TERMOMECHANIKA 17. Přenos tepla konvekcí

FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.

TERMOMECHANIKA 17. Přenos tepla konvekcí OSNOVA 17. KAPITOLY ● Základní typy konvekce ● DR energie pro konvekci ● DR kontinuity ● DR pohybové ● OP pro konvekci ● Řešení úloh přenosu tepla konvekcí ● Podobnost při nucené konvekci ● Podobnost při přirozené konvekci

y

x

● Postup při aplikaci teorie podobnosti ● Vizualizace teplotních polí 1

ZÁKLADNÍ TYPY KONVEKCE ROZLIŠUJEME KONVEKCI: ● Nucenou - vyvozenou ventilátorem, kompresorem, větrem, čerpadlem ● Přirozenou - vyvozenou rozdílem hustot (v důsledku rozdílu teplot…)



g

w

Tepelná mezní vrstva příčně obtékaného válce Měnící se konvekce Tepelná mezní vrstva v okolí horizontálního válce

Zdroj: Eckert, Drake 1972

w

2

DR ENERGIE PRO KONVEKCI Vyjdeme z obecné DR vedení tepla bez vnitřních zdrojů (1. zákon termodynamiky)

  2T  2T  2T  dT  a  2  2  2  dτ y z   x a za totální diferenciál dT/d

dosadíme

dT T T T T  w x w y w z dτ τ x y z T Pro stacionární konvekci je  0 τ

Teplotní pole plamene, konvekce s vnitřními zdroji

DR energie pro stacionární konvekci bez vnitřních zdrojů bude mít tvar

  2T  2T  2T  T T T wx w y w z  a  2  2  2  x y z y z   x

3

DR KONTINUITY - 1 Diferenciální rovnice kontinuity pro 3D proudění stlačitelných tekutin:

z

dmz+dz dm x

dmy

dmy+dy

Hmotnostní tok [kg.s-1] do elementu vstupující

dm x  dm y  dm z Hmotnostní tok vystupující

dm x dx  dm y dy  dm z dz Pro směr x platí

y

x dmx+dx dmz

Element dV = dx.dy.dz

dm x  ρ w x dy dz     dm x dx  dm x  dm x dx x

Změna hmotnostního toku [kg.s-1] v elementu při proudění ve směru x

     dm x dx  - ρ w x dx dy dz dm x  dm x dx  x x

4

DR KONTINUITY - 2 Změna hmotnostního toku [kg.s-1] v elementu při proudění ve směru y

     dm y dy  - ρ w y dx dy dz dm y  dm y dy  y y

Změna hmotnostního toku [kg.s-1] v elementu při proudění ve směru z

     dm z  dm z dz  - dm z dz  - ρ w z dx dy dz z z

CELKOVÁ ZMĚNA HMOTNOSTNÍHO TOKU v elementu dV při proudění

     dm    ρ w x   ρ w y   ρ w z  dx dy dz y z  x  Pro celkovou změnu hmotnostního ρ  dm  dx dy dz toku v elementu dV též platí τ DR KONTINUITY pro 3D proudění stlačitelných tekutin má tvar

 ρ w x   ρ w y   ρ w z  ρ    0 x y z τ

5

DR KONTINUITY - 3 Vektorový zápis DR kontinuity pro 3D proudění stlačitelných tekutin

 ρ div  ρw   0 τ

DR KONTINUITY pro 2D proudění stlačitelných tekutin

 ρ w x   ρ w y  ρ   0 x y τ ● Stacionární proudění plynů

 ρw x   ρw y   0 x y

● Stacionární proudění kapalin

w x w y  0 x y

Zdroj: Emco Klimatechnik 1997

Zdroj: Emco Klimatechnik 1997

6

DR POHYBOVÉ - 1 DR pohybové (Navier - Stokesovy) 2D laminární proudění v mezní vrstvě w∞

dy dx

Síly na element dV = dx.dy.(dz)

