t
t
SISTEM ALJABAR : OPERASI DAN SEMIGRUP
Pada Bab 1 ini, kita akan membahas Sistem Aljabar, mula-mula pembahasan secara umum, kemudian dilanjutkan dengan pembahasan Sistem Aljabar yang sederbana, yakni Semigrop.Pembahasan kita awali dengan operasi pada himpunan. Untuk lebih memudahkan pembahasan kita yang lebih lanjut, sebaiknya kita ingat kembali beberapa hal penting mengenai himpunan, di bawah ini.
HIMPUNAN Definisi 1.1 Suatu himpunan adalah suatu kumpulan, atau koleksi, dari objek. Masingmasing objek disebut elemen atau anggota ,dari himpunan. Dapat dicatat bahwa tidak ada spesifikasitertentu tentang keadaan dari elemen, ataupun tentang banyaknyaelemen himpunan.TanOOkurung kurawal { }digunakan mengapit elemen dari suatu himpunan. Misalnya suatu himpunan S berisi lima objek a, b, c, x, clan y, dapat ditulis S
= {a,b,c,x,y}
Karena urotan penulisan elemen dalam himpunan tidak berpengaruh, kita dapat menuliskan himpunan di atas, sebagai S
= {x,b,a,y,c }, clan beberapa
lagi yang lain.
Simbol a E S, digunakan untuk menyatakan bahwa elemen a ada1ahanggota himpunan S.
Definlsl 1.2 Suatu himpunan
bagian
atau subset S', dari suatu himpunan S ada1ahsuatu
kumpulan dari beberapa elemen S. Kita tulis S' C S. Sebaliknya S disebut super set dari S', ditulis S ] S'. Jika S memiliki paling sedikit satu elemen yang bukan dalam S', maka S' disebut suatu subset sejati dari S.
2
Himpunan bampa atau bimpunan nol. ditulis ~. tidale memiliki elemen di dalamnya, dan ia mempakan subset dari setiap bimpunan. Tiga pengkombinasian dari bimpunan. yang paling umum ada1ahGabungan (union) U. Irisan(intersection)(J, dan selisih(difference)\,yang didefinisikansebagai berikut
Definisi 1.3 Gabungan S) U S2
= S3'
suatu himpunan mengandung semua elemen darl S}dan S2'
Irisan S) _ S2 = S4' suatu himpunan mengandung hanya elemen yang sekaligus dalam S) dan dalam S2 Selisih S} \ S2
=S3' suatu bimpunan
mengandung semua elemen dari S}yang bukan
elemen S2. Selain itu masih terdapat pula Selisih Simetri. atau ring Sum.
Selisih Simetri S) (+) S2
= (S) U S2) \ (S) _82) = (S) \ S2) U (S2 \ S) ~ S3'
suatu himpunan mengandung semua elemen dari S) dan S2' tetapi tidak termasuk elemen persekutuan (elemen irisan S3 dan S2)
3
-------.-.---
DERNISI OPERASI Sebelumkitamembahas beberapajenis khusus SistemAljOOar,sepertiSemigrup, Grop, Ring, clan.sebagainya, secara rinci pada beberapa boo berikumya nanti, alangk3b baiknya bila kita lihat terlebih dahulu secara umum, keseluruhan dari Sistem Aljabar kita. Kita memulainya dari operasi. Mula-mula kita perkenalkansecara sederhana,suatu aturan mengkomninasikan setiap dua elemen suatu himpunan, yang disebut operasi binar (juga disebut komposisi binar, hukum komposisi, atau hukum komposisi internal). Penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian adalah beberapa dari operasi binar yang telah kita kenal antara dua elemen dalam suatu himpunan bilangan. Untuk operasi binar secara umum, kita akan menggunakan simbol
*.
Sekarang kita defmisikan operasi, secara lebih formal.
Definisi 1.4 Suatu operasi binar pada suatu himpunan tak hampa S, adalah suatu fungsi * dari S x S ke dalam S. Dalam hal ini, kita tuliskan a*b, atau secara sederhana ab. Kadang-kadang dib.dispula sebagai *(a,b). Jika S adalah himpunan hingga, maka operasi dapat diberikan dalam bentuk tabel operasi. Di sini eIemen tabel baris a kolom b-menunjukkan a*b.
