Statistika
1/7
STATISTIKA Základní pojmy Statistický soubor – konečná neprázdná množina M zkoumaných objektů schromážděných na základě toho, že mají jisté společné vlastnosti. • základní statistický soubor – soubor všech v dané situaci v úvahu přicházejících statistických jednotek. • výběrové statistické soubory – obsahují část jednotek základního statistického souboru. Pokud sledujeme nějaké jevy na malém počtu objektů, mohou být získané údaje značně zkreslující, s jejich rostoucím počtem tedy roste vypovídací schopnost statistických údajů. Statistické zjišťování • úplné (vyčerpávající) – zaměřené na všechny jednotky základního souboru, • výběrové – používá se, pokud je základní soubor příliš rozsáhlý. Při náhodném výběru pak můžeme použít teorii pravděpodobnosti k dostatečně spolehlivým a přesným úsudkům o charakteru základního souboru. Statistické jednotky – prvky statistického souboru, prvky množiny M. Rozsah statistického souboru – počet prvků množiny M, ∣M∣=n . Statistický znak - ohodnocení statistické jednotky (je předmětem zkoumání), značí se x. - jednotlivé údaje znaku se nazývají hodnoty znaku, značí se x1, x2,..., xn. • znaky kvantitativní – hodnoty znaků jsou vyjádřeny čísly, • znaky kvalitativní – hodnoty znaku jsou vyjádřeny zpravidla slovním popisem. Vždy je nutné dopředu stanovit (byť pouze intuitivně), jakých hodnot mohou tyto znaky nabývat (také tím usnadníme zpracování získaných údajů).
Př. 1: Uvažujme statistický soubor žáků třídy, sledované znaky jejich tělesnou výšku, počet sourozenců a barvu očí. První dva znaky jsou kvantitativní, poslední je kvalitativní. K jednotlivým znakům musíme nejdříve stanovit množiny přípustných hodnot: tělesná výška — v celých cm, tedy přirozená čísla; počet sourozenců — přirozená čísla a nula; barva očí — hnědá (H), modrá (M), zelená (Z), šedá (Š), ostatní (O). Znak/jednotka 1( Petr) 2(Pavel) 3(Eva) Tělesná výška
4(Milan)
5(Klára)
172
186
167
172
175
Počet sourozenců
2
0
1
1
3
Barva očí
H
Z
O
H
M
Četnosti a jejich rozdělení Uvažujme statistický znak, jenž nabývá hodnot x1, x2, ..., xn, kde n je rozsah uvažovaného statistického souboru. Nechť celkový počet různých hodnot znaku x je k n . Absolutní četnost hodnoty znaku xj – počet statistických jednotek, jimž přísluší stejná hodnota znaku xj pro j = 1, 2, ..., k, - označujeme ji nj. k
∑ n j= n j =1
Relativní četnost hodnoty znaku xj - podíl četnosti nj hodnoty znaku xj a rozsahu souboru , - označujeme ji νj, - v praxi se vyjadřuje v procentech k
∑ j =1 j=1
Statistika
2/7
Př. 2: Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte získané údaje do tabulky rozdělení četností, vypočítejte relativní četnosti a vyjádřete je v procentech. Řešení: Tabulka rozdělení četností a relativních četností j 1 2 3 4 5 součet xj
0
1
2
3
4
--
sledovaný znak - počet dětí
nj
abs. četnost hodnoty znaku xj
νj
relat. četnost hodnoty znaku xj
νj [%]
relat. četnost hodnoty znaku xj v procentech
Skupinové rozdělení četností - používá se, pokud je počet zjištěných hodnot kvantitativního statistického znaku značný. Proto se blízké hodnoty znaku sdružují do skupin (tříd) tvořených obvykle intervaly (třídními intervaly). Hodnoty znaku, jež se dostaly do téhož intervalu, lze potom reprezentovat jedinou hodnotou – středem intervalu (třídním znakem). Pozn: K určení vhodného počtu k intervalů se užívá například tzv. Sturgesův vzorec: k ÷13,3 log n , kde n je rozsah statistického souboru.
