Přemysl Bejda

Na´stroje Neˇktere´ cenne´ papı´ry Trzˇnı´ cena rizika

Ocenˇovańı´ neˇkteryćh cennyćh papı´ru˚ Prˇemysl Bejda [email protected]

2010

Prˇemysl Bejda

Ocenˇovańı´ neˇkteryćh cennyćh papı´ru˚


Obsah

1

Na´stroje

2

Neˇktere´ cenne´ papı´ry Cizı´ meˇny Akcie

3

Trzˇnı´ cena rizika Obchodovatelnost Cena rizika

Prˇemysl Bejda



Obsah

1

Na´stroje

2


3


Prˇemysl Bejda



Obsah

1

Na´stroje

2


3


Prˇemysl Bejda



Itoôvo lemma

Lemma (Itoôvo) Necht’ Xt je stochasticky´ proces ve tvaru dXt = σt dWt + µt dt a f je deterministicka´ dvakra´t diferencovatelna´ funkce. Potom Yt = f (Xt ) je take´ stochasticky´ proces a platı´: ′ ′′ ′ 1 dYt = (σt f (Xt )) dWt + (µt f (Xt ) + σt2 f (Xt )) dt 2 Prvnı´ krok

Neobchodovatelny´

Prˇemysl Bejda



Martingaly Lemma Necht’ X je stochasticky´ proces ve tvaru dXt = σt dWt + µt dt, T

1 2

ktery´ splnˇuje podmıńku E [(∫0 σs2 ds) ] < ∞. Wt je Brownu˚v pohyb. Pak platı´: Xt je martingal ⇔ X je bez driftu (µt ≡ 0). Veˇta (O reprezentaci martingalu˚) Necht’ Mt je martingal vzhledem k mı´rˇe Q, jehozˇ volatilita σt je s.j. nenulova´. Pokud Nt je libovolny´ martingal vzhledem k mı´rˇe Q, pak existuje Ft -previsible proces φt tak, zˇe s.j. platı´ T 2 2 t ∫0 φt σt dt < ∞ a Nt lze psa´t jako: Nt = N0 + ∫0 φs dMs . Proces φt je navıć urcˇen jednoznacˇneˇ. Prvnı´ krok

Kroky 2 a 3 Prˇemysl Bejda



Cameron - Martin - Girsanov Veˇta (Cameron - Martin - Girsanov) Necht’ Wt je Brownu˚v pohyb vzhledem k mı´rˇe P a γt je Ft -adaptovany´ proces, ktery´ splnˇuje podmıńku T EP exp { 12 ∫0 γt2 dt} < ∞. Pak existuje mı´ra Q takova´, zˇe platı´: 1

Q je ekvivalentnı´ s P

2

dQ dP

T

T

= exp {− ∫0 γt dWt − 21 ∫0 γt2 dt}

˜ t = Wt + t γs ds je Brownu˚v pohyb vzhledem k mı´rˇe Q. W ∫0 Tedy Wt je Brownu˚v pohyb vzhledem k mı´rˇe Q s driftem −γt v cˇase t. 3

Prvnı´ krok

Shodne´ hodnoty

Prˇemysl Bejda



Samofinancujıćı´ a replikacˇnı´ strategie Samofinancujıćı´ strategie je takova´, kdy nemusı´me doplnˇovat portfolio zˇa´dny´mi peneˇzi navıć, ale take´ nenı´ mozˇne´ z neˇj jake´koli penı´ze odcˇerpat. Tj. zmeˇna hodnoty portfolia za´visı´ pouze na zmeˇnaćh cen jednotlivyćh komponent nasˇeho portfolia. Vy´pocˇty Veˇta (Samofinancujıćı´ strategie a ekvivalentnı´ tvrzenı´) Ma´me-li neˇjake´ portfolio s cenou akcie St a mnozˇstvı´m jednotek te´to akcie φt . Da´le ma´me-li dluhopis Bt v pocˇtu ψt . Dvojici (φt , ψt ) oznacˇme za strategii. Nasˇe portfolio ma´ hodnotu Vt = φt St + ψt Bt . Diskontovanou hodnotu Et = φt Zt + ψt , kde Zt = Bt−1 St . Pak z definice je strategie samofinancujıćı´ pokud dVt = φt dSt + ψt dBt , cozˇ je ekvivalentnı´ s dEt = φt dZt . Replikacˇnı´ strategie je samofinancujıćı´ a navıć hodnota portfolia prˇesneˇ zajisˇt’uje neˇjakou budoucı´ platbu. 3 kroky Prˇemysl Bejda