Definisi 1.5 Jika A adalah suatu himpunan bagian atau subset dari S, maka A dikatakan tertutup di bawah operasi *, jika a*b termasuk A untuk sembarang elemen a dan b pada A.
Definisi 1.6 Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S,. berlaku (a*b)*c = a*(b*c)
4
CONTOH OPERASI Contoh 1.1
MisalkanA = {0.1}. Apakah A tertutup di bawah: (a) perkalian? (b) penjumlahan? (a) Tentukan masing-masing produk yang mungkin: 0*0 = 0
=0 1*0 = 0 1*1 = 1
0*1
Masing-masing hasil kali tennasuk A; karenanya A adalah tertutup di bawah perkalian. (b) Tidak. karena 1+1 = 2 tidak tennasuk A.
Contoh 1.2 MisalkanB = {1.2}. Apakah B tertutup di bawah: (a) perkalian? (b) penjumlahim? (a) Tidak. karena 2*2 = 4 tidak tennasuk B (b) Tidak. karena 1+2 = 3 tidak tennasuk B
Contoh 1.3 Misalkan C
bawah :
= {1.3.5
}
= {n I n
adalah ganjil}. Apakah C tertutup di
(a) perkalian? (b) penjumlahan?
5
(a) Perkalian dari integ~rganjil adalah ganjil; karenanya C tertutup di bawah perkalian (b) Tidak, karena 3+5 8 tidak tennasuk C
=
Contoh 1.4 Misalkan D = {2,4,6,...}= {n I n adalah genap}. Apakah D tertutup di bawah : (a) perkalian? (b) penjumlahan? (a) Ya, karena perkalian dari integer genap adalah genap (b) Ya, karena penjumlahan dari integer genap adalah genap
Contoh 1.5 Misalkan F
= {2,4,8,...} = {x I x = 2°, n IN}. Apakah F tertutup di bawah:
(a) perkalian? (b) penjumlahan? (a)
Karena 2c.25
= 2C+5,F
(b) Tidak, karena 2 + 4
tertutup di bawah perkalian
= 6 tidak tennasuk F
Contoh 1.6 Perhatikan himpunan integer Z = {...,-I,O,I,2,...}. Tentukan apakah operasi berikut pada Z adalah asosiatif: (a) penjumlahan (b) pengurangan (c) perkalian (a) Ya, karena (a+b)+c = a+(b+c) untuk sembarang integer a, b, dan c. (b) Tidak. Sebagai contoh, (12-6)-2 = 4 tetapi 12-(6-2) 8. Di sini (12-6)-2
=
:I:
12-(6-2).
(c) Ya, karena (ab)c
6
=a(bc) untuk
sembarang integer a, b, dan c.
Contoh 1.7 Tentukan apakah operasi pada integer Z adalah asosiatit terhadap (a) pembagian (b) eksponensial (a) Pembagian bukanlah operasi lengkap pada Z, karena, sebagai contoh; 7/ 3 dan -415 tidak terdefinisi (sebagai elemen Z). Sungguhpun demikian, seandainya pembagian terdetinisi, ia tidak asosiatif. Sebagai contoh (12/ 6)12
= 612
= 3, tetapi 12/(612) = 12/3 = 4
(b) Tidak. Sebagai contoh, jika kita misa1kanaOb (202)03
=43 =64
20(203)
= 28 = 256
=ab, maka
tetapi
dan karenanya(202)03
* 20(203)
Contoh 1.8 Pandang bahwa operasi * pada himpunan S, tidak asosiatif. Akan terdapat 5 earn untuk menghasilkan a * b * c * d, yang dibentuk dari empat elemen. Ke1ima earn tersebut adalah
«ab)c)d a«bc )d)
(ab)(cd) a(b(cd»
(a(bc»d
Berikut ini teorema tentang operasi asosiatif.
Teorema 1.1 Pandang * adalahoperasiyang bersifatasosiatifpada himpunanS, maka berlaku bahwa sembarang hasil kali
tidak membutuhkan tanda kurung. 7
Bukt; Pernbuktiandilakukanmelaluiinduksidari n. Karena * asosiatif,teorema terpenuhi untuk n
= 1, 2, dan
3.
