Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
PRAKTIKUM II. Úloha č. p p6p p p p p Název:p pMěřeníky p p p p p p p p p p p p p účiníku pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp Pracoval: p p p p p p pLukáš p p p p p p p p Vejmelka p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p p p p p p p FMUZV p p p p p p p p p p p p (73) p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p 21.11.2013 pppppppppppppppppppppppppppppp Odevzdal dne: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Možný počet bodů Práce při měření
0–5
Teoretická část
0–1
Výsledky měření
0–8
Diskuse výsledků
0–4
Závěr
0–1
Seznam použité literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udělený počet bodů
1
Zadání úlohy 1. Změřte účiník: rezistoru, kondenzátoru (C = 10 µF), cívky.
2. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost a odpor v sériovém a paralelním náhradním zapojení. 3. Změřte účiník sériového a paralelního zapojení rezistoru a kondenzátoru (C = 1; 2; 5; 10 µF). Z naměřených hodnot stanovte odpor rezistoru. Určete chyby měření a rozhodněte, které z obou zapojení je v daném případě vhodnější pro stanovení odporu. 4. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. 5. Výsledky úkolu 4. zpracujte graficky, v závislosti na zařazené kapacitě vyneste účiník, fázový posuv napětí vůči proudu a výkon.
2
Teoretický úvod měření
Situace v obvodech protékaných střídavým harmonickým proudem je naprosto odlišná od obvodů stejnosměrných, u kterých je výkon obvodu dán již napětím a proudem. Ve střídavém obvodu potřebujeme k určení výkonu navíc znát vzájemný posun proudu a napětí. Může se například stát, že i přes nenulové napětí a proud je výkon obvodu téměř nulový. V našem měření budeme uvažovat střídavé veličiny harmonických průběhů. Budeme měřit účiník základních součástek – rezistoru, kondenzátoru a cívky; dále impedance RC sériového a paralelního obvodu a nakonec závislost veličin výkon, účiník a fázový posun na kapacitě zařazené v RLC sérii.
Zavedení potřebných veličin a vztahů Vystředováním součinu okamžitých hodnot napětí a proudu přes periodu jejich harmonických průběhů a užitím efektivních hodnot napětí a proudu získáváme pro střední výkon střídavého obvodu vztah [1] P = U I cos ϕ.
(1)
V případě zkoumání střídavých obvodů s prvky typu cívka a kondenzátor je šikovné pro popis harmonických veličin užít komplexní exponenciálu. V komplexním vyjádření lze totiž uchovat a dále pracovat s informací o fázi. Poměr komplexního napětí a komplexního proudu je komplexní impedance [1] U? . I? Pro ideální rezistor, cívku a kondenzátor lze odvodit následující vztahy pro impedanci [1] Z? =
(2)
−j . (3) ωC V sériových RLC zapojeních protéká všemi prvky stejný proud, celkové napětí je rovno součtu komplexních napětí na jednotlivých prvcích. V důsledku toho je výsledná impedance dána součtem impedancí prvků série [1] s 2 1 ωL − ωC 1 1 ? Z = R + j ωL − ⇒ Z = R2 + ωL − , tan ϕ = . (4) ωC ωC R ? ZR = R,
ZL? = jωL,
? ZC =
V obvodech paralelně řazených prvků je na všech prvcích stejné napětí, celkový proud obvodem tekoucí je roven součtu komplexních proudů tekoucích jednotlivými prvky. Jeví se vhodné zavést komplexní veličinu admitanci Y ? jako převrácenou hodnotu impedance Z ? . Admitance paralelního RLC obvodu tak je [1] s 2 1 1 1 1 R ? Y = + j ωC − ⇒ Y = + ωC − , tan ϕ0 = ωRC − . (5) R ωL R2 ωL ωL Úhel ϕ je fázový posun napětí vůči proudu, zatímco ϕ0 je fázový posun proudu vůči napětí.