Identifikace normality

Veˇta (Identifikace normality) Na´hodna´ velicˇina X je norma´lneˇ rozdeˇlena´ vzhledem k mı´rˇe P, pra´veˇ tehdy kdyzˇ pro kazˇde´ θ 1 EP (exp(θX )) = exp(θµ + θ2 σ 2 ). 2 Tato veˇta je specia´lnı´ prˇ´ıpad veˇty o charakteristicke´ funkci norma´lnı´ho rozdeˇlenı´. Forward Shodne´ hodnoty

Prˇemysl Bejda



Radonova Nikody´mova veˇta Veˇta (Procesy do cˇasu T ) Prˇedpokla´dejme, zˇe P a Q jsou ekvivalentnı´ mı´ry (vza´jemneˇ absolutneˇ spojite´). Mu˚zˇeme definovat kladnou rea´lnou dP splnˇujıćı´ na´hodnou velicˇinu dQ 1

2

dP EQ (XT ) = EP ( dQ XT ) , pro kazˇdou XT platbu, jezˇ bude zna´ma v cˇase T .

EQ (XT ∣Fs ) = ζs−1 EP (ζT XT ∣Fs ), pokud s ≤ t ≤ T , kde dP ζt = EP ( dQ ∣Ft ).

Tato veˇta take´ ukazuje vlastnosti Radonovi Nikody´movi derivace, ale bylo by trˇeba doka´zat ekvivalenci. Shodne´ hodnoty

Prˇemysl Bejda



Cizı´ meˇny Akcie

Definice V cˇase T , dojde k platbeˇ X . t ∈ [0, T ] je cˇas. ´ rokova´ mı´ra pro dolar je r , pro libru u. U Smeˇnny´ kurz v cˇase t je Ct . Blacku˚v-Scholesu˚v model pro meˇny Dluhopis na dolar Bt = ert . Dluhopis na libru Dt = eut . Kurz libry vu˚cˇi dolaru Ct = C0 exp(σWt + µt),

kde Wt je Brownu˚v pohyb vzhledem k P a r , u, σ, µ jsou konstanty. Prˇemysl Bejda




Investor s dolary Bt je obchodovatelne´. St = Ct Dt cena dluhopisu na jednu libru vyja´drˇena´ v dolarech. Je obchodovatelna´ pro nasˇeho investora. Ct samo nenı´ obchodovatelne´, protozˇe ze samotnyćh peneˇz nema´me zisk. V rizikoveˇ neutra´lnı´m sveˇteˇ budu mı´t vzˇdy pouze vyńos, ktery´ se rˇ´ıdı´ u´rokovou mı´rou r , aby meˇlo St vy´znam jako martingal, je trˇeba diskontovat. Trˇi kroky k replikacˇnı´ strategii

Strategie

1

Najdi mı´ru Q, Zt = Bt−1 Ct Dt je martingal.

2

Vytvorˇ proces Et = EQ (BT−1 X ∣Ft ).

3

Najdi previsible proces φt , tak zˇe dEt = φt dZt . Prˇemysl Bejda




Prvnı´ krok 1 Ma´me tedy Zt = C0 exp(σWt + (µ + u − r )t).

(1)

Da´le postupujeme jako prˇedchozı´ prˇedna´sˇku: Definuj Yt = σWt + (µ + u − r )t, pak stochasticka´ diferencia´lnı´ rovnice je dYt = σdWt + (µ + u − r )dt. Jelikozˇ Zt = exp(Yt ) dostanu z Itoôva lemmatu 1 dZt = σZt dWt + (µ + u − r + σ 2 )Zt dt. 2

(2)

Itoôvo lemma

Podle tvrzenı´ o martingalech, aby Zt bylo martingal, nesmı´ mı´t drift. Martingaly Nynı´ oznacˇı´me konstantnı´ proces γt = γ = (µ + u − r + 21 σ 2 )/σ. Prˇemysl Bejda