 τ *  dy dx dz  τ *  y   Tlaková p dy dz Setrvačná dy ˆ xw xdy dz m

   ˆ ˆ   m w  m w dy  y x y y x dx dz   p    p  dx dy dz x    ˆ ˆ    m w  m w dx  x x x x x dy dz

dx

τ* dx dz Třecí síla * [Pa] je tečné napětí

Setrvačná

y x

mˆ y w xdx dz

mˆ x , mˆ y [kg.s-1.m-2] hustoty hmotnostního toku Pro směr x platí:

 ˆ  ˆ τ * p mxw x dx dy dz  myw x dx dy dz  dx dy dz - dx dy dz x y y x Nárůst setrvačných sil

=

Výsledná třecí a tlaková síla

7

DR POHYBOVÉ - 2

 ˆ  ˆ τ * p mxw x dx dy dz  myw x dx dy dz  dx dy dz - dx dy dz x y y x V uvedené rovnici vypustíme dx dy dz, za smykové napětí dosadíme τ *μ  w x y (kde  [Pa.s] je dynamická viskozita) a dostaneme

 ˆ  ˆ   w x  p mxw x   myw x    μ  x y y  y  x Následně vyjádříme viskozitu  pomocí kinematické viskozity  [m2.s-1], ˆ  w a můžeme psát rozepíšeme derivace součinů m ˆy   ˆx m  p  w  m  w  w x x x ˆx ˆy m  wx m  wx   ν  ρ  x x y y y  y  x Z dříve uvedené rovnice kontinuity platí:

 ρw x   ρw y   0 x y

a proto také

ˆy ˆ x m m  0 x y

8

DR POHYBOVÉ - 3 Po aplikaci rovnice kontinuity a po rozepsání hustoty hmotnostního ˆ  ρ  w obdržíme toku m

w x w x   w x  p  ρ w x  ρ w y   ν  ρ x y y  y  x Podělením rovnice hustotou  dostaneme

Navier - Stokesova pohybová DR w x w x  w x 1 p pro 2D stacionární nucenou wx wy ν 2 x y y ρ x konvekci v laminární dynamické mezní vrstvě pro směr x Pro 2D stacionární nucenou konvekci v rovině platí: 2

Pro směr x :

Pro směr y :

  2w x  2w x w x w x wx w y  ν   2 2 x y  x  y    2w y  2w y w y w y wx w y  ν   2 2 x y  x  y 

 1 p   ρ x  1 p   ρ y 

9

DR POHYBOVÉ - 4 NAVIER - STOKESOVY DR pro 3D laminární nestacionární konvekci

Pro 2D stacionární nucenou konvekci

  2w x  2w x  2w x w x w x w x w x wx w y w z   ν    2 2 2 x y z τ y z  x   2w y  2w y  2w y w y w y w y w y wx w y w z   ν   2 2 2  x y z τ  x  y  z    2w z  2w z  2w z w z w z w z w z wx w y w z   ν    2 2 2 x y z τ  x  y  z  Zrychlení stacionárních setrvačných sil Pro 1D stacionární nucenou konvekci

Zrychlení tíhových sil

 1 p  g x  ρ x  1 p  g  ρ y y   1 p  g z  ρ z

Zrychlení třecích sil - [m2s-1] je kinematická viskozita

Zrychlení nestacionárních setrvačných sil

Zrychlení tlakových sil 10

OP PRO KONVEKCI Okrajové podmínky pro konvekci jsou mnohdy obdobné, jako u vedení:

Stěnové vytápění

● OP 1. druhu, Dirichletova Tw = konst ● OP 2. druhu, Neumannova qw = konst ● OP 3. druhu, Newtonova  = konst U konvekce může též být: 2  T  0 2 y

T Tw

Podlahové vytápění

na povrchu desky

  T  1 T  0 r 2 r r



2

na povrchu válce

T

T y

● aj. včetně PODMÍNEK PRO RYCHLOSTI Počáteční podmínky se při stacionární konvekci neuvažují.

