i
WILAYAH JABAR-DKI JAKARTA-BANTEN
KATA SAMBUTAN
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017
ii
Dekan FMIPA Universitas Indonesia Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Salam sejahtera untuk kita semua. Atas nama Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia, dengan bangga saya mengucapkan selamat kepada semua peserta pada Seminar Nasional Matematika 2017 yang diselenggarakan pada tanggal 11 Februari 2017 di Universitas Indonesia, Depok. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada pihak IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta atas kepercayaannya kepada Universitas Indonesia dalam hal ini Departemen Matematika FMIPA sebagai tuan rumah kegiatan sarasehan dan sosialisasi program kerja IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta. Seminar Nasional ini merupakan seminar yang telah dilaksanakan secara bergantian oleh Universitas Indonesia dan Universitas Padjadjaran sejak 20 tahun yang lalu. Pihak Universitas Indonesia sebagai salah satu perguruan tinggi yang menjadi pelopor perkembangan peran ilmu pengetahuan di Indonesia tidak hentihentinya mendorong segenap civitas akademika, termasuk di FMIPA UI untuk menghilirkan penelitiannya agar dapat memberikan dampak nyata pada kemajuan bangsa dan tanah air. Saya ucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dan tentunya kepada panitia pelaksana SNM 2017 ini. Semoga kegiatan ini dapat memberikan manfaat yang besar kepada kita semua dan bangsa Indonesia.
Salam hangat, Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Dekan FMIPA Universitas Indonesia
Dr. rer. nat. Abdul Haris
iii
Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Salam sejahtera untuk kita semua. Atas nama Indonesian Mathematical Society (IndoMS), sebuah kebanggaan yang besar bagi saya untuk menyampaikan selamat kepada semua peserta Seminar Nasional Matematika (SNM) 2017 yang diadakan pada tanggal 11 Februari 2017 di Departemen Matematika FMIPA UI, Depok. IndoMS pada tahun ini bekerjasama dengan pihak penyelenggara lokal, mengadakan cukup banyak aktivitas temu ilmiah di berbagai daerah di Indonesia, termasuk salah satunya pada tahun ini yaitu SNM 2017 yang dirangkaikan dengan Sarasehan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta serta sosialisasi program kerja IndoMS Pusat. Penyelenggaraan SNM 2017 tidak hanya merupakan program berkelanjutan dari pihak IndoMS, Universitas Indonesia dan Universitas Padjadjaran, namun juga merupakan sebuah kegiatan yang akan membawa peluang besar kepada seluruh pihak yang terlibat untuk menyeminarkan dan mendiskusikan hasil penelitian di berbagai bidang matematika. Kami mengucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dari berbagai daerah di Indonesia, dan panitia SNM 2017. Ucapan terima kasih khususnya kami sampaikan kepada Departemen Matematika, FMIPA Universitas Indonesia yang bersedia menjadi tuan rumah. Saya berharap agar SNM 2017 ini dapat memberikan manfaat yang besar kepada kita semua.
Salam hangat, Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Gubernur IndoMS JABAR, Banten dan DKI Jakarta.
Alhadi Bustamam, Ph.D.
iv
Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 Salam sejahtera bagi kita semua. Matematika sebagai salah satu bidang ilmu yang penerapannya banyak digunakan di berbagai bidang, telah diterapkan pula pada berbagai kajian dan penelitian di masalah lingkungan. Pentingnya masalah pelestarian dan bagaimana mengatasi perubahan-perubahan fenomena lingkungan tersebut menjadi dasar dalam penentuan tema utama pada Seminar Nasional Matematika (SNM) 2017 ini, yakni “Peranan Matematika dalam Memahami Fenomena Lingkungan”. Seminar Nasional Matematika merupakan perkembangan dari Seminar Matematika Bersama UI-UNPAD yang telah dilaksanakan sejak lebih dari 20 tahun yang lalu. SNM merupakan salah satu forum nasional bagi para matematikawan, peminat atau pemerhati Matematika dan para pengguna Matematika untuk saling berbagi pengetahuan dan pengalaman terhadap hasil penelitian dan penerapan matematika di berbagai hal. Melalui SNM 2017 diharapkan peserta yang berasal dari berbagai perguruan tinggi dan institusi di Indonesia dapat berpartisipasi dan berkontribusi sesuai dengan kepakaran bidang masing-masing di dalam mengatasi dan menyelesaikan masalah lingkungan beserta berbagai fenomenanya. Makalah yang masuk ke pihak penyelenggara meliputi berbagai bidang, seperti Analisis dan Geometri, Aljabar, Statistika dan aplikasinya, Matematika Keuangan dan Aktuaria, Kombinatorika, Komputasi, Pendidikan Matematika, Optimisasi, Pemodelan Matematika dan bidang terapan lainnya. Penyelenggara SNM 2017 memberikan apresiasi yang setinggi-tingginya kepada berbagai pihak, antara lain Himpunan Matematika Indonesia wilayah Jabar, DKI Jakarta, dan Banten, Program Studi Matematika Universitas Padjadjaran, serta FMIPA UI yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelenggaraan seminar nasional ini. Tidak lupa kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada para sponsor yang telah berkontribusi dan kepada panitia SNM 2017 sehingga SNM 2017 dapat terselenggara. Hormat kami, Ketua Panitia SNM 2017
Bevina D. Handari Ph.D
v
UCAPAN TERIMA KASIH Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada Pimpinan Universitas, Pimpinan Fakultas, Pimpinan Departemen, dan para sponsor, atas dukungannya dalam bentuk dana, fasilitas, dan lain-lain, untuk terselenggaranya seminar ini.
Secara khusus Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Rektor Universitas Indonesia 2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam 3. Ketua Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia 4. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran 5. Direktur Utama PT Reasuransi Indonesia Utama 6. Rektor Universitas Gunadarma 7. Direktur Utama PT Tokio Marine Life Insurance Indonesia 8. Direktur Utama PT AIA Financial Indonesia 9. Direktur Utama PT BNI Life Insurance 10. Direktur Utama BPJS Ketenagakerjaan 11. Ketua Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) 12. Direktur Utama PT Asuransi Cigna
Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 juga mengucapkan terima kasih kepada pembicara utama Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc (Ketua RCCC Universitas Indonesia), Dr. Sri Purwani (Dosen Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran), Dr. Ardhasena Sopaheluwakan (Kepala Bidang Litbang Klimatologi dan Kualitas Udara BMKG), para pemakalah pada sesi paralel, setiap tamu undangan, dan seluruh peserta Seminar Nasional Matematika 2017.
vi
DAFTAR PANITIA SNM 2017 PELINDUNG 1. Prof. Dr. Ir. Muhammad Anis, M.Met. (Rektor Universitas Indonesia) 2. Dr. rer. nat. Abdul Haris (Dekan FMIPA Universitas Indonesia)
KOMISI PENGARAH 1. Alhadi Bustamam, Ph.D. (Gubernur IndoMS JABAR, DKI Jakarta, dan Banten, sekaligus sebagai Ketua Departemen Matematika, FMIPA Universitas Indonesia) 2. Prof. Dr. A.K. Supriatna (Ketua Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Padjadjaran)
PANITIA PELAKSANA 1. 2. 3. 4.
Ketua Sekretaris Bendahara Pendanaan
5. Acara 6. Makalah dan Prosiding 7. Perlengkapan
: Bevina D. Handari, Ph.D. : Dr. Dipo Aldila : Dra. Siti Aminah, M.Kom. : Mila Novita, S.Si., M.Si. Dr. Titin Siswantining, DEA. : Nora Hariadi, S.Si., M.Si. Dra. Ida Fithriani, M.Si. : Dra. Siti Nurrohmah, M.Si. Dr. rer. nat. Hendri Murfi : Maulana Malik, S.Si., M.Si. Dr. Saskya Mary Soemartojo, M.Si. Suci Fratama Sari, S.Si., M.Si. Gianinna Ardaneswari, S.Si., M.Si.
vii
DAFTAR ISI KATA SAMBUTAN ............................................................................................... ii Dekan FMIPA Universitas Indonesia .............................................................. iii Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta.................................. iv Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 ......................................... v UCAPAN TERIMA KASIH ................................................................................. vi DAFTAR PANITIA SNM 2017 ........................................................................... vii DAFTAR ISI......................................................................................................... viii
PEMBICARA UTAMA ......................................................................................... xi PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI FENOMENA LINGKUNGAN................................................................................................. xii Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc ...................................................................... xii UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL PHENOMENA, AND IMPROVING HUMAN LIVES ............................................................ xiv Dr. Sri Purwani .............................................................................................. xiv PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA: PEMODELAN DAN STATUS PERUBAHAN IKLIM. .................................................................... xv Dr. Ardhasena Sopaheluwakan ....................................................................... xv
SESI PARALEL .................................................................................................. 431 MATEMATIKA KEUANGAN DAN AKTUARIA ......................................... 431 PERBANDINGAN VOLATILITAS KONSTAN DAN STOKASTIK PADA NILAI OPSI PUT AMERIKA ...................................................................... 432 ENDAR H. NUGRAHANI ........................................................................... 432 SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI BARRIER UP-AND-OUT CALL DENGAN SUKU BUNGA TAKKONSTAN .............................................................................................. 440 ISTI KAMILA1, E H NUGRAHANI2, DAN D C LESMANA3................... 440 APLIKASI MODEL ADAPTIVE NEURO FUZZY INFERENCE SYSTEM PADA PREDIKSI HARGA SAHAM DI INDONESIA .............................. 446 DHEA FAIRUZ VIBRANTI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN WIDYA 446
viii
PREDIKSI TREND HARGA SAHAM MENGGUNAKAN SUPPORT VECTOR REGRESSION .............................................................................. 456 DIVA ARUM PUSPITASARI, ZUHERMAN RUSTAM ........................... 456 PREDIKSI HARGA INDEKS SAHAM IHSG DENGAN METODE ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE SYSTEMS ........................... 467 FANITA, ZUHERMAN RUSTAM .............................................................. 467 NILAI RISIKO PADA INVESTASI MATA UANG US$-CNY BERDASARKAN ASYMMETRIC GJR-GARCH COPULA .................... 474 LIENDA NOVIYANTI 1, ACHMAD BACHRUDIN 2, A. ZANBAR SOLEH 3 DAN M. HUSEIN NURRAHMAT4 .......................................................... 474 APLIKASI ANN DALAM MENENTUKAN TRADING SAHAM BERBASIS ANALISIS TEKNIKAL ............................................................ 485 IRMAWARDANI SARAGIH1, ZUHERMAN RUSTAM2 ......................... 485 SUKU BUNGA KREDIT INVESTASI IDEAL BANK UMUM DENGAN ACUAN BI RATE (PENDEKATAN THRESHOLD VECTOR ERROR CORRECTION MODEL) .............................................................................. 493 GAMA PUTRA DANU SOHIBIEN ............................................................ 493 FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI STATUS POLIS DENGAN MODEL REGRESI LOGISTIK MULTINOMIAL .................. 509 JAMILATUZZAHRO1, REZZY EKO CARAKA2,3, GUSTRIZA ERDA4, FIZRY LISTIYANI MAULIDA4 ................................................................. 509 ESTIMASI PARAMETER TINGKAT MORTALITA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL LEE-CARTER .............................................. 522 LUTFIANI SAFITRI1, SRI MARDIYATI2 ................................................. 522 PENAKSIRAN SELISIH TINGKAT KLAIM BERDASARKAN PROSEDUR MORRIS-VAN SLYKE ........................................................... 528 ANISA RATNASARI1, SITI NURROHMAH2, IDA FITHRIANI3 ............ 528 PREDIKSI PREMI MURNI DENGAN GENERALIZED LINEAR MODELS (GLM) PADA ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR ....... 539 AGUS SUPRIATNA1, ENDANG SOERYANA, SARI, D.P., .................... 539 PERHITUNGAN PREMI DALAM ASURANSI JIWA KREDIT DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP PRESENT VALUE OF FUTURE BENEFIT (PVFB) ............................................................................................................. 549 RIAMAN1, F. SUKONO2, SUDARTIANTO3, EMAN LESMANA4, DAN AGUS SUPRIATNA5 ................................................................................... 549
ix
PREMI KOTOR SEMI CONTINUOUS ASURANSI DWIGUNA SINGLE LIFE MULTIPLE DECREMENT DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK ........................................................................................................ 557 ACHMAD ZANBAR SOLEH1, LIENDA NOVIYANTI2, DAN CAHYADI RUSNANDAR3 ............................................................................................ 557
ALJABAR-ANALISIS ....................................................................................... 565 PENYAJIAN KODE GENETIK STANDAR DALAM RUANG BERDIMENSI ENAM BERDASARKAN BASA KUAT NUKLEOTIDA 566 RIYAN ADRIYANSYAH1, ISAH AISAH2, EDI KURNIADI3 .................. 566 INTEGRAL MONTE CARLO ...................................................................... 577 EDDY DJAUHARI ...................................................................................... 577 KEKONVERGENAN BARISAN
di
................................................ 584
SUSILO HARTOMO, MUKTIARI, KIKI A SUGENG .............................. 584 EMPAT METODE PEMBENTUKAN FUNGSI LYAPUNOV ................. 593 RUKMONO BUDI UTOMO........................................................................ 593 PENGARUH ELEMEN PRIMITIF DARI GRUP SIKLIK ℤ * TERHADAP ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL UNTUK ENKRIPSI PESAN ......................................................................................... 602 MOHAMMAD HEADING NOR ILAHI1, ANNISA DINI HANDAYANI2 ...................................................................................................................... 602
x
PEMBICARA UTAMA SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017
xi
PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI FENOMENA LINGKUNGAN Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc Ketua RCCC Universitas Indonesia
Abstrak: Pembangunan berkelanjutan (SDG-Sustainable Development Goal) yang dicanangkan PBB untuk menggantikan Millenium Development Goal
(MDG)
sudah dimulai sejak awal 2016 dan akan berakhir 2030. Dari 17 goal dari SDG, 10 goal adalah traditional development, satu goal adalah kerjasama antar pemangku kepentingan (SDG 17) dan 6 goal adalah emerging issues dalam permasalahamn lingkungan yaitu Energi terbarukan (SDG 7), Pembangunan kota dan masyarakat (SDG 11), Konsumsi bertanggung jawab (12), Perubahan iklim (SDG 13), Laut dan kehidupan bawah air (SDG 14), dan Kehidupan Flora dan Fauna di darat (SDG 15). Ke enam permasalahan lingkungan dalam pembangunan berkelanjutan yang baru ini tidak ada dalam target pembangunan MDG, sehingga banyak sekali diperlukan riset untuk
dapat membuat berbagai kebijakan yang berdasarkan
evidence based decision, mengadaptasikan rencana sesuai dengan kesiapan dan ketersediaan,
pembuatan
berbagai
computer
and
mathematical
model
pengembangan SDG sampai 2030, mengarusutamakan SDG ke dalam rencana pembangunan RPJM/RPJP pemerintah pusat dan daerah dan bagaimana membuat MRV (Measuring, Reporting, Verification) dari setiap goal yang baru. Peranan pakar matematika sangat besar dalam berkelanjutan.
membantu pelaksanaan
pembangunan
Sebagai contoh adalah masalah perubahan iklim. Masalah
perubahan iklim adalah masalah terbesar dunia saat ini. Hasil survey Asahi Glass Foundation (2013)
tampak bahwa masalah dunia terbesar saat ini adalah
perubahan iklim (20%) dibanding dengan masalah lingkungan lainnya yang berkisar antara 10% (polusi) , keanekaragaman hayati (6%) dan yang lainya. Model-model matematika dan komputer diperlukan untuk mengetahui dampak perubahan iklim terhadap kenaikan permukaan laut, cuaca ekstrim, kesehatan, ekonomi, pertanian, flora dan fauna, ketersediaan pakan, air dan lainnya dalam bentuk time series. Untuk MRV, diperlukan pedoman Pelaksanaan Pengukuran, Pelaporan, dan Verifikasi Aksi Mitigasi dan adaptasi dari setiap program di setiap
xii
sektor pemerintah, swasta dan juga termasuk masyarakat. Capaian Aksi Mitigasi dan
adapatasi
Perubahan
Iklim
yang
akurat,
transparan,
dan
dapat
dipertanggungjawabkan hanya dapat dilakukan apabila dilakukan oleh berbagai pakar terintegrasi termasuk pakar matematika dan statistik. Pemerintah harus mengatur (i) tatacara Pengukuran Aksi Mitigasi adaptasi dan Perubahan Iklim, (ii) tatacara pelaporan aksi mitigasi dan adaptasi perubahan iklim (iii) tatacara verifikasi capaian aksi mitigasi dan adaptasi perubahan iklim (iv) tatacara penilaian. Semua pengaturan tersebut memerlukan perhitungan yang pasti dan mendalam karena dampak dari perubahan iklim dapat perekonomian,
membahayakan keberadaan ekosistem manusia,
panjang dapat mempengaruhi peradaban dunia.
xiii
menghancurkan dalam jangka
UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL PHENOMENA, AND IMPROVING HUMAN LIVES Dr. Sri Purwani Departemen Matematika, FMIPA Universitas Padjadjaran
Abstract: The universe and the environment around us were created perfectly by Alloh. However, we find a lot of damage and disaster everywhere (Ar-Rum 30:41). This case, afflicting the environment and people of Indonesia, of course was through a long process. Indonesia, the country with the largest ocean border in the world, has experienced prosperity, well-being and peace in society. Understanding what the cause and how the process of occurrence, can provide answers for future improvements. Human beings as part of the environment face the same thing. Various disease emerges, afflicts human survival. Imaging Sciences as a branch of knowledge is widely used in medical images analysis, range from disease detection, such as Alzheimer's, asthma, cancer and so on, up to image-guided surgery. This field involves many disciplines, hence providing opportunities for mathematicians to conduct research collaboration with scientists from various disciplines. Registration and Segmentation, two important processes in the analysis of medical images, aims to find correspondence between two or more images, and attempts to extract structures/tissues within images, respectively. Previously, both processes are done separately. However, information from one process can be used to assist the other, and vice versa. Therefore, we tried to combine both processes implemented on database of MR brain images. One of Petrovic et al. paper shows that adding structural information in their registration stage improved the result significantly, compared to registration using intensity alone. However, they only used little structural information. We attempted to include more structural information/segmentation in our new methods, and implemented groupwise registration to sets of images, consisting of tissue fraction images, intensity image and images with other structural information. The results of the registration were evaluated by using ground-truth annotation. It was found that ensemble registration using structural information can give a consistent improvement over registration using intensity alone of 25%-35%.
xiv
PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA: PEMODELAN DAN STATUS PERUBAHAN IKLIM. Dr. Ardhasena Sopaheluwakan Kepala Bidang Litbang Klimatologi dan Kualitas Udara Pusat Penelitian dan Pengembangan Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG)
Abstrak: Iklim memiliki peranan penting dalam mendukung perikehidupan di bumi ini. Memiliki pengetahuan mengenai evolusi iklim (lampau dan kini) akan memberikan pemahaman untuk penggunaannya pada sektor yang penting, semisal pertanian dan ketahanan pangan. Sedangkan memiliki kemampuan untuk prediksi iklim yang akan datang, akan memberikan keunggulan untuk perencanaan strategis pembangunan bangsa-bangsa agar perikehidupannya dapat berkelanjutan (sustainable development). Untuk mendapatkan deskripsi yang lengkap atas dinamika iklim di atmosfir, melibatkan pemodelan dengan rentang skala ruang yang sangat besar, melibatkan ukuran dari micrometer (butiran awan) hingga ribuan kilometer (planetary scale), yang melingkupi rentang ukuran ruang hingga 10^{14} meter. Pada saat ini pemodelan yang tersedia baru memenuhi sebagian dari skala rentang yang besar tersebut, sehingga tantangan untuk melengkapinya masih terbuka lebar. Presentasi ini akan memberikan beberapa highlight mengenai pemodelan iklim, karakter iklim di Indonesia, dan perubahan iklim yang sedang terjadi.
xv
SESI PARALEL MATEMATIKA KEUANGAN DAN AKTUARIA SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017
431
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 4 3 2 - 4 3 9
PERBANDINGAN VOLATILITAS KONSTAN DAN STOKASTIK PADA NILAI OPSI PUT AMERIKA ENDAR H. NUGRAHANI Departemen Matematika - Institut Pertanian Bogor,
[email protected]
Abstrak. Salah satu parameter finansial pada kontrak opsi yang harus
mendapatkan perhatian adalah volatilitas, yaitu nilai ukuran variasi dari harga aset yang mendasari opsi. Opsi Amerika dapat dieksekusi pada sembarang waktu sampai saat jatuh tempo. Menentukan harga opsi Amerika pada prinsipnya adalah menyelesaikan suatu proses mundur dengan nilai batas bebas tertentu. Karena opsi tipe Amerika tidak memiliki penyelesaian analitis, maka umumnya penyelesaian harus diberikan secara numerik. Makalah ini menyajikan beberapa formulasi nilai batas pada model penilaian opsi put Amerika, disertai perbandingan hasil simulasi model dengan volatilitas konstan dan stokastik. Kata kunci: opsi put Amerika, volatilitas stokastik, masalah nilai batas.
1. Pendahuluan Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah disepakati sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli sejumlah aset yang mendasari. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika dan Eropa. Opsi Amerika adalah kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapan saja antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date). Sedangkan opsi Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus mengeluarkan biaya (premi) dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat, yang disebut juga dengan nilai opsi [1,5]. Pada opsi tipe Eropa, teori penilaian opsi telah dikembangkan sejak tahun 1973 oleh Black dan Scholes dalam bentuk penyelesaian persamaan diferensial parsial Black-Scholes. Di samping itu, Merton mempublikasikan hasil karyanya yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes, yang dikenal dengan formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsi Eropa [1]. Setelah itu, beberapa peneliti lain berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian
432
argumentasi terhadap penurunan persamaan Black-Scholes. Dengan penyesuaian argumentasi ini, akan diperoleh model formula Black-Scholes untuk opsi Amerika dalam bentuk ketaksamaan [5]. Berbeda dengan opsi Eropa yang nilainya dapat ditentukan secara analitis menggunakan persamaan Black-Scholes, maka opsi Amerika hanya dapat diselesaikan secara numerik terhadap ketaksamaan BlackScholes tersebut. Aset yang mendasari opsi umumnya adalah aset yang memiliki kecenderungan berubah nilainya seiring perubahan waktu karena diperdagangkan, misalkan saham. Salah satu parameter finansial yang harus mendapatkan perhatian adalah volatilitas, yaitu nilai ukuran variasi dari harga aset tersebut. Volatilitas itu sendiri pada umumnya diasumsikan sebagai parameter konstan. Akan tetapi, dalam rangka membuat model lebih realistis, volatilitas ini dapat pula diasumsikan sebagai suatu peubah acak yang dapat berubah sejalan dengan perubahan waktu sesuai kaidah peluang tertentu, yang disebut volatilitas stokastik [2]. Tahap penting dalam penilaian opsi Amerika adalah menemukan batas eksekusi awal, yang menunjukkan keadaan kapan opsi sebaiknya dieksekusi sebelum jatuh tempo. Akan tetapi, penyelesaian eksplisit masalah nilai awal ini tidak diketahui karena tidak terdapat bentuk eksplisit dari syarat batasnya. Dalam makalah ini disajikan penentuan nilai opsi put Amerika, dengan parameter volatilitas diasumsikan konstan serta dibandingkan dengan volatilitas stokastik.
2. Pemodelan Saham dan Derivatif Sebagai aset yang mendasari opsi, harga saham diasumsikan mengikuti proses Itô [1] berikut (1) dengan dS menyatakan perubahan harga saham pada interval waktu dt, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ volatilitas harga saham. Pada model ini parameter volatilitas σ diasumsikan bernilai konstan. Dengan model tersebut, dapat ditunjukkan bahwa harga saham pada saat t memiliki distribusi log-normal, yaitu
melambangkan distribusi normal dengan nilai tengah dan ragam , S0 adalah harga saham awal. Apabila tingkat pertumbuhan harga saham μ dianggap sama dengan tingkat suku bunga bebas risiko r, maka penyelesaian persamaan (1) memberikan penduga harga saham pada saat t sebagai (2) Misalkan adalah suatu fungsi dari harga saham S. Lemma Itô menunjukkan bahwa juga merupakan suatu proses stokastik yang sama dengan aset yang mendasarinya, sehingga memenuhi proses Itô menurut model berikut: (3)
433
Untuk menghilangkan pengaruh stokastik pada proses Wiener dW, dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih saham. Misalnya π adalah nilai portfolio
adalah membeli satu opsi dan menjual yang dimaksud, maka
.
(4)
Perubahan nilai portofolio pada interval waktu dt didefinisikan sebagai .
(5)
Substitusi (1) dan (3) ke (5) menghasilkan .
(6)
Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π pada saham takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam interval waktu dt, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (6), yaitu: .
(7)
Substitusi (4) ke (7) menghasilkan (8) yang dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton[1]. Persamaan (8) harus dipenuhi oleh semua produk derivatif f agar layak diperdagangkan, yang berarti tidak menimbulkan kesempatan arbitras. Misalkan produk derivatif yang dimaksud adalah opsi tipe Eropa, dapat berupa opsi put ataupun call. Misalkan pula opsi tersebut memiliki masa jatuh tempo T, dengan nilai saham sekarang S0, volatilitas saham σ dan tingkat suku bunga r. Formula Black-Scholes untuk nilai opsi sebagai penyelesaian risiko netral dari (8) untuk nilai opsi put p dan opsi call c adalah [1]: (9) dengan
dan
Formula (9) untuk penilaian opsi disebut sebagai formula Black-Scholes [1].
434
3. Model Opsi Amerika Untuk opsi tipe Amerika, persamaan (7) tidak dipenuhi karena pendapatan portofolio tidaklah lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga
Dengan demikian, hal itu menjadi alasan bagi pemegang opsi Amerika untuk mengontrol kapan opsi yang dimiliki akan dieksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan: .
(10)
Pertidaksamaan (10) adalah dikenal sebagai pertaksamaan Black-Scholes untuk opsi Amerika [1]. Pada kasus ini volatilitas diasumsikan konstan sebesar . Opsi Put Amerika dengan Volatilitas Konstan Jika opsi Amerika yang dimaksud adalah opsi put, maka kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah .
(11)
Alasan yang mendasarinya adalah sebagai berikut: jika seseorang dapat membeli opsi put f, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian investor memperoleh pendapatan tak berisiko sebesar . Misalkan menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan . Jika maka opsi akan dieksekusi, namun jika opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian (11) dapat dinyatakan dengan: (12a) atau .
(12b)
Karena tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap ini disebut masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem). Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika dapat diformulasikan sebagai berikut [4]. Untuk berlaku dan Sedangkan untuk
.
(13)
berlaku dan
435
.
(14)
Selanjutnya dipenuhi syarat batas
dan syarat akhir Nilai opsi didapatkan dengan menyelesaikan (13) dan (14) apabila nilai batas diberikan. Karena tidak tersedianya bentuk eksplisit dari nilai batas tersebut, maka umumnya nilai ditentukan secara numerik. Opsi Put Amerika dengan Volatilitas Stokastik Salah satu kelemahan utama model Black-Scholes adalah bahwa volatilitas dari aset yang mendasari opsi diasumsikan konstan sepanjang waktu. Salah satu cara untuk mengatasi kekurangan tersebut adalah dengan memodifikasi model sehingga memiliki volatilitas stokastik [2]. Pada model tersebut, dimisalkan harga saham sebagai aset yang mendasari opsi mengikuti model gerak Brown dengan ragam bervariasi, yang disebut sebagai proses Cox-Ingersoll-Ross, yang berbentuk suatu sistem persamaan diferensial stokastik ,
(15) ,
,
(16) (17)
dengan adalah varians pada saat t, adalah rata-rata varians jangka panjang, adalah tingkat perubahan rataan, adalah drift dari saham, adalah volatilitas dari varians, adalah korelasi antara imbal hasil saham dan perubahan varians. Parameter korelasi dimasukkan dalam model karena diyakini adanya fakta korelasi negatif antara imbal hasil saham dan perubahan varians. Model dengan volatilitas stokastik dirumuskan dengan mengasumsikan bahwa batas kritis harga saham untuk eksekusi opsi Amerika bergantung pada volatilitas stokastik , dinotasikan dengan . Nilai opsi juga memenuhi persamaan berikut:
Selanjutnya menggunakan argumentasi non-arbitras pada sistem persamaan diferensial stokastik (15) – (17), dapat disusun model sistem persamaan diferensial parsial untuk nilai opsi beserta syarat batasnya sebagai berikut:
(20)
436
Sedangkan persamaan diferensial untuk nilai batas
adalah
Selanjutnya, menggunakan (18) – (22) didapatkan nilai batas penyelesaian dari persamaan berikut:
sebagai
Persamaan (23) dapat diselesaikan apabila nilai awal bagi diketahui. Akan tetapi nilai awal tersebut relatif sulit untuk diperoleh, sehingga prosedur numerik diperlukan untuk menyelesaikan nilai batas tersebut. 4. Simulasi
Nilai Opsi put, p
Sebagai ilustrasi, berikut disajikan beberapa hasil simulasi dari berbagai sumber. Pertama, penyelesaian masalah nilai batas secara numerik untuk penentuan nilai opsi put Amerika dengan volatilitas konstan pada berbagai nilai saham awal diberikan pada Gambar 1, serta nilai opsi put terhadap berbagai nilai volatilitas konstan diberikan pada Gambar 2 [3]. Sedangkan ilustrasi penyelesaian numerik untuk model volatilitas stokastik [2] diberikan pada Gambar 3.
Harga awal saham, S0
Gambar 1. Hasil simulasi numerik nilai opsi put Amerika terhadap harga saham awal dengan volatilitas konstan.
437
Nilai Opsi put, p
Volatilitas, σ
Nilai Batas Opsi, b
Gambar 2. Hasil simulasi numerik nilai opsi put Amerika terhadap berbagai nilai volatilitas konstan.
Waktu t
Gambar 3. Hasil simulasi numerik nilai batas opsi put Amerika dengan volatilitas stokastik. Hasil simulasi terhadap nilai opsi pada kasus volatilitas konstan pada Gambar 1 menunjukkan bahwa nilai opsi put memiliki kecenderungan nilai yang menurun apabila harga saham awal sebagai aset yang mendasari opsi mengalami penurunan. Sedangkan hasil simulasi terhadap nilai batas opsi put Amerika pada Gambar 2 menunjukkan bahwa dengan semakin lama waktu untuk melakukan aksekusi awal, maka nilai batas b akan semakin menurun.
438
5. Kesimpulan Opsi put Amerika yang memiliki keleluasaan waktu eksekusi dapat ditentukan nilainya dengan menyelesaikan masalah nilai batas bebas secara numerik, baik pada kasus asumsi volatilitas konstan maupun volatilitas stokastik. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa volatilitas konstan yang semakin tinggi akan memberikan nilai opsi put yang semakin tinggi pula. Sedangkan simulasi volatilitas stokastik menunjukkan bahwa jika waktu eksekusi awal opsi put Amerika semakin lama, maka semakin rendah nilai batas kritis saham untuk eksekusi awal opsi put Amerika yang optimal.
Referensi [1] Hull, J.C., 2012, Options, Futures, and Other Derivatives 8th Ed., Prentice Hall International Inc. [2] Mitchell, D. and Goodman, J., 2009, An Accurate Representation of the Early Exercise Boundary of American Options with Stochastic Volatility, Working Paper #2009-3, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University. [3] Nugrahani, E.H., Syazali, M. dan Suritno, 2011, Penilaian Opsi Put Amerika dengan Metode Monte Carlo dan Metode Beda Hingga, Prosiding Seminar Nasional Sains IV, Fakultas MIPA IPB, Bogor. [4] Pauly, O., 2004, Numerical Simulation of American Option [theses], Universität Ulm, Germany. [5] Wilmott, P., Howison, S. and Dewynne, J., 1996, The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press, USA.
439
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 4 4 0 - 4 4 5
SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI BARRIER UP-AND-OUT CALL DENGAN SUKU BUNGA TAKKONSTAN ISTI KAMILA1, E H NUGRAHANI2, DAN D C LESMANA3 1 Mahasiswa S2 Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB,
[email protected] 2 Departemen Matematika FMIPA IPB,
[email protected] 3 Departemen Matematika FMIPA IPB,
[email protected]
Abstrak. Penentuan harga opsi barrier selama ini pada umumnya menggunakan model matematika yang mengasumsikan suku bunga takkonstan. Hal ini tidak sesuai dengan kondisi sebenarnya dalam dunia keuangan karena suku bunga berfluktuasi terhadap waktu. Dalam tulisan ini, ditentukan harga opsi barrier jenis up-and-out call dengan suku bunga takkonstan dengan menggunakan exit probabity dan peubah acak berdistribusi seragam untuk mengestimasi waktu pertama kali harga underlying asset mencapai level harga barrier. Hasil simulasi Monte Carlo memberikan hasil yang baik karena memberikan error yang kecil yaitu sebesar 0.19%. Membesarnya harga strike menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil. Membesarnya harga barrier menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin besar. Di sisi lain, membesarnya waktu jatuh tempo opsi menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil. Kata kunci: Monte Carlo, opsi barrier up-and-out call, suku bunga takkonstan, exit probability
1. Pendahuluan Banyak investor menggunakan uangnya untuk berinvestasi pada berbagai produk investasi. Salah satu produk investasi yang sedang populer di pasar keuangan adalah opsi. Untuk memberikan perlindungan yang lebih kepada penjual dan pembeli, terbentuklah opsi barrier yang memberikan batas harga penentuan aktif atau tidaknya opsi. Hal ini mengakibatkan opsi barrier menjadi semakin banyak diminati. Penentuan harga opsi barrier biasanya menggunakan model matematika yang mengasumsikan suku bunga konstan. Akan tetapi ini tidak sesuai dengan kondisi sebenarnya dalam dunia keuangan karena suku bunga berfluktuasi terhadap waktu. Akibatnya, dibutuhkan suatu alat untuk menentukan harga opsi barrier. Penentuan harga opsi barrier bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu menyelesaikan persamaan diferensial parsial (PDP) Black-Scholes dan menghitung nilai harapan dari payoff terdiskon (Moon 2008). Pada tulisan ini, penghitungan harga opsi barrier dilakukan dengan cara menghitung nilai harapan dari payoff
440
terdiskon. Untuk mengaproksimasi nilai harapan payoff terdiskon, metode yang dapat digunakan adalah metode binomial Lattice dan metode Monte Carlo. Pada tulisan ini, digunakan metode Monte Carlo untuk menghitung harga opsi barrier. Penghitungan harga opsi barrier telah diteliti oleh Moon (2008) dan Noury dan Abbasi (2015) dengan menggunakan metode modifikasi Monte Carlo. Pada modifikasi Monte Carlo tersebut, diberi exit probability dan peubah acak seragam untuk mengaproksimasi waktu pertama kali harga underlying asset menyentuh barrier. Solusi numerik yang dihasilkan dari penelitian mereka mendekati nilai eksak dan memperkecil error waktu pertama kali harga aset S menyentuh barrier. Kelemahan penelitian ini adalah menggunakan asumsi suku bunga konstan. Suku bunga yang berfluktuasi yang terjadi di kehidupan nyata menyebabkan asumsi tersebut tidak sesuai dengan praktik nyata, sehingga tulisan ini mengubah asumsi tersebut menjadi suku bunga takkonstan. Adapun langkah dalam menentukan harga opsi barrier jenis up-and-out call, langkah pertama yang dilakukan adalah mengestimasi parameter model suku bunga Cox-Ingersoll-Ross (CIR) menggunakan metode ordinary least square. Hasil estimasi parameter model suku bunga CIR akan digunakan untuk menghitung suku bunga pada setiap titik waktu. Suku bunga yang diperoleh akan digunakan untuk menghitung harga opsi barrier up-and-out call dengan menggunakan metode Monte Carlo yang ditambahkan dengan penggunaan exit probabity dan peubah acak berdistribusi seragam, yang tujuannya untuk mengestimasi waktu pertama kali harga underlying asset mencapai level harga barrier.
2. Tinjauan Pustaka 2.1 Model Cox-Ingersoll-Ross(CIR) Model tingkat suku bunga CIR merupakan model equilibrium yang diperkenalkan pada tahun 1985. Model CIR menjamin tingkat suku bunga bernilai positif dan memiliki sifat mean reversion atau mempunyai kecenderungan kembali menuju rata-rata. Persamaan model Cox-Ingersoll-Ross [1] adalah dr (t ) r t dt r r t dz dengan , 0 , r adalah volatilitas suku bunga, adalah rata-rata nilai suku bunga jangka panjang, menunjukkan kecepatan dari nilai suku bunga menuju rata-rata nilai suku bunga jangka panjang, dan dz adalah proses wiener. Drift r t menjamin tingkat suku bunga pada waktu t kembali menuju rata-rata suku bunga jangka panjang. Faktor r r t menghindari kemungkinan suku bunga yang dihasilkan negatif. Ketika tingkat suku bunga r t mendekati 0, standar deviasi r r t menjadi sangat kecil, yang dapat memperkecil pengaruh keacakan tingkat suku bunga. Akibatnya, ketika tingkat suku bunga mendekati 0, perubahan tingkat suku bunga lebih didominasi oleh faktor drift, yang mendorong tingkat suku bunga menuju ke arah kesetimbangan.
441
2.2 Metode Ordinary Least Square Objek penelitian yang sering diteliti adalah spesifikasi dari sebuah hubungan fungsional antara dua variabel, seperti y = f(x). Variabel y dinamakan variabel terikat dan x adalah variabel bebas. Hubungan tersebut tidak dapat memberikan informasi yang sempurna akibat adanya faktor-faktor dari luar yang tidak yang tidak diteliti lebih lanjut. Hal ini menyebabkan akan adanya error dalam hubungan tersebut. oleh karena itu, penulisan yang tepat untuk menggambarkan hubungan fungsional pada penelitan adalah y = f(x) + ε, dengan ε adalah variabel acak yang dinamakan error. Persamaan tersebut dinamakan persamaan regresi dari y terhadap x. Error muncul dari error pengukuran y atau ketidaksempurnaan dalam spesifikasi dari fungsi f(x) yang dikarenakan banyaknya variabel lain selain x yang memengaruhi y, tetapi kita abaikan variabel-variabel tersebut [2]. Karena ε adalah variabel acak, maka y juga variabel acak. Kita asumsikan variabel bebas x adalah variabel tak acak dan juga diasumsikan f(x) adalah fungsi linear, yaitu f ( x) x [2]. Misalkan kita memiliki n pengamatan pada y dan x, maka kita memiliki yi xi i dengan i 1, 2, 3, ... , n . Kita akan mengestimasi parameter α dan β dengan menggunakan metode ordinary least square. Metode ordinary least square adalah metode untuk mencari estimasi parameter yang meminimalkan kuadrat jumlah error (Q), yang didefinisikan sebagai berikut . ˆ ˆ x ˆ ˆ Q y y dengan y n
n
2
2
i 1
i
i
i 1
i
i
i
Gagasan intuitif di balik metode ini adalah garis regresi dilalui titik-titik sedemikian sehingga titik-titik tersebut sedekat mungkin dari sebaran titik yang sebenarnya [4]. 2.3 Metode Monte Carlo untuk Harga Opsi Pada penggunaan metode Monte Carlo, harga opsi barrier (V(s,t)) adalah nilai harapan dari payoff harga opsi barrier. Nilai harapan dari payoff diaproksimasikan sebagai rata-rata payoff sampel dari M simulasi. 1 V s, t E[ ( S , ) | S s ] V s , t ( S , ; w ) M M
t
dengan
adalah sebuah aproksimasi dari waktu
j 1
j
menyentuh barrier [3].
3. Hasil Simulasi Misalkan suatu opsi barrier up-and-out call memunyai waktu jatuh tempo T = 1 tahun dengan harga saham saat ini S0 = 100, harga strike sebesar K = 105, suku bunga bebas risiko takkonstan dengan nilai awal r0 = 0.065, volatilitas
o 0.25 . Selanjutnya akan disimulasikan harga opsinya dengan banyaknya simulasi yang semakin meningkat dengan menggunakan alat komputasi SCILAB.
442
Tabel 1 Hasil simulasi harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan M Harga Opsi Barrier Up-and-Out call Error Relatif 5 0.7748793 0.635511636 25 1.0660755 0.498538527 125 1.5259186 0.28223715 625 2.0704829 0.026084545 3125 2.0780165 0.022540884 15625 2.1217106 0.001988018 78125 2.1217584 0.001965533 Tabel 1 menunjukkan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo disertai nilai error relatif. Oleh karena opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan tidak memiliki solusi analitik, maka nilai error relatif dihitung dari persentase selisih harga opsi pada tiap simulasi terhadap solusi “analitik”. Solusi “analitik” dipilih dengan mempertimbangkan simulasi yang dapat diproses pada komputer sesuai kapasitas memory maksimum yang tersedia, yakni dengan simulasi sebesar M 390625 . Pada simulasi optimal tersebut, harga opsi barrier up-and-out call yang dihasilkan adalah sebesar 2.125937. Berdasarkan hasil simulasi pada tabel tersebut, semakin banyak simulasi yang dilakukan, nilai error dari harga opsi barrier up-and-out call semakin kecil dan hasil yang dihasilkan cukup baik karena error yang dihasilkan pada simulasi M 78125 kecil yaitu sebesar 0.001965533.
Harga Opsi Barrier Up-and-Out call terhadap Harga Strike
Harga Opsi
Berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, perubahan harga opsi barrier upand-out call dengan suku bunga takkonstan seiring dengan perubahan harga strike (K) dapat dilihat pada Gambar 1. 7.3 7.25 7.2 7.15 7.1 7.05 7 6.95 6.9 6.85 6.8 90
90.1
90.2
90.3
90.4
90.5
90.6
Harga Strike
Gambar 1 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and out call terhadap nilai K Gambar 1 menunjukkan bahwa semakin besar nilai K mengakibatkan mengecilnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan. Ini
443
berarti, untuk memperkecil harga opsi barrier up-and-out call, investor bisa memperbesar harga strike-nya. 3.1 Harga Opsi Barrier Up-and-Out Call terhadap Harga Barrier Perubahan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan seiring dengan perubahan harga barrier(B) berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, dapat dilihat pada Gambar 2. 6
Harga Opsi
5 4 3 2 1 0 90
-1
100
110
120
130
140
150
Harga Barrier
Gambar 2 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and-out call terhadap nilai B Gambar 2 menunjukkan bahwa semakin besar nilai B mengakibatkan membesarnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan. Hal ini berarti membesarnya nilai B memiliki pengaruh yang positif terhadap harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan. 3.2 Harga Opsi Barrier Up-and-Out Call terhadap Waktu Jatuh Tempo Sedangkan, perubahan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan seiring dengan perubahan waktu jatuh tempo(T) dapat dilihat pada Gambar 3. 2.5
Harga Opsi
2 1.5 1 0.5 0 1
2
3
4
5
Waktu Jatuh Tempo Gambar 3 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and-out call terhadap lama waktu jatuh tempo 444
4. Kesimpulan Gambar 3 menunjukkan bahwa semakin lama waktu jatuh tempo mengakibatkan mengecilnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan. Ini berarti, strategi memperkecil harga barrier up-and-out call, dapat dilakukan dengan memperlama masa hidup opsi tersebut. Penggunaan metode Monte Carlo dengan exit probability dalam simulasi numerik untuk menentukan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan memberikan hasil yang cukup baik karena memberikan error yang kecil. Hasil simulasi Monte Carlo menunjukkan bahwa membesarnya harga strike menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil. Membesarnya harga barrier menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin besar. Di lain sisi, semakin lamanya waktu jatuh tempo opsi menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil. Pernyataan Terima Kasih Terima kasih saya ucapkan kepada Departemen Matematika IPB sebagai sponsor penulisan makalah ini serta kepada Ibu Dr. Ir. Endar H Nugrahani, MS dan Bapak Dr. Donny C Lesmana, S.Si, M.Fin.Math atas bimbingan penulisan makalah ini. Referensi [1] Cox JC, Ingersoll JE, Ross SA. 1985. A theory of The Term Structure of Interest Rates. Econometrica. 53(2):385-408. [2] Maddala GS. 1979. Econometrics. Japan: McGraw-Hill, Inc. [3] Moon K. 2008. Efficient Monte Carlo Algorithm for Pricing Barrier Options. Journal of Communications of The Korean Mathematical Society. 23:285-294. [4] Pindyck RS, Rubinfeld DL. 1983. Econometrics Models and Economic Forecasts. Japan: McGraw-Hill, Inc.
