Profil Berpikir Matematis Rigor Siswa Smp Dalam Memecahkan Masalah Matematika Ditinjau Dari Perbedaan Kemampuan Matematika Harina Fitriyani Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UAD Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH. Janturan Yogyakarta,
[email protected] ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan profil berpikir matematis rigor siswa SMP dalam memecahkan masalah matematika ditinjau dari perbedaan kemampuan matematika. Perbedaan tersebut meliputi kemampuan tinggi, kemampuan sedang, dan kemampuan rendah. Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif dan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan tes pemecahan masalah (dalam penelitian ini disebut tes matematika) dan wawancara. Penelitian ini menggunakan tiga siswa SMPN I Lamongan sebagai responden (subjek penelitian) masing-masing dari kemampuan matematika tinggi, kemampuan matematika menengah dan kemampuan matematika rendah. Analisis data penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah reduksi data, display data dan penarikan kesimpulan / verifikasi. Sementara itu, untuk mendapatkan data penelitian yang valid, penelitian ini menggunakan triangulasi waktu. Sehubungan dengan tujuan penelitian yang telah disajikan, hasil penelitian ini menunjukkan bahwa siswa berkemampuan tinggi berada di level ketiga (berpikir abstrak relasional) fungsi kognitif untuk berpikir matematis rigor karena menerapkan semua fungsi kognitif pada tiga level fungsi kognitif untuk berpikir matematis rigor dalam pemecahan masalah matematika, kedua siswa berkemampuan menengah dan siswa berkemampuan rendah berada pada level pertama (berpikir kualitatif ) dari fungsi kognitif untuk berpikir matematis rigot karena mereka menggunakan semua fungsi kognitif yang meliputi level pertama fungsi kognitif untuk berpikir matematis rigor sementara ada beberapa fungsi kognitif pada level kedua dan level ketiga untuk berpikir matematis rigor yang tidak muncul. Kata Kunci : berpikir matematis rigor, fungsi kognitif, pemecahan masalah, masalah matematika, kemampuan matematika. ABSTRACT The purpose of this study is to describe the rigorous mathematical thinking profile of Junior High School students in the mathematics problem solving reviewed from the differences of mathematics ability. Those differences are high ability, middle ability, and low ability. This research uses qualitative approach and the techniques of data collection are carried out by problem-solving tests (in this research is termed a math test) and interview. This research used three students of SMPN I Lamongan as respondents that respectively from high math ability, middle math ability and low math ability. The data analysis of this research is carried out by the steps of data reduction, data display and drawing conclusion /verification. Meanwhile, to obtain the valid data research, this research used triangulation of time. In regard to the purpose of the research that has been presented, the results of this research showed that the high-capable student was at the third level (relational abstract thinking) of the cognitive function for rigorous mathematical thinking because of applying all of the cognitive functions on all three
levels of the cognitive functions for rigorous mathematical thinking to solve the mathematical problems; Both the middle-capable student and the low-capable student were at the first level (qualitative thinking) of the cognitive functions for rigorous mathematical thinking because they used all the cognitive functions that included the first level from the cognitive functions for rigorous mathematical thinking while there were some cognitive functions at the second level and the third level for rigorous mathematical thinking that disappeared.
Key Words : Rigorous mathematical thinking, cognitive function, problem solving, mathematics problem, mathematics ability PENDAHULUAN Dalam belajar dan menyelesaikan
menyelesaikan
soal matematika, siswa melakukan
perlu adanya ketepatan, sedangkan
aktivitas berpikir di otaknya. Ketika
prasyarat untuk menjadi tepat dan
seorang
logis adalah rigor. Kinard (2007)
individu
menyelesaikan
berpikir
soal
untuk
matematika,
soal
mengungkapkan
matematika,
bahwa
maka tidak menutup kemungkinan
matematis
bahwa ia sedang melakukan berpikir
memanfaatkan proses kognitif yang
matematis.
matematis
meningkatkan level abstraksi lebih
diartikan
tinggi, oleh karenanya ia haruslah
Berpikir
(mathematical
thinking)
sebagai
berpikir
cara
berkenaan
mensitesis
berpikir dan
ketat (rigor) sifatnya.
dengan proses matematika (doing
Berkaitan dengan keharusan
math) atau cara berpikir dalam
adanya rigor dalam mensintesis dan
menyelesaikan
tugas
matematika
memanfaatkan proses kognitif untuk
(mathematical
task)
baik
yang
meningkatkan level fungsi abstraksi
sederhana maupun yang kompleks
maka diperlukan adanya berpikir
(Sumarmo, U. 2010). Di dalam
matematis rigor. Berpikir matematis
berpikir
rigor dicirikan dengan adanya tiga
matematis,
menerjemahkan
seseorang
informasi
yang
level fungsi kognitif diantaranya
masuk dari luar menjadi simbol-
fungsi
simbol untuk selanjutnya simbol
kualitatif,
tersebut diproses sesuai aturan dalam
berpikir
matematika
disusun
kognitif untuk berpikir relasional
sebelumnya. Di dalam belajar dan
abstrak (Kinard dan Kozulin, 2008).
yang sudah
kognitif fungsi
untuk kognitif
kuantitatif,
dan
berpikir untuk fungsi
Ketiga level fungsi kognitif itu
tersebut dipaparkan pada Tabel 1.
secara bersama-sama mendefinisikan
Level pertama terdiri dari fungsi
proses mental dari keterampilan
kognitif
kognitif umum ke fungsi kognitif
untuk berpikir kualitatif. Sebelum
matematis
siswa
khusus
tingkat
lebih
umum
terlibat
yang
diperlukan
dalam
tinggi. Oleh karenanya, penting bagi
konseptual
siswa untuk memiliki keterampilan
kognitifnya terjadi di level konkret
berpikir matematis rigor terutama
dan
dalam
soal
psikologis alami yang sudah ada.
yang
Level kedua terdiri dari fungsi
upaya
matematika
memecahkan tidak
rutin
secara
penalaran
didominasi
Proses
oleh
kognitif
tinggi dengan cermat dan tepat
berpikir kuantitatif dan ketepatan.
sehingga
Fungsi-fungsi
hasil
penyelesaian yang memuaskan. Dalam
diperlukan
fungsi
mempunyai tingkat kerumitan cukup
diperoleh
yang
rigor.
tersebut
tentu
melibatkan
kehadiran
fungsi
mengintegrasikan
proses
kognitif.
Kinard
(2007)
berkaitan
kuantitas
fungsi
lebih
terstruktur dari pada fungsi kognitif
berpikir
mendefinisikan
untuk
umum. Level ketiga fungsi kognitif
dengan
yang dan
kognitif
ketepatan ke dalam struktur unik dan
sebagai sebuah proses mental yang
digeneralisasikan berpikir relasional
memiliki
abstrak. Secara bersama-sama ketiga
makna
khusus.