Př. 3: Byly naměřeny výšky 300 osob v mezích od 153 do 197 cm. Navrhněte jejich rozdělení do skupin (intervalů) a sestavte tabulku skupinového (intervalového) rozdělení četností. Řešení: Tabulka skupinového rozdělení četností Intervaly výšky x (v cm) 153-157 158-162 163-167 168-172 173-177 178-182 183-187 188-192 193-197 součet četností Středy intervalů Četnost (absolutní)
155
160
165
170
175
180
185
190
195
--
7
20
35
49
84
60
27
14
4
300
Grafická znázornění rozdělení četností Pro velkou názornost a přehlednost se pro znázornění četností používají nejrůznější grafy. Uvedeme si několik nejběžnějších typů (s dalšími se lze seznámit prostřednictvím tabulkových procesorů, např. MS Excel). Pro všechny uvedené grafy budeme uvažovat následující datovou tabulku, ve které je zaznamenáno rozložení známek z matematiky: Známka z matematiky
1
2
3
4
5
Počet žáků
2
8
7
3
1
Výsečový graf
8
1
Paprskový graf
6 1 2
4
5
2
2
3
Počet žáků
0
4 5
4
3
Statistika
3/7
Histogram - sloupcový graf
Polygon - spojnicový graf
10
10
8
8
6
6 Poče t žák ů
4 2
2
0
0
1
2
3
4
5
Poče t žák ů
4
1
2
3
4
5
Polygon četnosti neboli spojnicový diagram získáme spojením bodů, jejichž první (x-ová) souřadnice je hodnota znaku, resp. středu intervalu a druhá (y-ová) souřadnice odpovídající četnost. Histogram četnosti neboli sloupkový diagram tvoří množina obdélníků (se základnami na ose x), jejichž obsahy jsou přímo úměrné znázorňovaným četnostem. Je vhodný zejména pro znázornění skupinového (intervalového) rozdělení četností. V kruhovém diagramu různým hodnotám znaku odpovídají kruhové výseče, jejichž plošné obsahy jsou úměrné četnostem.
Př. 4: Sestroj histogram a polygon četnosti pro údaje z př. 3.
Charakteristiky statistického souboru A. Charakteristiky polohy (úrovně) hodnot znaku neboli jeho střední hodnoty - čísla, která určitým způsobem charakterizují „průměrnou hodnotu“ sledovaného znaku. Představují hodnotu, kolem níž je v jistém smyslu nejvíce soustředěno rozdělení četností hodnot znaku. - patří mezi ně aritmetický průměr, medián, modus, harmonický průměr a geometrický průměr. Aritmetický průměr x hodnot kvantitativního znaku x1, x2,..., xn určujeme jako podíl součtu hodnot znaku a jejich počtu (rozsahu souboru) n. x1 x 2... x n 1 n = ⋅∑ x i . x = n n i=1 Zvláštním případem je vážený aritmetický průměr, který každé hodnotě znaku přiřazuje určitou váhu (význam), která je reprezentována koeficientem, jímž každou hodnotu násobíme. Často touto vahou bývá počet výskytů příslušné hodnoty. x =
n1⋅x1 n2⋅x 2...nk⋅x k 1 k = ⋅∑ ni⋅xi n n i =1
Př. 5: V laboratoři měřili napětí v elektrickém obvodu s těmito výsledky (V): 2,7; 2,8; 3,0; 2,7; 3,0; 2,6; 2,8; 2,7; 2,7; 2,9. Určete průměrnou hodnotu napětí v obvodu. 1⋅2,64⋅2,72⋅2,81⋅2,92⋅3,0 =2,79 V x = 10 Př. 6: Student získal v prvním pololetí z matematiky následující známky: z průběžných testů 1, 2, 3, 2; ze zkoušení 2, 5; ze čtvrtletních písemných prací 2, 4 a za aktivitu 1, 1, 5, 3, 5. Vyučující považuje známky z průběžných testů a ze zkoušení dvakrát významnější než za aktivitu, známky za čtvrtletky dvakrát významnější než z průběžných testů. Určete studentův studijní průměr. 11535 2⋅1232254 24 =2,76 . x = 25 Vlastnosti aritmetického průměru: • přičtením, odečtením, vynásobením nebo vydělením všech hodnot znaku nenulovým číslem se odpovídajícím způsobem změní také aritmetický průměr (např. zvětšíme-li všechny hodnoty o 2, zvětší se aritmetický průměr také o 2); • rozdělíme-li soubor do skupin, pak průměr celého souboru je váženým průměrem skupinových průměrů, přičemž jako váhy vystupují počty jednotek v jednotlivých skupinách.
