EUROPEES BACCALAUREAAT 2008
WISKUNDE 5 PERIODEN
DATUM : 5 juni 2008 (‘s morgens)
DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten)
TOEGESTANE HULPMIDDELEN Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine
AANWIJZINGEN : Beantwoord de vier verplichte vragen. Kies twee vragen uit de drie keuze vragen. Kruis je keuze aan op het bijgevoegde formulier. Beantwoord elke vraag op een apart vel van het examenpapier.
Bladzijde 1/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2008: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 1.
ANALYSE
Bladzijde 1 van 1
Punten
a) Bepaal het nulpunt, de vergelijking van de asymptoot, de intervallen waarop f stijgend of dalend is en de coördinaten en de aard van het extreem van f.
6 punten
De functie f is gedefinieerd door f ( x) = (1 − x)e x .
b)
i. Schets de grafiek van f.
2 punten
ii. Toon aan dat F ( x) = (2 − x)e x een primitieve is van f.
2 punten
iii. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel in het eerste kwadrant dat ingesloten wordt door de grafiek van f en de coördinaatassen.
2 punten
Bladzijde 2/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2008: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 2.
ANALYSE
Bladzijde 1 van 1
Punten
In een wiskundig model voor sprintwedstrijden, neemt de snelheid v (in m/s) van een sprinter toe als functie van de tijd t (in seconden), volgens de volgende differentiaalvergelijking:
dv = 12,2 − kv dt waarbij k een constante is die afhankelijk is van de individuele sprinter. a) Bepaal de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking, waarbij v wordt gegeven als functie van t.
6 punten
b) Tijdens een sprintwedstrijd over 100 m start een sprinter vanuit stilstand, dus v = 0 op t = 0 . i. Bepaal de oplossing voor v als functie van t die voldoet aan deze beginvoorwaarde. ii. De waarde van k voor een bepaalde sprinter is 1,25. Bereken de tijd die deze sprinter nodig heeft om een snelheid te bereiken van 9,0 m/s.
Bladzijde 3/8
3 punten
3 punten
EUROPEES BACCALAUREAAT 2008: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 3.
MEETKUNDE
Bladzijde 1 van 1
Punten
Ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel zijn gegeven de vlakken
α : 2 x − 3 y + z − 2 = 0 en β : 3x − y − 2 z + 4 = 0
en de lijn
⎧x = 2λ + 3 ⎪ A : ⎨ y = −λ , ⎪ z = −λ + 1 ⎩
a)
λ ∈R.
Noem s de snijlijn van α en β . Toon aan dat ⎛x⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + μ ⎜1⎟ , ⎜z⎟ ⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6 punten
μ ∈R
een vergelijking van s is b)
i. Toon aan dat de lijnen s en A elkaar loodrecht kruisen.
3 punten
ii. Bepaal de kortste afstand tussen deze twee lijnen.
4 punten
Bladzijde 4/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2008: WISKUNDE 5 PERIODEN VERPLICHTE VRAAG 4.
KANSREKENING
Bladzijde 1 van 1
Punten
Een frisdrank fabrikant introduceert een nieuwe drankje in een bepaald land. Als onderdeel van de reclamecampagne wordt de binnenkant van de schroefdop voorzien van een letter. Het alfabet van dat land heeft 26 letters A, B, C, … , Z. De 26 letters komen met een gelijke kans voor op de schroefdop. Een klant koopt elke dag één fles van dit nieuwe drankje. a)
b)
i. Bereken de kans dat de fles die hij op de veertiende dag koopt niet de letter Z op de schroefdop heeft staan.
2 punten
ii. Bereken de kans dat hij op de derde dag voor het eerst een fles koopt met de letter Z op de schroefdop.
4 punten
i. Bereken de kans dat hij de eerste tien dagen tenminste één fles koopt met de letter Z op de schroefdop.
3 punten
ii. Bereken de kans dat hij met de letters op de schroefdoppen van de flessen die hij de eerste 3 dagen koopt het woord “BAC” kan maken.
4 punten
Bladzijde 5/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2008: WISKUNDE 5 PERIODEN KEUZE VRAAG I.
ANALYSE
Bladzijde 1 van 1
Punten
De functies f en g zijn gedefinieerd als : f ( x) =
x+2
en
g ( x) =
2−
x . 2
F respectievelijk G zijn de grafieken van f en g ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel.
a)
b)
i. Onderzoek de functies f en g : bepaal daarbij het domein, de nulwaarden en bepaal of de functies stijgen of dalen.
