Transformasi Linier Antonius CP Outline
TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009
Outline Transformasi Linier Antonius CP Outline
1
Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2
Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3
Matriks Transformasi Linier
Outline Transformasi Linier Antonius CP Outline
1
Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2
Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3
Matriks Transformasi Linier
Outline Transformasi Linier Antonius CP Outline
1
Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2
Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3
Matriks Transformasi Linier
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W , maka F merupakan transformasi linier jika
Matriks TL 1
F (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V
2
F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R n −→ R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W , maka F merupakan transformasi linier jika
Matriks TL 1
F (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V
2
F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R n −→ R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W , maka F merupakan transformasi linier jika
Matriks TL 1
F (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V
2
F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R n −→ R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W , maka F merupakan transformasi linier jika
Matriks TL 1
F (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V
2
F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R n −→ R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 2 Misalkan T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks cos θ − sin θ A= sin θ cos θ yakni perputaran R 2 melalui sudut θ, merupakan transformasi linier Contoh 3 Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v ) = 0, ∀v ∈ V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi nol
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 2 Misalkan T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks cos θ − sin θ A= sin θ cos θ yakni perputaran R 2 melalui sudut θ, merupakan transformasi linier Contoh 3 Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v ) = 0, ∀v ∈ V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi nol
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 4 Pemetaan T : V −→ V dengan aturan T (v ) = v , ∀v ∈ V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas Catatan Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka T disebut operator linier pada V
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 4 Pemetaan T : V −→ V dengan aturan T (v ) = v , ∀v ∈ V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas Catatan Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka T disebut operator linier pada V
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 5 Pemetaan T : V −→ V yang didefinisikan oleh T (v ) = kv dengan k skalar, merupakan operator linier pada V . Jika k > 1, T disebut dilasi. Jika 0 < k < 1, T disebut kontraksi
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 6 Misal V ruang hasilkali dalam dan W subruang yang memiliki S = {w1 , w2 , ..., wr } sebagai basis ortonormal. Misal T : V −→ W dengan aturan T (v ) =< v , w1 > w1 + < v , w2 > w2 + ...+ < v , wr > wr merupakan transformasi linier yang dinamakan proyeksi ortogonal dari V pada W
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 7 Misalkan V = R 3 dengan hasilkali dalam Euclidis. {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untuk bidang xy . Jika v = (x, y , z) adalah sebarang vektor pada R 3 maka proyeksi ortogonal dari R 3 pada bidang xy diberikan oleh T (v ) = (x, y, 0) Contoh 8 Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satu basisnya. Maka T : V −→ R n dengan aturan T (v ) = (v )S merupakan transformasi linier dari V ke R n .
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 7 Misalkan V = R 3 dengan hasilkali dalam Euclidis. {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untuk bidang xy . Jika v = (x, y , z) adalah sebarang vektor pada R 3 maka proyeksi ortogonal dari R 3 pada bidang xy diberikan oleh T (v ) = (x, y, 0) Contoh 8 Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satu basisnya. Maka T : V −→ R n dengan aturan T (v ) = (v )S merupakan transformasi linier dari V ke R n .
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 9 Misal V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan v0 adalah sebarang vektor tetap di V . Maka T : V −→ R dengan aturan T (v ) =< v , v0 > merupakan transformasi linier
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 10 Misal V = C [0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi riil yang kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1 dan misalkan W adalah subruang dari C [0, 1] yang terdiri dari semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1. Maka D : W −→ V dengan aturan D(f ) = f 0 merupakan transformasi linier
Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 11 Misal V = C [0, 1], maka J : V −→ R dengan aturan Z J(f ) =
1
f (x)dx 0
merupakan transformasi linier.