2
Vyjmeme-li z obvodů některý z prvků, postačí příslušnou část výrazu položit rovnou nule a výsledkem je vztah dané zapojení popisující. Pomocí goniometrické identity cos2 ϕ = tan21ϕ+1 lze ve třetích vztazích (5) a (4) nahradit tangens funkcí kosinus, který lze snadné vyjádřit ze vztahu (1). Po vynechání částí vztahů pro prvky, které nejsou v obvodu obsaženy, lze z rovnic dostat následující vztahy pro sériovou a paralelní indukčnost LS , LP a odpor RS , RP náhradního zapojení reálné cívky a dále odpor řazený v sériovém (Rsr ) a paralelním (Rpr ) RC obvodu. s 2 P 1U P , RS = 2 , (6) LS = 1− ω I UI I LP =
1U q ω I
1 1−
RSr =
P UI
2 ,
1 q ωC
RP =
1 UI 2 P
r RP
1 = ωC
s
UI P
U2 , P
,
(7)
(8)
−1
2 − 1.
(9)
Tato vyjádření bez goniometrických a cyklometrických funkcí jsou výhodná pro snazší výpočet chyb nepřímých měření.
2.1
Použité přístroje, měřidla, pomůcky
Zdroj STATRON typ 5315, analogový wattmetr typ PvLZ 0,2 se zdrojem pro osvětlení, ampérmetr PU510, voltmetr MXD-4660 A, digitální wattmetr HM-8115-2, rezistor, kapacitní dekáda CHAUVIN Arnoux BC05, cívka (1200z, 1A) na uzavřeném magnetickém jádře a vodiče. Ampérmetr – užitý rozsah 200 mA, chyba ±1 % rdg + 0,5 % f.s.; Voltmetr – užitý rozsah 100 V, chyba ±0,8 % + 10 digit; Analogový wattmetr – užitý rozsah 75 V · 0,5 A = 37,5 W, třída přesnosti 0,2; Digitální wattmetr W |V |A : 0,5|0,5|0,4 % + 10|5|5 digit.
2.2
Popis postupu vlastního měření
Měření účiníku samostatných prvků Zapojíme schéma dle obrázku 1. Na průzkumné svorky zapojíme měřený prvek. Odečteme hodnotu výkonu, proudu a napětí. Měření provedeme pro rezistor, cívku a kondenzátor. Měření účiníku RC sériového a paralelního zapojení Na průzkumné svorky předchozího zapojení připojíme rezistor a kapacitní dekádu v paralelním a poté i sériovém zapojení. Naměříme hodnoty napětí, proudu a výkonu pro udané hodnoty kapacity. Po změření analogovým wattmetrem sériového a paralelního zapojení provedeme měření téhož připojením na výstupní svorky digitálního wattmetru, do jehož vstupních svorek přivedeme napájecí napájení. Opět proměříme napětí, proud a výkon (popř. účiník) pro udané kapacity. Měření závislostí I = I(C) a P = P (C) v RLC sérii Na průzkumné svorky digitálního wattmetru připojíme RLC sérii. Zapisujeme napětí, proud a výkon v obvodu v závislosti na hodnotách kapacity, volené na kapacitní dekádě.
3
Obrázek 1: Schéma zapojení pro měření účiníku. Na obrázku je zakreslena proudová a napěťová cívka analogového wattmetru. Digitální wattmetr měří mimo výkonu i napětí, proud a počítá účiník. Na jeho vstup se přivede napájecí napětí, na výstup měřenou zátěž. Ampérmetr a voltmetr tedy není nutno v tomto případě dle schématu zapojovat.