Statistika
4/7
Př. 7: V 6. ročníku ZŠ jsou čtyři třídy; počty žáků a třídní průměry známek z matematiky jsou uvedeny v tabulce. Určete průměrnou známku z matematiky celého ročníku. Třída 6.A 6.B 6.C 6.D Průměrná známka z matematiky 2,21 1,82 2,33 2,11 Počet žáků 28 24 32 30 2,21⋅281,82⋅242,33⋅322,11⋅30 243,42 = =2,14 x = 28243230 114 Geometrický průměr xG hodnot kvantitativního znaku x1, x2,..., xn určíme jako n-tou odmocninu ze součinu n hodnot: n
xG = x1⋅x2⋅...⋅x n . Geometrický průměr se ve statistice užívá např. k výpočtu koeficientů růstu nebo řetězových indexů. V časových řadách, kde data vykazují určitý trend, je zajímavějším ukazatelem průměrný přírůstek (úbytek) během n x −x 1 sledovaného období. Ten bychom určovali jako aritmetický průměr přírůstků jednotlivých úseků ∑ x i −x i −1 = n 0 . n i =1 n V praxi je však významnějším ukazatelem průměrné tempo růstu, tedy geometrický průměr podílů hodnot za dvě po sobě x x n x n x jdoucí období: xG = 1⋅ 2⋅...⋅ n = n . x0 x1 xn −1 x0
Př. 8: Nezaměstnanost se v České republice (resp. v ČSFR) vyvíjela podle následující tabulky. Určete průměrné tempo růstu míry nezaměstnanosti v ČR v letech 1990–1999. Rok 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Míra nezaměstnanosti 0,72% 4,07% 2,59% 3,54% 3,24% 2,96% 3,58% 5,15% 7,39% 9,32% . 10 xG = 0,72⋅4,07⋅2,59⋅3,54⋅3,24⋅2,96⋅3,58⋅5,15⋅7,39⋅9,32=3,56 Harmonický průměr xH hodnot kvantitativního znaku x1, x2,..., xn určíme jako podíl rozsahu souboru a součtu převrácených hodnot znaku: k n n n n 1 xH = =n : ∑ i xH = =n : ∑ , vážený harmonický průměr 1 1 1 x 1 1 1 i =1 x i i =1 i n1⋅ n 2⋅ ...n k⋅ ... x1 x2 xk x1 x 2 xn Harmonický průměr se používá pro měření úrovně poměrných čísel, jako je rychost, výkon, produktivita práce apod. Vážený harmonický průměr pak použijeme vždy, když jako váha vystupuje veličina, která v poměrném čísle figuruje v čitateli zlomku (uražená dráha, objem produkce, objem tržeb).
Př. 9: V určité dílně, v níž vyrábějí stejné výrobky, byly naměřeny šesti dělníkům tyto časy potřebné ke zhotovení jednoho výrobku: 3, 4, 5, 6, 10, 12 minut. Určete dobu, které je v průměru třeba ke zhotovení jednoho výrobku. Řešení: Výkony jednotlivých dělníků jsou velmi rozdílné, například první vyrobí za tutéž dobu čtyřikrát více výrobků než poslední, proto postrádá věcný smysl počítat aritmetický průměr naměřených časů. Avšak součet jejich převrácených hodnot udává celkovou část produkce všech dělníků za 1 minutu a tedy průměrná doba potřebná ke zhotovení jednoho výrobku je dána harmonickým průměrem. 1 1 1 1 1 1 2015121065 6⋅60 . xH =6 : =6 : = = 5,3 min 3 4 5 6 10 12 60 68 Modus znaku je hodnota s největší četností. Značíme Mod(x). Modus lze vhodně použít například při určování hodiny s dopravní špičkou. Medián je prostřední hodnota znaku, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti. Při sudém počtu hodnot se bere aritmetický průměr dvou prostředních hodnot. Značíme Med(x). Medián je užíván zejména tehdy, když jsou v souboru zastoupeny prvky s hodnotami znaku mimořádně odlišnými oproti ostatním hodnotám znaku. V těchto případech je medián lepší charakteristikou polohy hodnot znaku než aritmetický průměr.