11

ŘEŠENÍ ÚLOH PŘENOSU TEPLA KONVEKCÍ PŘENOS TEPLA KONVEKCÍ JE SLOŽITĚJŠÍ, NEŽ PŘENOS VEDENÍM Je třeba řešit současně: DR energie + kontinuity + pohybové + OP teplotních a rychlostních polí Pro řešení přestupu tepla se následně používá DR přestupu tepla METODY ŘEŠENÍ: ● Exaktní řešení DR pro konvekci tepla (jen pro jednoduché úlohy) ● Přibližné řešení DR pro konvekci (předpoklad teplotních profilů ve tvaru polynomu, exponenciální funkce …, Chlazení PC učebny vhodné pro mezní vrstvy) ● Numerické řešení DR pro konvekci (i složité úlohy, aplikace počítačů) ● Experimentální řešení přenosu tepla konvekcí včetně využití analogových metod (přesné, složité, drahé) ● Teorie podobnosti pro řešení DR konvekce (nutná znalost podobného řešení vyjádřeného pomocí podobnostních čísel) aj. 12

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 1 Teorie podobnosti při konvekci umožní velice jednoduše, inženýrským způsobem získat rozložení teplotních polí, nebo přímo součinitel přestupu tepla  . Potřebná podobnostní čísla při nucené konvekci odvodíme: ● Z DR energie ● Z DR kontinuity žádné číslo ● Z DR pohybových ● Z DR přestupu tepla při řešení 

Nucená konvekce u stropu místnosti

  2T  2T  T T wx w y  a  2  2  x y y   x ρ w x   ρ w y   0 x y   2w x  2w x  1 p w x w x  wx w y  ν   2 2  x y y  ρ x  x  dT   α  TW T    - λ    dy W 13

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 2

 dT   α  TW T    - λ    dy W Zavedeme indexy D pro dílo M pro model Zavedeme měřítko délek cL  yD = cL . yM, LD = cL . LM, a další měřítka c  D = c . M cT  TD = cT . TM c  D = c . M  dTD   αD  TW T  D  - λD   DR přestupu tepla pro dílo  dy D W PODOBNOSTNÍ ČÍSLO Z DR PŘESTUPU TEPLA

Upravená rovnice pro dílo DR přestupu tepla pro model

cT  dTM c α αM cT TW T  M - c λ λM  c L  dy M  dTM   αM  TW T  M  - λM    dy M W

  W

Upravenou rovnici pro dílo podělíme rovnicí pro model a dostaneme

14

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 3 Upravená rovnice pro dílo podělená rovnicí pro model má tvar

c αcT  c λ

cT cL



c αc L 1 cλ

αD LD Po dosazení αD LD αM LM αM LM za měřítka 1   λ λD λM dostaneme D λM Podobný přestup tepla je pro  L /  α L Nu  stejné na modelu i díle. Tento podíl je λ označován jako Nusseltovo číslo

 [W.m-2K-1]

součinitel přestupu tepla L [m] charakteristický rozměr  [W.m-1K-1] tepelná vodivost tekutiny Zjednodušené odvození Nusseltova čísla z DR přestupu tepla

Zdroj: Universum

W. Nusselt 1882-1957

Nu je bezrozměrné vyjádření 

 dT α  TW T    - λ    dy L

  W 15

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 4 PODOBNOSTNÍ ČÍSLA Z DR POHYBOVÝCH

