SOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B Arrohman1∗ , Sri Gemawati 2 , Asli Sirait2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293, Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article studies the necessary and sufficient conditions to determine the solutions of the matrix equation AX=B, which can be either reflexive and anti-reflexive matrix. An n × n complex matrix A is said to be a reflexive (or anti-reflexive) if A = P AP (or A = −P AP ) where an n × n complex matrix P is said to be a generalized reflection matrix if P H = P and P 2 = I. Keywords: Matrix equation, generalized reflection matrix, reflexive matrix, antireflexive matrix ABSTRAK Dalam artikel ini dipelajari syarat perlu dan cukup untuk menentukan solusi dari persamaan matriks AX=B yang dapat berupa matriks refleksif dan antirefleksif. Matriks kompleks A berukuran n × n disebut matrik refleksif (atau antirefleksif) jika A = P AP (atau A = −P AP ) dengan P sebuah matriks kompleks dengan ukuran n × n disebut matriks refleksi tergeneralisasi jika P = P H and P 2 = I. Kata kunci: Persamaan matriks, matriks refleksi tergeneralisasi, matriks refleksif, matriks anti-refleksif 1. PENDAHULUAN Persamaan linear adalah suatu persamaan dimana variabel yang terlibat berderajat paling tinggi satu, dan peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Sedangkan himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear itu disebut dengan sistem persamaan linear, dikenal dengan (SPL). Sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk AX = B, Repository FMIPA Universitas Riau
(1) 1
dengan, matriks Am×n dinamakan matriks koefisien, xn×1 dinamakan matriks peubah, dan bm×1 dinamakan matriks konstanta. Anton & Roris [1, h. 116] menyebutkan bahwa matriks kompleks merupakan matriks yang entri-entrinya bilangan kompleks, diantaranya matriks uniter , matriks Hermitian dan matriks normal, kemudian Chen [3] menyebutkan bahwa suatu matriks kompleks disebut matriks refleksi tergeneralisasi jika P = P H dan P 2 = I serta Zhen [4] mengembangkan suatu matriks kompleks yang disebut dengan matriks refleksif dan matriks anti-refleksif. Matriks A dikatakan matriks refleksif dan anti-refleksif masing-masing sebagai berikut. A = P AP
dan A = −P AP, A ∈ C n×n ,
(2)
dengan P berukuran n × n adalah matriks refleksi tergeneralisasi. Dalam artikel ini, penulis membahas tentang syarat perlu dan cukup adanya matriks refleksif dan anti-refleksif terhadap matriks refleksi tergeneralisasi P sebagai solusi dari persamaan matriks AX = B. Artikel ini merupakan review dari jurnal ”The Reflexive and Anti-Reflexive Solutions of The Matrix Equation AX = B” [4]. Pembahasan diawali dengan pendahuluan di bagian kedua pembahasan tentang Solusi Relfleksif dan Anti-Refleksif dari Persamaan Matriks AX = B, kemudian dilanjutkan bagian ketiga dengan contoh. 2. SOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B Pada bagian ini, dibahas mengenai bagaimana bentuk solusi umum dari persamaan matriks AX = B kemudian ditentukan apakah solusi tersebut refleksif atau antirefleksif. Suatu matriks dikatakan refleksif dan anti-refleksif harus memenuhi persamaan (2) dan suatu matriks dikatakan refleksi tergeneralisasi harus memenuhi definisi berikut Definisi 1 [3] Sebuah matriks P dikatakan matriks refleksi tergeneralisasi jika P memenuhi syarat-syarat sebagai berikut P = PH P 2 = I. Lema 2 [4] Persamaan matriks AX = B dengan A ∈ C p×m dan B ∈ C p×n mempunyai sebuah solusi X ∈ C m×n jika dan hanya jika AA+ B = B. Pada kasus ini persamaan matriks AX = B mempunyai solusi umum X = A+ B +(Im −A+ A)G, dengan G ∈ C m×n adalah matriks sebarang.
