Proportional Integral Derivative (PID) Tuning Dengan Extremum Seeking Control Untuk Sistem Non-Minimum Phase

Proportional Integral Derivative (PID) Tuning Dengan Extremum Seeking Control Untuk Sistem Non-Minimum Phase Dessy Novita1 Program Studi Teknik Elektro, Departemen Teknik Elektro, Universitas Padjadjaran , Jl. Raya Bandung Sumedang Km.21, Jatinangor, 45363 Jawa Barat, Indonesia Email : [email protected]

Bambang Mukti Wibawa2, Bernard Y.Tumbelaka3 Program Studi Teknik Elektro, Departemen Teknik Elektro, Universitas Padjadjaran, Jl. Raya Bandung Sumedang Km.21, Jatinangor, 45363 Jawa Barat, Indonesia Abstrak Paper ini adalah penelitian dasar tentang metoda optimasi tuning Proportional Integral Derivative (PID) controller. Pada penelitian ini, mengembangkan tuning PID berdasarkan modifikasi Extremum Seeking Control (ESC) untuk kasus sistem Non-minimum Phase. Sistem Non-minimum phase adalah sebuah sistem yang memiliki sebuah zero dalam right half-plane (RHP) dari total perubahan dalam phase ketika dievaluasi untuk input frekuensi diantara zero dan tak hingga yang mana untuk sebuah plot magnitude lebih besar dari semua pole dan zero jika berada di left half-plane (LHP). Estimasi gradient adalah kunci sukses dari ESC dan optimasi online. Tujuan dari penelitian ini adalah menemukan parameter-parameter PID dengan minimum cost function menggunakan modifikasi ESC dan analisis frekuensi pada sistem Non-minimum Phase. Parameter optimal diilustrasikan dengan simulasi numerik. Kata kunci : Proportional Integral Derivative, Extremum Optimasi

Seeking Control, Non-minimum Phase,

Abstract This paper is about optimization of tuning PID controller for Non-mininum phase system. Non-minimum phase system is system that has a zero in right half-plane from the totally phase changed when it is evaluated frequency input between zero and infinity then plot magnitude is biggest from all of poles and zeros in left half-plane. The aim of the paper is how to find PID parameters that minimum cost function by using extremum seeking control for Non-minimum phase system. Gradient estimation is the key success of ESC and online optimization. The optimal parameters is illustrated by numerical simulations. Keywords : Proportional Integral Derivative, Extremum Seeking Control, Non-minimum Phase, Optimization.

PENDAHULUAN Penelitian ini adalah penelitian dasar tentang metoda optimasi tuning Proportional Integral Derivative (PID) controller dengan Extremum seeking control (ESC). Penelitian ini pertama kali dilakukan oleh [Killingsworth dan Krstic, 2006] untuk mengoptimalkan step respon dari sistem lup tertutup yang terdiri dari PID controller dan sebuah unknown plant dengan extremum seeking (ES). ES menimumkan sebuah cost function dengan meningkatkan performans dari PID controller. ES adalah sebuah metoda nonmodel berdasarkan modifikasi input dari cost function untuk mencapai sebuah lokal minimizer [Ariyur, Kristic, 2003]. Pada penelitian ini, penulis mengembangkan tuning PID berdasarkan modifikasi Extremum Seeking Control untuk kasus sistem Non-minimum Phase. Sistem Non-minimum phase adalah sebuah sistem yang memiliki sebuah zero dalam right half-plane (RHP) dari total perubahan dalam phase ketika dievaluasi untuk input frekuensi diantara zero dantak hingga yang mana untuk sebuah plot magnitude lebih besar dari semua pole dan zero jika berada di left halfplane (LHP). Estimasi gradient adalah kunci sukses dari ESC dan optimasi online. Tujuan dari penelitian ini adalahmenemukan parameter-parameter PID dengan minimum cost function dengan modifikasi ESC dan analisis frekuensi pada sistem Non-minimum Phase. Penelitian ini masih pada tahap simulasi dan diharapkan akan dikembangkan pada aplikasi pengontrolan Robot sehingga akan online tuning secara otomatis dan diterapkan pada instrument medik.

