-formule? In de Theorie op pagina 28 vind je een lijstje met keuzes die je kunt maken bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Dit lijstje kan je helpen bij het beantwoorden van de vragen hierboven. Bij geen van deze vergelijkingen komt de variabele op één plek voor, dus terugrekenen is nu onmogelijk. De derde vergelijking heeft bestaat echter uit een ontbinding waar 0 uit komt. Die kun je dus heel snel oplossen door hem te splitsen in twee eenvoudiger vergelijkingen.

PAGINA 28

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Bij beide andere vergelijkingen moet je eerst de haakjes uitwerken en op 0 herleiden. Dan zul je zien dat bij de tweede vergelijking de abc-formule nodig is. Of je moet een kwadraat afsplitsen, dat werkt ook altijd wel...

Opgave 5 Bekijk de drie vergelijkingen in Voorbeeld 1 op pagina 28. a

Ga na, dat je van de derde vergelijking inderdaad vrijwel direct de oplossing kunt opschrijven.

b

Los nu de eerste vergelijking zo handig mogelijk op.

c

Los ook de tweede vergelijking op.

Opgave 6 Je wilt de vergelijking (2u� − 7)2 − 1 = 9 oplossen. a

Waarom is nu het uitwerken van de haakjes niet handig?

b

Los nu deze vergelijking zo handig mogelijk op.

Opgave 7 Los de volgende vergelijkingen op de handigste manier op. a

3u�2 + 6u� = 9

b

15u�(u� − 1) = 30

c d

1 2 2 u� 1 2 4 u�

e

(u� − 4)2 − 8 = 5

f

4u� + 1 = 6u�2

g

(u� − 2)(u� + 2) = 1

h

u�2 = 2u� − 1

= 32 = 3u�

Voorbeeld 2 Bereken de oplossing van de vergelijking (u� + 2)2 = (5 − 2u�)2 . Misschien denk je aan haakjes uitwerken en dan ontbinden of de abc-formule toepassen? De oplossing hieronder is dan totaal anders, echt ‘out-of-the-box’ denken. Beide zijden worteltrekken geeft: u� + 2 = 5 − 2u� ∨ u� + 2 = −(5 − 2u�) Dit zijn twee lineaire vergelijkingen die je met de balansmethode kunt oplossen. Je krijgt: u� = 1 ∨ u� = 7.

Opgave 8 In Voorbeeld 2 op pagina 29 wordt een kwadratische vergelijking op een onverwachte manier opgelost. a

Los deze vergelijking eerst zelf op door de haakjes uit te werken.

b

Los nu de vergelijking op de manier van het voorbeeld op.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 29


Opgave 9 Los op: a

(u� + 1)2 = (2u� + 4)2

b

(u� − 2)2 = (−u� + 3)2

c

(2u� − 2)2 = 36

d

(5 + 3,5u�)2 = u�2

Voorbeeld 3 Bereken de oplossing van de vergelijking 2u�(u� + 4) = 3u� + 12. Misschien denk je aan haakjes uitwerken en daarna ontbinden of de abc-formule toepassen? De oplossing hieronder is dan totaal anders, alweer ‘out-of-the-box’ denken. Schrijf de vergelijking als: 2u�(u� + 4) = 3(u� + 4) Omdat beide zijden van de vergelijking nu een factor u� + 4 bevatten, kun je hem direct splitsen in: 2u� = 3 ∨ u� + 4 = 0 En de oplossing wordt u� = 1,5 ∨ u� = −4. Dat gaat een stuk sneller dan haakjes uitwerken, op 0 herleiden en dan de abc-formule...

Opgave 10 In Voorbeeld 3 op pagina 30 wordt een kwadratische vergelijking op een onverwachte manier opgelost. a

Los deze vergelijking eerst zelf op door de haakjes uit te werken.

b

Bekijk nu de manier van oplossen die in het voorbeeld wordt gebruikt. Waarom mag je niet gewoon beide zijden delen door u� + 4?

c

Wanneer kun je deze handige oplossingsmethode toepassen?

