Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya

BAB I A.

SISTEM BILANGAN REAL

Sistem bilangan real dan berbagai sifatnya merupakan basis dari kalkulus. Sistem bilangan real terdiri dari himpunan unsur yang dinamakan Bilangan Real yang sering dinyatakan dengan . untuk melihat system bilangan real perlu dilihat kembali system bilangan yang paling sederhana yaitu bilangan asli (ℕ) yaitu : 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . Dengan menambahkan bilangan negatif dan bilangan nol pada bilangan asli akan diperoleh dialambangakan , (bahasa Jerman Zahlen) yang menyatakan himpunan bilangan bulat :

bilangan bulat

. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . Bilangan real dapat merupakan bilangan positif, bilangan negatif atau nol. Selanjutnya bilangan real dikelompokan sebagai bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, yang dapat di bentuk sebagai 𝑝/𝑞, dimana p dan q adalah bilangan bulat dan 𝑞 ≠ 0, contohnya 1 2

3

−3

− =( 7

7

=

3

)

17 =

−7

17

0,24 =

1

24

100

Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya 𝜋

√3

1

= 0,500. . = 0.50�

3

√5

√2

𝑠𝑖𝑛 1

log10 2

Untuk mengidentifikasi bilangan rasional dan bilangan irasional tidak hanya dengan perbandingan dua bilangan bulat, tetapi bias juga dengan bilangan desimal, karena semua bilangan dapat dinyatakan ke dalam bentuk desimal. Apabila pada bilangan yang mempunyai desiamal berulang maka bilangan tersebut adalah bilangan rasional, seperti : 2 2 3

= 0,666. . = 0, 6�

17 24

3 − = −0,428571428571428571. . = −0, ���������� 428571 7

= 0,708333. . = 0.7083�

157 495

���� = 0,3171717. . = 0,317

(Tanda bar menujukan barisan angka tersebut berulang selamanya.) Sebaliknya pada bilangan yang bentuk desiamalnya tidak berulang maka bilangan tersebut adalah bilangan irasional, untuk lebih jelas lihat contoh berikut. 𝜋 = 3,4145926535897 …

√3 = 1,7320508075 …

Untuk menulis bilangan desimal sering digunakan lambang 𝜋 ≈ 3,41459265.

log10 2 = 0,3010299956 …

berati “kurang lebih sama dengan”,

misalnya

semakin banyak tempat desimal yang yang dituliskan, akan semakin baik hampiran yang

didapatkan.

Bilangan real dapat dinyatakan dengan titik pada sebuah garis seperti pada gambar 1. Arah positif ke kanan, 0 dipilih sebagai titik acuan (titik asal) yang berada di tengah-tengah dan ki kiri merupakan arah negatif. Dengan sembarang satuan pengukuran yang memudahkan setiap bilangan positif 𝑥 dinyatakan dengan titik pada garis yang jaraknya 𝑥

unit ke kanan dari titik asal, dan setiap bilangan negatif – 𝑥 dinyatakan dengan titik 𝑥 unit ke kiri dari titik asal. Jadi setiap bilangan real dinyatakan dengan sebuah titik pada garis, dan setiap titik 𝑝 pada garis berkaitan dengan tepat sebuah bilangan real. Bilangan yang terkait dengan titik 𝑝 disebut koordianat 𝑝 dan garis tersebut kemudian disebut sebagai garis koordinat, atau garis bilangan real atau singkatnya garis real. Seringkali pada garis real untuk menendai titik menggunakan koordinatnya dan menghubungkan suatu bilangan sebagai suatu titik pada giris real.

Gambar 1. Garis bilangan real

B.

SELANG DAN KETIDAKSAMAAN

SELANG Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai garis bilangan real. Selang merupakan himpunan bilangan real tertentu, yang sering muncul dalam kalkulus dan secara geometri berkaitan dengan ruas garis. Secara umum selang terdiri dari selang terbuka dan selang tertutup. Misalnya, jika 𝑎 < 𝑏, selang terbuka dari 𝑎 ke 𝑏 berisi semua bilangan di antara 𝑎 dan 𝑏 yang dinyatakan dengan lambang (𝑎, 𝑏). Dengan menggunakan notasi himpunan ditulis (𝑎, 𝑏) = {𝑥| 𝑎 < 𝑥 < 𝑏},

yang secara geometri ditujukan pada gambar 2 di bawah ini.