Repository FMIPA Universitas Riau
2
Definisi 3 [2, h. 339] Misalkan A adalah matriks di C m×n . A+ dikatakan generalisasi invers matriks dari A jika A+ memenuhi satu atau lebih dari persamaan Penrose berikut 1. AA+ A = A 2. A+ AA+ = A+ 3. (AA+ )t = AA+ 4. (A+ A)t = A+ A Suatu matriks A+ dikatakan generalisasi invers matriks Moore-Penrose dari matriks A jika dan hanya jika memenuhi keempat sifat pada Definisi 3. 2.1 Solusi Refleksif dari Persamaan Matriks AX = B Teorema 4 [4] Diberikan A, B ∈ C m×n dan matriks P berukuran n × n adalah matriks refleksi tergeneralisasi. Misalkan P dapat dinyatakan dengan persamaan Ir 0 P =U UH, (3) 0 −In−r dan AU dan BU mempunyai bentuk partisi sebagai berikut AU = (A1 , A2 ),
A1 ∈ C m×r ,
A2 ∈ C m×(n−r)
(4)
BU = (B1 , B2 ),
B1 ∈ C m×r ,
B2 ∈ C m×(n−r) ,
(5)
maka persamaan (1) punya solusi X ∈ Crn×n (P ) jika dan hanya jika A1 A+ 1 B1 = B1 ,
A2 A+ 2 B2 = B2 .
Dalam hal ini persamaan (1) mempunyai solusi umum + A1 B1 + (In − A+ 0 1 A1 )G1 X=U UH, + 0 A+ B + (I − A A )G 2 n 2 2 2 2
(6)
dengan G1 ∈ C r×r dan G2 ∈ C (n−r)×(n−r) adalah matriks sebarang. Bukti.=⇒ Misalkan persamaan (1) mempunyai solusi X ∈ Crn×n (P ), dan X dapat di bentuk seperti berikut X1 0 X=U UH, (7) 0 X2 dengan X1 ∈ C r×r , X2 ∈ C (n−r)×(n−r) . U merupakn sebuah matriks uniter, dan dari Ai , Bi dimana i = 1, 2, maka persamaan (1) equivalen dengan A1 X1 = B1 , A2 X2 = B2 , (8) Repository FMIPA Universitas Riau
3
berdasarkan lema 2 persamaan (8) menjadi A1 A+ 1 B1 = B1 ,
A2 A+ 2 B2 = B2 ,
dan + X 1 = A+ 1 B1 + (Ir − A1 A1 )G1 ,
+ X 2 = A+ 2 B2 + (In−r − A2 A2 )G2 ,
(9)
dengan G1 ∈ C r×r ,G2 ∈ C (n−r)×(n−r) adalah matriks sebarang. Substitusikan persamaan (9) ke persamaan (7) maka solusi X ∈ Crn×n (P ) dari persamaan (1) dapat diperoleh seperti persamaan (6) ⇐= Misalkan A1 X1+ B1 = B1 dan A2 X2+ B2 = B2 terdapat X1 ∈ C r×r dan X2 ∈ C (n−r)×(n−r) sehingga A1 X 1 = B 1 ,
A2 X2 = B2 ,
yang mana ekuivalen dengan (A1 , A2 )
X1 0 0 X2
= (B1 , B2 ),
(10)
karena persamaan (4) dan persamaan (5) maka persamaan (10) menjadi X1 0 AU = BU 0 X2 X1 0 AU U H = B, 0 X2 hal ini menunjukkan bahwa X=U
X1 0 0 X2
UH
X=U
X1 0 0 X2
U H ∈ Crn×n (P ),
yang merupakan solusi dari persamaan (1), oleh karena itu persamaan (1) mempunyai solusi X ∈ Crn×n (P ). 2.2 Solusi Anti-Refleksif dari Persamaan Matriks AX = B Teorema 5 [4] Diberikan A, B ∈ C m×n dan matriks P berukuran n × n adalah matriks refleksi tergeneralisasi. Misalkan P sama halnya dengan persamaan (3) dan AU serta BU mempunyai bentuk partisi yang sama dengan persamaan (4) dan persamaan (5), maka persamaan (1) mempunyai solusi X ∈ Can×n (P ) jika dan hanya jika A1 A+ 1 B2 = B2 ,