Prvnı´ krok

˜ t = Wt + γt Podle C-M-G mu˚zˇeme nale´zt mı´ru Q, prˇi ktere´ W C-M-G je Brownu˚v pohyb vzhledem k mı´rˇe Q. ˜ t − γt do (2) dostaneme dZt = σZt d W ˜ t. Po substituci Wt = W Takzˇe podle veˇty o martingalech nema´ (vzhledem ke Q) Zt drift a tedy je martingal vzhledem ke Q. ˜ t − ((µ + u − r + 1 σ 2 )/σ) t tı´m Nynı´ dosadı´me do (1) Wt = W 2 ˜ dostaneme Zt = C0 exp(σ Wt − 12 σ 2 t) a tedy ˜ t + (r − u − 1 σ 2 )t). Ct = C0 exp(σ W 2 Forward

Shodne´ hodnoty

Prˇemysl Bejda




Druhy´ a trˇetı´ krok

2 Proces Et = EQ (BT−1 X ∣Ft ) jak to vypada´ s platbou X , pokud jsem v cˇase t. Je to martingal. 3 Podle veˇty o reprezentaci martingalu˚ existuje F−previsible t proces φt , takovy´ zˇe Et = E0 + ∫0 φs dZs . Martingaly Strategie Budeme drzˇet φt jednotek dluhopisu v libraćh. ψt = Et − φt Zt jednotek dolarove´ho dluhopisu. Forward

Prˇemysl Bejda




Neˇkolik vy´pocˇtu˚ Chceme, aby strategie byla replikacˇnı´ tj. aby VT = X , kde Vt je hodnota nasˇeho portfolia. Take´ chceme, aby byla strategie (φt , ψt ) samofinancujıćı´. Strategie Dı´ky veˇteˇ o reprezentaci martingalu˚ ma´me (viz prˇedchozı´ slide) dEt = φt dZt , cozˇ je ekvivalentnı´ podmıńka pro samofinancujıćı´ strategii. Hodnota nasˇeho portfolia v cˇase t za strategie (φt , ψt ) a po jednoduche´m vy´pocˇtu je Vt = φt St + ψt Bt = Bt Et , nebot’ ψt = Et − φt Bt−1 St . Z toho VT = BT ET , ale ET = BT−1 X takzˇe nasˇe portfolio je replikacˇnı´, nebot’ ma´ v cˇase T hodnotu X .

Prˇemysl Bejda




Ocenˇovacı´ vzorec pro cizı´ meˇny Z prˇedchozıćh vy´pocˇtu˚ vyply´va´ na´sledujıćı´ vztah. Ocenˇovacı´ vzorec pro cizı´ meˇny Portfolio s reprodukcˇnı´ strategiı´ na dosazˇenı´ platby X v cˇase T , ma´ v cˇase t hodnotu Vt = Bt EQ (BT−1 X ∣Ft )

(3)

kde Q je mı´ra vzhledem ke ktere´ je Zt martingalem. Pomocı´ tohoto vzorce mu˚zˇeme tedy pocˇı´tat hodnotu neˇjake´ platby X v budoucnu na trhu s cizı´ meˇnou. Nebot’ nasˇe portfolio meˇlo takovou hodnotu, abychom byli schopni tuto platbu v budoucnu uskutecˇnit. L Shodne´ hodnoty Prˇemysl Bejda




Forward Za jakou cenu k bychom meˇli souhlasit s na´kupem jedne´ libry v cˇase T ? V cˇase T budeme muset zaplatit rozdı´l mezi cenou na burze a dohodnutou cenou, tedy X = CT − k. Z nasˇeho vzorce na prˇedchozı´m slidu plyne, zˇe hodnota tohoto forwardu v cˇase t je Vt = Bt EQ (Bt−1 X ∣Ft ), cozˇ je e−r (T −t) EQ (CT − k∣Ft ). Protozˇe pocˇı´ta´me v rizikoveˇ neutra´lnı´m sveˇteˇ je V0 = 0, cozˇ da´va´ k = EQ (CT ). Odtud a z Vzorec Ct ˜ T + (r − u − 1 σ 2 )T )) = e(r −u)T C0 kde k = EQ (C0 exp(σ W 2 ˜ T ∼ N(0, T ) a jsme vyuzˇili vlastnosti Brownova pohybu W Identifikace normality

. Prˇemysl Bejda




Forward Vzorec z prˇedchozı´ho slidu pouzˇijeme, ale mı´sto z 0 vyjdeme z t dostaneme EQ (CT ∣Ft ) = e(r −u)(T −t) Ct . Pak mu˚zˇeme pocˇı´tat Vt = e−r (T −t) EQ (CT − k∣Ft ) = e−r (T −t) (EQ (CT ∣Ft ) − e(r −u)T C0 ) = ⋅ ⋅ ⋅ = e−uT (eut Ct − ert C0 ) . Z prˇedchozı´ho vı´me, zˇe Vt = Bt Et a Zt = Bt−1 Ct Dt = e−rt Ct eut takzˇe diskontovana´ hodnota portfolia je Et = Bt−1 Vt = e−uT Zt − e−uT C0 . Z toho dostaneme dEt = e−uT dZt takzˇe pro strategii φt (vzhledem ke vzorci Kroky 2 a 3 ) dostaneme e−ut . Pro ψt pak ψt = Et − φt Zt = −e−uT C0 .