Dalam
melakukan berpikir matematis rigor,
level
terdapat tiga level fungsi kognitif
mendefinisikan proses mental yang
yang
sebagaimana
meluas dari keterampilan kognitif
disampaikan oleh Kinard & Kozulin
umum ke fungsi matematis khusus
(2008). Ketiga level fungsi kognitif
tingkat lebih tinggi.
diperlukan
fungsi
kognitif
itu
Tabel 1 : Tiga level fungsi kognitif berpikir matematis rigor Level fungsi kognitif Level 1: Berpikir kualitatif
Fungsi Kognitif
Keterangan
Pelabelan (Labeling)
memberi suatu nama bangun berdasarkan atribut kritisnya (misalnya simbol sejajar, sama panjang, siku-siku)
Visualisasi (visualizing)
menkonstruk gambar (bangun) dalam pikiran atau menghasilkan konstruk yang terinternalisasi dari sebuah objek yang namanya diberikan.
Level 2 Berpikir kuantitatif dengan ketelitian
Level 3 Berpikir relasional abstrak
:
:
Pembandingan (Comparing)
mencari persamaan dan perbedaan (dalam hal ciri atau atribut kritisnya) antara dua atau lebih objek.
Pencarian secara sistematis untuk mengumpulkan dan melengkapi informasi (Searching systematically to gather clear and complete information)
memperhatikan (misal gambar) dengan seksama, terorganisir, dan penuh rencana untuk mengumpulkan dan melengkapi informasi.
Penggunaan lebih dari satu sumber informasi (Using more than one source of information)
bekerja secara mental dengan lebih dari satu konsep pada saat yang sama (warna, ukuran, bentuk atau situasi dari berbagai sudut pandang)
Penyandian (Encoding) Pemecahan kode (Decoding)
memaknai (objek) ke dalam kode/simbol mengartikan suatu kode/simbol suatu objek
Pengawetan ketetapan (Conserving constancy)
mengidentifikasi apa yang tetap sama dalam hal atribut, konsep atau hubungan sementara beberapa lainnya berubah.
Pengukuran ruang dan hubungan spasial (Quantifying space and spatial relatinships) penganalisisan (Analyzing)
menggunakan referensi internal/eksternal sebagai panduan untuk mengatur, menganalisis hubungan spasial berdasarkan hubungan keseluruhan ke sebagian. memecahkan keseluruhan atau menguraikan kuantitas ke dalam atribut kritis atau susunannya.
Pengintegrasian (Integrating)
membangun keseluruhan dengan menggabungkan bagianbagian atau atribut kritisnya
penggeneralisasian (Generalizing)
mengamati dan menggambarkan sifat suatu objek tanpa merujuk ke rincian khusus ataupun atribut kritisnya
ketelitian (Being precise)
menyimpulkan/ memutuskan dengan fokus dan tepat
Pengaktifan pengetahuan matematika sebelumnya (Activating prior mathematically related knowledge)
menghimpun pengetahuan sebelumnya untuk menghubungkan dan menyesuaikan aspek yang sedang dipikirkan dengan aspek pengalaman sebelumnya.
Penyediaan bukti matematika logis (Providing mathematical logical evidence)
memberikan rincian pendukung, petunjuk, dan bukti yang masuk akal untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan.
Pengartikulasian (pelafalan) kejadian matematika logis (Articulating mathematical logical evidence)
membangun dugaan, pertanyaan, pencarian jawaban, dan mengkomunikasikan penjelasan yang sesuai dengan aturan matematika.
Pendefinisian masalah (defining the problem)
mencermati masalah dengan menganalisis dan melihat hubungan untuk mengetahui secara tepat apa yang harus dilakukan secara matematis. membentuk proposisi matematika atau dugaan dan mencari bukti matematis untuk mendukung atau menyangkal proposisi atau dugaannya tersebut.
Berpikir hipotesis (Hypothetical thinking) Berpikir inferensial (Inferential thinking)
mengembangkan generalisasi dan bukti yang valid berdasarkan sejumlah kejadian matematika.
Pemroyeksian dan perestrukturisasian hubungan (Projecting and restructuring relationships)
membuat hubungan antara objek atau kejadian yang tampak dan membangun kembali keberadaan hubungan antara objek atau kejadian untuk memecahkan masalah baru.
Pembentukan hubungan kuantitatif proporsional (forming proportional quantitative relationships) Berpikir induktif matematis (mathematical inductif thinking)
menetapkan hubungan kuantitatif yang menghubungkan konsep A dan konsep B dengan menentukan beberapa banyaknya konsep A dan hubungannya dengan konsep B. mengambil aspek dari berbagai rincian matematis yang diberikan untuk membentuk pola, mengkategorikan ke dalam hubungan atribut umum dan mengatur hasilnya untuk membentuk aturan matematika umum, prinsip, panduan.
Berpikir deduktif matematis (mathematical deductive thinking) Berpikir relasional matematis (mathematical relational thinking)
menerapkan aturan umum atau rumus untuk situasi khusus.
mempertimbangkan proposisi matematika yang menyajikan hubungan antara dua objek matematika, A dan B, dengan proposisi matematika kedua yang menyajikan hubungan antara konsep A dan C dan kemudian menyimpulkan hubungan antara B dan C. merefleksikan dan menganalisis aktivitas matematika.
Penjabaran aktivitas matematika melalui kategori kognitif (elaborating mathematical activity through cognitive categories)
Berdasar pada paparan fungsi
langkahnya terdiri dari memahami
kognitif untuk berpikir matematis
masalah,
rigor di atas, maka dapat ditarik
penyelesaian, melaksanakan rencana
pengertian bahwa berpikir matematis
tersebut dan memeriksa kembali
rigor dalam penelitian ini yaitu suatu
jawaban.
aktivitas berpikir matematis yang melibatkan fungsi
penggunaan
kognitif
merencanakan
Berdasarkan pemikiran yang
beberapa
diuraikan diatas maka tujuan dari
dalam
penulisan makalah ini adalah untuk
dimana
penggunaannya berpikir matematis
mendeskripsikan
rigor dikategorikan dalam tiga level
matematis rigor siswa SMP dalam
yaitu
berpikir
memecahkan masalah matematika
kualitatif), level dua (level berpikir
ditinjau dari perbedaan kemampuan
kuantitatif) dan level tiga (level
matematika. Perbedaan kemampuan
berpikir relasional abstrak).
matematika yang dimaksud dalam
level
Masalah
satu
(level
matematika
yang
dimaksud dalam penelitian ini adalah
makalah
ini
profil
adalah
berpikir
kemampuan
tinggi, sedang dan rendah.
soal matematika tidak rutin yang tidak
bisa
dikerjakan
dengan
METODE PENELITIAN
prosedur rutin yang sudah dikuasai
Penelitian
siswa.
pemecahan
merupakan
masalah diartikan sebagai proses
eksploratif
yang
pendekatan
Sedangkan
dilakukan
menyelesaikan matematika
siswa suatu
yang
dalam
yang
dilakukan
penelitian dengan
ini
deskriptif
menggunakan
kualitatif.