Pandang n >= 4. Kita gunakan notasi:
[al3:z"'~]
= sernbarang
hasil kali
Kita tunjukkan
dan karenanya hasil kali seperti itu adalah sarna. Karena [al3:z"'~] menyatakan beberapa hasil kali, terdapat r < n sedemikian sehingga
Karenanya, oleh indukasi [al~".~]
= [a1~"'3r] [3r+l"'~] = [a1~"'3r] (3r+l'''~) = [a1"'3r] «3r+l'''~-l)~) = ([a1"'3r] «3r-l"'~-l))~
= [a1"'~_l]~ =(a1"'~_1)~
=(a1~...~) Jadi teorerna terbukti.. Berikut ini kita definis1kanelernen identitas dan invers.
8
Definisi 1.7 Elemen e pada S disebut elemen identitas untuk *, jika berlaku a*e
= e*a = a
untuk setiap elemen a pada S. Secara lebih umum, e disebut identitas kanan, jika a*e = a untuk setiap a pada S, dan disebut identitas kiri, jika e*a = a, untuk setiap a pada .S. Pandang e adalah suatu identitas kiri dan f adalah suatu identitas kanan untuk
suaru operasi. Akan kita buktikan bahwa e
= f.
=
Buktinya sangat sederhana. Karena e adalah suatu identitas kiri, ef f; tetapi karema f adalah identitas kanan, ef =e. Karenanya e = f. Hasil ini juga mengatakan bahwa suatu elemen identitas adalah tunggal atau unik, dan bahwa jika suatu operasi merniliki lebih dari satu identitas kiri, maka ia tidak mempunyai identitas kanan, dan sebaliknya.
Definisi 1.8 Pandang bahwa suatu operasi * pada himpunan S memiliki elemen identitas e. lnvers dari suatu elemen a, biasanya dinyatakan dengan a-I, adalah suatu elemen yang bersifat bahwa
SISTEM ALJABAR SECARA UMUM Definisi 1.9 Suatu himpunan berikut dengan operasi yang didetinisikan padanya, disebut suatu Sistem Aljabar atau singkatnya aljabar. Sekarang, katakanlah kita mempunyai suatu himpunan S = {a,b,c,...}, dan suatu operasibinar * (ditulis a*b) antar elemen S. Bergantung pada keadaan d~ operasi binar *, himpunan S dapat diklasifikasikanke dalam salah satudati beberapa 9
jenis khusus aljabar. MisaInya, jika * memenuhi aksioma 1 dan 2 berikut ini, himpunan SIdisebut suatu Semigrup: 1.
Tertutup Jika a dan b dalam S, maka a*b juga dalam S
2. Asosiatif Jika elemena, b, dan c dalamS, maka (a*b)*c
= a*(b*c)
Suatu Semigrup yang memenuhi aksioma 3, berikut ini, disebut suatu monoida.
3.
Elemen Indentitas Terdapat suatu elemene dalam S, yang tunggalatau unik, sedemikiansehingga untuk:sebarang elemen x dalam S, x*e ="e*x = x Suatu monoida yang memenuhi aksioma 4, di bawah ini, disebut suatu Grup.
4. Invers Untuk:setiap elemen x dalam S, terdapatsuatu unik elemen x' dalam S, sedemikiansehingga x*x'
= x'*x
=e
Elemen x' disebut invers dari x, terhadap operasi *. Suatu Semigrup yang memenuhi aksioma 5, berikut ini, disebut suatu Semigrup Abel at'\u Semigrup komutatif
5. Komutatif Jika a dan b dalamS, maka a*b = b*a
10
Tanpa ope,..1
Gambar 1-1 Sistem aljabar untuk satu operasi
Jika suatu SemigrupAbeljuga memi'oo suatu elemen identitas,maka ia disebut suatu monoida Abeli (atau suatu Semigrup Abel berelemen identitas). Himpunan S dengan suatu operasi * yang memenuhi semua lima aksioma di atas, disebut suatu Grup Abel (atau suatu Grup komutatit). Gambar 1-1 meringkas definisi dari Sistem Aljctbar,dan memperlihatkan hubungan di antara mereka. ADakpanah menunjuk kearah persyaratan yang lebih berat, pada himpunan S. Bilangan pada garis menunjukkan aksioma khusus yang mengubah satu' sistem aIajabar ke Sistem Aljabar lain. Sekarang pandang bahwa pada elemen dari suatu Grup Abel kita tambahkan lagi operasi binar e. Lima aksioma pada e dapat ditulis sebagai berikut (dapat dicatat bahwa mi semua adaIah aksioma yang sarna dengan yang laIu, namun ini diperuntukkan bagi operasi binar yang berbeda, yakni e):
6. Tertutup Jika a dan b daIamS, makaa e b juga daIamS. 7. Asosiatif Jika a, b, dan c daIamS, maka (a e b) e c = a e (b e c) 11
8.
