Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Univerzita Karlova – konference 2. dubna 2013 Matematicko – fyzikální fakulta | Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Geometrie & Umění Geometrie očima

Záznam přednášky

----------- Yvo Jacquier ---------------------------------------------------------------------------

SROVNÁVACÍ GEOMETRIE

-------------------------------------------------------------------------------------- 02 / 2013 -----

Pocta velkému pedagogu Janu Amosu Komenskému (Comenius) Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

1 on 37

Část I - čistá matematika

Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

2 on 37

Myšlení očima Zlatý řez, původ

Věnujte pozornost přiloženému obrázku. Dva přiléhající (dvojnásobné) čtverce, úhlopříčka, která je protíná a osa většího úhlu. Pokud osu úhlu prodloužíte, protne vodorovnou dělící čáru čtverců. Bod protnutí se označuje jako Zlatý řez (φ). Toto je první a nejstarší definice Zlatého řezu. V jednom okamžiku shrnuje : - konstrukci (nejjednodušší způsob) - definici (nejsrozumitelnější způsob) - vlastnosti za použití úhlů: Větší úhel úhlopříčky dvojnásobného čtverce je dvojnásobek menšího úhlu Zlatého řezu. Uvedený způsob myšlení se nazývá «Geometrie očima». Vznikl dlouhou dobu před výpočty, před písmem a koncepcí plochy. Možná již během pozdního paleolitu, ovšem v tomto případě můžeme přebudovat koncept jako "paleo", protože geometrie pokračuje dále. Použitá metoda má možnost dalších výkladů (následující stránka) a také matematické vyjádření. Nezjevila se z ničeho nic, patří do soudržného celku, kterým Thales a Pythagoras navázali na starověký Egypt.


3 on 37

Schémata v dílech Dürera

Nejprve uvažujme kružnici se středem v bodu O – střed dvojnásobného čtverce. Tato kružnice prochází bodem I, s AI = φ Doplňující částí průměru φ je 1/φ, přičemž φ + 1 / φ = √5 Další objevené vlastnosti zlatého obdélníku : zlatý obdélník : Pokud je jedna úhlopříčka vodorovná, druhá úhlopříčka je úhlopříčkou dvojnásobného čtverce. Albrecht Dürer použil tento princip v jeho famózním díle « Melencolia § I ».

Mřížka Geometrie očima je vybudována na využití mřížky. V tomto rámci je umožněno vytvořit, demonstrovat a přitom mít na paměti všechny elementy.

Nejzákladnějším vyjádřením tohoto postupu je jednoduchý trojúhelník 3-4-5. Osami úhlu tohoto trojúhelníku jsou přirozené úhlopříčky jednoduchého, dvojnásobného a trojnásobného čtverce. Zlatý řez se nachází na druhé ose úhlu, mezi vrcholem a vepsanou kružnicí. Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

4 on 37

Trojúhelník 3-4-5

Dalším vyjádřením vlastností «posvátného trojúhelníku» - je tzv. mapovací trojúhelník, který tyto vlastnosti využívá mnohem více. Součet pořadí (dle počtu čtverců odpovídajících ose úhlu) s hodnotou protilehlé strany je 6. Číslo 6 je základem číselné řady v esoterice. Kostka má šest stran, s šesti celými čísly od 1 do 6. Součet opačných stan je 7.

Tento údaj je velmi důležitý, neboť jednoduše ukazuje, že pre-Eukleidovská geometrie není nutně axiomatická a empirická. Strana 5 není konvence. Toto tvrzení je možné dokázat i s podobnými trojúhelníky.


5 on 37

Čtyři důkazy φ v trojúhelníku 3-4-5

1. důkaz : jak jsme viděli, φ je určeno trojúhelníkem. Zlatý obdélník 2 x 2φ označený jako "klasický", se pohybuje po v pořadí druhé ose úhlu . 2.φ je vzdálenost mezi vrcholem trojúhelníku a jeho vepsanou kružnicí.

2. důkaz : první důkaz se týká rozměrů, druhý se týká úhlů. Osa úhlů 1. a 3. jsou přirozené úhlopříčky zlatého obdélníku. To vede k zobecnění popisu symbolů.