Př. 10: Družstvo má 20 členů s ročními příjmy podle následující tabulky. Roční příjem v tisících Kč. 30 40 50 60 70 840 Počet členů družstva 1 6 6 5 1 1 Řešení: Aritmetickým průměrem bychom určili průměrný roční příjem 89 tis. Kč. Avšak kromě jediného člena mají všichni příjem mnohem nižší, takže použití této veličiny asi není příliš vhodné. x x Vhodnější charakteristikou je medián Med x= 10 11 =50 tis. Kč . 2
Statistika
5/7
B. Charakteristiky variability (měnlivosti, rozptýlení) - čísla, která charakterizují, jak se hodnoty znaku prvků souboru liší od zvolené charakteristiky polohy ( střední hodnoty), resp. od sebe navzájem . - patří mezi ně variační rozpětí, průměrná absolutní odchylka, rozptyl, směrodatná odchylka a variační koeficient. Jak ukazuje následující příklad, charakteristiky polohy mohou někdy být zavádějící nebo alespoň zkreslující.
Př. 11: Mějme dvě řady čísel: 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9 a 1, 1, 1, 8, 8, 8, 8, 15, 15, 15. Obě mají naprosto stejný aritmetický průměr, medián i modus, avšak první má hodnoty mnohem vyrovnanější. Čím větší je variabilita hodnot znaku, tím méně reprezentativní je aritmetický průměr či jiná charakteristika polohy. (Lze říci, že charakteristiky variability určují spolehlivost charakteristik polohy; čím jsou menší, tím charakteristiky polohy výstižněji popisují celý soubor.) Informaci o rozptýlení hodnot znaku kolem aritmetického průměru podává průměrná absolutní odchylka nebo lépe rozptyl, resp. směrodatná odchylka. Rozdíl mezi hodnotou znaku x j a zvolenou střední hodnotou, např. aritmetickým průměrem x , se nazývá odchylka hodnoty znaku x j od střední hodnoty. Je-li charakteristikou polohy aritmetický průměr, pak za charakteristiku variability volíme zpravidla rozptyl. Rozptyl je aritmetický průměr druhých mocnin odchylek hodnot znaku od aritmetického průměru (průměrná čtvercová n n 1 1 odchylka od aritmetického průměru): s2x = ∑ x i− x 2= ∑ x2i − x2 . n i =1 n i=1 n
Druhá mocnina v uvedeném vzorci je nutná, neboť součet odchylek od aritmetického průměru je nulový:
∑ x i −x =0 . i =1
k
Resp. pro skupinové rozdělení četností
pozn. 1
k
1 1 s = ∑ ni x i −x 2= ∑ ni x 2i − x2 . n i =1 n i=1 2 x
ve váženém tvaru
Nevýhodou rozptylu je, že jeho jednotky neodpovídají jednotkám hodnot znaku, ale jsou jejich druhými mocninami. Tento nedostatek odstraňuje směrodatná odchylka. Směrodatná odchylka s x je druhá odmocnina z rozptylu. Výhodou směrodatné odchylky je, že charakterizuje variabilitu hodnot znaku v měřicích jednotkách znaku. s x=
n
n
k
k
1 ∑ x −x 2 = 1n ∑ xi2−x 2 , resp. s x= 1n ∑ ni xi −x 2 = 1n ∑ ni x 2i − x 2 n i=1 i i =1 i=1 i =1 C. Charakteristiky variability relativní (poměrné)
Chceme-li porovnávat několik statistických souborů, vedou absolutní charakteristiky jako rozptyl nebo směrodatná odchylka k nepřehledným závěrům. Jako bezrozměrná charakteristika se nejčastěji používá variační koeficient. Variační koeficient x je definován jako podíl směrodatné odchylky a aritmetického průměru sledovaného znaku x. s s = x , respektive v procentech = x ⋅100% x x
