Sifat-sifat Super Matriks dan Super Ruang Vektor

Sifat-sifat Super Matriks dan Super Ruang Vektor Caturiyati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY [email protected] Abstrak Suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan bilangan disebut dengan matriks sederhana atau lebih dikenal dengan matriks. Sedangkan supermatriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya bisa berupa skalar atau matriks. Pada aljabar linear, supermatriks disebut juga dengan matriks blok. Beberapa sifat yang ada pada matriks, muncul sebagai sifat pada supermatriks, seperti super matriks simetris dan super matriks transpos. Suatu abelian super grup atas suatu lapangan F yang memenuhi syarat-syarat super ruang vektor disebut super ruang vektor atas lapangan F. Elemen pada super ruang vektor disebut supervektor. Kata kunci : super matriks, super ruang vektor, super vektor

I.

Pendahuluan Sebuah matriks adalah suatu kumpulan bilangan dalam susunan array persegi. Contoh-

contoh matriks:

2 3 1 2 3 1 4   , B 4 5 6  , A  3 1 0  1  2, A    5 0 7  8  7  8 11 Matriks-matriks tersebut disebut dengan matriks sederhana. Dari definisi tersebut, maka matriks sederhana dapat didefinisikan sebagai suatu matriks yang setiap elemen-elemennya adalah bilangan atau huruf yang bertindak sebagai bilangan. Dengan kata lain, elemenelemen dari suatu matriks sederhana adalah skalar-skalar atau besaran skalar. Suatu matriks dengan banyaknya kolom adalah 1, sering disebut dengan vektor. Secara geometri di

dan

, vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Dalam

aljabar, elemen dari suatu himpunan tak kosong yang memenuhi syarat-syarat struktur ruang vektor disebut vektor.

II. Pembahasan Supermatriks didefinisikan sebagai suatu matriks dengan elemen-elemennya berupa skalar-skalar atau matriks-matriks. (Kandasamy and Smarandache, 2008) Sebagai ilustrasi supermatriks, diandaikan ada 4 matriks

 3  1  4 12 2  4   0 40      , a12   , a21  5 7  , dan a22   17 6  . a11      0 1  21  12  2 9   3 11 dengan asumsi a ij , 1  i, j  2 , menotasikan matriks, bukan skalar elemen suatu matriks. Jika ke-empat matriks disusun dalam matriks berikut:

a11 a a21

a12  ; a22 

Secara lengkap ditulis sebagai

40   2 4 0 0 1 21  12   4 12  . a   3 1 5 7  17 6     2 9 3 11  Maka a disebut supermatriks berukuran

. Pada aljabar linear, supermatriks disebut

dengan matriks blok.

Cara membentuk supermatriks: (Yost, 1991) a. Partisi simetri Partisi simetri merupakan suatu cara mempartisi suatu matriks sederhana baris dan kolomnya dengan cara yang sama. Aturan partisi simetri suatu matriks sederhana simetri adalah: (1) Submatriks-submatriks penyusun elemen diagonal super matriks adalah matriksmatriks simetri. (2) Elemen-elemen di bawah dan di atas elemen diagonal saling transpos.

Contoh:

2 5 as   0 5 

3 4 1 6 9 2  . Matriks a s dipartisi antara kolom 1 dan 2 serta kolom 3 dan 4, 6 1 9 1 1 5

baris 1 dan 2 sera baris 3 dan 4.

4 3 a 2 7 

3 2 7 6 1 4  , matriks partisi simetris tersebut merupakan suatu super matriks 1 5 2 4 2 7   4 3 2 7  5 2 2 1  , , , dan a  a  a  22 2 7 , sehingga 6 12 1 4  21 7 4   

dengan a11   3

a11 a21

supermatriks a  

a12  . a dan a22 adalah matriks-matriks simetri dan a22  11

merupakan elemen-elemen diagonal supermatriks a . a12 adalah matriks transpos dari

a21 , dan a12 dan a21 merupakan elemen-elemen non diagonal supermatriks a . b. Supermatriks orde empat yang diperoleh melalui partisi simetri matriks sederhana simetri didefinisikan sebagai berikut:

 a11 aT 12 a T a13 a T  14

a12

a13

a22 T a23

a23 a33

T a24

T a34

a14  a24   a34  a 44 

dengan (i)

T a11 = a11 .