445
.Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 446-455
APLIKASI MODEL ADAPTIVE NEURO FUZZY INFERENCE SYSTEM PADA PREDIKSI HARGA SAHAM DI INDONESIA DHEA FAIRUZ VIBRANTI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN WIDYA Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia,
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Abstrak. Prediksi harga saham memegang peranan penting dalam dunia finansial sebab mampu memberikan gambaran kecenderungan harga saham di masa depan. Hasil prediksi yang akurat dapat membantu investor saham untuk memperoleh keuntungan serta memperkecil kerugian yang mungkin dialami olehnya. Dalam makalah ini, dibahas suatu aplikasi dari model Adaptive Neuro Fuzzy Inference System (ANFIS) pada prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Guna (AMAG). Beberapa indikator teknikal seperti Moving Average (MA), Bollinger Bands (BBands), dan Relative Strength Index (RSI) digunakan untuk membangun model ANFIS tersebut. Akurasi dari hasil prediksi diukur dengan menggunakan statistik-U Theil dan Root Mean Squared Error (RMSE). Hasil yang didapat menunjukkan bahwa model ANFIS dapat memberikan prediksi dengan akurasi yang cukup baik dan dapat dijadikan acuan bagi investor dalam mengetahui prediksi harga saham di masa depa n. Kata kunci : ANFIS; prediksi saham; indikator teknikal
1. Pendahuluan
Saham merupakan salah satu instrumen investasi yang populer di kalangan masyarakat. Hal ini disebabkan karena berinvestasi melalui transaksi jual-beli saham seringkali mendatangkan return yang lebih baik dibandingkan dengan berinvestasi pada beberapa instrumen pasar modal lainnya. Namun, keuntungan dan kerugian yang mungkin diperoleh bergantung pada ketepatan investor dalam memprediksi harga saham di kemudian hari. Prediksi harga saham memegang peranan penting dalam dunia finansial sebab mampu memberikan gambaran kecenderungan harga saham di masa depan. Hasil prediksi yang akurat dapat membantu investor untuk memperoleh informasi harga saham masa depan secara tepat sehingga dapat meraih keuntungan yang diharapkan. Pergerakan harga saham yang dinamis, atau dengan kata lain selalu berubah seiring berjalannya waktu, merupakan faktor yang mempersulit proses prediksi harga saham dengan akurasi yang baik. Masalah ini memicu peneliti untuk
446
menentukan metode yang dapat menuntun investor untuk memprediksi harga saham secara akurat. Pada makalah ini, akan dilakukan dua tahap dalam proses prediksi harga saham, yaitu melakukan analisis teknikal kemudian menggunakan metode ANFIS. Investor seringkali menggunakan analisis tertentu sebelum berinvestasi dalam bentuk saham. Terdapat dua jenis analisis yang sering digunakan oleh investor untuk melakukan suatu prediksi, antara lain analisis teknikal dan analisis fundamental. Investor menggunakan analisis teknikal dalam mengevaluasi saham, yaitu dengan mempelajari statistik pasar dengan melihat pola yang dihasilkan oleh market activity, historical price, dan volume untuk memprediksi harga di masa depan [4]. Indikator analisis teknikal adalah perhitungan matematis yang dapat diterapkan pada harga atau volume saham, dengan hasil berupa nilai yang digunakan untuk mengantisipasi perubahan harga di masa depan [1]. Dalam memprediksi harga saham, makalah ini menggunakan beberapa indikator teknikal yang populer di kalangan investor. Indikator-indikator teknikal tersebut antara lain Moving Average (MA), Bollinger Bands (BBands), dan Relative Strength Index (RSI). Nilai-nilai dari setiap indikator teknikal diperoleh dari data trading harga saham harian dengan menggunakan perhitungan dari masing-masing indikator teknikal tersebut. Berdasarkan Jang [2], Adaptive Neuro Fuzzy Inference System (ANFIS) merupakan metode yang mengintegrasikan Adaptive Neural Network (ANN) dan Fuzzy Inference System (FIS) yang menggunakan himpunan aturan fuzzy if-then dengan fungsi keanggotaan untuk membangun pasangan input-output dengan derajat akurasi yang cukup tinggi. Fuzzy Inference System (FIS) terdiri atas lima layer (lapisan). Dalam arsitektur ANFIS yang ditampilkan pada Gambar 1.1, diasumsikan bahwa FIS memiliki input berupa dan , serta output berupa suatu fungsi . FIS terdiri atas dua aturan fuzzy if-then berdasarkan model orde-1 Takagi dan Sugeno [5] sebagai berikut: Aturan 1 : Aturan 2 : dengan linguistik,
adalah nilai-nilai keanggotaan berupa variabel adalah parameter konsekuen.
447
Gambar 1. 1 – Arsitektur ANFIS
Node pada posisi ke- dari lapisan ke- dinotasikan sebagai penjelasan mengenai masing-masing lapisan pada FIS:
. Berikut
Lapisan 1 : Lapisan ini merupakan lapisan input. merupakan fungsi keanggotaan dari . Pada model Jang [3], node fuzzification menggunakan fungsi keanggotaan Generalized Bell yang diberikan dalam perhitungan berikut: ( 1)
( 2)
dengan sebagai keanggotaan, serta
input dan sebagai output yang merupakan derajat merupakan parameter.
Lapisan 2 : Lapisan ini merupakan lapisan aturan. Setiap node aturan menerima input dari masing-masing node fuzzification dan melakukan perhitungan firing strength dari aturan tersebut, yaitu: ( 3)
448
Lapisan 3 : Setiap node pada lapisan ini diberi label . Setiap node menerima input dari masing-masing node firing strength yang telah dihitung sebelumnya. Output dari lapisan ini disebut normalized firing strengths dengan perhitungan sebagai berikut: ( 4)
Lapisan 4 : Lapisan ini merupakan lapisan defuzzification. Node defuzzification menghitung nilai konsekuen terboboti dari aturan yang telah diberikan sebelumnya. Perhitungannya sebagai berikut: ( 5)
dengan
merupakan parameter konsekuen. Lapisan 5 :
Lapisan ini menghitung keseluruhan output dari node-node defuzzification dan menghasilkan output ANFIS. Perhitungannya sebagai berikut:
( 6)
Tujuan utama dari penulisan makalah ini ialah untuk menerapkan metode Adaptive Neuro Fuzzy Inference System berdasarkan analisis teknikal untuk memperoleh prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Guna (AMAG). Bagian lain dari paper ini terdiri atas Bagian 2 yang membahas hasil penelitian dan Bagian 3 yang membahas kesimpulan dari penelitian yang telah dilakukan.
2. Hasil – Hasil Utama
2.1
Pengolahan Data
Data yang digunakan dalam makalah ini adalah data historis dari harga saham harian PT. Asuransi Multi Artha Guna (AMAG) tahun 2014-2016. Data historis terdiri atas opening price, high price, low price, closing price, dan stock trading volume dari saham tersebut. Data harga saham dalam satu tahun dianggap sebagai satu unit dataset, dengan data bulan Januari-November pada setiap tahunnya merupakan training data dan data bulan Desember pada setiap tahunnya merupakan testing data. Selanjutnya akan ditentukan nilai dari masing-masing indikator teknikal. Setiap nilai dari indikator teknikal dapat ditentukan dengan menggunakan data
449
historis melalui perhitungan yang akan dibahas sebagai berikut.
Moving Average (MA) MA merupakan suatu indikator yang menunjukkan nilai rata-rata dari harga saham pada suatu periode waktu [1]. Jenis MA yang digunakan pada makalah ini adalah simple moving average (SMA) dengan periode waktu 5 hari. Perhitungan untuk simple moving average adalah sebagai berikut: ( 7)
dengan : Simple moving average dengan periode waktu 5 hari : Closing price selama 5 hari
Bollinger Bands (BBands) BBands merupakan suatu indikator teknikal yang berguna untuk membandingkan volatilitas dan tingkat harga yang bergantung pada suatu periode waktu. BBands ditampilkan dalam tiga bands (pita). Berikut penjelasan mengenai perhitungan dari masing-masing pita tersebut [1]. Middle band merupakan simple moving average dengan periode waktu hari. Perhitungan untuk middle band adalah sebagai berikut: ( 8)
dengan : Closing price pada hari ke-j : Periode waktu (umumnya 20 hari) Upper band sama halnya dengan middle band, bedanya upper band digeser ke atas sejauh jumlah standar deviasi. Perhitungan untuk upper band adalah sebagai berikut:
( 9)
dengan : jumlah standar deviasi (umumnya 2 standar deviasi) Lower band sama saja halnya dengan middle band, bedanya lower band digeser ke bawah sejauh jumlah standar deviasi. Perhitungan untuk lower band adalah sebagai berikut:
( 10)
450
dengan : Jumlah standar deviasi (umumnya 2 standar deviasi)
Relative Strength Index (RSI) RSI adalah suatu indikator yang mengukur kecepatan dan perubahan dari pergerakan harga. Pada umumnya, RSI diterapkan dengan periode waktu 14 hari. RSI berosilasi pada range nilai antara 0 sampai 100. Perhitungan untuk RSI adalah sebagai berikut [1]:
( 11)
dengan : Total kenaikan harga setiap 14 hari : Total penurunan harga setiap 14 hari Kemudian nilai-nilai tersebut dijadikan sebagai input pada ANFIS. Daftar variabel input pada ANFIS ditampilkan pada tabel 2.1.
Variabel
Deskripsi
Input 1
SMA5
Input 2
BBands
Input 3
RSI-14
Input 4
Close price
Tabel 2. 1 – Daftar Input pada ANFIS
2.2
Membangun Model Prediksi ANFIS
Berdasarkan teori ANFIS yang telah dijelaskan pada bagian pendahuluan, akan dibangun suatu model prediksi ANFIS untuk memprediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG). Pertama-tama, ditetapkan jenis fungsi keanggotaan sebagai fungsi keanggotaan linear untuk variabel output. Pada fuzzification, akan digunakan fungsi keanggotaan berjenis Gaussian function. Kemudian bangun aturan fuzzy if-then sesuai dengan yang telah dijelaskan sebelumnya dan menggunakan input-ouput sesuai dengan daftar pada Tabel 2.1. Optimisasi parameter FIS berdasarkan data training dilakukan dengan menerapkan metode least-square dan metode backpropagation untuk training model prediksi. Makalah ini menggunakan epoch sebesar 1000 sebagai kriteria henti. Ini berarti proses dilakukan berkali-kali sebanyak bilangan yang telah ditentukan, dalam hal ini iterasi sebanyak 1000 kali. Hasil yang diperoleh dari
451
proses optimisasi parameter FIS ini adalah parameter untuk fungsi keanggotaan output. Ketika parameter FIS telah dihasilkan, aturan fuzzy if-then yang sudah disesuaikan dengan model yang diinginkan akan digunakan untuk memprediksi data testing. Aturan-aturan tersebut ditampilkan pada Gambar 2.1.
Gambar 2. 1 – Aturan fuzzy if-then untuk prediksi Berdasarkan eksperimen yang telah dilakukan menggunakan data harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) tahun 2014-2016, diperoleh hasil prediksi harga saham untuk periode 1 bulan, yaitu bulan Desember di setiap tahunnya. Hasil-hasil prediksi tersebut ditampilkan pada Gambar 2.2-2.4.
Gambar 2. 2 – Grafik Prediksi Harga Saham PT. AMAG untuk Desember 2014 452
Gambar 2. 3 – Grafik Prediksi Harga Saham PT. AMAG untuk Desember 2015
Gambar 2. 4 – Grafik Prediksi Harga Saham PT. AMAG untuk Desember 2016
2.3
Evaluasi Model
Pada tahap ini akan dilakukan evaluasi model untuk mengetahui tingkat akurasi model yang telah digunakan. Beberapa metode evaluasi akurasi yang digunakan antara lain statistik-U Theil, MAPE, dan RMSE. Perhitungan masingmasing metode adalah sebagai berikut.
453
( 12)
( 13)
( 14)
dengan : Harga saham pada hari ke: Prediksi harga saham pada hari ke: Jumlah data harga saham Hasil evaluasi model dengan menggunakan statistik-U Theil, MAPE, dan RMSE ditampilkan pada Tabel 2.2. Untuk nilai statistik-U Theil, nilai yang semakin mendekati nol menunjukkan kinerja model yang baik. Sementara untuk nilai MAPE, nilai dibawah 10% menunjukkan performa model yang baik. Nilai RMSE menyatakan ukuran kesalahan yang dihasilkan oleh model prediksi, sehingga nilai RMSE yang rendah menunjukkan bahwa kesalahan yang dihasilkan oleh suatu model cenderung kecil. 2014
2015
2016
Statistik U-Theil
0.010157
0.013786
0.007003
MAPE
1.787701
2.003923
1.136521
RMSE
0.73644
2.1233
2.06843
Tabel 2.2 – Tabel Hasil Evaluasi Model
Sehingga dari Tabel 2.2 diperoleh bahwa model ANFIS dapat memberikan prediksi dengan akurasi yang cukup baik. Hal ini ditunjukkan dengan hasil evaluasi performa model yang baik dan memenuhi kriteria yang didefinisikan oleh masingmasing metode evaluasi. Hasil prediksi paling baik adalah model prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) untuk bulan Desember tahun 2016. Jika dibandingkan dengan dua model prediksi lainnya, model tersebut memiliki nilai statistik-U Theil terkecil sebesar 0.007003, nilai MAPE terkecil sebesar 1.136521, dan nilai RMSE sebesar 2.06843. 3. Kesimpulan Berdasarkan penelitian pada makalah ini didapatkan bahwa model ANFIS dapat memberikan prediksi dengan akurasi yang cukup baik dan dapat dijadikan acuan bagi investor untuk mengetahui prediksi harga saham di masa depan. Mengacu pada hasil evaluasi model untuk prediksi harga saham dari tahun 2014-
454
2016, hasil prediksi paling baik ialah prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) untuk bulan Desember tahun 2016, dengan nilai statistik-U Theil sebesar 0.007003 dan nilai MAPE sebesar 1.136521.
Referensi [1] Archelis, Steven B., 2000, Technical Analysis from A to Z. [2] Jang, J.S., 1993, ANFIS: Adaptive-Network-Based Fuzzy Inference System, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics 23 (1993), 665-685. [3] Su, C.H. dan Cheng, C.H., 2016, A Hybrid Fuzzy Time Series Model Based on ANFIS and Integrated Nonlinear Feature Selection Method for Forecasting Stock, Journal of Neurocomputing 205 (2016), 264 – 273. [4] Yunos, Z.M., Shamsuddin, S.M., dan Sallehuddin, R., 2008, Data Modeling for Kuala Lumpur Composite Index with ANFIS, Second Asia International Conference on Modelling & Simulation (2008), 609 – 614. [5] Takagi, T. dan Sugeno, M., 1993, Derivation of fuzzy control rules from human operator’s control actions, Proc. IFAC symp. fuzzy inform. knowledge representation and decision analysis (1993), 55-60
455
Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 456-466
PREDIKSI TREND HARGA SAHAM MENGGUNAKAN SUPPORT VECTOR REGRESSION DIVA ARUM PUSPITASARI, ZUHERMAN RUSTAM Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia
[email protected],
[email protected]
Abstrak. Pergerakan saham dari waktu ke waktu sangatlah cepat berubah sehingga sulit untuk mengambil keputusan kapan harus melakukan pembelian, tahan, maupun penjualan. Tujuan dari penelitian ini adalah akan dilakukan prediksi pengambilan keputusan saat sedang berinvestasi saham. Dengan menggunakan metode Support Vector Regression (SVR) dan sistem penentuan keputusan berdasarkan prediksi trend akan diperoleh keputusan trading yang lebih efektif. Metode ini diaplikasikan pada suatu perusahaan yang sahamnya sudah terdaftar di Bursa Efek Indonesia (BEI). Simple Moving Average (SMA), Moving Average Convergence Divergence (MACD), Relative Strength Index (RSI), Williams %R, dan Stochastic Oscillator (SO) adalah teknikal indikator yang digunakan sebagai data input. Pada makalah ini akan dibentuk model keputusan untuk trading saham dan pengujian keakuratan model yang terbentuk. Dari kasus saham perusahaan yang penulis gunakan, dengan menggunakan metode SVR dihasilkan keakuratan model sebesar 78.571% dan nilai RMSE sebesar 0.3295. Kata kunci: Prediksi saham, Teknikal indikator, Support Vector Regression (SVR), Trend.
1. Pendahuluan Salah satu langkah dalam mengelola keuangan yaitu dengan menyisihkan atau menyimpan sebagian keuangannya untuk dipakai dimasa mendatang. Investasi dari KBBI adalah penanaman uang atau modal dalam suatu perusahaan atau proyek untuk tujuan memperoleh keuntungan. Menurut situs Bursa Efek Indonesia (BEI), saham merupakan instrumen investasi yang banyak dipilih para investor karena saham mampu memberikan tingkat keuntungan yang menarik. Dalam perdagangan saham sehari-hari, terjadi fluktuasi baik kenaikan harga maupun penurunan. Karena ketidak pastian nilai saham tersebut maka investasi pada instrumen ini memiliki tingkat risiko yang sangat tinggi. Ada baiknya melakukan kajian lebih mendalam saat sedang berinvestasi di saham, salah satunya dengan mempelajari teknikal analisis. Sederhananya, teknikal analisis adalah studi yang mempelajari harga dengan grafik menjadi alat utamanya [1]. Dalam mempelajari teknikal analisis terdapat perhitungan matematis yang nilainya dapat dijadikan acuan pergerakan trend saham yaitu menggunakan teknikal indikator.
456
Suatu teknik machine learning dapat diaplikasikan pada data harian saham. Banyak teknik machine learning yang telah digunakan untuk memprediksi harga saham. Neural Network (NN) dan Support Vector Machine (SVM) adalah machine learning yang umum digunakan untuk memprediksi data runtun waktu [2]. SVM diperkenalkan pertama kali oleh Vapnik, terdapat dua kategori yaitu Support Vector Classification (SVC) dan Support Vector Regression (SVR). Karakteristik dari SVR adalah meminimalkan generalized error sehingga dapat diperoleh hasil kinerja yang baik [3]. Pada [4] telah dilakukan prediksi trend harga saham menggunakan NN. Tujuan dari makalah ini akan dilakukan prediksi trend harga saham dengan menggunakan salah satu teknik machine learning yaitu SVR. Dari prediksi trend harga saham dapat ditentukan keputusan untuk trading saham. Terdapat lima bagian pada makalah ini. Bagian 2 adalah metodologi, menjelaskan konsep dasar dari SVR dan teknikal indikator. Bagian 3 adalah analisis percobaan, menjelaskan alur dari percobaan yang dilakukan. Bagian 4, hasil percobaan dan evaluasi model. Bagian 5 adalah kesimpulan.
2. Metodologi 2.1 Support Vector Regression (SVR) SVR merupakan metode yang dapat mengatasi overfitting, sehingga akan menghasilkan kinerja yang bagus (Smola dan Scholkopf, 2004). Pada [2] SVR digunakan meminimalkan generalized error untuk mendapatkan hasil yang generalized. Ide dasar SVR adalah dengan menentukan himpunan data yang dibagi menjadi data latih dan data uji, kemudian ditentukan suatu fungsi regresi yang dapat menghasilkan suatu prediksi yang mendekati nilai aktual. Asumsikan terdapat himpunan data latih sebanyak titik data dan menyatakan titik pada ruang input, dan adalah nilai target. Di SVR, masalah regresi nonlinear pada ruang input dalam dimensi rendah akan ditransformasikan ke masalah regresi linear pada ruang fitur dalam dimensi yang lebih tinggi menggunakan atau disebut fungsi kernel [5]. Lihat Gambar 1, (a) dan (b).
Gambar 1. Ilustrasi proses transformasi model SVR. SVR digunakan untuk mengestimasi suatu fungsi dengan cara yang memiliki simpangan paling besar senilai dari nilai aktual untuk setiap . Jika , akan diperoleh suatu regresi yang sempurna [6]. Misalkan terdapat fungsi berikut sebagai garis regresi :
457
dimana menyatakan nilai prediksi, adalah vektor koefisien bobot, adalah bias konstan, dan menunjukkan pemetaan nonlinear dari ruang input ke ruang fitur. dan diestimasi dengan cara meminimalkan fungsi risiko yang didefinisikan dalam persamaan berikut :
dengan kendala (3) dan (4),
dimana loss function sebagai berikut :
Untuk mengontrol kapasitas fungsi, faktor
yang dinamakan faktor
regulasi harus dibuat seminimal mungkin. Selanjutnya, adalah empirical error yang diukur dengan -insensitive loss function. -insensitive loss function harus meminimalkan norm dari agar mendapatkan generalisasi yang baik untuk fungsi regresi . Sehingga perlu diselesaikan dahulu masalah optimisasi dari . Asumsikan terdapat suatu fungsi yang dapat mengaproksimasikan semua titik dengan presisi . Pada kasus ini diasumsikan semua titik berada di dalam atau disebut feasible. Sedangkan untuk kasus infeasible, terdapat beberapa titik yang keluar dari . Titik infeasible tersebut dapat ditambahkan dengan variabel slack untuk mengatasi pembatas yang tidak layak (infeasible constrain) dalam masalah optimisasi [7]. Lihat juga Gambar 1, (c). Selanjutnya masalah optimisasi (2) telah dirumuskan oleh Vapnik (1995) menjadi :
dengan kendala (3) & (4) menjadi (5) & (6)
458
Konstanta menentukan trade off antara selisih fungsi dimana batas atas simpangan yang lebih dari akan ditoleransi. Pada SVR, ekuivalen dengan akurasi dari aproksimasi terhadap data latih. Nilai yang kecil mengakibatkan nilai yang tinggi pada variabel slack sehingga menghasilkan akurasi aproksimasi yang tinggi. Untuk sebaliknya akan menghasilkan aproksimasi yang rendah. Nilai yang tinggi pada variabel slack akan membuat kesalahan empirik mempunyai pengaruh yang besar terhadap faktor regulasi. Dalam SVR, support vector adalah data latih yang terletak pada dan diluar batas dari fungsi keputusan, karena jumlah support vector menurun dengan naiknya nilai . Kemudian untuk menyelesaikan masalah optimisasi dilakukan dengan dual problem. Pada dual problem, masalah optimisasi dari SVR adalah sebagai berikut [7] :
dengan kendala
dimana dapat digunakan adalah [8]: 1. Linear 2. Polinomial 3. Gaussian RBF
adalah dot product kernel. Fungsi kernel yang : : :
dengan menggunakan lagrange multiplier dan masalah optimisasi (7) – (10), fungsi regresi dirumuskan sebagai berikut :
2.2 Teknikal Indikator Ada banyak teknikal indikator yang dapat digunakan sesuai keinginan dan kebutuhan, namun pada penelitian ini penulis memilih menggunakan Simple
459
Moving Average (SMA), Moving Average Convergence Divergence (MACD), Relative Strenght Index (RSI), Williams %R, dan Stochastic Oscillator (SO). Berikut adalah penjelasan dari masing-masing teknikal indikator : a. Simple Moving Average (SMA) Dari Moving Average (MA) lainnya, SMA merupakan MA yang paling sederhana. Mean statistik sederhana dari harga penutupan hari sebelumnya [4]. SMA dirumuskan sebagai berikut :
dimana adalah harga penutupan hari ke . b. Moving Average Convergence Divergence (MACD) MACD adalah momentum indikator yang menunjukkan hubungan antara dua Exponential Moving Average (EMA) pada harga. MACD akan memiliki nilai positif apabila MACD periode 12 hari lebih tinggi dari MACD periode 26 hari, dan sebaliknya untuk nilai negatif [1]. MACD dirumuskan sebagai berikut :
dengan rumus
dimana
adalah :
: Exponential Moving Average pada hari ke . : Harga penutupan pada hari ke . : Simple Moving Average untuk priode 12 dan periode 26.
berlaku untuk dan c. Relative Strenght Index (RSI)
.
RSI adalah indikator momentum yang memiliki nilai pada range antara 0 dan 100. RSI dapat dihitung dengan :
460
dimana adalah rata-rata kenaikan harga pada periode tertentu dengan perubahan harga naik pada saat , dan adalah rata-rata penurunan harga pada periode tertentu dengan perubahan harga turun pada saat . d. Williams %R Williams %R adalah stochastic oscillator yang dapat dihitung dengan :
dimana adalah harga penutupan hari ke , adalah harga terendah dari -hari terakhir, dan adalah harga tertinggi dari -hari terakhir. e. Stochastic Oscillator (SO) SO menampilkan dua garis, yaitu garis utama (MA dari ). SO dapat dihitung dengan :
dan garis kedua adalah
dengan adalah harga penutupan hari ke , adalah harga terendah dari -hari terakhir, dan adalah harga tertinggi dari -hari terakhir.
3. Analisis Percobaan Pada makalah ini, penulis menggunakan data harian saham Bank Mandiri dari 01 Januari 2015 – 23 Desember 2016 sebanyak 507 data terdiri dari komponen open, high, low, dan close. Data harian tersebut akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu data latih dan data uji. Dari data latih akan dibuat model untuk memprediksi nilai trend saham, kemudian akan dilakukan prediksi menggunakan data 14 hari terakhir. Selanjutnya akan dibahas langkah-langkah dalam merancang sistem prediksi menggunakan SVR dan aturan sistem keputusan dalam menentukan beli, tahan, atau jual.
Langkah 1 : Menghitung nilai teknikal indikator Penulis telah menjelaskan masing-masing teknikal indikator yang akan digunakan pada penelitian ini pada bagian sebelumnya. Ke enam teknikal indikator tersebut adalah dipilih sebagai input untuk pembuatan model tujuan.
461
Langkah 2 : Analisis trend menggunakan teknikal indikator Setelah mendapatkan nilai teknik indikator, maka dengan menggunakan five-day moving average akan didefinisikan trend saham sebagai berikut [9][10] : -
Jika pergerakan MA naik untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh adalah up trend.
-
Jika pergerakan MA turun untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh adalah down trend. Tabel 1. Analisis trend pada sampel data latih. Time Series 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Closing price 11975 11950 12200 12200 12175 12075 12025 12050 11950 12100
SMA 11930 11931.25 11945 11951.25 11966.25 11976.25 11982.5 11991.25 11988.75 11993.75
Trend down down down up up up up up down down
Langkah 3 : Menghitung nilai trading signal Pada [4] dikatakan nilai trading signal berada pada range 0 – 1 yang dibangun menggunakan momentum harga saham. Lihat Tabel 2. -
Jika up trend :
-
Jika down trend :
Langkah 4 : Normalisasi data Teknikal indikator yang digunakan sebagai input mempunyai cara perhitungannya masing-masing. Perlu dilakukan normalisasi pada nilai masingmasing teknikal indikator yang telah diperoleh sehingga data terletak dalam range yang sama yaitu 0 – 1 dengan menggunakan rumus min-max normalisasi sebagai
462
berikut :
: nilai yang dinormalisasi : nilai yang akan dinormalisasi : nilai minimum dari runtun yang akan dinormalisasi : nilai maksimum dari runtun yang akan dinormalisasi Langkah 5 : Pembentukan model dan prediksi nilai trend Dari pembahasan SVR pada bagian sebelumnya, pembentukan model diaplikasikan pada program MATLAB. Data yang sudah dinormalisasi yang terdiri dari teknikal indikator dan nilai trading akan menjadi variabel input untuk model SVR menggunakan fungsi kernel gaussian. Fungsi kernel tersebut untuk menghitung elemen dari matriks gram. Karena ingin dilakukan pengujian 14 hari terakhir, maka data lainnya merupakan data latih pada model. Tabel 2. Trading signal pada sampel data latih. Time Series 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Closing price 11975 11950 12200 12200 12175 12075 12025 12050 11950 12100
SMA 11930 11931.25 11945 11951.25 11966.25 11976.25 11982.5 11991.25 11988.75 11993.75
Trend down down down up up up up up down down
Trading signal 0.05 0 0.5 1 1 1 0.875 0.833333333 0 0
Langkah 6 : Penentuan trend terhadap output trading signal Setelah proses latih maka dilakukan pengujian terhadap 14 data saham harian terakhir yang kita miliki. Hasilnya merupakan output trading signal yang berada pada range 0 – 1. Dalam menentukan keputusan trading, pertama harus mengetahui prediksi trend dahulu dengan : -
Jika
-
Sebaliknya, maka down trend
dimana
maka up trend
adalah 0.5.
Langkah 7 : Penentuan keputusan trading terhadap prediksi trend
463
Dengan menggunakan aturan trading berikut ini, maka trader dapat menentukan langkah selanjutnya dari hasil prediksi trend sebelumnya (lihat Tabel 3) : -
Jika trend hari ke
adalah up, maka BELI
-
Jika trend hari ke
adalah tetap up, maka TAHAN
-
Jika trend hari ke
adalah down, maka JUAL
-
Jika trend hari ke
adalah tetap down, maka TAHAN
Tabel 3. Penentuan trend dan decision dari Time series 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
OTr 0.36394 0.363367 0.450365 0.409696 0.400539 0.37571 0.377095 0.358323 0.376775 0.393627 0.484345 0.536693 0.520338 0.512593
Trend down down down down down down down down down down down up up up
Decision Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Buy Hold Hold Hold
4. Hasil Percobaan dan Evaluasi Model Pada bagian ini akan diuji keakuratan model yang telah didapat dengan membandingkan hasil prediksi model dengan data asli yang kita miliki. Keakuratan dapat dihitung menggunakan :
Dapat terlihat pada Tabel 4. bahwa terdapat 3 kesalahan dari hasil prediksi, sehingga akurasi dari model yang terbentuk dengan SVR pada data uji 14 hari menghasilkan akurasi sebesar :
Terdapat perhitungan lain yang biasa digunakan untuk melihat akurasi dari
464
perhitungan prediksi sebuah model Root Mean Square Error (RMSE) :
dimana N : Jumlah data prediksi : Nilai data trading : Nilai prediksi data trading Pada kasus ini diperoleh nilai RMSE sebesar 0.3295, karena nilai tidak melebihi 0.5 maka akurasi dari prediksi model SVR cukup baik hal tersebut mendukung 78.571% keakuratan. Tabel 4. Uji keakuratan model Time series 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Tr 0 0 0 0.5 0.5 0.166667 0.5 0.333333 0 0.5 0.5 0 0 0
Trend
OTr
down down down down down down down down down down down down down down
0.36394 0.363367 0.450365 0.409696 0.400539 0.37571 0.377095 0.358323 0.376775 0.393627 0.484345 0.536693 0.520338 0.512593
Trend down down down down down down down down down down down up up up
Decision Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Hold Buy Hold Hold Hold
5. Kesimpulan Penelitian ini telah menunjukkan strategi keputusan trading yang efisien yang dapat diterapkan oleh trader. Untuk prediksi 14 hari kedepan menghasilkan keakuratan model sebesar 78.571%. Model tersebut terhubung antara teknikal analisis dengan teknik machine learning. Model klasifikasi yang digunakan yaitu support vector regression (SVR). Dari model SVR, model ditransformasi ke strategi trading dengan signal beli, tahan, atau jual berdasarkan aturan yang memenuhi kriteria.
465
Referensi [1] Archelis, Steven B. (2000). Technical Analysis form A to Z. Pp 1 – 231. [2] Meesad, P., & Rasel, R.I. (2013). Predicting Stock Market Price Using Support Vector Regression. January 24, 2017. https://www.researchgate.net/publication/255995594 [3] Basak, D., Pal,S., & Patranabis, D.C. (2007). Support Vector Regression. Neural Information Processing – Letters and Review. (Vol. 11, No. 10). Pp 203 – 224. [4] Dash, P.K., & Dash, R. (2016). A hybrid stock trading framework integrating technical analysis with machine learning techniques. The Journal of Finance and Data Science 2. Pp 42 – 57. [5] Li, P.S., & Kuo, R.J. (2016). Taiwanese export trade forecasting using firefly algorithm based K-means algorithm and SVR with wavelet transform. Computers & Industrial Engineering 99. Pp 153 – 161. [6] Alfredo, Jondri, & Rismala, R., Prediksi Harga Saham Menggunakan Support Vector Regression dan Firefly Algorithm. Universitas Telkom, Bandung. [7] Schölkopf, B., & Smola, A.J. (2004). A tutorial on support vector regression. Statistics and computing 14. Pp 199 – 222. [8] Paisitkriangkrai, P., (2012). Linear Regression and Support Vector Regression. The University of Adelaide. [9] Chang, Yi-Wei., Chen, Dar-Hsin., & Goo, Yeong-Jia. (2007). The Application of Japanese Candlestick Trading Strategies in Taiwan. Investment Management and Financial Innovations. (Vol. 4, Issue 4). [10] Bao, Si., Chen, Shi., & Zhou, Yu. (2016). The predictive power of japanese candlestick charting in Chinese stock market. Physica A 457. Pp 148 – 165.
466
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 4 6 7 - 4 7 3
PREDIKSI HARGA INDEKS SAHAM IHSG DENGAN METODE ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE SYSTEMS FANITA, ZUHERMAN RUSTAM Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia,
[email protected],
[email protected]
Abstrak. Indeks saham merupakan harga dari sekelompok saham dengan kategori tertentu. IHSG (Indeks Harga Saham Gabungan) merupakan salah satu jenis indeks saham yang mewakili seluruh pergerakan harga saham yang diperdagangkan di Bursa Efek Indonesia (BEI). IHSG sering disebut sebagai leading economic indicator, karena dari semua indikator ekonomi seperti inflasi, tingkat bunga, jumlah pengangguran, indeks harga saham, jumlah uang beredar, dll, IHSG dianggap menjadi pemimpin atau yang lebih dulu menceritakan keadaan di masa mendatang. Informasi perkembangan harga IHSG dipergunakan para investor untuk melihat situasi ke depan dan menyusun strategi yang baik agar mendapat keuntungan yang optimum. Oleh karena pentingnya IHSG, akan dibuat prediksi harga IHSG dengan menggunakan metode ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference Systems) yang termasuk dalam Komputasi Intelligence. Pada makalah ini, akan dicari susunan data yang tepat sebagai input dari metode ANFIS dan banyaknya data training yang dapat menghasilkan nilai akurasi yang baik. Kata kunci : prediksi; saham; keuangan; IHSG; ANFIS.
1. Pendahuluan Indeks harga saham merupakan indikator yang merefleksikan pergerakan harga sekelompok saham. Indeks Harga Saham Gabungan yang biasa disingkat IHSG adalah salah satu indeks pasar saham yang digunakan Bursa Efek Indonesia (BEI). Nilai IHSG digunakan untuk mengukur kinerja gabungan seluruh saham (perusahaan/emiten) yang tercatat dalam BEI. IHSG menggambarkan kondisi perekonomian negara. Kenaikan atau penurunan IHSG berbanding lurus dengan sebagian besar harga saham di BEI terutama saham kapitalis.
adalah harga saham di pasar reguler. adalah bobot atau jumlah masing-masing saham. adalah nilai dasar, yaitu nilai yang dibentuk berdasarkan jumlah saham yang tercatat dalam suatu waktu. Semakin besar perusahaan, maka bobotnya pun besar sehingga kenaikan atau penurunan IHSG sangat bergantung pada pergerakan saham-saham berkapitalisasi besar. [5] Kegunaan yang lain dihitungnya IHSG adalah dapat digunakan sebagai patokan untuk portofolio saham bagi investor atau manajer investasi. Apabila kenaikan IHSG lebih tinggi daripada kenaikan portofolio investor atau manajer investasi, portofolio yang dikelola tidak berkinerja baik. Sebaliknya, apabila kenaikan IHSG lebih rendah daripada kenaikan
467
portofolio investasi investor atau manajer investasi, portofolio dianggap berkinerja bagus. [4] IHSG sering disebut juga sebagai leading economic indicator. Adapun indikator ekonomi yang banyak dibahas berbagai pihak yaitu inflasi, tingkat bunga, jumlah pengangguran, indeks harga saham, jumlah uang beredar, indeks perdagangan besar, indeks nilai tukar petani, ekspor, impor dan pertumbuhan ekonomi serta kredit yang disalurkan. Dari semua indikator ekonomi tersebut IHSG dianggap menjadi pemimpin atau yang lebih dulu menceritakan keadaan di masa mendatang. Karena itu, pertumbuhan IHSG dipergunakan berbagai pihak untuk melihat situasi ke depan. [4] Oleh karena pentingnya IHSG sebagai leading economic indicator, maka dalam makalah ini akan dibuat prediksi harga IHSG menggunakan metode Adaptive Neuro-Fuzzy Inference Systems (ANFIS). ANFIS adalah FIS (Fuzzy Inference System) yang diimplementasikan ke dalam kerangka adaptive networks. ANFIS dapat memberikan keakuratan yang lebih baik dari pada ANN [3]. ANFIS dapat membangun pemetaan input-output berdasarkan pengetahunan manusia dalam bentuk fuzzy “if-then” rules sebagai berikut [2]: Rule 1 : if x is and y is then Rule 2 : if x is and y is then dan adalah parameter. Arsitektur pada ANFIS ditunjukkan pada gambar 1.1 berikut.
Gambar 1.1 Arsitektur
Layer 1 Node berbentuk kotak dengan fungsi ke-i sbb :
4 dan merupakan input pada node , sedangkan adalah label lingustik untuk input. Dengan kata lain adalah nilai keanggotaan dari . Fungsi keanggotaan normal untuk (x) dan (y) adalah generalized bell function :
468
, , adalah parameter dari fungsi keanggotaan. Disebut juga sebagai parameter premis. Layer 2 Setiap node dalam layer ini berlabel berbentuk lingkaran yang outputnya merupakan hasil semua sinyal yang masuk. Masing-masing output menggambarkan firing strength dari semua rules , Layer 3 Setiap node berlabel dan berbentuk lingkaran. Node ke- menunjukkan rasio dari aturan firing strength ke-i dan jumlah dari semua aturan firing strength
Layer 4 Setiap node ke- dalam layer ini berbentuk kotak dengan fungsi node sebagai berikut dengan merupakan output layer 3 , Layer 5 Hanya ada 1 node pada layer ini dengan label , yang merepresentasikan jumlah output secara keseluruhan dari sinyal yang masuk :
Data input metode ANFIS pada makalah ini menggunakan harga close IHSG bulanan yang terdapat pada tahun 2013, 2014, 2015, dan 2016. Harga close merupakan titik kesepakatan terakhir perdagangan di suatu hari antara pembeli dan penjual saham. Nilai close dianggap menjadi kondisi yang paling penting. Data training adalah sebagian dari data (sampel) yang digunakan untuk membangun suatu model. Data yang akan dipakai untuk training ANFIS adalah gabungan data masukan dan keluaran. Sebaiknya data training representatif terhadap masalah yang dihadapi. Sampel terpilih mempengaruhi tingkat akurasinya. Terdapat dua susunan data yang akan diuji, sehingga kita mengetahui susunan data yang lebih baik digunakan dalam memprediksi harga IHSG. Jenis dari susunan data tersebut ditunjukkan pada tabel 1.1. Akan dicari juga banyaknya data training yang paling baik dari masing-masing susunan data input.
469
Tabel 1.1 Jenis susunan data input Susunan Data Input Jenis 1
Jenis 2
Susunan data input berbentuk kumpulan nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke(t) untuk memprediksi bulan ke-(t+1) pada tahun 2013, 2014, 2015, 2016
Susunan data input berbentuk kumpulan nilai close bulan x tahun 2013, bulan x tahun 2014, dan bulan x tahun 2015 untuk memprediksi bulan x tahun 2016
Untuk mengevaluasi keakuratan prediksi yang dihasilkan oleh ANFIS, kita dapat menggunakan RMSE. Nilai RMSE yang semakin kecil dan mendekati nol mengindikasikan model ANFIS yang telah dibuat memiliki keakuratan prediksi yang baik. RMSE dapat dicari dengan rumus :
[1].
2. Hasil – Hasil Utama Metode ANFIS dikerjakan dengan software matlab menggunakan toolbox Neuro-Fuzzy Designer. Data training menggunakan p% data dan data testing sebanyak (100-p)%. Sebelum melakukan proses training, dilakukan generate fis dengan memilih tipe membership function pada input yaitu gbell. Berikut ini, akan diterapkan metode ANFIS untuk melakukan prediksi pada susunan data input jenis 1 dengan menggunakan 70% data sebagai data training. Plot antara nilai aktual dan hasil prediksi tersebut ditunjukkan pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Plot antara data training (o) dan hasil prediksi (*) pada susunan data input jenis 1 dengan menggunakan 70% data sebagai data training
470
Dari gambar 2.1, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan susunan data input jenis 1 dan 70% data sebagai data training, menghasilkan RMSE sebesar 6.058. Berikut ini adalah ditunjukkan pengecekan hasil prediksi suatu datum (a*) dibandingkan dengan nilai aktualnya (a) pada gambar 2.2. Data yang diberi warna biru adalah nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-(t) yang dipisahkan oleh simbol “ ; ” .
Gambar 2.2 Pengujian menggunakan sampel dari data testing. Hasil nilai prediksi (di kiri) mendekati nilai aktual (di kanan) Dengan cara yang sama, akan dibandingkan kombinasi susunan data input dengan variasi banyaknya data training dari total data dan disajikan dalam tabel 2.1 dan 2.2. Tabel 2.1 Nilai RMSE dari variasi banyaknya data training dari total data pada susunan data jenis 1 Variasi Banyaknya Sampel Sebagai Data Train
RMSE
10%
57.441
20%
26.804
30%
21.8917
40%
13.7598
50%
14.1002
60%
6.4072
70%
6.058
80%
8.479
90%
7.2214
471
Tabel 2.2 nilai RMSE dari variasi banyaknya data training dari total data pada susunan data jenis 2 Variasi Banyaknya Sampel Sebagai Data Train
RMSE
10%
49.574
20%
25.5711
30%
17.8391
40%
62.7912
50%
22.841
60%
22.841
70%
27.926
80%
20.1356
90%
22.357
Didapatkan nilai RMSE terkecil yaitu 6.058 dari susunan data jenis 1 ketika 70% dari total data dijadikan data training. Ini berarti untuk membentuk model dengan tingkat akurasi yang baik dalam memprediksi harga close IHSG, direkomendasikan untuk menggunakan susunan data input jenis 1 (memprediksi bulan ke-(t+1) dengan syarat memiliki data bulan ke-(t-2), ke-(t-1), dan ke-(t) ) dan menggunakan70% dari total data sebagai data training.
3. Kesimpulan Tingkat akurasi prediksi yang dihasilkan metode ANFIS bergantung pada bentuk data yang digunakan sebagai input dan banyaknya jumlah sampel. Didapatkan RMSE yang paling kecil yakni 6.058 pada susunan data input jenis 1 dengan menggunakan 70% total data sebagai data training. Ini berarti untuk memprediksi harga close IHSG, direkomendasikan untuk menggunakan susunan input data berbentuk kumpulan nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-(t) untuk memprediksi bulan ke-(t+1) dan 70% total data sebagai data training.
472
Pernyataan terima kasih. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Zuherman Rustam, D.E.A. selaku dosen pembimbing penulis yang selalu memberi arahan dan terus memotivasi.
Referensi [1] James, G., Witten, D., Hastie, T., & Tibshirani, R. “An Introduction to Statistical Learning.” (2013). [2] Jang, Jyh-Shing Roger, Chuen-Tsai Sun, and Eiji Mizutani. "Neuro-fuzzy and soft computing, a computational approach to learning and machine intelligence." (1997). [3] Kaur, Gurbinder, Joydip Dhar, and Rangan Kumar Guha. "Minimal variability OWA operator combining ANFIS and fuzzy c-means for forecasting BSE index." Mathematics and Computers in Simulation 122 (2016): 69-80. [4] Manurung, Adler Haymans . “manfaat dan kegunaan IHSG”. 6 Februari 2017. http://bisniskeuangan.kompas.com/read/2013/04/14/02394859/manfaat.dan.kegunaan.i hsg [5] Wira, Desmond. “Mengenal Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)”. 6 Februari 2017. http://www.juruscuan.com/investasi/184-mengenal-indeks-harga-sahamgabungan-ihsg
473
Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 474-484
NILAI RISIKO PADA INVESTASI MATA UANG US$CNY BERDASARKAN ASYMMETRIC GJR-GARCH COPULA LIENDA NOVIYANTI 1, ACHMAD BACHRUDIN 2, A. ZANBAR SOLEH 3 DAN M. HUSEIN NURRAHMAT4 1. 2. 3. 4.
Departemen Statistika FMIPA UNPAD, lienda @unpad.ac.id Departemen Statistika FMIPA UNPAD,
[email protected] Departemen Statistika FMIPA UNPAD,
[email protected] [email protected]
Abstrak. Fenomena heteroskedastisitas pada volatilitas data keuangan merupakan hal yang umum sebagai dampak dari return masing-masing aset yang mencerminkan perubahan harga. Apabila asumsi normalitas berdasarkan waktu tidak dapat dipenuhi, dan terdapat permasalahan korelasi non-linier untuk struktur model dependen antar variabel aset maka akan menyebabkan estimasi risiko yang diukur oleh Value at Risk (VaR) menjadi tidak akurat. Disamping itu, leverage effect juga menyebabkan efek asimetris dari varians dinamis dan hal ini menunjukkan kelemahan dari model GARCH yang mengasumsikan efek simetris pada varians kondisionalnya. Model Asymmetric GJR-GARCH digunakan untuk membentuk model volatilitas distribusi marginal return sedangkan copula digunakan untuk menggabungkan distribusidistribusi marginal tersebut kedalam suatu distribusi multivariat. Selanjutnya copula digunakan untuk membangun distribusi multivariat yang fleksibel dengan distribusi marginal dan struktur dependensi yang berbeda, yang mana menyebabkan distribusi gabungan portofolio yang terbentuk tidak bergantung pada asumsi normalitas dan korelasi yang linier. Kata kunci: Volatilitas, GJR-GARCH, Copula, Portofolio Optimal, Value at Risk.