3
Výsledky měření
3.1
Laboratorní podmínky
Teplota v laboratoři: 22,6 ◦ C Atmosférický tlak: 974,5 hPa Vlhkost vzduchu: 31,6 %
3.2
Způsob zpracování dat
Účiník samostatných prvků Příslušné účiníky pro naměřené U, I, P vypočteme podle vztahu vycházejícího z (1) P . (10) UI Relativní chyba určení účiníku je dána odmocninou součtu druhých mocnin relativních chyb určení U, I, P . Tyto chyby jsou dány třídou přesnosti přístrojů a dále chybou odečítání a kolísáním hodnot. cos ϕ =
Nebude-li cívka vykazovat ideální vlastnost cívky, pak pro ni vypočítáme nahrádní sériovou a paralelní indukčnost a odpor dle vztahů (6) a (7). Chyby určení těchto veličin jsou dány chybami měřených veličin. Účiník RC sériového a paralelního zapojení Účiníky obvodu vypočítáme podle vztahu (10). Odpor řazeného rezistoru určíme regresní analýzou naměřených dat. Pro sériové řazení ideálního kondenzátoru dle (4) očekáváme závislost typu
Budeme-li tedy závislostí
U 2 I
U I
2
= R2 +
= f (C) fitovat křivku 4
1 . ω2 C 2
1 , ωx můžeme hledaný odpor vypočítat z regresního koeficientu jako y =A+
Rsr =
(11)
√ A.
Při regresi bude chyba závislé veličiny dána chybou výrazu chyby určení regresního koeficientu.
(12) U 2 I
. Chyba odporu bude vypočítána z relativní
Pro paralelní řazení očekáváme dle (5) závislost typu
Budeme-li tedy závislostí
I 2 U
I U
2 =
1 + ω2 C 2 . R2
= f (C) fitovat křivku y = B + ωx,
(13)
můžeme hledaný odpor vypočítat z regresního koeficientu jako r 1 r Rp = . (14) B 2 Při regresi bude chyba závislé veličiny dána chybou výrazu UI . Chyba odporu bude vypočítána z relativní chyby určení regresního koeficientu. Fitace proběhne jak pro data získáná analogovým, tak digitálním wattmetrem. Vykreslení závislostí veličin cos ϕ, ϕ a P na kapacitě v RLC sérii Účiníky vypočítáme dle vztahu (10). Vykreslíme závislost účiníku a výkonu na zařazené kapacitě. Nalezneme vhodné funkce pro regresní proložení. Vypočítáme absolutní hodnotu fázového posunutí a opatříme ji vhodným znaménkem, aby výsledná hodnota vyjadřovala fázové posunutí napětí vůči proudu. Vykreslíme graf. Určení chyb měření Chyby veličin, které se určují na základě vztahů, které nejsou ve formě prostých součinů měřených veličin a nelze tedy chybu určit kvadratickým hromaděním přímo relativních chyb, je nutno určit dle kvadratické formule pro hromadění chyb z nepřímých měření. Pro výpočet chyby je třeba vypočítat parciální derivace definičního vztahu výsledné veličiny podle veličin měřených, ty pak pronásobit absolutními chybami příslušných veličin a odmocnit součet kvadrátů takto vzniklých součinů. Tím získáme absolutní chybu vypočítané veličiny. Dosazovali-li jsme chyby mezní, je i výsledná chyba chybou mezní (P ≈ 1). Při odděleném výpočtu jednotlivých součinů v kvadrátech pod odmocninou můžeme posoudit, které z chyb měřených veličin jsou pro nejistotu vypočtené veličiny signifikantní.