  2w x  2w x w x w x wx w y  ν   2 2 x y  x  y 

Z levé strany rovnice a z prvního členu na pravé straně dostaneme Reynoldsovo číslo

w [m.s-1] rychlost L [m] charakteristický rozměr  [m2s-1] kinematická viskozita Z levé strany rovnice a z druhého členu na pravé straně dostaneme Eulerovo číslo

p [Pa] tlakový rozdíl  [kg.m-3] hustota tekutiny w [m.s-1] rychlost

Re 

 1 p    ρ x

w L

ν

Re je bezrozměrná rychlost

Δp Eu  ρ w 2

Zdroj: Universum

O. Reynolds 1842-1912

Eu je bezrozměrný tlakový rozdíl

16

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 5 PODOBNOSTNÍ ČÍSLO Z DR ENERGETICKÉ

Z levé strany rovnice a z pravé strany rovnice dostaneme Pecletovo číslo w [m.s-1] rychlost L [m] charakteristický rozměr a [m2s-1] teplotová vodivost

  2T  2T  T T wx w y  a  2  2  x y  x y  w L Pe 

a

Pe je poměrem přenosu tepla prouděním a vedením při konvekci

Výsledky řešeni DR nebo experimentů se vyjadřují prostřednictvím KRITERIÁLNÍCH ROVNIC Obecná kriteriální rovnice Nu  f Re, Eu, Pe, X, Y, Z pro nucenou konvekci



X x L Y y L



Z z L

Rychlost je obsažena v Re a Pe, a proto je vhodné jedno z těchto kritérií vyloučit. Platí:

jsou bezrozměrné souřadnice

w L w L ν Pe     Re  Pr a ν a

17

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 6 Je zřejmé, že Reynoldsovo číslo a Pecletovo číslo jsou navzájem vázány, tzv. Prandtlovým číslem

 [m2s-1] a

[m2.s-1]

kinematická viskozita

teplotová vodivost

Pr je fyzikální vlastnost, jelikož je funkcí jen fyzikálních vlastností a lze jej nalézt v tabulkách.

● Pro plyny Pr ≈ 1, PrVZDUCHU = 0,72 ● Pro kapaliny Pr > 1 ● Pro tekuté kovy Pr << 1

ν Pr  a

Pr je měřítkem podobnosti rychlostních a teplotních polí Zdroj: Universum

L. Prandtl 1875-1953

Pozn.: Při laminárním režimu proudění přibližně platí δ δT  Pr , takže pro Pr = 1 je tloušťka dynamické a tepelné mezní vrstvy T stejná 3

w = f (p), p = f (w)  z dalších úvah lze vynechat Eulerovo číslo, jelikož Eu = f (Re) 18

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI - 7

● Pro laminární proudění m = 0,5 ● Pro turbulentní proudění m = 0,8

Nu  f Re, Pr, X, Y, Z  Nu  f Re, Pr 

Nu  C  Re m  Pr n

Nu  C  Re m log Nu

Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci přejde nyní do tvaru: Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci pro podobné geometrické útvary má tvar Kriteriální rovnici vyjadřujeme často pomocí mocninné funkce Pro stejnou tekutinu pak platí Konstanty C, m, n (nebo také konstanty pro jiný typ funkce) jsou výsledkem řešení DR nebo předmětem experimentálního výzkumu a lze je obvykle nalézt pro konkrétní geometrické útvary v literatuře.

Pr2 = konst Pr1 = konst

log Re 19

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI - 1 Při přirozené konvekci jsou DR přestupu tepla, energetická a kontinuity stejné. Do DR pohybové je třeba definovat zrychlení od vztlakových sil. Pro vztlakovou sílu na jednotku objemu G [N.m-3] lze psát

 ρ  G  ρ  ρ    g  ρ    1  g  ρ 

Pro izobarický děj ideálního plynu platí

 = p / (rT) ,  = p / (rT) a pak bude 1 T   G   ρ    1  g  ρ  T T    g T T  Pro zrychlení G [N.m-3] / [kg.m-3] od vztlakové síly platí vztah

Pulzní ohřev horizontální desky

kde 1 / T =  [K-1] je objemová roztažnost

G  g  γ  ΔT ρ

20

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI - 2 Zrychlení od vztlakové síly dosadíme do DR pohybové a dostaneme