1. Pendahuluan Dalam berinvestasi, ketidakpastian return yang akan diterima pada periode mendatang merupakan fokus seorang investor. Faktor ketidakpastian ini dapat mengakibatkan timbulnya suatu risiko kerugian, sehingga dibutuhkan suatu kajian untuk memperoleh sebuah besaran yang terukur, agar investor dapat mengambil keputusan yang tepat dalam berinvestasi. Salah satu indikator risiko yang digunakan dalam pasar keuangan adalah volatilitas yang merupakan dampak dari fluktuasi suatu return aset. Risiko dapat dihindari atau dikurangi dengan melakukan diversifikasi, yaitu proses pemilihan berbagai aset untuk diinvestasikan sehingga membentuk sebuah portofolio [9]. Risiko portofolio pada awalnya diukur menggunakan simpangan baku [1], [8]. Dunia ilmu pengetahuan yang berkembang pesat menggantikan ukuran simpangan baku dengan Value at Risk (VaR) yang
474
merupakan estimasi kerugian maksimum yang dapat ditolerir yang akan didapat selama periode waktu tertentu, dengan tingkat kepercayaan tertentu [11]. Terdapat tiga pendekatan utama yang digunakan dalam estimasi VaR, yaitu VarianceCovariance Approach, Historical Simulation Method, dan Monte Carlo Simulation Method. Akan tetapi, terdapat kelemahan dalam ketiga pendekatan tersebut, yaitu menghasilkan nilai estimasi yang kurang tepat apabila terdapat volatilitas pada data returnnya. Adanya kecenderungan berfluktuasi secara cepat dari waktu ke waktu yang selalu terjadi pada data finansial menyebabkan variansi residual return menjadi tidak konstan atau bersifat heteroskedastisitas [2], [3], [5]. Untuk mengatasi permasalahan hetero- skedastisitas ini, salah satu model yang dapat digunakan adalah model GARCH, yang mengasumsikan bahwa error yang bernilai positif dan yang negatif akan memberikan pengaruh yang sama terhadap volatilitasnya atau disebut efek simetris [7], [10]. Pada data finansial, seringkali dijumpai adanya leverage effect, yang menyebabkan adanya perbedaan efek dari informasi positif dan negatif pada volatilitas, yang dapat diatasi dengan model asimetris yaitu model GJR-GARCH [6]. Model ini menganalisis efek volatilitas asimetris untuk membedakan informasi positif dan informasi negatif. Investasi portofolio biasanya memiliki dependensi antar asetnya. Dependensi yang kuat pada masing-masing aset dapat meningkatkan risiko yang dihadapi investor. Oleh karena data finansial umumnya tidak berdistribusi normal, copula digunakan sebagai ukuran struktur dependensi yang akan digunakan untuk memodelkan distribusi gabungan aset-aset yang membentuk portofolio berdasarkan konsep mean-variance [9]. Adapun dependensi antar aset tersebut dijelaskan menggunakan fungsi copula [4], [12], [13]. 2. Hasil – Hasil Utama Pada bagian ini akan diuraikan proses perhitungan nilai risiko VaR untuk portofolio nilai tukar mata uang US$ dan CNY terhadap IDR. Proses dimulai dengan menentukan model terbaik pada data return periode 3 Januari 2013 sampai dengan 29 Januari 2016 yang memiliki efek heteroskedastisitas dan leverage effect. Data return tersebut kemudian akan dimodelkan dengan menggunakan model . Selanjutnya dilakukan pengukuran struktur dependensi antar aset return portofolio menggunakan metode copula. Model copula terbaik yang telah diperoleh kemudian digunakan untuk menentukan nilai VaR satu hari ke depan dimana portofolio optimal yang terbentuk didasarkan pada konsep mean-variance, dengan memakai simulasi Monte Carlo. Langkah terakhir, nilai VaR yang diperoleh kemudian diuji ketepatannya dalam mengukur risiko menggunakan metode backtesting dengan tingkat kepercayaan sebesar 90% dan 95%. Dalam penelitian ini digunakan software R 3.1.3 dengan package CDVine, copula, fBasics, fCopulae, fExtremes, FinTS, forecast, MASS, PerformanceAnalytics, QRM, robustbase, rugarch, scatterplot3d, tseries, dan VineCopula sebagai alat dalam menentukan nilai VaR menggunakan model Copula.
475
Analisis Deskriptif Data Return Hasil analisis desktiptif data return yang dihitung berdasarkan persamaan (1) dapat dilihat pada Tabel 1 dan Gambar 1, yang menunjukkan bahwa masing-masing return mempunyai nilai skewness negatif, distribusinya berbentuk leptokurtic (kurtosis > 3), dan tidak berdistribusi normal (melebihi nilai kritis uji Jarque-Bera). (1)
Tabel 1. Statistik Deskriptif Return Aset Mata Uang Statistics Mean Minimum Maximum Skewness Kurtosis Jarque-Bera
US $ 0.000474 -0.022288 0.023610 -0.44 3.94 502.7901
Yuan 0.000419 -0.022745 0.023121 -0.55 4.16 573.5824
Gambar 1. Histogram data log-return Pemodelan Volalitilas Berdasarkan uji Augmented Dickey Fuller (ADF), data masing-masing return bersifat stasioner dalam rata-rata, dan hasilnya dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2. Uji Augmented Dickey Fuller Mata Uang Asing US $ Yuan
ADF -8.2093 -8.0592
p-value <0.01 <0.01
Uji Autokorelasi Pengujian autokorelasi dilakukan mengggunakan uji Ljung Box, dengan hasil dapat dilihat pada Tabel 3, yang menunjukkan banwa terdapat autokorelasi untuk masing-masing return mata uang Tabel 3. Uji Ljung-Box Return Aset Mata Uang Mata Uang Asing US $ Yuan
p-value 8.1892 7.5781
476
0.004214 0.005908
Model Untuk menentukan nilai VaR dilakukan dengan beberapa tahapan. Pertama mengestimasi model marginal untuk masing-masing aset dengan menggunakan model volatilitas, kemudian tahapan selanjutnya adalah mengestimasi fungsi bersama/gabungan antar aset mata uang dengan menggunakan copula. Pada bagian ini dijelaskan pembentukan model marginal dalam masingmasing aset menggunakan model volatilitas dimana model digunakan untuk memodelkan persamaan rata-rata dari return aset dan digunakan untuk memodelkan persamaan varians return. Dalam penelitian ini, model persamaan rata-rata diestimasi hanya dengan menggunakan model , hal ini didasarkan bahwa dalam penelitian sebelumnya, seperti [7], [10] yang menyebutkan bahwa data finansial seperti data nilai tukar mata uang mempunyai model persamaan rata-rata terbaik yaitu . Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan melihat pada Tabel 4 berikut. Tabel 4. Estimasi Model Return
Model
Parameter
US $
Yuan
Koefisien 0.1040 0.1002 0.1965 -0.0937 0.1000 0.0974 0.2310 -0.1325
p-value 0.0020 0.0033 0.3334 0.5579 0.0034 0.0047 0.2142 0.3836
AIC -5875.15 -5856.86 -5855.26 -5863.26 -5863.05 -5861.39
Berdasarkan Tabel 4 diketahui bahwa model terbaik adalah model untuk semua aset mata uang yang dipilih berdasarkan nilai parameter yang signifikan dengan nilai AIC terkecil. Diagnostic Checking Model Model Langkah selanjutnya untuk melihat kesesuaian model maka dilakukan pengujian terhadap model . Statistik uji yang digunakan adalah dengan menggunakan uji Ljung-Box dan uji normalitas yang diujikan pada data residual model . Hasil diagnostic checking ditampilkan pada Tabel 5. Tabel 5. Diagnostic Checking p-value USD Yuan USD Yuan Uji Ljung-Box 0.0011 0.0004 0.9733 0.9787 Uji Normalitas 407.2239 501.6859 2.2e-16 2.2e-16 Return
Berdasarkan Tabel 5, untuk pengujian Ljung-Box diperoleh nilai yang apabila ditransformasikan ke dalam nilai p-value didapat nilai untuk semua residual aset sehingga diterima. Artinya bahwa residual model untuk masing-masing return mata uang tidak mempunyai autokorelasi. Sedangkan untuk pengujian Normalitas diperoleh nilai untuk semua residual aset sehingga ditolak. Artinya bahwa residual model untuk masing-masing return mata uang tidak berdistribusi normal. Hal ini
477
mengindikasikan adanya efek heteroskedastisitas pada residual dikarenakan asumsi residual berdistribusi normal tidak terpenuhi. Uji Lagrange Multiplier Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan terhadap data residual kuadrat dari model untuk masing-masing return. Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan dengan menggunakan statistik uji Lagrange Multiplier (LM). Hasil pengujian Lagrange Multiplier ditampilkan pada Tabel 6. Tabel 6. Uji Lagrange Multiplier Mata Uang Asing US $ Yuan
102.1138 89.0366
p-value 2.22e-16 7.583e-14
Berdasarkan Tabel 6 diperoleh nilai yang apabila ditransformasikan ke dalam nilai p-value didapat nilai sehingga ditolak. Artinya bahwa terdapat efek heteroskedastisitas pada residual kuadrat model masing-masing return mata uang. Model digunakan untuk menghilangkan pengaruh efek heteroskedastisitas pada residual model. Model dapat mengatasi masalah leverage effect yang tidak dapat diatasi oleh model , yaitu suatu fenomena dimana guncangan negatif pada waktu menyebabkan dampak yang lebih kuat pada varians waktu ke- daripada guncangan positif. Keadaan yang asimetris inilah yang disebut sebagai leverage effect. Dalam penelitian ini dilakukan dua estimasi parameter model, yaitu model dan dengan residual berdistribusi normal dan tstudent. hasil estimasi parameter model volatilitas return mata uang dirangkum pada Tabel 7. Tabel 7. Estimasi Parameter Model US $ Parameter Alpha
Normal 0.131119
t-student 0.087051
Normal 0.145871
t-student 0.097072
Beta
0.834841
0.911949
0.861261
0.913661
-0.0541
-0.02362
3003.109
3088.985
3004.389
3089.36
-7.9499
-8.147047
-7.9506
-8.1734
Gamma Log-Likelihood AIC
Yuan Parameter Alpha
Normal 0.140187
t-student 0.084444
Normal 0.149760
t-student 0.090216
Beta
0.800759
0.914553
0.822199
0.914217
-0.035380
-0.010878
Gamma Log-Likelihood AIC
3005.471
3093.492
3005.833
3093.57
-7.9562
-8.150477
-7.9545
-8.1845
478
Berdasarkan Tabel 7 dapat diambil kesimpulan bahwa model AR(1) untuk setiap marginal return merupakan model yang lebih dapat menjelaskan fenomena volatilitas pada return nilai tukar mata uang asing dibandingkan dengan model baik untuk residual berdistribusi normal maupun t-student. Hal ini ditunjukkan oleh besar nilai estimasi Log-Likelihood model yang selalu lebih besar daripada model . Selain itu model selalu mempunyai nilai AIC yang lebih kecil daripada model . Artinya model volatilitas merupakan model yang lebih baik dibandingkan model apabila terdapat masalah asimetris pada volatilitas return, yaitu ditandai dengan adanya leverage effect. Berdasarkan Tabel 7 diperoleh bahwa model volatilitas terbaik adalah model dengan residual berdistribusi t-student, pemilihan ini didasarkan pada nilai Log-Likelihood terbesar dan nilai AIC terkecil. Langkah selanjutnya dilakukan pengecekan pada standar residual kuadrat model untuk melihat apakah masih terdapat efek heteroskedastisitas pada model. Hasil pengujian yang dilakukan menggunakan uji Ljung-Box untuk melihat korelasi pada data residual disajikan pada Tabel 8, yang menunjukkan bahwa standar residual kuadrat model tidak berautokorelasi. Hal ini dibuktikan dengan nilai yang menyebabkan diterima. Tabel 8. Uji Ljung-Box Standar Residual Kuadrat Model Mata Uang Asing
p-value
US $ Yuan
1.0285 0.3012
0.3105 0.5832
Model marginal masing-masing return mata uang sebagai berikut. 1. Model untuk data return US $
2. Model
dengan
untuk data return Yuan
, dimana:
Pembentukan Struktur Dependensi Model Copula Langkah selanjutnya setelah diperoleh parameter model marginal untuk setiap aset maka dilakukan analisis dependensi antar aset tersebut dengan menggunakan pendekatan copula. Dengan menggunakan residual yang diperoleh pada pemodelan marginal, maka secara visual dapat dilihat struktur dependensi setiap residual model marginal mata uang. Gambar 2 memperlihatkan bahwa terdapat hubungan dependensi yang positif untuk USDCNY, sehingga struktur dependensi tersebut dapat dianalisis lebih lanjut dengan menggunakan metode Copula. Tahapan yang pertama adalah mentransformasikan residual model yang telah dibakukan menjadi distribusi uniform.
479
Transformasi perlu dilakukan dikarenakan jika hanya menggunakan visualisasi dari sebaran data residual untuk mengukur dependensi antar variabel acak
Gambar 2. Scatterplot Residual US $ dan Yuan, maka contournya tidak akan terbentuk. Pada bagian ini yang digunakan sebagai distribusi marginal untuk masing-masing aset adalah residual dari model dengan distribusi t-student dikarenakan residual dari model tersebut merupakan yang paling cocok dengan kondisi marginal masing-masing aset mata uang.
Gambar 3. Scatterplot Transformasi Residual US $ dan Yuan Gambar 3 menunjukkan bahwa US $ dan Yuan memiliki dependensi dan diduga memiliki tingkat dependensi yang tinggi dimana masing-masing variabelnya telah terlebih dahulu ditransformasikan ke dalam distribusi uniform. Kemudian dapat dilihat pula bahwa plot dependensi antar variabel tersebut berkumpul pada beberapa ruang interval, namun belum terlihat jelas pola penyebaran datanya. Hal tersebut menunjukkan dengan jelas bahwa dependensi antar dua variabel tersebut tidak memiliki tail dependency sehingga diduga transformasi residual tersebut memiliki fungsi dari keluarga copula eliptikal. Gambar 4 memperlihatkan bentuk-bentuk struktur dependensi dari keluarga copula eliptikal, yaitu copula Gaussian dan t-student serta keluarga copula Archimedean, yaitu copula Clayton, Gumbel, dan Frank. Dalam penelitian ini akan digunakan kelima copula tersebut untuk memodelkan dependensi antara dua variabel aset mata uang dengan distribusi marginal untuk masing-masing aset berdistribusi t-student. Selanjutnya, parameter copula akan ditaksir dengan menggunakan penaksiran Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk keluarga copula eliptikal, dan menggunakan penaksiran built-in korelasi Kendall-tau.
480
Copula Eliptikal
Copula Archimedean
Gambar 4. Copula Gaussian, t-student, Clayton, Gumbel, dan Frank Tabel 9 merupakan estimasi parameter copula untuk pemodelan struktur dependensi antar aset. Pemilihan struktur keluarga copula terbaik yang dibandingkan dengan struktur data empiris berdasarkan data residual model marginal return menggunakan AIC. Tabel 9. Parameter Copula Copula
Parameter
Log-Likelihood
Gaussian t-student Clayton Gumbel Frank
903.5 1167 911 1027 966
AIC
GoF
-1805.09186 -2332.0565 -1806.7278 -2041.3444 -1883.2076
0.9950 0.9420 0.9910 0.9993 0.9990
Pada Tabel 9 dapat dilihat bahwa kelima copula tersebut merupakan copula yang cocok untuk digunakan dalam memodelkan distribusi gabungan dua aset mata uang US$ dan Yuan. Hal ini ditunjukkan oleh nilai p-value Goodness of Fit yang mempunyai nilai lebih besar dari . Akan tetapi, hanya dibutuhkan satu keluarga copula saja yang digunakan dalam menentukan nilai VaR, sehingga diperoleh bahwa copula t-student merupakan copula terbaik yang digunakan dalam menggabungkan distribusi marginal residual model volatilitas untuk aset mata uang US $ dan Yuan. Pemilihan copula terbaik ini didasarkan pada nilai Log-Likelihood terbesar dan nilai AIC terkecil. Dari Tabel 9 diketahui bahwa copula t-student mempunyai nilai Log-Likelihood terbesar sebesar 1167 dan nilai AIC terkecil sebesar -2332.0565. Pembentukan Portofolio Optimal Berdasarkan Konsep Mean-Variance. Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset, dalam hal ini adalah nilai tukar mata uang US$ dan CNY terhadapat IDR. Rate of
481
return portofolio menggambarkan laju perkembangan return dari portofolio. Rate of return portofolio dinotasikan dengan Rp yang secara matematis dapat diartikan sebagai penjumlahan dari perkalian bobot aset ke-i (wi) dengan rate of return aset ke-i (Ri). Apabila terdapat 2 buah aset maka rate of return portofolio dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut: 2
Rp w1R1 w2 R2 wi Ri
(2)
i 1
Sedangkan nilai ekspektasi rate of return portofolio dinotasikan dengan R p , dan dirumuskan sebagai berikut : 2
Rp w1R1 w2 R2 wi Ri
(3)
i 1
dengan (4) w1 w2 ... wn wp . Berdasarkan konsep mean-variance, model penyelesaian optimasinya adalah dengan meminimumkan fungsi objektif : 2
2
2
p 2 wi 2 i 2 wi wk ik , i 1
(5)
i 1 k 1 ik
dengan fungsi kendala sebagai berikut:
w R R 2
1.
i 1
i
i
p
2
2. wi 1. i 1
3. wi 0, i 1, 2. Hasil perhitungan memberikan nilai 42% untuk berinvestasi mata uang US$ dan 58% untuk berinvestasi pada mata uang CNY. Perhitungan VaR dengan Copula Menggunakan Simulasi Monte Carlo Setelah mendapatkan copula terbaik, yaitu copula t-student, maka copula tersebut akan digunakan dalam proses pembangkitan data menggunakan simulasi Monte Carlo untuk menghitung nilai VaR. merupakan return aset mata uang US$ dan merupakan return aset mata uang Yuan, masing-masing pada waktu ke- untuk data yang telah dibangkitkan menggunakan Copula t-student. Dari hasil analisis diperoleh nilai VaR yang disajikan pada Tabel 10 sebagai berikut. Tabel 10. Nilai VaR Copula t-student
hari
Nilai Value at Risk 0.003276 0.002103
Sebagai contoh, apabila investor menginvestasikan dananya sebesar Rp. 1.000.000,00 pada portofolio nilai tukar mata uang US$ dan Yuan, maka investor tersebut akan mempunyai potensi kerugian yang dapat ditolerir sebesar Rp.3.276,00 dengan tingkat kepercayaan 95% dalam jangka waktu 1 hari setelah tanggal sampel terakhir pada penelitian ini, yaitu 1 Februari 2016.
482
Uji Backtesting Proses akhir penelitian adalah melakukan validasi terhadap nilai VaR yang telah diperoleh untuk prediksi satu periode waktu ke depan dengan menggunakan metode backtesting yakni Kupiec Test. Pengujian ini dilakukan berdasarkan teori binomial serta menguji perbedaan antara nilai observasi dan nilai expected return dari VaR portofolio dengan tingkat kepercayaan 90% dan 95%. Berdasarkan statistik uji seperti pada Persamaan (6) berikut ini, (6) diperoleh hasil bahwa nilai VaR pada tingkat kepercayaan 95% dan 90% telah memiliki kesesuaian seperti yang disajikan pada Tabel 11. Tabel 11. Uji Backtesting Nilai VaR Copula t-student
Backtesting (p-value)
Keterangan
0.6345
diterima
0.6543
diterima
US$ - CNY
3. Kesimpulan Untuk menentukan nilai risiko dengan menggunakan ukuran VaR pada investasi portofolio optimal mata uang US$ dan China Yuan, dapat digunakan pendekatan asymmetric GJR-GARCH dengan Copula t-student. Investor yang menginvestasikan dananya misal sebesar Rp. 1.000.000,00 pada portofolio nilai tukar mata uang US$ dan Yuan, maka kemungkinan investor tersebut akan mempunyai potensi kerugian yang dapat ditolerir sebesar Rp.3.276,00 dengan tingkat kepercayaan 95% dalam jangka waktu 1 hari setelah tanggal sampel terakhir pada penelitian ini, yaitu 1 Februari 2016.
Referensi [1] Bodie, Z., et al. 2003. Essentials of Investments. The McGraw-Hill Companies. [2] Bollerslev, T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal of Econometrics 31, 307-327. [3] Danielsson, J. 2011. Financial Risk Forecasting. John Wiley & Sons Ltd. [4] Embrechts, P., et al. 2001. Modelling dependence with copulas and applications to risk management. ETH Zurich. [5] Engle, R. F. 1982. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with estimates of the variance of UK inflation. Econometrica 50(4), 987-1007. [6] Glosten, L. R., R. Jagannathan, dan D. E. Runkle. 1993. On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The Journal of Finance 48(5), 1779-1801. [7] Hansen, P. R., dan Lunde, A. 2005. A forecast comparison of volatility models: does anything beat a GARCH(1,1)? Journal of Applied Econometrics 20(2005), 873-889. [8] Jorion, P. 2007. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. McGraw-Hill. [9] Markowitz, H. 1952. Portfolio selection. The Journal of Finance 7(1), 77-91. [10] McNeil, A. J., dan Frey, R. 2000. Estimation of tail-related risk measures for
483
heteroscedastic financial time series: an extreme value approach. Journal of Empirical Finance 7, 271-300. [11] Noviyanti, L dan A.Z. Soleh. 2016. Penentuan risiko nilai tukar CNY dan HKD terhadap IDR berdasarkan Value at Risk dan Conditional Value at Risk dengan volatilitas GARCH. Prosiding Seminar Nasional Matematika Statistika Universitas Negeri Padang. [12] Palaro, H. P. dan Hotta, L. K. 2006. Using conditional copula to estimate Value at Risk. Journal of Data Science 4(2006), 93-115. [13] Shams, S. dan K.H. Fatemeh. 2013. A Copula-GARCH Model of Conditional Dependencies: Estimating Tehran Market Stock Exchange Value-at-Risk. Journal of Statistical and Econometric Methods, Vol.2, No.2 39-50.
.
484
Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 485-492
APLIKASI ANN DALAM MENENTUKAN TRADING SAHAM BERBASIS ANALISIS TEKNIKAL IRMAWARDANI SARAGIH1, ZUHERMAN RUSTAM2 1. Departemen Matematika UI,
[email protected] 2. Departemen Matematika UI,
[email protected]
Abstrak. Menentukan keputusan yang tepat dalam trading saham bukanlah hal yang mudah untuk dilakukan dikarenakan pergerakan harga saham yang sangat dinamis, apabila salah langkah maka yang didapat adalah kerugian. Untuk menentukan tindakan yang tepat dalam trading saham, investor dapat menganalisis saham yang akan diinvestasikan terlebih dahulu agar mendapatkan keuntungan yang besar. Analisis yang dapat dilakukan adalah analisis teknikal saham dengan menggunakan berbagai indikator yang ada. Pada skripsi ini, akan dibahas penggabungan enam indikator analisisteknikal saham, yaitu Simple Moving Average, Moving Average Convergence/Divergence (MACD), Relative Strength Index (RSI), Stochastic Oscillator (SO) yaitu %D dan %K, dan William %R dengan menggunakan metode artificial neural network (ANN). Kata kunci : : Analisis Teknikal, Artificial Neural Network, Indikator analisis teknikal.
1. Pendahuluan Pada saat ini, mendapatkan uang sudah tidak terfokus lagi pada pekerjaan yang dimiliki oleh seseorang. Banyak hal yang dapat dilakukan dalam mencari pendapatan tambahan guna memenuhi kebutuhan seseorang selain dari pekerjaan tetapnya, salah satunya adalah investasi. Dalam tataran ekonomi, investasi mengacu pada pembelian aset fisik, seperti akuisisi perusahaan terhadap pabrik, peralatan atau pembelian rumah baru, Mayo [1]. Sedangkan orang yang melakukan investasi selanjutnya akan disebut investor. Investasi yang dilakukan bisa dalam bentuk emas, tanah dan bangunan, asuransi, reksa dana, dan saham. Saat ini, saham merupakan hal yang sangat populer pada pasar keuangan. Saham mampu memberikan keuntungan yang menarik bagi para investor. Namun, pergerakan harga saham yang sangat dinamis menjadi faktor penting dalam pengambilan keputusan bagi para investor, untuk itu dibutuhkan sebuah sistem yang digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham untuk membantu investor dalam mengambil keputusan yang tepat. Prediksi harga saham dapat dilakukan dengan dua cara yaitu analisis fundamental atau analisis teknikal. Pada makalah ini akan digunakan analisis teknikal yaitu SMA (Simple Moving Average), MACD (Moving Average Convergence and Divergence), Stochastic KD, RSI (Relative Strength Index), William %R, Achelis [2] . Setelah menganalisis saham dari sisi fundamental dan teknis, selanjutnya langkah yang akan dilakukan oleh investor ialah membuat
485
keputusan apakah akan membeli, menjual, atau mempertahankan saham tersebut. Sampai saat ini telah banyak cara yang dilakukan dalam prediksi harga saham, antara lain menggunakan metode Artificial Bee Colony Algorithm (ABC) oleh Brasileiro RC et all, metode Nearest Neighbor Classification (k-NN) oleh Teixeira LA et all, metode Naive Bayesian, metode Decision Tree (DT), metode Artificial Neural Network, dan masih banyak lagi. Pada makalah ini akan dibahas menggunakan Artificial Neural Network. 2. Metode dan Bahan a. Artificial Neural Network Artificial Neural Network (ANN) merupakan sebuah metode pembelajaran yang meniru karakteristik dari cara kerja sistem saraf manusia, Fausett at all [2]. Model model ANN sangat ditentukan oleh arsitektur jaringan dan algoritma pelatihan. Arsitektur jaringan berguna untuk menjelaskan perjalanan sinyal dalam jaringan. Sedangkan algoritma menjelaskan bagaimana perubahan bobot koneksi yang dilakukan agar pasangan masukan-keluaran yang diinginkan dapat tercapai. Fungsi aktivasi merupakan suatu proses untuk menentukan formulasi dari input untuk dikonversikan mejadi nilai output. Pada penelitian ini digunakan fungsi tangen hiperbolik dan metode backpropagation. Fungsi tangen hiperbolik dirumuskan sebagai berikut: (1) dengan turunan, (2) b. Teknikal Analisis Pada penelitian ini ada enam indikator teknis sebagai masukan untuk metode ANN dalam memprediksi harga penutupan saham. Indikatornya yaitu, Irma & Zuherman [3]: Tabel 1. Tabel Teknikal Indikator No 1
Formula
3
Indikator SMA (Simple Moving Average) RSI
4 5
MACD Stochastic K%
EMA(12)-EMA(26) * 100
6
Stochastic D%
7
Larry William’s R%
100 -
* 100
Dimana : : harga penutupan waktu t, : harga rendah saat waktu t, : harga tinggi saat waktu t, : harga terbawah dalam beberapa hari t, : harga tertinggi dalam beberapa hari t, : perubahan harga naik pada waktu t, : perubahan harga turun pada waktu t,
486
Metode Penelitian Sistem prediksi yang akan dibangun menggunakan ANN dan sejumlah aturan berdasarkan teknikal indikator yang digunakan untuk mendapatkan keputusan trading saham yakni beli, tahan atau jual. Adapun langkah-langkah yang akan digunakan dalam pengambilan keputusan adalah, Dash et all [4] : Langkah I. Menghitung nilai teknikal indikator Input data yang digunakan pada penelitian ini adalah nilai dari keenam teknikal indikator. Langkah II. Menentukan trend analisis menggunakan teknikal indikator Pada penelitian ini, indikator SMA digunakan untuk mengklasifikasikan pergerakan harga saham berdasarkan uptrend atau downtren yang mengikuti aturan sebagai berikut: Jika harga penutupan saham mengikuti SMA, dan pergerakan SMA naik untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh Uptrend. Jika harga penutupan saham berada tidak mengikuti SMA, dan pergerakan SMA turun untuk 5 hari terakhit maka trend yang diperoleh Downtrend. Langkah III. Menghitung nilai trading signal dari nilai trend analisis Neural Network merupakan supervised learning yang membutuhkan nilai input dan output sebagai data latih. Untuk itu diperlukan suatu nilai output yang akan dijelaskan pada tahap ini. Nilai output biasanya memiliki range dari 0-1. Nilai output yang digunakan diperoleh dari nilai trend signal. Untuk memperoleh nilai trend signal, yang selanjutnya akan didefinisikan dengan ,akan digunakan persamaan berikut: Jika tren analisis Up trend (3)
Jika tren analisis Down trend (4)
dengan : , dan merupakan harga penutupan pada hari ke-i. Langkah IV. Input data Keenam teknikal indikator yang telah diproses akan menghasilkan nilai numerik dan nilai tersebut memiliki range yang berbeda untuk setiap indikator. Oleh karena itu, input data untuk metode ANN akan dinormalisasi sehingga menghasilkan range 0-1. Normalisasi data dapat dilakukan menggunakan persamaan , i=1,...,d, j=1,...,n (5) dengan, : nilai normalisasi dari data ke-j pada teknikal indikator ke-i, : nilai data ke-j yang akan dinormalisasi pada teknikal indikator ke-i, : nilai maximum data dari teknikal indikator ke-i, : nilai minimum data dari teknikal indikator ke-i, n : banyaknya data. Langkah V. Menghitung nilai trading signal dengan metode ANN Pada tahap ini akan dilakukan perancangan sistem ANN yang akan digunakan untuk menghasilkan prediksi trading signal . Langkah VI. Penentuan trend berdasarkan trading signal
487
Setelah melakukan langkah 5, maka akan diperoleh nilai trading signal yang baru ( ) dengan nilai range 0 sampai 1. Kemudian akan ditentukan nilai trend menggunakan mean dari nilai range Tr sebesar 0.5 dengan aturan sebagai berikut : Tabel 2 Penetuan trend Penentuan Trend Down Up Langkah VII. Penentuan keputusan dari prediksi trend Setelah melakukan langkah 6 maka akan diperoleh trend yang akan digunakan untuk menentukan keputusan trading saham dengan menggunakan aturan sebagai berikut: Tabel 3 Penentuan keputusan rekomendasi No Kondisi Trend Saat ini Rekomendasi 1 2 3
Up IF
Beli THEN
Down Sama dengan sebelumnya
Jual Tahan
Algoritma pelatihan ANN untuk satu unit tersembunyi, dengan fungsi aktivasi tangen hiperbolik adalah sebagai berikut : Langkah 0. Definisikan pola input dan data targetnya. Langkah 1. Inisialisasi semua bobot dengan bilangan acak kecil. Langkah 2. Tentukan iterasi dan error yang diinginkan. Langkah 3. Jika kondisi iterasi dan error yang diinginkan belum terpenuhi lakukan langkah 4-9. Fase I : Feed forward Langkah 4. Tiap unit input menerima sinyal dan meneruskannya ke unit tersembunyi diatasnya. Langkah 5. Hitung semua output disetiap unit tersembunyi . (6) (7) : Unit input ke-i, : Bias untuk hidden unit ke-j, : Bobot antara unit input ke-j dengan hidden unit ke-i, : Jumlah perkalian ke-k antara nilai bobot dengan sinyal masukan, p : Jumlah simpul pada unit tersembunyi. Langkah 6. Hitung semua output jaringan di unit . (8) (9) : Bias untuk unit output ke-j, : Bobot antara hidden unit ke-k dengan unit output ke-j, : Jumlah perkalian ke-k antara nilai bobot dengan unit
488
tersembunyi, m : Jumlah simpul pada unit keluaran. Fase II: Backpropagation Langkah 7. Hitung faktor unit keluaran berdasarkan kesalahan di setiap unit keluaran . Faktor selanjutnya akan digunakan untuk dalam perubahan bobot dibawahnya yaitu dengan laju percepatan . (10) = ; k = 1,2,...,m ; j = 0,1,...,p (11) : Nilai output yang sebenarnya, : Nilai output sistem, : nilai percepatan [0,1] : Perubahan bobot pada unit output. Langkah 8. Hitung faktor unit tersembunyi berdasarkan kesalahan di setiap unit teersembunyi . Faktor selanjutnya akan digunakan untuk dalam perubahan bobot dibawahnya yaitu dengan laju percepatan . (12)
= ; j = 1,2,...,p ; i = 0,1,...,n : Perubahan bobot pada unit tersembunyi Fase III: Perubahan bobot Langkah 9. Hitung semua perubahan bobot. Perubahan bobot yang menuju ke unit keluaran, k = 1,2,...,m ; j=0,1,...,p Perubahan bobot yang menuju ke unit tersembunyi j = 1,2,...,p ; j=1,2,...,n
489
(13) (14)
(15) (16)
Gambar 1. Flowchart Alur Penelitian
3. Hasil Penelitian Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data historis harga saham PT. Bank Mandiri, Tbk dengan periode Januari 2014-Desember 2015. Data historis harga saham yang digunakan akan dibagi menjadi 2 bagian, yaitu data training dan data testing. Data training yang digunakan adalah data historis harian harga saham periode 01 Januari 2014- 31 Desember 2014 sebanyak 261 data, sedangkan data testing akan digunakan data historis bulanan harga saham periode 01 Januari 201531 Desember 2015. Pada metode yang akan digunakan, input data yang digunakan merupakan hasil perhitungan dari keenam teknikal analisis. Perhitungan dilakukan dengan bantuan software Rstudio dengan data masukan merupakan data historis harga saham. Berdasarkan langkah yang diberikan pada subbab sebelumnya, dengan
490
perhitungan yang dilakukan menggunakan software Matlab, maka diperoleh bobot w yaitu bobot yang menghubungkan input dengan hidden layer dan bobot u yaitu bobot yang menghubungkan hidden layer dengan output.
Selanjutnya akan dibahas hasil percobaan menggunakan data testing dengan input nilai keenam teknikal indikator dan bobot yang telah diperoleh dengan menjalankan sistem ANN. Hasil yang diperoleh akan dibandingkan dengan harga saham seminggu setelahnya dan saham di akhir bulan. 1 Januari 2015
Tabel 4. Hasil percobaan data pertama SMA 1059
RSI 59,5 0
William%R 0,02 7
% 0,8
%K D 0,98
MAC 0,63
D 0,649
Rekomenda si Beli 0
Untuk mengetahui apakah hasil output tersebut tepat atau tidak, akan dilakukan dua perbandingan. Perbandingan pertama ialah perbandingan harga saham satu minggu berikutnya yaitu tanggal 8 Januari 2015 dan perbandingan kedua ialah harga saham diakhir bulan yaitu saat 30 Januari 2015. Pada perbandingan pertama, pada satu minggu berikutnya, pergerakan harga saham mengalami kenaikan Rp.175,00, dari semula memiliki harga Rp10.775,00 menjadi Rp10.950,00.Sehingga hasil rekomendasi yang dikeluarkan sistem belum
491
tepat. Untuk perbandingan kedua, harga saham pada tanggal 30 Januari 2014 juga mengalami kenaikan harga pada periode ini, yaitu sebesar Rp225,00. Karena mengalami kenaikan harga, rekomendasi yang dihasilkan oleh sistem tidak tepat karena kenaikan harga ini mengindikasikan para investor untuk menjual saham selagi harga saham naik. Setelah melakukan percobaan selama 12 bulan dan membandingkan hasilnya seperti contoh pada bulan januari, maka diperoleh hasil sebagai berikut : Tabel 5. Ketepatan hasil percobaan dengan periode waktu Tanggal 1 Januari 2015 2 Februari 2015 2 Maret 2015 1 April 2015 1 Mei 2015 1 Juni 2015 1 Juli 2015 3 Agustus 2015 1 September 2015 1 Oktober 2015 2 November 2015 1 Desember 2015
Rekomendasi 0,6690 0,6638 0,6285 0,6474 0,4993 0,4517 0,6008 0,5017 0,5650 0,4716 0,5516 0,6990
Beli Tahan Tahan Tahan Jual Jual Beli Tahan Tahan Jual Beli Tahan
Ketepatan 1 minggu 1 bulan
4. Kesimpulan Berdasarkan pengujian yang dilakukan dengan menggunakan data PT Bank Mandiri Tbk selama periode Januari 2014 – Desember 2015, didapatkan bahwa rekomendasi dengan menggunakan metode ANN dan keenam teknikal indikator untuk data tersebut lebih baik digunakan untuk jangka waktu satu minggu dengan tingkat akurasi 73,3%. Sedangkan untuk jangka waktu yang lebih lama, yaitu satu bulan, hanya memiliki tingkat akurasi 41,67%. Rekomendasi yang diperoleh menggunakan ANN dipengaruhi oleh teknikal indikator dan data yang digunakan. 5. Referensi [1] [2] [3] [4]
[5]
Mayo, Herbert B. (2011). Investments : An Introduction 10th ed. United State of America : South-Western Cengage Learning. Pp 3-20 Achelis, Steven B. (2000). Technical Analysis from A to Z. Pp 1-35 Fausett, Laurene. (1994). Fundamentals of Neural Networks: Architectures, Algorithms and 7Applications. United State of America : Prentice-Hall. Saragih, Irmawardani., Rustam, Zuherman. (2017). Prediksi Harga Saham Menggunakan Support Vector Regression Berbasis Teknikal Analisis. Riau : Konferensi Nasional Matematika XVIII Dash, Rajashree., Dash, Pradipta Kishore. (2016). A hybrid stock trading framework integrating technical analysis with machine learning techniques.India : The Journal of Finance and Data Science 2. Pp 42-5
492
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 4 9 3 - 5 0 8
SUKU BUNGA KREDIT INVESTASI IDEAL BANK UMUM DENGAN ACUAN BI RATE (PENDEKATAN THRESHOLD VECTOR ERROR CORRECTION MODEL) GAMA PUTRA DANU SOHIBIEN Sekolah Tinggi Ilmu Statistik,
[email protected]
Abstrak. Peran sektor perbankan terhadap perekonomian adalah membantu usaha debitur dengan pemberian pinjaman. Salah satu kredit yang disalurkan bank umum adalah kredit investasi. Besarnya penyaluran kredit investasi dipengaruhi oleh suku bunga kredit investasi. Salah satu acuan penetapan suku bunga kredit investasi adalah BI Rate. Pendekatan yang banyak digunakan untuk menganalisis hubungan antar variabel ekonomi adalah kointegrasi dan Vector Error Correction Model (VECM). VECM memasukan koefisien penyesuaian ketidakseimbangan antar variabel sebagai koreksi penyimpangan yang terjadi di jangka pendek. Pada model VECM, pola hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka pendek dianggap linear. Namun pola hubungan tersebut mungkin saja tidak linear. Model yang mengakomodir permasalahan tersebut adalah Threshold Vector Error Correction Model (TVECM). Suku bunga kredit investasi signifikan dalam merespon ketidakseimbangan ketika ECTt-1 lebih dari 0.51. Suku bunga kredit investasi ideal bank umum adalah minimal 1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum .
Kata kunci: Suku Bunga Kredit Investasi, BI rate, TVECM.