3.3
Naměřené hodnoty
Naměřené hodnoty zachycují tabulky 1, 2 a 3. Tabulka 1: Naměřené a vypočtené hodnoty s nejistotami měření pro úkol 1. Prvek Výkon P [W] Napětí U [V] Proud I[mA] Účiník cos ϕ[1] Rezistor (2,47 ± 0,11) (50,63 ± 0,04) (49,6 ± 1,0) (0,98 ± 0,05) Kondenzátor (0,00 ± 0,11) (54,01 ± 0,04) (165,4 ± 1,0) (0,00 ± 0,04) Cívka (0,53 ± 0,11) (52,82 ± 0,04) (30,2 ± 1,0) (0,33 ± 0,07)
5
C[µF] 1 2 3 4 5 7 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabulka 2: Naměřené a vypočtené hodnoty s nejistotami měření pro úkol 3. P [W] U [V] I[mA] cos ϕ[1] δcos ϕ [1] ψ = (U/I)2 · 10−6 [V2 A−2 ] δψ [V2 A−2 ] Sériové zapojení – analogový wattmetr 0,125 52,78 15,0 0,16 0,14 12,38 0,83 0,688 52,53 27,9 0,47 0,08 3,54 0,13 1,188 52,23 35,8 0,64 0,06 2,13 0,06 1,531 51,81 40,6 0,73 0,06 1,63 0,04 1,813 51,82 43,6 0,80 0,05 1,41 0,03 2,125 51,67 46,9 0,88 0,05 1,21 0,03 2,250 51,56 48,3 0,90 0,05 1,14 0,02 2,313 51,41 48,6 0,93 0,05 1,12 0,02 Sériové zapojení – digitální wattmetr 0,257 53,20 16,0 0,30 0,02 11,06 0,69 0,812 53,00 28,0 0,55 0,02 3,58 0,13 1,320 52,70 36,0 0,70 0,02 2,14 0,06 1,712 52,70 41,0 0,79 0,02 1,65 0,04 1,974 52,60 44,0 0,85 0,02 1,43 0,03 2,150 52,40 46,0 0,89 0,02 1,30 0,03 2,273 52,30 48,0 0,91 0,02 1,19 0,02 2,360 52,30 48,0 0,94 0,02 1,19 0,02 2,430 52,20 49,0 0,95 0,02 1,13 0,02 2,463 52,20 50,0 0,94 0,02 1,09 0,02
C[µF]
P [W]
U [V]
1 2 3 4 5 7 9 10
2,625 2,625 2,625 2,625 2,688 2,688 2,719 2,750
52,11 52,10 52,20 52,39 52,66 52,65 52,81 52,89
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2,715 2,715 2,733 2,723 2,731 2,725 2,743 2,749 2,763 2,800
52,10 52,20 52,30 52,50 52,30 52,40 52,50 52,50 52,60 52,60
I[mA] cos ϕ[1] δcos ϕ [1] ψ = (I/U )2 · 106 [A2 V−2 ] Paralelní zapojení – analogový wattmetr 53,9 0,93 0,04 1,07 61,2 0,82 0,04 1,38 72,3 0,70 0,03 1,92 86,4 0,58 0,03 2,72 102,1 0,50 0,02 3,76 133,0 0,38 0,02 6,38 164,1 0,31 0,01 9,66 179,3 0,29 0,01 11,49 Paralelní zapojení – digitální wattmetr 54,0 0,97 0,02 1,07 62,0 0,84 0,01 1,41 72,0 0,73 0,01 1,90 85,0 0,61 0,01 2,62 99,0 0,53 0,01 3,58 114,0 0,46 0,01 4,73 129,0 0,41 0,00 6,04 144,0 0,36 0,00 7,52 161,0 0,33 0,00 9,37 175,0 0,30 0,00 11,07
6
δψ [A2 V−2 ] 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,05 0,06 0,06 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06 0,06