k
1 má-li hodnota xi četnost ni , ..., hodnota x k četnost nk ,
∑ ni =n i=1
Statistika
6/7
Př. 12: Deset opakovaných měření jedné fyzikální konstanty dalo tyto výsledky: 2,11; 2,01; 2,09; 2,11; 2,02; 2,03; 2,03; 2,10; 2,05; 2,05. Určete aritmetický průměr, směrodatnou odchylku a variační koeficient. Řešení: x =2,06 ; s 2x =0,00136 s x =0,037 ; v x =1,8 % . Př. 13: Porovnejte diferenciaci (vaiabilitu) mezd pracovníků dvou podniků na základě údajů o jejich příjmech v tabulce: 1. podnik 2. podnik Měsíční příjem xi (v Kč)
Počet pracovníků ni
Hodinová mzda xi (v Kč)
Počet pracovníků ni
2 000
20
10
30
2 500
30
15
30
3 000
30
20
15
3 500
15
25
10
4 000 5 30 5 Řešení: Sledovaný statistický znak x (příjem pracovníka) je vyjádřen v obou podnicích v různých jednotkách (měsíční a hodinová mzda). K porovnání variability mezd užijeme proto variační koeficienty. Postupně dostáváme . pro 1. podnik x =2775, s x = 558,46 , =0,201 , . pro 2. podnik x =16,11 , s x =5,9056 , =0,367 . Závěr: Diferenciace (variabilita) mezd v 1. podniku je nižší než ve 2. podniku. D. Koeficient korelace Koeficient korelace r popisuje míru závislosti dvou znaků x a y. Nechť x1, x 2, ... , xn jsou hodnoty znaku x , y1, y 2, ... , yn hodnoty znaku y , pak koeficient korelace r znaků x a y je n n n k r= , kde k = 1 ∑ xi − x ⋅ yi − y , s x = 1 ∑ x i − x 2 , s y = 1 ∑ yi − y 2 s x sy n i=1 n i =1 n i=1 V definici koeficientu korelace vystupují ve jmenovateli směrodatné odchylky s x , s y . Aby definice měla smysl, musí být s x ≠0, s y ≠0 , což nastává právě tehdy, když znak x i znak y nejsou konstantní. Koeficient korelace je bezrozměrné číslo. Vždy platí ∣x∣1 . Čím více se hodnota r blíží k 1, tím považujeme závislost x a y za větší. ( V případě r = 1 s rostoucími hodnotami znaku x rostou i hodnoty znaku y, v případě r = -1 naopak s rostoucími hodnotami znaku x klesají hodnoty znaku y.)
Př. 14: Na konci 1. a 2. ročníku byli v matematice žáci klasifikováni známkami, jež jsou uvedeny v tabulce. Vypočtěte koeficient korelace mezi těmito známkami. Počty žáků Známka na konci 1. ročníku
Známka na konci 2. ročníku 1
2
1
3
1
2
2
6
5
7
8
3 4
3
2 .
Řešení: Výpočtem podle uvedeného vzorce vychází r =0,62 .
4
1
Statistika
7/7
Průměr, modus, medián, grafy P 175/68 V testu při zkoušce dostalo 15 studentů známku 1, dalších 35 studentů dostalo známku 2, známku 3 dostalo 30 studentů, 15 studentů dostalo známku 4 a zbylých 5 studentů dostalo známku 5. Vypočítejte průměrnou známku z testu, modus, medián. Výsledky testu znázorněte graficky. [průměr 2,6, modus 2, medián 2,5] P 175/66 Ve třídě 1.A je 15 chlapců. Údaje o výšce chlapců udává následující tabulka: Výška (cm) 160-164 165-169 170-174 175-179 180-184 Počet žáků 2 Vypočítejte průměrnou výšku žáka, určete modus, medián.