3. důkaz : klasický obdélník se může neomezeně dělit (ve skutečnosti se jedná o skryté zlaté obdélníky). Tímto způsobem lze tvořit zlaté spirály, které se sbíhají k bodu T umístěnému na přeponě jednu jednotku od vrcholu trojúhelníku. Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

6 on 37

4. důkaz : pentagram vychází z konfrontace vepsané kružnice a jejího obrazu. Druhá kružnice je vložena do středu dvou objektů nad základnou trojúhelníku (strana 4) , ve vzdálenosti φ od strany 3. Pentagram je nakloněn podle úhlopříčky zlatého obdélníku.

Demonstrace V ukázce je pouze několik základních požadavků. Je možné je označit jako Thaletovy věty. Důkazy prostřednictvím podobných trojúhelníků. Další aspekty jsou velmi jednoduché. Proces, kdy se důkaz neprovádí výpočty, ale dokládá se ukázkou, se nazývá «demonstrace».

Součet úhlů trojúhelníku

Je nezbytné pouze propojit tři různé úhly shodných trojúhelníků v bodě O, součet jejich úhlů v tomto bodě je 180 ° (také označováno symbolem π, nebo jako přímý úhel, poloměr) Dle Jean-Paul Guicharda lze použít ještě jednodušší způsob: Olivier Keller zmiňuje ve své knize « archeologie geometrie », sbírku kostěných rytin z období paleolitu. Jejich obrazce ukazují stejné struktury. Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

7 on 37

Obrazce sakrální geometrie Hexagram

Když kruh umístíme do mřížky 4 x 4, jejich průniky ukazují dva trojúhelníky hexagramu - obrazce zvěrokruhu.

Vesica Piscis – mandle Vesica piscis je tvořena dvěma spojenými kružnicemi: střed každé z nich leží na druhé kružnici. Pythagorejci ji považovali za sakrální, archaický a původní symbol Venuše - dlouho předtím, než jí byly přisouzeny vlastnosti, které zakryly její skutečný status.


8 on 37

Doslovně mandlová pochva se ve francouzštině skromně nazývá "déïque" Představuje posvátný ženský prvek. Symbol je spojován s číslem 3, jeho význam v paleolitu není dosud odhalen… Pozn.: Mandorla Krista není nikdy vesica piscis. Další podmínkou definující mandli je opsaný obdélník s poměrem √3.

Hexagram a Vesica Piscis Na obrázku je hlavní byzantská mřížka Andreje Rubleva, která byla použita k vytvoření "Svaté Trojice". Tento obrazec sjednocuje celé dílo.

Vnitřní šestihran hexagramu určuje vesica piscis, jejíž mandle je 2 čtverce na výšku. Kružnice vesica pisces má poloměr 2/√ 3. Ostatní mandle (sklon 45°) jsou umístěny v hexagramu. Pozn.: byzantská mřížka není triviální, dokonce i při použití φ...

Pentagram a Vesica Piscis

Deska je 1/2 Φ = (1 + √5) / 2 = 1/2 + √5/2 8 bodů z 10 pentagramu se nachází na Vesica Piscis. To znamená, že hlavní obrazce sakrální geometrie jsou přirozeně propojeny. Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

9 on 37

Od Gízy po Babylon Počty a písmo se objevuje během neolitu, přináší nové možnosti využití geometrie mřížky. Tato změna se týká všech civilizací, ale dá se říct, že Egypťané jsou sentimentálnější a umělecky zdatnější ve srovnání s Mezopotámií, více organizovanou a abstraktní. Je zjevné, že si vyměňovali své znalosti, ale jejich přístupy jsou odlišné. Babyloňané překládali své zkušenosti s geometrií do čísel. Tento nový vývoj se stal základem kabaly. První krok k objasnění je uveden níže.

Paragonální obrazec

V každém trojúhelníku je součet tří úhlů rovný přímému úhlu, nebo-li 180°. Â1 + Â2 = 90° - Â3 je v libovolné posloupnosti Â1, Â2 a Â3. • > Jeden z nich může být pravý úhel.

Předcházející vlastnosti ukážeme na případu pravoúhlého trojúhelníku. Pokud vycházíme z modré osy pravého úhlu, je vazba mezi ostatními úhly následující Â1 + Â2 = 90° - Â3 s Â3 = 45°. Z toho vyplývá Â2 = 45° - Â1.


