Vektor Ruang 2D dan 3D Besaran
Skalar
Vektor
(Tidak mempunyai arah)
(Mempunyai Arah)
Vektor Geometris • Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu. • Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu. • Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. • Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.
Vektor Secara Geometri • Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor • Ujung panah disebut titik ujung vektor • Vektor ditulis dalam huruf kecil (a, k, v, w, x), sedangkan Skalar ditulis dengan huruf kecil miring (a, k, v, w, dan x) • Jika menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang = AB , panjang vektor u dinyatakan dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan AB
AB v
Vektor Secara Geometri
• Vektor - vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda. • Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = w B
A
Vektor AB
Vektor-vektor yang ekuivalen
Vektor Secara Geometri
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut : • Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v. • Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w.
w v+w=w+v
v v+w
Vektor Secara Geometri • Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. • Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik. v
-v
Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0
Vektor Secara Geometri Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :
v – w = v + (-w)
v
v-w w
Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0
Vektor pada Sistem Koordinat (aljabar)
Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius)
Operasi Vektor Operasi Vektor meliputi : 1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama) 2. Perkalian vektor (a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain • Hasil kali titik (Dot Product) • Hasil kali silang (Cross Product)
Penjumlahan Vektor Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka u v didefinisikan
v
u
u v
u
Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian vektor
u dengan skalar k, k u
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor u dengan arah Jika k > 0 searah dengan u Jika k < 0 berlawanan arah dengan u
2u u
2u
Penjumlahan Vektor & Perkalian Skalar Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan a a1 a2 , a3 dan
b b1 , b2 , b3
adalah vektor-vektor di ruang yang sama maka
1. a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 2. a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 3. k a ka1 , ka2 , ka3
Hasilnya merupakan Vektor
Perkalian 2 Vektor Perkalian antara dua vektor • Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product) Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar Hasil kali silang (Cross product) Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor
Perkalian Titik (dot product) Misalkan v, w adalah vektor pada ruang/dimensi yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor :
Hasilnya merupakan Skalar dimana
v w
: panjang : panjang
v, w
: sudut keduanya
Perkalian Titik (dot product) Contoh: Tentukan hasil kali titik dari dua vektor a 2iˆ dan b 2iˆ 2 ˆj Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450 ab a
b cos
1 2. 8 . 2 2 = 4 (skalar)
a b a1 .b1 a 2 .b2
2 .2 0.2 = 4 (skalar)
Perkalian Titik (dot product) Beberapa sifat perkalian titik adalah: ab b a
a b c ab ac
k a b k a b a kb , dimana k R
Proyeksi Ortogonal
u
Vektor ortogonal : vektor-vektor yang tegak lurus, v w 0
Proyeksi Ortogonal
u
Proyeksi Ortogonal
u
Contoh: Tentukan proyeksi ortogonal vektor u terhadap vektor v
2 u 4 3
1 v 3 4
Pv u
u v v
2
v
2 1 4 3 3 4 1 2 3 2 2 1 3 (4) 4 1 2 (12) (12) 3 26 4 1 26 3 26 4 1 3 4
Perkalian Silang (Cross product) Merupakan hasil kali antara 2 vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
Perkalian Silang (Cross product)
Contoh : Tentukan Jawab :
w u v dimana u 1, 2, 2; v (3, 0, 1)
ˆj
kˆ
w u1 u2
u3
v1
v3
iˆ
v2
iˆ ˆj kˆ 1 2 2 3 0
1
2.1 0(2) iˆ 1.1 3(2) ˆj 1.0 3.2 kˆ
2 iˆ 7 ˆj 6 kˆ
Matriks & Ruang Vektor
Pengantar Vektor Latihan
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: a, b, c, d, e, f
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
Answer: 2
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
Answer: 5
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
Matriks & Ruang Vektor
Answer: d Trace out the vector u starting at the tail and moving along the vectors a, b and c until you reach the head of u.
ATA 2014/2015
Latihan
Answer: b
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
Answer: c
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
Answer: a
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
Answer: d
ATA 2014/2015
Matriks & Ruang Vektor