Dalam
masalah
penelitian ini digunakan tiga orang
langkah-
subjek
yang
masing-masing
mewakili
perbedaan
kemampuan
menggunakan fungsi kognitif yang
matematika siswa kelas VII SMP.
termasuk
Pengelompokan siswa menjadi tiga
kognitif level 1 (berpikir kualitatif).
kelompok
berdasarkan
tes
Diantaranya
kemampuan
matematika
siswa
penggunaan
dengan
kriteria
dalam
kriteria
ditandai fungsi
fungsi
dengan kognitif
:
kelompok
pelabelan yakni subjek memberi
kemampuan tinggi jika skor tes
nama bangun yang tersaji pada soal
86 , kelompok kemampuan sedang
berdasar ciri yang dimiliki oleh
jika 66 skor tes < 86, kelompok
bangun tersebut; visualisasi yakni
kemampuan rendah jika skor tes <
subjek
66.
gambar yang tersaji pada soal serta
mengkonstruk
kembali
dalam
mengkonstruk gambar diagonalnya;
penelitian ini adalah peneliti sendiri
pembandingan yakni subjek mencari
dan instrumen bantunya berupa soal
ciri-ciri yang sama dan berbeda
tes kemampuan matematika, tes
antara persegi dan persegipanjang;
pemecahan
pencarian secara sistematis untuk
Instrumen
utama
masalah
(dalam
penelitian ini diistilahkan dengan tes
mengumpulkan
matematika)
dan
informasi yakni subjek mencermati
wawancara.
Analisis
digunakan dengan
dalam
pedoman data
yang
penelitian
langkah-langkah
ini
reduksi
tersaji
pada
soal
atau
yang
dikonstruk sendiri dengan seksama untuk
simpulan.
melengkapi
untuk
melengkapi
soal dan gambar baik yang sudah
data, penyajian data dan penarikan Sedangkan
dan
mengumpulkan
dan
informasi
yang
mendapatkan data penelitian yang
diperlukan
dalam
menyelesaikan
valid, dalam penelitian ini digunakan
soal; penggunaan lebih dari satu
triangulasi waktu.
sumber
informasi
bekerja
dengan
yakni
lebih
dari
subjek satu
HASIL PENELITIAN
konsep (dalam hal ini sisi, sudut,
Subjek berkemampuan tinggi
diagonal persegi dan persegipanajng,
Selama
rumus
memecahkan
masalah
luas
persegi
dan
matematika yang diberikan, subjek
persegipanjang) selama mengerjakan
berkemampuan
soal;
tinggi
telah
penyandian
yakni
subjek
mencantumkan simbol huruf pada
bagian-bagiannya atau ciri-cirinya;
bangun yang tersaji pada soal serta
penggeneralisasian
menyandikan sisi-sisi bangun yang
mengambil
tersaji dengan menggunakan huruf;
selalu
merupakan
dan pemecahan kode yakni subjek
tanpa
merinci
memaknai simbol/kode yang tersaji
ketelitian
pada soal.
memutuskan dengan fokus dan tepat
Fungsi kognitif pada level 2 (berpikir
kuantitatif)
matematis
rigor
digunakan
sifat
yakni
yakni
subjek
bahwa
persegi
persegipanjang secara
khusus;
subjek
mampu
dalam memecahkan masalah.
berpikir
Sedangkan fungsi kognitif pada
telah
level 3 berpikir matematis rigor yang
yang
oleh
subjek
telah
digunakan
oleh
berkemampuan tinggi diantaranya:
berkemampuan
pengawetan ketetapan yakni subjek
memecahkan masalah matematika
mengidentifikasi
yang
apa
yang
tetap
tinggi
subjek
diberikan
antara
dalam
lain
sama dan apa yang berubah bila
pengaktifan pengetahuan matematika
bangun pada soal dirubah arah
sebelumnya yakni subjek mampu
orientasinya; pengukuran ruang dan
mengingat
hubungan
dan
spasial
yakni
menggunakan
referensi
(yang
dari
berasal
subjek internal
pengetahuan
kembali,
menghimpun
menggunakan
pengetahuan
matematika
sebelumnya
menyelesaikan
soal;
untuk
penyediaan
matematematika sebelumnya) dan
bukti matematis logis yakni subjek
eksternal (yang berasal dari bangun
mampu
gambar pada soal seperti simbol
pendukung, alasan matematis, bukti
“∟”)
yang masuk akal untuk membuktikan
sebagai
panduan
untuk
memberikan
rincian
menganalisi hubungan keseluruhan
kebenaran
bangun ke bagian-bagiannya; analisis
pengartikulasian kejadian matematis
yakni subjek menguraikan bangun-
logis
bangun pada soal (persegi dan
membangun dugaan terkait dengan
persegipanjang)
dalam
adanya ciri yang sama antara kedua
susunannya; integrasi yakni subjek
bangun pada soal serta mencari
membangun
jawabannya,
ke
keseluruhan
bangun
pada soal dengan menggabungkan
yakni
pernyataannya;
subjek
mampu
mengkomunikasikan
penjelasan yang sesuai dengan aturan
matematika; pendefinisian masalah
yakni subjek mampu mengambil
yakni
soal
aspek khusus (persegi boleh disebut
dengan menganalisis dan membaca
persegipanjang) untuk membentuk
soal
aspek
subjek
mencermati
berulang-ulang
untuk
umum
(persegi
selalu
memahami maksud soal dengan
merupakan persegipanjang); berpikir
tujuan untuk mengetahui stategi tepat
deduktif matematis yakni subjek
apa
digunakannya;
menggunakan rumus luas persegi
yakni
dan
yang
berpikir
harus
hipotesis
subjek
persegipanjang
untuk
mampu membentuk dugaan tentang
membuktikan pernyataannya bahwa
hubungan
persegi
persegi
dan
boleh
disebut
persegipanjang serta mencari bukti
persegipanjang; berpikir relasional
matematika
abstrak
kebenaran
untuk
mendukung
dugaannya
yakni
subjek
tersebut;
mempertimbangkan hubungan antara
berpikir inferensial yakni subjek
persegi dan rumus luasnya(serta ciri-
mampu
mengembangkan
cirinya), dengan persegipanjang dan
generalisasi berdasarkan sejumlah
rumus luasnya (serta ciri-cirinya)
kejadian
untuk menemukan hubungan antara
matematika
ditemuinya;
pemroyeksian
yang dan
persegi
dan
persegipanjang;
perestrukturisasian hubungan yakni
penjabaran
subjek mampu membuat hubungan
melalui
antara belahketupat dan jajargenjang
subjek mampu menjabarkan atau
untuk
menguraikan,
membangun
hubungan
antara
pesegipanjang; hubungan
keberadaan persegi
dan
pembentukan
kuantitaif
proporsional
aktivitas
kategori
matematika
kognitif
yakni
merefleksi
dan
menganalisis aktivitas matematika selama mengerjakan soal. Subjek berkemampuan sedang
yakni subjek mampu menetapkan
Selama
hubungan
matematika yang diberikan, subjek
kuantitatif
yang
memecahkan
menghubungkan besar sudut yang
berkemampuan
dibentuk oleh kedua diagonal kedua
menggunakan fungsi kognitif yang
bangun pada soal serta besar sudut
termasuk
yang dimiliki oleh kedua bangun
kognitif level 1 (berpikir kualitatif),
tersebut; berpikir induktif matematis
diantaranya: pelabelan yakni subjek
dalam
sedang
masalah
kriteria
telah
fungsi
memberi nama kedua bangun yang
mencantumkan simbol “/” dan “//”
tersaji pada soal berdasarkan ciri-ciri
untuk menyandikan sisi-sisi yang
yang
sama
teramati
visualisasi
dari
gambar;
yakni
subjek
mengkonstruk
gambar
panjang
pada
mengkonstruk
saat gambar
persegipanjang;
pemecahan
kode
persegipanjang berdasar ukuran yang
yakni subjek mampu mengartikan
telah
pembandingan
simbol “/”, “///” , serta “∟”yang
yakni subjek mencari ciri-ciri yang
tercantum pada dua gambar yang
sama antara bangun persegi dan
tersaji pada soal.
