Téma: Okruh přitažlivosti a okruh aktivity tělesa Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
V souvislosti s úlohou tří těles definujme pojem okruhu přitažlivosti tělesa hmotnosti m vzhledem k tělesu hmotnosti m0 jako množinu bodů, kde gravitační zrychlení udělované tělesem o hmotnosti m je větší než gravitační zrychlení udělované tělesem o hmotnosti m0 . Poznámka: Zřejmě pro body okruhu přitažlivosti je i gravitační síla působící na hmotný bod od tělesa hmotnosti m větší než gravitační síla působící na týž bod od tělesa hmotnosti m0 . y A = x, y, z F
F0
m
x m 0 = R, 0, 0
z
Obrázek 1: Pro kvantitativní popis pojmu umístíme hmotný bod o hmotnosti m do počátku kartézského souřadnicového systému (obr.1) a bod o hmotnosti m0 na osu x tohoto systému, tedy do bodu o souřadnicích [R, 0, 0], kde R je daná vzdálenost uvažovaných hmotných bodů. Zkoumejme velikosti gravitačních zrychlení a a a0 udělovaných zmíněnými dvěma hmotnými body hmotnému bodu, umístěnému obecně v bodě A o souřadnicích [x, y, z] (obr.1). Podle Newtonova gravitačního zákona pro tato zrychlení platí m0 m ; a0 = κ , 2 2 2 +y +z (x − R) + y 2 + z 2 kde κ je univerzální gravitační konstanta. Poznamenejme, že ve jmenovateli jsou kvadráty geometrické vzdálenosti bodu A po řadě od hmotných bodů o hmotnostech m a m0 . Okruh přitažlivosti bodu (tělesa) o hmotnosti m vzhledem k bodu (tělesu) o hmotnosti m0 je proto množina bodů, kde platí a=κ
x2
m m0 > . x2 + y 2 + z 2 (x − R)2 + y 2 + z 2
Protože jmenovatele jsou (s výjimkou poloh bodů [0, 0, 0] a [R, 0, 0]) kladná čísla, dostáváme odtud násobením společným jmenovatelem vztah m[(x − R)2 + y 2 + z 2 ] > m0 [x2 + y 2 + z 2 ] .
Umocněním dvojčlenu a sdružením sčítanců se stejnými mocninami souřadnic dostáváme odtud 1
(m0 − m)x2 + 2mRx − mR2 + (m0 − m)y 2 + (m0 − m)z 2 < 0 .
(1)
Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že m0 > m. Pak dělením předchozího výrazu rozdílem m0 − m dostaneme 2mRx mR2 − + y2 + z2 < 0 . m0 − m m0 − m Doplněním prvních dvou sčítanců na kvadrát dvojčlenu odtud obdržíme x2 +
mR x+ m0 − m
2
−
m2 R 2 mR2 − + y2 + z2 < 0 . (m0 − m)2 m0 − m
Sečtením sčítanců neobsahujících souřadnice bodu A a převedením tohoto součtu na pravou stranu nerovnice získáme konečný tvar
mR x+ m0 − m
2
+ y 2 + z 2 < R2
mm0 . (m0 − m)2
(2) h
i
Okruh přitažlivosti je tedy vnitřek koule se středem S o souřadnicích −R m0m−m , 0, 0 a s √
0 . Rozšířením zlomků výrazem m1 a zavedením poměru hmotností poloměrem r = R mmm 0 −m R , 0, 0] a poloměr r = p = mm0 dostaneme, že zmíněná koule má střed v bodě S= [− p−1
=
√
p R. p−1