C[nF] 100 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1350 1450 1550 1650 1750 1950 2150 2250 2350 2750 2950 3150 3650 4100 4600 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Tabulka 3: Naměřené a vypočtené U [V] δU [V] I[mA] δI [mA] 53,5 0,1 2 1 53,3 0,1 3 1 53,3 0,1 4 1 53,3 0,1 5 1 53,4 0,1 6 1 53,3 0,1 7 1 53,4 0,1 8 1 53,3 0,1 9 1 53,4 0,1 11 1 53,4 0,1 12 1 53,3 0,1 13 1 53,3 0,1 14 1 53,3 0,1 16 1 53,3 0,1 17 1 53,2 0,1 18 1 53,1 0,1 19 1 53,1 0,1 21 1 53,2 0,1 22 1 53,1 0,1 23 1 53,1 0,1 24 1 53,0 0,1 25 1 53,0 0,1 26 1 52,9 0,1 27 1 52,8 0,1 28 1 52,7 0,1 29 1 52,8 0,1 30 1 52,7 0,1 31 1 52,7 0,1 31 1 52,7 0,1 31 1 52,5 0,1 31 1 52,4 0,1 31 1 52,4 0,1 31 1 52,3 0,1 30 1 52,4 0,1 30 1 52,5 0,1 30 1 52,5 0,1 29 1 52,4 0,1 28 1 52,5 0,1 28 1 52,5 0,1 28 1 52,6 0,1 27 1 52,5 0,1 27 1 52,6 0,1 26 1 52,5 0,1 26 1 52,6 0,1 26 1
hodnoty P [W] 0,010 0,023 0,032 0,045 0,060 0,079 0,101 0,129 0,162 0,202 0,247 0,301 0,361 0,431 0,509 0,590 0,679 0,777 0,868 0,938 1,029 1,113 1,192 1,330 1,441 1,520 1,577 1,614 1,632 1,626 1,604 1,598 1,530 1,501 1,482 1,411 1,361 1,322 1,290 1,237 1,196 1,166 1,141 1,125
7
s nejistotami měření pro úkol δP [W] cos ϕ[1] δcos ϕ [1] 0,002 0,09 0,05 0,002 0,14 0,05 0,002 0,15 0,04 0,002 0,17 0,03 0,002 0,19 0,03 0,002 0,21 0,03 0,002 0,24 0,03 0,002 0,27 0,03 0,002 0,28 0,03 0,002 0,32 0,03 0,002 0,36 0,03 0,002 0,40 0,03 0,002 0,42 0,03 0,002 0,48 0,03 0,002 0,53 0,03 0,002 0,58 0,03 0,002 0,61 0,03 0,002 0,66 0,03 0,002 0,71 0,03 0,002 0,74 0,03 0,002 0,78 0,03 0,002 0,81 0,03 0,002 0,83 0,03 0,002 0,90 0,03 0,002 0,94 0,03 0,002 0,96 0,03 0,002 0,97 0,03 0,002 0,99 0,03 0,002 1,00 0,03 0,002 1,00 0,03 0,002 0,99 0,03 0,002 0,98 0,03 0,002 0,98 0,03 0,002 0,95 0,03 0,002 0,94 0,03 0,002 0,93 0,03 0,002 0,93 0,03 0,002 0,90 0,03 0,002 0,88 0,03 0,002 0,87 0,03 0,002 0,84 0,03 0,002 0,85 0,03 0,002 0,84 0,03 0,002 0,82 0,03
4 a 5. ϕ[◦ ] δϕ [◦ ] -84,6 2,9 -81,7 2,9 -81,4 2,3 -80,3 2,0 -79,2 1,9 -77,8 1,8 -76,3 1,8 -74,4 1,8 -74,0 1,5 -71,6 1,6 -69,1 1,7 -66,2 1,8 -65,0 1,7 -61,6 1,9 -57,9 2,0 -54,2 2,2 -52,5 2,1 -48,4 2,3 -44,7 2,6 -42,6 2,6 -39,0 2,9 -36,1 3,1 -33,4 3,3 -25,9 4,3 -19,5 5,7 -16,3 6,6 -15,1 6,9 -8,9 12,0 -2,6 41,1 -2,5 43,7 9,1 11,7 10,3 10,3 12,8 8,5 17,3 6,2 19,8 5,4 22,1 4,9 21,9 5,2 25,9 4,3 28,7 3,8 29,4 3,8 32,5 3,4 31,5 3,6 33,3 3,4 34,7 3,2
3.4
Zpracování dat, číselné a jiné výsledky
Účiník rezistoru, kondenzátoru a cívky Dosazením do vztahu (10) jsme dostali účiníky pro jednotlivé prvky.
cos ϕ|R
=
(0,98 ± 0,05),
P ≈ 1,
cos ϕ|C
=
(0,00 ± 0,04),
P ≈ 1,
cos ϕ|L
=
(0,33 ± 0,07),
P ≈ 1.