ditentukan;
persegipanjang yang selanjutnya ciriciri
yang
sama/beda
digunakannya hubungan
untuk
antara
tersebut
menentukan
kedua
Fungsi kognitif pada level 2 berpikir matematis rigor yang telah digunakan
oleh
subjek
bangun;
berkemampuan sedang diantaranya:
pencarian secara sistematis untuk
pengawetan ketetapan yakni subjek
mengumpulkan
dan
melengkapi
mampu mengidentifikasi apa yang
yakni
subjek
tetap sama dari suatu gambar bila
memperhatikan gambar yang tersaji
digeser posisinya/arah orientasinya;
pada soal dengan seksama untuk
analisis yakni subjek menguraikan
mengumpulkan
melengkapi
keseluruhan bangun geometri pada
informasi yang diperlukan dalam
gambar di soal (dalam hal ini gambar
menyelesaikan soal serta subjek
persgei
mengamati gambar belah ketupat
dalam susunannya; integrasi yakni
yang dibuat peneliti dengan seksama
subjek
untuk
nama bangun pada kedua gambar
informasi
melengkapi diperlukan
dan
mengumpulkan
dan
informasi
yang
dalam
yang
dan
persegipanjang)
membangun
tersaji
di
ke
keseluruhan
soal
dengan
mendefinisikan
menggabungkan ciri-ciri atau bagian-
persegi; penggunaan lebih dari satu
bagiannya; penggeneralisasian yakni
sumber
subjek
subjek menggeneralisasikan besar
menggunakan konsep sisi dan sudut
sudut yang tidak ada simbol “∟”
dalam mencari ciri-ciri yang sama
pada gambar yang terdapat pada soal
antara persegi dan persegipanjang;
yaitu 900 karena kaki-kaki sudutnya
penyandian
saling tegak lurus; ketelitian yakni
informasi
yakni
yakni
subjek
subjek sedang memutuskan dengan
untuk
fokus dan tepat dalam menjawab
dugaannya tersebut dan kemudian
soal. Fungsi kognitif pada level 2
mengembangkan
berpikir matematis rigor yang belum
berdasarkan sejumlah bukti yang
tampak
ada;
digunakan
oleh
subjek
mendukung
kebenaran
generalisasi
pembentukan
hubungan
berkemampuan sedang adalah fungsi
kuantitatif proporsional yakni subjek
kognitif
mampu menetapkan hubungan antara
pengukuran
ruang
dan
hubungan spasial.
banyaknya sisi dan sudut pada
Fungsi kognitif pada level 3
bangun persegi dan persegipanjang;
berpikir matematis rigor yang telah
berpikir deduktif matematis yakni
digunakan
subjek
subjek menggunakan rumus luas
berkemampuan sedang antara lain:
persegi dan persegipanjang untuk
pengaktifan pengetahuan matematika
membuktikan pernyataannya bahwa
sebelumnya yakni subjek mampu
persegi
menghimpun
persegipanjang
oleh
dan
menggunakan
tidak
boleh
disebut meskipun
pengetahuan matematika sebelumnya
penjelasannya
untuk
soal;
bahwa rumus untuk menghitung luas
penyediaan bukti mateamtis logis
kedua bangun itu berbeda; berpikir
yakni subjek mampu memberikan
relasional abstrak secara implisit
rincian
untuk
sudah ada dengan ditandai oleh
kebenaran
kemampuannya mempertimbangkan
pendefinisian
hubungan antara persegi dan ciri-
masalah yakni subjek membaca soal
cirinya dengan persegipanjang dan
berulang-ulang dan mencermati soal
ciri-cirinya
dengan menganalisis dan melihat
hubungan antara persegi dengan
hubungan untuk mengetahui secara
persegipanjang,
tepat langkah apa yang digunakan
eksplisit fungsi kognitif ini masih
untuk menyelesaikan soal; berpikir
belum nampak; penjabaran aktivitas
hipotesis-inferensial
subjek
matematika melalui kategori kognitif
mampu membentuk dugaan (bahwa
yakni subjek mampu merefleksikan
persegi
dan
menyelesaikan
pendukung
membuktikan pernyataannya;
tidak
yakni
boleh
disebut
persegipanjang) dan mencari bukti
hanya
untuk
menyimpulkan
namun
menganalisis
matematika
menyatakan
pada
secara
aktivitas jawabannya.
Fungsi kognitif pada level 3 berpikir
secara
matematis rigor yang belum tampak
mengumpulkan
digunakan
melengkapi
oleh
subjek
sistematis
untuk dan
infromasi
yakni
berkemampuan sedang antara lain:
subjek mencermati gambar dan
pengartikulasian kejadian matematis
soal
logis;
dan
seksama untuk mengumpulkan
hubungan;
dan melengkapi informasi yang
pemroyeksian
perestrukturisasian
berpikir induktif matematis.