Page 18

Extremum Seeking Control (ESC) adalah suatu metoda adaptive control yang mana secara otomatis mengoptimalkan fungsi objektif yang tidak diketahui dari suatu performan yang diukur dalam waktu nyata. Ketika kita mengaplikasikan ESC untuk tuning kita tidak perlu mengetahui secara detil relasi dari plant dinamik dan fungsi objektif tetapi hanya mengamati performan yang diukur dari plant. ESC umumnya menggunakan perturbation signal, low-pass filter, high-pass filter dan integrator (Ariyur, Kristic, 2003 ) dan untuk sistem diskrit dapat ditampilkan pada (Choi dkk, 2002), (Novita, Yamamoto, 2014). ESC pertama kali diusulkan oleh Leblanc pada tahun 1922, pada papernya menjelaskan sebuah metoda disain suatu ingenious untuk menjaga transfer daya maksimum dari jaringan transmisi ke mobil tram. Metoda ini tidak butuh analisis model matematis untuk memaksimumkan atau meminimumkan output fungsi objektif yang tidak diketahui untuk stabil (Leblanc, 1922). Banyak para scientist dan engineer melakukan riset tentang ESC sejak di buktikan kestabilan ESC oleh Kristic dan Wang. Analisis kestabilan pada ESC, teknik averaging dengan menggunakan sinyal perturbation singular. Blok diagram ESC yang diusulkan Krstic ditampilkan pada Gambar 1. Parameter yang di tuning oleh extremum seeking adalah merupakan penjumlahan dari sinyal lambat dapat di tunjukkan pada Persamaan 1.

dan

sinyal priodik sinusoidal yang (1)

Model nonlinear dinyatakan sebagai Persamaan 2 dan 3. (2) (3)

dimana x adalah state , u adalah input kontrol masuk melewati high-pass filter

dan y adalah pemetaan statik

untuk menghilangkan komponen DC dari

. Output sinyal

. Kemudian sinyal perturbation

dikalikan dengan output sinyal high-pass filter. Output sinyal dari perkalian masuk ke low-pass filter yang menghasilkan komponen DC yaitu otomatis mengupdate

dimana sinyal tersebut masuk ke integrator dan output

sampai mendapat nilai optimal

akan secara

(Ariyur, Kristic, 2003).

Extremum seeking dengan modifikasi menggunakan non-linear programming (NLP) diusulkan oleh Kong (Kong, 2008). Disain algoritma Real Time NLP adalah sebagai berikut : 1. 2. 3. 4.

Memilih frekuensi dan amplitudo sinyal Perturbation. Disain Peak filter atau Band-pass filter untuk mengekstrak cost function Disain Low-pass filter untuk mengekstrak gradient. Frekuensi cut-off sebaiknya lebih rendah dari frekuensi yang paling rendah dari beberapa sinyal perturbation. Menentukan update step dengan mempertimbangkan kecepatan konvergensi dan kestabilan.

Tuning PID dengan Extremum Seeking Control Killingsworth dan Krstic (2006) mengembangkan tuning PID controller dengan Extremum Seeking Control. Skema sistem yang digunakan adalah ditampilkan pada Gambar 2 yaitu blok diagram sistem loop tertutup .

Page 19

Nonlinear model High-pass Filter

Low-pass Filter

Perturbation Signal Gambar 1. Blok Diagram Extremum Seeking oleh Krstic (Ariyur, Krstic, 2003)

y(t)

r(t) G

Cr

Cy

Extremum Seeking Algorithm

Gambar 2. Blok Diagram tuning PID dengan Extremum Seeking, (Killingsworth dan Krstic 2006) Persamaan cost function yang digunakan terdapat pada Persamaan 4 , dengan persamaan error pada Persamaan 5 dan parameter PID pada Persamaan 6.

(4) (5) (6)

[Type text]

Page 20

dimana  adalah parameter PID controller yang terdiri dari K adalah gain proportional, Ti adalah waktu gain integral dan Td adalah waktu gain derivative. Dengan setting waktu awal menuju mendekati waktu puncak Tpeak pada respon step dari sistem loop tertutup mencapai puncak pertama , cost function secara efektif ditempatkan pada bobot nol dari respon awal transient. Blok diagram dari sistem loop tertutup dimana G adalah unknown plant, parameterparameter kontroller PID adalah terdapat pada Persamaan 7 dan Persamaan 8.