1. Pendahuluan Pertumbuhan ekonomi merupakan terjadinya perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi meningkat sehingga kemakmuran masyarakat dapat meningkat. Pencapaian pertumbuhan ekonomi tentunya melalui proses yang melibatkan peningkatan kegiatan-kegiatan produksi (barang dan jasa) di semua sektor ekonomi. Dalam meningkatkan kegiatan-kegiatan ekonomi diperlukan modal untuk menambah sarana dan prasarana yang menunjang kegiatan ekonomi tersebut, seperti: pabrik, gedung perkantoran, mesin-mesin, dan alat-alat produksi. Kapital atau modal merupakan sumber utama dalam pertumbuhan ekonomi [15]. Dengan kata lain investasi menjadi salah satu penopang dalam pencapaian target pertumbuhan ekonomi. Pada umumnya sumber utama pembiayaan investasi di negara-negara berkembang termasuk Indonesia adalah dari penyaluran kredit perbankan [9]. Peran sektor perbankan terhadap pertumbuhan ekonomi adalah dalam membantu usaha para debitur yang memerlukan dana, baik dana Investasi maupun dana untuk modal kerja yang dapat berdampak pada peningkatan pembangunan di berbagai sektor. Oleh karena itu sektor perbankan menjadi penting untuk diperhatikan
493
karena lembaga perbankan memiliki peran intermediasi dan berpengaruh besar terhadap pertumbuhan ekonomi suatu negara. Ketika terjadi penurunan kredit yang disalurkan akan dapat berdampak pada perlambatan pertumbuhan ekonomi yang disebabkan kurang atau tidak adany a modal yang dapat digunakan produsen untuk melakukan produksi. Salah satu jenis kredit yang diberikan oleh bank umum adalah kredit investasi. Kredit investasi merupakan kredit jangka panjang yang biasanya digunakan untuk keperluan perluasan usaha atau membangun proyek/pabrik baru. Bank sebagai pemberi kredit akan mendapatkan keuntungan dari bunga yang dibayarkan oleh perusahaan yang meminjam. Perusahaan yang melakukan pinjaman kredit investasi dapat melakukan pengembangan usahanya. Bagi pemerintah peningkatkan kredit investasi akan berdampak pada peningkatan pajak, berkurangnya pengangguran sebagai dampak dari perluasan usaha perusahaan, dan peningkatan ekspor. Semua manfaat yang didapatkan dari penyaluran kredit investasi akan bermuara pada peningkatan pertumbuhan ekonomi negara. Salah satu faktor yang memengaruhi besarnya kredit investasi yang disalurkan adalah suku bunga kredit investasi yang ditetapkan oleh bank. Semakin tinggi bank mengenakan suku bunga kredit, minat perusahaan untuk meminjam kredit semakin berkurang sedangkan semakin rendah bank menetapkan suku bunga kredit maka minat perusahaan untuk meminjam kredit akan semakin besar. Berdasarkan beberapa literatur suku bunga kredit yang terlalu tinggi akan berdampak pada turunnya hasrat untuk berinvestasi yang tentu bisa mengakibatkan penurunan pertumbuhan ekonomi. Sedangkan suku bunga kredit yang terlalu rendah juga akan berdampak pada rendahnya laba yang diterima oleh bank dari balas jasa penyaluran kredit investasi. Dalam menetapkan suku bunga termasuk suku bunga kredit investasi salah satu acuan yang digunakan oleh bank umum adalah suku bunga acuan Bank Indonesia (BI Rate). BI Rate merupakan instrumen kebijakan utama untuk memengaruhi aktivitas kegiatan perekonomian. Apabila perekonomian sedang mengalami kelesuan, BI akan menggunakan kebijakan moneter melalui penurunan suku bunga untuk mendorong aktifitas ekonomi. Penurunan suku bunga BI rate akan menurunkan suku bunga kredit yang akan direspon oleh dunia usaha untuk meningkatkan permintaan kredit perbankan. Sehingga aktivitas perekonomin akan semakin meningkat. Di sisi lain Bank sebagai lembaga yang keuntungannya paling besar didapatkan dari bunga juga akan memerhatikan suku bunga yang tepat agar laba yang diperoleh juga maksimal. Penelitian terkait suku bunga kredit sudah banyak dilakukan oleh penelitipeneliti terdahulu, diantaranya [11], [14], [16], dan [17]. Dari banyak penelitian belum ada yang menjelaskan pada saat bagaimana bank umum akan merespon adanya pergerakan BI rate dan bagaimana respon yang dilakukan oleh bank umum untuk setiap kebijakan moneter yang dilakukan oleh BI melalui penetapan tingkat BI rate. Selain itu belum ada penelitian yang memberikan rekomendasi terkait suku bunga kredit investasi ideal yang bisa digunakan bank umum dalam menyalurkan kredit dengan mengacu pada BI rate. Pendekatan yang banyak dilakukan untuk melihat hubungan antar variabel ekonomi adalah kointegrasi dan vector error correction model (VECM). Metode kointegrasi dipopulerkan oleh Engle dan Granger pada tahun 1987 [7]. Pendekatan kointegrasi berkaitan erat dengan pengujian terhadap kemungkinan adanya hubungan keseimbangan jangka panjang diantara variabel-variabel ekonomi. Metode kointegrasi dapat dijadikan solusi dari masalah spurious regresion, yaitu
494
model regresi dengan nilai R2 tinggi namun tidak ada hubungan yang signifikan antar variabel respon dan prediktor. Vector Error Correction Model (VECM) merupakan model yang dikembangkan untuk mengatasi masalah variabel-variabel yang saling berkointegrasi atau memiliki hubungan keseimbangan jangka panjang namun dalam jangka pendek tidak ada keseimbangan (disequilibrium). Ketidakseimbangan inilah yang sering ditemui dalam perilaku hubungan antar variabel ekonomi. Model VECM memasukan penyesuaian untuk melakukan koreksi bagi ketidakseimbangan yang terjadi sehingga dinamika jangka pendek variabel-variabel di dalam sistem dipengaruhi oleh besarnya penyimpangan yang terjadi. Hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka pendek pada model VECM diasumsikan linear. Hubungan antar variabel ekonomi biasanya tidak linear [5]. Besarnya penyesuaian terhadap keseimbangan jangka panjang dapat berbeda di berbagai keadaan ekonomi [2]. Dalam makroekonomi, kebijakan sering diatur berdasarkan target, dimana intervensi dilakukan ketika penyimpangan terjadi secara signifikan dari target sehingga penyesuaian tidak dilakukan seketika itu juga melainkan dilakukan setelah penyimpangan melewati nilai threshold [18]. Hal ini berlawanan dengan VECM dimana penyimpangan dikoreksi dengan cara yang sama. Sehingga, bila pola hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka pendek adalah nonlinear maka model VECM tidak tepat untuk menggambarkan hubungan jangka pendek antar variabel. Dari semua penelitian yang sudah dilakukan tentang hubungan antara BI rate dan suku bunga kredit di Indonesia, belum ada penelitian yang mengkaji hubungan tersebut dengan mempertimbangkan adanya pola penyesuaian nonlinear yang mungkin terjadi untuk mengoreksi ketidakseimbangan yang terjadi di jangka pendek. Threshold cointegration yang diperkenalkan oleh Balke dan Fomby pada tahun 1997 merupakan model yang menggabungkan ke-nonlinier-an dan kointegrasi. Model threshold didasarkan pada prinsip bahwa proses pemodelan data time series ditandai dengan adanya rezim yang terpisah, masing-masing rezim memiliki pola yang berbeda. Secara khusus model ini memungkinkan dilakukan penyesuaian nonlinier terhadap keseimbangan jangka panjang. Model ini sudah banyak diterapkan pada penelitian-penelitian terdahulu, seperti [1], [4], dan [10]. Konsep threshold kointegrasi seperti yang diperkenalkan oleh Balke dan Fomby telah menarik perhatian para praktisi dalam mengungkap pola penyesuaian nonlinear harga relatif dan variabel lain. Ide dasar dari model threshold kointegrasi, adalah model dibentuk lebih dari satu rezim model time series yang dibagi berdasarkan nilai error correction term (ECT). Dengan kata lain efek threshold pada model VECM tergantung pada besarnya ketidakseimbangan terhadap sistem jangka panjang. Model yang digunakan untuk melakukan penyesuaian nonlinear terhadap ketidakseimbangan yang terjadi di jangka pendeknya disebut sebagai Threshold Vector Error Correction Model (TVECM). Berdasarkan pertimbangan bahwa kredit investasi memiliki peran yang cukup penting dalam peningkatan pertumbuhan ekonomi dan suku bunga kredit investasi juga memiliki peran yang penting dalam menentukan banyaknya kredit yang disalurkan dan keuntungan yang diperoleh bank maka penelitian ini bertujan melihat bagaimana hubungan antara BI rate dan suku bunga kredit investasi, apakah BI rate sebagai alat kebijakan moneter berhasil dalam memberikan pengaruh pada pergerakan suku bunga kredit investasi, bagaimanakah besarnya penyesuaian BI rate dan suku bunga kredit investasi sebagai respon ketidakseimbangan yang terjadi antara BI rate dan suku bunga kredit investasi, dan
495
berapa tingkat suku bunga kredit investasi ideal yang direkomendasikan untuk bank umum dengan mengacu pada penetapan BI rate. Pendekatan yang digunakan pada penelitian ini adalah Threshold Vector Error Correction Model. 2. Metodologi Penelitian 2.1 Sumber Data dan Variabel Penelitian Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data BI rate dan suku bunga kredit investasi dari Januari 2008- Juli 2016. Data-data tersebut merupakan data sekunder yang bersumber dari Publikasi Statistik Perbankan Indonesia (SPI) yang diterbitkan oleh Otoritas Jasa Keuangan. Variabel yang digunakan pada penelitian ini adalah Y1t yang merupakan variabel BI rate dan Y2t yang merupakan variabel suku bunga kredit investasi. Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini, adalah Threshold Vector Error Correction Model (TVECM). Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut: 1. Melakukan Uji stasioneritas data. 2. Melakukan uji kausalitas granger dimana lag optimum yang digunakan ditentukan dari kriteria Akaike’s information criterion (AIC), Schwarz information criterion (SIC), Hannan-Quinn Criterion (HQ), dan Final Prediction Error (FPE). 3. Melakukan pengujian kointegrasi 4. Melakukan pengujian signifikansi keberadaan threshold dengan Lagrange Multiplier Test (LM test) 5. Membuat model TVECM 2.2 Vector Error Correction Model (VECM) VECM merupakan model VAR yang dibuat ketika antar variabel saling berkointegrasi [3]. Variabel-variabel dalam VECM adalah variabel-variabel turunan pertama dalam model VAR yang dibedakan oleh error correction term atau dengan kata lain variabel dalam VECM merupakan variabel yang terkointegrasi pada order pertama [I(1)]. Hubungan dinamis jangka pendek dari suatu variabel di dalam sistem dipengaruhi oleh penyimpangan dari keseimbangan jangka panjang yang dikenal sebagai cointegration term atau error correction term. Untuk membahas model VECM ini, misalkan kita mempunyai hubungan jangka panjang atau keseimbangan untuk dua variabel sebagai berikut: ^
Y1t 0 1Y2t
(1)
Jika Y1t berada pada titik keseimbangan terhadap Y2t maka keseimbangan antara variabel Y1t dan Y2t pada persamaan (1) terpenuhi. Namun dalam sistem ekonomi pada umumnya keseimbangan jarang sekali ditemui. Bila Y1t mempunyai nilai yang berbeda dengan nilai keseimbangannya maka perbedaan antara sisi kiri dan sisi kanan pada persamaan (1) adalah sebesar: ECT Y1t 0 1Y2t
496
(2)
Nilai ECT ini disebut sebagai kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium error). Bentuk umum VECM yang memasukan variabel perubahan sampai dengan lag ke-p, adalah sebagai berikut: p
p
i 1
i 1
p
p
i 1
i 1
Y1t a10 a y1 (Y1t 1 0 1Y2t 1 ) a11,i Y1t i a12,i Y2t i y1,t
(3)
dan Y2t a 20 a y 2 (Y1t 1 0 1Y2t 1 ) a 21,i Y1t i a 22,i Y2t i y 2,t
(4)
2.3 Threshold Vector Error Correction Model (TVECM) Keberadaan threshold dalam model membentuk model VECM menjadi bentuk berikut: A1T y t 1 ( β ) ut , jika Wt 1 ( ) ≤ γ
Δy t =
A2 T y t 1 ( β ) ut , jika Wt 1 ( ) > γ
(5) (6)
dimana: A1 dan A2 adalah matriks koefisien dalam kedua rezim A1 =A2 ketika tidak ada threshold γ adalah parameter threshold. Model (5) dan (6) dapat juga dituliskan menjadi persamaan berikut: Δy t A1 T y t 1 ( β )d 1t ( , γ) + A2 T y t 1 ( β )d 2t ( , γ) + ut
(7)
dimana: d1t ( , γ) = I ( Wt 1 ( ) ≤ γ)
d 2t ( , γ) = I ( Wt 1 ( ) > γ) dan I(.) menunjukan fungsi indikator. Model (7) memiliki 2 rezim yang didefinisikan oleh nilai error-correction term. Koefisien matriks A1 dan A2 menentukan dinamika kedua rezim tersebut. Model (7) memungkinkan semua koefisien (kecuali vektor kointegrasi β) untuk berganti diantara kedua rezim. Efek threshold ada jika 0 PWt 1 1 Besarnya nilai γ . ditentukan dengan batasan dimana , adalah sebuah parameter trimming.
3. Hasil-Hasil Utama Gambar 1 merupakan time series plot BI rate dan suku bunga kredit investasi dari Januari 2008 sampai dengan Juli 2016. Gambar 1 diolah dengan menggunakan software minitab. Dari gambar 1 dapat dilihat bahwa terdapat kemiripan pola time series plot antara BI rate dan suku bunga kredit investasi. Hal
497
ini mengindikasikan bahwa kedua variabel tersebut berhubungan. Dengan kata lain instrumen kebijakan moneter berupa BI rate terindikasi diikuti oleh pergerakan suku bunga kredit investasi. BI rate tertinggi terjadi pada oktober 2008 yaitu sebesar 9,5 persen. Hal ini disebabkan karena adanya krisis global sehingga untuk meminimalisir dampaknya terhadap melemahnya nilai tukar rupiah terhadap dollar, BI menaikan BI rate menjadi 9.5 persen untuk mendorong investor asing menanamkan modal dengan membeli surat-surat berharga ke dalam instrumeninstrumen keuangan di Indonesia sehingga aliran modal asing yang masuk akan mengapresiasi nilai tukar rupiah. Variable BI Rate Suk u bunga k redit Inv
14 13 12
Data
11 10 9 8 7 6 5 Month Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Year 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Gambar 1. Time Series Plot Data BI Rate dan Suku Bunga Kredit Investasi Meski BI rate desember 2008 sudah turun ke angka 9,25 persen namun suku bunga kredit investasi pada bulan tersebut justru merupakan suku bunga kredit investasi tertinggi yaitu 13,98 persen. Tidak langsung diikutinya penurunan BI rate oleh penurunan suku bunga kredit investasi bisa disebakan oleh masih tingginya resiko gagal bayar yang mungkin timbul dari sektor riil tersebut akibat perekonomian yang belum begitu kondusif. Selain itu perbankan membutuhkan waktu untuk menghitung-hitung kembali kebutuhannya dan mengatur strategi berdasarkan struktur dana, pengeluaran tidak terduga, dan lain-lain. Sementara itu BI rate terendah adalah pada angka 5,75 persen yang terjadi di bulan februari 2012 sampai dengan mei 2013. Penuruan BI rate menjadi 5,75 persen sebagai langkah BI untuk mendorong pertumbuhan ekonomi Indonesia di tengah menurunnya kinerja ekonomi global. Langkah ini terlihat berhasil bila melihat dari suku bunga kredit investasi yang ikut mengalami penurunan menjadi 11,62 persen pada februari 2012 kemudian turun kembali sampai menyentuh angka 11,14 di Juni 2013. Dengan suku bunga kredit investasi yang rendah tentunya akan meningkatkan hasrat para produsen untuk menambah atau memperluas usahanya sehingga perekonomian menjadi terpacu. 3.1 Uji Stasioneritas Data Langkah awal yang dilakukan sebelum melakukan pemodelan TVECM adalah melakukan uji stasioneritas data. Uji kointegrasi akan bermakna jika variabel-variabel yang diteliti belum stasioner dan terintegrasi pada derajat yang sama. Oleh karena itu sebelum melakukan pengujian kointegrasi perlu dilakukan uji stasioneritas data pada variabel yang akan diteliti. Pada tabel 1 disajikan hasil uji stasioneritas BI rate (Y1) dan Suku Bunga Kredit Investasi (Y2) untuk data asli
498
atau belum dilakukan differencing. Metode yang digunakan untuk menguji stasioneritas data adalah Augmented Dickey Fuller (ADF) dan Philips Perron (PP). Kedua pengujian ini dilakukan dengan bantuan software evews 8.0. Dari tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai p-value dari uji ADF dan PP untuk variabel Y1 dan Y2 lebih kecil dari 0,05. Hal ini memberikan keputusan bahwa hipotesis nol tidak ditolak dengan level signifikan 5 persen, yang artinya dengan level signifikan 5 persen kedua variabel tidak stasioner. Langkah selanjutnya adalah melakukan uji stasioneritas kedua variabel setelah dilakukan differencing pertama. Hasil uji stasioneritas Y1 dan Y2 setelah dilakukan differencing pertama dapat dilihat di tabel 2. Tabel 1. Uji Stasioneritas Data Asli Variabel
Jenis Uji
Hipotesis Nol
P-value
Keputusan
ADF
Y1 tidak stasioner
0.1153
Gagal tolak Ho
PP
Y1 tidak stasioner
0.4082
Gagal tolak Ho
ADF
Y2 tidak stasioner
0.4208
Gagal tolak Ho
PP
Y2 tidak stasioner
0.4719
Gagal tolak Ho
Y1
Y2
Dari tabel 2 dapat dilihat pengujian variabel Y1 dan Y2 yang sudah dilakukan differencing. Nilai p-value dari uji ADF dan PP lebih kecil dari 0.05. Hal ini memberi keputusan bahwa hipotesis nol ditolak dengan level signifikan 5 persen, yang artinya dengan level signifikan 5 persen kedua variabel yang sudah dilakukan differencing sudah stasioner. Dengan demikian bisa dikatakan bahwa variabel Y1 dan Y2 terintegrasi pada derajat yang sama yaitu order 1 sehingga uji kointegrasi dapat dilakukan pada kedua variabel tersebut.
499
Tabel 2. Uji Stasioneritas Data Setelah Differencing Pertama Variabel
Jenis Uji
Hipotesis Nol
P-value
Keputusan
ADF
Y1 tidak stasioner
0.0082
Tolak Ho
PP
Y1 tidak stasioner
0.0000
Tolak Ho
ADF
Y2 tidak stasioner
0.0000
Tolak Ho
PP
Y2 tidak stasioner
0.0000
Tolak Ho
Y1
Y2
3.2 Panjang Lag Optimum Penentuan panjang lag optimum diperlukan untuk digunakan pada uji kausalitas granger dan pembentukan TVECM. Pada penelitian ini pengolahan uji panjang lag optimum dilakukan dengan menggunakan software eviews 8.0. Pada tabel 3 disajikan hasil panjang lag optimium yang diperoleh dengan menggunakan criteria Akaike Information Criterion (AIC) , Scwarz Information Criterion (SIC), Hannan Quinn (HQ), dan Final Prediction Error (FPE). Penentuan panjang lag optimum dilakukan dengan bantuan software evews 8.0 Dari empat kriteria yang digunakan, tiga diantaranya (FPE, AIC, dan HQ) memberi kesimpulan bahwa panjang lag optimum yang terpilih adalah 4. Dengan demikian diputuskan bahwa panjang lag optimum yang digunakan pada penelitian ini adalah 4. Penentuan ini juga didukung dengan pendapat [12] bahwa kriteria AIC dan FPE dapat meminimalkan terjadinya underestimate dan memaksimalkan peluang untuk mendapatkan panjang lag yang sebenarnya untuk sampel kecil (T < 120). Tabel 3. Hasil Uji Panjang Lag Optimum Lag 1 2 3 4 5 6 7 8
FPE 0.000288 0.000212 0.000191 0.000174* 0.000186 0.000194 0.000207 0.000220
AIC -2.476941 -2.782568 -2.889226 -2.979940* -2.916771 -2.874390 -2.809194 -2.751642
500
SC -2.369409 -2.567504* -2.566631 -2.549813 -2.379113 -2.229200 -2.056472 -1.891389
HQ -2.433490 -2.695666 -2.758874 -2.806136* -2.699517 -2.613685 -2.505038 -2.404035
3.3 Uji Kausalitas Granger Uji kausalitas granger pada penelitian ini bertujuan untuk melihat hubungan sebab akibat yang terjadi antara BI rate dan suku bunga kredit investasi, apakah hubungan kausalitas yang terjadi satu arah, dua arah, atau tidak terjadi hubungan. Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji F. Keputusan ditolak atau tidaknya hipotesis nol dapat dilakukan dengan melihat p-value. Jika p-value kurang dari level signifikan (α) yang digunakan, maka keputusannya tolak Ho. Berikut adalah hasil uji kausalitas granger yang merupakan hasil olahan dengan menggunakan software eviews 8.0. Tabel 4. Hasil Uji Kausalitas Granger antara BI Rate dan Suku Bunga Kredit Investasi Hipotesis Nol BI rate tidak memengaruhi Suku bunga kredit investasi
F-Statistic
p-value
7.41484
0.00003
7.69853
0.00002
Suku bunga kredit investasi tidak memengaruhi BI rate
Dari tabel 4 dapat dilihat bahwa besarnya p-value untuk hipotesis nol yang pertama adalah 0,00003 dan yang kedua adalah 0,00002. Kedua p-value tersebut bernilai kurang dari level signifikan (5 persen) sehingga keputusan untuk kedua hipotesis tersebut adalah tolak Ho. Karena BI rate mempengaruhi suku bunga kredit investasi dan begitu juga sebaliknya, maka hubungan kausalitas yang terjadi antara BI rate dan suku bunga kredit investasi adalah hubungan kausalitas dua arah (bilateral causality). Hal ini mengindikasikan suku bunga kredit investasi mempengaruhi BI rate sampai empat bulan kedepan dan begitu juga sebaliknya. Setelah disimpulkan bahwa BI rate dan suku bunga kredit investasi terintegrasi pada order yang sama, maka langkah selanjutnya adalah menguji ada atau tidaknya hubungan keseimbangan jangka panjang. Ada atau tidaknya kointegrasi atau hubungan jangka panjang antara suku bunga kredit investasi dengan BI rate dapat dilihat dari siginifikan atau tidaknya koefisien error correction term (ECT) pada model VECM atau TVECM. Ada atau tidaknya hubungan keseimbangan jangka panjang diperoleh dengan cara mencari garis regresi dengan metode Ordinary Least Square (OLS) antara Y1t sebagai variabel bebas dengan Y2t sebagai variabel terikat. Setelah itu, hitung residual dari persamaan regresi yang terbentuk. Jika residual model sudah stasioner pada level, artinya BI rate dan suku bunga kredit investasi memiliki hubungan keseimbangan jangka panjang. Model regresi yang diperoleh adalah sebagai berikut: (8)
501
Model di atas dapat diinterpretasikan ketika BI rate naik sebesar 1 persen maka suku bunga kredit investasi akan meningkat sebesar 1,679 persen. Jika residual dari persamaan (8) sudah stasioner maka BI rate dan suku bunga kredit investasi memiliki keseimbangan jangka panjang. Hasil dari pengujian stasioneritas residual persamaan (8) dapat dilihat di tabel 5. Dari tabel dapat dilihat bahwa dengan menggunakan uji ADF dan PP residual persamaan (8) sudah stasioner. Dengan demikian terdapat hubungan keseimbangan jangka panjang antara BI rate dan suku bunga kredit investasi. Analisis dapat dilakukan pada model VECM atau TVECM.
Tabel 5. Uji Stasioner Residual Model Regresi Variabel
Jenis Uji
Hipotesis Nol
P-value
Keputusan
ADF
Y1 tidak stasioner
0.0047
Tolak Ho
PP
Y1 tidak stasioner
0.0487
Tolak Ho
Sebelum menentukan apakah model VECM atau TVECM yang tepat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suku bunga kredit investasi dan BI rate terlebih dahulu dilakukan pengujian signifikansi keberadaan threshold. Hipotesis yang digunakan pada pengujian ini adalah: Ho: Model adalah linear VECM H1: Model adalah Threshold VECM Pengujian signifikansi keberadaan threshold dilakukan dengan metode SupLM. Berikut adalah hasil pengujian signifikansi keberadaan threshold yang diperoleh dengan bantuan software R 3.1.0. Tabel 6. Hasil Uji Signifikansi Keberadaan Threshold Level Signifikan
Nilai Kritis
5%
28.5222
Statistik Uji
Keputusan Tolak Ho
29.3881 10%
p-value
27.1712
0.036 Tolak Ho
Hasil pengujian terhadap threshold diperoleh nilai SupLM sebesar 29,3881 dengan p-value sebesar 0,036. Hasil pengujian ini menunjukan bahwa keberadaan threshold pada pemodelan suku bunga kredit investasi dan BI rate Indonesia sudah tepat yang artinya memang terdapat penyesuaiaan atau koreksi yang berbeda untuk batas threshold tertentu. Dengan demikian pemodelah TVECM tepat untuk dilakukan.
502
3.4 Threshold Vector Error Correction Model (TVECM) Pada penelitian ini dilakukan pemodelan TVECM 3 rezim. Nilai trimming yang digunakan sebagai batasan pada pencarian estimasi threshold adalah sebesar 0,05. Berikut adalah hasil pengolahan TVECM dengan 3 rezim.
Gambar 2. Nilai Koefisien Kointegrasi yang terpilih untuk Pemodelan TVECM 3 Rezim Dari gambar 2 dapat dilihat bahwa residual sum of square terkecil dihasilkan ketika parameter kointegarsinya sebesar 1.68. Tabel 7. Hasil Estimasi Koefisien Parameter TVECM 3 Rezim Rezim 1 Variabel
ECTt-1 Konstanta skbunga _ invt 1
Δskbun ga_invt 0.0641 0.1836 0.2043
ΔBIrat et
Rezim 2 Δskb ΔBIra unga_i tet nvt
Rezim 3 Δskb ΔBIr unga_i atet nvt 0.0650 -0.0068 *
0.0339
0.0424
0.1072*
-0.0300
0.0053
0.0137
0.0604
0.0069
-0.6341
0.2064
0.5610
0.1779
-0.0545
BIratet 1
0.5956
0.6486
0.0409
-0.1986
0.0769
skbunga _ invt 2
0.2672
-0.1162
0.1733
1.4100* **
0.1798
0.5964 ** 0.3321.
BIratet 2
0.1516 1.0204 0.1934
0.7006
0.0706
0.2555*
0.2150
-0.1585
-1.0748
0.1702
-0.0415
0.0365
0.1124
0.1794
0.2855
0.2154
0.0170
1.8252
1.3493
0.0400
0.1431 0.6841* -0.1241
0.0441 0.3095 * 0.0220
skbunga _ invt 3 BIratet 3 skbunga _ invt 4 BIratet 4
Ket: Nilai di dalam kurung merupakan p-value
503
0.2867. 0.3724. 0.1258 0.0328
ECTt-1 = skbunga_invt-1-1.679 BIrayet 1 Nilai Threshold yang dihasilkan adalah -0,77 dan 0,51 Persentase observasi tiap rezim 10.2%, 41.8%, dan 48% (.) signifikan dengan taraf signifikansi 10 persen (*) signifikan dengan taraf signifikansi 5 persen (**) signifikan dengan taraf signifikansi 1 persen (***) signifikansi dengan taraf signifikansi 0.5 persen Tabel 7 merupakan estimasi koefiesien parameter TVECM untuk 3 Rezim. Estimasi ini diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS) dengan bantuan software R 3.0. Nilai threshold (γ1 dan γ2 ) yang membagi ketiga rezim tersebut adalah sebesar -0.77 dan 0.51. Berdasarkan tabel 7 bentuk TVECM dengan 3 rezim dapat dituliskan sebagai berikut: Rezim 1
Rezim 2
Rezim 3
504
Perilaku suku bunga kredit investasi dan BI rate dalam merespon ketidakseimbangan atau penyimpangan bebeda-beda antar rezim. Pembagian tiga rezim pada model TVECM didasarkan pada dua buah nilai threshold, yaitu -0,77 dan 0,51. Rezim 1 menggambarkan perilaku penyesuaian dari suku bunga kredit investasi dan BI rate ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya kurang dari -0.77. Rezim 2 menggambarkan perilaku penyesuaian suku bunga kredit investasi dan BI rate ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya adalah lebih dari atau sama dengan -0,77 dan kurang dari 0,51. Sedangkan rezim tiga menggambarkan perilaku penyesuaian suku bunga kredit investasi dan BI rate ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya lebih dari atau sama dengan 0,51. Secara empiris dapat dilihat bagaimana perilaku BI rate dan suku bunga kredit investasi dalam jangka pendek dalam merespon ketidakseimbanagn yang terjadi diantara keduanya. Dari tabel 7 dapat dilihat bahwa koefisien ECTt-1 signifikan pada rezim 2 dan rezim 3. Koefisien ECTt-1 menggambarkan seberapa besar variabel suku bunga kredit investasi dan BI rate melakukan penyesuaian bila terjadi ketidakseimbangan dalam jangka pendeknya. Hal ini berarti ketika koefisien ECTt-1 signifikan maka dapat dikatakan bahwa antar variabel dalam model memiliki kointegrasi atau keseimbangan jangka panjang karena ketika terjadi ketidakseimbangan pada jangka pendek salah satu atau kedua variabel tersebut akan melakukan penyesuaiaan untuk menuju keseimbangan jangka panjang. Dari tabel 7 terlihat bahwa rezim 2 dan 3 memiliki koefisien ECTt-1 yang signifikan pada taraf signifikansi 5 persen dimana pada rezim 2 koefisien ECTt-1 signifikan pada persamaan BI rate sedangkan pada rezim 3 koefisien ECTt-1 signifikan pada persamaan suku bunga kredit investasi. Koefisien ECT pada model TVECM dapat dimaknai bahwa bila terjadi terjadi ketidakseimbangan dengan nilai kurang dari -0,77 maka variabel yang akan melakukan penyesuaian adalah suku bunga kredit investasi meski tidak terlalu signifikan karena koefisien ECTt-1 pada persamaan ini bernilai negatif dengan mengoreksi ketidakseimbangan sebesar 6,41 persen dari ketidakseimbangan yang terjadi pada 1 periode sebelumnya. Pada rezim dua yaitu pada saat terjadi ketidakseimbangan dengan besaran antara lebih dari atau sama dengan -0,77 dan kurang dari 0,51, respon yang diberikan oleh kedua variabel untuk mengoreksi ketidakseimbangan tersebut agar saling berkointegarasi di jangka panjang tidak dapat tergambarkan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya koefisien ECTt-1 yang bertanda negative meskipun
505
koefisien ECTt-1 pada persamaan BI rate signifikan. Pada rezim tiga dimana ketidakseimbangan yang terjadi adalah lebih dari atau sama dengan 0,51, respon yang diberikan signifikan oleh suku bunga kredit investasi. Variabel ini akan melakukan penyesuaian sebagai bentuk koreksi ketidakseimbangannya terhadap BI rate pada bulan lalu dengan mengoreksi sebesar 6,5 persen dari besarnya ketidakseimbangan yang terjadi. Koefisien lag untuk dan dapat digunakan untuk menunjukan apakah dinamika BI rate dan suku bunga kredit investasi dipengaruhi oleh dinamika BI rate dan suku bunga kredit investasi pada periodeperiode sebelumnya. Dari tabel 7 dapat dilihat bahwa dinamika BI rate pada rezim 2 dipengaruhi signifikan oleh dinamika suku bunga kredit investasi pada 2 dan 4 bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh dinamika BI rate pada 2 bulan sebelumnya. Sedangkan dinamika BI rate pada rezim 3 dipengaruhi oleh dinamika BI rate pada 1 bulan sebelumnya. Sementara dinamika suku bunga kredit investasi pada rezim 3 dipengaruhi signifikan oleh dinamika suku bunga kredit investasi pada 4 bulan sebelumnya. Dengan menggunakan nilai threshold rezim 1 dan 3 sebagai batas penyimpangan minimum dan maksimum suku bunga kredit investasi dalam melakukan penyesuaian maka dapat dikatakan bahwa penyesuaian suku bunga kredit investasi terjadi saat , artinya bank umum akan melakukan koreksi atau merespon dengan meningkatkan suku bunga kredit investasi pada bulan ke-t jika suku bunga kredit investasi pada bulan t-1 masih kurang 0,77 dibandingkan dengan 1,679 kali BI rate pada bulan t-1. Sedangkan pada rezim tiga penyesuaiaan suku bunga kredit investasi terjadi saat , artinya bank umum akan mengurangi suku bunga kredit investasinya pada bulan ke-t jika suku bunga kredit investasi pada bulan t-1 lebih 0,51 dibandingkan dengan 1,679 kali BI rate pada bulan t-1. Dengan mengasumsikan bahwa kondisi ideal atau moderat adalah kondisi ketika selisih suku bunga kredit investasi dengan 1,679 kali BI rate tidak kurang dari -0.77 dan tidak lebih dari 0,51 maka suku bunga kredit investasi ideal bank umum adalah minimal 1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum adalah 1.679 BI rate + 0.51. 4. Kesimpulan Berdasarkan time series plot suku bunga kredit investasi dan BI rate dan hasil pengujian granger causality disimpulkan hubungan antara BI rate dan suku bunga kredit investasi adalah saling mempengaruhi. Hal ini berarti BI rate sebagai alat kebijakan moneter berhasil dalam mempengaruhi pergerakan suku bunga kredit investasi. BI rate dan suku bunga kredit investasi juga memiliki hubungan keseimbangan jangka panjang yang berarti ketika kedua variabel menyimpang dari nilai keseimbangan, salah satu atau kedua variabel akan melakukan penyesuaian agar kembali ke keseimbangan jangka panjang yang besarnya dilihat dari koefisien ECT model TVECM. Suku bunga kredit investasi akan signifikan melakukan penyesuaian ketika penyimpangan yang terjadi lebih dari atau sama dengan 0,51. Penyesuaian suku bunga kredit investasi untuk menuju keseimbangan jangka panjang dilakukan dengan mengoreksi 6,5 persen penyimpangan yang terjadi. Suku bunga kredit investasi ideal bank umum adalah minimal 1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum adalah 1.679 BI rate + 0.51.
506
Referensi [1] Aprilia, A., Anindita, R., Syafrial, Tsai, G., dan Hsien, Li. (2014), “ Threshold Cointegration Pada Pasar Jagung di Indonesia”, AGRISE, Vol. XIV, No. 1, Januari 2014, Hal 1-13. [2] Balke, NS, dan Fomby TB. (1997), “Threshold Cointegration”, International Economic Review, Vol. 38, Hal. 627-645 [3] Enders, W. (2004), Applied Econometric Time Series 2nd Edition., John Wiley & Sons Inc, New York. [4] Esteve, V. dan Prats, M.A. (2010), “Threshold Cointegration and Nonlinear Adjustment between Stock Prices and Dividens”, Applied Economics Letters, Vol. 17, Hal. 405-410. [5] Granger, C.W.J dan Terasvirta (1993), Modelling Nonlinear Economic Relationships (Advanced Texts in Econometrics), Oxford: Oxford University Press [6] Grasso, M, (2010), “Three-Regime Threshold Error Correction Models and the Law of One Price: The Case of European Electricity Markets”, Working Paper n.30 [7] Gujarati, D. (2004), Basic Econometric, McGraw-Hill, New York. [8] Hansen, BE dan Seo, B. (2002), “Testing Two-Regime Threshold Cointegration in Vector Error Correction Models”, Journal of Econometrics, Vol. 110, hal. 293-318. [9] Harmanta, Ekananda M. (2005). Disintermediasi Fungsi Perbankan di Indonesia Pasca Krisis 1997 : Faktor Permintaan atau Penawaran Kredit, Sebuah Pendekatan dengan Model Disequilibrium, Buletin Ekonomi Moneter dan Perbankan Juni 2005: 51-78. [10] Ihle, R. dan Cramon, Von. (2008b), “A Comparison of Threshold Cointegration and Markov-Switching Vector Error Correction Models in Price Transmission Analysis”, Proceedings of the NCCC-134 Conference on Applied Commodity Price Analysis, Forecasting, and Market Risk Management, St. Louis, Missouri. [11]
Irwan (2012). “Penetapan dan Proyeksi Tingkat Suku Bunga Bank Indonesia (BI-Rate) Hubungannya dengan Laju Pertumbuhan Ekonomi Indonesia”, Trikonomika, Volume 11, No.2, Desember 2012, Hal 148-159.
[12] Kim, V. Dan Liew, S. (2004), “Which Lag Length Selection Criteria Should We Employ?”, Economic Bulletin, Vol.3, No.33, Hal. 1-9.
507
[13] Larsen, B. (2012), A Threshold Cointegration Analysis of Norwegian Interest Rates, Tesis, University of Tromsф, Norwegia. [14] Listiyanto. (2013), “Analisis Kelakuan dan Faktor-Faktor uang Mempengaruhi Tingkat Suku Bunga Perbankan di Indonesia”, Jurnal Kebijakan Ekonomi, Vol. 8, No. 2, April 2013, Hal 26-36 [15]
Mankiw (2003), Teori Makroekonomi Edisi Kelima, Jakarta: Erlangga
[16]
Nugroho. (2010). Pengaruh Kebijakan BI Rate terhadap Suku Bunga Kredit Investasi Bank Umum Periode Juli 2005-Desember 2009, Fakultas Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta
[17]
Setianto. (2013). “ Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Suku Bunga Kredit Investasi pada Sektor Perbankan di Indonesia Periode 20062012”, Jurnal MIX, Volume III, No.2, Juni 2013, Hal 133-145.
[18] Stigler, M. (2010). Threshold Cointegration: Overview and Implementation in R, (online), (http://cran.rproject.org/package=tsDyn, diakses 15 September 2014). [19] Wei, W.W.S. (2006), Time Series Analysis Univariate and Multivariate Method, Second Edition. Pearson Addison Wesley, USA .
508
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 5 0 9 - 5 2 1
FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI STATUS POLIS DENGAN MODEL REGRESI LOGISTIK MULTINOMIAL JAMILATUZZAHRO1, REZZY EKO CARAKA2,3, GUSTRIZA ERDA4, FIZRY LISTIYANI MAULIDA4 1
Program Studi Aktuaria, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung,
[email protected] 2 Bioinformatics & Data Science Research Center (BDSRC), Universitas Bina Nusantara
[email protected] 3 School of Mathematical Sciences, Faculty of Science and Technology, The National University of Malaysia, Malaysia.
[email protected] 4 Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
[email protected] ,
[email protected]
Abstrak. Regresi logistik multinomial merupakan regresi logistik yang digunakan saat variabel dependen mempunyai sifat polichotomous atau multinomial. Hasil analisis yang diperoleh menyatakan bahwa usia pemegang polis dan cara pembayaran premi secara bersama-sama berpengaruh terhadap status polis asuransi. Usia dikelompokan menjadi dua kelompok yaitu: usia dibawah 30 tahun dan usia antara 31-35 tahun, dengan 4 jenis cara pembayaran yaitu : sekaligus, tahunan, semesteran dan kuartalan. Diperoleh estimasi peluang terbesar pada kelompok usia 31-35 tahun dengan cara pembayaran sekaligus yaitu sebesar 0,630. Kata kunci: Logistik, Multinomial, Asuransi Jiwa, Likelihood
1. Pendahuluan Hidup penuh dengan risiko dan ketidakpastian. Sewaktu-waktu kejadian seperti bencana alam, sakit, tindakan kriminal, dan kecelakaan dapat mengakibatkan kerugian yang tidak sedikit. Untuk mengatasi kerugian tersebut, maka manusia tertarik untuk mengembangkan mekanisme pemindahan ketidakpastian risiko atas hidup dan harta benda melalui asuransi. Asuransi adalah istilah yang merujuk pada tindakan, sistem, atau bisnis dimana perlindungan finansial (atau ganti rugi secara finansial) untuk jiwa, properti, kesehatan, dan lain sebagainya mendapatkan pergantian dari kejadian-kejadian tidak terduga yang dapat terjadi seperti kematian, kehilangan, kerusakan atau sakit, dimana melibatkan pembayaran premi secara teratur dalam jangka waktu tertentu sebagai ganti polis yang menjamin perlindungan tersebut. Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan pergantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab
509
hukum pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yaitu timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Secara umum asuransi dikategorikan menjadi tiga, yaitu asuransi jiwa, asuransi kerugian, dan asuransi sosial. Asuransi jiwa merupakan jenis asuransi yang meminimalkan kerugian akibat risiko kematian, risiko hari tua, dan risiko kecelakaan. Asuransi kerugian terdiri dari asuransi untuk benda (properti dan kendaraan), kepentingan keuangan (pecuniary), dan tanggung jawab hukum (liability). Sedangkan asuransi sosial merupakan program asuransi yang diselenggarakan oleh pemerintah yang bertujuan untuk menyediakan jaminan dasar bagi masyarakat dan tidak bertujuan untuk mendapatkan keuntungan komersial. Untuk menjadi seorang pemegang polis asuransi jiwa, data diri dari tertanggung dan ahli warisnya menjadi sangat penting. Hal ini bertujuan agar pihak penanggung yaitu perusahaan asuransi mengetahui secara detail data diri tertanggungnya sehingga apabila polis sudah jatuh tempo, terjadi risiko atau pemutusan perjanjian asuransi, pihak perusahaan asuransi dapat segera melakukan tindakan pembayaran atau tindakan lain sesuai perjanjian asuransi kepada pemegang polis atau ahli warisnya. Data pemegang polis atau tertanggung ini disimpan oleh bagian pertanggungan perusahaan asuransi, dimana dimuat data diri pemegang polis seperti usia, cara pembayaran premi asuransi dan status polis asuransi. Status polis asuransi terdiri dari 4 macam, yaitu ekspirasi, klaim, tebus, dan aktif. Ekspirasi adalah jenis pembayaran asuransi kepada ahli waris atau tertanggung dikarenakan masa kontrak asuransi sudah habis atau selesai. Klaim adalah pembayaran manfaat asuransi yang dilakukan dikarenakan tertanggung pensiun atau meninggal dunia. Tebus adalah pembayaran asuransi apabila polis sudah mempuntai nilai tunai namun ppemegang polis memutusakan peerjanjian asuransinya. Sedangkan status polis aktif adalah status polis asuransi yang masih berjalan. Berdasarkan informasi data yang diperoleh, didapatkan bahwa usia, cara pembayaran premi, dan status polis dapat dikategorikan menjadi lebih dari dua kategori, untuk menganalisa data tersebut digunakan metode regresi logistik multinomial.
2. Dasar Teori 2.1
Analisis Regresi Logistik Analisis regresi logistik merupakan salah satu alat analisis dalam statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel respon yang memiliki dua kategori atau lebih dengan satu atau lebih variabel bebas. Nilai yang dihasilkan persamaan regresi logistik merupakan peluang kejadian yang digunakan sebagai ukuran untuk pengklasifikasian. Pendekatan model persamaan regresi logistik digunakan karena dapat menjelaskan hubungan antara variabel bebas dan peluangnya yang bersifat tidak linear, ketidaknormalan sebaran dari variabel terikat, serta keragaman respon yang tidak konstan dan tidak dapat dijelaskan oleh model regresi linear biasa (Agresti, 1990).
510
2.2
Regresi Logistik Multinomial Regresi logistik multinomial merupakan regresi logistik yang digunakan saat variabel dependen mempunyai sifat polichotomous atau multinomial. Multinomial adalah suatu pengukuran yang dikategorikan lebih dari dua kategori. Misal X variabel bebas berukuran (p+1) dan variabel respon Y (r kategori) mempunyai kategori j = 0,1,2,….,r-1. Model regresi logistik nominal r kategori mempunyai r-1 fungsi logit. Jika diambil Y = 0 sebagai kategori dasar, maka fungsi logit (Hosmer, D.W. dan Lemeshow, S, 1989) didefiniskan sebagai berikut : g1 (x)
= ln
ln
gr-1 (x) = ln
= β10 + β11x1 + ……+ β1pxp
(1)
= β(r-1)0 + β(r-1)1x1 + ……+ β(r-1)pxp
= ln
(2) Jadi probabilitas bersyarat P(Y = j | x) = πj (x), j = 1,2,….,r-1 dapat ditulis 0= 1=
……………………… r-1 =
(3) Jadi, persamaan umum untuk peluang dari model kategori yaitu : (4)
2.3
Uji Independensi Uji χ² (chi kuadrat) digunakan untuk mengetahui apakah ada hubungan antara variabel prediktor (X) dan variabel respon (Y). Berikut ini adalah langkah– langkah untuk menghitung nilai chi kuadrat ( χ² ) : Hipotesis H0 : tidak ada hubungan yang signifikan antara varaibel bebas dengan variabel respon H1 : terdapat hubungan yang signifikan antara variabel bebas dengan variabel respon Taraf signifikansi : α
Statistik uji
dengan : = nilai observasi/pengamatan baris ke-i kolom ke-j = nilai ekspektasi baris ke-i kolom ke-j r = banyaknya baris c = banyaknya kolom Kriteria uji :
:
511
Tolak H0 jika χ² hitung > χ² (α, df) dengan derajat bebas df = (r - 1) (c - 1)
2.4
Uji Signifikansi Untuk menguji signifikansi koefisien β dari model yang telah diperoleh, maka digunakan uji serentak (uji rasio Likelihood) dan uji parsial (uji Wald). a. Uji Serentak (Uji Rasio Likelihood) Uji yang membandingkan model yang mengandung variabel bebas dan model yang tidak mengandung variabel bebas. Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah model telah tepat (signifikan). Berikut ini adalah langkah – langkahnya : Hipotesis H0 : β1p = β2p = ... = β(r-1)p = 0 H1 : paling sedikit ada satu βjk ≠ 0 dengan j= 1, 2, ..., r-1, k = 1, 2, ..., p Taraf signifikansi : α Statistik uji :G=
Kriteria uji : Tolak H0 jika G > (α,v) dengan v = (c-1) atau sig. < α b. Uji Parsial (Uji Wald) Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui signifikansi parameter terhadap variabel respon. Pengujian signifikansi parameter menggunakan uji Wald dengan hipotesis seperti berikut : Hipotesis H0 : βjk = 0 H1 : βjk ≠ 0 Taraf signifikansi : α = 5%
Statistik uji :
Kriteria uji
: Tolak H0 jika Wj >
(α,1) atau
sig. < α
2.5
Odds Rasio Odds ratio didefinisikan sebagai perbandingan dari nilai variabel sukses terhadap variabel bernilai gagal. Dengan kata lain odds rasio menjelaskan seberapa besar pengaruh variabel sukses dibanding variabel gagal terhadap suatu eksperimen atau observasi. Pada kasus penelitian dengan regresi logistik, nilai ini dapat dilihat dari nilai Exp(B) pada hasil analisis data. Hasil tersebut akan menunjukkan pengaruh setiap variabel-variabel bebas terhadap variabel terikatnya.
3. Applikasi Data yang digunakan adalah data pemegang polis asuransi pada PT. Asuransi XYZ. Data tersebut setelah dikelompokkan menurut usia, cara pembayaran premi, dan status polis asuransi sebagai berikut :
512
Tabel 1. Pengelompokan Data Pemegang Polis Status Polis Asuransi Usia Cara Bayar Premi Ekspirasi Klaim Tebus Aktif Sekaligus 67 0 13 46 Tahunan 15 32 243 211 ≤ 30 Tahun Semesteran 7 16 16 25 Kuartalan 0 60 33 49 Bulanan 15 65 144 122 Sekaligus 62 1 80 262 Tahunan 42 62 434 669 31-50 Semesteran 10 45 57 70 Tahun Kuartalan 7 177 65 126 Bulanan 31 77 249 392 Sekaligus 39 2 55 116 Tahunan 14 7 44 34 > 50 Semesteran 2 17 5 21 Tahun Kuartalan 1 3 1 1 Bulanan 3 9 29 28 Pada penelitian ini, yang menjadi obyek penelitian adalah data diri pemegang polis asuransi, yaitu usia pemegang polis dan cara pembayaran premi polis asuransi. Data ini merupakan data sekunder yang diperoleh dari bagian pertanggungan PT. Asuransi XYZ terhitung tanggal 1 Januari 2002 hingga 31 Desember 2011. Dalam penelitian ini, variabel dependen yang dianalisis adalah status polis asuransi yang dibagi menjadi 4, yaitu ekspirasi, klaim, tebus, dan aktif. Sebagai variabel dependen ( Y ) adalah status polis asuransi, yaitu: Y = 1, untuk status polis ekspirasi Y = 2, untuk status polis klaim Y = 3, untuk status polis tebus Y = 4, untuk status polis aktif Dalam penelitian ini, variabel independen yang diasumsikan memiliki pengaruh terhadap status polis asuransi yaitu : a. Usia pemegang polis, dikategorikkan menjadi tiga, yaitu : 1 : Usia ≤ 30 tahun 2 : Usia 31-50 tahun 3 : Usia > 50 tahun b. Cara pembayaran premi, dikategorikan menjadi lima, yaitu : 1 : pembayaran premi sekaligus 2 : pembayaran premi tahunan 3 : pembayaran premi semesteran 4 : pembayaran premi kuartalan 5 : pembayaran premi bulanan Pengujian independensi digunakan untuk mengetahui apakah terdapat hubungan antara variabel independen yakni usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi dengan variabel respon yaitu status polis asuransi. Untuk
513
mengetahuinya dapat digunakan uji Chi Kuadrat ( 2) seperti terdapat pada lampiran Chi-Squares Tests. 1. Hipotesis : H0 : Tidak ada hubungan antara variabel usia pemegang polis asuransi dengan variabel status polis asuransi H1 : Ada hubungan antara variabel usia pemegang polis asuransi dengan variabel status polis asuransi
Taraf Signifikansi : α = 5% Statistik uji : T = 104,356 dan sig 0,000 Kriteria uji : H0 ditolak jika nilai Pearson Chi-Square >
2
(6;0,05) atau
nilai
Sig < α .
Keputusan : Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Chi-Square Test nilai Pearson Chi-Square > 2(6;0,05) yaitu 104,356 > 12,59 dan sig < 5% yaitu 0,000 < 0,05 sehingga menolak H0 dan menerima H1. Artinya, ada hubungan antara variabel usia pemegang polis asuransi dengan variabel status polis asuransi. 2. Hipotesis : H0 : Tidak ada hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel status polis asuransi H1 : Ada hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel status polis asuransi
Taraf Signifikansi : α = 5% Statistik uji : T = 1129,079 dan sig 0,000 Kriteria uji : H0 ditolak jika nilai Pearson Chi-Square >
2
(12;0,05) atau
nilai Sig < α .
Keputusan : Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Chi-Square Test nilai Pearson Chi-Square > 2(12;0,05) yaitu 1129,079 > 21,03 dan sig < 5% yaitu 0,000 < 0,05 sehingga menolak H0 dan tidak menolak H1. Artinya, ada hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel status polis asuransi.