yang
tersaji
diperlukan
dalam
menyelesaikan Subjek
berkemampuan
dengan
soal;
penggunaan lebih dari satu
rendah
sumber informasi yakni subjek
Selama memecahkan masalah
mampu bekerja secara mental
matematika
dengan lebih dari satu konsep
yang
diberikan,
subjek berkemampuan rendah
selama
telah
semua
(dalam hal ini sisi, sudut,
fungsi kognitif yang termasuk
diagonal dan luas persegi dan
dalma fungsi kognitif level 1
persegipanjang);
berpikir
yakni
menggunakan
matematis
rigor,
mengerjakan
subjek
soal
penyandian menyandikan
diantaranya: pelabelan yakni
bangun yang tersaji dengan
subjek memberi nama bangun
menambahkan
yang tersaji pada soal berdasar
pada kedua bangun yang tersaji
ciri yang teramati dari masing-
pada soal; pemecahan kode
masing
visualisasi
yakni subjek memaknai simbol
mengkonstruk
“/”, “//”, “///”, dan “∟” yang
yakni
bangun; subjek
gambar kedua bangun yang disebutkan pada soal dalam pikirannya;
simbol
huruf
ada pada soal. Fungsi kognitif pada level
pembandingan
2 berpikri matematis rigor yang
yakni subjek mencari ciri-ciri
telah digunakan oleh subjek
yang sama dan berbeda antara
berkemampuan
kedua pada soal (dalam hal ini
diantaranya:
bangun
ketetapan
persegi
persegipanjang);
dan pencarian
rendah pengawetan
yakni
subjek
menentukan ciri yang tetap
sama antara gambar persegi
menghimpun
secara umum (posisi tegak)
menggunakan
dengan gambar yang tersaji
matematika sebelumnya yang
pada
berkaitan dengan persegi dan
soal
analisis
dan pengetahuan
yang
diberikan;
yakni
subjek
persegipanjang
untuk
keseluruhan
menyelesaikan
soal;
menguraikan
bangun pada soal (dalam hal ini
penyediaan
bangun
logis
persegi
persegipanjang) susunannya;
dan
ke
yakni
matematis
subjek
mampu
dalam
memberikan
yakni
pendukung, alasan matematis,
mambangun
bukti yang masuk akal untuk
integrasi
subjek
bukti
rincian
keseluruhan bangun (persegi
membuktikan
dan
pernyataannya;
persegipanjang)
dengan
kebenaran
menyatukan bagian-bagiannya;
pengartikulasian
ketelitian
matematis logis yakni subjek
yakni
subjek
kejadian
memutuskan dengan fokus dan
membangun
tepat
menyelesaikan
dengan adanya ciri yang sama
soal. Sedangkan fungsi kognitif
antara kedua bangun pada soal
level 2 berpikir matematis rigor
serta
yang belum tampak digunakan
mengkomunikasikan
oleh
penjelasan yang sesuai dengan
dalam
subjek
berkemampuan
dugaan
mencari
terkait
jawabannya,
rendah antara lain pengukuran
aturan
ruang dan hubungan spasial;
pendefinisian masalah yakni
dan penggeneralisasian.
subjek mencermati soal dengan
Pada level 3 berpikir
matematika;
menganalisis
matematis rigor, fungsi kognitif
soal
yang telah digunakan
memahami
oleh
dan
membaca
berulang-ulang maksud
soal
subjek berkemampuan rendah
dengan
antara
pengaktifan
mengetahui stategi tepat apa
matematika
yang
lain:
pengetahuan sebelumnya mampu
yakni
mengingat
subjek kembali,
tujuan
untuk
harus
untuk
digunakannya;
berpikir hipotesis yakni subjek membentuk
dugaan
(bahwa
persegi tidak boleh disebut
antara persegi dan ciri-cirinya
persegipanjang) dan mencari
dengan
bukti
ciri-cirinya
matematika
mendukung
untuk kebenaran
dugaannya tersebut; inferensial
berfikir
yakni
mengembangkan
persegipanjang
dan untuk
menyimpulkan antara
persegi
hubungan dengan
subjek
persegipanjang, namun secara
generalisasi
eksplisit fungsi kognitif ini
berdasarkan sejumlah kejadian
masih
matematika yang ditemuinya;
penjabaran
pembentukan
matematika melalui kategori
hubungan
belum
kuantitatif proporsional yakni
kognitif
subjek
menjabarkan
mampu
hubungan
menetapkan
kuantitatif
yang
yang
matematika
kedua
subjek atau
menguraikan, merefleksi dan menganalisis
oleh
aktivitas
yakni
menghubungkan besar sudut dimiliki
nampak;
aktivitas selama
bangun pada soal; berpikir
memecahkan
masalah
deduktif
matematika yang diberikan.
matematis
yakni
menggunakan
rumus
Fungsi kognitif pada level
luas persegi dan persegipanjang
3 berpikir matematis rigor yang
untuk
membuktikan
belum tampak digunakan oleh
pernyataannya bahwa persegi
subjek berkemampuan rendah
tidak
antara lain pemroyeksian dan
subjek
boleh
disebut
persegipanjang
meskipun
penjelasannya menyatakan
bahwa
perestrukturisasian
hanya
serta
berpikir
rumus
matematis.
hubungan; induktif
untuk menghitung luas kedua bangun itu berbeda; berpikir
PEMBAHASAN
relasional
yang
Hasil penelitian ini mengungkap
ada
profil berpikir matematis rigor siswa
oleh
SMP dalam memecahkan masalah
secara dengan
matematis
implisit
sudah
ditandai
kemampuannya
matematika ditinjau dari perbedaan
mempertimbangkan hubungan
kemampuan matematika. Masalah
yang diberikan merupakan soal-soal
diagonalnya
yang
konsep
membagi dua sama, panjang keempat
persegi dan persegipanjang, ciri-ciri
sisinya sama, setiap sudutnya dibagi
atau
dua sama ukuran oleh diagonal-
berkaitan
dengan
sifat-sifat
hubungan
keduanya
antara
kedua
serta bangun
segiempat tersebut. Siswa menyebutkan ciri-ciri atau sifat-sifat
bangun
dan
saling
diagonalnya,
dan
diagonal-
diagonalnya
saling
berpotongan
tegak lurus. Sehingga berdasarkan
dan
sifat-sifat atau ciri-ciri tersebut maka
persegipanjang serta memberi nama
persegi dapat didefinisikan sebagai
suatu
persegipanjang
gambar
persegi
sama
bangun
berdasar
yang
panjang
atribut/ciri khususnya. Hal ini tidak
keempat sisi-sisinya sama. Pencarian
bisa dipisahkan dari pengalaman atau
hal di atas dapat dilakukan dengan
pengetahuan matematika sebelumnya
mengaktifkan kembali pengetahuan
yang
matematika sebelumnya atau dengan
berkaitan
dengan
konsep
persegipanjang dan persegi. Dalam
mencermati
buku-buku teks matematika kelas
masing-masing gambar bangun yang
VII SMP, disebutkan sifat-sifat (ciri-
tersaji pada soal. Dengan mengenali
ciri) persegipanjang adalah panjang
sifat-sifat
sisi-sisi yang berhadapan sama dan
persegipanjang,
sejajar, keempat sudutnya siku-siku,
menentukan
panjang diagonal-diagonalnya sama
antara kedua bangun serta hubungan
dan saling membagi dua sama.
antara
Sehingga
tersebut.