10 on 37

V geometrii to znamená, že můžeme v pravoúhlém trojúhelníku zjistit druhou osu úhlu na základě první. První osu úhlu lze považovat za úhlopříčku obdélníku (DE). Tento obdélník lze otočit o 45° na úhlopříčku (EF) – (EF a DE svírají pravý úhel). A nakonec úsečka (DF) odpovídá sklonu druhé osy úhlu. Tuto vlastnost pojmenoval francouzský matematik Raphaël Legoy během studia babylonské desky Plimpton 322...

Příklad - od trojitého k párovému Následující obrázek pomůže pochopit pravoúhlý trojúhelník.


11 on 37

V současné době jsme zvyklí na Pythagorovy věty, ale "geometrie očima» nevyžaduje teorii ploch čtverců k pochopení pravoúhlého trojúhelníku. Lze si ji představit prostřednictvím úhlů, stejně tak jako o zlatý řez. Jednoduchý příklad trojúhelníku 21-20-29, ukazuje všechny vztahy dvojic (p, q). Vidíme, že osa úhlu z vrcholu B trojúhelníku automaticky protíná osu úhlu z bodu A, (paragonála). V tomto případě jsou body B ' a B symetrické. V souvislosti s touto paragonálou (zelená) je úsečka B'O (červená) v pravém úhlu k červené úsečce BO. Obrázek dokazuje, že úhlopříčky žlutého a zeleného obdélníku v bodě O svírají pravý úhel (a jejich paragonál je ortogonální k OA). Tento obrázek nabízí předpoklady, které je možné potvrdit dalšími trojúhelníky. Poměr p a q zde je 5/2. To je nepřekonatelné. Poznámka: ke zjištění OB jsou nutné tři obdélníky. 3 = q-p Poznámka: OA lze zjistit pomocí dvou obdélníků 2=p Za těchto předpokladů lze rozměry trojúhelníku zjistit jednoduše. BA = B’O’ + O’A = (q-p)q + p(q+p) = q² + p² CA = CO’ + O’A = (q-p)p + p(q+p) = 2pq CB = (q-p)p + (q-p)q = q² + p² Což odpovídá : a = q² - p²

b = 2pq

c = q² + p²

Plimpton 322 - hypotéza Tajemství slavné desky Plimpton 322 (18th století př. n. l.) bylo prolomeno matematiky, a to včetně chybějících částí. Jednoduché výpočty mezi sloupci ukazují naprosto nečekaně řadu prvočísel. Díky tomuto překvapení si zaslouží nazývat «hypotéza Plimpton». Mějte oči na geometrii.


12 on 37

Část II - použití v umění


13 on 37

Malíři renesance Zvykli jsme si tvrdit, že použití perspektivy v období renesance je duchem pokroku. Samozřejmě, tento nový způsob ztvárnění reálných linií našel svá matematická pravidla v této době. Ovšem kromě tohoto neutrálního systému umělci renesance i nadále používali v oblasti symbolismu starší způsob vyjádření - sakrální geometrii. I bez znalosti kompozice si ji lze představit za pomoci velmi jednoduché definice: kompozice je soubor vzájemně propojených čar vyjádřitelný matematicky, kterým se řídí konečné výtvarné ztvárnění. Tužka umělce nebo architekta vyhledává tyto geometrické obrazce, a tyto obrazce jsou skrytou podstatou utváření díla, v průběhu jeho realizace se postupně jejich smysl zakrývá, až je zcela nepostřehnutelný. V případě sakrální geometrie umožňuje mřížka převést obrazce do čísel a naopak. Díky tomu lze odhalit skutečný význam vlastního díla. Perspektivní systém přináší realismus, ale neobjasňuje význam symbolů. Pro jejich pochopení je nutná znalost jejich základů.

Ve své « Athénské škole » Raphael mísí dva systémy. Sakrální geometrii odpovídají linie perspektivy v jejich úhlech.


14 on 37

Např. dvě bílé přímky klesají pod úhlem 36° ke svislici, jako odkaz na pentagram. Pocit harmonie nezávisí na jediné skutečnosti. Tento úhel je součástí dalšího objektu.