5
4
3
1
[průměr 512/3 cm, modus 167 cm, medián 172 cm] P 175/67 Pan Dvořák jel automobilem prvních 20 km rychlostí 80 km/h, dalších 30 km rychlostí 90 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost jeho jízdy. [85,7 km/h] 147/3.3 Házíme mincí, až padne poprvé líc; znak x udává, v kolikátém hodu se tak stalo. Opakování tohoto pokusu 100 krát dalo následující rozdělení četností: čekání na líc 1 2 3 4 5 6 7 8 četnost 53 21 13 8 3 1 0 a) Vypočítej aritmetický průměr, modus a medián. [průměr 1,95, modus 1, medián 1] b) Porovnej relativní četnosti s příslušnými pravděpodobnostmi. (Návod: Pravděpodobnost, že líc padne hned v prvním hodu, je 1/2, že padne až v druhém hodu, 1/4 atd.) [relativní četnosti: 0,53; 0,21; 0,13; ...; pravděpodobnosti: 0,50; 0,25; 0,125; ...]
1
Pravděpodobnost – opakování P 174/57 V tombole je 30 cen (vyhrává 30 losů). Bylo prodáno 500 losů. Pan Novák si koupil 3 losy. Jaká je pravděpodobnost, že a) na všechny tři losy vyhraje, [0,000216] b) vyhraje alespoň jednu cenu? [0,17] P 170/11 a) Jaká je pravděpodobnost, že při třech hodech jednou mincí padne alespoň dvakrát líc? [1/2] b) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi najednou padne alespoň na dvou mincích líc? [1/2] P 171/20 S jakou pravděpodobností padne při deseti hodech jednou kostkou alespoň třikrát šestka? [0,225]
Průměr, modus, medián, grafy P 175/68 V testu při zkoušce dostalo 15 studentů známku 1, dalších 35 studentů dostalo známku 2, známku 3 dostalo 30 studentů, 15 studentů dostalo známku 4 a zbylých 5 studentů dostalo známku 5. Vypočítejte průměrnou známku z testu, modus, medián. Výsledky testu znázorněte graficky. [průměr 2,6, modus 2, medián 2,5] P 175/66 Ve třídě 1.A je 15 chlapců. Údaje o výšce chlapců udává následující tabulka: Výška (cm) 160-164 165-169 170-174 175-179 180-184 Počet žáků 2 Vypočítejte průměrnou výšku žáka, určete modus, medián.
5
4
3
1
[průměr 512/3 cm, modus 167 cm, medián 172 cm] P 175/67 Pan Dvořák jel automobilem prvních 20 km rychlostí 80 km/h, dalších 30 km rychlostí 90 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost jeho jízdy. [85,7 km/h] 147/3.3 Házíme mincí, až padne poprvé líc; znak x udává, v kolikátém hodu se tak stalo. Opakování tohoto pokusu 100 krát dalo následující rozdělení četností: čekání na líc 1 2 3 4 5 6 7 8 četnost 53 21 13 8 3 1 0 a) Vypočítej aritmetický průměr, modus a medián. [průměr 1,95, modus 1, medián 1] b) Porovnej relativní četnosti s příslušnými pravděpodobnostmi. (Návod: Pravděpodobnost, že líc padne hned v prvním hodu, je 1/2, že padne až v druhém hodu, 1/4 atd.) [relativní četnosti: 0,53; 0,21; 0,13; ...; pravděpodobnosti: 0,50; 0,25; 0,125; ...]
1
Pravděpodobnost – opakování P 174/57 V tombole je 30 cen (vyhrává 30 losů). Bylo prodáno 500 losů. Pan Novák si koupil 3 losy. Jaká je pravděpodobnost, že a) na všechny tři losy vyhraje, [0,000216] b) vyhraje alespoň jednu cenu? [0,17] P 170/11 a) Jaká je pravděpodobnost, že při třech hodech jednou mincí padne alespoň dvakrát líc? [1/2] b) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi najednou padne alespoň na dvou mincích líc? [1/2] P 171/20 S jakou pravděpodobností padne při deseti hodech jednou kostkou alespoň třikrát šestka? [0,225]