Sifat Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Teorema Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Sifat 1
Matriks TL
T (0) = 0 Sifat 2 T (−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V Sifat 3 T (v − w) = T (v ) − T (w), ∀v , w ∈ V
Sifat Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Teorema Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Sifat 1
Matriks TL
T (0) = 0 Sifat 2 T (−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V Sifat 3 T (v − w) = T (v ) − T (w), ∀v , w ∈ V
Sifat Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Teorema Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Sifat 1
Matriks TL
T (0) = 0 Sifat 2 T (−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V Sifat 3 T (v − w) = T (v ) − T (w), ∀v , w ∈ V
Sifat Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Teorema Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Sifat 1
Matriks TL
T (0) = 0 Sifat 2 T (−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V Sifat 3 T (v − w) = T (v ) − T (w), ∀v , w ∈ V
Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker (T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0}
Matriks TL
Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka ker (T ) subruang pada V R(T ) subruang pada W
Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker (T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0}
Matriks TL
Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka ker (T ) subruang pada V R(T ) subruang pada W
Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker (T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0}
Matriks TL
Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka ker (T ) subruang pada V R(T ) subruang pada W
Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker (T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0}
Matriks TL
Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka ker (T ) subruang pada V R(T ) subruang pada W
Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker (T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0}
Matriks TL
Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka ker (T ) subruang pada V R(T ) subruang pada W
Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker (T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0}
Matriks TL
Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka ker (T ) subruang pada V R(T ) subruang pada W
Dimensi Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka dim(ker (T )) disebut nulitas T
TL antar Ruang Riil
dim(R(T )) disebut rank T
Matriks TL
Contoh 1 Misal T : R 2 −→ R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π4 , maka R(T ) = R 2 dan ker (T ) = {0}. Sehingga rank(T ) = 2 dan nulitas(T ) = 0
Dimensi Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka dim(ker (T )) disebut nulitas T
TL antar Ruang Riil
dim(R(T )) disebut rank T
Matriks TL
Contoh 1 Misal T : R 2 −→ R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π4 , maka R(T ) = R 2 dan ker (T ) = {0}. Sehingga rank(T ) = 2 dan nulitas(T ) = 0
Dimensi Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka dim(ker (T )) disebut nulitas T
TL antar Ruang Riil
dim(R(T )) disebut rank T
Matriks TL
Contoh 1 Misal T : R 2 −→ R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π4 , maka R(T ) = R 2 dan ker (T ) = {0}. Sehingga rank(T ) = 2 dan nulitas(T ) = 0
Dimensi Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL
Definisi Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka dim(ker (T )) disebut nulitas T
TL antar Ruang Riil
dim(R(T )) disebut rank T
Matriks TL
Contoh 1 Misal T : R 2 −→ R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π4 , maka R(T ) = R 2 dan ker (T ) = {0}. Sehingga rank(T ) = 2 dan nulitas(T ) = 0
Dimensi Kernel dan Jangkauan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Contoh 2 Misal T : R n −→ R m adalah perkalian oleh matriks A berukuran m × n. Maka R(T ) adalah ruang kolom A dan ker (T ) adalah ruang pemecahan Ax = 0. Sehingga rank (T ) = dim(ruang kolom A) = rank (A) dan nulias(T ) = dim(ruang pemecahan Ax = 0)
Teorema Terkait Dimensi Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Teorema Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = n maka rank (T ) + nulitas(T ) = n Teorema Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah n − rank (A)
Teorema Terkait Dimensi Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Teorema Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = n maka rank (T ) + nulitas(T ) = n Teorema Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah n − rank (A)
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Problem Jika T : R n −→ R m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran m × n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi Jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n dan A adalah matriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalah T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en ), maka dapat dibuktikan bahwa T (x) = Ax, ∀x ∈ R n Dengan demikian setiap transformasi linier T : R n −→ R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Problem Jika T : R n −→ R m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran m × n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi Jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n dan A adalah matriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalah T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en ), maka dapat dibuktikan bahwa T (x) = Ax, ∀x ∈ R n Dengan demikian setiap transformasi linier T : R n −→ R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Problem Jika T : R n −→ R m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran m × n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi Jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n dan A adalah matriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalah T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en ), maka dapat dibuktikan bahwa T (x) = Ax, ∀x ∈ R n Dengan demikian setiap transformasi linier T : R n −→ R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut.
Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Teorema Jika T : R n −→ R m adalah transformasi linier, dan jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n , maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut.
Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Teorema Jika T : R n −→ R m adalah transformasi linier, dan jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n , maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut.
Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Teorema Jika T : R n −→ R m adalah transformasi linier, dan jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n , maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut.
Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Teorema Jika T : R n −→ R m adalah transformasi linier, dan jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n , maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)
Transformasi dari R n ke R m Transformasi Linier Antonius CP
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut.
Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Teorema Jika T : R n −→ R m adalah transformasi linier, dan jika e1 , e2 , ..., en adalah basis baku untuk R n , maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e1 ), T (e2 ), ..., T (en )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Rotasi Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah cos θ − sin θ A= sin θ cos θ Refleksi terhadap sumbu y Jika T : R 2 −→ R 2 adalah refleksi terhadap sumbu y, maka matriks baku untuk T adalah −1 0 A= 0 1
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Rotasi Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah cos θ − sin θ A= sin θ cos θ Refleksi terhadap sumbu y Jika T : R 2 −→ R 2 adalah refleksi terhadap sumbu y, maka matriks baku untuk T adalah −1 0 A= 0 1
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Refleksi terhadap sumbu x Jika T : R 2 −→ R 2 adalah refleksi terhadap sumbu x, maka matriks baku untuk T adalah 1 0 A= 0 −1 Refleksi terhadap garis y = x Jika T : R 2 −→ R 2 adalah refleksi terhadap garis y = x, maka matriks baku untuk T adalah 0 1 A= 1 0
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Refleksi terhadap sumbu x Jika T : R 2 −→ R 2 adalah refleksi terhadap sumbu x, maka matriks baku untuk T adalah 1 0 A= 0 −1 Refleksi terhadap garis y = x Jika T : R 2 −→ R 2 adalah refleksi terhadap garis y = x, maka matriks baku untuk T adalah 0 1 A= 1 0
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier
Ekspansi dan Kompresi dalam arah x
Antonius CP
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x, y ) ke (kx, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah k 0 A= 0 1
Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ekspansi dan Kompresi dalam arah y Jika T : R 2 −→ R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, ky ). Sehingga matriks baku untuk T adalah 1 0 A= 0 k
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier
Ekspansi dan Kompresi dalam arah x
Antonius CP
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x, y ) ke (kx, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah k 0 A= 0 1
Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ekspansi dan Kompresi dalam arah y Jika T : R 2 −→ R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, ky ). Sehingga matriks baku untuk T adalah 1 0 A= 0 k
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Geseran dalam arah x Jika T : R 2 −→ R 2 adalah geseran dalam arah x dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x + ky , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah 1 k A= 0 1 Geseran dalam arah y Jika T : R 2 −→ R 2 adalah geseran dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, y + kx). Sehingga matriks baku untuk T adalah 1 0 A= k 1
Transformasi dari R 2 ke R 2 Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Geseran dalam arah x Jika T : R 2 −→ R 2 adalah geseran dalam arah x dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x + ky , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah 1 k A= 0 1 Geseran dalam arah y Jika T : R 2 −→ R 2 adalah geseran dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, y + kx). Sehingga matriks baku untuk T adalah 1 0 A= k 1
Efek Geometri dari Transformasi Matriks Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Resume Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untuk geseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakan matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya. Teorema Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran, kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan dari transformasi-transformasi tersebut dengan urutan yang sesuai.
Efek Geometri dari Transformasi Matriks Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Resume Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untuk geseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakan matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya. Teorema Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran, kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan dari transformasi-transformasi tersebut dengan urutan yang sesuai.
Hasil Lanjutan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1
bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus
2
bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal
3
bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar
4
bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5
bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
Matriks TL
Hasil Lanjutan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1
bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus
2
bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal
3
bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar
4
bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5
bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
Matriks TL
Hasil Lanjutan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1
bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus
2
bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal
3
bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar
4
bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5
bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
Matriks TL
Hasil Lanjutan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1
bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus
2
bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal
3
bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar
4
bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5
bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
Matriks TL
Hasil Lanjutan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1
bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus
2
bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal
3
bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar
4
bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5
bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
Matriks TL
Hasil Lanjutan Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil
Jika T : R 2 −→ R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1
bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus
2
bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal
3
bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar
4
bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5
bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Masalah Jika untuk setiap transformasi linier T : R n −→ R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, bagaimana untuk sebarang transformasi linier T : V −→ W secara umum?
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1 , u2 , ..., un } dan W berdimensi m dengan basis B 0 = {v1 , v2 , ..., vm }. Maka ∀x ∈ V , [x]B ∈ R n dan [T (x)]B 0 ∈ R m . Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x]B ke [T (x)]B 0 . Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x]B = [T (x)]B 0
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1 , u2 , ..., un } dan W berdimensi m dengan basis B 0 = {v1 , v2 , ..., vm }. Maka ∀x ∈ V , [x]B ∈ R n dan [T (x)]B 0 ∈ R m . Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x]B ke [T (x)]B 0 . Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x]B = [T (x)]B 0
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1 , u2 , ..., un } dan W berdimensi m dengan basis B 0 = {v1 , v2 , ..., vm }. Maka ∀x ∈ V , [x]B ∈ R n dan [T (x)]B 0 ∈ R m . Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x]B ke [T (x)]B 0 . Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x]B = [T (x)]B 0
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1 , u2 , ..., un } dan W berdimensi m dengan basis B 0 = {v1 , v2 , ..., vm }. Maka ∀x ∈ V , [x]B ∈ R n dan [T (x)]B 0 ∈ R m . Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x]B ke [T (x)]B 0 . Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x]B = [T (x)]B 0
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u1 )]B 0 , [T (u2 )]B 0 , ..., [T (un )]B 0 ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ dan disimbolkan [T ]B,B 0 Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ]B = [[T (u1 )]B , [T (u2 )]B , ..., [T (un )]B ]
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u1 )]B 0 , [T (u2 )]B 0 , ..., [T (un )]B 0 ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ dan disimbolkan [T ]B,B 0 Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ]B = [[T (u1 )]B , [T (u2 )]B , ..., [T (un )]B ]
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u1 )]B 0 , [T (u2 )]B 0 , ..., [T (un )]B 0 ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ dan disimbolkan [T ]B,B 0 Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ]B = [[T (u1 )]B , [T (u2 )]B , ..., [T (un )]B ]
Matriks Transformasi Linier Transformasi Linier Antonius CP Pengertian dan Sifat TL TL antar Ruang Riil Matriks TL
Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u1 )]B 0 , [T (u2 )]B 0 , ..., [T (un )]B 0 ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ dan disimbolkan [T ]B,B 0 Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ]B = [[T (u1 )]B , [T (u2 )]B , ..., [T (un )]B ]