(7)

(8) METODA Penelitian ini menggunakan metode studi kepustakaan dengan referensi dari buku, jurnal dan laporan hasil penelitian sebelumnya. Setelah itu penelitian ini disimulasikan dengan menggunakan MATLAB. HASIL DAN PEMBAHASAN Non Minimum Phase System Sistem yang digunakan adalah non minimum phase system yang ditampilkan pada Gambar 3 (Kaneko dkk, 2012). R（z ）

Ya（z） Actual

C(z)

Yd（z） Desired Gambar 3. Blok Diagram sistem non minimum phase Plant sistem yang digunakan terdapat pada Persamaan 9. (9)

Model referensi yang digunakan ditampilkan pada Persamaan 10. (10)

Discrete PID Controller digunakan adalah pada Persaman 11.

(11)

Page 21

Dari blok diagram Gambar 3 didapatkan output aktual Ya(z) adalah pada Persamaan (12) dan output yang diinginkan Yd(z) pada Persamaan 13. (12)

(13) Cost function yang digunakan adalah pada Persaman 14. (14)

Respon Step Open loop Plant & Desired Output 1 0.5 0

Amplitude

- 0.5 -1 - 1.5 -2 - 2.5 -3 - 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

Open loop Plant Desired 0.5 0.6 0.7

Time

Gambar 4. Respon step plant sistem dan desired plant Sistem pada plant sebelum PID Tuning dicek karakteristiknya dengan respon step ditampilkan pada Gambar 4. Karakteristik respon step didapatkan :  Plant : Rise Time:0.0986, Settling Time:1.191, Final value:-3.13   Desired Model : Rise Time:0.234, Settling Time:0.491, Final value:1 

Kontroller PID perlu parameter-parameter inisial dengan membuat sistem stabil dengan cara sebagai berikut : • Cek kestabilan dengan metoda Routh’s stability dan parameter proportional adalah Kp < 0.32 • Pada kasus ini digunakan Kp = 0.1, Ki = 0, Kd = 0, Disain Extremum Seeking Control yang dilakukan adalah : • Estimasi Gradient • Updating Variable untuk minimum cost function menggunakan Persamaan 15 dan dapat diilustrasikan Kurva optimasi dua dimensi dengan updating variable pada Gambar 5. (15)

Page 22

Gambar 5. Kurva optimasi dua dimensi dengan updating variable

Gambar 6. Blok Diagram estimasi gradient tiga variabel PID controller Blok Diagram estimasi gradient tiga variabel PID controller ditampilkan pada Gambar 6. Estimasi gradient dengan simulasi berbagai variasi frekuensi yang dilakukan adalah menggunakan frekuensi : 

Perturbation frekuensi



Peak Filter frekuensi adalah  1. Frekuensi 2. Frekuensi

Page 23

3.

Frekuensi

4.

Frekuensi

Gambar 7. Updating PID, Cost Function & Step Response menggunakan frekuensi

Gambar 8. Updating PID, Cost Function & Step Response menggunakan frekuensi

Dari hasil simulasi updating PID, Cost Function & Step Response berbagai frekuensi Peak filter pada Gambar 7, 8, 9 dan 10 dapat dianalisa yaitu : ￭

Untuk frekuensi dengan ukuran range yang tidak lebar (35 Hz,70 Hz ,100Hz and 50 Hz,70 Hz,100 Hz) , dapat terlihat dari hasil simulasi gradient memiliki vibrasi yang tinggi sedangkan vibrasi yang kecil dapat terlihat pada range frekuensi yang besar (50 Hz,100 Hz ,200 Hz and 50 Hz,100 Hz,250Hz) .

￭

Overshoot yang paling terkecil yaitu pada frekuensi-frekuensi Peak Filter 35 Hz, 70 Hz, 100 Hz , tetapi gradient memiliki vibrasi yang besar.