Prˇemysl Bejda




Call opce Hleda´me cenu opce: mu˚zˇeme nakoupit jednu libru za k dolaru˚ v cˇase T . Platba v dolarech v cˇase T je X = (CT − k)+ . Opeˇt vyuzˇijeme vztahu Vt = Bt EQ (BT−1 X ∣Ft ). Protozˇe CT ma´ logaritmicko-norma´lnı´ rozdeˇlenı´ vyuzˇijeme vztahu: Vztah pro logaritmicko norma´lnı´ rozdeˇlenı´ Jestlizˇe Z ∼ N(0, 1) a F , σ ¯ , k jsou konstanty, pak 1 2 E ((F exp(¯ σZ − σ ¯ ) − k)+ ) = 2 FΦ

¯2 ⎞ ¯2 ⎞ ⎛ log Fk + 12 σ ⎛ log Fk − 21 σ − kΦ . σ ¯ σ ¯ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Prˇemysl Bejda




Call opce

Pomocı´ prˇedchozı´ho vztahu a obdobnyćh metod, ktere´ jsme vyuzˇili pro forward se dospeˇje k na´sledujıćı´mu vztahu. F = EQ (CT ) je cena forwardu. V0 = e

−rT

⎧ ⎫ ⎪ ⎛ log Fk + 12 σ 2 T ⎞ ⎛ log Fk − 12 σ 2 T ⎞⎪ ⎪ ⎪ √ √ ⎨F Φ − kΦ ⎬. ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ σ T σ T ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

Pro strategie vycha´zejı´ obdobne´ vzorce.

Prˇemysl Bejda




Investice v libraćh

Musı´me pouze celou situaci zrcadloveˇ prˇevra´tit. Definice a znacˇenı´ Ct−1 prˇedstavuje cenu jednoho dolaru v libraćh. Ut je cena nasˇeho portfolia v cˇase t. Dt jako drˇ´ıv hodnota dluhopisu v libraćh. Bt hodnota dolarove´ho dluhopisu. Yt = Dt−1 Ct−1 Bt = C0−1 exp(−σWt − (µ + u − r )t) diskontovana´ cena dolarove´ho dluhopisu v libraćh.

Prˇemysl Bejda




Investice v libraćh ˜ L = Wt + σ −1 t(µ + u − r − 1 σ 2 ), Nynı´ stacˇı´ zı´skat proces W t 2 tak aby proces Yt byl martingalem, ale nynı´ k mı´rˇe QL . Toto potrˇebujeme k tomu, abychom mohli sledovat trˇi kroky co vedou k replikacˇnı´ strategii, jen pouzˇ´ıva´me prˇevraćene´ znacˇenı´. Z tohoto dostaneme: Ocenˇovacı´ vzorec pro cizı´ meˇny (vzhledem k libra´m) Portfolio s reprodukcˇnı´ strategiı´ na dosazˇenı´ platby v libraćh X v cˇase T , ma´ v cˇase t hodnotu Ut = Dt EQL (DT−1 X ∣Ft ) kde QL je mı´ra vzhledem ke ktere´ je Yt martingalem. Jen pro kontrolu.

$

Shodne´ hodnoty

Prˇemysl Bejda




Prˇijme Anglicˇan jinou cenu, nezˇ Americˇan?

Ota´zku formalizujeme do tvaru: Ct Ut = Vt ? Protozˇe z prˇedchozıćh u´vah vı´me, zˇe ˜L=W ˜ t − σt. ˜ t = Wt + σ −1 t(µ + u − r + 1 σ 2 ), pak W W t 2 Nynı´ mu˚zˇeme opeˇt pouzˇ´ıt C-M-G s γ = −σ. L ˜ T − 1 σ 2 T ). Dostaneme dQ = exp(σ W dQ

2

Da´le zaved’me ζt =

L EQ ( dQ dQ ∣ Ft )

˜ t − 1 σ 2 t). = exp(σ W 2

Identifikace normality

Prˇemysl Bejda




Prˇijme Anglicˇan jinou cenu, nezˇ Americˇan?