Poznámka: Jestliže není splněna relace m0 > m, je buď splněna relace opačná m > m0 nebo je m = m0 . V prvním případě se změní pouze znaménko nerovnice a hmotnosti mam √0 se vzájemně zamění. Okruhem přitažlivosti je potom vnějšek koule poloměru m0 m m r = m−m R se středem S=[− m−m R, 0, 0]. Ve druhém případě rovnice (1) dává po 0 0 R krácení součinem mR tvar x < 2 , takže okruhem přitažlivosti je poloprostor s hraniční rovinou kolmou na spojnici obou daných hmotných bodů procházející středem jejich spojnice. Příklad: Určíme okruh přitažlivosti Země vzhledem ke Slunci víme-li, že R = 1.496 · 105 [Mm] (astronomická jednotka) a p = mm0 =332500 (Slunce je 332500 krát hmotnější než Země). Řešení: Dosazením zadaných hodnot do (2) vychází, že hledaný okruh přitažlivosti je vnitřek koule poloměru r =259.5 [Mm] se středem na spojnici Země-Slunce ve vzdálenosti d=0.45[Mm] od středu Země (na opačné polopřímce, než leží Slunce). Tento výsledek je zdánlivě paradoxní, protože např. Měsíc leží mimo okruh přitažlivosti Země vzhledem ke Slunci. Slunce tedy na Měsíc působí větší gravitační silou než Země. Jak jest potom možné, že obíhá kolem Země? Pro pochopení tohoto zdánlivého paradoxu je třeba definovat ještě jiný pojem související se zrychleními udělovanými jednotlivými tělesy, kdy ovšem na celou situaci nahlížíme z pozice (omezené) úlohy tří těles. Uvažujme body (tělesa) o hmotnostech m0 a m1 a k nim např. hmotný bod o jednotkové hmotnosti m2 = 1 jako třetí, teoreticky nehmotné těleso. Popišme polohové vektory jednotlivých bodů vůči sobě pomocí vektorů ρ~ podle obr.2. Jestliže ρ12 = |ρ~12 | ≪ ρ2 = = |ρ~2 |, bude těleso hmotnosti m0 rušit (jakožto třetí těleso) keplerovský pohyb jednotkové hmotnosti kolem centra o hmotnosti m1 méně než by rušilo těleso hmotnosti m1 (jakožto třetí těleso) keplerovský pohyb jednotkové hmotnosti kolem (vzdáleného) centra o hmotnosti m0 . Za takové situace říkáme, že tělísko jednotkové hmotnosti se 2
nachází v okruhu aktivity tělesa o hmotnosti m1 vzhledem k tělesu o hmotnosti m0 .
ρ12
m
m1
ρ1
ρ2
m0 Obrázek 2: V tématu ”Úloha více bodů (těles) v nebeské mechanice” byly odvozeny pohybové rovnice omezené úlohy tří těles pro pozorovatele na tělese o hmotnosti m0 . Rovnice (9) v tomto tématu je keplerovská nerušená rovnice tělesa o hmotnosti m1 , zatímco rovnice (10) tamtéž je pohybovou rovnicí nehmotného tělíska, kde na pravé straně stojí rušivé zrychlení způsobené tělesem o hmotnosti m0 . Uvažujeme-li těleso o hmotnosti m0 jako Slunce a těleso o hmotnosti m1 jako planetu, říkáme rovnici (10) v citovaném tématu heliocentrická rovnice nehmotného tělíska. Odečtěme nyní od rovnice (10) rovnici (9) výše zmíněného tématu. Dostaneme ρ~2 ρ~1 d2 ρ~12 + κm0 3 − 3 2 dt ρ2 ρ1 Protože platí
ρ ~21 ρ321
!
+ κm1
ρ~1 ρ~21 − ρ31 ρ321
!
− κm1
ρ~1 = 0. ρ31
= − ρρ~12 dostáváme odtud 3 12
ρ~12 ρ~1 ρ~2 d2 ρ~12 + κm1 3 = κm0 3 − 3 . (3) 2 dt ρ12 ρ1 ρ2 Tato rovnice je pohybovou rovnicí nehmotného tělíska pro pozorovatele nacházejícího se na tělese o hmotnosti m1 . Na její pravé straně se nachází rušivé zrychlení keplerovského pohybu kolem centra o hmotnosti m1 , pocházející od tělesa o hmotnosti m0 . Rovnici proto říkáme planetocentrická rovnice nehmotného tělíska. Druhý sčítanec levé strany rovnice (10) ve výše popisovaném tématu tedy vyjadřuje radiální (dostředivé) zrychlení, jež tělísku uděluje těleso o hmotnosti m0 . Označme jej ~ad0 . Pro jeho velikost platí !