Elemen Identitas (unitas) Terdapat suatu unik elernen i dalarn S, sedemikian sehingga untMksebarang elernen x dalarn S, berlaku
xE>i=iE>x=x Elernen i ini disebut elernen identitas (atau unitas atau satuan) terhadap operasi
9.
E>.
Invers Ubtuk sctiap elernen (kecualiuntuk elernen identitase dari aksiorna 3) x dalarn S, terdapat suatu unik elernen x-I dalarn S, sedernikian sehingga x E>x-I
= x-I
E>
x =i
Elernen x-I disebut invers dari x, terhadap operasi E>. 10. Komutatif Jika a dan b dalam S, rnaka
aE>b=bE>a Untuk mencari kaitan kedua operasi binar yang berbeda tersebut, kita perkenalkan aksiorna II. II. Distributif Operasi E>adalah distributif terhadap operasi *; yakni untuk setiap elernen a, b, dan c dalam S aE>~*~=aE>b*aE>~dan ~*0E>a=bE>a*cE>a Sarna seperti yang lalu, kornbinasi yang berbeda dari aksioma ini,sebagai tambahan kepada aksioma 1-5, akan memberikanjenis lain darisistem aljabar. Misalnya:
12
Ring, yakni suatu Grup Abel terhadap operasi * yang memenuhi aksioma 6, 7, dan II. Ring Berunitas, yakni suatu Ring yang memiliki suatu unitas atau elemen identitas i terhadap operasi kedua 8. Ring Komutatif, yakni suatu Ring yang memenuhi aksioma komutatif (10) terhadap 0. Ring Komutatif Berunitas, yakni duatu Ring Komutatif yang memiliki suatu elemen identitas (8) terhadap 8. Division Ring (atau Skew Field atau S-field), yakni suatu Ring Berunitas, yang juga memenuhi aksioma invers (9) terhadap 0. Lapangan atau Field (kerap kali disebut Field Komutatif), yakni suatu Division Ring yang memenuhi aksioma komutatif (10) terhadap 8. Jadi suatu field memenuhi semua sebekas aksioma, dan karenanya boleh dikatakan sebagai Sistem Aljabar terkuat yang kita bahas dari sini. Hubungan antara Sistem Aljabar ini diringkas dalam Gambar 1-2.
Gambar /-2 Sistem aljabar dengan dua operasi
13
CONTOH SISTEM ALJABAR Confoh 1.9 Kita bicarakan himpunan semua integer positif. SI = {1.2.3 }.HimpunanSI memenuhi aksio~ Tertutup dan asosiatif jika operasi binar * adalah operasi penjumlahan biasa +. Lebih lanjut ia juga memenuhiaksioma komutatif. Karenanya
S I di bawahpenjumlahanadalahsuatuSemigrupkomutatif.Dapatdicatatbahwa dalam SI tidak terdapat elemen identitas.
Confoh 1.10
Kitalihat lagihimpunanSI = {1.2.3 },kali ini di bawahoperasipembagian biasa +. Karena SI tidak mengandung pecahan.jelas SI tidak memenuhi aksioma Tertutup. dan karena itu bukan merupakan suatu Semigrup.
Confoh 1.11 Sekali lagi pandang himpunan SI. Di bawah operasi perkalian. SI adalah suatu Monoida Abel. karena ia memiliki suatu elemen identitas. 1. Himpunan SI' sungguhpun begitu bukanlah suatu Grup di bawah operasi perkalian. karena SI tidak mempunyai invers dari setiap elemennya (karena SI tidak memiliki pecahan).
Confoh 1.12 HimpunansemuaintegerS2 = { -3. -2. -1. O.1.2.3. ...}adalahsuatuGrup Abeldi bawahoperasipenjumlahan(karenanyaia adalahGrup Abel Aditif). Confoh 1.13 Dapat diselidiki bahwa himpunan yang berisi keempat akar dari 1. yakni solusi dari x4 = 1. yang adalah {l.-I.i.-i} (di sini i = ...J-l).adalah suatu Grup Abel di bawah operasi perkalian (karenanya, ia adalah Grup Abel Multiplikatif).