(ii)

a Tij ( i  j ); a Tij = a ji dan a Tji = a ij , i, j  1,2,3,4 . (Varadarajan, 2004)

c. Secara umum, supermatriks hasil dari partisi simetri matriks sederhana simetri didefinisikan sebagai berikut:

a11 a T 12 a  a T  1n

a12  a1n  a22  a2n  .     a2Tn  a nn 

d. Partisi simetri matriks diagonal sederhana dinotasikan sebagai berikut:

 D1 0T D   T 0

   . Selanjutnya D disebut super diagonal matriks.    Dn 

0  D2    0T

0 0 

Contoh: Diberikan matriks D sebagai berikut:

3 5  D1  0 0  0

m1 D1   0

1 2 6 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0  2 5, 1 3   9 10  0

atau

dalam

notasi

super

diagonal

matriks

0 . m2 

Matriks identitas super dinyatakan sebagai [ dengan

dan

]

menotasikan banyaknya baris dan kolom matriks identitas pertama,

kedua dan ketiga, nol menotasikan matriks nol.

e. Transpos super matriks

a11 a 21 Diberikan suatu supermatriks berorde n x m, a    a  n1

a12  a1m  a22  a2m   . Transpos     a n2  a nm 

dari supermatriks a dinotasikan dengan aT adalah supermatriks berorde m x n dengan definisi sebagai berikut: T  a11  T a T a   12    T a1m

T a21 T a22  a2Tm

 aTn1    aTn2  .      aTnm 

Contoh: Diberikan supermatriks sebagai berikut:

2 0  1  a  2 5  2 1

1 3 5 6 2 0 1 1  1 1 0 2 2 0 1 1  = 6 1 0 1  0 0 0 4 0 1 1 5 

a11  a21 a31

a12  2 1 3  5 6      a22  , dengan a11  0 2 0 , a12  1 1 , 1 1 1  0 2 a32 

2 1 3  2 1 3  2 1 3  2 2 0       , a11  0 2 0 , a11  0 2 0 , dan a11  0 2 0 . a21          5 6 1  1 1 1  1 1 1  1 1 1 

matriks segitiga atas parsial dipartisi menjadi supermatriks, dengan

T  a ' dengan  

submatriks segitiga bawah.

Supervektor Suatu vektor sederhana adalah suatu vektor dengan setiap elemennya adalah skalar disebut supervektor kolom tipe I yaitu

 v1  v   2     vn  dengan setiap

adalah subvektor kolom dari vektor kolom .

Definisi 1. (Kandasamy and Smarandache, 2008) Misalkan

 a11 a12 a  21 a22    an1 an 2

 a1m   a2 m      anm 

dengan ,

-

,

-

,

yaitu

 a11   1  a2  didefinisikan sebagai supervektor kolom tipe II. Secara sama jika   1 an  m  a11  a   21        an1 

Sehingga

-

a

1

a2  am



n

 a12  a   22        an 2 

 a1m  a   2m        anm 

didefinisikan sebagai supervektor baris tipe II. Jelaslah

 a11   1  a2    1 an  m

a

1

a2  am



n

merupakan kesamaan supermatriks.

Berikut ini diberikan contoh supervektor tipe III, 3 2 1 7 8  0 2 1 6 9    0 0 5 1 2

T

T

dan

2 9  8  5 4 adalah supervektor tipe III.

Diberikan supermatriks

0 0 4 0 3 6  2 9 7 3

T  bT   

aT



 a11 a12  a1m  a   21 a22  a2 m         an1 an 2  anm  Transpos Supermatriks Transpos supermatriks

adalah T  a11  T  a12    T a1m

adalah supermatriks

T a21  anT1   T a22  anT2     T  a2Tm  anm 

diperoleh dengan mengambil transpos dari setiap elemen yaitu

submatriks dari . Selanjutnya diberikan matriks sederhana simetri dipartisi secara simetri, akan ditentukan transposnya. Diberikan

matriks supermatriks simetri

transpos dari supermatriks

Matriks diagonal

 a11 a  21    a1m

a12  am1  a22  am 2      a2 m  amm 

 aT  11 T  a12    T a1m

a 

adalah T T 12 T 22

a  a2Tm

a   a   T T 1m T T 2m

 

 T amm



  

adalah matriks simetri sehingga tidak berubah karena transposisi.

Sehingga diperoleh

Karena transpos dari transpos matriks orisinal,yaitu (

)

(

)

(

)

Sehingga diperoleh transpos supermatriks dibangun oleh matriks sederhana dipartisi secara simetri

dari

adalah

 a11  aT  21    T a1m dan

a12  a1m  a22  a2 m     T T  a2 m  amm 

. Secara sama transpos dari matriks diagonal dipartisi secara simetri adalah supermatriks

diagonal orisinal itu sendiri, yaitu jika

d1    d2        dn   dan

d1T     

d 2T

      d nT 

dan seterusnya. Sehingga

.

Super Ruang Vektor dan Sifat-sifatnya Diberikan

field secara umum.

bilangan bulat modulo

,

field bilangan real,

field rasional dan

prima. Field-field tersebut real, kecuali

field

field bilangan

kompleks. (Deligne and Morgan, 1999)

x1

Sebagai ilustrasi diberikan field, dan

z2

dan

z3

x3

. Misalkan

.

z1

x2

z4

z5

supervektor

z6  ,

mempunyai tipe yang sama dengan

, dan

x4

 y1

x5

x6  supervektor baris dengan

y2

y3

bertipe

y4

y5

sama. .

y6  dengan Selanjutnya,

, jika

supervektor, namun tidak

dan . Lebih lanjut, supervektor bertipe sama

atas field yang sama dikatakan sama jika dan hanya jika

untuk

dan .