Model awal untuk tiap variabel respon bisa dijelaskan sebagai berikut : a. Status eskpirasi π₁ = b. Status klaim π2 = c. Status tebus π3 = d. Status aktif π4 = Dengan fungsi logit masing-masing status polis asuransi seperti pada lampiran Parameter Estimates :
514
a. g1(x) = -2,339 + 0,537(usia1) – 0,405(usia2) + 1,525(carabayar1) – 0,134(carabayar2) + 0,644(carabayar3) – 0,634(carabayar4) b. g2(x) = -0,869 – 0,094(usia1) – 0,587(usia2) – 3,755(carabayar1) – 0,915(carabayar2) + 0,866(carabayar3) + 1,635(carabayar4) c. g3(x) = -0,008 + 0,089(usia1) – 0,411(usia2) – 0,834(carabayar1) + 0,023(carabayar2) – 0,142(carabayar3) – 0,288(carabayar4)
3.1
Uji Rasio Likelihood Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah model telah tepat (signifikan) dan untuk memeriksa kemaknaan koefisien β secara keseluruhan yang terdapat pada lampiran Model Fitting Information dengan langkah-langkah berikut: Hipotesis H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = 0 (model tidak signifikan atau secara bersama-sama usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi tidak berpengaruh terhadap status polis asuransi) H1 : salah satu dari βr ≠ 0 dengan r = 1, 2, 3. (model signifikan atau secara bersama-sama usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi berpengaruh terhadap status polis asuransi) Taraf signifikansi : α = 5% Statistik uji :G=
= 1338,241 – 304,723 = 1033,518 Dan nilai sig pada lampiran Model Fitting Information = 0,000 Kriteria uji : Tolak H0 jika G > (α,v) atau sig. < α Keputusan : Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Model Fitting Information nilai sig < 5% yaitu 0,000 < 0,05 sehingga menolak H0 dan menerima H1. Artinya, model signifikan atau secara bersamasama usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi berpengaruh terhadap status polis asuransi.
Wald Ekspirasi
Tabel 2. Signifikansi pemegang polis sig 0,007 usia1 (≤ 30 tahun) berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi. 0,026 usia2 (31-50tahun) = 4,98 berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi. Wj > 0,000 carabayar1 (sekaligus) (α,1) = 70,38 berpengaruh terhadap status atau sig. ekspirasi pada polis asuransi. <α 0,490 carabayar2 (tahunan) tidak = 0,47 berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi. 0,027 carabayar3 (semesteran) = 4,90 berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi.
515
0,106 =2,61 Klaim
=0,18
=7,86
0,672
0,005
0,000 =40,50 = 42,80
0,000
0,000 = 24,48 0,000 = 143,03 Tebus
0,520 =0,41 0,001 =10,42 0,000 = 48,03 0,784 = 0,075 0,378 = 0,778 0,043 = 4,106
carabayar4 (kuartalan) tidak berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi. usia1 (≤ 30 tahun) tidak berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi. usia2 (31-50 tahun) berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi. carabayar1 (sekaligus) berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi. carabayar2 (tahunan) berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi carabayar3 (semesteran) berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi. carabayar4 (kuartalan) berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi. usia1 (≤ 30 tahun) tidak berpengaruh terhadap status tebus pada polis asuransi. usia2 (31-50 tahun) berpengaruh terhadap status tebus pada polis asuransi. carabayar1 (sekaligus) berpengaruh terhadap status tebus pada polis asuransi. carabayar2 (tahunan) tidak berpengaruh terhadap status tebus pada polis asuransi. carabayar3 (semesteran) tidak berpengaruh terhadap status tebus pada polis asuransi. carabayar4 (kuartalan) berpengaruh terhadap status tebus pada polis asuransi.
Setelah dilakukan Uji Wald, diperoleh hasil bahwa koefisien carabayar2 dan carabayar4 tidak berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi, koefisien usia1 tidak berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi, dan koefisien usia1, carabayar2, dan carabayar3 tidak berpengaruh terhadap status tebus pada polis asuransi. Karena tidak ada koefisien yang tidak berpengaruh pada semua status polis asuransi maka dapat disimpulkan bahwa semua koefisien berpengaruh sehingga semua koefisien tetap dimasukkan dalam model akhir.
516
3.2
Model Akhir Berdasarkan serangkaian uji yang sudah dilakukan, maka diperoleh model akhir sebagai berikut : a. Status eskpirasi π₁ = b. Status klaim π2 = c. Status tebus π3 = d. Status aktif π4 = dengan fungsi logit : a. g1(x) = -2,339 + 0,537(usia1) – 0,405(usia2) + 1,525(carabayar1) – 0,134(carabayar2) + 0,644(carabayar3) – 0,634(carabayar4) b. g2(x) = -0,869 – 0,094(usia1) – 0,587(usia2) – 3,755(carabayar1) – 0,915(carabayar2) + 0,866(carabayar3) + 1,635(carabayar4) c. g3(x) = -0,008 + 0,089(usia1) – 0,411(usia2) – 0,834(carabayar1) + 0,023(carabayar2) – 0,142(carabayar3) – 0,288(carabayar4) dengan : π1(x) = peluang status ekspirasi π2(x) = peluang status klaim π3(x) = peluang status tebus π4(x) = peluang status aktif 3.3
Estimasi Peluang Status Polis Asuransi Estimasi peluang diperoleh dari fungsi : a. Status eskpirasi π₁ = b.
Status klaim π2 =
c.
Status tebus π3 =
d.
Status aktif π4 =
517
Tabel 3. Estimasi Peluang untuk Masing-Masing Variabel Respon Status
Jenis usia Usia1 (≤ 30 tahun)
Jenis cara bayar premi Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
Usia2 (31-50 tahun)
Carabayar4 (kuartalan) Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
-2,436 -1,219 -2,878 -2,1
0,023 0,186 0,031 0,054
Usia1 (≤ 30 tahun)
Carabayar4 (kuartalan) Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
-3,378 -4,718 -1,878 -0,097
0,013 0,004 0,047 0,236
Usia2 (31-50 tahun)
Carabayar4 (kuartalan) Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
0,672 -5,211 -2,371 -0,59
0,410 0,002 0,034 0,177
Usia1 (≤ 30 tahun)
Carabayar4 (kuartalan) Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
0,179 -0,753 0,104 -0,061
0,324 0,136 0,270 0,239
Usia2 (31-50 tahun)
Carabayar4 (kuartalan) Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
-0,207 -1,253 -0,396 -0,561
0,213 0,087 0,183 0,160
-0,707
Usia1 (≤ 30 tahun)
Carabayar4 (kuartalan) Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
0,141 0,522 0,623 0,426
Usia2 (31-50 tahun)
Carabayar4 (kuartalan) Carabayar1 (sekaligus) Carabayar2 (tahunan) Carabayar3 (semesteran)
0,354 0,724 0,752 0,608
Carabayar4 (kuartalan)
0,522
Ekspiras i
Klaim
Tebus
Aktif
Fungsi logit -0,277 -1,936 -1,158
Peluang 0,339 0,060 0,099
Berdasarkan hasil dari estimasi peluang status polis asuransi diperoleh
518
beberapa hasil sebagai berikut : Peluang terbesar untuk status ekspirasi polis asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan carabayar1 (sekaligus) yaitu sebesar 0,339 Peluang terbesar untuk status klaim polis asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan carabayar4 (kuartalan) yaitu sebesar 0,410 Peluang terbesar untuk status tebus asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,270 Peluang terbesar untuk status aktif polis asuransi adalah usia2 (31-50 tahun) dan carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,752 3.4
Odds Ratio Odds ratio (exp(B)) didefinisikan sebagai perbandingan dari nilai variabel sukses terhadap variabel bernilai gagal. Dengan kata lain odds rasio menjelaskan seberapa besar pengaruh variabel sukses dibanding variabel gagal terhadap suatu eksperimen atau observasi. Hasil tersebut akan menunjukkan pengaruh setiap variabel-variabel bebas terhadap variabel terikatnya. Berikut tabel nilai Exp(B) berdasarakan lampiran Parameter Estimates : Tabel 4. Tabel Odds Ratio Variabel Bebas Exp(B) Usia1 1,711 Usia2 0,667 Carabayar1 4,594 Ekspirasi Carabayar2 0,875 Carabayar3 1,904 Carabayar4 0,531 Usia1 0,910 Usia2 0,556 Carabayar1 0,023 Tebus Carabayar2 0,401 Carabayar3 2,378 Carabayar4 5,131 Usia1 1,093 Usia2 0,663 Carabayar1 0,434 Klaim Carabayar2 1,023 Carabayar3 0,867 Carabayar4 0,750 Status
Berdasarkan nilai Odds Ratio tersebut, didapat kesimpulan sebagai berikut : Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status ekspirasi adalah lebih besar 1.711 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun) Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status ekspirasi adalah lebih kecil 0,667 kali dari seorang usia selain usia2 (31-50 tahun) Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar1 (sekaligus) dengan status ekspirasi adalah lebih besar 4,594 kali dari seorang
519
membayar premi selain dengan carabayar1 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar2 (tahunan) dengan status ekspirasi adalah lebih kecil 0,875 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar2 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar3 (semesteran) dengan status ekspirasi adalah lebih besar 1,904 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar3 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar4 (kuartalan) dengan status ekspirasi adalah lebih kecil 0,531 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar4 Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status klaim adalah lebih kecil 0,910 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun) Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status klaim adalah lebih kecil 0,556 kali dari seorang usia selain usia2 (31-50 tahun) Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar1 (sekaligus) dengan status klaim adalah lebih kecil 0,023 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar1 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar2 (tahunan) dengan status klaim adalah lebih kecil 0,401 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar2 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar3 (semesteran) dengan status klaim adalah lebih besar 2,378 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar3 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar4 (kuartalan) dengan status klaim adalah lebih besar 5,131 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar4 Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status tebus adalah lebih besar 1,093 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun) Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status tebus adalah lebih kecil 0,663 kali dari seorang usia selain usia2 (31-50 tahun) Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar1 (sekaligus) dengan status tebus adalah lebih kecil 0,434 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar1 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar2 (tahunan) dengan status tebus adalah lebih besar 1,023 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar2 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar3 (semesteran) dengan status tebus adalah lebih kecil 0,867 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar3 Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar4 (kuartalan) dengan status tebus adalah lebih kecil 0,750 kali dari seorang membayar premi selain dengan carabayar4
4. KESIMPULAN Berdasarkan analisis dan pembahasan tentang bagaimana pengaruh usia pemegang polis dan cara membayar premi asuransi terhadap terhadap status polis asuransi tersebut, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
520
1. 2. 3. 4.
Terdapat hubungan antara variabel bebas yaitu usia pemegang polis dan cara membayar premi asuransi dengan variabel respon yaitu status polis asuransi. Model signifikan atau secara bersama-sama usia pemegang polis dan cara pembayaran premi berpengaruh terhadap status polis asuransi. Semua koefisien berpengaruh sehingga semua koefisien tetap dimasukkan dalam model akhir. Berdasarkan hasil dari estimasi peluang status polis asuransi diperoleh beberapa hasil sebagai berikut : a. Peluang terbesar untuk status ekspirasi polis asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan carabayar1 (sekaligus) yaitu sebesar 0,339 b. Peluang terbesar untuk status klaim polis asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan carabayar4 (kuartalan) yaitu sebesar 0,410 c. Peluang terbesar untuk status tebus asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,270 d. Peluang terbesar untuk status aktif polis asuransi adalah usia1 (31-50 tahun) dan carabayar1 (sekaligus) yaitu sebesar 0,630
Referensi [1] Garson G David, 2014, Logistic Regression : Binary and Multinomial, Statistical Association Publisher. [2] Hogg Robert V., 2004, Craig A., McKean J.W., Introduction to Mathematical Statistic , Pearson Education international (2005), 24-25. [3] Bowers Newaton L., Gerber H.U., Hickman, jones D.A.,1994, Nesbitt C.J, Actuarial Mathematics, The Society of Acturies. 167-197. [4] Caraka, R.E., 2016. Sebuah Kajian Dan Studi Perhitungan Dana Pensiun Di Indonesia. Jurnal Badan Pendidikan Dan Pelatihan Keuangan Kementerian Keuangan Republik Indonesia (BPPK).9,No.2.pp.160-180
521
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 5 2 2 - 5 2 7
ESTIMASI PARAMETER TINGKAT MORTALITA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL LEE-CARTER LUTFIANI SAFITRI1, SRI MARDIYATI2 1
Deprtemen Matematika FMIPA UI,
[email protected] Deprtemen Matematika FMIPA UI,
[email protected]
2
Abstrak. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai peramalan laju mortalita pada negara Hungaria, dengan menggunakan model Lee-Carter. Dimana data yang digunakan adalah data tingkat kematian Hungaria pada tahun 1949 -2003. Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter menggunakan Least Square dan Singular Value Decomposition (SVD). Dari hasil estimasi parameter tersebut kemudian akan dihitung tingkat mortalita menggunakan model Lee carter yang kemudian akan dibandingkan dengan tingkat mortalita yang sesungguhnya. Dan akan didapatkan hasil bahwa nilai dari estimasi parameter tersebut cukup bagus. Kemudian akan disimulasikan dalam pemrograman python. Kata kunci : Mortality Rate, Least Square, Singular Value Decomposition.
1. Pendahuluan Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang ukuran, struktur, dan distribusi penduduk, serta bagaimana jumlah penduduk berubah setiap waktu akibat kelahiran, kematian, serta migrasi. Menurut definisinya terdapat tiga komponen yang dapat mempengaruhi struktur penduduk, diantaranya adalah kelahiran, migrasi dan kematian [2]. Data kematian ini sendiri juga sangat penting bagi pemerintahan sebuah Negara, diantaranya yaitu untuk bahan evaluasi terhadap program-program kebijakan penduduk serta proyeksi penduduk yang nantinya akan digunakan untuk perancangan pembangunan Negara [4]. Selain penting bagi pemerintah, data kematian juga penting bagi beberapa pihak swasta, terutama yang berkecimpung dalam bidang ekonomi, kesehatan dan asuransi. Data kematian ini sering kali disajikan dalam bentuk tabel yang disebut dengan tabel mortalita/ life table. Tabel mortalita ini berisi tentang jumlah orang yang meninggal, jumlah orang yang bertahan hidup dalam berbagai tingkat usia, rata-rata usia yang mereka capai, dan kemungkinan seseorang akan meninggal pada suatu periode waktu. Data kematian yang ada dalam life table digunakan dalam berbagai bidang keilmuan, diantaranya bidang kesehatan, aktuaria, dan demografi. Dalam bidang kesehatan, life table digunakan untuk mengetahui probabilitas seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Kemudian dalam bidang aktuari, dan demografi life table dapat digunakan untuk menunjukkan probabilitas seseorang untuk tetap hidup pada setiap tahunnya pada tingkat usia tertentu serta harapan hidupnya yang tersisa [7]
522
Dalam menghitung besarnya tingkat mortalita suatu wilayah, terdapat beberapa model yang dapat digunakan, salah satunya yaitu model Lee-Carter. Pada tahun 1992, Lee dan Carter memperkenalkan sebuah model stokastik untuk memprediksi laju mortalita di Negara Amerika Serikat, model inilah yang kemudian sering disebut dengan model Lee-Carter. Karena kesederhanaan model dan hasil prediksi yang cukup baik, model Lee-carter ini telah berhasil diterapkan untuk peramalan tingkat mortalita pada beberapa Negara dan pada periode waktu yang berbeda, diantaranya adalah Amerika Serikat, Kanada (1993), Chili (1994), dan Jepang (1996). Austria (2001), Belgia (2002), Hungaria (2007), Italia (2011), dan Malaysia (2016)[1]. .
2. Lee-Carter Pada tahun 1992 Lee dan Carter memperkenalkan sebuah model baru untuk meramalkan tingkat mortalita. Berikut adalah modelnya (2.1) Dengan batasan parameter: dan dimana merupakan central death rate pada umur x pada tahun ke t, dengan x=1,2,…,N, menunjukkan umur, dan t=1,2,…,T menunjukkan tahun [1]. Kemudian dan adalah parameter yang bergantung hanya pada umur, dan adalah proses stokastik yang bergantung hanya pada tahun observasinya dan adalah independent error, dengan meannya 0 dan variansinya [5]. Model (2.1) menyatakan tingkat mortalita pada umur pada tahun ke- . Untuk dapat meramalkan tingkat mortalita pada tahun berikutnya dibutuhkan estimasi untuk seluruh parameter yang ada dalam model. Untuk estimasi parameter akan digunakan metode least square dengan batasan parameter yang ada. Metode Least Square digunakan dengan meminimumkan nilai error-nya, dalam hal ini adalah akan meminimumkan nilai atau untuk nilai t tertentu.
Karena
, maka
Dengan mengikuti batasan parameter
dan
523
maka
Maka didapatkan estimasi nilai parameter
yaitu:
Setelah estimasi parameter didapatkan selanjutnya akan mengestimasi nilai dan dengan menggunakan Singular Value Decomposistion (SVD). Definisi 2.1: Suatu foktorisasi dari matrik sebagai , dimana adalah matriks orthogonal, adalah matriks diagonal, dan adalah matriks orthogonal, disebut SVD dari A. Nilai-nilai dari D dikenal sebagai nilainilai singular, dimana [5]. Dari definisi tersebut kita mempunyai matrik A berukuran 100 x 64 dengan entrientrinya adalah Kemudian akan dikonstruksikan matriks , D, dan V yang entrinya merupakan nilai dari . Dimana D merupakan matriks diagonal yang entrinya merupakan nilai eigen dari , dan U dan V merupakan matriks ortogonal. Berikut adalah gambaran matriks yang didapatkan
NxT 100 x 64
=
Kemudian nilai parameter
NxN 100 x 100
NxT 100 x 64
TxT 64 x 64
didapatkan dari entri hasil proses SVD[1].
3. Implementasi Program Dalam Bab ini akan memperlihatkan hasil yang didapatkan dari proses estimasi. Dari data tingkat kematian Hungaria tahun 1949-2003, yang didapatkan dari website www.mortality.org, data dibedakan berdasarkan jenis kelaminnya yaitu laki-laki dan perempuan, dan data yang digunakan adalah tingkat kematian dari umur 0 sampai 100 tahun. Kemudian diimplementasikan dalam model Lee-Carter.
524
Kemudian akan dilakukan estimasi parameter menggunakan metode least-square dan Singular Value Decomposition (SVD). Sehingga didapatkan nilai estimasi parameternya sebagai berikut. Tabel 1. Hasil Estimasi Parameter
Male
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
-3.78787067 -6.61406387 -7.2771234 -7.59030816 -7.79016113 -7.9764533 -7.98673449 -8.03739516 -8.07448047 -8.0684463 -8.05253283 -8.07633988 … -1.62206278 -1.53745905 -1.45371062 -1.37775384 -1.29124521 -1.20924716 -1.14762062 -1.0444748 -0.9826865 -0.8992894 -0.84580608 -0.79776028 -0.72218593 -0.68382171 -0.60998789
Female -0.28856386 -0.27704499 -0.2470203 -0.21526454 -0.22941109 -0.2390106 -0.21411552 -0.22329272 -0.20389552 -0.17982746 -0.1857523 -0.1694805 … -0.04331515 -0.0440612 -0.04377259 -0.042753 -0.04202546 -0.04009155 -0.03704896 -0.0397356 -0.03414625 -0.04012576 -0.02190479 -0.02929747 -0.01907697 -0.03248874 -0.05788963
-4.00152832 -6.77524464 -7.41967952 -7.82123963 -7.99322273 -8.18935384 -8.2802307 -8.37355699 -8.47736374 -8.52672724 -8.5235413 -8.54263216 … -1.81824784 -1.72138935 -1.62608808 -1.53437404 -1.43871132 -1.35570274 -1.26851702 -1.19594875 -1.12080467 -1.04625181 -0.9344303 -0.90482328 -0.81808081 -0.78424786 -0.64955669
-0.23810371 -0.25385114 -0.21089043 -0.211288 -0.17156188 -0.17695192 -0.18842406 -0.17418456 -0.15195119 -0.15222144 -0.14840851 -0.15359194 … -0.05197642 -0.04860898 -0.04666418 -0.04546864 -0.04254696 -0.04226791 -0.03817501 -0.03177543 -0.02956252 -0.02703453 -0.02962131 -0.0254747 -0.02851238 -0.01768418 -0.0398895
Kemudian akan dibandingkan tingkat mortalita dari perhitungan menggunakan estimasi parameter dengan data tingkat kematian yang sesungguhnya dalam bentuk grafik. Berikut adalah hasil yang didapatkan:
525
Gambar 1. Perbandingan Tingkat Mortalita Perempuan Pada Tahun 1949
Gambar 2. Perbandingan Tingkat Mortalita Laki-Laki Pada Tahun 1976
Dari kedua gambar diatas terlihat bahwa tingkat mortalita dari hasil estimasi (garis berwarna biru) nilainya mendekati tingkat mortalita yang sesungguhnya. Dengan rata-rata nilai eror yang didapatkan adalah 0.00043513055548132792 untuk tingkat mortlaita perempuan, sedangkan untuk laki-laki didapatkan rata-rata nilai erornya adalah 0.00097163233227511036. Artinya niali parameter yang telah diestimasi dapat digunakan untuk merepresentasikan tingkat mortalita di negara Hungaria.
526
4. Kesimpulan Dari grafik yang disajikan dalam gambar 1 dan gambar 2, terlihat bahwa nilai dari hasil estimasi trand-nya mengikuti tingkat mortalita pada nilai yang sebenarnya. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa model Lee-Carter dapat digunakan untuk merepresentasikan tingkat mortalita di Hungaria, dan metode penaksiran leas-Square dan Singular Value decomposition menghasilkan nilai parameter yang cukup bagus. Referensi [1] P. R. Cox, Demography fifth edition, New York: Cambridge University Press, 1976. [2] G. Severine, "Forecasting mortality: when academia meets practice," European Actuarial Journal, pp. Volume 2 (1), 49-76, 2012. [3] R. M. Gor, "Forecasting Technique," in Industrial Statistics and Operational Management, pp. 142-172. [4] S. Baran, J. Gall, M. Ispany and M. Pap, "Forecasting Hungarian Mortality Rates Using The Lee-Carter Method," Acta Oeconomica, pp. 21-34, 2007. [5] P. M. Hauser and D. Duncon, "The Study of Population," in The Nature of Demography, Chicago, The University of Chicago Press, 1959, pp. 29-44. [6] R. Lee and T. Miller, "Evaluating The Performance of The Lee-Carter Method for Forcaseting Mortality," Demography, pp. 537-549, 2001. [7] B. Jacob, Linear Algebra, New York: W. H. Freeman and Company, 1990.
527
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 5 2 8 - 5 3 8
PENAKSIRAN SELISIH TINGKAT KLAIM BERDASARKAN PROSEDUR MORRIS-VAN SLYKE ANISA RATNASARI1, SITI NURROHMAH2, IDA FITHRIANI3 1 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, 16424,
[email protected] 2 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, 16424,
[email protected] 3 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, 16424,
[email protected]
Abstrak. Teori kredibilitas membahas metode untuk menaksir premi dengan menggabungkan pengalaman risiko individu dengan pengalaman risiko golongan pemegang polis. Seiring perkembangannya, teori kredibilitas juga digunakan untuk menaksir ukuran klaim, banyaknya klaim, tingkat klaim, dan lain-lain. Prosedur MorrisVan Slyke adalah penerapan teori kredibilitas yang pada awalnya dikembangkan oleh Carl Morris dan Lee Van Slyke untuk asuransi kendaraan bermotor. Pada prosedur ini, pemegang polis digolongkan berdasarkan teritori, dan taksiran kredibilitasnya berupa selisih tingkat klaim yakni perbedaan nilai tingkat klaim di suatu teritori dengan tingkat klaim di keseluruhan teritori. Dalam penentuan taksiran kredibilitas untuk selisih tingkat klaim, prosedur Morris-Van Slyke menggunakan pendekatan Empirical Bayes untuk kredibilitas. Pada akhir dari makalah ini, diberikan aplikasi dari prosedur Morris-Van Slyke untuk menaksir selisih tingkat klaim asuransi kendaraan bermotor pada tahun 2012 dengan menggunakan data Auto Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC untuk tahun 2010 dan 2011 pada sepuluh negara bagian di Amerika Serikat. Kata kunci : Teori Kredibilitas, Empirical Bayes, Morris-Van Slyke, Selisih Tingkat Klaim.
1. Pendahuluan Teori kredibilitas merupakan metode yang pertama kali digunakan aktuaris untuk menentukan premi menggunakan pengalaman klaim dari pemegang polis. Bentuk umum taksiran kredibilitas adalah (1) Z merupakan faktor kredibilitas dengan nilai 0 sampai 1 yang digunakan untuk menyeimbangkan X dan M yang digunakan untuk menaksir C, dimana nilai Z bergantung kepada pengalaman klaim pemegang polis. Seiring perkembangannya, teori kredibilitas juga digunakan untuk menaksir ukuran klaim, banyaknya klaim, tingkat klaim, dan lain-lain. Menurut teori kredibilitas, jika C menyatakan taksiran untuk premi bersih pada 528
persamaan (1), terdapat dua posisi ekstrem, yaitu ketika nilai dan . Pada saat nilai , taksiran kredibilitas untuk C hanya ditaksir oleh M dan disebut juga dengan pendekatan zero credibility. Sebaliknya, ketika nilai , perusahaan asuransi membebankan premi hanya didasarkan pengalaman klaim setiap golongan, disebut juga dengan pendekatan full credibility. Prosedur Morris-Van Slyke merupakan penerapan dari teori kredibilitas pada asuransi kendaraan bermotor yang awalnya dikembangkan oleh Carl Morris dan Lee Van Slyke. Pada prosedur ini, pemegang polis dibagi kepada golongan berdasarkan teritori (daerah pemakaian kendaraan bermotor). Taksiran kredibilitas untuk C dalam kasus ini merupakan taksiran selisih tingkat klaim pada setiap teritori terhadap tingkat klaim keseluruhan teritori. Pada prosedur ini, akan digunakan data tingkat klaim serta banyaknya pemegang polis pada beberapa tahun terakhir untuk menentukan taksiran selisih tingkat klaim di setiap teritori untuk tahun polis selanjutnya. Untuk menentukan taksiran kredibilitasnya yaitu berupa taksiran selisih tingkat klaim, prosedur Morris-Van Slyke menggunakan metode Empirical Bayes. Selisih tingkat klaim pada prosedur ini menyatakan perbedaan nilai tingkat klaim di suatu teritori dengan tingkat klaim di keseluruhan teritori. Pada makalah ini juga akan dibandingkan melalui measure of closeness hasil taksiran yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke dengan taksiran yang diperoleh melalui prosedur full dan zero credibility dengan menggunakan data klaim pada sepuluh negara bagian di Amerika Serikat.
2. Hasil – Hasil Utama 2.1 Model Morris-Van Slyke Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pada prosedur Morris-Van Slyke, pemegang polis dibagi ke dalam golongan berdasarkan teritori. Misalkan menyatakan banyaknya pengemudi yang diasuransikan di teritori ke-i selama tahun polis t, dimana dan . Untuk , didefinisikan bobot untuk teritori ke-i sebagai berikut (2) Berdasarkan persamaan (2), pembilangnya merupakan penjumlahan pengemudi yang diasuransikan pada teritori ke-i selama r tahun polis pertama, sedangkan pembaginya merupakan jumlah total dari banyaknya pengemudi yang diasuransikan untuk semua teritori selama r tahun polis pertama. Proporsi (rasio) dari jumlah pengemudi yang diasuransikan dari tahun ke tahun diasumsikan jumlahnya tetap (tidak berubah secara signifikan). Nilai merupakan bobot yang jumlahnya adalah 1. Model Morris-Van Slyke didefinisikan sebagai berikut (3) menyatakan tingkat klaim dari teritori ke-i pada tahun polis t, dimana dan . Diasumsikan bahwa peubah acak saling bebas, dengan a) menyatakan grand mean atau mean keseluruhan dari tingkat klaim b) menyatakan efek teritori ke-i 529
c) d)
menyatakan efek tahun polis ke-t adalah sampling error yang saling bebas dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi
atau
.
Berdasarkan model pada persamaan (3) akan diperoleh (4) dan (5) Terdapat 3 jenis parameter yang tidak diketahui dari persamaan (4), yaitu dan , dimana parameter tersebut memiliki kendala sebagai berikut: (6) dan Selanjutnya, didefinisikan polis ke-t sebagai
(7) sebagai rata-rata tingkat klaim pada tahun
(8) Karena tujuan dari prosedur ini adalah menaksir selisih tingkat klaim, oleh karena itu didefinisikan peubah acak sebagai selisih antara tingkat klaim di teritori ke-i pada tahun polis ke-t dengan rata-rata tingkat klaim di seluruh teritori pada tahun polis ke t (9) dari persamaan (9) diperoleh mean atau ekspektasi peubah acak yaitu Pada persamaan (10) dapat dilihat bahwa peubah acak selisih tingkat klaim memiliki mean , menyatakan efek teritori dalam menentukan klaim dari teritori ke-i, dengan . Berdasarkan persamaan (4) tinggi rendahnya efek teritori akan menentukan besaran nilai ekspektasi dari tingkat klaim. Selanjutnya, untuk menaksir akan dimodelkan masalahnya dengan menggunakan teorema Bayes dengan memperhatikan pengalaman selisih tingkat klaim pada periode sebelumnya. Sebelum menggunakan teorema Bayes untuk menaksir terlebih dahulu didefinisikan variansi dari sebagai berikut
Karena bentuk taksiran dari tidak diketahui, oleh karena itu langkah selanjutnya adalah menaksir . Diasumsikan bahwa , dan merupakan peubah acak yang saling bebas, dengan mean dan variansi yang telah diperoleh pada persamaan (10) dan (11). Dalam memperoleh taksiran dari , pertama-tama didefinisikan rata-rata selisih tingkat klaim untuk teritori kesebagai
Selanjutnya, mean serta variansinya didefinisikan sebagai berikut
530
dengan menggunakan persamaan (13) dan (14) diperoleh taksiran dari
yaitu
yang merupakan penaksir tak bias dari . Lalu, apabila didefinisikan sum square within dari peubah acak untuk teritori ke , dengan sebagai
maka penaksir tak bias untuk
dapat disederhanakan menjadi
2.2 Penaksiran Selisih Tingkat Klaim Menggunakan Metode Empirical Bayes Berdasarkan tujuan dari prosedur Morris-Van Slyke, dapat dinyatakan kembali bahwa masalahnya adalah akan ditaksir k parameter . Parameter-parameter ini merupakan parameter dari efek teritori keuntuk tahun polis selanjutnya. Parameter tersebut ( ) akan ditaksir dengan menggunakan informasi pengalaman klaim pada tahun polis sebelumnya. Dalam teori probabilitas dan statistik, teorema Bayes menggambarkan probabilitas dari suatu kejadian yang didasarkan oleh pengetahuan sebelumnya dari kondisi yang mungkin terkait dengan kejadian tersebut. Oleh karena itu, dalam menaksir akan digunakan model Bayes dengan menggunakan kondisi yang terkait yaitu rata-rata selisih tingkat klaim dari masing-masing teritori-i atau . Model Bayes dibangun dengan mengasumsikan bahwa :
dimana merupakan parameter dari distribusi prior yang disebut hyperparameter. Karena ingin dilakukan penaksiran dari , ,…, , maka penaksir Bayes untuk adalah ekspektasi dari distribusi bersyarat diketahui sampel acak atau mean dari distribusi posterior . Oleh karena itu, akan dicari terlebih dahulu distribusi posterior dari . Dengan menggunakan teorema Bayes, dapat diperoleh bentuk pdf posterior dari adalah sebagai berikut:
dengan
, Jika
, dan
menyatakan ekspektasi dari pdf posterior adalah variansi , maka 531
dan
apabila didefinisikan
maka bentuk ekspektasi dari pdf posteriornya adalah
serta variansinya didefinisikan sebagai berikut
Bentuk pada persamaan (18) merupakan taksiran Bayes. Perbedaan metode Empirical Bayes dan Bayes terletak pada nilai hyperparameternya. Pada metode Empirical Bayes, hyperparameternya ditaksir melalui data yang ada dan biasanya diperoleh dari metode maximum likelihood. Sedangkan pada metode Bayes, telah ditentukan terlebih dahulu nilai hyperparameternya dan tidak perlu ditaksir dari data. dari taksiran titik Bayes dengan taksiran kredibilitas adalah teori kredibilitas secara umum menaksir klaim di tahun polis selanjutnya menggunakan rata-rata terboboti dari pengalaman klaim dari grup tertentu dan ekspektasi klaim (yang pada hal ini dilambangkan oleh ) (Miller dan Hickman, 1975; Klugman, 1992). Maka dari itu, pada prosedur ini akan digunakan taksiran titik Bayes sebagai persamaan kredibilitas yang akan digunakan untuk menaksir Taksiran kredibilitas untuk selisih tingkat klaim didefinisikan sebagai berikut untuk
, taksiran selisih tingkat klaim di teritori ke-i pada tahun polis
selanjutnya rata-rata selisih tingkat klaim dari r tahun polis terakhir pada teritori ke-i menyatakan taksiran mean dari distribusi prior menyatakan faktor kredibilitas dengan nilai , yang didefinisikan sebagai
Bentuk persamaan (20) merupakan bentuk lain dari persamaan (1) dengan dan digunakan untuk menaksir . Sedangkan pada kasus ini, nilai faktor kredibilitas dilambangkan oleh yang nilainya berbeda untuk setiap teritori . 532
Dalam menghitung nilai dari penaksir atau ini, sebelumnya, harus ditaksir terlebih dahulu nilai dari hyperparameter dan . (Karena diberikan , akan diperoleh taksiran untuk pada persamaan (17) ). Karena dan tidak diketahui, maka berdasarkan prosedur Empirical Bayes, taksiran dari dan dapat diperoleh dari data, yaitu dengan menggunakan distribusi marjinal yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean dan variansi sebagai berikut:
dan
untuk Untuk memperoleh Maximum likelihood estimator dari dan dapat diperoleh berdasarkan persamaan (21) dan (22) dengan mengasumsikan bahwa berdistribusi normal dan peubah acak saling bebas. Akan tetapi, variansi bersyarat dari yaitu , untuk nilainya berbeda untuk setiap i (teritori), maka realisasi dari penaksir maximum likelihood dari dan tidak dapat diperoleh secara langsung, melainkan harus diperoleh melalui rangkaian prosedur iterasi. Karena sebelumnya telah dibuktikan bahwa adalah penaksir tak bias untuk parameter , selanjutnya untuk didefinisikan
sebagai penaksir dari
yang merupakan variansi bersyarat dari
.
2.3 Prosedur Iterasi Prosedur iterasi digunakan sebagai tahapan untuk menaksir dan yang disebabkan oleh nilai variansi bersyarat dari yaitu yang berbeda di setiap teritorinya. Hal ini menyebabkan taksiran dan yang bergantung kepada tidak dapat diperoleh secara langsung dan memerlukan rangkaian prosedur iterasi. Prosedur iterasi untuk menaksir dan terdiri dari langkah-langkah sebagai berikut: Langkah pertama, Sebelum menaksir dengan metode maximum likelihood, hitung taksiran awal dari yaitu yang didefinisikan sebagai
Taksiran awal dari adalah dengan memberi nilai bobot teritori ke-i yakni , dengan adalah banyaknya teritori dan nilai faktor kredibilitas . Langkah kedua, menggunakan nilai dari yang diperoleh dari langkah pertama, hitung taksiran awal dari faktor kredibilitas yang didefinisikan sebagai, untuk : 533
Langkah ketiga, dengan menggunakan nilai dari sebelumnya, dapat dihitung penaksir dari
yang telah diperoleh dari langkah yaitu
Langkah keempat, hitung taksiran maximum likelihood dari yang diperoleh dari langkah ke 2 dan ke-3 yaitu
, dengan menggunakan hasil
Langkah kelima, Dengan menggunakan taksiran yang telah dihitung di langkah ke-4 sebagai taksiran awal yang baru untuk , selanjutnya lakukan kembali langkahlangkah kedua, ketiga dan keempat. Tahapan ini akan menghasilkan taksiran/estimasi yang baru (telah direvisi) untuk , dan .
Aturan berhenti: Prosedur iterasi di atas akan berhenti ketika nilai taksiran dari sedikit berubah.. Ketika nilai dari sedikit berubah menandakan bahwa taksiran sudah cukup stabil, biasanya ditandai oleh nilai yang juga tidak berubah secara signifikan. Hal ini berarti, walaupun nilai berbeda untuk setiap teritori tidak mempengaruhi nilai taksiran dari maupun . Nilai dan pada iterasi akhir, selanjutnya akan digunakan untuk menghitung faktor kredibilitas yang didefinisikan pada persamaan (17). Penaksir akhir dari Faktor Kredibilitas Sebelumnya, telah digunakan
sebagai taksiran dari faktor kredibilitas. dan merupakan taksiran tak bias dari membuat
merupakan taksiran likelihood untuk . Akan tetapi, hal tersebut tidak lantas
menjadi taksiran tak bias untuk
. Oleh karena itu, pada
prosedur ini digunakan penaksir faktor kredibilitas yang baru untuk memperbaiki nilai dari faktor kredibilitas sebelumnya yaitu (untuk )
Penaksir akhir dari
adalah:
2.4 Measure of Closeness Sebagai ukuran keakuratan penaksir yang didapatkan dari prosedur MorrisVan Slyke yaitu dengan data observasi sebenarnya yaitu yang merupakan 534
nilai selisih tingkat klaim untuk tahun polis selanjutnya ( measure of closeness:
), digunakan
dengan
Measure of closeness juga akan digunakan untuk mengukur seberapa akurat penaksir yang diperoleh dari prosedur Morris Van Slyke, full credibility ( , dan zero credibility ( . Penaksir terbaik akan diperoleh ketika nilai MoC paling kecil, karena ketika nilai MoC semakin kecil, berarti nilai penaksir tersebut makin mendekati nilai observasi sebenarnya. Hasil penelitian diperoleh dengan menggunakan contoh aplikasi dari prosedur Morris-Van Slyke pada data klaim asuransi kendaraan bermotor pada tahun 2010 sampai 2011 pada 10 negara bagian di Amerika Serikat yang diperoleh dari Auto Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC tahun 2012/2012. Data tersebut akan digunakan untuk menaksir selisih tingkat klaim untuk tahun 2012. Sebelumnya, terlebih dahulu diperiksa normalitas dari data atau ratarata selisih tingkat klaim pada 10 negara bagian tersebut (selanjutnya disebut sebagai teritori ke-1 sampai 10) dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Hipotesis Hipotesis yang akan digunakan untuk Tes Normalitas oleh Uji KolmogorovSmirnov adalah sebagai berikut: : Data mengikuti distribusi Normal : Data tidak mengikuti distribusi Normal Signifikansi : Wilayah kritis Statistik Uji Tabel 1. Uji Normalitas dari dengan Uji Kolmogorov-Smirnov No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
| -1.3788 -0.8751 -0.4851 -0.4211 -0.2929 -0.2858 0.18216 0.81775 1.51393 2.66516 0.14401 1.20815
-1.2605 -0.8435 -0.5207 -0.4678 -0.3616 -0.3558 0.03157 0.55766 1.13389 2.08678
0.1038 0.2005 0.3015 0.3192 0.3594 0.3594 0.512 0.7123 0.8708 0.9817
535
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.0038 0.0005 0.0015 0.0808 0.1406 0.2406 0.188 0.0877 0.0292 0.0183
Keputusan tidak ditolak karena Kesimpulan Data berdistribusi normal dengan tingkat signifikansi 5%. Dari uji hipotesis di atas dapat disimpulkan bahwa berdistribusi normal. Oleh karena itu, taksiran parameter yang diperoleh dari dapat dipakai untuk menaksir selisih tingkat klaim dengan prosedur Morris-Van Slyke. Tabel 2. Hasil Taksiran Akhir untuk Faktor Kredibilitas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Negara Bagian California Colorado District of Columbia (D.C.) Massachusetts Minnesota New York Oregon Pennsylvania Washington Wyoming
, ,
, dan
0.99992 0.99917
0.1408 0.1408
-0.28582 -0.48512
-0.28579 -0.48460
0.98638 0.99928 0.99919 0.99966 0.99885 0.99965 0.99927 0.99288
0.1408 0.1408 0.1408 0.1408 0.1408 0.1408 0.1408 0.1408
2.665160 1.513926 -0.87510 0.817748 -0.42113 0.182160 -0.29285 -1.37881
2.63078 1.512951 -0.87428 0.817521 -0.42048 0.182146 -0.29254 -1.36799
Kolom berisi taksiran selisih tingkat klaim untuk tahun 2012 untuk ke10 negara bagian di Amerika Serikat. Nilai taksiran ini juga menggambarkan efek teritori dalam menentukan rate premi untuk setiap teritori (dalam kasus ini merupakan negara bagian). Nilai positif menyatakan kenaikan rate premi pada suatu teritori, sedangkan nilai yang negatif menyatakan penurunan rate premi di suatu teritori tersebut. Pada Tabel 2 dapat dilihat bahwa nilai paling besar terdapat pada District of Columbia (D.C), dapat disimpulkan bahwa dibandingkan kesembilan teritori lainnya, rate premi yang didasari oleh pengalaman klaim di D.C paling tinggi. Hal ini tidak lagi mengejutkan, karena D.C merupakan ibukota dari Amerika Serikat dengan tingkat kepadatan yang tinggi serta memungkinkan tingginya rate premi di teritori tersebut. Pada pendekatan full credibility, untuk menaksir sehingga taksiran yang berbentuk adalah
diberikan nilai
,
Berbeda dengan full credibility, pada pendekatan zero credibility, diberikan nilai , sehingga untuk menaksir hanya digunakan taksiran yang diperoleh dari atau
Pada Tabel 2, kolom
dan
masing-masing menggambarkan taksiran dari selisih 536
tingkat klaim yang diperoleh dari pendekatan full credibility dan zero credibility. Sedangkan pada kolom yang berisi nilai adalah nilai taksiran selisih tingkat klaim yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke. Pada akhir dari makalah ini, akan dibandingkan hasil taksiran yang diperoleh dari prosedur Morris-Van Slyke dengan taksiran yang diperoleh melalui full dan zero credibility. Akan digunakan uji keakuratan yaitu measure of closeness, untuk mengukur keakuratan dari ketiga penaksir yang diperoleh. Didefinisikan MoC atau measure of closeness seperti di bawah ini
dengan
dan mendefinisikan nilai observasi dari banyaknya pengemudi yang diasuransikan dan bobot pada setiap teritori pada tahun polis ke-3 atau tahun polis yang akan ditaksir. Sedangkan mendefinisikan nilai obervasi dari selisih tingkat klaim pada tahun polis ke-3 (tahun 2012). Oleh karena itu, digunakan data observasi (sebenarnya) dari data asuransi pada tahun 2012 yang diperoleh dari Auto Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC tahun 2012/2013. Dengan menggunakan data tersebut, akan dihitung nilai measure of closeness dari penaksir yang berasal dari prosedur Morris-Van Slyke, Full Credibility, dan Zero Credibility. Penaksir terbaik akan diperoleh ketika nilai MoC paling kecil, karena ketika nilai MoC semakin kecil, berarti nilai penaksir tersebut makin mendekati dengan nilai observasi sebenarnya. Maka dari itu, akan disimpulkan berdasarkan ukuran keakuratan measure of closeness bahwa penaksir terbaik adalah penaksir yang memiliki nilai MoC paling kecil. Tabel 3. Perbandingan Nilai Measure of Closeness untuk Penaksir MVS, Full dan Zero Credibility Penaksir Morris-Van Slyke
Measure of Closeness 0.031036
Full Credibility
)
0.03222
Zero Credibility (
)
0.331092
Berdasarkan Tabel 3, penaksir yang diperoleh melalui prosedur MorrisVan Slyke merupakan penaksir yang memiliki nilai MoC paling kecil, sedangkan 537
penaksir dari full credibility adalah penaksir yang juga memiliki nilai MoC yang kecil, akan tetapi nilainya masih kurang baik dibanding penaksir yang diperoleh dari prosedur Morris-Van Slyke. 3. Kesimpulan Berdasarkan penjelasan pada makalah ini dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut. 1. Prosedur Morris Van Slyke merupakan prosedur kredibilitas berdasarkan metode Empirical Bayes yang digunakan untuk pricing (penetapan nilai premi) di setiap teritori pada asuransi kendaraan bermotor. Metode Empirical Bayes digunakan untuk mencari taksiran kredibilitas dari selisih tingkat klaim pada suatu teritori dalam asuransi kendaraan bermotor. 2. Taksiran yang diperoleh dari prosedur Morris-Van Slyke dibandingkan dengan taksiran yang diperoleh dari full dan zero credibility. Dengan menggunakan ukuran keakuratan yaitu measure of closeness diperoleh kesimpulan bahwa penaksir yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke adalah penaksir terbaik pada kasus data tingkat klaim tahun 2012 pada 10 negara bagian di Amerika Serikat. Referensi [1] Efron, F. and Morris, C., 1973, Stein’s Estimation Rule and Its Competitors- An Empirical Bayes Approach, Journal of the American Statistical Association, 68, 117130. [2] Efron, F. and Morris, C., 1975, Data Analysis Using Stein Estimator and Its Generalizations, Journal of the American Statistical Association, 70, 311-319. [3] Herzog, T., 2010, Introduction to Credibility Theory, 4th ed., ACTEX Publications. [4] Hogg, R.V., McKean, J.W., and Craig, A.T., 2013, Introduction to Mathematical Statistics 7th ed., Boston: Pearson Education, Inc. [5] Klugman, S., 1987, Credibility for Classification Ratemaking Via the Hierarchical Linear Model, Proceeding of the Casualty Actuarial Society, Vol. LXXIV, 272-231. [6] Klugman, S., 1992, Bayesian Statictics in Actuarial Science with Emphasis on Credibility, Boston: Kluwer. [7] Klugman, S., Stuart A., Panjer, Harry, H. and Willmot, Gordon E., 2012, Loss Models From Data to Decisions, 4th ed., New York: Wiley. [8] Meyers, G., 1984, Empirical Bayesian Credibility for Workers’ Compensation Classification Ratemaking, Proceedings of the Casualty Actuarial Society, Vol. LXXI, 96-121. [9] Yu, Qiu., Yao, Z., Zhang, F. and Zhao, Y., 2012, The Study about Automobile Insurance Based on Linear Empirical Bayesian Estimation.