Opgave 11 Los op: a

5u�(u� − 3) = 6u� − 18

b

u�(u� + 1) = 5u�

c

u�2 = 6u�

d

(4u� + 1)(2u� − 5) = u�(2u� − 5)

Verwerken Opgave 12 Los de volgende vergelijkingen op. Probeer steeds een zo handig mogelijke manier te vinden. a

u�2 = u�

b

(u� − 1)2 − 1 = 0

c

5 − u�2 = 3

d

u� − u�2 = 0

PAGINA 30

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


e

u� − u�2 = 5

f

u�2 + 2u� − 7 = 3

g

u�2 + 2u� + 1 = 0

h

(u� + 3)(u� − 3) = 9

i

(u� − 4)(u� + 5) = 6

j

u�(2 − u�) = 3u�

Opgave 13 Los de volgende vergelijkingen op. Probeer steeds een zo handig mogelijke manier te vinden. a

(2u� − 3)(u� − 1) = 3

b

(2u� − 3)(u� − 1) = 0

c

(u� − 3)2 + 5 = 0

d

4(u� + 1)2 − 7 = 2

e

u� − (u� − 1)2 = −4

f

(u� − 2)2 = (4 − 3u�)2

g

3(u� − 1)2 = (u� − 1)2

h

3u�(u� − 1) = (u� + 1)(u� − 1)

i

(u� − 4)2 = 5 − u�

j

0,5u�2 − 4u� = 10

Opgave 14 Een parabool wordt beschreven door de formule u� = 0,25(u� − 2)2 + 5. Een lijn gaat door de punten 𝐴(0,6) en 𝐵(10,12). De snijpunten van deze lijn en deze parabool zijn 𝐴 en 𝐶. Bereken de coördinaten van punt 𝐶.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 31


Opgave 15 Een bedrijft maakt Blu-ray spelers. De winst die het bedrijf per week maakt wordt berekend met de formule 𝑊 = −6u�2 + 100u� − 250. De winst (𝑊) is hier in duizenden euro en het aantal per week verkochte spelers (u�) in honderdtallen. a

Bereken voor welke waarden van u� winst wordt gemaakt. Om welke aantallen Blu-ray spelers gaat het daarbij?

b

Bij welk aantal wekelijkse verkochte Blu-ray spelers is de winst zo groot mogelijk? Hoe groot is deze maximale winst?

Toepassen Opgave 16: Handige oplossingstechnieken Bekijk in > www.math4all.nl > 3 HAVO > Handig oplossen > Toepassen hoe je vergelijkingen handig kunt oplossen door ontbinden en worteltrekken. Je kunt daaruit nog weer snellere stappen afleiden. a

Welk voorbeeld maakt gebruik van de strategie dat een vergelijking van de vorm 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐶 kan worden geschreven als 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶? Laat zien hoe deze aanpak volgt uit ontbinden in factoren.

b

Laat ook zien, dat een vergelijking van de vorm

c

Leid zelf af dat een vergelijking van de vorm

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵

=

=

𝐴 𝐶

𝐶 𝐷

kan worden geschreven als 𝐴 ⋅ 𝐷 = 𝐵 ⋅ 𝐶.

kan worden herleid tot 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶

Opgave 17: Vergelijkingen met hogere machten Los de volgende vergelijkingen op. Maak gebruik van handige oplossingstechnieken. a

u�3 = 4u�

b

3u�2 (u� − 5) = u�2

c

4(u� − 1)3 = u� − 1

d

(u�2 + 1) = 4

e

(2u� + u�2 − 4) = (u� + 1)2

2

2

Opgave 18: Vergelijkingen met breuken Los de volgende vergelijkingen op. Maak gebruik van handige oplossingstechnieken.

e

u�+1 u�+3 u�+2 = 2u�+3 u� 2u� 2u�−1 = 1−u� 2u�−1 2u�−1 3u� = u�+2 u�−2 5 2u� = 2u� 1−u� 2 2u� = 1 − u�

f

Je kunt nog meer gebroken vergelijkingen oefenen via Practicum.

a b c d

PAGINA 32

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1.5

Totaalbeeld

Samenvatten Met kwadratische verbanden heb je al leren werken. In dit onderwerp is die kennis herhaald en uitgebreid. Het begrip kwadratische functie is ingevoerd en je hebt geleerd hoe je een grafiek moet maken van een kwadratische functie als de formule ervan is gegeven. Ook het werken met (kwadratische) vergelijkingen om snijpunten en nulpunten te berekenen is voorbij gekomen, met name de abc-formule, maar ook technieken om kwadratische vergelijkingen handig op te lossen. De onderstaande opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Kwadratische verbanden’ te krijgen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3 en 4 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken. De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen. Je hebt geleerd > de begrippen kwadratische functie, top, extreme (uiterste) waarde ( Theorie op pagina 8); > nulpunten en top bepalen, drie gedaantes van de formule bij een kwadratische functie herkennen ( Theorie op pagina 14); > de abc-formule gebruiken om een kwadratische vergelijking systematisch op te lossen, de discriminant van een kwadratische vergelijking gebruiken ( Theorie op pagina 21); > kwadratische vergelijkingen handig oplossen, onder andere door ontbinden in factoren, terugrekenen en de abc-formule ( Theorie op pagina 28); Voorkennis > basisalgebra, werken met machten, wortels, breuken; > werken met lineaire verbanden en bijbehorende formules en grafieken; > vergelijkingen oplossen met terugrekenen, de balansmethode, ontbinden in factoren.

