ESTIMASI TITIK
• Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. • Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel. • Statistik merupakan bentuk dari estimasi titik. • Metode untuk menemukan estimasi titik/estimator dari suatu parameter adalah 1. Metode Likelihood Maksimum (MLE) 2. Metode Momen (MME) 3. Metode Kuadrat Terkecil
A. METODE MENCARI ESTIMATOR
1. Metode Likelihood Maksimum • Definisi: Jika x1 , x2 ,..., xn adalah sampel random dari populasi dengan parameter , maka fungsi Likelihood didefinisikan
L f x1 , x 2 ,..., x n f x1 f x 2 ... f x n n
f xi i 1
dengan sebagai parameter
• Cara mencari estimator a. Tentukan fungsi Likelihood L(θ), dengan θ sebagai parameter. Karena fungsi Likelihood sangat kompleks, maka untuk mempermudah dilakukan transformasi ke bentuk logaritma natural. dL b. Mencari nilai maksimum 0 d
d ln L ln L 0 d
Contoh: 1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE. 2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θ dengan MLE. 3. Jika x1 , x 2 ,..., x n adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
4. Jika x1 , x2 , x3 ,..., xn adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MLE. 5. Jika X adalah variabel random berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE.
Contoh: 1. X adalah variabel random berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Carilah estimator untuk p dengan MLE. 2. Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, maka carilah estimator untuk θ ! 3. Jika X variabel random berdistribusi normal dengan parameter μ dan σ2 carilah estimator untuk μ dan σ2 .
3. Jika x1, x2 , x3 ,..., xn adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ ! 4. Jika x1 , x2 ,..., xn adalah variabel random yang independen masing-masing berdistribusi binomial dengan parameter p. Carilah estimator untuk p ! 5. Jika x1 , x2 ,..., xn adalah variabel random yang independen dan mempunyaai fungsi densitas f xi p1 p i
x 1
carilah estimator untuk p dengan MLE.
2. Metode Momen • Definisi: Mean sampel ke k dari suatu observasi x1 , x2 ,..., xn adalah mean dari pangkat ke k yang disajikan dengan mk' , dimana n
mk'
k x i i 1
n
xk
Pada dasarnya metode momen tert umpu pada penyelesaian dari mk' k'
dimana k' E X k , k 1,2,..., p (k banyaknya parameter)
Sehingga untuk k 1 m1' E X 1 E X x EX
E X
k 2 m2' E X 2 x2 dan seterusnya.
2
• Catatan: karena tidak semua distribusi mempunyai momen, maka metode ini belum tentu dapat digunakan untuk semua distribusi.
Soal: 1. Jika x1 , x2 ,..., xn variabel random yang independen berdistribusi eksponensial dengan parameter θ. Carilah estimator untuk θ dengan MME.
Soal: Jika x1 , x2 ,..., xn sampel random dengan fungsi densitas 2 x f x , untuk 0 x 2 carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika x1 , x2 ,..., xn sampel random dengan fungsi densitas 1 f x x , untuk 0 x 1 carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika x1 , x2 ,..., xn sampel random dengan fungsi densitas f x 1 x , untuk 0 x 1 carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika x1 , x2 ,..., xn sampel random dengan fungsi densitas 1 1 f x x , untuk 0 x 1
carilah estimator untuk θ dengan MME!
Soal: Jika x1 , x2 ,..., xn sampel random yang independen dengan distribusi yang mempunyai fungsi densitas f xi
1
xi e
xi
, untuk x 0
carilah estimator untuk β dengan MLE dan MME ! 2
B. SIFAT ESTIMATOR
1. Estimator Unbiased • Definisi: Suatu estimator ˆ dikatakan estimator unbiased atau estimator tak bias dari jika E ˆ
• Diketahui x adalah estimator dari μ. Buktikan bahwa x merupakan estimator unbiased dari μ !
Contoh: Jika x1 , x2 ,..., xn adalah variabel random yang independen dan xi Eksp( ) , dengan i 1,2,..., n Selidiki apakah estimator θ unbiased !
2. Varian Minimum • Definisi: ˆ dikatakan estimator unbiased dengan varian minimum dari , apabila varian dari ˆ memenuhi ketidaksamaan Cramer - Rao, yaitu
Var ˆ
1 d ln f ( x) nE d
2
• Teorema
Jika ˆ estimator unbiased dari dan memenuhi
Var ˆ
1 d ln f ( x) nE d
2
maka ˆ merupakan UMVUE untuk . UMVUE = Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator. CRLB untuk
1 d ln f ( x) nE d
2
CRLB = Cramer Rao Lower Bound.
Contoh: Jika x1 , x2 ,...xn adalah variabel random yang independen dan xi Eksp( ) , dengan i 1,2,..., n a. Carilah CRLB untuk θ ! b. Apakah ˆ merupakan UMVUE untuk θ !
3. Estimator Konsisten • Definisi: ˆ suatu estimator dikatakan konsisten dari parameter jika : a. ˆ unbiased b. lim Var ˆ 0 n
Contoh: Dari contoh di atas, selidiki apakah ˆ merupakan estimator yang konsisten !
Diketahui x1 , x2 ,..., xn masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas f xi
a. b. c. d.
1
2
x
xi e
i
untuk xi 0
Carilah estimator untuk α dengan MME. Selidiki apakah ˆ unbiased. Apakah ˆ merupakan UMVUE untuk ? Apakah ˆ merupakan estimstor konsisten?
Diketahui x1 , x2 ,..., xn masing-masing adalah sampel random yang independen dengan fungsi densitas f xi
a. b. c. d. e.
1 2
2
3
xi e
x
i
untuk 0 xi
Carilah estimator untuk α dengan MLE. Carilah estimator untuk α dengan MME. Selidiki apakah ˆ unbiased. Apakah ˆ merupakan UMVUE untuk α? Apakah ˆ merupakan estimstor konsisten?