538
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 5 3 9 - 5 4 7
PREDIKSI PREMI MURNI DENGAN GENERALIZED LINEAR MODELS (GLM) PADA ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR AGUS SUPRIATNA1, ENDANG SOERYANA, SARI, D.P., 1Departemen Matematika FMIPA, Universitas Padjadjarn,
[email protected]
Abstrak. Pada saat ini bahaya, kerusakan, dan kerugian merupakan suatu ketidakpastian yang akan dialami siapapun, sehingga kemungkinan terjadi resiko dalam kehidupan terutama bidang ekonomi sangat besar. Salah satu cara untuk mengantisipasi resiko kerugian tersebut yaitu melalui asuransi Asuransi terbagi menjadi dua macam, yaitu asuransi jiwa dan asuransi non jiwa. Asuransi non jiwa adalah asuransi yang bertujuan untuk menanggung kerugian financial yang disebabkan oleh kerusakan, kehilangan, dan lain-lain. Saat ini terdapat berbagai macam jenis asuransi non jiwa. Salah satunya adalah asuransi kendaraan bermotor. Pemilik polis membayar produk ini melalui premi. Terdapat dua jenis premi, yaitu premi murni dan premi kotor. Premi murni adalah biaya yang ditanggungkan sebelum ditambah faktor loading. Dalam penelitian ini akan dikaji mengenai Generalized Linear Models (GLM) untuk prediksi premi murni pada asuransi kendaraan bermotor. Hasil penelitian menunjukan bahwa untuk mencari premi murni dengan pada data tahun kalender 2014 digunakan distribusi Binomial untuk mencari model peluang untuk banyak klaim dan distibusi gamma untuk model peluang untuk besar klaim sehingga dapat diperoleh premi murni dengan mengalikan jumlah ekspektasi distribusi kedua model tersebut. Kata kunci: asuransi non jiwa, Generalized Linear Models (GLM), premi murni, asuransi kendaraan bermotor.
1. Latar Belakang Masalah Kerusakan, kerugian, dan bahaya merupakan suatu ketidakpastian yang akan dialami setiap mahluk hidup yang ada di bumi ini, sehingga kemungkinan terjadinya resiko dalam kehidupan terutama bidang ekonomi sangat besar. Salah satu cara untuk mengantisipasi resiko kerugian tersebut yaitu melalui asuransi. Menurut Buku Kesatu Bab IX Pasal 246 Kitab Undang-undang Hukum Dagang (KUHD), asuransi adalah suatu perjanjian, dimana seorang penanggung mengikatkan diri kepada seorang tertanggung, dengan menerima suatu premi, untuk memberikan penggantian kepada orang tersebut karena suatu kerugian, kerusakan, atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang mungkin akan dideritanya karena suatu peristiwa yang tidak tentu Terdapat beberapa jenis dari asuransi, salah satunya asuransi non jiwa. Asuransi non jiwa yang populer dan banyak diminati masyarakat adalah asuransi kerugian yaitu asuransi kendaraan bermotor. Pada asuransi kendaraan bermotor memungkinkan pemegang polis mengajukan klaim berulang kali dalam satu periode pertanggungan, sehingga salah satu ciri asuransi kendaraan bermotor adalah premi yang dikenakan kepada pemegang polis bergantung pada banyaknya klaim dan besarnya klaim yang telah diajukan pada masa lalu. Salah satu metode untuk menghitung premi adalah Generalized Linears Models (GLM). Pada penelitian kali ini akan ditentukan prediksi besar klaim dan banyak klaim dengan menggunakan variabel-variabel yang mempengaruhi. Karena banyaknya klaim bertipe diskrit, maka jenis distribusi peluang cocok untuk banyak klaim tidak mungkin 539
berdistribusi normal. Oleh karena itu, Generalized Linears Models (GLM) adalah model yang tepat untuk digunakan. Selanjutnya, berdasarkan model peluang yang diperoleh kita dapat menentukan premi murni. Premi murni adalah biaya yang dibebankan kepada seseorang yang mempertanggungkan kendaraannya sebelum ditambah faktor loading, seperti biaya operasional. Berdasarkan uraian diatas, pada jurnal ini akan dibahas bagaimana langkah-langkah dan faktor pendukung dalam prediksi hasil dan nilai premi murni asuransi kendaraan bermotor untuk jenis asuransi All Risk dengan Generalized Linear Models (GLM). 2. Generelized Linear Models Generalized Linear Models (GLM) merupakan alat ukur untuk mengukur hubungan antara variabel respon dan variabel bebas. Fungsi peluang untuk suatu variabel respon Y dapat didefiniskan sebagai berikut.
dan Dengan merupakan parameter kanonikal, merupakan parameter disperse dan adalah fungsi link dan diasumsikan bahwa observasi dalam variabel respon Y saling bebas. adalah fungsi peluang untuk variabel respon Y yang berdistribusi keluarga eksponensial. 3. Permodelan Premi Murni dengan Generelized Linear Models 3.1. Model Peluang Untuk Banyak Klaim Distribusi yang digunakan untuk model peluang dari banyak klaim dalam dunia perasuransian adalah distribusi couting atau distribusi diskrit. Kita akan menggunakan distribusi Binomial yang mungkin cocok untuk menentukan model peluang dari banyak klaim. Analisi regresi logistik dapat digunakan untuk pemodelan banyak klaim dengan respon yang terdiri dari dua kemungkinan pada GLM. Misalkan Y adalah peubah acak banyak klaim dari distribusi Binomial. Selanjutnya, definisikan sebagai peluang suatu pemegang polis ke-i yang memiliki , maka model regresi logistik dengan p buah kovariat adalah: (3.1) dengan (3.2) Sesuai fungsi link, maka model regresi logistik adalah model linear antara dengan kovariat. Maka taksiran proposi peluang terjadinya klaim dapat ditulis sebagai berikut (3.3) 3.2.3 Uji Kolmogorov-Smirnov Uji berikut hanya dapat dilakukan untuk menguji kecocokan model pada data individual. Misalkan merupakan statistika terurut dari data yang akan divalidasi jenis distribusinya, maka satitistik ujinya adalah (3.4)
540
Dengan adalah fungsi distribusi empiris dari data, sedangkan adalah distribusi dari data yang diasumsikan cocok untuk variabel respon. Titik kritis uji statistik dari uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut
Tabel 3.1 Titik Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov
Tingkat Signifikansi α
0.10
0.05
0.01
Titik Kritis H0 ditolak jika nilai statistik uji D lebih besar daripada titik kritis yang ada. 3.2.4 Pemilihan Kovariat Langkah berikutnya untuk menganalisa model dengan menggunakan GLM adalah menentukan kovariat yang akan berpengaruh signifikansinya terhadap respon. Pada jurnal ini kita akan menggunakan backward elimination untuk menentukan kovariat. Pada metode ini, semua kovariat dimasukan kedalam model terlebih dahulu, kemudian kovariat yang tidak signifikan terhadap model akan dikeluarkan sampai tidak ada lagi kovariat yang dikeluarkan dari model. 3.2.5 Uji Kecocokan Hosmer dan Lemeshow Uji kecocokan ini untuk menguji kecocokan model dengan data yang telah dipilih. Untuk lebih jelasnya akan diperhatikan hipotesisnya sebagai berikut H0: Model sudah cocok dengan data H1: Tidak seperti yang diasumsikan H0 Dengan statistika Hosmer dan Lemeshow sebagai berikut: (3.5) Dengan
Diberikan tingkat signifikansi α, tolak H0 jika p-value dari uji kecocokan Hosmer dan Lemeshow kurang dari tingkat siginifikansinya. 3.2.6 Uji ROC Berdasarkan teori ROC, kurva ROC merupakan kurva yang dapat digunakan untuk mengindikasi tingkat kecocokan model dengan menghitung AUC. AUC (Area Under Curve) adalah metode yang menyatakan seberapa bagus model terhadap data. Perhitungan AUC dengan data dapat dilakukan dengan pendekatan non-parametrik. Terdapat dua ukuran dalam kurva ROC, yaitu: ukuran sensitivitas dan ukuran spesifititas. Kedua ukuran ini dapat digambarkan dengan kurva ROC, dengan sumbu x menyakan sensitivitas dan sumbu y menyatakan spetifititas data untuk setiap nilai cut-off. Kecocokan suatu model dapat diamati melalui luas daerah dibawah kurva ROC yang dihitung melalui pendekatan non-parametrik AUC. Nilai maksimum AUC sama dengan 1 dan semakin dekat nilai AUC dengan 1, maka mengindikasi kecocokan model tersebut semakin besar. 3.2. Model Peluang Untuk Besar Klaim Model peluang dari besar klaim (claim size) dapat ditentukan dengan menggunakan distribusi kontinu. Pada kesempatan kali ini kita akan menggunakan distribusi gamma yang mungkin cocok untuk menentukan model peluang dari besar klaim. Suatu variabel respon yang berdistribusi Gamma, , fungsi linknya dapat dituliskan sebagai . Sedangkan link kanonik dari distribusi Gamma adalah fungsi inversnya, tetapi karena parameter dari model dengan link invers sulit untuk 541
dijabarkan maka penggunaan link log dianggap lebih baik dan lebih sering digunakan. (De Jong, 1998: 120) Bila yang digunakan adalah link log maka model untuk regresi dapat dituliskan sebagai .
3.2.1 Uji Chi-Square Goodness of Fit Berikut ini merupakan uji hipotesis awal yang dapat digunakan pada -square goodness of fit test, H0: data yang berasal dari distribusi tertentu H1: data tidak berasal dari distribusi yang diasumsikan pada H0 Untuk menguji hipotesis kita dapat menggunakan statistik uji sebagai berikut (3.7) H0 akan ditolak jika nilai banyaknya parameter yang ditaksir.
dengan k adalah banyaknya interval dan p adalah
3.2.2 Menguji Kecocokan Model dan Deviansi (Assering Fits and Deviance) Hipotesa dalam menguji kecocokan model pada metode ini adalah sebagai berikut H0: Model sudah cocok H1: Model tidak cocok Dengan statistika uji yang digunakan adalah sebagai berikut: (3.8) Dengan: merupakan nilai log-likelihood yang didapat dari “saturated model”. merupakan nilai dari fungsi log-likelihood yang berasal dari y dan kovariat yang diberikan (dari model yang telah dicocokan dengan data). Kemudian akan diuji stastistika uji untuk yang berdistribusi Chis-Square dan memiliki titik kritis dengan n merupakan banyaknya data observasi dan merupakan banyaknya parameter. Tolak H0 jika nilai statistika uji melebihi titik kritis. 3.2.3 Wald Test Wald test hanya mampu memeriksa tingkat signifikan dari satu kovariat. Hal ini tentu berbeda dengan likelihood ratio test yang mampu menguji tingkat signifikansi dari beberapa kovariat. Misalkan , uji hipotesis dari wald test adalah sebagai berikut
Serta statistika uji yang digunakan adalah (3.9) Dengan merupakan elemen ke-j dari diagonal dan nilai r yang digunakan untuk menguji siginifikansi kovariat sama dengan 0. Untuk tingkat signifikansinya adalah α, serta titik kritis dari statistika uji ini adalah . Kita akan tolak jika nilai statistika uji lebih besar dari titik kritisnya. 3.2.4 Likeliihood Ratio Test Pada uji ini, hal utama yang harus diperhatikan adalah menguji signifikansi dari kovariat atau variabel x yang terdapat dalam model. Berikut ini adalah uji hipotesis yang digunakan
542
Dengan C adalah matriks hipotesis dan r adalah nilai yang diberikan. Kemudian dengan memisalkan nilai , kita dapat membuat mattriks C sehingga sejumlah kovariat nilai . Statistik uji yang digunakan untuk uji ini adalah (3.10) Dengan: merupakan fungsi log-likelihood dengan semua kovariatnya dalam model (unrestricted model) merupakan fungsi log-likelihood dari model dengan hanya menggunakan beberapa kovariat (unrestricted model) Titik kritis dari statistika uji ini adalah , sehingga jika nilai lebih besar dari titik kritis maka kita akan tolak .
3.2.5 Uji Diagnostik Diberikan uji hipotesis seperti berikut H0: Model sudah cocok H1: Model tidak cocok Untuk menguji hipotesis diatas diberikan uji statistic sebagai berikut (3.11) Dengan adalah
merupakan deviance residual. Titik kritis dari uji statistik deviance residual , sehingga H0 akan ditolak bila nilai melebihi titik kritisnya.
3.3. Premi Murni dengan Compound Model Misalkan suatu peubah acak yang menyatakan besar klaim (claim size) dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah . Misalkan N suatu peubah acak yang menyatakan banyak klaim (claim number). Maka total klaim atau aggregate loss untuk collective risk model adalah (3.12) Untuk menentukan premi murni (pure premium) pada model kolektif dapat diperoleh dengan menggunakan (3.13) dengan (3.14) Dengan adalah ekspetasi dari distibusi besar klaim, dan adalah ekspetasi dari distribusi banyak klaim. 4. Prediksi Premi Murni pada Asuransi Allrisk 4.1. Model Peluang Untuk Besar Klaim 4.1.1 Regresi Model Pada tahap berikut, model akan dibuat dengan meregresikan seluruh kovariat yang digunakan di dalam permodelan (full mode). Kemudian, akan diperiksa signifikansi dari kovariat-kovariat terhadap variabel respon. Setelah diperiksa, terdapat kovariat yang menyebabkan penaksiran parameter model peluang tersebut konvergen. Oleh karena itu, kita hanya menggunakan kovariat tersebut pada penaksiran parameter model peluang. 4.1.2 Pemilihan Model Kita akan mendapatkan hasil dari uji-uji dengan hanya variabel “Kode Pertanggungan yang digunakan dengan menggunakan software SAS sebagai berikut:
543
Backward Elimination
Berdasarkan gambar, tidak ditemukan perbedaan pada hasil regresi diantara model yang menggunakan signifkansi dan pada proses permodelan menggunakan metode Backward Elimination. Berdasarkan hasil diatas variabel “Kode Penggunaan” berpengaruh signifikan terhadap respon di dalam model tersebut.
4.1.3 Uji Diagnostik 4.1.3.1 Uji ROC Nilai AUC pada jurva ROC untuk model yang kita peroleh adalah sebesar 0.5000 yang terdapat pada gambar berikut: Pada gambar, nilai AUC pada step 0 yang diperoleh adalah nilai AUC model tanpa melibatkan variabel. Nilai akhir AUC untuk model peluang banyak klaim adalah nilai AUC model, yaitu disaat variabel “Kode Penggunaan” dimasukan ke dalam model. Dengan AUC bernilai sebesar 0.5000, kurva ROC diatas memperlihatkan bahwa model peluang telah cukup baik dalam memprediksikan terjadinya klaim dan cocok dengan data yang telah digunakan. ROC Curves for All M odel Building Steps
1.00
Sensitivity
0.75
0.50
0.25
0.00
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1 - Specificity
ROC Curve (Area)
Step 0 (0.5355)
Model (0.5000)
4.1.3.2 Uji Kecocokan Hosmer dan Lemeshow Uji diagnostik yang dapat digunakan lainnya adalah uji kecocokan Hosmer dan Lemeshow. Uji ini dapat melihat kecocokan suatu model peluang dengan data. Berikut adalah output uji Hosmer dan Lameshow: Pada gambar, terlihat bahwa nilai p-value uji kecocokan Hosmer Lemeshow sebesar 1.000, nilai p-value diatas melebihi tingkat signifikansi . Ini artinya bahwa hipotesa H0 bahwa model cocok dengan data tidak ditolak. Berdasarkan uji-uji diatas model yang kita peroleh sudah cocok digunakan untuk memodelkan banyak klaim. 4.1.4 Penaksiran Parameter Model Dibawah ini adalah output penaksiran parameter model banyak klaim dengan metode tersebut.Pada tabel diatas terdapat beberapa level pada variabel “Kode Penggunaan”, maka kita akan menggunakan level-level tersebut untuk dimasukan ke dalam model.
Sehingga, diperoleh model akhir sebagai berikut: (4.2) Dengan : variabel “Kode Penggunaan” SO : variabel “Kode Penggunnan” TO
: variabel “Kode Penggunaan” DO
4.2. Model Peluang Untuk Besar Klaim 4.2.1 Uji Distribusi Respon Berdasarkan tabel disamping diperoleh bahwa dengan p-value yang melibihi 544
tingkat signifikansi , hipotesa H0 yang menyatakan bahwa variabel besar klaim berasal dari distribusi Gamma untuk uji Kolmogorov-Smirnov tidak ditolak.
4.2.2 Proses Pemilihan Kovariat Langkah 1: Penentuan Kovariat Pertama yang Signifikan Pada tahap berikut ini akan diperoleh hasil yang menyatakan bahwa variabel “Harga Pertanggungan (Premi)”.Berdasarkan hasil tabel diatas, untuk dapat dilihat bahwa variabel “Harga Pertanggungan (Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon. Dapat dilihat dari p-value yang kurang dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood Ratio. Selanjutnya, uji yang akan kita lakukan adalah kita akan memeriksa deviance residual. Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari 0.3 atau -0.3. Artinya, observasi-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar klaim oleh model terhadap data. Deviance Residuals for Klaim_Disetujui
Deviance Residual
0.2
0.0
-0.2
0
50
100
150
200
Observation
Langkah 2: Penentuan Kovariat Kedua yang Signifikan Pada tahap berikut ini akan diperoleh hasil yang menyatakan bahwa variabel “Kode Kendaraan” bersama dengan variabel “Harga Pertanggungan (Premi)”. Berdasarkan hasil tabel diatas, untuk dapat dilihat bahwa variabel “Kode Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan (Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon. Dapat dilihat dari pvalue yang kurang dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood Ratio. Selanjutnya, uji yang akan kita lakukan adalah kita akan memeriksa deviance residual. Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari 0.3 atau -0.3. Artinya, observasi-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar klaim oleh model terhadap data. Deviance Residuals for Klaim_Disetujui
0.3
Deviance Residual
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
0
50
100
150
200
Observation
Langkah 3: Penentuan Kovariat Ketiga yang Signifikan Pada tahap berikut ini akan diperoleh hasil yang menyatakan bahwa variabel “Kode Penyebab” bersama dengan variabel “Kode Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan (Premi)”. Berdasarkan hasil tabel, untuk dapat dilihat bahwa variabel “Kode Penyebab”, “Kode Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan (Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon. Dapat dilihat dari p-value yang kurang dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood Ratio. Selanjutnya, uji yang akan kita lakukan adalah kita akan memeriksa deviance residual. Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari 0.3 atau -0.3. Artinya, observas-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar klaim oleh model terhadap data. Deviance Residuals for Klaim_Disetujui
Deviance Residual
0.2
0.0
-0.2
0
50
100
Observation
545
150
200
Langkah 4: Penentuan Kovariat Ke-empat yang Signifikan
Pada tahap berikut ini akan diperoleh hasil yang menyatakan bahwa variabel “Biaya Klaim”, “Kode Wilayah” maupun “Tahun Kendaraan” bersama dengan variabel “Kode Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan (Premi)” tidak signifikansi terhadap model. Dapat dilihat dari p-value yang melebihi dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood Ratio pada semua uji variabel. 4.2.3 Penaksrian Parameter Berdasarkan gambar, meskipun variabel “Kode Penyebab” dan “Kode Kendaraan” berperan signifikan terhadap variabel respon, tetapi tidak semua level-level yang ada pada variabel tersebut berpengaruh secara signifikan terhadap model. Hal ini dapat terlihat pada output diatas untuk signifikan .
4.2.4 Model Akhir Setelah kita melakukan semua proses diatas, didapatkan model akhir sebagai berikut:
(4.3) Dengan : variabel “Harga Pertangunggan (Premi)” : variabel “Kode Penyebab” dengan level “benturan akibat penyebab lainnya (lainlain)” : variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Honda : variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Daihatsu : variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Nissan : variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Ford : variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Mazda : variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Suzuki : variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Mitsubishi
546
4.3.
Contoh Prediksi Premi Murni dengan Compound Model
Jenis Kendaraan “Kode Penggunaan” “Harga Pertanggungan “Kode Penyebab”
Honda Jazz
Kovariat
Nilai
DO
Honda
1
Rp. 244.500.000,00
DO
1
Lain-lain
Benturan akibat penyebab lainnya (Lain-lain)
1
Maka, dengan menggunakan model taksiran banyak klaim yang digunakan akan didapatkan terjadinya klaim untuk All Risk dengan produk “Perisay Mobil Individual” adalah:
Dengan, menggunakan model peluang besar klaim yang telah didapat, dapat kita taksir ekspetasi besar klaim adalah:
Dari hasil diatas, kita mendapatkan peluang terjadinya klaim sebesar . Artinya, bila untuk 1000 kendaraan yang sama dalam satu portofolio, diprediksikan terdapat yang akan mengajukan klaim. Dengan demikian, premi murni yang dibebankan kepada masing-masing kendaraan dalam portofolio ini adalah Dari perhitungan tersebut, premi murni (pure premium) yang dapat dibebankan kepada setiap pemegang polis adalah Rp. 513.000,00.
5. Kesimpulan Adapun hal-hal yang dapat disimpulkan dari hasil pembahasan ini adalah: Untuk jenis asuransi All Risk dengan produk “Perisai Mobil Individual”, model distribusi yang cocok untuk mewakili variabel respon banyak klaim adalah distribusi Binomial dan metode yang digunakan untuk signifikansi adalah metode backward selection. Dan fungsi link yang digunakan adalah link logit. Distribusi yang digunakan pada model peluang untuk besar klaim yang cocok adalah distribusi Gamma, dengan variabel “Klaim Disetujui” sebagai variabel respon. Kemudian model akan diuji diagnostik untuk mencari kovariat apa saja yang signifikan terhadap model. Dan fungsi link yang digunakan adalah link log. Dari data yang digunakan prediksi premi murni (pure premium) yang dapat dibebankan kepada setiap pemegang polis adalah Rp.513.000,00. Bila dibandingkan dengan metode lain yaitu LM, metode GLM ini sudah sangat cocok untuk mencari premi murni serta hasil yang lebih baik karena dengan LM, premi murni yang didapatkan adalah sebesar Rp.302.000,00.
547
6. Daftar Pustaka [1] De Jong, P., Heller, G. Z. 2008. Generalized Linear Models for Insurance Data. Cambridge: Cambridge University [2] Dey, Dipak., Ghosh, Bani K. Mallick., Sujit, K. 2000. Generalized Linear Models: A Bayesian Perspectiv., New York: Marcel Dekker, Inc. [3] Dobson, A. J. 2002. An Introduction To Generalized Linear Models 2nd ed. Florida: Chapman and Hall/CRC. [4] Faraggi, D., Benjamin, R. 2002. Estimations of Area Under the ROC Curve. Statist. Med, 21, 3093-3106. [5] Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G. E. 2005. Loss Models From Data to Decision. New Jersey: John Willey and Son Inc. [6] Ohlsson, E., Johansson, B. 2002. Non-Life Insurance Pricing with Generalized Linear Models. Berlin: Springer. [7] Peraturan Menteri Keuangan (PMK) NOMOR 106/PMK.06/2013 tentang [8] Penyelenggaraan Pertanggungan Asuransi Pada Lini Usaha Asuransi Kendaraan Bermotor [8] Walpole, R. E., Myres, R. H. 2011, Probabilty and Statistics for Engineer and Scientist 9th Edition. Boston: Prentice Hal
548
Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 549-556
PERHITUNGAN PREMI DALAM ASURANSI JIWA KREDIT DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP PRESENT VALUE OF FUTURE BENEFIT (PVFB) RIAMAN1, F. SUKONO2, SUDARTIANTO3, EMAN LESMANA4, DAN AGUS SUPRIATNA5 1
Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, email:
[email protected] Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, email:
[email protected] 3 Dep. Statistika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email:
[email protected] 4 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email:
[email protected] 5 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email:
[email protected] 2
Abstrak. Pada makalah ini akan dibahas masalah perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor dalam asuransi jiwa kredit. Perhitungan dilakukan menggunakan perhitungan nilai manfaat di masa mendatang atau Present Value of Future Benefit (PVFB). Berdasarkan prinsip nilai kesetaraan, dengan menghitung nilai PVFB, diperoleh premi tunggal bersih yang besarnya sama dengan nilai PVFB tersebut. Sedangkan perhitungan premi bruto akhir diperoleh dengan membagi premi tunggal bersih dengan rasio kerugian yang diizinkan (permisible loss ratio). Semakin tua usia peminjam dan semakin lama jangka waktu peminjaman, maka semakin besar pula premi yang harus dibayarkan pemberi pinjaman. Kata kunci: asuransi jiwa kredit, premi tunggal bersih, premi kotor, PVFB, nilai ekivalen.
1. Pendahuluan Dalam menjalani kehidupan, manusia selalu dihadapi dengan dua sisi yang berjalan bersamaan, yaitu keuntungan dan risiko. Keuntungan diperoleh karena suatu hal buruk atau risiko yang mungkin akan terjadi di masa depan dapat diantisipasi. Sedangkan risiko selalu ada karena ketidaktahuan kita atas kondisi yang akan terjadi di masa depan. Setiap manusia pasti akan selalu berusaha menciptakan ketenangan dalam hidupnya dengan mengantisipasi risiko yang akan terjadi. Dalam kondisi tersebut, perusahaan asuransi hadir untuk menjembatani hal tersebut, di mana seseorang dapat mengalihkan risiko yang akan dihadapinya pada perusahaan asuransi. Walaupun banyak metode untuk menangani risiko, namun asuransi merupakan bentuk perlindungan yang paling banyak dipakai. Asuransi menjanjikan perlindungan kepada pihak tertanggung terhadap risiko yang dihadapi perorangan maupun risiko yang dihadapi perusahaan [1].
549
Berbagai macam produk asuransi ditawarkan pada saat ini, di antaranya adalah asuransi jiwa kredit. Asuransi jiwa kredit merupakan proteksi yang diberikan pihak asuransi (selaku penanggung) kepada bank (selaku tertanggung) atas risiko kegagalan debitur dalam melunasi fasilitas kredit atau pinjaman tunai (cash loan) seperti kredit modal kerja, kredit perdagangan dan lain-lain yang diberikan oleh bank. Kredit merupakan usaha paling utama dalam kegiatan perbankan karena pendapatan terbesar dari usaha bank berasal dari pendapatan kegiatan usaha kredit yang berupa bunga dan provisi [5]. Oleh karena itu, kalangan perbankan mendesak pemerintah untuk membentuk lembaga penjamin kredit perbankan untuk menunjang usaha kredit tersebut. Dalam hal ini, asuransi kredit hadir sebagai penunjang kegiatan tersebut. Perusahaan asuransi akan mengikatkan diri pada pihak tertanggung, dengan menerima premi asuransi untuk memberikan penggantian kepada perusahaan asuransi karena kerugian yang diderita oleh pihak tertanggung. Premi merupakan biaya yang dibayar oleh pihak tertanggung kepada perusahaan asuransi untuk risiko yang ditanggungnya. Pembayaran premi oleh pihak tertanggung yang dilakukan pada setiap periode tertentu sesuai dengan produk asuransi yang dibeli, akan menjamin tertanggung untuk mendapatkan pertanggungan ketika mengajukan klaim atas risiko yang di alaminya. Tarif premi yang dibayarkan setiap tertanggung akan berbeda-beda bergantung pada kasus dan keadaan masing-masing tertanggung.
2. Hasil – Hasil Utama Perhitungan premi bersih dalam asuransi jiwa kredit ini dilakukan dengan prinsip Present Value of Future Benefits (PVFB). Pada perhitungan ini, jumlah Premi Tunggal Bersih (PTB) yang harus dibayarkan pihak tertanggung pada pihak asuransi sama dengan nilai PVFB yang diperoleh. (1) Selain premi tunggal bersih dihitung juga premi kotor. Besarnya Premi Kotor (PK) dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.
PK
PTB 1 (rasiobiaya)
PK
PTB 1 ( L)
(2)
dengan: qx
= peluang seorang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapai x+1 tahun.
v
= nilai sekarang dari Rp 1 yang dilakukan 1 tahun
L
= persentase biaya-biaya
Biaya-biaya yang dimasukkan dalam perhitungan, terdiri atas biaya uji kesehatan, biaya akuisisi, dan biaya pemeliharaan yang dapat dilihat dalam Tabel 1. 550
Tabel 1. Biaya-biaya Hipotetik Jenis Biaya
Uji Kesehatan Akuisisi Pemeliharaan Jumlah
Tahun Pertama
Tahun berikutnya
per polis
per Rp 1000
per polis
per Rp 1000
Rp22,15 Rp20,93 Rp22,12
0,9 0,21 0,05
Rp22,12
0,05
Rp65,20
1,16
Rp22,12
0,05
Sumber : Diolah dari data pemegang Polis Asuransi
Berdasarkan tabel di atas, maka biaya pada tahun pertama asuransi adalah Rp 66,36 dan untuk tahun berikutnya total biaya ditambah Rp 22,17, dan seterusnya sampai pada masa asuransi berakhir. Oleh sebab itu, dengan menggunakan biaya-biaya tersebut, dapat dihitung rasio biaya, yaitu: m
RB
L
t
t 1
(3)
Ltotal
dengan:
Pada makalah ini, perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor dilakukan dalam dua jenis asuransi jiwa kredit, yaitu asuransi jiwa kredit ekawaktu dan asuransi jiwa kredit cicilan bulanan. Pada asuransi jiwa kredit ekawaktu, besar penangguhan yang diberikan pihak asuransi kepada pihak tertanggung (kreditur) saat terjadi kegagalan pembayaran kredit oleh debitur,sesuai dengan besar pinjaman awal yang diberikan kreditur pada debitur. Oleh sebab itu, besar benefit pada perhitungan premi dalam produk asuransi jiwa kredit ini sama setiap bulannya, maka besar premi tunggal bersih (PTB) dapat dirumuskan sebagai berikut: n
PTB b j .qx .v
(4)
j 1
Satuan waktu yang digunakan dalam perhitungan ini adalah dalam satuan bulan karena periode pembayaran kredit yang dilakukan debitur setiap bulan. Oleh karena itu, merupakan nilai diskonto bunga untuk satu tahun, maka nilai diskonto bunga dikonversi ke dalam bulan, menjadi: n
PTB b j .qx . j 1
PTB
v 12
1 n b j .qx .v 12 j 1 551
d x v x 1 1 n b . j . 12 j 1 lx v x
C 1 n bj . x . 12 j 1 Dx
Benefit dalam perhitungan ini, besarnya sama setiap bulannya, maka dapat dirumuskan:
PTB
C 1 (n.b. x ) 12 Dx
(5)
Sedangkan untuk premi kotor (PK) dirumuskan:
PK
PTB 1 ( L)
C 1 (n.b. x ) 12 Dx PK 1 ( L)
(6)
Pada perhitungan premi kotor ini, biaya-biaya dihitung sesuai tahun masa asuransi debitur masing-masing. Satuan biaya ( adalah dalam tahun. Hal ini dikarenakan biaya-biaya yang dihitung dibebankan pertahun masa asuransi debitur. Biaya-biaya (uji kesehatan, komisi, dan akuisisi) dibebankan hanya di tahun pertama masa asuransi debitur, kecuali biaya pemeliharaan yang dibebankan pada setiap tahun selama masa asuransi debitur, dirumuskan menjadi:
PK
C 1 (n.b. x ) 12 Dx m
L
(7)
t
1 ( t 1 ) Ltotal dengan: benefit setiap bulan (sama dengan besar pinjaman awal) = peluang seorang yang berusia tahun akan meninggal sebelum mencapai tahun.
qx
lx lx 1 d x C x (1 i) ( x1) d x v x1d x , dan Dx (1 i) x x v x x ,, lx lx
= nilai sekarang dari 1 yang dilakukan 1 tahun kemudian ; dengan merupakan tingkat bunga per tahun. persentase beban/biaya–biaya pada tahun ke- masa asuransi.
Pada asuransi jiwa kredit cicilan bulanan, besar penangguhan yang diberikan pihak asuransi kepada pihak tertanggung (kreditur) saat terjadi kegagalan pembayaran kredit oleh debitur sesuai dengan besar sisa pinjaman yang gagal dikembalikan oleh kreditur pada debitur. Oleh sebab itu, besar benefit pada perhitungan premi dalam produk asuransi jiwa kredit ini semakin menurun setiap bulannya, maka 552
besar premi tunggal bersih (PTB) dapat dirumuskan: n
PTB b j .qx .v
(8)
j 1
dengan:
Satuan waktu yang digunakan dalam perhitungan skripsi ini adalah dalam satuan bulan karena periode pembayaran kredit yang dilakukan debitur setiap bulan. Oleh karena itu, dikarenakan nilai merupakan nilai diskonto bunga untuk satu tahun, maka nilai diskonto bunga dikonversi ke dalam bulan, menjadi: n
PTB b j .qx . j 1
PTB
v 12
1 n b j .qx .v 12 j 1
d x v x 1 1 n b . j . 12 j 1 lx v x
C 1 n bj . x 12 j 1 Dx
(9)
Sedangkan untuk premi kotor (PK) dirumuskan:
PK
PTB 1 ( L)
C 1 n ( b j . x ) 12 j 1 Dx PK 1 ( L)
(10)
Perhitungan premi kotor ini pada jenis asuransi ini, sama seperti asuransi jiwa kredit ekawaktu, biaya–biaya dihitung sesuai tahun masa asuransi debitur masingmasing, maka satuan biaya ( dalam perhitungan ini adalah dalam tahun. Hal ini dikarenakan biaya-biaya yang dihitung dibebankan pertahun masa asuransi debitur. Pada makalah ini dilakukan perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor dalam asuransi jiwa kredit ekawaktu dan asuransi jiwa kredit cicilan bulanan selama periode 2011. Langkah-langkah perhitungan yang dilakukan penulis disajikan berikut ini, dilakukan untuk perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor dalam asuransi jiwa kredit. Tingkat bunga(i) diasumsikan sebagai bunga tetap. Besarnya bunga yang digunakan dalam perhitungan ini didasarkan pada besarnya bunga yang digunakan pada tabel CSO 1980, yaitu sebesar 7% per tahun, . Sedangkan untuk biaya-biaya diasumsikan berdasarkan pada Tabel 1, yaitu berdasarkan pada biaya-biaya hipotetik pada Teknik Pengelolaan Asuransi Jiwa. Berdasarkan data, diketahui maksimal lama peminjaman yang diajukan oleh debitur adalah 4 tahun ( ), sehingga biaya yang dikeluarkan pada setiap tahunnya adalah:
553
Rasio biaya (RB) untuk di tiap tahunnya adalah: untuk
untuk
untuk
untuk
L1 66,36 Ltotal 398, 46 RB 0,166541183 L 66,36 22,17 : RB 2 Ltotal 398, 46 RB 0, 222180394 L 66,36 22,17 22,17 : RB 3 Ltotal 398, 46 RB 0, 277819605 L 66,36 22,17 22,17 22,17 : RB 4 Ltotal 398, 46 RB 0,333458816 : RB
Perhitungan premi tunggal bersih dihitung menggunakan persamaan (5) dan premi kotor menggunakan persamaan (7) Contoh perhitungan: Berdasarkan data, diketahui data debitur: Dx USIA PINJAMAN ANGSURAN T Cx Cx/Dx 20 Rp6.500.000 Rp270.833 24 5.124,529 2.520.660,3 0,002033 Perhitungan premi tunggal bersih dengan menggunakan persamaan (5)
C 1 (n.b. x ) , maka: 12 Dx 1 PTB (24)(6.500.000)(0, 002033) 12 PTB
PTB 26.429
Perhitungan premi kotor dengan menggunakan persamaan (7)
PK
C 1 (n.b. x ) 12 Dx m
1 (
L t 1
t
Ltotal
)
26.429 PK 33.978,31 1 0, 222180394 Jadi, premi tunggal bersih dan premi kotor yang harus dibayarkan pihak tertanggung untuk debitur berusia 20 tahun dengan besar pinjaman Rp 6.500.000,00 dan lama peminjaman 24 bulan masing-masing adalah Rp 26.426,00 dan Rp 33.978,31. Besar uang pertnggungan yang diberikan pihak asuransi kepada pihak tertanggung saat terjadi kegagalan pelunasan kredit oleh debitur pada periode PK
554
berapapun saat masa asuransi adalah sebesar pinjaman awal yang diberikan pihak bank kepada debitur. Asuransi Jiwa Kredit Cicilan Bulanan, perhitungan premi tunggal bersih dihitung menggunakan rumus (9) dan premi kotor menggunakan rumus (10). Contoh perhitungan: Berdasarkan data, diketahui data debitur: USIA
PINJAMAN
68
Rp500.000
ANGSURAN Rp100.000
T 5
Cx 2.401,64
Dx 67.626,56
Cx/Dx 0,035513
Perhitungan premi tunggal bersih dengan menggunakan persamaan (9)
PTB
C 1 n bj . x 12 j 1 Dx
1 (0, 035513)(500.000 400.000 300.000 200.000 100.000) 12 1 (0, 035513)(1.500.000) 12 4.439,125
PTB
Usia (x Bulan tahun) Debitur (j)
Sisa Angsuran(bj)
68
500.000 400.000 300.000 200.000 100.000
1 2 3 4 5
PTB = 0,035513 0,035513 0,035513 0,035513 0,035513 TOTAL
1.183,767 887,825 591,883 295,942 4.439,125
Perhitungan premi kotor dengan menggunakan persamaan (10)
C 1 n ( b j . x ) 12 j 1 Dx PK 1 ( L) 4.439,125 PK 1 (0,166541183) PK 5.326,148 Lama pinjaman adalah 5 bulan, maka biaya yang dibebankan adalah biaya 1 tahun karena perhitungan biaya dihitung per tahun masa asuransi debitur. Jadi, premi tunggal bersih dan premi kotor yang harus dibayarkan pihak tertanggung untuk debitur berusia 68 tahun dengan besar pinjaman Rp500.000, besar angsuran Rp100.000 per bulan dan lama peminjaman 5 bulan masing-masing adalah Rp4.439,125 dan Rp5.326,148. Semakin besar usia debitur dan semakin lama jangka waktu peminjaman kredit 555
yang diberikan pihak bank, maka semakin besar premi yang harus dibayarkan pihak tertanggung (bank). Selain itu, besar uang pertanggungan yang diberikan pihak asuransi kepada pihak tertanggung saat terjadi kegagalan pelunasan kredit oleh debitur pada suatu periode saat masa asuransi adalah sebesar sisa pinjaman pada periode tersebut yang belum dilunasi/dibayarkan pihak debitur kepada pihak bank. 3. Kesimpulan Kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian ini adalah : 1. Perhitungan premi tunggal bersih (net single premium) dilakukan dengan teknik perhitungan nilai Present Value of Future Benefit (PFVB) sesuai dengan prinsip nilai ekivalen. 2. Perhitungan premi kotor (gross single premium) dilakukan dengan membagi premi tunggal bersih dengan rasio kerugian yang diizinkan (permisible loss ratio). Semakin lama jangka waktu peminjaman dan semakin besar usia debitur, maka semakin besar juga premi yang harus dibayarkan pihak tertanggung (kreditur). Referensi [1] Achdijat, D. 2009. Prinsip-Prinsip Aktuaria Asuransi Jiwa (Online), (http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/prinsip_prinsip_aktuaria_asuransi_jiwa/, diakses 21 Desember 2011). [2] Achdijat, D. 2009. Teknik Pengelolaan Asuransi Jiwa (Online), (http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/teknik_pengolahan_asuransi_jiwa/,diakses 21 Desember 2011). [3] Bowers, N. L., et.al. 1997. Actuarial Mathematics (2nd ed.). United States of America: The Society of Actuaries. [4] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa 1. Tokyo: Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center. [5] PT. Jasa Aktuaria, Pensiun, dan Asuransi. 1984. Pengantar Aktuaria, Dana Pensiun. Jakarta: Direktur Jenderal Moneter Dalam Negeri
556
Prosiding SNM 2017 M a t e ma t i k a K e u a n g a n d a n A k t u a r i a , H a l 5 5 7 - 5 6 4
PREMI KOTOR SEMI CONTINUOUS ASURANSI DWIGUNA SINGLE LIFE MULTIPLE DECREMENT DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK ACHMAD ZANBAR SOLEH1, LIENDA NOVIYANTI2, DAN CAHYADI RUSNANDAR3 1. Departemen Statistika FMIPA Unpad,
[email protected] 2. Departemen Statistika FMIPA Unpad,
[email protected] 3. Departemen Statistika FMIPA Unpad,
[email protected]
Abstrak. Rumusan besaran-besaran aktuaria dari sebuah produk asuransi jiwa melibatkan tiga elemen penting yakni tingkat bunga aktuaria, biaya-biaya, dan tabel penyusutan populasi (decrement). Formulasi premi kotor pada penelitian ini merupakan pengembangan dari Larson (1962) dan Bowers (1997) untuk produk asuransi jiwa dwiguna single life multiple decrement dengan mengasumsikan tingkat bunga stokastik melalui model Vasicek dan melibatkan biaya operasional diluar premi bersih yang telah ditetapkan. Selain itu perumusan premi kotor menggunakan ketentuan semi continuous premium yang mengharuskan pemegang polis membayar premi kotor setiap awal periode (bulanan, semesteran, atau tahunan) untuk mendapatkan manfaat proteksi dari setiap kejadian di masa depan tepat sesaat setelah terjadinya decrement. Selain itu apabila pemengang polis tidak mengalami decrement apapun selama periode asuransi maka perusahaan asuransi berkewajiban mengembalikan sejumlah dana kepada pemegang polis sesuai dengan perjanjian yang tertuang dalam polis asuransi. Simulasi perhitungan premi kotor produk asuransi dwiguna ini ditetapkan pada seseorang berusia x tahun dengan tabel decrement diskrit. Kata kunci: Single life multiple decrement, semi continuous premium, vasicek
1. Pendahuluan Jenis asuransi jiwa yang banyak dikembangkan dalam penjualan produk asuransi adalah dwiguna. Produk ini memberikan dua manfaat pada pemegang polis yakni saat pemegang polis meninggal dan manfaat lainnya saat pemegang polis masih hidup saat tahun ke-n [1]. Salah satu daya tarik seseorang untuk membeli sebuah produk asuransi jiwa adalah banyaknya jenis layanan klaim yang ditawarkan. Penelitian ini mengembangkan produk asuransi jiwa dwiguna dengan beberapa penyebab seseorang dapat melakukan klaim yang selanjutnya dinamakan produk Asuransi Jiwa Dwiguna Single Life Multiple Decrement (DSLMD). Produk DSLMD bersifat individual yang artinya perusahaan asuransi hanya memberikan proteksi kepada satu orang individu saja dengan manfaat yang diberikan dibedakan berdasarkan penyebabnya (decrement) yang bersifat mutually exclusive (artinya setiap decrement saling independen dan klaim dicairkan perusahaan akibat decrement yang pertama kali diajukan). Selain itu, produk ini juga diberikan manfaat lainnya jika tertanggung hidup sampai dengan akhir masa asuransi. 557
Besaran aktuaria yang penting diketahui untuk memasarkan produk asuransi jiwa DSLMD adalah premi. Premi merupakan dana yang dibayarkan pemegang polis kepada perusahaan asuransi sebagai modal untuk membayar klaim di kemudian hari. Rumusan premi dari sebuah produk asuransi jiwa melibatkan tiga elemen penting yakni tingkat bunga aktuaria, biaya-biaya, dan tabel penyusutan populasi (decrement). Premi yang dibayarkan pemegang polis kepada perusahaan asuransi (premi kotor) akan digunakan untuk membayar manfaat akibat klaim dari pemegang polis dan juga membayar setiap biaya yang dikeluarkan perusahaan asuransi untuk kepentingan akuisisi tahun pertama, biaya pemeliharaan polis, biaya komisi agen dan biaya lain-lain. Dengan kata lain premi kotor merupakan penjumlahan dari premi bersih dengan biaya. Produk asuransi jiwa DSLMD bersifat long term (jangka panjang) n tahun sehingga penentuan premi akan sangat dipengaruhi oleh faktor diskon yang bergantung pada nilai tingkat bunga. Tingkat bunga konstan tidak mencerminkan fenomena keuangan yang bersifat dinamis. Sehingga untuk menanggulangi hal tersebut digunakan tingkat bunga stokastik yang diharapkan memberikan pendekatan teori lebih akurat dalam menggambarkan fenomena perubahan yang terjadi dari nilai bunga aktuaria. Model tingkat suku bunga stokastik pada penelitian ini adalah Vasicek. Model suku bunga Vasicek memperhitungkan fenomena mean reverting yakni fenomena jika bunga terlalu tinggi maka dia akan bergerak turun mendekati ratarata tingkat bunga dan sebaliknya jika bunga terlalu rendah maka dia akan bergerak naik ke arah rata-ratanya. Dengan kata lain, tingkat bunga hanya bergerak pada range terbatas dan akan konvergen pada rata-ratanya untuk waktu yang semakin lama. Hal ini penting untuk diperhatikan dalam menentukan besarnya premi kotor yang harus dibayarkan pemegang polis pada perusahaan asuransi baik untuk proteksi decrement maupun untuk menanggulangi setiap biaya yang harus dikeluarkan perusahaan setiap periode waktunya. Hal lain yang perlu diperhitungkan dalam penentuan premi adalah tata cara pembayaran premi yang bersifat diskrit yakni dibayarkan setiap awal tahun dan tata cara pembayaran klaim; apakah dibayarkan saat seseorang mengalami decrement atau ditunda hingga akhir tahun. Penelitian ini memilih pembayaran manfaat klaim tepat saat pemegang polis mengajukan klaim akibat suatu decrement dengan pembayaran premi setiap awal tahun (sifat semi continous premium [1]) berdasarkan tabel decrement. Transformasi perhitungan premi tunggal bersih dari bentuk diskrit ke bentuk kontinu dilakukan pada penelitian ini dikarenakan penggunaan tabel decrement yang bersifat diskrit. Berdasarkan informasi di atas maka tujuan dari penelitian ini adalah merumuskan premi kotor yang dibayarkan flat oleh pemegang polis setiap tahunnya dengan memperhitungkan biaya dan tingkat bunga stokastik yang didasarkan pada tabel decrement.