Opgave 1 Een afgeschoten kogel volgt bij benadering een baan die de vorm van een parabool heeft. Een voorbeeld van zo’n kogelbaan is de parabool met formule ℎ = −0,0001(u� − 150)2 + 4. Hierin is ℎ de hoogte van de kogel boven de grond en u� de afstand die de kogel horizontaal heeft afgelegd. a

Op welke hoogte wordt de kogel afgeschoten?

b

Welk punt is het hoogste punt dat de kogel bereikt?

c

Na hoeveel m komt deze kogel op de grond?

Opgave 2 1 1 2 2 (u� − 3) − 2 . 1 geschreven als u� = 2 u�2 − 3u� + 4.

Bij een kwadratische functie hoort de formule u� = a

Laat zien, dat deze formule kan worden

b

Welke extreme waarde heeft deze kwadratische functie? Is het een minimum of een maximum?

c

Laat zien dat deze formule kan worden geschreven als u� =

d

Wat zijn de nulpunten van de parabool die de grafiek is van deze kwadratische functie?

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

1 2 (u� − 2)(u� − 4).

PAGINA 33


Opgave 3 Bij een kwadratische functie hoort de formule u� = −0,3(u� + 2)(u� − 5). Bereken de top van de bijbehorende parabool en teken hem.

Opgave 4 Los de volgende kwadratische vergelijkingen exact op. a

u�2 + 3u� − 5 = 0

b

u�2 + 3u� − 4 = 0

c

2u�2 − 4u� = 48

d

1 2 2 u� 2

+ 5u� = 0

e

3u� + u�√3 = 2

f

u�(u� − 3) = 2 + u�2

Opgave 5 Los de volgende vergelijkingen zo handig mogelijk exact op. a

(2u� − 6)2 = 11

b

u�(u� − 2) = 5u� − 10

c

(u� − 3)(2u� − 5) = 15

d

(u� − 3)(2u� − 5) = 0

e

(u�2 − 3) = (2u� + 1)2

f

(u�2 − 4)(u� − 3) = 12

2

Opgave 6 Gegeven is lineaire functie u� = 4u� en de kwadratische functie u� = −0,5u�2 + 6u�. a

De grafiek van de lineaire functie heeft twee punten gemeen met de grafiek van de kwadratische functie. Toon dit aan met behulp van de bijbehorende vergelijking.

b

Bereken beide snijpunten. De lijn met formule u� = 4u� + 2 is evenwijdig met grafiek van de lineaire functie.

c

Laat zien dat deze lijn precies één punt met de grafiek van de kwadratische functie gemeen heeft.

PAGINA 34

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Testen De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 4 van het onderwerp ‘Kwadratische verbanden’ voldoende beheerst.

Opgave 7 De brug over de rivier de Tyne in het noordoosten van Engeland wordt vaak als voorbeeld genoemd voor een parabolische boog, een boog in de vorm van een parabool. Uitgaande van een assenstelsel waarin de u�-as langs de verticale rechterwand van de linkertoren ligt en de u� over de bovenkant van het horizontale wegdek ligt, zou dit op grond van afstand tussen beide torens en de plaats van de top van de parabool de bijbehorende formule u� = −0,0084(u� − 81)2 + 33 moeten zijn. In deze opgave ga je uit van deze formule. a

Hoeveel meter zit de top van de parabool boven het wegdek?

b

Hoeveel meter is de afstand tussen beide torens?

c

Op hoeveel meter onder het wegdek zit de parabool aan de torens bevestigd?

d

Hoeveel meter zit er tussen de punten die de parabool met de bovenkant van het wegdek gemeen heeft? Geef je antwoord in dm nauwkeurig.