[Type text]

Page 24

Gambar 9. Updating PID, Cost Function & Step Response menggunakan frekuensi

Gambar 10. Updating PID, Cost Function & Step Response menggunakan frekuensi

￭ ￭ ￭

Parameter Ki & Kd didapatkan bernilai negatif, hal ini masih menjadi masalah dalam tuning parameter. Gradient-gradient updating PID parameter didapatkan nilai yang diberikan sama. Perbandingan step respon aktual output dengan berbagai frekuensi ditampilkan pada Gambar 11.

[Type text]

Page 25

Gambar 11. Perbandingan step respon aktual output dengan berbagai frekuensi

Ucapan Terima Kasih Terima kasih atas diskusi dari Prof. Shigeru Yamamoto dan Prof. Osamu Kaneko. PENUTUP Simpulan ￭ Extremum Seeking Control dapat mentuning PID controllers dengan minimum cost function dengan karakteristik yang diinginkan dari sistem loop tertutup. ￭ Extremum Seeking Control memerlukan nilai awal dari parameter-parameter PID dengan menggunakan disain metoda konvensional. ￭ Performans yang terbaik dalam kasus ini dengan menggunakan frekuensi 50,100,250Hz . ￭ Parameters ESC tergantung pada Dynamic plant. Saran ￭ ￭

Gradient estimasi merupakan kunci dari ESC dan diharapkan pengembangan algoritma/ Metoda tuning PID dengan ESC kedepannya akan diaplikasikan pada robot.

Page 26

DAFTAR PUSTAKA J. Y. Choi, M. Krstic, K. B. Ariyur, J. S. Lee, Extremum Seeking Control for Discrete-Time Systems, ,IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 47, No. 2, pp. 318-323 2002. K. B. Ariyur, M. Krstic , Real-time optimization by Extremum-seeking Control, Hoboken, NJ : Wiley-Interscience, 2003. N. J. Killingsworth, M. Krstic, PID tuning using extremum seeking, IEEE Control System Magazine, pp. 70-79, February 2006. M. Chan, K. Kong, M. Tomizuka, Automatic controller gain tuning of a multiple joint robot based on modified extremum seeking control, The 18th IFAC world congress, pp. 4131-4136, Milano (Italy) August 28 - September 2, 2011. K. Kong, K. Inaba, M. Tomizuka, Real-time nonlinear programming by amplitude modulation, Proceedings of DSCC2008 ASME Dynamic Systems and Control Conference, pp. 1-8, Ann Arbor, Michigan, USA, October 2022, 2008. O. Kaneko, H.T. Nguyen, Y. Wadagaki, S. Yamamoto, Fictitious reference iterative tuning for non-minimum phase systems in the IMC architecture : simultaneous attainment of controllers and models, SICE Journal of Control Measurement and System Integration, Vol. 1, No. 1, pp. 001-008, January 2012. D.Novita, S. Yamamoto, “Extremum Seeking for Dead-Zone Compensation and Its Application to a Two-Wheeled Robot”, Jounal of Automation and Control Engineering, Vol. 3, No. 4, pp. 265-269, August, 2015. doi: 10.12720/joace.3.4.265-269. . aring, . . de ouw, and D. es ic , “Extremum-seeking control for nonlinear systems with periodic steadystate outputs,” Automatica, vol. 49, no. 6, pp. 1883–1891, June 2013. . rstic and -.h. ang, “Stability of extremum seeking feedback for general nonlinear dynamic systems,” Automatica, vol. 36, pp. 595–601, 2000. Y. Tan, . oase, and C. anzie, “Extremum seeking from 1922 to 2010,” in Proceedings of The 29th Chinese Control Conference, Beijing (China), December 10-13, 2010, pp. 14–26. . Frihauf, . rstic , and T. as, “Finite-Horizon LQ Control for Unknown Discrete-Time Linear Systems via Extremum Seeking,” in Proceedings of The 51st IEEE Conference on Decision and Control, Maui, Hawaii (USA), De- cember 10-13, 2012, pp. 5717–5722. .

. Ariyur and . rstic , “Analysis and Design of ultivariable Extremum Seeking,” in Proceedings of The American Control Conference, Anchorage, AK, May 8-10, 2002, pp. 2903–2908.

Page 27