m0 . (4) ρ22 Pravá strana rovnice (10) ve výše popisovaném tématu vyjadřuje rušivé zrychlení, jež tělísku uděluje těleso hmotnosti m1 . Označme jej ~ar1 . Pro jeho velikost platí ad0 = κ
ar1
ρ ρ~1 ~21 = κm1 3 − 3 . ρ21 ρ1
(5)
Druhý sčítanec levé strany rovnice (3) vyjadřuje radiální (dostředivé) zrychlení, jež tělísku uděluje těleso o hmotnosti m1 . Označme jej ~ad1 . Pro jeho velikost platí 3
ad1 = κ
m1 . ρ212
(6)
Pravá strana rovnice (3) vyjadřuje rušivé zrychlení, jež tělísku uděluje těleso hmotnosti m0 . Označme jej ~ar0 . Pro jeho velikost platí ar0
ρ ρ~2 ~1 = κm0 3 − 3 . ρ1 ρ2
(7)
Okruh aktivity tělesa o hmotnosti m1 vzhledem k tělesu o hmotnosti m0 je potom podle definice množina bodů, pro kterou je ar0 ar1 ≥ . ad0 ad1 Dosazením (4) až (7) do této rovnice dostáváme po drobné úpravě, že pro hraniční plochu okruhu aktivity platí ρ ρ ~ ~ ρ ~ ρ ~ 21 1 1 2 m21 ρ22 3 − 3 = m20 ρ212 3 − 3 . (8) ρ21 ρ1 ρ1 ρ2 Upravujme nejprve výraz ρρ~31 − ρρ~23 . Při úpravě tohoto výrazu využijeme poznatků, že 1
2
kvadrát absolutní hodnoty vektoru je roven skalárnímu součinu vektoru sama se sebou a že skalární součin vektorů je roven součinu velikostí činitelů a kosínu úhlu, který tyto vektory svírají. Kromě toho využijeme i distributivnosti skalárního součinu. Na základě těchto vlastností vektorů píšeme postupně 2 ρ ρ~2 ~1 3 − 3 = ρ1 ρ2
=
ρ~1 ρ~2 − ρ31 ρ32
!
ρ~1 ρ~2 · 3− 3 ρ1 ρ2
!
=
ρ~1 · ρ~1 ρ~2 · ρ~2 ρ~1 · ρ~2 + −2 3 3 = 6 6 ρ1 ρ2 ρ1 ρ2
1 ρ~1 · ρ~2 1 1 + 4 − 2 3 3 = 4 4 (ρ41 + ρ42 − 2ρ1 ρ2 ρ~1 · ρ~2 ) . 4 ρ1 ρ2 ρ1 ρ2 ρ1 ρ2
(9)
Protože však platí ρ~2 = ρ~1 + ρ~12 (obr.2), dostáváme odtud ρ22 = (~ ρ1 + ρ~12 ) · (~ ρ1 + ρ~12 ) = ρ21 + ρ212 + 2ρ1 ρ12 cos ϕ = ρ21 (1 + p2 + 2p cos ϕ) ,
(10)
ρ~1 · ρ~2 = ρ~1 · (~ ρ1 + ρ~12 ) = ρ~1 · ρ~1 + ρ~1 · ρ~12 = ρ21 + ρ1 ρ12 cos ϕ = ρ21 (1 + p cos ϕ) ,
(11)
kde p = ρρ121 je pro blízké okolí tělesa o hmotnosti m1 (jehož okruh aktivity počítáme) kladné číslo podstatně menší než jedna. Úhel ϕ je úhel mezi vektory ρ~1 a ρ~12 (obr.2). Dosazením (11) a (10) do (9) dostaneme po odmocnění r q ρ ~2 1 ~1 ρ 4 4 2 )2−2ρ4 (1+p cos ϕ) 1+2p cos ϕ+p2 = ρ +ρ (1+2p cos ϕ+p 3 − 3 = 4 1 1 1 ρ1 ρ2 ρ1 (1+2p cos ϕ+p2 )
q 1 2 )2−2(1+p cos ϕ) 1+2p cos ϕ+p2 . 1+(1+2p cos ϕ+p (12) = 2 ρ1 (1+2p cos ϕ+p2 ) √ Proveďme nyní Taylorův rozvoj funkce f (x) = 1 + x okolí nuly. Zřejmě platí df = dx 3f 2f 2f d df d d 1 1 3 1 , dx3 = √ atd. Odtud plyne dx (0) = 2 , dx2 (0) = − 41 , = 2√1+x , dx2 = − √ 3 5 r
4
d3 f (0) dx3
=
3 8
(1+x)
8
(1+x)
atd. Proto zmíněná Taylorova řada má tvar 4
√
1 + x = f (0) +
∞ X di f i=1
dx
(0) i
x x2 3x3 xi =1+ − + + ··· . i! 2 8 48
Dosazením x = p2 + 2p cos ϕ do tohoto rozvoje a zohledněním jeho prvních tří členů získáme p2 p2 . 1 + p2 + 2p cos ϕ = 1 + p cos ϕ + − (p + 2 cos ϕ)2 . 2 8
Navíc platí
q
(13)
1 ρ1 1 ρ1 1 ρ12 = 3 = 3 ρ12 = 3 . 2 ρ1 ρ1 ρ1 ρ12 ρ1 p Dosazením tohoto výrazu a (13) do (12) obdržíme s ρ ~2 . p2 p2 ρ12 ~1 ρ 2 )2−2(1+p cos ϕ)[1+p cos ϕ+ − (p+2 cos ϕ)2 ]= 1+(1+2p cos ϕ+p 3 − 3 = 3 ρ1 ρ2 ρ1 p(1+2p cos ϕ+p2 ) 2 8 v u
!