  2w x  2w x w x w x wx w y  ν   2 2 x y  x  y  Z levé strany rovnice pohybové a z posledního členu vpravo dostaneme Archimédovo číslo

 1 p    g γ ΔT  ρ x

g γ ΔT L Ar  w2

Při přirozené konvekci nelze využívat rychlost proudění (je velice malá), proto je třeba Ar vynásobit Re2, které je rovněž obsaženo v DR pohybové

Ar vyjadřuje poměr

2 2 g γ ΔT L w L 2 Ar  Re   2 2 w ν

vztlakových, třecích a setrvačných sil

Výsledkem je Grashofovo číslo (F. Grashof 1826-1893)

sil vztlakových a setrvačných

Gr vyjadřuje vztah

Gr 

Zdroj: Universum

Archimédes 287-212 př.n.l.

g  γ  Tw T    L3

ν2

21

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI - 3 Obecná kriteriální rovnice pro přirozenou konvekci má tvar

Nu  f Re, Eu, Pe, Gr, X, Y, Z 

● Po nahrazení Pe čísla číslem Re a Pr (Pe = Re.Pr), ● po vynechání Eu čísla, které je funkce Re, ● po vynechání bezrozměrných souřadnic při řešení podobné geometrické konfigurace, ● a po vynechání Re čísla, které je funkcí Gr čísla (rychlost proudění je funkcí teplotního rozdílu) dostaneme kriteriální rovnici pro přirozenou konvekci ve tvaru:

Nu  f Gr, Pr 

Často platí

Nu  C Gr m Pr n

Zdroj: Universum

J.W.S. Rayleigh 1842-1919

Pro stejnou tekutinu lze psát

Nu  f Ra 

kde Ra je tzv. Rayleighovo číslo

Ra  Gr  Pr

Pozn.: Konstanty C, m, n lze obvykle pro konkrétní geometrické útvary nalézt v literatuře.

22

POSTUP PŘI APLIKACI TEORIE PODOBNOSTI CÍLEM POUŽITÍ TEORIE PODOBNOSTI JE URČIT  ● Z literatury zjistíme kriteriální rovnici (graf) pro daný objekt - pro danou geometrii, pro lokální či střední hodnoty, pro laminární nebo turbulentní proudění, pro žádaný rozsah Re nebo Gr či Ra ● Z literatury zjistíme charakteristický rozměr L a určující teplotu T* . Pr, , ,  = f (T*) T* = (Tw + T) / 2 nebo i T* = Tw, T* = T

Tw

T

Interferogram teplotního pole mezi deskami otopných těles Nub

Rab.b/h

● ● ● ●

Z definic vypočteme Re, Gr či Ra Z kriteriální rovnice (grafu) určíme Nu Z Nusseltova čísla vypočteme  Z  lze počítat tepelný tok konvekcí 23

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 1 Interferogramy tepelné mezní vrstvy v okolí vertikální desky Tw = konst

Interferogramy teplotních polí ve vertikálních štěrbinách Tw12 = konst Přenos tepla v řezu A-A je minimální

Izotermy paralelní s povrchem Teplotní profily

A

A

Izotermy Tw1 = Tw2

Tw1

Tw2

Izotermy Tw1 > Tw2 24

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 2 Interferogramy teplotních polí nad horizontální deskou (uprostřed a na okraji desky) Proužky jsou izotermy Teplotní profily mezi deskami Ohřev horní desky

Zdroj: Hauf 1970

Teplotní pole mezi deskami Ohřev spodní desky

Zdroj: Hauf 1970

25

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 3 Interferogramy teplotních polí v okolí horizontálního válce

Proužky jsou izotermy

Proužky jsou místa T/x = konst

Proužky jsou místa T/y = konst

Součinitel přestupu tepla  je největší v místech s nejhustšími izotermami u povrchu - v dolní části válce na obrázku vlevo.