Menurut
tersebut maka persegipanjang dapat
hubungan
antara
didefinisikan
persegipanjang dinyatakan dengan
berdasarkan
sifat-sifat
sebagai
bangun
dan
menganalisis
(ciri-ciri)
persegi
siswa
ciri-ciri
kedua
dapat
yang
bangun
dan
sama
segiempat
para
pakar,
persegi
dan
segiempat yang sudutnya siku-siku
“semua
dan
persegipanjang” atau dengan kata
panjang
sisi-sisi
yang
persegi
berhadapan
sama
panjang.
lain
Sedangkan
sifat-sifat
(ciri-ciri)
persegipanjang”.
persegi
adalah
berhadapan sudutnya
sisi-sisi
“persegi
merupakan
boleh
disebut
yang
Hasil penelitian ini menunjukkan
sejajar,
keempat
bahwa ada perbedaan penggunaan
siku-siku,
panjang
fungsi kognitif dari ketiga subjek
selama memberi nama suatu bangun.
berkemampuan tinggi
Semua subjek menggunakan fungsi
informasi bahwa bangun gambar 1
kognitif pelabelan, yaitu memberi
pada soal memiliki empat sudut siku-
suatu nama bangun berdasarkan
siku. Sedangkan penjelasan yang
atribut kritisnya. Nama bangun yang
diberikan oleh subjek berkemampuan
diberikan
sedang dan berkemampuan rendah
oleh
menunjukkan
semua
adanya
subjek kesamaan
telah
mengarah
memberikan
pada
bangun
nama yaitu persegipanjang untuk
persegipanjang sebagaimana yang
bangun pada gambar 1 dan persegi
dimaksud.
untuk bangun pada gambar 2 pada soal.
Namun
demikian,
terdapat
Interpretasi garis menurut subjek berkemampuan
sedang
masih
perbedaan dalam hal menjelaskan
bergantung pada arah atau posisi
ciri-ciri dari masing-masing bangun
garis tersebut didepannya. Ketika
yang
suatu garis diletakkan dengan arah
tersaji
pada
soal.
berkemampuan tinggi
Subjek
menjelaskan
miring
jika
dilihat
sudut
bahwa ciri-ciri dari bangun gambar 1
pandang
sehingga ia menamainya dengan
sedang, maka ia menyatakan bahwa
bangun persegipanjang yaitu sisi
garis tersebut serong, bukan garis
yang berhadapan sama panjang,
lurus lagi. Tapi jika posisinya diubah
memiliki dua diagonal yang tidak
mendatar atau tegak maka ia bisa
tegak
eksplisit
menyatakan bahwa garis tersebut
berkemampuan
lurus. Sehingga menurutnya suatu
tinggi untuk ciri-ciri bangun gambar
garis itu bisa serong ataupun lurus
1
tergantung arah orientasinya. Hal ini
lurus.
penjelasan
pada
subjek
soal
cenderung
Secara
(persegipanjang)
mengarah
ke
bangun
subjek
dari
berkemampuan
menunjukkan terjadi konflik dalam
jajargenjang, namun secara implisit
pikiran
sebenarnya subjek berkemampuan
sedang akan makna garis dalam
tinggi
geometri.
telah memahami bangun
subjek
Di
berkemampuan
dalam
buku-buku
gambar 1 pada soal sampai akhirnya
geometri, suatu garis lurus cukup
ia
dinyatakan
dengan
karena
memiliki
menamainya
persegipanjang
karena
dengan pada
wawancara soal 1 butir c, subjek
ia
istilah
garis
ciri
lurus
sempurna. Artinya jika garis tersebut
diubah arah orientasinya, maka ia
sedang kurang mencermati ciri-ciri
tetaplah garis dalam artian garis
lainnya dari bangun gambar 2 pada
lurus.
soal yakni berkaitan dengan besar
Ketiga
subjek
telah
sudut-sudutnya, padahal pada soal
menggunakan fungsi kognitif analisis
telah
dan
dalam
bermakna sudutnya siku-siku. Justru
menjelaskan ciri bangun gambar 2
subjek dengan kemampuan rendah
pada
mampu memaknai simbol siku-siku
pemecahan
soal
kode
sehingga
mereka
menamainya dengan persegi. Ciri yang
dinyatakan
tersaji
simbol
“∟”
yang
ini.
oleh
subjek
Hasil penelitian ini menunjukkan
tinggi
dan
bahwa ada perbedaan penggunaan
adalah
fungsi kognitif dari ketiga subjek
keempat sisi-sisinya sama panjang
ketika menentukan ciri yang sama
dan
siku-siku.
dari kedua bangun yang tersaji pada
berkemampuan
soal (persegipanjang dan persegi).
berkemampuan berkemampuan
sudut-sudutnya
Sementara sedang
rendah
subjek
menyatakan
bahwa
ciri
Subjek berkemampuan tinggi dan
bangun gambar 2 pada soal adalah
subjek
keempat sisi-sisinya sama panjang.
cenderung
Secara
yang sama tentang ciri-ciri yang
eksplisit
diungkapkan berkemampuan
ciri oleh
sedang
yang subjek memiliki
sama
berkemampuan
dari
diberikan.
memberikan
kedua Subjek
rendah informasi
bangun
yang
berkemampuan
interpretasi bias karena ciri tersebut
tinggi menyatakan ciri yang sama
juga
adalah
bisa
cenderung
kearah
mempunyai
empat
sisi,
belahketupat karena bangun tersebut
mempunyai empat sudut siku-siku,
juga memiliki empat sisi yang sama
sisi-sisi berhadapan sama panjang,
panjang. Interpretasi seperti inilah
serta
yang mungkin menyebabkan konflik
Penjelasan yang dipaparkan oleh
dalam pikiran subjek berkemampuan
subjek berkemampuan tinggi ini
sedang tentang nama suatu bangun
secara implisit menunjukan bahwa
jika gambar 2 pada soal dirubah arah
diagonal-diagonalnya
orientasinya,
dan
membagi dua sama panjang. Subjek
belahketupat. Subjek berkemampuan
berkemampuan tinggi menjelaskan
antara
persegi
mempunyai
dua
diagonal.
saling
ciri-ciri yang sama antara kedua
relasional. Subjek berkemampuan
bangun yang diberikan adalah sisi-
tinggi telah menggunakan fungsi
sisi yang berhadapan sama panjang
kognitif berpikir relasioanal ketika
dan
diagonal-diagonalnya
menyatakan hubungan antara persegi
sama panjang dan saling membagi
dan persegipanjang yakni persegi
dua sama, besar setiap sudutnya 900.