2. Hasil – Hasil Utama 2.1 Model Vasicek Pada tahun 1977, Oldrick Vasicek memperkenalkan model suku bunga abrigate yaitu Vasicek. Abrigate adalah suatu transaksi dimana dua buah asset 558
yang sama dijual dengan harga yang berbeda pada waktu yang sama sehingga memungkinkan untuk memperoleh keuntungan tanpa adanya investasi. Atau dengan kata lain, abrigate model memungkinkan menghasilkan keuntungan tanpa risiko. Vasicek mengusulkan model suku bunga free-risk berikut, dimana r(t) berdasarkan Stochastic Differential Equation (SDE) (Cairns [2]). =
(1)
dengan adalah perubahan tingkat suku bunga per satuan tahun, adalah tingkat suku bunga pada saat t, adalah drift factor, menunjukkan rata-rata tingkat suku bunga dalam jangka panjang (mean reversion level), merupakan kecepatan tingkat suku bunga pada saat t, adalah volatilitas dari tingkat suku bunga jangka pendek dan adalah proses wiener dan , , > 0. Pada Persamaan (1) terdapat ukuran laju atau kecepatan perubahan tingkat bunga yang disebut drift yaitu . Apabila maka drift akan bernilai negatif dan artinya tingkat bunga akan menurun menuju nilai equilibrium nya. Begitupun sebaliknya terjadi ketika (Zeytun dan Gupta [6]). Dengan mengintegralkan persamaan Vasicek pada Persamaan (1) dari u hingga t diperoleh rumus sebagai berikut :
Jika
t
(2)
t
(3)
, maka Persamaan (3) menjadi : (4)
Dengan menghitung ekspektasi dari bentuk integral pada Persamaan (4) dan ekspektasi dari integral Ito adalah nol, maka diperoleh : , sehingga didapatkan rata-rata dan varians dari dan
(5) berturut-turut sebagai berikut : (6)
(7) Jika
, maka untuk setiap t. Dan jika , maka . Hal ini membuktikan sifat mean reversion, yaitu jika t menunjukkan waktu jangka panjang maka rata-rata dari tingkat suku bunga akan menuju mean reversion level. Estimasi parameter dari persamaan [1] dengan metode MLE dapat dilakukan dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood terhadap parameternya dengan cara: ,
(8)
Karena penyelesaian optimal dari fungsi parameter log-likelihood tersebut tidak 559
dapat diselesaikan secara eksplisit maka digunakan suatu metode optimasi algoritma Nelder-Mead Simplex. Setelah dilakukan estimasi parameter model Vasicek, tahap selanjutnya ialah menentukan tingkat suku bunga model Vasicek dengan simulasi tingkat suku bunga secara diskrit. Metode yang digunakan dalam simulasi ini ialah Metode Milstein yang merupakan merupakan pengembangan Lemma Ito berdasarkan deret Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi numerik dari persamaan diferensial stokastik. Simulasi ini didasarkan pada proses Wiener dengan membangkitkan sederetan variabel acak berdistribusi normal yang menyatakan proses Wiener di waktu t yang diskrit. 2.2 Premi Tahunan Bersih Semi Continuous Produk Asuransi DSLMD Produk asuransi jiwa DSLMD merupakan gabungan dari asuransi jiwa berjangka dan asuransi jiwa pure endowment. Asuransi ini akan memberikan manfaat jika pemegang polis meninggal dunia dalam masa asuransi (n tahun) atau memberikan manfaat pada akhir tahun ke-n jika pemegang polis masih hidup sampai n tahun masa asuransi. Misalkan manfaat yang akan diberikan oleh produk DSLMD berdasarkan pada empat penyebab (multiple decrement) berikut ini: 1. yaitu pembayaran santunan keluarga diberikan jika tertanggung meninggal dunia bukan karena kecelakaan sebesar 100% Uang Pertanggungan (UP). 2. yaitu pembayaran santunan keluarga diberikan jika tertanggung meninggal dunia karena kecelakaan sebesar 200% Uang Pertanggungan (UP). 3. yaitu pembayaran santunan keluarga diberikan jika tertanggung mengalami cacat total karena kecelakaan sebesar 100% Uang Pertanggungan (UP). 4. yaitu pembayaran santunan keluarga berupa biaya rawat inap yang akan diberikan jika tertanggung mengalami suatu kecelakaan sebesar 10% Uang Pertanggungan (UP). Selain itu akan diberikan manfaat lainnya sebesar 100% Uang Pertanggungan (UP) jika tertanggung hidup sampai dengan akhir masa asuransi. Perumusan premi tunggal bersih dari produk asuransi jiwa DSLMD adalah sebagai berikut:
(9)
dengan
dan
diperoleh berdasarkan model Vasicek 560
: Peluang seseorang yang berumur tahun akan meninggal bukan karena kecelakaan sebelum mencapai usia . : Peluang seseorang yang berumur tahun akan meninggal karena kecelakaan sebelum mencapai usia . : Peluang seseorang yang berumur tahun akan mengalami cacat total sebelum mencapai usia . : Peluang seseorang yang berumur tahun akan mengalami rawat inal karena kecelakaan sebelum mencapai usia . : Peluang seseorang berusia x tidak mengalami decrement apapun sampai dengan usia x+k Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa produk ini akan memberikan manfaat decrement tepat sesaat setelah tertanggung mengalami suatu decrement maka perumusan premi tunggal bersihnya diperoleh dari transformasi premi tunggal bersih bentuk diskrit menjadi premi tunggal bersih bentuk kontinu dengan menggunakan asumsi UDD (Uniform Distribution Death) berikut ini [2]. .
(10)
Dalam menentukan premi tahunan maka perlu diketahui bagaimana ketentuan cicilan preminya selama masa asuransi agar dapat dihitung anuitas hidupnya. Pada produk DSLMD ini jenis anuitas hidup yang digunakan adalah anuitas awal berjangka n tahun. Jenis anuitas hidup tersebut adalah anuitas dengan pembayaran sebesar Rp 1 satuan yang dilakukan pada tiap awal periode selama jangka waktu n tahun dimana pembayaran premi bergantung kepada hidup matinya seseorang dan akan dihentikan jika sudah melewati n tahun meskipun orangnya masih hidup. Sesuai dengan tingkat bunga bergerak model Vasicek; (r(t)) yang telah dirumuskan sebelumnya maka anuitas hidup awal tahun adalah sebagai berikut:
(11)
Selanjutnya, premi tahunan bersih untuk produk DSLMD bentuk semi kontinu; adalah sebagai berikut : (12)
561
2.3 Premi Tahunan Kotor Semi Continuos Produk Asuransi DSLMD Misalkan biaya-biaya yang terlibat dalam perhitungan premi kotor adalah biaya akuisisi tahun pertama ( ) yang berlaku hanya pada tahun pertama pembayaran premi saja, selanjutnya biaya pemeliharaan polis ( ) berlaku selama masa pembayaran premi, biaya lain-lain ( ) yang berlaku selama masa pembayaran premi, dan biaya komisi agen ( ) yang berlaku hanya pada tahun pertama pembayaran premi. Adapun asumsi besaran biaya adalah sebagai berikut: : 5 ‰ UP : 2 ‰ UP. : 5 % G. : 14% G
Biaya akuisisi tahun pertama ( ) Biaya pemeliharaan polis ( ) Biaya lain-lain ( ) Biaya komisi agen ( )
dengan G menyatakan Premi kotor (G) yang dirumuskan sebagai penjumlahan premi bersih dengan biaya. Sehingga G dapat dituliskan kembali menjadi: G = Premi bersih tunggal +
+(
.
)+(
.G.
) + 14% G
(13)
Dengan melakukan perhitungan secara aljabar maka Persamaan (13) menjadi Persamaan (14) berikut ini. (14) Selanjutnya dengan mengsubstitusikan persamaan (10) dan persamaan (11) ke persamaan (14) maka diperoleh premi kotor tahunan dari produk DSLMD semi kontinu adalah sebagai berikut.
(15)
2.4 Simulasi Perhitungan Premi Kotor Semi Continuous Produk Asuransi DSLMD Misalkan awal tahun 2016 seorang pemegang polis berusia 35 tahun membeli produk Asuransi Jiwa DSLMD dengan masa proteksi 10 tahun dan uang pertanggungan Rp50.000.000,00. Selanjutnya akan dihitung besar premi yang harus dibayarkan tertanggung secara flat selama 10 tahun dengan 562
mempertimbangkan adanya biaya-biaya dalam polis serta tingkat suku bunga stokastik dengan model Vasicek. Dengan menggunakan algoritma Nelder-Mead Simplex diperoleh estimasi parameter dari r(t) untuk model Vasicek; , dan berturut-turut adalah sebesar 0.9082, 0.0709 dan 0.0360. Berdasarkan nilai estimasi parameter tersebut diperoleh tingkat suku bunga diskrit model Vasicek dari tahun 2016 sampai dengan tahun 2026 seperti pada Tabel 1 untuk selanjutnya digunakan dalam menghitung besar premi kotor produk asuransi DSLMD. Tabel 1. Hasil Simulasi tingkat bunga konstan dan Vasicek berdasarkan Suku Bunga Bank Indonesia
Tabel 1 di atas memberikan informasi mengenai pergerakan tingkat bunga pada tahun 2016 adalah sebesar 7,79% lebih tinggi nilainya apabila menggunakan tingkat bunga konstan yakni sebesar 7,50%. Selain itu angka tingkat bunga akan digunakan dalam perhitungan faktor diskon; yang sangat mempengaruhi besaran premi kotor yang harus dibayarkan tertanggung disetiap awal tahun. Tabel 2. Besaran Aktuaria untuk seseorang berusia 35 tahun Dengan masa proteksi 10 tahun
Perhitungan premi bersih tahunan menggunakan Persamaan (12) menginformasikan bahwa besar premi tahunan (flat selama 10 kali pembayaran) yang akan digunakan untuk memproteksi pemegang polis dari setiap decrement adalah sebesar Rp3.402.436,07 per tahun untuk bunga stokastik model Vasicek dan Rp3.249.610,96 per tahun untuk bunga konstan. Premi bersih tahunan dengan bunga stokastik model Vasicek lebih besar dari bunga konstan. Dengan menggunakan Persamaan (15) juga diperoleh informasi bahwa premi kotor tahunan 563
yang harus dibayarkan dengan bunga Vasicek lebih besar daripada dengan menggunakan bunga konstan. Namun demikian penggunaan model Vasicek dapat membantu perusahaan asuransi dalam mengestimasi nilai uang pada masa yang akan datang dengan fenomena yang dinamis yakni berubah-ubah nilainya setiap tahun. 3. Kesimpulan Perhitungan premi kotor tahunan semi continuous dari produk asuransi DSLMD dengan pendekatan bunga stokastik model Vasicek memberikan kepastian secara probabilistik kepada perusahaan asuransi jiwa atas pergerakan nilai bunga yang berubah-ubah setiap waktunya. Model Vasicek baik digunakan dalam mengestimasi nilai bunga untuk produk asuransi jiwa yang bersifat long term. Dengan demikian penggunakan tingkat bunga Vasicek menjadi suatu pertimbangan bagi perusahaan asuransi jiwa yang selama ini masih menggunakan tingkat bunga aktuaria bernilai konstan dalam menetapkan premi yang harus dibayarkan pemegang polis setiap tahunnya.
Referensi [1] Bowers, Newton L., 1997, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries. [2] Cairns, Andrew J. G., 2004, Interest Rate Models An Introduction, Princeston University Press : United States of America. [3] Futami, Takashi, 1994, Matematika Asuransi Jiwa Bagian I, Incorporated Foundation, Jepang. [4] Larson, Robert E., Gaumnitz, Erwin A., 1962, Life Insurance Mathematics, New York. John Wiley & Sons, Inc. London [5] Ross, S.M., 1983, Stochastics Processes, Berkeley : John Wiley & Sons, Inc. [6] Zeytun dan Gupta. 2007. A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of the Short Rate. Berichte des Fraunhofer ITWM, Nr. 124
564
ALJABAR-ANALISIS SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017
565
Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 566-585
PENYAJIAN KODE GENETIK STANDAR DALAM RUANG BERDIMENSI ENAM BERDASARKAN BASA KUAT NUKLEOTIDA RIYAN ADRIYANSYAH1, ISAH AISAH2, EDI KURNIADI3 1 Departemen Matematika FMIPA UNPAD,
[email protected] 2 Departemen Matematika FMIPA UNPAD,
[email protected] 3 Departemen Matematika FMIPA UNPAD,
[email protected]
Abstrak.Setiap sel organisme mengandung materi genetik yang dapat mewariskan sifat kepada keturunannya. Materi genetik ini dikenal sebagai gen yang terdapat dalam kromosom di dalam nukleus.Komponenpenyusunutama gen adalah DNA (Deoxyribonucleic Acid). DNA berperandalammembentuk RNA (Ribonuclueic Acid). Kode genetik standar adalah bahasa pengkodean gen dalam tubuh untuk menghasilkan asam amino. Kode genetik standar juga merupakan pasangan triplet dari basa-basa nitrogen dalam RNA. Jika basa-basa nitrogen dalam RNA dihimpun kedalam himpunan maka pasangan triplet dari basa tersebut merupakan . Selanjutnya dengan pencocokan , , , dan maka himpunan ini merupakan ruang vektor atas ℤ dan juga isomorfik dengan ℤ . Tiga himpunan yang memuat semua partisi membentuk grup kuosien, dengan bantuan software …Grup Kusien ini dapat direpresentasikan sebagai hypercube enam dimensi sehingga diperoleh 24 penyajian kode genetik standar. Dalam makalah ini hanya akan disajikan representasinya berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida. Kata kunci: Kode Genetik Standar, Grup Euclidean, Transformasi Geometri, Grup Ortogonal.
1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Masalah Setiap sel organisme mengandung materi genetik yang dapat mewariskan sifat kepada keturunannya. Materi genetik ini dikenal sebagai gen yang terdapat dalam kromosom di dalam nukleus. Dalam gen tersebut terdapat sebuah kode genetik yang menentukan sifat suatu organisme. Komponen penyusun utama gen adalah DNA (Deoxyribonucleic Acid). DNA ini terdapat di dalam sebuah inti sel dalam makhluk hidup. DNA berperan dalam membentuk RNA (Ribonuclueic Acid). RNA ini bertugas untuk membentuk protein. Proses ini dinamakan sintesis protein. Sintesis protein berlangsung dalam suatu sel makhluk hidup. Molekul pembentuk DNA adalah gula pentosa (deoksiribosa), fosfat ( ), basa nitrogen yang terdiri dari purin (guanin (G) dan 566
adenine (A)) serta pirimidin (timin (T) dan sitosin (C)). Karena DNA membentuk RNA maka molekul pembentuk RNA sama dengan DNA hanya berbeda pada jenis basa pirimidinnya saja yaitu urasil (U) dan sitosin (C) [7]. Kode genetik standar merupakan hasil pemikiran para ilmuwan biologi pada masanya sebagai suatu penyajian gen yang disesuaikan dengan kebutuhan tubuh manusia akan protein. Protein ini dihasilkan dari terjemahan rantai kode triplet yang dibawa oleh RNA. Kode triplet ini dibentuk dari basa – basa nitrogen yang dimiliki oleh RNA yaitu G,A,U, dan C sehingga banyak dari kode triplet adalah buah. Kode triplet ini menjadi bahasa pengkodean dalam gen dan kode triplet ini disebut kode genetik standar. Dalam struktur aljabar, kode genetik ini dapat disajikan dalam ruang berdimensi tiga berdasarkan pencocokan kumpulan basa nitrogen dalam RNA. Pertama himpunan N dalam RNA dicocokan dengan himpunan ℤ ℤ [1]. Kedua himpunan N dapat dicocokan dengan himpunan ℤ ℤ [5]. Setelah proses pencocokan, himpunan N tersebut membentuk lapangan Galois empat unsur yang dinotasikan dengan GF(4), sehingga dengan transformasi geometri yang bersesuaian, NNN adalah himpunan semua 64 kodon yang dapat disajikan ke dalam ruang berdimensi tiga [5]. Dalam hal lain, himpunan NNN dapat disajikan ke dalam ruang berdimensi enam. Hal ini dapat dilakukan karena himpunan NNN membentuk struktur yang isometrik dengan hypercube ℤ [5]. Pada penelitian ini hanya akan ditampilkan representasi Kode Genetik Standar sebagai Hypercube dimensi enam berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida
2. Hasil – Hasil Utama Definisi 2.1. [6] Diberikan Ortogonal adalah
Definisi 2.2. [2]Diberikan Grup Euclidean adalah
dengan
dan
adalah lapangan dan
adalah lapangan. Grup
adalah grup ortogonal.
Definisi 2.3 [4] Misalkan bilangan bulat prima dan bilangan bulat positif, maka lapangan yang terdiri dari unsur adalah lapangan galois dan dinotasikan . Definisi 2.4. [4]Misal dikatakan ruang vektor atas lapangan jika grup abelian terhadap operasi penjumlah dan untuk setiap dan didefinisikan sebuah unsur dan memenuhi kondisi berikut: 1. 2. 567
adalah
3. 4. Untuk setiap operasi perkalian.
dan
di mana 1 mewakili unsur satuan di
di bawah
Definisi 2.5.[5] Untuk setiap fungsi komposisi dengan bentuk disebut transformasi affine dengan adalah transformasi linear dari suatu ruang vektor dan adalah translasi yang bersesuaian dengan vektor . . 2.1 Penyajian Enam Dimensi Kode Genetik Standar Himpunan ℤ merupakan lapangan, sehingga himpunan yang dibentuk oleh ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ merupakan ruang vektor atas lapangan ℤ . Himpunan ℤ memiliki basis standar yaitu , , , , , dan . Akibatnya, dimensi dari himpunan ℤ adalah enam. Himpunan ℤ biasa disebut hypercube enam dimensi. Seperti yang telah dijelaskan dalam Subbab 2.2.1 bahwa himpunan dapat dicocokan dengan himpunan ℤ ℤ yaitu , , , dan . Akibatnya himpunan menjadi grup terhadap penjumlahan. Selanjutnya juga, himpunan kode genetik standar mempunyai struktur yang isomorfik dengan himpunan ℤ , sehingga himpunan merupakan ruang vektor atas lapangan ℤ . Dengan demikian, basis standar dari adalah , , , , , dan dan dimensi dari himpunan adalah enam, sehingga terbentuklah hypercube enam dimensi dari himpunan .
Gambar 2.1. Gambar Hypercube enam dimesi dari himpunan NNN 568
ℤ
2.2 Grup Euclidean
Himpunan ℤ merupakan lapangan, sehingga dapat dibentuk himpunan ℤ yang merupakan grup ortogonal. Selanjutnya seperti yang telah dijelaskan pada subbab 2.4 tentang grup Euclidean, bahwa grup Euclidean memerlukan suatu grup ortogonal, sehingga dapat dibentuk suatu himpunan baru yaitu ℤ ℤ ℤ Sifat 2.6. Himpunan ℤ merupakan subgrup dari grup affine ℤ . Bukti. Misalkan ℤ dan ℤ . Grup affine ℤ adalah semua transformasi affine ℤ ℤ dengan , untuk setiap ℤ . Karena ℤ merupakan subset dari ℤ , maka ℤ merupakan subset dari ℤ . Berdasarkan Tabel 4.1. ℤ merupakan grup terhadap perkalian. Akibatnya, ℤ merupakan subgrup dari ℤ . Himpunan isomorfik terhadap ℤ . Akibatnya setiap unsur dari ℤ yaitu akan memberikan transformasi affine untuk himpunan . Transformasi affine dari didefinisikan oleh : , untuk setiap Anggota dari himpunan
ℤ
ℤ
,
ℤ adalah
adalah
,
adalah , dan
, ,
dan
, serta anggota dari
. Sehingga anggota dari ,
,
. ℤ
, , dan
, .
Berdasarkan Tabel Cayley bahwa setiap unsur di himpunan
ℤ
tertutup dan asosiatif terhadap perkalian, memiliki identitas terhadap perkalian di ℤ
yaitu
, dan setiap unsur di
perkalian yaitu,
569
ℤ
memiliki invers terhadap
Sehingga menurut definisi
ℤ
adalah grup terhadap perkalian.
2.3 Tiga Himpunan yang Memuat Semua Partisi
Berdasarkan Sifat Kimia
Nukleotida Berdasarkan sifat kimia nukleotida, tiga himpunan yang memuat semua yang digunakan adalah himpunan dan . Untuk himpunan pertama yaitu mempartisi himpunan berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida yang membentuk tiga ikatan hidrogen dan basa lemah nukleotida yang membentuk dua ikatan hidrogen . Untuk himpunan kedua yaitu mempartisi berdasarkan klasifikasi kimia nukleotida yaitu amino nukleotida dan keto nukleotida . Himpunan ketiga yaitu mempartisi berdasarkan jenis basa nukleotida pirimidin dan purin . partisi
2.4 Penyajian Kode Genetik Standar Berdasarkan Basa Kuat Nukleotida Berikut akan disajikan penyajian kode genetik standar secara aljabar berdasarkan yang telah dipaparkan sebelumnya beserta penyajian geometri hypercube dari himpunan . Pencocokan awal adalah urutan yang akan dikaitkan dengan himpunan . Dalam himpunan ini matriks yang digunakan untuk transformasi awal adalah matriks
atau
Dengan memilih matriks
sebagai transformasi awal sehingga urutan akan tetap menjadi . Selanjutnya dengan menggunakan unsur dari grup Euclidean ℤ yaitu
,
,
,
, ,
,
dan
pada
pengurutan awal akan dihasilkan , , , , , , , dan . Sehingga ada delapan perubahan pengurutan berdasarkan . Perubahan pertama dilakukan dengan unsur grup Euclidean yang pertama yaitu
terhadap pengurutan awal
pencocokan sebelumnya yaitu sehingga didapat transformasi sebagai berikut, Untuk perubahan basa 570
. Sesuai dengan dan
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa
Sehingga pencocokan awal tidak mengalami perubahan oleh transformasi . Dengan menggunakan bantuan program yang dibuat dengan visual studio 2012 dan Geogebra 5.0 dapat dilihat perubahan secara geomerti dalam ruang berdimensi enam. Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi dalam ruang berdimensi enam melalui dua kubus atau empat dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube
Gambar 2. 2. Perubahan
.
menjadi
Perubahan kedua dilakukan dengan unsur grup Euclidean yang pertama yaitu
terhadap pengurutan awal
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa 571
.
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa
Sehingga pencocokan awal mengalami perubahan oleh transformasi yaitu menjadi
.
Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi dalam ruang berdimensi enam melalui dua kubus atau empat dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube
Gambar 2. 3. Perubahan
.
menjadi
Selanjutnya, dengan hal yang sama maka perubahan yang dihasilkan dengan unsur Euclidean ,
, , dan
,
,
secara berurut menjadi
, , , , , dan . Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi ,
,
,
,
, dan
secara berurut dalam ruang berdimensi enam
melalui dua kubus atau empat dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube . 572
Gambar 2.4. Perubahan
menjadi
Gambar 2.5. Perubahan
menjadi
Gambar 2.6. Perubahan
menjadi 573
Gambar 2.7. Perubahan
menjadi
Gambar 2.8. Perubahan
menjadi
574
Gambar 2.9. Perubahan
menjadi
Untuk lebih jelasnya berikut adalah 8 penyajian kode genetik standar dalam bentuk tabel. Tabel Penyajian Kode Genetik Standar dalam Aljabar Partisi
Matriks
Unsur
ℤ
575
Perubahan Pengurutan
3. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa dengan pencocokan himpunan dengan himpunan ℤ ℤ , maka himpunan membentuk struktur ruang vektor biner atas lapangan ℤ dan isomorfik dengan ℤ yang bisa disebut dengan hypercube enam dimensi. Himpunan ℤ merupakan subgrup dari grup affine ℤ . Sehingga unsur dari ℤ dapat memberikan transformasi affine terhadap himpunan . Selanjutnya dengan himpunan grup Euclidean ℤ beserta tiga himpunan yang memuat semua partisi serta matriks dimana ketiga matriks tersebut adalah anggota dari grup ℤ maka diperoleh 8 penyajian hypercube enam dimensi yang berbeda dan dengan software Visual Studio 2012 dan GeoGebra 5.0 dapat membantu melihat visualisasinya secara geometri. Referensi [1] A.Jimenez Montano, M., la, C. R., Basanez, M., & Poschel, T. (1996). On the Hypercube Structure of the Genetic Code. World Scientific, 445. [2] Baez, J. (2008). The Euclidean Group. [3] Birkhoff, G. (2012). The Orthogonal and Euclidean Group. In A Survey of Modern Algebra (p. 272). New York: Macmillan Publishing Co., inc. [4] Galian, J. A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7nd ed.). USA. [5] Jose, M. V., R.Morgado, E., Sanchez, R., & Govezensky, T. (2012). The 24 Possible Algebraic Representation of the Standard Genetic Code in Six or Three Dimensions. Advanced Studies in Biology, 119-152.. [6] Procesi, C. (2006). Orthogonal and Symplectic Groups. In S. Axler, & K. Ribet (Eds.), Lie Groups An Approach Through Invariants and Representations (p. 117). North America: Spinger. [7] Rachmawati, F., Urifah, N., & Wijayati, A. (2009). Materi Genetik. In Erminawati (Ed.), Biologi (pp. 42-53). Jakarta: Pusat Perbukuan.
576
Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 577-583
INTEGRAL MONTE CARLO EDDY DJAUHARI
Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjajaran Jalan Raya Bandung-Sumedang Km 21 Tlp/Fax 022-7794696, Jatinangor, 45363 Email :
[email protected]
Abstrak: Nilai eksak dari integral tentu seringkali tidak bisa diperoleh karena antiderivatif dari fungsi yang diintegralkan seringkali tidak bisa diperoleh. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu tersebut secara numerik. Dalam makalah ini penulis membahas salah satu metode yaitu Integral Monte Carlo. Metode ini memanfaatkan distribusi seragam U (0,1) dan menggunakan hukum bilangan besar sebagai landasan teori. Kata kunci : Teorema Dasar Kalkulus II, Pengintegralan Numerik, Distribusi Seragam, Hukum Bilangan Besar.
1. Pendahuluan Menurut Teorema Dasar Kalkulus II ([I]), jika suatu fungsi f kontinu pada suatu selang tertutup [a,b] dan F adalah suatu antiderivatif dari f pada [a,b
Tetapi terdapat banyak integral tentu yang tidak dapat dicari bila menggunakan Teorema Dasar Kalkulus karena anti derivatif dari fungsi yang akan diintegralkan, yaitu F(x) tidak dapat ditentukan. Contohnya, jika fungsi yang diintegralkan adalah,
Untuk mengatasi masalah ini digunakan pengintegralan numerik. Dengan pengintegralan numerik nilai integral yang diperoleh merupakan nilai hampiran. Ada beberapa metode yang umum digunakan misalnya metode trapesium dan metode Simpson. Berikut ini dibahas metode lain yang dapat dipakai untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu yakni metode Integral Monte Carlo.
577
2. Landasan Teori Integral Monte Carlo memanfaatkan distribusi seragam U Bilangan Besar (The Law of Large Numbers).
dan Hukum
Distribusi Seragam U(0,1) ([3]) U Jadi lain adalah integral dari
Integral tentu dari suatu fungsi ekspektasi dari fungsi tersebut.
tidak
pada interval [0,1]. Sedangkan ekspektasi
dengan
, tidak lain adalah nilai
Nilai integral tentu dari suatu fungsi g(x) untuk 0 < x < 1 dapat dihampiri dengan nilai rata-rata dari g( U Dalam perhitungan integral tentu yang batas – batas pengintegralannya bukan [0,1], dilakukan transformasi sehingga batas pengintegralannya menjadi [0,1]. Untuk itu perhatikan kasus-kasus berikut :
maka diperoleh :
Sehingga diperoleh :
578
Pertama definisikan fungsi baru
yaitu
Hukum Bilangan Besar ( The Law of Large Numbers ) : ([3]) Misalkan mempunyai mean
dengan
suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi yang dan variansi
U
Teknik Meminimumkan Galat Salah satu teknik untuk mengurangi galat dalam hasil perhitungan dengan menggunakan metode ini adalah sebagai berikut : Sampel acak yang akan digunakan sebagai acuan dalam menghitung integral tentu, misal berasal dari X ~ U(0,1), dibagi ke dalam dua bagian, dimana setengah bagian pertama merupakan sampel yang dibangkitkan dari U(0,1), misalkan , i=1,2,3,... dan setengah yang lain nilainya adalah 1 dan ini merupakan sampel acak dari U(0,1) juga. Dengan menggunakan teknik ini terlihat bahwa galat yang dihasilkan dari metode ini relatif kecil. Seperti terlihat pada contoh 1. 579
3. Contoh Perhitungan Berikut adalah contoh-contoh perhitungan integral tentu dengan menggunakan Integral Monte Carlo. Semua perhitungan dikerjakan dengan menggunakan MATLAB.
Hukum Bilangan Besar :
Jika diambil nilai n yang cukup besar. Prosedur perhitungannya adalah sebagai berikut : 1. Bangkitkan nilai sampel dengan cara: bangkitkan 10.000 nilai sampel , dimana 5.000 nilai sampel , i=1,2,..., 5000 dibangkitkan dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5.000 nilai sampel dibangkitkan dari 1- . 2. Hitung nilai f( . Untuk contoh no. (1) berturut-turut diambil
3. Hitung nilai dari
. Dipilih replikasi 1000 (percobaan dilakukan 1000 kali, kemudian diambil nilai rata-ratanya). Hasil perhitungan adalah sebagai berikut :
580
Tabel 1. Hampiran integral tentu menggunakan Integral Monte Carlo
Nilai Hampiran
0.3333
0.3413
Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh nilai eksak :
Prosedur perhitungan : 1. Bangkitkan 10.000 nilai sampel ( dimana 5.000 nilai sampel dibangkitkan dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5.000 nilai sampel dibangkitkan dari Kemudian bangkitkan nilai sampel dari dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5000 nilai sampel dibangkitkan dari . 2.
581
Dipilih replikasi 1000. Hasil perhitungan adalah sebagai berikut :
Contoh 3 : Dibuat Tabel Normal (0,1) dengan menggunakan Integral Monte Carlo. Pada tabel tersebut akan dihitung nilai dari
untuk nilai n yang cukup besar, dengan sampel acak yang dibangkitkan dari U(0,1). Dengan mengambil n = 10.000 dan replikasi = 360 diperoleh hasil sebagai berikut : Tabel 2. Tabel normal (0,1) Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
0.00 0 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2257 0.258 0.2881 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192
0.01 0.004 0.0438 0.0832 0.1217 0.1591 0.195 0.2291 0.2611 0.291 0.3186 0.3437 0.3665 0.3868 0.4049 0.4207
0.02 0.008 0.0478 0.0871 0.1255 0.1628 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 0.3686 0.3887 0.4065 0.4221
0.03 0.012 0.0517 0.091 0.1293 0.1664 0.2019 0.2356 0.2673 0.2967 0.3238 0.3485 0.3707 0.3906 0.4082 0.4236
0.04 0.016 0.0557 0.0948 0.1331 0.17 0.2054 0.2389 0.2703 0.2995 0.3264 0.3508 0.3728 0.3925 0.4098 0.425 582
0.05 0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2421 0.2734 0.3023 0.3289 0.3531 0.3749 0.3943 0.4114 0.4264
0.06 0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3314 0.3554 0.3769 0.3961 0.413 0.4278
0.07 0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.1808 0.2157 0.2486 0.2793 0.3078 0.3339 0.3577 0.379 0.3979 0.4146 0.4292
0.08 0.0319 0.0714 0.1103 0.148 0.1844 0.219 0.2517 0.2823 0.3105 0.3364 0.3599 0.381 0.3997 0.4162 0.4305
0.09 0.0359 0.0753 0.1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3132 0.3389 0.3621 0.3829 0.4014 0.4177 0.4318
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
0.4331 0.4452 0.4554 0.464 0.4713 0.4773 0.4822 0.4862 0.4894 0.492 0.4941 0.4957 0.4669 0.4979 0.4987 0.4993
0.4344 0.4463 0.4563 0.4648 0.4719 0.4778 0.4826 0.4865 0.4897 0.4922 0.4942 0.4958 0.4971 0.498 0.4988 0.4994
0.4357 0.4473 0.4572 0.4656 0.4726 0.4783 0.4831 0.4869 0.49 0.4925 0.4944 0.496 0.4972 0.4981 0.4989 0.4994
0.4369 0.4484 0.4581 0.4664 0.4732 0.4789 0.4835 0.4872 0.4903 0.4927 0.4946 0.4961 0.4973 0.4982 0.4989 0.4995
0.4382 0.4495 0.459 0.4671 0.4738 0.4794 0.4839 0.4876 0.4905 0.4929 0.4947 0.4962 0.4974 0.4983 0.499 0.4995
0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744 0.4799 0.4843 0.4879 0.4908 0.4931 0.4949 0.4964 0.4975 0.4984 0.4991 0.4996
0.4406 0.4515 0.4608 0.4685 0.475 0.4803 0.4847 0.4882 0.491 0.4933 0.4951 0.4965 0.4976 0.4984 0.4991 0.4996
0.4417 0.4525 0.4616 0.4692 0.4756 0.4808 0.4851 0.4885 0.4913 0.4935 0.4952 0.4966 0.4977 0.4985 0.4992 0.4997
0.4429 0.4535 0.4624 0.4699 0.4762 0.4813 0.4855 0.4888 0.4915 0.4937 0.4954 0.4967 0.4978 0.4986 0.4992 0.4997
0.444 0.4544 0.4632 0.4706 0.4767 0.4817 0.4858 0.4891 0.4918 0.4939 0.4955 0.4968 0.4979 0.4987 0.4993 0.4998
4. Simpulan Integral Monte Carlo merupakan salah satu metode alternatif yang dapat dipilih untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu. Ada beberapa keuntungan dari metode ini : 1. Perhitungan dengan metode ini relatif lebih mudah dibandingkan dengan metode Trapesium dan metode Simpson. 2. Dapat digunakan untuk mencari hampiran dari integral tentu dari fungsi lebih dari satu peubah. Seperti terlihat pada contoh 2 di atas. 3. Nilai hampiran yang diperoleh relatif cukup baik, asal dipilih n yang cukup besar (bandingkan tabel normal yang diperoleh dengan tabel normal pada [2]).
Daftar Pustaka [1] Edwin J.Purcell, Dale.Varberg. 2012, Calculus and Analytic Geometri , Hall
ed.,Prentice
[2] George G.Judge and friends. 2008, Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. [3] Hogg, R.V ., and Craig. 2011, Introduction to Mathematical Statistics, Macmillan.
.
583
ed. .
Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 584-592
KEKONVERGENAN BARISAN
di
SUSILO HARTOMO, MUKTIARI, KIKI A SUGENG Program Studi Magister Matematika,Universitas Indonesia,
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Abstrak Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan di himpunan dengan daerah hasil di himpunan berupa bilangan real. Setiap bilangan real yang terkait dalam barisan disebut suku atau elemen dari barisan. Elemen -elemen dari barisan dinotasikan dengan adalah bilangan asli . Jadi, jika adalah suatu barisan, maka dapat dituliskan dengan notasi ( atau ). Berdasarkan arah kencenderungan anggota dari barisan bilangan real, terdapat barisan konvergen dan divergen. Barisan di dikatakan konvergen ke , atau dikatakan limit dari , jika untuk terdapat bilangan real sehingga untuk setiap , elemen memenuhi . Jika barisan mempunyai limit, dikatakan barisan konvergen dan jika tidak mempunyai limit, dikatakan barisan divergen. Dalam penelitian ini akan dibahas sifat baru dari barisan, yaitu jika dimisalkan di mana setiap barisan adalah barisan yang konvergen ke nilai yang sama misalkan , maka barisan atau bisa dituliskan yaitu barisan norm dari sukusuku barisan dengan indeks yang sama dari setiap barisan maka akan konvergen ke . Kata kunci: Barisan, Konvergen, Norm.
1. Pendahuluan Salah satu cabang dari analisis matematika yang paling popular adalah analisis yang membahas himpunan bilangan real dan fungsi-fungsi dalam bilangan real. Analisis real bagian dari ilmu kalkulus yang membahas bilangan real lebih mendalam yang memuat konsep barisan, limit, kekontinuan, turunan, integral, dan barisan dari fungsi-fungsi. Pembahasan analisis real pada tingkat lanjut dimulai dengan pembuktian sederhana mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian konsep-konsep fungsi secara jelas dengan memperhatikan keruntutan pola pikir, dan mengenalan konsep bilanganbilangan asli dan pentingnya teknik pembuktian salah satunya menggunakan induksi matematika dengan menggunakan definisi, aksioma, lema atau teorema. Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan barisan. Beberapa konsep yang mengatur proses menghitung limit yang dapat diturunkan, dan beberapa limit barisan yang menuju kesuatu nilai tertentu. Suatu barisan dapt dikenali melalui jumlah anggotanya, apakah barisan tersebut berheti di 584
suatu angka tertentu atau disebut barisan berhingga dan barisan yang tidak mempunyai anggota tak berujung atau disebut barisan tak hingga. Dalam hal ini selain membahas barisan dibahas juga tentang deret, deret adalah penjumlahan suku-suku dari barisan. Macam-macam dari konsep deret yang dibahas diantanya deret tak hingga, yang merupakan barisan yang khusus, deret pangkat yang digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting, seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa tipe penting dari subhimpunan bilangan real, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunanhimpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan kemudian. Konsep mengenai kekontinuan kemudian dapat dijelaskan menggunakan limit. Hasil jumlah, kali, komposisi, dan bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah fungsi yang kontinu juga, dan teorema nilai tengah. Kemudian, integrasi (Riemann dan Lebesgue) dan pembuktian teorema dasar kalkulus dapat dilakukan, dengan menggunakan teorema nilai tengah. Konsep-konsep tersebut sangat berguna untuk menunjang dalam mempelajari ide dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, supaya dapat memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Konsep-konsep tersebut untuk menganalisi
konsep
seperti
kekompakan,
kelengkapan,
ketersambungan,
kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat didefinisikan dan diperiksa. Pada makalah ini akan dibahas pengembangan konsep pada barisan bilangan real di ruang dimensi
. Akan dicoba mengembangkan kosep dari teori tetang barisan
konvergen dalam suatu himpunan. Dalam hal ini dibahas tentang teori Bilangan real, Barisan, Barisan Fungsi, Konvergenan. Suatu barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu. Suatu barisan pada bilangan real adalah suatu fungsi pada dengan range-nya (daerah hasilnya) dalam
himpuan bilangan asli
. Dengan kata lain barisan pada
memasangkan setiap bilangan asli
ke suatu bilangan real. Bilangan
real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilangan real yang dipasangkan ke suatu bilangan dinotasikan sebagai
dinotasikan
. Sedangkan barisan
.
Teori Barisan Konvergen sampai saat ini terus dikembangkan baik menurut teori ataupun dalam penerapan didunia nyata. Pengembangan konsep dari definisi, 585
teorema, aksioma, dan lema yang sudah ada dapat dikembangkan untuk terbentuknya teorema baru yang dapat menunjang dalam ilmu Pendidikan terutama dalam Matematikan yaitu pokok bahasan Analisis real. Dalam makalah ini dicoba mengembangkan terbentuknya sifat baru dengan bantuan konsep-konsep yang sudah ada dalam Barisan konvergen di ruang bilangan real.
2. Tinjauan Pustaka
Barisan konvergen
Definisi 2.1.1. [1, 4]: Barisan bilangan real (barisan di mendefinisikan
) adalah fungsi yang
himpunan bilangan asli (bilangan di
memetakan anggota himpunan bilangan real Dengan kata lain, urutan di
yang
.
menunjukan keanggotaan dari setiap bilangan asli
yang ditentukan secara unik (tunggal) atau dapat dinyatakan jika adalah barisan bilangan real maka dapat dinotasikan
.
Definisi 2.1.2. [1, 2, 4]: Diberikan suatu barisan real
dikatakan limit dari barisan
bilangan asli berlaku
yang dapat ditulis
, jika untuk sebarang bilangan positif
terdapat suatu
sedemikain hingga untuk semua bilangan asli
dengan
. Jika
konvergen ke
, suatu bilangan
merupakan limit dari barisan
. Jika barisan
maka dikatakan
tidak mempunyai nilai limit maka dikatakan
barisan tersebut divergen. Teorema 2.1.3. [1]: Diberikan
adalah barisan bilangan real, dan
mengikuti sifat-sifat berikut secara equivalent (saling berhubungan)
barisan yang konvergen ke Untuk seitan
maka ada bilanga asli K sehingga untuk semua
memenuhi
Untuk seitan
sehingga
maka ada bilanga asli K sehingga untuk semua
memenuhi
sehingga
Untuk setiap persekitaran K sehingga untuk semua
.
.
disebut
dari , maka ada bilangan asli
, memenuhi
yang berada di
Barisan terbatas
Definisi 2.2.1. [1, 4]: Barisan
dari bilangan real dikatakan terbatas
(terbatas atas dan terbatas bawah) jika ada bilangan 586
sehingga
untuk setiap
. Dengan kata lain, barisan
himpunan
terbatas pada
terbatas jika hanya jika
.
Teorema 2.2.2. [1, 4]: Setiap barisan yang konvergen adalah barisan terbatas Teorema 2.2.3. [1, 2, 4]: Jika masing konvergen ke
dan
dan
dua barisan yang masing-
maka mengikut pernyataan:
1. barisan
konvergen ke
2. barisan
konvergen ke
3. barisan
konvergen ke
,
.
Pembuktian Teorema 2.2.3. bagian 2 Jika
konvergen ke
konvergen ke
dan
konvergen ke
, maka
.
Bukti: Karena
konvergen maka ia terbatas, yaitu ada
untuk setiap
. Ambil
. Karena
maka untuk
yang diberikan terdapat
untuk setiap
dan
untuk setiap
dan dan
sehingga
untuk setiap
. Jadi
} diperoleh
Jadi
.
Maka
sehingga
konvergen ke
.
Norm
Misalkan V suatu ruang vektor atas F (real atau kompleks). Suatu fungsi ||•||: V → R disebut norm vektor jika untuk semua x, y Definisi 2.3.1. [2] a. b. c.
jika dan hanya jika untuk semua c
d. 587
F
berlaku,
Definisi 2.3.2. [2]: Misalkan V suatu ruang vektor atas F (real atau kompleks). :V ×V → F disebut perkalian dalam jika
Suatu fungsi
berlaku,
a. b.
= 0, jika dan hanya jika
c.
=
+
=c
d.
untuk semua
=
e.
Dari sifat-sifat diatas dapat dilihat terdapat kemiripan sifat yang dipenuhi oleh norm dan perkalian dalam yang mengakibatkan diperoleh sifat berikut. Akibatnya [2]: Jika
menyatakan suatu perkalian dalam di ruang vektor V berdimensi
atas
F maka
memenuhi sifat norm. Ada beberapa contoh norm yang diketahui, seperti norm matrik, norm vektor dan norm di ruang-ruang yang lain. Pada makalah ini akan membahas tentang norm vektor. 3. Hasil dan Pembahasan Berikuti ini dibahas sifat baru dari norm barisan, yaitu jika dimisalkan di mana setiap barisan
adalah barisan yang
konvergen ke nilai yang sama misalkan , maka barisan norm
yaitu barisan
norm dari suku-suku barisan dengan indeks yang sama dari setiap barisan akan konvergen ke
. Sebelum dibahas Teorema terkait,
terlebih dahulu diberikan Lema berikut. Teorema 3.1. Misalkan
himpunan barisan-barisan di
yang
konvergen ke . Jika
didefinisikan sebagai: ,
barisan dari
,
konvergen ke
maka .