Drˇ´ıve jsme spocˇetli C0 ζt = Zt = Bt−1 Ct Dt . Z veˇty

R-N

Prvnı´ krok

, z toho ma´me

plyne EQL (X ∣Ft ) = ζt−1 EQ (ζT X ∣Ft ).

Ze vzorce L dosta´va´me Ct Ut = Ct Dt EQL (DT−1 CT−1 X ∣Ft ) = Ct Dt ζt−1 EQ (ζT DT−1 CT−1 X ∣Ft ). X je dolarova´ pltaba, proto Anglicˇan radeˇji v T zaplatı´ CT−1 X , nebot’ cena je v dolarech. Po dosazenı´ a ze vzorce $ dostaneme Ct Ut = Bt EQ (BT−1 X ∣Ft ) = Vt . Cozˇ jsme chteˇli uka´zat.

Prˇemysl Bejda




Spojite´ vyńosy Prˇedstavme si, zˇe jsme vlastnı´ky neˇjake´ho aktiva, ktere´ prˇina´sˇ´ı sta´ly´ a jisty´ vyńos, cˇi ztra´tu. Pro jednoduchost budeme mluvit o akciıćh. Akciovy´ model se spojity´mi vy´platami Necht’ se cena akcie vyvı´jı´ podle Blackova-Scholesova modelu, St = S0 exp(σWt + µt ) a Bt = exp(rt) je dluhopis s konstantnı´ u´rokovou mı´rou. Pak necht’ platba dividendy v cˇasove´m intervalu dt pocˇıńajıćı´m v cˇase t ma´ hodnotu δSt dt. Proble´m spocˇı´va´ v neobchodovatelnosti procesu St , nebot’ pokud koupı´me za S0 a pak proda´va´me v cˇase T , jizˇ nema´me pouze pocˇa´tecˇnı´ mnozˇstvı´. Ma´me navıć to, co jsme zı´skaly na dividendaćh (cozˇ dohromady stojı´ vıć nezˇ ST ). Prˇemysl Bejda




Spojite´ vyńosy Tj. pokud se budeme rˇ´ıdit pouze St ocenı´me nezbytneˇ neˇjaky´ deriva´t nizˇsˇ´ı hodnotou, nezˇ jaka´ by meˇla by´t, aby nedosˇlo k arbitra´zˇi (pokud δ > 0). Potrˇebujeme proces, ktery´ ma´ souvislost s St , ale je obchodovatelny´. Prˇedstavme si, zˇe nakoupı´me za kazˇdou utrzˇenou dividendu, ktere´ se ovsˇem vyplaćı´ spojiteˇ, ihned akcii, z ktere´ dividendy dosta´va´me. Cozˇ je to same´ jako spojite´ u´rocˇenı´, takzˇe se cena me´ho portfolia musı´ jesˇteˇ na´sobit exp(δt). Obchodovatelny´ proces bude vypadat takto ˜ t = S0 exp(σWt + (µ + δ)t). S Prˇemysl Bejda




Vy´sledky u spojityćh vyńosu˚

S tı´mto procesem jizˇ mu˚zˇeme pracovat a hledat replikacˇnı´ strategii. Postupujeme obdobneˇ jako v prˇedchozı´m prˇ´ıpadeˇ. Pro forward vycha´zı´ jeho hodnota F = e(r −δ)T S0 . Prˇicˇemzˇ replikacˇnı´ strategie rˇ´ıka´: drzˇte φt = e−δ(T −t) jednotek akcie a ψt = −Fe−rT jednotek dluhopisu.

Prˇemysl Bejda




Periodicky placene´ vyńosy

Model pro akcie s periodicky´mi dividendami Necht’ v cˇasech T1 , T2 , . . . jsou vyplaćeny dividendy definovane´ jako neˇjake´ δ ∈ (0, 1) na´sobene´ cenou akcie v momentu vyplaćenı´. Trzˇnı´ cena akcie je modelovańa vztahem St = S0 (1 − δ)n[t] exp(σWt + µt) kde n[t] = max{i ∶ Ti ≤ t} je pocˇet vyplacenyćh dividend do cˇasu t. Je zde take´ obvykla´ cena dluhopisu v cˇase t na jednotku meˇny Bt = exp(rt). Wt je Brownu˚v pohyb, µ, σ jsou konstanty.