Gambar 2. Selang terbuka

Gambar 3. Selang tertutup

Pada gambar 2, kedua titik ujung selang yaitu 𝑎 dan 𝑏 tidak termasuk anggota dari himpunan, ini ditandai dengan kurung biasa ( ) dan dengan bulatan kosong. Selang tertutup dari 𝑎 ke 𝑏 adalah himpunan [𝑎, 𝑏] = {𝑥| 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

Pada selang tertutup, kedua titik unjung selang termasuk anggota dari himpunan. Ini di tandai dengan dengan kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh, pada gambar 3. Dimungkinkan juga hanya terdapat satu titik yang termasuk dalam selang, sebagaimana diperlihatkan dalam tabel 1 berikut.

Notasi

Deskripsi Himpunan

(𝑎, 𝑏)

{𝑥| 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

[𝑎, 𝑏)

{𝑥| 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

[𝑎, 𝑏]

(𝑎, 𝑏]

(𝑎, ∞) [𝑎, ∞)

(−∞, 𝑏) (−∞, b]

{𝑥| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} {𝑥| 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} {𝑥| 𝑥 > 𝑎} {𝑥| 𝑥 ≥ 𝑎} {𝑥| 𝑥 < 𝑏} {𝑥| 𝑥 ≤ 𝑏}

Grafik (geometris)

(−∞, ∞)

ℝ himpunan bilangan real

semua

tabel 1. Tabel selang

Sebagai catatan, perhatikan pada selang menuju tak terhingga seperti (𝑎, ∞) = {𝑥| 𝑥 > 𝑎},

Ini tidak berarti bahwa (‘tak terhingga’) merupakan bilangan. Notasi (𝑎, ∞) berarti himpunan semua bilangn yang lebih besar daripada , sehingga lambang secara sederhana mengindikasikan bahwa selang membentang tak terhingga jauhnya dalam arah positif. KETIDAKSAMAAN Untuk menyelesaikan permasalahan ketidaksamaan perlu untuk memperhatikan aturan-aturan berikut 1. 2. 3. 4. 5.

𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐽𝑖𝑘𝑎

𝑎 < 𝑏, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 𝑎 < 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 < 𝑑, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 𝑎 < 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 > 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 𝑎 < 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐 < 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 0 < 𝑎 < 𝑏, 𝑚𝑎𝑘𝑎 1/𝑎 > 1/𝑏

Pada aturan 1, mejelaskan bahwa sembarang bilagan dapat ditmbahkan ke dua ruas ketidaksamaan, dan aturan 2 menjelaskan bahwa dua ketidaksamaan dapat dijumlahkan. Tetapi harus berhati-hati dengan perkalian. Pada aturan 3 menjelaskan kedua ruas ketidaksamaan dapat dikalikan dengan bilangan positif, tetapi pada aturan 4 menjelaskan bahwa apabila mengalikan kedua ruas ketidaksamaan dengan sebuah bilangan negatif, maka harus mengubah arah ketidaksamaan tersebut. Terakhir aturan 5 menjelaskan bahwa jika suatu bilangan diambil kebalikannya, maka arah ketidaksamaan akan berubah (asalkan kedua bilangan tersebut positif).

Contoh 1.

Untuk menjelaskan aturan 3 dan aturan 4, diambil ketidaksamaan 2 < 4,

dari aturan 3 diperoleh

: 6 < 12 (dikalikan dengan 3)

tetapi dengan aturan 4 diperoleh

: -6 > -12 (dikalikan dengan -3)

Contoh 2.

Selesaikan ketidaksamaan

1 + 𝑥 < 7𝑥 + 5

Penyelesaian: ketidaksamaan yang diberikan dipenuhi untuk sejumlah nilai 𝑥 tetapi tidak untuk yang lainnya. Menyelesaikan sebuah ketidaksamaan berarti menentukan himpunan bilangan 𝑥 yang membuat ketidaksamaan menjadi benar. Himpunan ini disebut himpunan penyelesaian. 1 + 𝑥 < 7𝑥 + 5

Langkah pertama kurangkan 1 dari kedua ruas ketidaksamaan (aturan 1) 𝑥 < 7𝑥 + 4

Lalu kurangkan 7x dari kedua ruas -6𝑥 < 4

Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan -6 (atau dikali dengan -1/6) 4

𝑥>− =− 6

2 3

2

Lagnkah-langkah ini dapat dibalik, sehingga himpunan penyelesaiannya berisi semua bilangan yang lebih besar daripada − . 3