Repository FMIPA Universitas Riau
A2 A+ 2 B1 = B1 ,
4
sehingga persamaan (1) mempunyai solusi umum + 0 A+ 2 B1 + (In−r − A2 A2 )G1 X=U UH, + A+ B + (I − A A )G 0 2 r 1 2 1 1 dengan G1 ∈ C r×(n−r) dan G2 ∈ C (n−r)×r adalah matriks sebarang. Bukti. cara pembuktian sama seperti Teorema 4 3. Contoh Penerapan 1 + 2i 2 + 4i Diberikan matriks kompleks A= dan matriks kompleks 2i 4i 2 + 4i 1 + 2i B= yang memenuhi persamaan AX = B, tentukanlah solusi 4i 2i dari persamaan matriks tersebut? Persamaan matriks AX = B mempunyai solusi jika dan hanya jika AA+ B = B dengan A+ adalah generalisasi invers matriks Moore-Penrose dari matriks A, akan ditunjukkan AA+ B = B yaitu 1−2i −2i 1 + 2i 2 + 4i 2 + 4i 1 + 2i + 45 45 AA B = 2−4i −4i 2i 4i 4i 2i 45 45 25 20−10i 2 + 4i 1 + 2i 45 45 = 20+10i 20 4i 2i 25 45 2 + 4i 1 + 2i AA+ B = 4i 2i AA+ B = B, karena AA+ B = B terpenuhi maka persamaan AX = B mempunyai solusi sesuai dengan (2), solusi dari persamaan AX = B yaitu X = A+ B + (Im − A+ A)G, maka X=
1−2i 45 2−4i 45
+
=
X=
1 0 0 1
18 45 4+16i 45 18 45 4+16i 45
−2i 45 −4i 45
2 + 4i 1 + 2i 4i 2i 1−2i −2i
1 + 2i 2 + 4i 45 45 − 2−4i G −4i 2i 4i 45 45 25 9 20−10i 1 0 45 45 45 + − 20+10i G 2+8i 20 0 1 45 45 45 9 −20+10i 20 45 45 45 + −20−10i G 2+8i 25 45
Repository FMIPA Universitas Riau
45
45
5
4. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan pada bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa matriks refleksif dan anti-refleksif A diperoleh dari matriks refleksi P yang memenuhi A = P AP untuk matriks refleksif dan A = −P AP untuk matriks anti-refleksif kemudian persamaan AX = B mempunyai solusi refleksif jika dan hanya jika memenuhi A1 A+ A 2 A+ 1 B1 = B1 , 2 B2 = B2 dan mempunyai + solusi anti-refleksif jika dan hanya jika memenuhi A1 A+ 1 B 2 = B 2 , A2 A2 B 1 = B 1 . DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H. & Roris, C. 2004 . Aljabar Linier Elementer. Versi Aplikasi. Edisi Kedelapan: Jilid 2. Terj. dari Elementary Linear Algebra. Application Version, Eighth Edition, oleh Harmein, I. & Gressando, J. Erlangga, Jakarta. [2] Budhi, W. S. 1995. Aljabar Linier. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. [3] Hsin-Chu Chen. 1998. Generalized Reflexive Matrices: Special Properties and Applications. SIAM J. Matriks Anal. Appl., 19 (1): 140-153. [4] Zhen-Yun Peng & Xi-Yan Hu. 2003. The Reflexive and Anti-reflexive Solutions of the Matrix Equation AX = B. Linear Algebra and Its Applications 375: 147-155.
Repository FMIPA Universitas Riau
6