boleh disebut persegipanjang karena
Sementara itu subjek berkemampuan
persegi merupakan persegipanjang
sedang menjelaskan ciri-ciri yang
dengan sisi-sisinya sama panjang dan
sama tersebut adalah kedua bangun
diagonal-diagonal berpotongan tegak
sama-sama memiliki empat sisi dan
lurus,
empat sudut. Subjek berkemampuan
menghitung
sedang hanya menganalisis susunan
tersebut sama yakni panjang kali
dari kedua gambar yang diberikan
lebar. Pada persegi karena sisi-
tanpa melakukan pengamatan secara
sisinya sama panjang maka rumus
lebih cermat dan seksama lagi serta
untuk menghitung luasnya cukup
tanpa menggunakan fungsi kognitif
dengan sisi kali sisi saja, namun
pemecahan kode untuk memaknai
boleh juga bila rumus luas persegi
simbol-simbol yang ada pada pada
ditulis dengan panjang kali lebar
kedua gambar bangun. Hal ini
dengan ukuran panjang dan lebarnya
berbeda dengan apa yang dilakukan
sama.
oleh
berkemampuan sedang menyatakan
sejajar,
subjek
dibawahnya,
berkemampuan
karena luas
cara
kedua
Sementara
itu,
untuk bangun
subjek
subjek
bahwa persegi tidak boleh disebut
berkemampuan rendah yang telah
persegipanjang karena menurutnya
mencermati lebih seksama sampai
kedua bangun memiliki ciri yang
pada
berbeda. Syarat suatu bangun boleh
besar
yakni
serta
sudut-sudutnya
serta
diagonal-diagonalnya. Dalam
menentukan
disebut bangun lain menurutnya cirihubungan
ciri kedua bangun tersebut haruslah
antara persegi dan persegipanjang,
sama persis, termasuk cara untuk
hasil penelitian ini menunjukkan
menghitung rumusnya juga harus
bahwa
sama.
terdapat
perbedaan
Senada
dengan
subjek
sedang,
subjek
penggunaan fungsi kognitif terutama
berkemampuan
untuk
berkemampuan rendah menyatakan
fungsi
kognitif
berpikir
bahwa persegi tidak boleh disebut
lebar
persegipanjang karena menurutnya
dipengaruhi oleh pengalaman mereka
sisi-sisi pada kedua kedua bangun
ketika
berbeda dimana pada persegi sisi-
membaca
sisinya sama panjang sementara pada
matematika yang menyajikan bangun
pesegipanjang sisi-sisi yang sama
persegipanjang dimana ukuran sisi
panjang
yang
panjang selalu lebih besar dari pada
berhadapan saja. Secara implisit
ukuran sisi lebar. Meskipun secara
kedua
teori, hal ini tidaklah demikian. Pada
hanya
subjek
sisi-sisi
telah
melakukan
suatu
bangun
mengerjakan
mungkin
soal
buku-buku
atau teks
berpikir relasional namun secara
persegipanjang,
eksplisit masih belum.
persegipanjang dengan ukuran 5 cm
Subjek berkemampuan sedang membedakan
antara
sisi
dengan
misalnya
6 cm, seseorang boleh menyatakan
bahwa
persegipanjang
tersebut
panjang ataupun lebar pada suatu
panjangnya 6 cm dan lebarnya 5 cm
bangun dimana pada persegi tidak
atau panjangnya 5 cm dan lebarnya 6
memiliki
panjang
cm.
Sementara
subjek
atau
lebar.
berkemampuan
Kedua
ukuran
menginterpretasikan sebuah bangun
rendah menyatakan bahwa persegi
persegipanjang
hanya
ukurannya.
memiliki
memiliki
lebar.
panjang
tanpa
Kedua
subjek
tersebut
Secara
yang
sama
keseluruhan
selama
tersebut menyatakan bahwa pada
mengerjakan soal yang diberikan,
persegipanjang, panjang dan lebar itu
hasil penelitian menunjukkan bahwa
tidak boleh sama, lebih khusus lagi
hanya subjek berkemampuan tinggi
bahwa panjang harus lebih besar
yang telah memenuhi ketiga level
ukurannya dari lebar. Pemahaman
fungsi kognitif berpikir matematis
seperti ini mungkin yang melandasi
rigor.
kenapa
berkemampuan
lainnya hanya mampu memenuhi
rendah menyimbolkan sisi-sisinya
level 1 fungsi kognitif (berpikir
dengan p untuk sisi terpanjang dan l
kualitatif) berpikir matematis rigor
untuk
Peneliti
dan telah menggunakan sebagian
berasumsi bahwa interpretasi kedua
fungsi kognitif pada level 2 fungsi
subjek tentang konsep panjang dan
kognitif (berpikir kuantitatif) dan
subjek
sisi
terpendek.
Sedangkan
kedua
subjek
level 3 fungsi kognitif (berpikir
diberikan
relasional
berpikir
kecenderungan yang sama dalam hal
matematis rigor. Pada level 2 (level
penggunaan fungsi kognitif berpikir
berpikir
berpikir
matematis rigor yaitu berada pada
matematis rigor, hasil penelitian
level 1 fungsi kognitif berpikir
telah menunjukkan bahwa subjek
matematis rigor.
abstrak)
kuantitatif)
berkemampuan menggunakan
sedang
ternyata
memiliki
belum
fungsi
kognitif
PENUTUP
pengukuran ruang dan hubungan
Simpulan
spasial
subjek
Berdasarkan proses yang dilakukan
belum
dalam memecahkan permasalahan
kognitif
penelitian, maka dapat disimpulkan
sedangkan
berkemampuan menggunakan
rendah fungsi
pengukuran ruang dan hubungan spasial
serta
penggeneralisasian.
sebagai berikut: Subjek
berkemampuan
tinggi
Pada level ketiga (level berpikir
menggunakan semua fungsi kognitif
relasional) berpikir matematis rigor,
yang termasuk pada level 1 (berpikir
hasil penelitian menunjukkan bahwa
kualitatif),
subjek berkemampuan sedang dan
kuantitatif), dan level 3 (berpikir
subjek berkemampuan rendah masih
relasional
belum menggunakan fungsi kognitif
matematis rigor. Dengan demikian
pemroyeksian
dan
subjek berkemampuan tinggi berada
hubungan,
pada level 3 (berpikir relasional
berpikir induktif matematis, berpikir
abstrak) berpikir matematis rigor
relasional meskipun secara implisit
karena telah menggunakan semua
telah digunakannya namun secara
fungsi kognitif pada ketiga level
eksplisit masih belum.
fungsi kognitif berpikir matematis
perestrukturisasian
Hal ini menunjukkan bahwa meskipun
subjek
level
2
abstrak)
(berpikir
berpikir
rigor.
berkemampuan
Subjek berkemampuan sedang
sedang dan subjek berkemampuan
menggunakan semua fungsi kognitif
rendah
hal
yang termasuk pada level 1 (berpikir
kemampuan matematikanya namun
kualitatif) berpikir matematis rigor.
dalam
Sedangkan
berbeda
mengerjakan
dalam
soal
yang
ada
beberapa
fungsi
kognitif pada level 2 dan level 3
demikian
berpikir matematis rigor yang masih
rendah berada pada level 1 berpikir
belum tampak digunakan. Pada level
matematis rigor.