2

2 Sehingga penyelasaian dari ketidaksamaan di atas adalah selang (− , ∞), dan dalam bentuk himpunan {𝑥| 𝑥 > − 3} atau 3

selangnya yang ditujukan pada gambar 4 di bawah ini

Gambar 4

Contoh 3:

Selesaikan ketidaksamaan

4 ≤ 3𝑥 − 2 < 13

Penyelesaian: Disini himpunan penyelesaian birisi semua semua nilai 𝑥 yang memenuhi kedua ketidaksamaan. Dengan menggunakan aturan ketaksamaan (2) maka 4 ≤ 3𝑥 − 2 < 13

6 ≤ 3𝑥 < 15

( tambahkan 2) ( bagi dengan 3).

2≤𝑥<5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah [2,5).

Selesaikan pertidaksamaan dari 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0

Contoh 4:

Penyelesaian. Langakah pertama ruas kiri difaktorkan,,menjadi (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 0

sehingga mempunyai akar 2 dan 3, bilangan 2 dan 3 membagi garis bilangan real menjadi (−∞, 2) (2, 3) (3, ∞)

tiga selang

pada masing-masing selang ditentukan tanda masing-masing factor. Misalnya, 𝑥 ∈ (−∞, 2) ⇒

𝑥<2

Untuk memudahkan perhitungan digunakan tabel berikut selang

x-2

x-3

(x-2)(x-3)

x>2 2<x<3 x>3

+ +

+

+ +

⇒

𝑥−2<0

Cara lain untuk memperoleh informarmasi dalam tabel adalah dengan menggunakan nilai uji. Sebagai contoh, jika kita gunakan nilai uji x = 1 untuk selang (−∞, 2), maka subtitusi ke dalam 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ≤ 0 memberikan 12 − 5(1) + 6 = 2

Pengujian juga dapat dilakukan untuk selang (2, 3) dan (3, ∞). Dari tabel (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) bernilai negative ketika 2 < x < 3. Jadi penyelesaian pertidaksamaan (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 0 adalah {𝑥 |2 ≤ 𝑥 ≤ 3} = [2, 3]

Perhatikan untuk titik unjung 2 dan 3 disertakan karena harus dicari semua nilai x yang hasil kali bernilai nol dan negative. Penyelesaian diilustrasikan pada gambar 5.

Gambar 5

Pertaksamaan Pecahan dapat diselesaikan dengan sifat : 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

≥ 0 → 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) ≥ 0

Tanda ≥ 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎 ≤, >, 𝑎𝑡𝑎𝑢 <.

Langkah-langkah penyelesaian :

a. Menentukan pembuat nol f(x) dan g(x) b. Menentukan nilai uji untk daerah (+/-) dengan garis bilangan c. Menentukan penyelesaian Catatan : Tidak berlaku perkalian silang, tetapi memenuhi : 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

≥𝑐 →

Contoh:

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

− 𝑐 ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) ≠ 0

1.

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

2.

Penyelesaian pertidaksamaan

𝑥 2 −5𝑥−4

Pertidaksamaan Bentuk Akar

𝑥+3

𝑥 2 −4𝑥+3

𝑥 2 −3𝑥−10

≤ 0 adalah

> 1 adalah

Langkah-langkah penyelesaian : a. b.

Mendkuadratkan kedua rumus pertidaksamaan dan menentukan penyelesaiannya Menggunakan syarat real

c.

Jika �𝑓(𝑥) ada maka 𝑓(𝑥) ≥ 0 Menggambungkan syarat (a) dan (b)

Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi √𝑥 2 − 𝑥 < √2 Penyelesaian:

syarat I :

√𝑥 2 − 𝑥 < √2 (dikuadratkan) 𝑥2 − 𝑥 < 2

Syarat II:

(dikurangi 2)

𝑥 2 − 𝑥 − 2 < 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) < 0 𝑥2 − 𝑥 ≥ 0

𝑥(𝑥 − 1) ≥ 0

untuk lebih jelas perhatikan gambar 6 di bawah ini

Gambar 6

Dengan menggunakan garis bilangan diperoleh daerah penyelesaiannya adalah −1 < 𝑥 ≤ 0 atau 1 ≤ 𝑥 < 2

C. NILAI MUTLAK

Nilai mutlak sebuah bilangan a, dinyatakan |a| , adalah jarak dari a ke 0 pada garis bilangan real. Jarak senantiasa positif atau , sehingga kita peroleh