26

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 4 Interferogramy teplotních polí v okolí vertikální desky zobrazující přibližně derivace teplot ve směru horizontálním a ve směru vertikálním

Proužky jsou místa T/x = konst

Proužky jsou místa T/y = konst

27

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 5 Teplotní pole v okolí vyhřívaného válce v chladné trubce Interferogram teplotního pole žárovky

Zdroj: Hauf 1970

Interferogram teplotního pole mezi třemi podélně obtékanými válcovými povrchy

Zdroj: Uni Hannover 1977

28

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 6 Výzkum teplotních polí a přenosu tepla ze skořepinových forem Nálitek v klidném prostředí

Nálitek v běžném prostředí

Oblast krčku v klidném prostředí s aplikací moaré techniky 29

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 7 Interferometrický výzkum teplotních polí plamenů plynových hořáků Teplotní pole hořícího válce

Izotermy v plameni plynového hořáku

Zdroj: Panknin 1977

Teplotní profily v plameni hořáku 30

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 8 Interferometrický výzkum teplotních polí ve vytápěných místnostech. Cílem je stanovit energeticky úsporné způsoby vytápění, aniž by byla narušena tepelná pohoda v místech pobytu osob.

Vývoj teplotního pole v místnosti při zátopu pomocí stěnového vytápění

Teplotní pole v místnosti při stěnovém vytápění a ochlazování protilehlé stěny 31

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 9 Interferometrický výzkum teplotních polí ve vytápěné cisterně. Cílem je ohřát a promíchat tekutinu tak, aby nedocházelo k jejímu zamrzávání v okolí odtokového otvoru v dolní části cisterny. Zdroj: SVÚSS 1977.

Symetrické vytápění (špatné promíchávání)

Nesymetrické vytápění (lepší promíchávání) 32

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 10 Interferometrický výzkum přestupu tepla v soustavě rotujících disků. Cílem je proměřit teplotní pole u vyhřívaných rotujících disků a stanovit Nusseltovo číslo pro různá Reynoldsova čísla.

Teplotní pole v soustavě dvou vyhřívaných rotujících disků

Teplotní pole v soustavě dvou vyhřívaných rotujících disků a stojícího disku (vpravo)

33

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 11 Výzkum přestupu tepla z vibrujícího horizontálního válce (f = 0,5 až 6 Hz)

Gr = 14700, Re = 4,5, f = 1,8 Hz, A/D = 0,166

Lokální Nu čísla na spodní straně válce v závislosti na fázi pohybu  =2 ( - *)0 34

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 12 Základní schéma MZI LA

D1

Z2

r

C3

p

C4

L

y z Z1

C1 C2

M

D2

C5

F

Model pro výzkum vytápěných prostorů

Machův – Zehnderův interferometr na EÚ FSI VUT v Brně

35

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 13 Další vizualizační metody pro zviditelňování teplotních polí v tekutinách

Horizontální válec Termovize pro vizualizaci teplotních polí Štěrbinová vyústka Zdroj: Jedelský 2005

Zdroj: Hauf 1970

Stínová metoda pro vizualizaci součinitele přestupu tepla

PLIF pro vizualizaci teplotních polí Spray ve vzduchu 36

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 14 Vizualizace teplotních gradientů šlírovou metodou na TU v Budapešti

Šlírogram teplotního pole v okolí konvice

Šlírogram teplotního pole v okolí obličeje

37

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ - 15 Výzkum teplotních polí ve vytápěných místnostech pomocí sítě termočlánků. Cílem je stanovit energeticky úsporné způsoby vytápění, aniž by byla narušena tepelná pohoda v místech pobytu osob.

Teplotní pole v místnosti při zátopu konvektorem s přirozenou konvekcí

Teplotní pole v místnosti při zátopu článkovým otopným tělesem

38