Měřítko φ je dáno Platónem, a potvrzeno rukou Aristotela.

« Svatý Michal a ďábel » - 1518 Sakrální geometrie v díle Raphaela je jednoduchá a jako vždy u tohoto malíře nebývale efektivní. Geometricky vytvořená šipka je mnohem účinnější než oštěp sám! Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

15 on 37

Dějiny umění

« Velká Odaliska » - 1814 Pozůstatky této kultury nacházíme až do XIX. století. [Geometrie očima je postavena na mřížce, která umožňuje vyjádření formy. Čísla otvírají cestu pro překlad symbolů do lidského jazyka]. V práci J. D. Ingrese, má velká kružnice průměr 3 – číslo vyjadřující nebesa. Mřížka jako obvykle ukazuje trojúhelník 3-4-5. Strana zeleného čtverce je 2.φ.

Chrám Eanna - Uruk IV - IV tisíciletí př.n.l. Díky těmto principům lze objasnit architekturu Mezopotámie na počátku neolitu.


16 on 37

Planina Gíza - 2500 let př. n.l. Stejné znalosti využívali i ve Starověkém Egyptě.

Plimptonská deska 322 – 18. století př.n.l.

Slavná Plimptonská deska 322, z období 1800 př.n. l. je považována za seznam Pythagorejských trojic redukovaných na dvojice. Tyto dvojice tvoří seznam jednotek, přičemž i chybějící řádky desky respektují toto pravidlo! Princip je možné dále rozšiřovat, dvě hodnoty trojice se stávají dvojicí další trojice. Pythagorejci soustředili oba vlivy, mezopotámský a egyptský. V průběhu staletí bylo Řecko křižovatkou znalostí.


17 on 37

Sakrální geometrie se snaží proniknout do římského realismu, vyjádřeného v architektonickém díle Vitruvia – 1. století př.n.l., a rozšířila se i do keltského světa. Vliv Pythagorejců v keltském světě. dokázali archeolog Jean-Loup Flouest a matematik Marc Bacault.

Keltská phalera v Champagne, Francie K nakreslení prvků tohoto objektu je zapotřebí 190 kruhů a oblouků postavených na základě čísel 8 a 27. Tato čísla jsou zafixována v pythagorejské numerologii a také dokazují výměnu informací mezi latinskou vědeckou elitou a keltskými druidy, považovanými ve své době za Pythagorejce. Úroveň znalostí této matematiky vyžaduje čtyři roky vysokoškolského studia.

Geometrické klíče Germigny - Francie – 9. století V tomto období si mnoho umělců a stavitelů zachránilo život útěkem do západní části Evropy, čímž zároveň zachránili i svou kulturu. Do "oratoria" Germigny vložili v didaktickém měřítku základní informace o tvarech. Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

18 on 37

Kniha z Kellsu - Irsko - pozdní 8. století Ještě více extrémní řešení přijali v keltském svět. Irští mniši přijali tuto kulturu a "přepsali" Bibli. Mimochodem, o slavné « Knize z Kellsu » je známo, že s textem pracuje velmi svobodně, jako by mělo být z textu jasné, že hlavním účelem této práce je geometrie.

Odmocnina 3 a Phi (√3 & φ) Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

19 on 37

Ikona Matky Boží Vladimírské – 12. století V raném středověku našla tato kultura přístav v Byzanci. V ikonách a keramice. Uspěla jako dar konstantinopolskému patriarchovi, velkému knížeti Kyjevskému v roce 1130. (Pravoslavná církev se oddělila od katolické v roce 1054). Tento tichý pravoslavný svět je otřesen ikonografií: mezi roky 730 a 787, a znovu mezi roky 813 a 843.

Katedrála Dol-de-Bretagne - Francie převážně 13. a 14. století Francouzské katedrály jsou možná výsledkem této exploze ikonografie. Nová idea se objevila i v mém výzkumu, byl jsem tak posedlý zahraničními vlivy, že jsem neviděl, že i Francie se byla schopna podílet a zároveň i obohatit toto umění, stejně jako severní Itálie nebo Novgorod. Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

20 on 37

Opatství Conques - 11-12. století - vysoká škola umění římského


21 on 37

Heptagram tympanonu – předcházející strana Kompozice v Conques je dokonalou ukázkou rozvoje využití mřížky. Různé systémy v jednotlivých vrstvách na stejné téma. Příkladem je heptagram připomínající byzantské znalosti. Neuvěřitelné.