14
Contoh 1.14 5ebagaimana disebutkan pada contoh 1.12,himpunan semua integer 52 = { ..., -3, -2, -1, 0, 1,2,3, ... } adalah suatu Grup Abel di bawah +, operasi penjumlahan biasa. Lebih lanjut perkalian biasa antar elemen dari 52 juda memenuhi aksioma Tertutup, asosiatif, distributif, dan komutatif, dan terdapat suatu elemen identitas(unitas),1, dalam 52. Karena itu 52 adalah suatu Ring KomutatifBenmitas. Namun, karena 52 tidak mengandung pecahan, ia tidak memenuhi aksioma 9, dan karenanya 52 bukan merupakan field.
Contoh 1.15 Himpunan semua bilangan rational memenuhi aksioma 9, sebagai tambahan terhadap kesepuluh aksioma yang dipenuhi oleh 52. Karenanya, himpunan semua bilangan rational adalah suatu field di bawah operasi penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua bilangan real juga meropakan suatu field di bawah operasi penjumlahan dan perkalian. 5emua bilangan kompleksjuga merupakan suatu field di bawah penjumlahan dan oerkalian.
SEMIGRUP Definisi 1.10 5uatu himpunan 5 bersama dengan suatu operasi yang asosiatif * disebut Semigrup. Kita menyatakan 5emigrup dengan (5,*), atau secara sederhana 5, apabila operasi telah dipahami.
Definisi 1.11 5uatu himpunan M bersama dengan suatu operasi yang asosiatif * dengan elemen identitas e disebut monoida. Dengan perkataan lain, 5emigrup dengan elemm identitas adalah monoida. (BeberapaPenulis mendefinisikan5emigrup sebagaimengandungelemen identitas.) Misalkan 5 adalah 5emigrup dengan elemm identitas e, dan pandang b dan b' adalah invers dari suatu elemen a pada 5. Kita akan menunjukkan bahwab = 15
b', yakni bahwa mvers,jika ada, adalah tunggal atau unique. Dapat dicatat bahwa hasil ini tidak selalu benar jika operasi tidak asosiatif. Diperoleh b*(a*b~)
= b*e = b
dan (b*a)*b'
= e*b'
= b'
Karena S asosiatif, (b*a)*b' = b*(a*b'); karenanya b = b' Sekarang kita detinisikan hukum penghapusan kiri dan kanan (left dan right cancellation law) untuk operasi * pada himpunan S.
Def;n;s; 1.12 Operasi * pada S memenuhi hukum penghapusan kiri jika a*b = a*c, berakibat b = c, clan memenuhi hukum penghapusan kanan jika b*a = e*a, berakibat b = c.
Def;n;s; 1.13 Suatu operasi * pada himpunan S dikatakan komutatif (atau, memenuhi hukum komutatit) jika a*b = b*a untuk setiap a, b pada S.
CONTOH SEMIGRUP Contoh 1.16 Dibicarakan himpunan integer positif N, dan * adalah operasi Kelipatan Persekutuan Terkecil atau least common multiple (lem) pada N. (a) Tentukan 4*6, 3*5, 9*18, clan 1*6 (b) Apakah (N,*) Semigrup? Apakah ia komutatif? (c) Tentukan elemen identitas dari * (a) karena x*y adalah least common multiple dari x dan y, kita peroleh: 4*6
16
= 12, 3*5 = 15, 9*18 =
18, 1*6 = 6
(b) Bukti pada teori bilangan menyatakan bahwa (a*b)*e = a*(b*e), yakni bahwa operasi lcm asosiatif, dan bahwa a*b = b*a, yakni .bahwa operasi lcm komutatif. Karenanya (N,*) adalah Semigrup komutatif. (c) Integer 1 adalah elemen identitas, karena I em dari 1 dan sembarang integer positif a adalat. a, yakni 1*a = a*1 = a, untuk sembarang a E N. Selanjutnya karena lcm(a,b) = 1 ji,ka dan hanya jika a = 1 dan b = I, satusatunya bilangan yang mempunyai invers adalah I, dan ia adalah inversnya sendiri.