Chyby jsou určeny dle kvadratického zákona hromadění chyb. Při výpočtu uvažuji chyby veličin U, I, P viz tabulka 1, zahrnují třídu přesnosti přístroje, kolísání veličin v průběhu měření, u ručičkového wattmetru hrubou chybu odečítání dílků ze stupnice.
Parametry náhradního zapojení cívky Pro cívku jsme určili indukčnost a odpor v náhradním sériovém a paralelním zapojení podle vztahů (6), (7).
RS
=
(581 ± 127) Ω,
LS
=
(5,3 ± 0,4) H,
RP
=
(5,2 ± 1,0) kΩ,
LP
=
(5,9 ± 0,2) H,
P ≈ 1, P ≈ 1, P ≈ 1, P ≈ 1.
Chyby odporů byly určeny snadno přes relativní chyby, chyby určení indukčnosti bylo nutné vypočítat podle obecného vztahu pro kvadratické hromadění chyb. Při výpočtu jsem uvažoval mezní chybu frekvence 0,5 Hz, ostatní chyby jsou uvedeny v tabulce 1. Pro zajímavost uvádím mezivýpočty – dílčí chyby určení indukčnosti pro paralelní zapojení: δω = 0, 05 H, δU = 0, 2 H, δI = 0, 01 H, δP = 0, 3 H. Vidíme, že největší chybu způsobuje nejistota výkonu. Sériové a paralelní RC zapojení Účiníky jsou vypočteny dle vztahu (10) v tabulce 2. Vzhledem k téměř nulovému účiníku kondenzátoru jej budeme považovat za ideální. Pro určení odporu rezistoru v paralelním i sériovém RC zapojení z dat měřených digitálním i analogovým wattmetrem jsme použili regresní analýzu. Chyby určení jsou vypočítány z chyb regresních koeficientů. Rovnice regresních křivek jsou (11), (13). Při vlastní fitaci jsem nechal volný i parametr odpovídající úhlové frekvenci střídavého průběhu k ověření velikosti síťové frekvence. Fitaci křivek vhodných (tj. „fitovatelnýchÿ) závislostí zachycují grafy 1-4. Regresní proložení byla realizována programem QtiPlot. Odpory při sériovém (RS ) a paralelním (RP ) zapojení z dat měřených analogovým wattmetrem a dále frekvence průběhů jsou (a)
RSr
=
(962 ± 71) Ω,
RSr (a) r RP (d) r RP
=
(1009 ± 18) Ω,
=
(991 ± 77) Ω,
P ≈ 1,
=
(994 ± 48) Ω,
P ≈ 1,
(47 ± 3) Hz,
P ≈ 1,
(d)
(a)
fS
(d)
=
P ≈ 1, P ≈ 1,
fS
=
(50 ± 1) Hz,
P ≈ 1,
(a)
fP
=
(52 ± 2) Hz,
P ≈ 1,
(d)
fP
=
(51 ± 2) Hz,
P ≈ 1.
8
(a)
a digitálním
(d)
Průběhy veličin v RLC sérii Účiníky, fázové posuny napětí vůči proudu jsou v tabulce 3. Příslušné závislosti jsou pak zaneseny v grafech 5-7. Grafem 5 je proložena křivka, která závislost nejlépe vystihuje. Její rovnice je 11,6
P (C[F]) =
7,1 + 2,5 −
5,3·10−6 {C}
2 W.
Grafem 6 je proložena křivka, která závislost nejlépe vystihuje. Její rovnice je cos ϕ(C[F]) = r
1
1 + 0,97 −
2,12·10−6 {C}
2 .