Sebagai contoh,

untuk setiap bilangan 𝑎.

|𝑎 | 0

|3| = 3 , |−3| = 3, |0| = 0, |√2 1| = √2 – 1, |3 Secara umum, dipunyai

π| = 𝜋 3

|𝑎| = 𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 ≥ 0 |𝑎| = −𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 0

CONTOH 5. Nyatakan|3𝑥 − 2| tanpa menggunakan lambang nilai mutlak. PENYELESAIAN

|3𝑥 − 2| = �

3x − 2 jika 3x − 2 ≥ 0 −(3x − 2) jika 3x − 2 < 0

3x − 2 jika x ≥ 23 =� 2 − 3x jika x < 23

Ingat bahwa lambang berarti ”akar kuadrat positif dari”. Jadi,√𝑟 = 𝑠 berarti 𝑠 2 = 𝑟 dan 𝑠 ≥ 0. jadi,persamaan √𝑎2 = 𝑎 tidak selalu benar. Ia benar hanya bila 𝑎 ≥ 0. Jika 𝑎 < 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 − 𝑎 > 0, sehingga kita peroleh √𝑎2 = −𝑎. Menurut (3), maka kita mempunyai kesamaan √𝑎2 = |𝑎|

Yang benar untuk semua nilai 𝑎. Petunjuk untuk bukti sifat-sifat berikut dalam soal latihan.

Sifat-sifat Nilai Mutlak Misalkan 𝑎 dan 𝑏 bilangan real. Sebarang dan 𝑛 bilangan bulat, maka 1. |ab| = |a| |a|

2.

𝑎

| |= 𝑏

|𝑎| |𝑏|

(𝑏 ≠ 0)

3. |𝑎𝑛 | = |𝑎|𝑛

BAB II A.

RELASI

1. Pengertian Relasi Secara umum relasi berati hubungan. Tetapi dalam metematika, relasi memiliki pengertian yang lebih khusus. Untuk lebih memahami pengertian relasi perhatikan uraian berikut Misalakan Eva, Roni, Tian dan Dian diminta untuk menyebutkan warna kesukaannya masing-masing. Hasilnya adalah sebagai berikut: • Eva menyukai warna merah • Roni menyukai warna hitam • Tina menyukai warna merah • Dian menyukai warna biru Pada uraian tersebut, terdapat dua himpunan yaitu himpunan orang dan himpunan warna. Misalkan A = {Eva, Roni, Tia, Dian} dan B adalah himpunan warna sehingga B = {merah, hitam, biru}. Dengan demikian relasi himpunan A dan Himpunan B dapat digambarkan dengan diagram sperti pada gambar dibawah ini.

Gambar 2.1

Relasi himpunan A dab B pada gambar 2.1 adalah “menyukai warna”.

2. Menyatakan Relasi Terdapat tiga cara untuk menyatakan relasi antara dua himpunan, yaitu dengan menggunakan  diagram panah  himpunan pasangan berurtan, dan  diagram Cartesius.

a. Diagram panah Dinamakan relasi diagram panah karena ihubuangkan/dinyatakan dengan arah panah. contoh 1.2: Perhatikan diagram panah berikut.

Gambar 2.2 Tentukan hobi masing-masing anak.

Jawab :    

Hasan dipasangkan dengan membaca, berarti Hasan hobi membaca. Maria tidak dipasangkan dengan membaca, memasak, atau olahraga, jadi, hobi Maria bukanlah membaca, memasak, atau olahraga. Joni dipasangkan dengan membaca dan olahraga, berarti Joni hobi membaca dan berolahraga. Zahra dipasangkan dengan memasak, berarti hobinya Zahra adalah memasak.

b. Himpunan Pasangan Berurutan Dinamakan demikian karena menyatakan relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan B yang dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x ϵ A dan y ϵ B. Contoh 1.3: Pada gambar 1.1 relasi ‘menyukai warna’, dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dian} dan Himpunan B = {merah, hitam, biru}.  Pernyataan “Eva menyukai warna merah” ditulis (Eva, merah).  Pernyataan “Roni menyukai warna hitam” ditulis (Roni, hitam).  Pernyataan “Tia menyukai warna merah” ditulis (Tia, merah).  Pernyataan “Dian menyukai warna biru” ditulis (Dian, biru). Diperoleh pasangan berurutan : {(Eva, merah), (Roni, biru), (Tia, merah), (Dian, biru)}.

c. Diagram Cartesius Relasi yang dinyatakan ke dalam diagram Cartesius, dengan menempatkan suatu himpunan pada sumbu mendatar dan himpunan yang lain pada sumbu tegak, atau sebaliknya. Setiap anggota suatu himpunan yang berpasangan dengan anggota himpunan yang lain, diberi tanda (•). Contoh 1.4: Perhatikan kembali contoh 1.1, yang membahas relasi “menyukai warna”. Himpunan A ditempatkan pada sumbu mendatar, dan himpunan B pada sumbu tegak.