Klíč mandorla – ztrojené čtverce

Unikátní lekce geometrie v písmenu G ! H je zde hodnota (1+ √3)/2, základ Zlatého řezu. Obrazec je tvořen kružnicí opsanou horní části rovnostranného trojúhelníku.


22 on 37

Trojúhelník je také použit pro vytvoření malého čtyřúhelníku v dolní části obrázku. I když to není na první pohled zřejmé, lze obrazec vyjádřit algebraicky (√3-1) = 2/(1+√3), avšak (√3-1)(√3+1) = 3-1 = 2, což je mnohem srozumitelnější. Antikové vše dokázali demonstrovat pouze očima bez výpočtu. Jinými slovy, √3 čtyřúhelník je součtem čtverce a čtyřúhelníku H [H = (1 + √3) / 2]

Pozdní středověk - francouzský vliv

Dům u zvonu - Praze - ranné 14. století (úžasné)

« Portrét Karla VII » (1450/55) - Jean Fouquet Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

23 on 37

A nyní k období vrcholu sakrální geometrie: období renesance. Tři díla ztělesňují vrchol: «Svatá Trojice» od Andreje Rubleva - 1420/28, «Zrození Venuše» od Sandra Botticelliho -1485, a «MELENCOLIA I » Albrechta Dürera - 1514. Třetí dílo je součástí širšího projektu, který je závěrečným důkazem civilizace obrazu -Didaktický projekt Dürer. Perspektivní systém, který vznikl během renesance se zachoval jako jediný v kompozici, po období, kdy se objevoval společně se sakrální geometrií ve stejných dílech. Později se pokoušeli pro «umění úhlopříček» najít klasičtí malíři jednoduchá pravidla, ale bez ztracených znalostí skutečné geometrie. Alegorie pomalu převzaly místo symbolů... Mohli bychom mluvit o 20. století, ale obávám se, že po velkolepém ohňostroji renesance, budou vaše oči zklamány a vaše mysl matematika bude trochu dotčena. Raději ukáži více důkazů geometrie očima.


24 on 37

« Svatá Trojice » Andrej Rublev

« Svatá Trojice » o Andreje Rubleva - 1420/28 Andreï Rublev použil ve své Svaté Trojici jednoduchý čtyřúhelník, namísto tradičního monogramu Krista, nebo věty z Bible. Tradiční znamení v díle není použito, není použitý ani podpis či ornament. Andrej Rublev vyjádřil spojení jednoduchým čtyřúhelníkem sakrální geometrie.

Obdélník Andreje Rubleva Tento obdélník odpovídá zlatému řezu. Historický detail: Na počátku dvacátého století, britský kritik a šermíř Theodore Andrea Cook (1867-1928) souhlasil se záměrem svého přítele - amerického matematika Marka Barra, zavést řecké písmeno φ jako matematický symbol zlatého řezu - jako odkaz na řeckého sochaře Phidiase (5. století před n.l.). Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

25 on 37

Přední část je ukázkou aritmetických hodnot. Začátek vyjádřený rovnicí φ2 = φ + 1 , viz.

Lekce aritmetiky Andreje Rubleva Toto čistě matematické vyjádření se rozvíjí ve spodní části díla. Potvrzuje, že základním prvkem Rublevova díla je obdélník. Horní část naopak odpovídá vyjádření geometrií očima. Nacházíme dualitu s očima boha Hóra – jedno otevřené a zaměřené na cíl, druhé zavřené s vnitřním zrakem. Rublev empaticky definoval velikost využití mřížky dvěmi body, Alfa a Omega. Rozměry této ikony jsou přesně 4 jednotky na výšku, poměr Rublevova obdélníku je 2/7. Logika aritmetická se potkává s logikou geometrickou.


26 on 37

Potvrzení bodu Omega Omega je bodem, kde se protínají přímky vedené osvětlenými místy v úhlu odpovídajícímu způsobu jejich osvětlení. Duch svatý dává své požehnání na přímce vedené pod úhlem 45°. Tři andělé představují zleva doprava otce, syna a Ducha svatého.