2
fungsi
kognitif
yang
subjek
berkemampuan
belum
digunakan adalah pengukuran ruang
DAFTAR PUSTAKA
dan hubungan spasial. Pada level 3
Carpenter, T.P., Levi, L., Franke, M.L., Zeringue, J.K., 2005. Algebra in Elemntary School: Developing Relational Thinking. Diunduh pada 20 April 2011 dari http://subs.emis.de/journals/Z DM/zdm051a7.pdf Costa, A.L., dan Kallick, B. Describing 16 habits of Mind. Diunduh pada 8 April 2011 dari www.instituteforhabitsofmin d.com de Bono, E. 2007. Revolusi Berpikir. Bandung : Kaifa (penerjemah Ida Sitompul dan Fahmy Yamani) Depdiknas, 2006. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Evans, J.S.B.T. 2007. Hypothetical Thinking: dual processes in reasoning and judgement. New York: Psychology Press. Buku online diakses pada 20 April 2011 dari http://books.google.co.id/. Fischbein, E. 1994. The Interaction between the Formal, the Algorithmic, And the Intuitive Components in a Mathematical Activity. In R. Biehler, R. W. Scholz, R. Sträßer, B. Winkelmann (Eds.), Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline, (pp.231-245). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Hasyim, M.H. 2009. Tujuan pendidikan dan Pengajaran
fungsi
kognitif
adalah
yang
diguankan
fungsi
kognitif
pengartikulasian
kejadian
matematika logis; pemroyeksian dan perestrukturisasian hubungan; dan berpikir induktif matematis. Dengan demikian
subjek
berkemampuan
sedang berada pada level 1 berpikir matematis rigor. Subjek berkemampuan rendah menggunakan semua fungsi kognitif yang termasuk pada level 1 (berpikir kualitatif) berpikir matematis rigor sedangkan
ada
beberapa
fungsi
kognitif pada level 2 dan level 3 berpikir matematis rigor yang masih belum tampak digunakannya. Pada level 2, fungsi kognitif yang belum digunakan adalah pengukuran ruang dan hubungan spasial serta fungsi kognitif
penggeneralisasian.
Pada
level 3, fungsi kognitif yang belum digunakan adalah fungsi kognitif pemroyeksian
dan
perestrukturisasian hubungan, dan berpikir induktif matematis. Dengan
di SMP dan MTs. Diunduh pada 29 November 2010 dari http://muttaqinhasyim. wordpress.com Holyoak, K.J dan Morrison, R.G. 2005. Thinking and Reasoning. New York : Cambridge University Press. Jensen, E. 2008. Brain-Based learning: Pembelajaran Berbasis Kemampuan Otak, Cara Baru dalam Pengajaran dan Pelatihan. Yogyakarta: Pustaka Pelajar (diterjemahkan oleh Narulita Yusron) Katagiri, S. 2004. Mathematical Thinking and How to Teach it. Tokyo: Meijitosyo Publishers. Kinard, J.T. 2001.Creating Rigorous Mathemaical Thinking: A Dynamic that Drives Mathematical and Science Conceptual Development. Retrieved on October 21, 2009 from www.umanitoba.ca/unevoc/conf erence/ papers/ kinard .pdf.
___________. 2007. Method and Apparatus for Creating Rigorous Mathemaical Thinking. Retrieved on 24 March 2010 from http://www.freepatentsonline. com Kinard, J. T., & Kozulin, A. 2008. Rigorous Mathematical Thinking : Conceptual Formation in the Mathematics Classroom. New York : Cambridge University Press. _______________________. 2005. Rigorous Mathematical Thinking: Mediated Learning and Psychological Tools. Focus on learning Problem in
Mathematics 27.3 (Summer, 2005) :1(29). Academic OneFile. Gale. Universitas Negeri Surabaya. Retrieved on 20 Oct. 2009 from http://find.galegroup.com Miles dan Huberman. 1992. Analisis data Kualitatif. Jakarta : UI press NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA : Nctm inc. Nickerson, R. S., Perkins, D.N., dan Smith, E.E. 1985. The Teaching of Thinking. New Jersey: Lawrence Erlbaum Assocuates, Inc. Polya, G. 1973. How To Solve It; A new Aspect of Mathematical Method. New Jersey: Princenton University Press. Ratumanan, T.G dan Laurens, T. (2003). Evaluasi Hasil Belajar yang Relevan dengan Kurikulum Berbeasis Kompetensi. Surabaya : Unesa University Press. Sabandar, J. Berpikir Reflektif. Diunduh pada 20 April 2011 dari http://math.sps.upi.edu Schoenfeld, A.H. 1992. Learning to Think Mathematically : Problem Solving, Metacognition, and SenseMaking in Mathematics. Diunduh pada 9 April 2011 dari http://citeseerx.ist.psu.edu Shadiq, F. 2004. Pemecahan Masalah, Penalaran dan Komunikasi. Yogyakarta : PPPG Matematika Sobel, M.A dan Maletsky, E.M. 2004. Mengajar Matematika: Sebuah Buku Sumber Alat Peraga, Aktivitas, dan
Strategi. Jakarta: Erlangga. (alih bahasa oleh Suyono). Sugiyono. 2008. Metode Penelitian Pendidikan (Pendekatan Kuantitaif, Kualitatif, dan R & D). Bandung : Alfabeta Sukmadinata, N. 2008. Metode Penelitian Pendidikan. Bandung : Rosda Sumarmo, U. 2010. Berpikir dan Disposisi Matematika : Apa, Mengapa, dan Bagaimana Dikembangkan pada Peserta Didik. FMIPA UPI. Dunduh pada 1 April 2011 dari http://math.sps.upi.edu Sunardi, 2011. Pembelajaran Geometri Sekolah dan Problematikanya. Makalah disajikan pada Seminar Nasional Matematika dan pendidikan matematika di Universitas Jember pada tanggal 23 Juli 2011. Sunarto. 2001. Metodologi Penelitian Ilmu-ilmu Sosial dan Pendidikan (Pendekatan Kuantitatif dan Kualitatif). Surabaya: Unesa University Press. Wintarti, A.et al. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika: Sekolah Menengah Pertama/ Madrasah Tsanawiyah Kelas VII Edisi 4. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Woolfolk, A. 2009. Educational Psychology Active Learning Edition. Yogyakarta: Pustaka Pelajar. (Diterjemahkan oleh Helly Prajitno Soetjipto & Sri Mulyantini Soetjipto) http://www.hwkfs.com, ELF Capital Management- The Power of
Rigorous Thinking. Diunduh pada 4 April 2011 http://www.kaltimpost.co.id, Berpikir Matematis. Diunduh pada tanggal 27 Januari 2011