2 2 3 4 u ρ12 t1+(1+2p cos ϕ+p2 )2−2(1+p cos ϕ) 1+p cos ϕ+p −p cos2 ϕ−p cos ϕ−p . = 3 ρ1 p(1+2p cos ϕ+p2 ) 2 2 2 8
Roznásobením a zanedbáním vyšších mocnin poměru p než druhé a následným sečtením dostaneme finální tvar √ √ ρ ρ12 1 + 3 cos2 ϕ ~2 . ρ12 p2 + 3p2 cos2 ϕ ~1 ρ 3 − 3 = 3 = 3 . (14) ρ1 ρ2 ρ1 p 1+2p cos ϕ+p2 ρ1 1+2p cos ϕ+p2
Upravme dále výraz ρρ~321 − 21
ρ ~1 2 ρ31
. Zřejmě platí
2 2 2 ρ ρ ρ ρ~1 ρ~1 ρ~1 ~21 ~12 ~12 3 − 3 = − 3 − 3 = 3 + 3 = ρ21 ρ12 ρ12 ρ1 ρ1 ρ1
ρ~12 ρ~1 + ρ312 ρ31
!
ρ~12 ρ~1 · 3 + 3 ρ12 ρ1
!
=
1 1 ρ~1 · ρ~12 1 1 cos ϕ 1 + 4 + 2 3 3 = 4 + 4 + 2 2 2 = 4 (1 + 2p2 cos ϕ + p4 ) . 4 ρ12 ρ1 ρ1 ρ12 ρ12 ρ1 ρ1 ρ12 ρ12 Po odmocnění dostaneme ρ 1 q ρ~1 ~21 1 + 2p2 cos ϕ + p4 . 3 − 3 = 2 ρ21 ρ1 ρ12
Upravíme-li odmocninu Taylorovým rozvojem výše, bereme v něm x = 2p2 cos ϕ + p4 . Protože všude uvažujeme pouze maximálně druhé mocniny poměru p, stačí v tomto √ . x = 1+ , takže píšeme po zanedbání vyšších než druhých mocnin 1 + x případě formule 2 √ . 2 4 p, že 1 + 2p cos ϕ + p = 1 + p2 cos ϕ. Celkem tedy máme ρ ρ~1 . 1 + p2 cos ϕ ~21 3 − 3 = . ρ21 ρ1 ρ212
Zbývá ještě určit ρ22 . Zřejmě platí
ρ1 · ρ~12 = ρ21 + ρ212 + 2ρ1 ρ12 cos ϕ . ρ1 + ρ~12 ) · (~ ρ1 + ρ~12 ) = ρ21 + ρ212 + 2~ ρ22 = (~ 5
(15)
Vytknutím ρ21 a zavedením poměru p dostaneme ρ22 = ρ21 (1 + 2p cos ϕ + p2 ) .