Bukti: 588
konvergen ke ,
konvergen ke
,
= konvergen ke ,
Norm
adalah
Akan ditunjukkan bahwa barisan Norm yaitu
atau
akan konvergen ke
yang dinotasikan dengan .
( 2+ + 2) Karena
maka
. Menurut Teorema 2.2.3. bagian 2. Jika
konvergen ke
dan
konvergen ke , maka
. 589
konvergen ke
Maka Karena
konvergen ke
maka
jadi
atau barisan
konvergen
konvergen ke
,
maka
diperoleh:
Jadi terbukti
, maka barisan
.
4. Kesimpulan Dari penelitian ini, dapat diambil kesimpulan: Untuk himpunan barisan barisan-barisan di ruang
yang merupakan himpunan dari yang konvergen ke suatu nilai
tertentu, maka ada
barisan atau dinotasikan
akan konvergen ke
.
Daftar Pustaka 1.
Bartle,R. G. “The Elements of Real Analysis. Second edition. 1964”. Department of Mathematics, University of lllionis. New York.
2. 3.
Bartle, R. G and Donald D. S. “Introduction to Real Analysis. Third edition. 2000”. University of lllionis. New York Gozali, S. M. “Norm Vektor dan Norm Matriks”. Makalah. Universitas Pendidikan Indonesia diunduh dari http://file.upi.edu/direktori/fpmipa/jur._pend._matematika/197411242005011sumanang_muhtar_gozali/norm_vektor_dan_norm_matriks.pdf
4.
John K. Hunter. “An introduction to Real Analysis, 2014”. Departement of Mathematics, University of Calivornia at Davis
590
Lampiran Akan diberikan ilustrasi penerapan sifat baru yang telah dibuktikan dalam makalah yang telah dibahas yaitu akan diberikan sebuah himpunan yang berisi barisan dari sebuah fungsi sebanyak buah barisan. Setiap barisan dari barisan fungsi tersebut konvergen ke suatu nilai tertentu misal . Maka menurut sifat baru, apabila dibentuk suatu barisan baru dengan menggunakan sifat norm dimana ,
maka barisan tersebut akan konvergen ke
Contoh: Diberikan suatu himpunan barisan (
. Ketiga barisan
) tersebut masing-masing konvergen ke (
bahwa barisan norm ilustrasi lihat tabel berikut:
akan konvergen ke misal
591
,akan ditunjukkan . Untuk maka
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 -0.125 -0.33333 -0.40625 -0.44 -0.45833 -0.46939 -0.47656 -0.48148 -0.485 -0.4876 -0.48958 -0.49112 -0.49235 -0.49333 -0.49414 -0.49481 -0.49537 -0.49584 -0.49625
-0.66667 -0.57143 -0.54545 -0.53333 -0.52632 -0.52174 -0.51852 -0.51613 -0.51429 -0.51282 -0.51163 -0.51064 -0.5098 -0.50909 -0.50847 -0.50794 -0.50746 -0.50704 -0.50667 -0.50633
-1.00 -0.53 -0.51 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50 -0.50
1.563471920 0.791580733 0.817407325 0.838710924 0.850070806 0.856412636 0.860184154 0.862548545 0.864093457 0.865135866 0.865856820 0.866364848 0.866727701 0.866989155 0.867178334 0.867315110 0.867413338 0.867482866 0.867530809 0.867562382
1000 1001
-0.5 -0.5
-0.50013 -0.50012
-0.50 -0.50
0.866096731 0.866096666
Konvergen ke Dari tabel di atas, terlihat barisan
konvergen ke
.
592
.
Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 593-601
EMPAT METODE PEMBENTUKAN FUNGSI LYAPUNOV RUKMONO BUDI UTOMO Universitas Muhammadiyah Tangerang Email:
[email protected]
Abstrak. Dalam penelitian ini dijelaskan empat metode pembentukan Fungsi Lyapunov untuk menentukan kestabilan global dari suatu Sistem Persamaan Diferensial (SPD). Keempat metode tersebut antara lain Metode First Integral, Metode Bentuk Kuadratik (Metode Krasovski), Metode Zubov dan Metode Khalil. Dalam penelitian ini dijelaskan teknik pembentukan fungsi Lyapunov berdasarkan SPD yang diketahui dengan menggunakan keempat metode yang dikaji dalam penelitian ini. Kata kunci: Fungsi Lyapunov, First Integral, Krasovski, Zubov, Khalil.
1.
Pendahuluan
Dalam suatu Sistem Persamaan Diferensial (SPD) yang simultan, analisis kestabilan yang biasanya dilakukan adalah analisis kestabilan lokal disekitar titik kesetimbangan. Analisis kestabilan lokal biasanya dilakukan dengan melakukan linearisasi disekitar titik kesetimbangan dari SPD nonlinear. Kestabilan lokal dari sistem tersebut dapat dilihat berdasarkan nilai eigen. Nilai eigen negatif menujukkan titik kesetimbangan stabil asimtotis sebaliknya nilai eigen positif menunjukkan titik kesetimbangan tersebut tidak stabil. Nilai eigen imajiner konjugat menunjukkan bahwa titik kesetimbangannya tersebut stabil asimtotis dengan face potrait spiral sedangkan nilai eigen imajiner murni menunjukkan bahwa titik kesetimbangan tersebut stabil dengan face potrait sentral. Nilai eigen riil berbeda tanda menunjukkan titik kesetimbangan tersebut tidak stabil dengan face potrait pelana. Analisis kestabilan secara global sangat sulit ditentukan karena harus mencoba banyak titik dalam domain D untuk diselidiki kestabilannya. Salah satu cara menentukan kestabilan global adalah dengan Fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov ditemukan oleh matematikawan Rusia bernama Alexander Mikhailovich Lyapunov. Kestabilan sistem menurut Lyapunov yakni apabila dapat ditemukan suatu fungsi v x yang definit positif sedemikian hinga v x 0 , maka suatu sistem dikatakan stabil asimtotis. Apabila nilai v x 0 , maka sistem stabil, sebaliknya apabila v x 0 , maka sistem tidak stabil. [1] Untuk menentukan Fungsi Lyapunov tidaklah mudah. Apabila dilakukan dengan cara Trial and Eror maka selain memerlukan waktu yang lama, fungsi yang dihasilkan juga belum tentu merupakan Fungsi Lyapunov, sekalipun Fungsi 593
Lyapunov sendiri tidaklah tunggal. Dengan demikian diperlukan suatu Trick agar dapat mengkonstruksi Fungsi Lyapunov itu sendiri. Trick ini penting agar dapat mencermati suatu SPD dan dengan karakteristik SPD tersebut dapat dengan mudah dikonstruksi Fungsi Lyapunov. Makalah ini menguraikan cara membentuk Fungsi Lyapunov yang diuraikan dalam empat metode, yakni metode First Integral, Krasovski, Zubov dan Khalil. Metode First Integral dapat digunakan apabila SPD yang diberikan memungkinkan dilakukan proses pengintegralan. Fungsi Lyapunov yang dicari tak lain merupakan hasil dari pengintegralan SPD tersebut. Metode Krasovski atau Metode bentuk kuadratik dapat dilakukan apabila SPD tidak memungkinkan untuk dilakukan pengintegralan, karena ada kalanya meskipun memungkinkan dilakukan pengintegralan, namun hasil pengintegralan tersebut sulit ditemukan. Berdasakan hal tersebut diperlukan metode lain untuk mencari Fungsi Lyapunov salah satunya dengan Metode Krasovski. Untuk mencari Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovski, sistem yang diberikan perlu dilakukan linierisasi terlebih dahulu. Tujuan dari Linierisasi tersebut adalah mencari bentuk Linierisasi Jakobian j x . Setelah mendapatkan Linierisasi Jakobian j x , kemudian dicari matriks q x pj x j
t
x p
q x yang didefinisikan dengan
yang merupakan kriteria penentuan kestabilan SPD
berdasarkn Fungsi Lyapunov itu sendiri. Apabila q x merupkan suatu fungsi yang definit negatif, maka SPD stabil asimtotis, sebaliknya tidak stabil. Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov itu sendiri berdasarkan metode Krasovski tidak ditampilkan secara eksplisit[2]. Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu Fungsi x yang definit Positif yang memenuhi persamaan
v x f x x 1 v x 1 n
i
i 1
f
i
2
1
dengan v x merupakan Fungsi Lyapunov. Apabila ada, karena bentuk
v x f x adalah n
i 1
i
negatif, maka SPD stabil asimtotis. Jika SPD tidak stabil,
i
maka tidak akan ada fungsi x dan v x yang memenuhi persamaan (1)[3]. Terakhir, Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan t v xT px dengan a p pa I . Jika v negatif maka SPD stabil asimtotis, sebaliknya tidak stabil. [4]
Hasil – Hasil Utama
2.
Diberikan sistem autonomus sebagai berikut x f x dengan x x1 , x2 ,
, xn dan x x1 , x2 ,
, xn dan titik kesetimbangan sistem
adalah xe . Berikut akan didefinisikan kestabilan dari titik kesetimbangan xe [5] i.
Titik kesetimbangan xe dikatakan stabil apabila 0, t0 0, 0 594
sedemikian sehingga untuk
x t0 xe berlaku
x t xe ,
t t0 .[6] ii.
xe dikatakan stabil asimtotis apabila xe titik kesetimbangan yang stabil dan 0, t0 0 sedemikian sehingga Titik kesetimbangan
untuk x t0 xe berlaku lim x t xe 0 . t
iii.
xe dikatakan stabil seragam apabila kesetimbangan yang stabil dan ,t0 [7] Titik kesetimbangan
xe titik
Definisi [8] sebuah fungsi v x dikatakan definit positif apabila v x 0, x 0 dan v 0 0 .
Lebih lanjut untuk memahami definisi tersebut diberikan sistem orde dua sebagai berikut
x1 x x2
Misalkan v x1 , x2 merupakan fungsi yang definit positif . Jika v x1 , x2 memiliki nilai yang semakin mengecil (monoton turun), maka v x1 , x2 menuju nol. Suatu sistem dikatakan stabil apabila semua trajektori bergerak sedemikian hingga nilai v x1 , x2 semakin lama semakin berkurang. Untuk menghubungkan v x1 , x2 dengan sistem dinamik, maka dihitung nilai v x1 , x2 sebagai berikut
v
v n v v xi vT f t i 1 xi t
dengan V merupakan besarnya perubahan
V sepanjang vektor f
2.1. Metode First Integral [9] Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First Integral memiliki bentuk sebagai berikut
x f y1 , y2 ,
, yn
y f x1 , x2 ,
, xn
Contoh 1 Diberikan sistem PD sebagi berikut
x y y x
2 2 di atas dapat 2 dapat diperoleh
Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD ditentukan dengan metode First Integral. Berdasarkan sistem
dx y 1 2 1 2 dengan solusi x y C atau x 2 y 2 C yang definit positif. dy x 2 2 595
Berdasarkan hal tersebut dapat diambil Fungsi Lyapunov v x, y x 2 y 2 . Perhatikan bahwa
v 0 , maka berdasarkan hal demikian sistem 2 stabil.
Contoh 2 Diberikan sistem PD sebagai berikut
x y
3
y 4 x3 4 x Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD Metode First Integral adalah v x, y dapat dilihat bahwa
3 berdasarkan
1 2 y 2 x 2 x 4 . Berdasarkan hal tersebut 2
v 0 , berdasarkan hal demikian sistem 3 stabil.
Contoh 3 Diberikan sistem PD sebagi berikut
2 2 1 xy x 3 2 1 y x2 y 7 y 4
x
4
Perhatikan bahwa meskipun sistem 4 memiliki bentuk umum x f x, y dan y f x, y , namun sistem 4 dapat dituliskan kembali sebagai berikut
1 2 x x y2 2 3 1 y y x2 7 4 Dengan
mengintegrasikan
2 1 1 7 x dx y dy , 4 x 3 2y
1 2 1 1 x 7 ln x ln y y 2 C . 8 2 3
Fungsi
Lyapunov
5
maka dapat
diperoleh diambil
v x, y 3x 2 168ln x 12ln y 8 y 2 dan V x, y 2 x 2 y 2 56 y 2 0 .
Berdasarkan hal tersebut sistem 5 stabil asimtotis ke titik kesetimbangan 0, 0 . 2.2. Metode Bentuk Kuadratik (Metode Krasovski)[10] Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif p sedemikian hingga matriks definit positif q x dapat didefinisikan sebagai q x pj x j t x p dengan j x merupakan bentuk linierisasi Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil asimtotis. Perhatikan, misal diberikan fungsi Lyapunov v x, y f t pf yang definit positif 596
pada ruang f . Karena terdapat pemetaan satu –satu antara ruang x dan ruang f , maka v x, y juga definit positif pada ruang x . Derivatif dari v x, y diperoleh sebagai berikut
v x, y f t pf f T pf .
Dengan aturan rantai diperolah f x j x x j x f x , berdasarkan hal tersebut
v x, y f t j t x p pj x f f T q x f
Dengan mengingat q x definit negatif, maka v x, y juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimtotis. Contoh 4 Diberikan sistem sebagai berikut
x ax y y x y y3
6
untuk a 1 . Berdasarkan sistem
6 tersebut akan ditentukan fungsi Lyapunov untuk menyelidiki kestabilan dari sistem 6 . Perhatikan bahwa pencarian FungsiFungsi Lyapunov pada sistem 6 tidak dapat atau mungkin sulit dilakukan dengan metode First Integral, hal ini dikarenakan sistem 6 tidak dapat dilakukan pengintegralan secara langsung. Atas dasar tersebut, perlu dicari metode lain yang tepat untuk mencari fungsi Lyapunov. Pencarian fungsi Lyapunov sistem 6 dapat dengan mudah dilakukan dengan Metode bentuk kuadratik Atau Metode Krasovski. Berdasarkan sistem di atas dapat ditentukan bentuk linierisasi Jakobian j x sebagai berikut
1 a j x 2 1 1 3 y
p , misalkan dalam hal p I 2 , maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriks q x
selanjutnya harus ditentukan suatu matriks definit positif ini dipilih matriks
sebagai berikut q x pj x j t x p
1 a 1 1 0 1 0 a 2 2 0 1 1 1 3 y 1 1 3 y 0 1 2 2a 2 2 6 y 2
Perhatikan bahwa meski 4a 12ay 2 4 0 , namun 2a 0 untuk a 1 , berdasarkan hal demikian q x definit negatif. Dengan demikian sistem 6 stabil asimtotis.
597
2.3. Metode Zubov [11,12] Metode Zubov juga dapat digunakan untuk menentukan fungsi Lapunov. Pertama perhatikan Teorema Zubov sebagai berikut. Teorema Misalkan u merupakan himpunan yang memuat daerah asal D . Syarat perlu dan cukup agar u menjadi domain eksak dari atraksi yakni fungsi x dan v x memenuhi ketentuan sebagai berikut i. v x terdefinisi dan kontinu di U , dan x terdefinisi dan kontinu di seluruh ruang state ii. Fungsi x definit positif untuk semua nilai x iii.
Fungsi v x definit positif di 0 v x 1 terletak di
U dengan v 0 0 dan pertidaksamaan
U
U , v x 1
iv.
Pada batas
v.
Berlaku persamaan
v x f x x 1 v x 1 n
i 1
i
i
f
2
Lebih lanjut ruas kanan persamaan diferensial di atas dapat dimodifikasi menjadi beberapa bentuk sebagai berikut: vi.
Perhatikan bahwa karena 1 f
2
adalah positif , maka dapat didefinisikan
fungsi definit positif yang lain misalnya x x 1 f
2
.
Berdasarkan hal tersebut, bentuk persamaan diferensial parsial di atas
v x f x x 1 v x 1 n
menjadi
i 1
vii.
i
f
i
2
Ruas kanan persamaan diferensial di atas dapat dimodifikasi menjadi 1
2 2 bentuk lain, misalnya x 1 v x 1 f , berdasarkan hal
tersebut bentuk persamaan diferensial parsial di atas menjadi
v 2 fi x x 1 v x 1 f 2 i 1 xi 1
n
viii.
Apabila didefinisikan peruahan dari variabel v n 1 v , maka
v x f x x dengan n
persamaan diferensial diatas menjadi
i 1
i
v
i
merupakan fungsi Lyapunov. Berdasarkan hal tersebut daerah atraksi menjadi 0 v . Contoh 5 Diberikan Sistem Persamaan Diferensial sebagai berikut
x1 x1 x2 x1 x12 x2 2
x2 x1 x2 x2 x12 x2 2 598
Berdasarkan hal tersebut akan ditentukan Fungsi Lyapunov dari sistem tersebut.
Ambil fungsi definit positif x 2 x12 x2 2 , berdasarkan hal tersebut diperoleh
v
v v x1 x2 . x1 x2
Berdasarkan
Teorema
Zubov,
v v x1 x2 2 x12 x22 1 v x sehingga fungsi Lyapunov yang x1 x2 dimaksud adalah v x x12 x2 2 dengan batas kestabilannya adalah x12 x2 2 1 . Contoh 6 Diberikan Sistem Persamaan Diferensial sebagai berikut
x1 x1 2 x12 x2 x2 x2 Dengan menggunakan Teorema Zubov, maka diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut
v v 2 x1 x2 x 1 v x 1 f 2 x1 x2 1
1
2 2 x 1 v x 1 x2 2 2 x12 x2 x1
Berdasarkan hal tersebut, di ambil fungsi x
x12 x2 2
1 x2 2 2 x12 x2 x1
2
, dan
berdasarkan hal tersebut diperoleh Fungsi Lyapunov untuk sistem PD pada contoh
1 2 x12 x . Fungsi v x1 , x2 hilang pada 2 2 2 1 x x 1 2 titik asal sama dengan 1 pada kurva x1 x2 1 , karenanya kestabilan di definiskan pada daerah dalam kurva x1 x2 1 . 6 ini adalah v 1 exp
2.4. Metode Khalil [14] Prosedur pembentukan fungsi Lyapunov berdasarkan metode Khalil dikenal dengan prosedur Cookbook. Langkah-langkah pada prosedur tersebut dijelaskan sebagai berikut: i. Diberikan sistem PD x f x Ax f1 x ii. iii.
Tentukan P pada persamaan at p pa I Fungsi Lyapunov v x xT px dengan v x xt qx 2 xT pf1 , dengan
q I Apabila v 0 ,maka sistem stabil asimtotis, sebaliknya sistem tidak iv.
stabil c min p r 2 599
v.
Jika c x v x c , maka xT px min p r 2
Contoh 7 Diberikan sistem PD sebagai berikut
x1 2 x1 x1 x2 x2 x2 x1 x2
0, 0
Perhatikan bahwa sistem memiliki titik kesetimangan Linearisasi disekitar titik nilai eigen
0, 0
1, 2 .
2 0 dengan 0 1
menghasilkan matriks A
1 2 dan 1 1 . Lebih lanjut berdasarkan persamaan
1 AT P PA I , diperoleh P 4 0 Fungsi
dan
Lyapunov
0 . Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih 1 2 1 1 dengan v xt px x12 x2 2 4 2
1 v x12 x2 2 x12 x2 x1 x2 2 . Dengan transformasi polar x1 cos 2 dan x2 sin , maka
1 v 2 3 cos sin sin cos 2 1 1 2 3 sin 2 sin cos 2 2 2
5 3 4
0 2
4 1 4 0.8 dan karenanya dengan . Lebih lanjut c min P r 2 4 5 15 diperoleh
1 2 1 2 x1 x2 0.8 4 2 3. Kesimpulan Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini antara lain: 1. Untuk menyelidiki kesatbilan global dari suatu Sistem Persamaan Diferensial perlu dikonstruksi Fungsi Lyapunov v yang definit positif.
Apabila v 0 , maka Sistem Persamaan Diferensial tersebut stabil asimtotis, sebaliknya tidak stabil. 600
2. Untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dapat dilakukan dengan
empat metode antara lain Metode First Integral, Metode Krasovski, Metode Zubov dan Metode Khalil 3. Metode First Integral dapat dilakukan apabila Sistem Persamaan Diferensial tersebut memungkinkan untuk dilakukan integrasi. Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode ini merupakan hasil dari integrasi tersebut. 4. Metode Krasovsi, Zubov dan Khalil dapat digunakan untuk mencari Fungsi Lyapunov apabila Metode First Integral tidak dapat dilakukan. 5. Referensi [1] A.M. Lyapunov, Probleme General de la Stabilite du Movement, Reprinted in
Annals of Mathematical Studies No. 17 , Princenton University Press, Princenton, N.J., 1949 (Russian Edition 1892). [2] V.M. Popov, Absolute Stability of Nonlinear Systems of Automatic Control, Automation and Remote Control, Vol.22, 1962, pp.857-875 [3] W. Hahn, Theory and Aplication of Lyapunov’s Direct Method, Prentice Hall, Eagle wood Cliffs, N.J., 1963 [4] J.P. LaSalle and S. Lefschetz, Stability by Liapunov’s Direct Method With Applications, Academic Press, New York, 1961. [5] J.L. Willems, Stability Theory of Dynamical Systems, Thomas Nelson & Sons, U.K., 1970. [6] M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1978. [7] B.D.O.Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis-A Modern Systems Theory Approach, Prentice Hall Englewood Cliffs, N.J. [8] O. Gurel and L. Lapidus, A Guide to the Generation of Lyapunov Function, Industrial and Engineering Chemistry, March 1969, pp.30-41. [9] N.G. Chetaev, Stability of Motion, Pergamon Press, 1961 (Russian Edition, 1945-1950) [10] N.N. Krasovskii, Stability of Motion, Pergamon Press, 1961(Russian Edition, 1959) [11] S.G. Marqolis and W.G.Vogt, Control Engineering Applications of V . I. Zubov’s Construction Procedure for Lyapunov Functions, IEEE Trans. Automatic Control, Vol AC-8, No. 2, April 1963, pp 104-113. [12] Discussion on Ref. 12 by F. Fallside and M. R. Patel and Reply, IEEE Trans. Automatic Control, Vol. AC-10, No. 2, April 1965 , pp.220-222 [13] J.K. Hedrick and A. Girard, Control of Nonlinear Dynamic Systems: Theory and Applications, 2005.
601
Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 602-613
PENGARUH ELEMEN PRIMITIF DARI GRUP SIKLIK ℤ * TERHADAP ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL UNTUK ENKRIPSI PESAN MOHAMMAD HEADING NOR ILAHI1, ANNISA DINI HANDAYANI2
1 Jln. Raya Haji Usa, Ciseeng, Bogor 16120 INDONESIA,
[email protected] 2 Jln. Raya Haji Usa, Ciseeng, Bogor 16120 INDONESIA,
[email protected]
Abstrak. Algoritma Kriptografi ElGamal adalah algoritma kriptografi asimetris yang menggunakan bilangan prima besar sehingga membentuk suatu himpunan bilangan dari 1 sampai -1 atau seluruh elemen dari grup siklik ℤ *. Algoritma Kriptografi ElGamal terdiri dari 3 proses, yaitu proses pembentukan kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi. Untuk melakukan ketiga proses tersebut, dibutuhkan suatu bilangan , dengan merupakan elemen primitif dari ℤ *. Hal ini dikarenakan elemen primitif dapat memberikan kekuatan Algoritma ElGamal menjadi maksimal. Dalam makalah ini, akan ditunjukkan pengaruh elemen primitif terhadap kekuatan Algoritma ElGamal. Kata kunci: elemen primitif, kriptografi, ElGamal, grup siklik.
1. Pendahuluan Terdapat dua tipe algoritma kriptografi yang dibedakan berdasarkan penggunaan kunci yaitu algoritma simetris dan algoritma asimetris. Algoritma simetris menggunakan satu kunci rahasia yang sama dalam proses enkripsi dan proses dekripsi, seperti ditunjukkan pada gambar 1.
602
Sedangkan algoritma asimetris menggunakan dua buah kunci yaitu kunci publik dan kunci pribadi atau rahasia. Kunci publik akan dibiarkan diketahui pihak lain. Kunci publik akan digunakan untuk mengenkripsi pesan yang akan dikirimkan ke penerima yang mempunyai kunci publik tersebut. Sedangkan penerima akan mendekripsi pesan tersebut menggunakan kunci pribadinya. Kunci pribadi akan bersifat rahasia dan hanya yang memilikinya yang mengetahui. Konsep algoritma kriptografi asimetris dapat dilihat di gambar 2.
Algoritma asimetris atau algoritma kunci publik didesain tahan terhadap chosen-plaintext attacks. Keamanan algoritma asimetris disandarkan pada kesulitan dalam mencari kunci rahasia dari kunci publik dan kesulitan mencari teks terang dari teks sandi [2]. Kesulitan tersebut adalah permasalahan yang dianggap sulit dalam matematika, misalnya permasalahan logaritma diskret, pemfaktoran bilangan besar, dan NP-Complete. Terdapat beberapa algoritma kunci publik, contohnya adalah RSA yang dipublikasikan oleh Rivest, Shamir, dan Adleman [6], ElGamal yang dipublikasikan oleh Taher ElGamal [8], dan knapsack yang dipublikasikan oleh Merkle dan Hellman [7]. ElGamal merupakan salah satu algoritma asimetris yang dipublikasikan oleh Taher ElGamal pada tahun 1985. Algoritma ini terdiri dari tiga proses yaitu proses pembentukan kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi. Kekuatan algoritma ElGamal didasarkan pada permasalahan logaritma diskret. Permasalahan logaritma diskret adalah permasalahan matematika yang terdapat pada beberapa lini matematika, termasuk versi mod yang akan dijelaskan di makalah ini dan pada versi elliptic curve. Konstruksi kunci publik pertama yang dipublikasikan oleh Diffie dan Hellman [5] juga berdasarkan permasalahan logaritma diskret pada lapangan berhingga yang mempunyai elemen sejumlah suatu bilangan prima dinotasiakan . Pada kunci publik algoritma ElGamal ( , , A), yang diambil harus elemen primitif dari mod agar kekuatan algoritma ElGamal maksimal. Pada makalah ini akan dijelaskan pengaruh pengambilan terhadap kekuatan algoritma ElGamal.
603
2. Hasil – Hasil Utama
2.1 Algoritma Kriptografi ElGamal Algoritma ElGamal dapat digunakan untuk tanda tangan digital dan untuk enkripsi pesan. Pada makalah ini akan dijelaskan algoritma ElGamal untuk enkripsi pesan. Keamanan algoritma ElGamal didasarkan pada kesulitan dalam mencari logaritma diskret pada lapangan berhingga. Seperti telah dijelaskan di atas bahwa ElGamal memiliki tiga tahapan, yaitu pembentukan kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi. Berikut akan dijelaskan ketiga tahapan tersebut [2]. 2.1.1
Pembentukan Kunci Pada proses pembentukan kunci akan dibutuhkan: 1. Bilangan prima besar untuk membentuk ℤ *. 2. Bilangan acak , ℤ *. Diketahui persamaan A = x mod , sehingga dibentuk suatu kunci publik (p, , A) dan kunci pribadi . Misalkan Yayuk ingin mengirim pesan terenkripsi menggunakan algoritma ElGamal kepada Khudlori. Proses pembentukan kunci akan dilakukan oleh Khudlori selaku penerima pesan dari Yayuk. Kunci publik (p, , A) dipublikasikan oleh Khudlori sehingga diketahui Yayuk. Yayuk menggunakan kunci publik milik Khudlori untuk mengenkripsi pesan yang akan dikirim kepada Khudlori.
2.1.2
Proses Enkripsi Pada proses enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik ( , , A). Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ), dimana ={1,2,…, }. Dalam proses enkripsi langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: 1. Untuk dari 1 sampai
kerjakan:
a. Pilih bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key) relatif prima terhadap -1 dan i {0,1,…, -2}, dengan ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan. Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi pesan, sehingga tidak perlu disimpan. Penggunaan atau pengambilan yang acak akan mengakibatkan setiap karakter yang sama dalam pesan dienkripsi menjadi teks sandi yang berbeda. Ephemeral key hanya digunakan mengenkripsi satu karakter saja dalam teks terang. b. Hitung
i=
ki
mod . 604
c. Hitung
i=
Aki .m mod .
2. Diperoleh teks sandi (ciphertext) ( , ), dimana ={1,2,…, }. Lalu Yayuk mengirimkan teks sandi ini kepada Khudlori.
2.1.3
Proses Dekripsi Setelah teks sandi diterima oleh Khudlori, pesan akan didekripsi menggunakan kunci pribadi dan kunci publik ( , , A) milik Khudlori. Pada proses enkripsi digunakan ephemeral key . Pada proses dekripsi tidak akan digunakan lagi. Jika diberikan teks sandi ( , ), maka, =
( )-1 mod
ℤ * merupakan grup siklik yang mempunyai order {0,1,…, -2}, sehingga ( )-1= ( )- =
-1-
-1, dengan
.
Pada proses dekripsi membutuhkan teks sandi ( , ), dimana ={1,2,…, }, kunci publik ( , , A), dan kunci pribadi . Hasil dari proses dekripsi ini adalah teks terang (plaintext). Berikut ini adalah langkahlangkah pada proses dekripsi: Untuk dari 1 sampai , kerjakan: a. Hitung
-1-
b. Hitung
=
mod . (
)-1 mod , untuk ={1,2,…, }.
2.2 Komponen ElGamal 2.2.1 Grup siklik ℤ * Suatu grup akan dikatakan grup siklik, jika terdapat satu atau lebih elemen generator atau pembangun dalam himpunan tersebut [2]. Kecuali elemen identitas, elemen identitas tidak akan bisa membangun atau bukan generator. Suatu grup siklik dinotasikan dengan { G∣ ℤ}. * Himpunan ℤ ≡ ℤ – {[0]} merupakan grup siklik dengan himpunan bilangan bulat modulus dengan operasi perkalian dan adalah bilangan prima, serta merupakan grup komutatif. Dalam perhitungan algoritma kriptografi ElGamal diambil sebuah bilangan prima . Semua persamaan dalam pembentukan kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi dimoduluskan sehingga dalam kasus ini algoritma kriptografi ElGamal akan selalu memunculkan bilangan anggota grup siklik tanpa nol dengan order -1 yaitu ℤ *. Dengan kata lain , , A, 605
, , dan ℤ *. Agar algoritma kriptografi ElGamal memiliki kekuatan maksimal, pengambilan ℤ * harus memenuhi syarat bahwa adalah elemen primitif dari ℤ *. Elemen primitif pada grup siklik ℤ * Jika terdapat bilangan prima dan ℤ *, maka lebih kecil dari atau ℤ *. Lalu dikatakan generator atau elemen primitif dari ℤ * jika terdapat ℤ *, dan dari 1 sampai -1 terdapat suatu dimana ≡ mod [2].
2.2.2
Contoh 1. Jika =11, buktikan bahwa 2 merupakan elemen primitif dari mod p! 21=2 (mod 11) 22=4 (mod 11) 23=8 (mod 11) 24=5 (mod 11) 25=3 (mod 11) 26=9 (mod 11) 27=7 (mod 11) 28=10 (mod 11) 29=6 (mod 11) 210=1 (mod 11) Setiap bilangan 1 sampai 10 elemen dari =11 dapat dibentuk oleh 2 mod 11. Terbukti bahwa 2 adalah elemen primitif dari mod . Berikut ini adalah beberapa teorema mengenai elemen primitif [1]. i.
ℤ * mempunyai generator atau elemen primitif jika dan hanya jika =2, 4, , atau 2 dimana adalah sebuah bilangan prima ganjil dan ≥1, jika adalah prima maka ℤ * mempunyai elemen primitif.
ii.
Jika elemen primitif dari ℤ *, maka ℤ *= { ϕ(n)-1}.
iii.
Andaikan generator dari ℤ *, maka = mod juga generator dari ℤ * jika dan hanya jika gcd( , ϕ( ))=1, dan menunjukkan bahwa ℤ * siklik.
iv.
ℤ * adalah generator dari ℤ * jika dan hanya jika (mod ) untuk setiap faktor prima dari ϕ( ).
mod
∣ 0≤ ≤
ϕ( )/
≠1
Dari teorema ke-iv didapatkan bahwa jika terdapat faktorisasi prima dari ϕ( )= -1 dimana = 1, 2,…, , kita dapat menentukan apakah sebuah ℤ * elemen primitif (generator) atau bukan [2]. i. Jika ( -1)/ mod ≠ 1, maka atau ℤ *. 606
merupakan elemen primitif dari mod
ii. Jika ( -1)/ mod = 1, maka mod atau ℤ *.
bukan merupakan elemen primitif dari
Contoh 2. Jika =11, faktor prima -1= 11-1= 10= 2.5 1. Buktikan apakah 2 merupakan elemen primitif dari mod ! 210/2 mod 11= 25 mod 11= 10 210/5 mod 11= 22 mod 11= 4 Terbukti bahwa 2 merupakan elemen primitif dari mod 11. 2. Buktikan apakah 3 merupakan elemen primitif dari mod ! 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1 310/5 mod 11= 32 mod 11= 9 Terdapat 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1, sehingga 3 bukan merupakan elemen primitif mod 11. 2.2.3
Permasalahan logaritma diskret Menurut definisi pada [3], andaikan adalah elemen primitif dari , permasalahan logaritma diskret adalah permasalahan dalam mencari sebuah eksponen , seperti dibawah ini, ≡ Nilai log ( ).
(mod ).
disebut logaritma diskret dari
pada basis
dan dinotasikan
2.3 Pengaruh ℤ * yang diambil pada enkripsi pesan algoritma kriptografi ElGamal Algoritma kriptografi ElGamal akan mudah dikriptanalisis karena nilai akan beroperasi pada < > dan akan terdapat bilangan selain yang bisa digunakan untuk mendekripsi pesan. BUKTI : a. Dari definisi elemen primitif didapatkan bahwa dikatakan generator atau elemen primitif dari mod atau ℤ *, jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 menghasilkan semua elemen ℤ * secara permutasi [3]. Dengan kata lain order dari < > merupakan ϕ( ) yaitu -1. b. Dari Fermat’s Little Theorem bahwa -1≡ 1 mod , dimana gcd( , )= 1 dan < . Didapatkan bahwa jika merupakan elemen primitif maka ≠ 1 (mod ), untuk adalah semua bilangan bulat positif dan <ϕ( ). c. Didapatkan bahwa jika terdapat ≡ 1 (mod ) dan < ϕ( ), maka bukan merupakan elemen primitif dari [4]. Sehingga menunjukkan bahwa dengan dipangkatkan dari 1 sampai -1 hanya dapat 607
membangun dengan order lebih kecil dari -1 yaitu . Pernyataan ini kontradiksi dengan pernyataan a. yang menyebutkan bahwa suatu dikatakan generator atau elemen primitif jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 menghasilkan semua elemen di ℤ * secara permutasi. d. Dari pernyataan c. didapatkan bahwa semua elemen yang dibangun dinotasikan < > bukan elemen primitif dari ℤ *, karena semua elemen < > jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 tidak menghasilkan semua elemen di ℤ * secara permutasi. e. Jika ℤ * dengan bukan elemen primitif dari ℤ * maka order < > membagi order ℤ *. Sehingga akan terjadi perulangan pada setiap elemen < > sebanyak dengan, = ϕ( ) = ϕ( )/ = -1/ Pembuktian di atas akan menunjukkan kenapa yang diambil pada kunci publik harus elemen primitif. Pengambilan harus elemen primitif karena jika yang diambil bukan elemen primitif, maka akan membentuk himpunan baru yaitu < >. Sehingga operasi pada ElGamal yang seharusnya menggunakan modulus atau ℤ * dengan order -1, digantikan oleh < > dengan order , dengan < -1 Teks sandi hasil enkripsi akan lebih mudah diserang oleh kriptanalis karena pada proses enkripsi algoritma kriptografi ElGamal yang seharusnya beroperasi pada order -1 berkurang menjadi berorder untuk dimana = mod , karena jika terdapat mod dimana semua bukan elemen primitif ℤ *, maka k mod akan selalu menghasilkan nilai elemen anggota < >. Meskipun nilai tidak selalu elemen dari < >, tetapi karena = A . mod dimana A= mod , sehingga A = mod akan selalu menghasilkan elemen dari < >. Diketahui = A mod , -1 -1 maka didapatkan = (A ) mod = ( ) mod sehingga kriptanalis akan lebih mudah mencari teks terang , karena A = mod akan selalu menghasilkan elemen dari < > dan order < > lebih kecil dari order ℤ *. Semakin kecil order maka akan semakin mudah diserang oleh kriptanalis. Hal ini tentu akan sangat merugikan karena tidak memaksimalkan kekuatan ElGamal dari bilangan yang diambil. Penggunaan elemen primitif akan membangun grup siklik ℤ * dengan order maksimal yaitu -1. Sehingga kekuatan dari algoritma ElGamal dapat dimaksimalkan. Diketahui juga bahwa order < > membagi order ℤ *, sehingga setiap elemen < > akan berulang sebanyak = ( -1)/ . Jika setiap elemen < > berulang sebanyak = ( -1)/ maka akan mempunyai nilai sama sebanyak .
608
Contoh 3. Buktikan bahwa 3 bukan elemen primitif dari ℤ11* sehingga jika 3 dipangkatkan 1 sampai 10 akan menghasilkan himpunan semua bilangan bukan elemen primitif ℤ11* dengan order kurang dari 10. Faktor prima -1= 11-1= 10= 2.5, 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1 310/5 mod 11= 32 mod 11= 9 Terdapat 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1, sehingga 3 bukan merupakan elemen primitif mod 11. Jika 3 dipangkatkan dari 1 sampai 10 akan membentuk himpunan < >. 31=3 (mod 11) 32=9 (mod 11) 33=5 (mod 11) 34=4 (mod 11) 35=1 (mod 11) 36=3 (mod 11) 37=9 (mod 11) 38=5 (mod 11) 39=4 (mod 11) 310=1 (mod 11). Maka 3 dipangkatkan dari 1 sampai 10 didapatkan {1,3,4,5,9} dengan order 5, = ( -1)/ = (11-1)/5 = 10/5 = 2. Terdapat dua nilai sama dengan pangkat berbeda bila dimoduluskan dengan 11. Contoh 4. Yayuk akan mengirim pesan “AYO” kepada Khudlori. Salah satu kunci publik yang diambil elemen primitif. Proses: 1.
Pembentukan kunci Khudlori harus membuat kunci publik dan kunci rahasia, misalkan dipilih bilangan prima =257 dan =3. Faktorisasi prima dari 256=2.2.2.2.2.2.2.2 maka = 2. Langkah-langkah pembentukan kunci: a.
Buktikan bahwa = 3 elemen primitif mod 257, ( -1)/2 mod = 3(256)/2 mod 257= 256. Terbukti bahwa 2 elemen primitif mod 257.
b.
Ambil
{0,1,…,255}, misalkan 609
=3
Diketahui persamaan A= mod = 33 mod 257= 27, sehingga dibentuk suatu kunci publik (257, 3, 27) dan kunci pribadi =3. Kunci publik (257, 3, 27) dipublikasikan oleh Khudlori sehingga diketahui Yayuk. Yayuk menggunakan kunci publik milik Khudlori untuk mengenkripsi pesan yang akan dikirim kepada Khudlori. 2.
Proses enkripsi Langkah-langkah pada proses enkripsi adalah: a.
Pada proses enkripsi pesan yang akan dienkripsi diubah terlebih dahulu ke dalam kode ASCII, ={A,Y,O}={65,89,79}. Pada algoritma enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik (257, 3, 27).
b.
Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ). Pilih bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key) i {0,1,…,255}, i ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan yaitu Yayuk. Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi pesan, sehingga tidak perlu disimpan.
i=
ki
mod 257
Aki .m mod 257
1
65
3
27
49
2
89
6
215
17
3
79
8
136
143
Maka didapatkan teks sandi ( , 3.
i=
) = {(27, 49),(215, 17),(136, 143)}.
Proses dekripsi Pada proses dekripsi dibutuhkan kunci pribadi mengembalikan teks sandi ke teks terang. ( , )
253 i
mod 257
i=
i( i
253
= 3 untuk
) mod 257
1
(27, 49)
80
65
2
(215, 17)
232
89
3
(136, 143)
227
79
Dari tabel dekripsi tersebut didapatkan teks terang adalah {65,89,79}, adalah elemen primitif sehingga order < > adalah -1. Tidak ada nilai lain selain yang dapat mendekripsi teks sandi.
610
Contoh 5.
publik
Yayuk akan mengirim pesan “AYO” kepada Khudlori. Salah satu kunci yang diambil bukan elemen primitif. Proses:
1. Pembentukan kunci Khudlori harus membuat kunci publik dan kunci rahasia, misalkan dipilih bilangan prima =257 dan =2. Faktorisasi prima dari 256=2.2.2.2.2.2.2.2 maka = 2. Langkah-langkah pembentukan kunci: a.
Buktikan bahwa = 2 bukan elemen primitif mod 257, ( -1)/2 mod = 2(256)/2 mod 257= 1. Terbukti bahwa 2 bukan elemen primitif mod 257.
b.
Ambil
{0,1,…,255}, misalkan
=3
Diketahui persamaan A= mod = 23 mod 257= 8, sehingga dibentuk suatu kunci publik (257,2,8) dan kunci pribadi =3. Kunci publik (257,2,8) dipublikasikan oleh Khudlori sehingga diketahui Yayuk. Yayuk menggunakan kunci publik milik Khudlori untuk mengenkripsi pesan yang akan dikirim kepada Khudlori. 2.
Proses enkripsi Langkah-langkah pada proses enkripsi adalah: a.
Pada proses enkripsi pesan yang akan dienkripsi diubah terlebih dahulu ke dalam kode ASCII, ={A,Y,O}={65,89,79}. Pada algoritma enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik (257,2,8).
b.
Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ). Pilih bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key) i {0,1,…,255}, i ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan yaitu Yayuk. Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi pesan, sehingga tidak perlu disimpan. i=
ki
mod 257
i=
Aki .m mod 257
1
65
3
8
127
2
89
6
64
99
3
79
8
256
178
611
Maka didapatkan teks sandi ( , ) = {(8, 127),(64, 99),(256, 178)}. Semua nilai yaitu {8,64,256} bukan elemen primitif dari mod 257 sehingga < >. 3.
Proses dekripsi Pada proses dekripsi dibutuhkan kunci pribadi mengembalikan teks sandi ke teks terang. ( , )
253 i
mod 257
i=
i( i
253
) mod 257
1
(8,127)
128
65
2
(64,99)
193
89
256
79
3 (256,178)
= 3 untuk
Dari tabel dekripsi tersebut didapatkan teks terang adalah {65,89,79}. Tetapi terdapat nilai lain yang berbeda dengan yang bisa mendekripsi teks terang. Misalkan diambil
= 19, maka
A= mod = 219 mod 257= 8
( , )
253 i
mod 257
i=
i( i
253
) mod 257
1
(8,127)
128
65
2
(64,99)
193
89
256
79
3 (256,178)
Terbukti bahwa terdapat yang berbeda dengan kunci rahasia dan dapat digunakan untuk dekripsi pesan. Hal ini akan mengakibatkan kriptanalis akan semakin mudah membuka teks sandi.
3. Kesimpulan Kesimpulan yang diperoleh dari pembuktian pengaruh elemen primitif dari grup siklik ℤ * terhadap Algoritma Kriptografi ElGamal untuk enkripsi pesan, yaitu: a. Jika salah satu unsur kunci publik, yaitu elemen primitif dari ℤ * maka kekuatan algoritma ElGamal akan maksimal, karena dapat membangun semua elemen ℤ *. Dengan kata lain order dari < > adalah -1, sehingga kunci rahasia akan mempunyai nilai tunggal atau unik pada modulus .
612
b. Jika salah satu unsur kunci publik, yaitu bukan elemen primitif dari ℤ * maka kekuatan algoritma ElGamal tidak akan maksimal, karena tidak dapat membangun semua elemen ℤ *. Dengan kata lain order dari < > kurang dari 1, sehingga kunci rahasia akan mempunyai nilai sama sebanyak = ϕ(ℤ *)/ϕ(< >).
Referensi [1] A.Menezes, P.Van Oorschot, and S.Vanstone, 1996, Handbook of Applied
Cryptography, CRC Press. [2] Schneier, Bruce, 1996, Applied Cryptography 2nd, John Wiley & Sons. [3] J.Hoffstein, Jill Pipher, and J.H.Silverman, 2008, An Introduction to
Mathematical Cryptography. Springer. [4] Sukirman, 2006, Pengantar Teori Bilangan, Hanggar Keraton, Yogyakarta [5] W. Diffie dan M. E. Hellman. New Directions in Cryptography. IEE
Trans.Information Theory, IT-22(6):644-654, 1976. [6] R . L. Rivest, A. Shamir, dan L. Adleman. A Method for Obtaining Digital
Signatures and Public-Key Cryptosystems. Comm. ACM, 21(2):120-126, 1978. [7] R. C. Merkle dan M. E. Hellman. Hiding information and signatures in
trapdoor knapsacks. Secure Communications and Asymetric Cryptosystems, volume 69 pada AAAS Sel. Sympos. Ser., halaman 197-215. Westview,Boulder CO, 1982. [8] T. ElGamal, "A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on
Discrete Logarithms," Advances in Cryptology: Proceedings of CRYPTO 84, Springer-Verlag, 1985, pp. 10
613
614