Grafem 7 je proložena křivka, která závislost nejlépe vystihuje. Její rovnice je 1,9 · 10−6 ◦ . ϕ C[F] = arctan 0,94 − {C} Z regresních koeficientů této rovnice plyne pro rezonanční kapacitu (maximum) Crez = (2,1 ± 0,3) µF,
P ≈ 1.
Neboť známe rezonanční frekvenci, můžeme z Thomsonova vztahu ω 2 = LTh =
3.5
1 = (4,8 ± 0,6) H, 4π 2 f 2 Crez
1 LC
určit indukčnost cívky
P ≈ 1.
Grafické výsledky měření
Grafy 1-4 zachycují fity pro úlohu 3., grafy 5-7 pak určují závislosti úlohy 5.
Graf 1.: Určení R - analogový wattmetr, sériové zapojení 16 Experimentální body
14
Regresní proložení
(U/I)2 [10−6 V2 A−2 ]
12 10 8 6 4 2 0 2
4
6 C[µF]
9
8
10
Graf 2.: Určení R - digitální wattmetr, sériové zapojení 14 Experimentální body 12
Regresní proložení
(U/I)2 [10−6 V2 A−2 ]
10
8 6
4
2
0 2
4
6 C[µF]
8
10
Graf 3.: Určení R - analogový wattmetr, paralelní zapojení 14 Experimentální body 12
Regresní proložení
(I/U )2 [106 A2 V−2 ]
10
8 6
4
2
0 0
2
4
6 C[µF]
10
8
10
12
Graf 4.: Určení R - digitální wattmetr, paralelní zapojení 14 Experimentální body Regresní proložení
12
8 6
4
2
0 0
2
4
6 C[µF]
8
10
12
Graf 5.: Závislost P = P (C) v sériovém RLC obvodu
1,5
1 P [W]
(I/U )2 [106 A2 V−2 ]
10
0,5 Experimentální body Regresní proložení 0 0
2
4
6 C[µF]
11
8
10
Graf 6.: Závislost účiníku na kapacitě v RLC sérii 1
cos ϕ[1]
0,8
0,6
0,4
Experimentální body
0,2
Regresní proložení 0 0
2
4
6 C[µF]
8
10
Graf 7.: Závislost fázového posuvu napětí vůči proudu na kapacitě v sériovém RLC obvodu 80 60 40
ϕ[◦ ]
20 0 20 40 Experimentální body
60
Regresní proložení 80 0
2
4
6 C[µF]
12
8
10
4
Diskuze výsledků
Komentáře ke grafům Grafy 1-4 Grafy nemají téměř žádný význam, slouží pouze k ilustraci průběhu fitu příslušné závislosti. Fitována byla data pro paralelní i sériové zapojení zvlášť pro analogový a digitální wattmetr. Graf 5. Graf představuje závislost výkonu RLC sériového obvodu na vložené kapacitě. Vidíme, že v oblasti 2 µF dosahuje maxima, zde dochází k rezonanci – účinky kondenzátoru a cívky se „kompenzujíÿ, obvod vykazuje vlastnosti reálné impedance – rezistance. Graf 6. Graf zachycuje závislost účiníku RLC sériového obvodu na vložené kapacitě. Vidíme, že v maximu je účiník téměř jedna. To znamená, že napětí a proud je takřka ve fázi a činný výkon je maximální. V oblasti strmého průběhu a extrému bylo naměřeno záměrně více dat. V oblasti strmého růstu nejsou všechna data pro přehlednost zakreslena, do regresní analýzy však byla zahrnuta data všechna. Graf 7. Graf ukazuje závislost fázového posunu napětí vůči proudu v závislosti na vložené kapacitě v sériovém RLC obvodu. Absolutní hodnota fázového posunu získaná jako arkus cosinus účiníku byla pro jednotlivé kapacity opatřena vhodným znaménkem. Ke změně znaménka dochází při rezonanční kapacitě. S růstem vložené kapacity klesá velikost kapacitance, až dosáhne hodnoty induktance – dojde k rezonanci. S dalším růstem kapacity kapacitance opět klesá, induktance již ale převažuje