Contoh 1.17 Oibiearakan himpunan bilangan rasional Q, dan misalkan * adalah operasi pada Q yang didefinisikan sebagai a*b
= a+b-ab
(a) Hitung 3*4, 2*(-5), dan 7*1/2 (b) Apakah (Q,*) Semigrup? Apakah fa komutatif? (e) Tentukan elemen identitas untuk * (d) Elemen mana, jika ada, mempunyai invers, dan mana inversnya? (a) Menggunakan operasi yang diberikan, kita peroleh 3*4
= 3+4-3.4 = 3+4-12 = -5
2*(-5) = 2+(-5)-2.(-5) = 2-5+10 = 7 7*1/2 = 7+1/2-7(1/2) = 4 (b) Kita tentukan apakah * asosiatif: (a*b)*e
= (a+b-ab)*e
= (a+b-ab)+c-(a+b-ab)e = a+b-ab+c-ae-bc+abc = a+b+c-ab-ae-bc+abc a*(b*e) = a*(b+c-bc)
= a+(b+c-bc)
- a(b+c-bc) = a+b+c-bc-ab-ae+abc 17
Karenanya (Q, *) adalah Semigrup komutatif.
(c) Elemen e adalah elemen identitas jika a*e = a, untuk setiap a E Q. Kita kerjakan demikian: a*e
=a
a+e-ae = a e-ea = 0 e(1-a)
=0
e
=0
Karenanya, 0 adalah elemen identitas. (d) Agar a mempunyai invers x, haruslah n*x identitas mennrut (c).
= 0, karena
0 adalah clemen
Kita Hitung sebagai berikut a*x
=0
a+x-ax
=0
a a x
=.ax-x = x(a-l) = a/(a-l)
Karenanya jika a 1:- I, maka a mempunyai
im.'r\
dan 1.1d(\;U,1I1a/(a-li
Contoh 1.18 Misalkan S sembaranghimpunan tidak hampa dengan operasi a*b =a. Apakah operasi ini (a) asosiatif? (b) komutatif? (c) Tunjukkan bahwa hukum penghapusan kanan berlaku. Apakah hukum penghapusan kiri berlaku?
18
(a) Va. Kenyauwnny~ (a*b)*c
= a*c = ~
a*(b*c)
= a*b = a.
dan
(b) Jika S mempooyai lebih dari satu elemen, maka * tidak komutatif, Di sini, ootuk a * b, kita peroleh a*b =~ tetapi b*a b, dan karenanya a*b * b*a
=
=
=
(c) Pandang a*c = b*c. Kita perolah a*c a dan b*c b. Berartia = b. Karenanya hukum penghapusan kanan berlaku. Hukum penghapusan kiri tidak berlaku. Sebagai contoh pandang b * c. Maka a*b = a*c = ~ tetapi b * c.
SEMIGRUP BEBAS Pandang S adalah himpooan simbol. Sekarang kita definisikan Semigrup bebas pada S.
Definisi 1.14 Suatu untai pada S adalah suatu barisan hingga elemen S. Sebagai contoh, U
= ababb
dan V
=accba adalah
ootai pada S
= {~b,c}.
Dalam pembicaraan tentang ootai pada S, kita kerap kali menyebut S alphabet, dan elemennya huruf. Untuk memudahkan pembahasan,barisan hamp~ dinyatakan dengan f\ atau 1, adalah juga untai pada S. Kita juga akan menyingkat notasi, dengan menulis a2 ootuk ~ a3 ootuk ~ dan seterusnya. Himpunan dari semua untai pada S, biasanya dinyatakan dengan S*, Sekarang pandang 2 ootai U dan V pada S. Kita dapat membentuk ootai UV yang didapatkan dengan menulis huruf-huruf dari V sesudah hUruf-hurufdari U. Sebagai contoh, jika U dan V adalah ootai di atas, maka
19
Operasi ini disebut operasi sambung atau concatenation. Jelas operasi ini adalah asosiatif. Karenanya himpunan untai pada S adalah suatu Sernigrup di bawah opera,si sambung.
Definisi 1.15 Sernigrup S* yang -terdiridari semua untai dalam S disebut Sernigrup bebas pada S, atau Sernigrup yang direntang oleh S. Jelas untai hampa 1\adalah elemen identitasuntuk Sernigrupini, dan Semigrup memenuhi kedua hukum penghapusan kiri dan kanan.
20