5 punten
ii. Bereken de coördinaten van het snijpunt van F en G.
2 punten
iii. Teken F en G in één assenstelsel.
3 punten
Gegeven is het punt K ( 0, 2 ) . t1 is de raaklijn aan F in K en t 2 is de raaklijn aan G in K. i. Bepaal vergelijkingen van t1 en t 2 en teken die raaklijnen in het assenstelsel van vraag a) iii.
4 punten
ii. Bereken, in graden, de scherpe hoek tussen t1 en t 2 .
3 punten
c) S is het vlakdeel ingesloten door F, G en de x-as. i. Bereken de oppervlakte van S.
5 punten
ii. Bereken de inhoud van het lichaam V dat ontstaat als S gewenteld wordt over 360° om de x-as.
3 punten
Bladzijde 6/8
EUROPEES BACCALAUREAAT 2008: WISKUNDE 5 PERIODEN KEUZE VRAAG II.
KANSREKENING
Bladzijde 1 van 1
Punten
De onderstaande tabel geeft de relatieve frequentie van de vier bloedgroepen in een grote populatie. Bloedgroep
O
A
B
AB
Relatieve frequentie
0,45
0,40
0,11
0,04
a) Er wordt een aselecte steekproef genomen van 15 mensen uit deze populatie.
b)
i. Bereken de kans dat deze steekproef ten hoogste 10 mensen bevat met bloedgroep A.
4 punten
ii. Bereken de kans dat deze steekproef meer dan 4 maar minder dan 8 mensen bevat met bloedgroep B.
4 punten
Bepaal de grootte van de grootste steekproef die genomen moet worden, zodat de kans dat er tenminste één persoon is met bloedgroep B kleiner is dan 0,99.
4 punten
Er wordt een aselecte steekproef genomen van 100 mensen uit deze populatie. c)
d)
X is het aantal mensen met bloedgroep O in deze steekproef i. Bereken de verwachting en de standaardafwijking van X.
3 punten
ii. Gebruik de normale benadering om P(X > 49) uit te rekenen. Leg uit dat de normale benadering gebruikt kan worden in dit geval.
4 punten
iii. Bereken het kleinste aantal mensen, k , zodat P ( X < k ) > 0,95
4 punten
Y is het aantal mensen met bloedgroep AB in de steekproef Gebruik de Poisson benadering om P(Y ≤ 1) te berekenen.
Bladzijde 7/8
2 punten
EUROPEES BACCALAUREAAT 2008: WISKUNDE 5 PERIODEN KEUZE VRAAG III.
MEETKUNDE
Bladzijde 1 van 1
Punten
Ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel zijn gegeven het vlak π1:
4 x + 3 z + 29 = 0
de bol S:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0
en de lijn d1 :
⎧ x = −3 + t ⎪ ⎨ y = 1 − t , met t ∈ R ⎪ z = −3 ⎩
a) Bepaal de coördinaten van het middelpunt M en de straal R van de bol S. b)
c)
2 punten
i. Toon aan dat π1 een raakvlak is van de bol S.
2 punten
ii. Toon aan dat het vlak π1 bol S raakt in het punt A(−5, 3, − 3) .
2 punten
i. Toon aan dat lijn d1 bol S snijdt in het punt A, en bepaal de coördinaten van het andere snijpunt.
3 punten
ii. Het vlak loodrecht op AM door het punt (−1, − 1, − 3) snijdt bol S in een cirkel C. Bepaal de straal en de coördinaten van het middelpunt van de cirkel C.
4 punten
d) Gegeven is het punt H (−1,7,3) op de bol S. Het vlak π 2 is het raakvlak aan de bol S in het punt H. i. Bepaal een Cartesische vergelijking van het vlak π 2.
3 punten
ii. Bereken, in graden, de grootte van de scherpe hoek tussen de vlakken π1 en π 2 .
3 punten
e) Het punt B (3,3,3) ligt op S, zo dat AB een middellijn is van S. Lijn d2 is een raaklijn aan de bol S in B en snijdt lijn d1. Bepaal een stelsel parameter vergelijkingen van lijn d2.
Bladzijde 8/8
6 punten