Bod Alfa a další důkaz


27 on 37

Bod alfa a Omega jsou klíč k mřížce. Poznámka 1 : definice tabulky není nikdy užita jednoduchým způsobem. Jak vidíme na tomto příkladě, k definici potřebujeme úplnou sadu důkazů. Tento příklad je velmi důležitý, protože mřížka byla vždy základem sakrální geometrie. Všechny obrazce a linie jsou vytvářeny na základě mřížky. Poznámka 2 : bez měřítek by bylo nemožné vyjádřit symbolický význam. Z těchto důvodů je mřížka nenahraditelná. Poznámka 3 : Chcete-li porozumět tomuto umění, potřebujete znalost matematiky (část I).

Potvrzení použití mřížky Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

28 on 37

Hrany schůdků vytváří dvě linie ve středu pod úhlem 8° a 9°. 8° odpovídá π/45 a 9° je typický pro logiku pentagramu. Body protnutí přímky procházející bodem omega s přímkami procházejícími hranami schůdků určují poloměr kružnice, která odpovídá velikosti jednoho pole mřížky - kvadratura kruhu.

Na spodní části ikony Rublev využívá aritmetické a v horní části geometrické principy. Duchovní a přitom pevně dané.

Nyní je možné skutečně studovat obraz «Svatá Trojice» a další mistrovská díla. Ve svaté trojici se dva andělé klaní tomu, který by měl být zván otcem. Kristus je středem v klasické ikonografické pozici - "na trůnu". Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

29 on 37

Překladem tohoto obrázku by mohlo být : středem vepsané kružnice směřuje osa prvního úhlu na otce, druhá (zlatý řez) ukazuje na syna a třetí na Ducha svatého.

Objevuje se zde i další symbolický význam, jednota přinášená z úhlu 1 ke straně 5 vyjadřující člověka, úhel 2 přináší inspiraci/víru na zemi (strana 4) a třetí úhel přináší nebesa (3) na nebe (3) v zrcadlovém efektu. Zlatý řez vepsané kružnice je umístěn na ruce Ducha svatého. Základní čtyřúhelník, který odpovídá velikosti vložené kružnice (2) a zlatý řez (2φ) dotýká horní části rámu. Tato ikona dává příležitost k přesnému vyjádření základních aspektů symbolismu: symboly neexistují nezávisle na geometrických obrazcích komunikujících prostřednictvím "analogických myšlenek". Tyto obrazy jsou skutečným jazykem s reálnými strukturami. Takže, co je struktura? Můžeme použít přirovnání k hudbě. Harmonie skládá jednotlivé akordy, jeden za druhým. Sakrální geometrie na sebe klade vrstvy. Vazby mezi různými hodnotami jsou jako ty mezi různými akordy. "hudba sfér" není fantazie, milý Plató. Mřížka je prvním krokem k vnímání této kultury. Poté můžeme přistoupit ke každému obrazci, každé vnitřní linii s měřítkem této mřížky.


30 on 37

Autoportrét A. Dürera - 1500

Měřítko dokonalosti ! Jak si být jistý kompozicí? Jak si být jistý při zkoumání? Věda přináší částečnou odpověď. První z nich je "měřítko dokonalosti". Čím větší přesnost, tím jste blíže k pravdě. Ilustračním příkladem tohoto aspektu je dílo, které zůstalo nepoškozeno a zároveň nebylo nikdy restaurováno. Autoportrét Dürera - datován 1500. Vysvětluje kombinaci zlatého řezu a kružnice 1/φ2 . Srovnání různých děl Hlavní problém geometrie, zejména u organizovaných systémů, je v tom, co nazýváme v hudebním slovníku harmonií. Komplex geometrických forem přirozeně vytváří množství dalších. Ovšem ne každá další forma je původním záměrem autora. Přicházejí jako závan větru při pohybu.