Supervektor bertipe sama dapat dijumlahkan yang hasilnya supervektor bertipe sama. Hasil tentang supervektor yang penting diuraikan pada teorema berikut:

Teorema 1. (Kandasamy and Smarandache, 2008) Koleksi semua supervektor

x1

{

x2 ... xr

xi 1 ... xt 1 xt  2 ... xn  |

xr 1 ... xi

},

.*

field,

+ pada tipe ini

suatu grup abelian terhadap penjumlahan per komponennya. Bukti: Diberikan

x1

x2 ... xr

xr 1 ... xi

xt  2 ... xn 

xi 1 ... xt 1

dan

 y1

y2 ... yr

x1  y1

yr 1 ... yi

yi 1 ... yt 1

x2  y2 ... xr  yr xt 1  yt 1

yt  2 ... yn 

xr 1  yr 1 ... xi  yi

xi 1  yi 1 ...

xt  2  yt  2 ... xn  yn 

merupakan super vektor bertipe sama dengan

dan

dan berada di

sebagai

. Jelaslah 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0

untuk

.

Selanjutnya jika

x1

x2 ... xr

xr 1 ... xi

xi 1 ... xt 1

xt  2 ... xn 

maka

 x1

 x2 ...  xr

 xr 1 ...  xi

 xi 1 ...  xt 1  xt  2 ...  xn 

dengan ( juga

)

(

0

)

0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0

.

Sehingga

grup abelian atas penjumlahan.

Contoh: Diberikan Jelaslah

field bilangan rasional. Diberikan

*(

|

)|

+.

grup abelian atas penjumlahan per komponen super vektor . Ambil sebarang dua

supervektor, katakan

3

3

2 1  5 3 dan

4 5  4 1 dan

0

2 4 1  2 di .

. 0 0 0 0 0 merupakan suatu supervektor

baris nol yang juga disebut sebagai super identitas atau supervektor baris nol. Selanjutnya jika

5

7  3 0  1 maka –

 5

 7 3 0 1 invers dari

dan

(

)

0

0 0 0 0 . Sehingga

grup abelian atas penjumlahan per komponen dari

super vektor.

3

Jika

1 1 4 5 6 2 suatu supervektor. Jelaslah

, karena

mempunyai

tipe berbeda dengan .

Definisi 2. (Kandasamy and Smarandache, 2008) Diberikan

super grup abelian yaitu suatu grup terpartisi abelian atas penjumlahan,

disebut super ruang vektor atas (i) Untuk semua

jika dipenuhi syarat-syarat berikut ini:

dan

dan

di . Selanjutnya

(ii) Untuk semua

dan untuk semua

(iii) (

.

)

(iv) Untuk

maka (

dan

(v) Untuk setiap

dan (

.

maka (

)

)

dan

,

) untuk

field.

.

(

)

.

.

(vi) (

)

Elemen

disebut super vektor dan elemen

dan

. disebut skalar.

Contoh: { x1

Diberikan penjumlahan.



x2

x3

field rasional,



10

2 5 1 3

x4  |

}. super vektor atas

2 50 10 30



super

grup

abelian

. Untuk jika

atas

dan

.

Definisi 3. (Kandasamy and Smarandache, 2008) Diberikan

super ruang vektor atas field . Suatu super vektor

linear supervektor-supervektor ∑

di

di

dengan skalar

dikatakan kombinasi di

sehingga

.

Contoh: Diberikan Misalkan

{ a1 a2 a3 a4 a5 a6  |

7

5 0 2 8 9

}. super

vektor

super ruang vektor atas di

.

.

Diberikan

1

1 2 0 1  1

5

 3 1 2 5 5 dan

supervektor di . Dapat ditemukan

di

sehingga

0

7 3 1 2 8 .

Kesimpulan 1. Suatu supermatriks merupakan suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan matriks-matriks sederhana. 2. Suatu supervektor dapat didefinisikan sebagai supermatriks dengan kolomnya 1. Namun dapat juga didefinisikan sebagai elemen suatu super ruang vektor. Dengan definisi super ruang vektor merupakan himpunan tak kosong yang memenuhi syarat-syarat ruang vektor atas penjumlahan perkomponen dan perkalian dengan skalar. 3. Transpos dari transpos supermatriks simetri adalah supermatriks orisinalnya. 4. Suatu supervektor dikatakan merupakan kombinasi linear supervektor-supervektor dari super ruang vektor jika dapat ditemukan skalar di fieldnya sehingga memenuhi persamaan ∑

.

Daftar Pustaka Deligne, P. and Morgan, J.W.1999. Notes on supersymmetry following Bernstein. Quantum fields and strings; a course for mathematicians, Vol. 1, Amer. Math. Soc. Kandasamy, W.B.V. and Smarandache, F. 2008. Super Linear Algebra. InfoLearnQuest Ann Arbor. Varadarajan, V.S. 2004. Supersymmetry for mathematicians: an introduction. Courant Lecture Notes. Courant Lecture Notes Series, New York. Yost, S.A. 1991. Supermatrix Models. International Journal of Modern Physics A, Vol. 7, No. 24 (1992).