Gambar 2.3

B.

FUNGSI 1. Pengertian Fungsi dan Pemetaan

Gambar 2.4 Pada gambar 1.4, terdapat dua himpunan yaitu P = {Nisa, Asep, Made, Cucu, Butet} dan Q = {A, B, O, AB}. Setiap anak anggota P dipasangkan dengan tepat satu anggota Q. Bentuk relasi seperti ini disebut Fungsi atau Pemetaan.

Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota di himpunan yang lain. Contoh 1.5: Dari diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?

Gambar 2.5 Jawab:  Diagram panah (a) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.  Diagram (b) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, mempunyai dua pasangan anggota B, yaitu 1 dan 2.  Diagram panah (c) bukan merupakan fungsi kerana ada anggota A, yaitu a, tidak mempunyai pasangan anggota B.

2. Domain, Kodomain dan Range Perhatikan fungsi pada gambar 1.6 di bawah ini, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan range (daerah hasil).

Gambar 2.6   

Dari gambar 2.6 di atas diperoleh : Domain (Df) adalah A = {1, 2, 3} Kodomain adalah B = {1, 2, 3, 4} Range (Rf) adalah = {2, 3, 4}.

3. Sejarah Istilah fungsi pertama kali digunakan G. W. Leibniz pada tahun 1673, yang digunakan untuk menujukan ketergantungan pada kuantitas yang lain. Misalnya luas daerah A adalah lingkaran dengan jari-jari r, sehingga A = r2 maka A adalah fungsi dari r. Berubahnya kecepatan agin w terhadap waktu t. maka w adalah fungsi dari t. Setelah itu matematikawan berkembangsaan Swis, Leonhard Euler menotasikan f sebagai fungsi. Yang di tulis y=f(x) (dibaca: y sama dengan f dari x atau y sama dengan “f x”) Kadang fungsi juga dinotasikan w = f(t), g(x), v(r), dll.

4. Grafik Fungsi

Gambar 2.7

Pada gambar 2.7, aturan yang memetakan himpunan A ke himpunan B adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke (x+1) anggota B. Untuk fungsi pada gambar 1.7 digunakan f maka fungsi tersebut dinotasikan dengan y = f (x) = x + 1. Sehingga diperoleh.  Untuk x = 1, y = f(1) = 1 + 1 = 2 sehingga (1,2).  Untuk x = 2, y = f(2) = 2 + 1 = 3 sehingga (2,3).  Untuk x = 3, y = f(3) = 3 + 1 = 4 sehingga (3,4). Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam tabel. Seperti pada fungsi y = f (x) = x +1 x

1

2

3

y = f(x) = x +1

2

3

4

Pasangan Berurutan (x, y)

(1, 2)

(2, 3)

(3, 4)

Tabel 2.1 Dari tabel 2.1 merupakan pasangan berurutan, dan akan membentuk sebuah grafik jika setiap noktah dihubungkan seperti pada gambar 2.8

Gambar 2.8 Dari gambar di atas domain Df = A = {1, 2, 3}, kodomain = B = {1, 2, 3, 4} dan Range Rf = {2, 3, 4}. Contoh : Gambarlah grafik fungsi dari f(x) = |x| Solusi: y = f(x) = |x|, berdasarkan defenisi nilai mutlak maka x, x ≥ 0

y=

-x, x < 0

Atau dapat juga diselesaikan menggunakan tabel x y=|x| (x, y)

-3

-2

3 (-3, 3)

2 (-2, 2)

-1

0

1

2

3

1 (-1, 1)

0 (0, 0)

1 (1,1)

2 (2,2)

3 (3, 3)

grafik di samping bertepatan dengan garis y = x untuk x ≥ 0 dan garis y = -x untuk x < 0.

Gambar 2.9 Grafik |x|