nad kapacitancí, obvod tedy jeví vlastnosti indukčnosti a napětí předbíhá proud – znaménko je tedy kladné. Další diskuze Velkou nepřesnost při určení účiníku jsme se dopustili měřením ve spodní části rozsahu (37,5 W) analogového wattmetru. Výkon v obvodu s reálným kondenzátorem byl na takto velkém rozsahu neměřitelný. Účiník rezistoru je téměř jedna, lze jej považovat za ideální. V rámci přesnosti analogového wattmetru lze považovat i kondenzátor za ideální, tedy bez aditivního odporu. Ve výpočtech pak z tohoto předpokladu vycházíme. Reálnou cívku za ideální indukčnost v žádném případě považovat nelze, bylo nutné ji nahradit sériovým nebo paralelním zapojením ideální cívky a rezistoru. Analýzou sériového a paralelního zapojení RC obvodu jsme zjistili hodnotu odporu. Výsledné hodnoty si v rámci nejistot měření odpovídají. Přesnosti určení odporu ze sériového zapojení jsou srovnatelné s přesností určení ze zapojení paralelního. V důsledku toho nejsme schopni posoudit, které ze zapojení je vhodnější – lze říci, že obě jsou v dané situaci poměrně nevhodné, odpory jsou určeny s chybou až 8 %. Pro měření odporu lze užít vhodnějších metod. Pro určení správnosti by bylo možné změřit odpor rezistoru multimetrem. Při měření digitálním wattmetrem i přes nastavení citlivého rozsahu přístroj z jakýchsi důvodů neukazoval hodnotu proudu s přesností vyšší než jednotky miliamperů, což vedlo ke snížení přesnosti měření, promítající se do nejistot určení odporu rezistoru. Indukčnost cívky určená z rezonanční kapacity z fitace průběhu ϕ = ϕ(C) řádově odpovídá indukčnostem ideálních cívek v náhradních zapojeních reálné cívky. Hodnoty kapacity kondenzátoru kapacitní dekády jsme při výpočtu považovali za přesné. Jejich případné chyby jsou vzhledem k ostatním nejistotám zanedbatelné.
13
5
Závěr
Účiníky měřeného rezistoru, kondenzátoru a cívky jsou po řadě
cos ϕ|R
=
(0,98 ± 0,05),
P ≈ 1,
cos ϕ|C
=
(0,00 ± 0,04),
P ≈ 1,
cos ϕ|L
=
(0,33 ± 0,07),
P ≈ 1.
Rezistor a kondenzátor lze považovat za ideální, cívku nikoliv. Pro cívku jsme vypočetli parametry indukčnosti a odporu v sériovém a paralelním zapojení
RS
=
(581 ± 127) Ω,
LS
=
(5,3 ± 0,4) H,
RP
=
(5,2 ± 1,0) kΩ,
LP
=
(5,9 ± 0,2) H,
P ≈ 1, P ≈ 1, P ≈ 1, P ≈ 1.
Odpor používaného rezistoru jsme určili z dat RC sériového a paralelního obvodu. Jejich střední hodnota je R¯r = (989 ± 54) Ω,
P ≈ 1.
V RLC sériovém obvodu nastala rezonance pro hodnotu kapacity Crez = (2,1 ± 0,3) µF,
P ≈ 1.
Z kapacity uvádějící obvod do rezonance jsme určili indukčnost cívky na základě Thomsonova vztahu LTh = (4,8 ± 0,6) H,
P ≈ 1.
V RLC sériovém obvodu závislost P = P (C) před dosažením rezonance strmě roste, následně pomaleji klesá. Podobný průběh má i závislost cos ϕ = f (C). Naměřené závislosti jsou zaneseny v grafech 5,6 a 7.
Seznam použité literatury [1] ZFP II MFF UK Praha: Fyzikální praktikum, studijní text. (24.11.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_206.pdf
14