31 on 37

Jen pro oči (v mém případě s brýlemi)

Jen pro mozek (se zavřenýma očima)

Klíč ke kompozici


•+

32 on 37

Zrození Venuše - S. Botticelli

Vytvoření mřížky

Syntaxe prvků v trojúhelníku 3-4-5, Zlatý řez v pupku Venuše


33 on 37

Úžasná konstrukce v sobě kombinuje dva nádherné vějíře vytvořené přímkami rozbíhajícími se pod úhlem 9°. Druhým prvkem je vesica piscis tvořená průmětem dvou kružnic o průměru 5. Třetí prvek tvoří dva obdélníky 3 x 4 nakloněné k sobě v úhlu 27 ° - fundamentální číslo pythagorejců. Znamená čtyři trojúhelníky 3-4-5. Klíčové je, že prodloužením jedné strany obdélníku získáme hrot symetrického trojúhelníku. Jde o velmi zvláštní vlastnost, která určuje vlastnosti pentagramu.

Hlava Venuše je mimo střed oválu. Vesica piscis non caput. Piscis primum a capite foetet. Ryba smrdí od hlavy.

Původní název vychází ze stejného duchu (Vénus anadyomène) Na další stránce: V díle «Zrození Venuše» od Botticelliho, je jedna z důležitých informací ukryta v druhu zobrazené mušle nazývané ve Francii Cyprée - (// Kypr). Stejně jako Dürer ve svém autoportrétu hovoří i Botticelli hovoří o zlaté logice, ale tentokrát prostřednictvím úhlů. Toto je druhá klíčová informace k pochopení díla. Yvo Jacquier - Geometrie & Umění

34 on 37

Použití zlatého řezu


35 on 37

MELENCOLIA § I - A. Dürer Příběh tohoto díla v dějinách umění je vysvětlený na 250 stránkách. Pokusím se je shrnout, ale pouze tím dokončím zmiňovanou knihu, zpřístupněnou na mé webové stránce jacquier.org a melencoliai.org. Bohužel, pouze ve francouzštině... « DÜRER A TAROT » Proslov: Melencolia, slavné dílo Albrechta Dürera, existuje již 500 let! V době svého vzniku slavnější než Mona Lisa, skrývá více tajemství ve svých liniích než v úsměvu. Melencolia je klíčem k jazyku, dědicem egyptských, řeckých a mezopotámských znalostí. Ve středověku můžeme nalézt pokračování této tradice v Byzanci, a to až do pádu Konstantinopole v roce 1453, který znamenal počátek renesance. Italští umělci převzali pochodeň encyklopedie symbolů. Ve svém umění kompozice využívali zlatý poměr trojúhelníku 3-4-5, a obrazce skládali jako puzzle. Stejné principy přenesl do rytecké tvorby Dürer. Čtyři grafická díla a sada karet nazvaných "Tarots de Marseille" přinesla tyto znalosti do praktického života. Melencolia je portálem ke ztracené civilizaci, která si pro vyjádření zvolila obraz. K obnovení znalostí této zapomenuté kultury bylo zapotřebí deset let výzkumu ve spolupráci s vědci a symbolisty. A Dürer poskytl vše! Úvod (základní – anglická verze) : http://www.melencoliai.org/composition-NYMA/Durer-Tarots-Presentation_en.pdf


36 on 37

Informace Konference na Univerzitě Karlově

«Geometrie a Umění» 2. dubna 2013 Sokolovská 49/83, Praha 8

Yvo Jacquier na pozvání: Mgr. Zdeněk Halas, DiS. & Ph.D. et PhDr. Alena Šarounová, CSc.

———————————————————————————————

Konference ———————————————————————————————

Francouzská verze http://www.art-renaissance.net/Charles_University/Yvo_Jacquier-Geometrie_Sacree.pdf

Anglická verze http://www.art-renaissance.net/Charles_University/Yvo_Jacquier-Sacred_Geometry.pdf

Česká verze http://www.art-renaissance.net/Charles_University/Yvo_Jacquier sakralni_geometrie.pdf

———————————————————————————————

Rozšířená verze matematického korpusu ———————————————————————————————

Francouzská verze http://www.jacquier.org/IREM/Yvo_Jacquier-Geometrie_egyptienne-2014.pdf

Anglická verze http://www.jacquier.org/IREM/Yvo_Jacquier-Egyptian_geometry-2014.pdf

Česká verze http://www.jacquier.org/IREM/Yvo_Jacquier Egyptske_Geometrie 2014.pdf


37 on 37

Univerzita Karlova konference 2. dubna 2013 Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Recommend Documents