(16)
Dosazením (14), (15) a (16) do (8) dostaneme pro hraniční plochu okruhu aktivity výraz
m21
ρ1 ρ12
!2
2
2
(1 + 2p cos ϕ + p )(1 + p cos ϕ) =
ρ12 ρ1
m20
!3
√
1 + 3 cos2 ϕ , 1 + 2p cos ϕ + p2
odkud plyne po jednoduché úpravě při zavedení poměru p m0 2 5 q (1 + 2p cos ϕ + p ) (1 + p cos ϕ) = p 1 + 3 cos2 ϕ . m1 Tuto rovnici nelze analyticky řešit vzhledem k neznámé p. Jestliže v prvním přiblížení zanedbáme na její levé straně všechny členy s mocninami p vůči jedničce, lze si udělat představu o řádové velikosti okruhu aktivity tělesa o hmotnosti m1 vzhledem ke (vzdálenému) tělesu o hmotnosti m0 tak, že pro příslušnou hraniční plochu platí 2 2
2
r 5
m1 m0
2
(17)
√ . p = 10 1 + 3 cos2 ϕ
Vzhledem k tomu, že rovnice (17) byla odvozena podle obr.2 pro jakoukoliv rovinu, v níž leží body o hmotnostech m0 , m1 i bod zanedbatelné (např. jednotkové) hmotnosti, je rovnicí (17) popsána rotační plocha. Tato plocha má za osu souměrnosti spojnici bodu o hmotnosti m0 s bodem o hmotnosti m1 . V každé takové rovině je rovnicí (17) popsána hraniční křivka příslušné hraniční plochy. Rovnice popisuje hraniční křivku v 1
f(φ)
0.95
0.9
0.85
0
1
2
3 φ [rad]
4
5
6
0.5 φ
0
x
−0.5
−2
−1
0
1
2
3
Obrázek 3: polárních souřadnicích (p, ϕ) s počátkem v bodě o hmotnosti m1 a s hlavním směrem 6
daným polopřímkou, spojující body o hmotnostech m1 a m0 (směr x v dolní části obr.3). . 1 = 0.87 a jedničkou Uvážíme-li, že funkce f (ϕ) = 10√1+31 cos ϕ osciluje mezi hodnotou √ 5 2 (její přesný průběh je v horní části obr.3), můžeme hraniční křivku (17) brát přibližně jako kružnici o poloměru r=
s 5
m1 m0
2
.
(18)
Rozdíl přesnější hraniční křivky (čárkovaná čára) od této kružnice (plná čára) je patrný ve spodní části obr.3. V prvním přiblížení lze tedy okruh aktivity tělesa o hmotnosti m1 vzhledem ke (vzdálenému) tělesu o hmotnosti m0 brát jako kouli se středem ve středu tělesa o hmotnosti m1 a poloměrem rA = ρ1 r, kde r je dáno v (18). Jestliže uvažujeme těleso o hmotnosti m0 jako Slunce a těleso o hmotnosti m1 jako 1 1 Zemi, je m a ρ1 = 149600[Mm] (střední vzdálenost Slunce-Země). Dosazením = 332500 m0 do (18) dostaneme r = 0.062, takže rA = 925[Mm]. Okruh aktivity Země (vzhledem ke vzdálenému Slunci) je tedy koule více než třikrát většího poloměru než příslušný okruh přitažlivosti. Měsíc se svojí střední vzdáleností 384[Mm] od Země s rezervou leží uvnitř jejího okruhu aktivity. To je důvod, proč obíhá Zemi. Poznámka: Při zkoumání řešení pohybových rovnic malého tělíska velmi záleží na souřadnicové soustavě, v níž rovnici formulujeme (tedy na tom, kde máme pozorovatele). Dráha Měsíce se pro pozorovatele na Zemi jeví jako velmi málo Sluncem narušená keplerovská elipsa s ohniskem ve středu Země, ovšem pro pozorovatele na Slunci by se tato dráha jevila také jako velmi málo Zemí narušená keplerovské elipsa s ohniskem ve středu Slunce. Z hlediska pozorovatele na Slunci se prakticky všechna tělesa sluneční soustavy pohybují po (více či méně narušených) kuželosečkách s ohniskem ve středu Slunce. Pokud některá malá tělesa spadají do okruhu aktivity (podstatně) většího tělesa, jeví se pozorovateli na tomto větším tělese jejich dráhy rovněž jako (více či méně narušené) kuželosečky, ovšem s ohniskem ve středu onoho většího tělesa. Tento stav se ve sluneční soustavě týká kromě našeho Měsíce všech přirozených družic Marsu a velkých vnějších planet. Netýká se ale planetek, nacházejících se v hojné míře mezi drahami Marsu a Jupitera, neboť tyto nespadají do okruhu aktivity (vzhledem ke vzdálenému Slunci) žádné planety.
7