Opgave 8 Gegeven zijn de kwadratische functie met formule u� = −2u�2 − 8u� + 12 en de lineaire functie met formule u� = 2u� + 12. a

Bereken de snijpunten van de parabool met de u�-as.

b

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van beide functies.

Opgave 9 Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. Geef daarna de eindantwoorden exact of (waar nodig) in twee decimalen nauwkeurig. a

u�2 + 3u� = 4

b

2u�2 + 15u� = 36

c

3u�2 = 48

d

(2u� − 4)(u� − 3) = 12

e

(2u� − 4)(u� − 3) = 0

f

(u� − 4)2 + u�2 = 40

g

u�4 = 81

h

3u�8 + 27u�6 = 0

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 35


i

u�3 − 5u�2 + 6u� = 0

j

16 − (3 − u�)2 = 0

k

2u�2 = u� + 8

l

u�4 − 8u�2 = 9

Opgave 10 Een boer heeft een stuk land dat zuiver rechthoekig is en aan de twee lange zijden en aan één van de twee korte zijden omgeven is door een boswal van 5 m breed. Alleen aan de kant van de weg zit geen boswal, maar een sloot voor de afwatering. Het stuk land is twee keer zo lang als het breed is. Als deze boer de boswal volledig bij zijn land trekt, wordt de oppervlakte precies twee keer zo groot. Bereken de afmetingen van het stuk land als de boswal nog intact is. Gebruik daarbij een vergelijking en rond je antwoord af op dm nauwkeurig.

Opgave 11 De geitenfokvereniging van Oldeberkoop wil bij een resibureau een busreis boeken naar Zwitserland, een bekend geitenland in Europa. Die reis kost elk van de 40 leden van die vereniging €600,=. Omdat het reisbureau echter een bus voor 54 personen moet inzetten, melden zij de geitenfokkers dat elke extra passagier waarvoor zij kunnen zorgen voor elke deelnemer aan de reis een korting van €10,= betekent. Onderzoek of dit voor het reisbureau gunstig is. Bij welk aantal deelnemers is de opbrengst voor het reisbureau zo hoog mogelijk?

Toepassen Opgave 12: Maximale lengte Lees in > www.math4all.nl > 3 HAVO > Totaalbeeld > Toepassen dat er tussen de grafieken van de functies die daar zijn beschreven het lijnstuk 𝑃𝑄 zit. De lengte van dit lijnstuk kan variëren, je wilt de maximale lengte weten, want de minimale lengte is 0. a

Waarom is het minimum van de lengte van het daar beschreven lijnstuk 0?

b

Noem de u�-waarde van beide punten u�. Welke coördinaten hebben 𝑃 en 𝑄 dan?

c

Leg uit dat de lengte van lijnstuk 𝑃𝑄 gelijk is aan 𝐿 = −2u�2 − 10u�.

d

De grafiek van 𝐿 als functie van u� is een bergparabool. Bereken het maximum van die functie.

PAGINA 36

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013


Opgave 13: Winstmaximalisatie In de micro-economie wordt het volgende rekenmodel voor de winst van de verkoop van een bepaald product gehanteerd als het bedrijf de enige aanbieder is. Het aantal verkochte producten hangt alleen af van de prijs u� in euro per stuk. Hoe hoger de prijs, hoe lager de hoeveelheid u� die van dit product wordt verkocht per tijdseenheid. Bijvoorbeeld kan per week gelden u� = 500 − 2u�. De inkoopkosten hangen weer af van de prijs per eenheid en de voorraadkosten. Bijvoorbeeld kan een eenheid product €5,= kosten en de voorraadkosten kunnen €2000,= per week zijn. Voor de opbrengst als wekelijks de hele voorraad wordt verkocht geldt 𝑇𝑂 = u�⋅u�, de wekelijkse kosten noem je 𝑇𝐾 en de winst is 𝑇𝑊 = 𝑇𝑂 − 𝑇𝐾. a

Waarom is 𝑇𝑂 = u� ⋅ u�?

b

Laat zien dat 𝑇𝑊 = u�(500 − 2u�) − (2000 + 5u�). Als je in de formule bij b u� = 500−2u� substitueert, dan kun je hem herleiden tot 𝑇𝑊 = −2u�2 +510u�− 4500.

c

Laat dat zien. De winst is in dit rekenmodel een kwadratische functie van u�.

d

Bereken de maximale winst.

STICHTING MATH4ALL

3 OKTOBER 2013

PAGINA 37

Wiskunde voor 3 havo. deel 2. Versie Samensteller

Recommend Documents