Prˇemysl Bejda




Periodicky placene´ vyńosy Nynı´ cˇelı´me dveˇma proble´mu˚m: 1

2

Opeˇt St nenı´ obchodovatelne´, protozˇe nepocˇı´ta´me s tı´m, zˇe dostaneme dividendy. Mimo cˇasy T1 , T2 , . . . se sice proces St rˇ´ıdı´ stochastickou diferencia´lnı´ rovnicı´ dSt = St (σdWt + (µ + 21 σ 2 )dt), nicmeńeˇ v teˇchto cˇasech ma´ skoky.

Stacˇı´ ovsˇem postupovat jako v prˇedchozı´m prˇ´ıpadeˇ. Dividendy, ktere´ dostaneme, ihned investujeme do na´kupu akcie. Tı´m pa´dem to dopadne, jako kdybychom zˇa´dne´ dividendy nevyplaćeli. Tedy ma´me obchodovatelny´ proces beze skoku˚ S˜t = (1 − δ)−n[t] St = S0 exp(σWt + µt). S tı´mto procesem jizˇ pracujeme standardneˇ. Dostaneme naprˇ. cenu forwardu jako F = S0 (1 − δ)n[T ] erT . Prˇemysl Bejda



Obchodovatelnost Cena rizika

Martingaly jsou obchodovatelne´ Bohuzˇel jsem v knize Financial Calculus nenasˇel vhodnou definici obchodovatelnosti, z ktere´ by bylo mozˇno vycha´zet. Budeme postupovat pouze intuitivneˇ. Obchodovatelne´ aktivum bude pro na´s takove´, ktere´ nevytva´rˇ´ı arbitra´zˇnı´ prˇ´ılezˇitosti. Meˇjme obchodovatelny´ martinagal Zt = Bt−1 St vzhledem k mı´rˇe Q. Jiny´ Ft adaptovany´ proces Et = Bt−1 Vt vzhledem k mı´rˇe Q, ktery´ je takte´zˇ Q martingalem. Bt prˇedstavuje obchodovatelny´ dluhopis. Je pak proces Et take´ obchodovatelny´? Stacˇı´ spocˇı´tat replikacˇnı´ strategii, dı´ky ktere´ dospeˇjeme k ET pomocı´ St a Bt . Prˇemysl Bejda




Martingaly jsou obchodovatelne´ Jenzˇe tohle umı´me z prˇedchozıćh vy´pocˇtu˚ ⇒ ma´me tedy samofinancujıćı´ strategii, ktera´ pouzˇ´ıva´ obchodovatelne´ portfolio a kopı´ruje hodnotu Et . Nemu˚zˇe zde tedy by´t arbitra´zˇ, nebot’ se hodnota Et neodchyluje od hodnoty portfolia, ktere´ tvorˇ´ı obchodovatelne´ (bez mozˇnosti arbitra´zˇe) komponenty a toto portfolio je samofinancujıćı´ se. Co kdyby EQ (BT−1 VT ∣Fs ) ≠ Bs−1 Vs a soucˇasneˇ by Vt bylo obchodovatelne´? Definujme jiny´ proces Ut = Bt EQ (BT−1 VT ∣Ft ). Pak ovsˇem jev Us ≠ Vs je pravdeˇpodobny´. Tj. ma´me dva obchodovatelne´ procesy, shodne´ v cˇase T , ale ru˚zne´ v cˇase s. Tato ru˚znost n8m nabı´zı´ mozˇnost arbitra´zˇe. Prˇemysl Bejda




Martingaly jsou obchodovatelne´

Na za´kladeˇ prˇedchozıćh hrubyćh u´vah napı´sˇeme na´sledujıćı´ veˇtu (ktera´ ovsˇem platı´). Veˇta (Obchodovatelna´ aktiva) Necht’ je dań neˇjaky´ dluhopis se spojity´m u´rocˇenı´m Bt a obchodovatelne´ aktivum St . Proces Vt je obchodovatelny´, pra´veˇ kdyzˇ Bt−1 Vt je martingal vzhledem k mı´rˇe Q. Kde Q je mı´ra, prˇi ktere´ je diskontovane´ aktivum Bt−1 St martingalem.

Prˇemysl Bejda




Odvozenı´ ceny rizika ˇ ekneˇme, zˇe model se vyvı´jı´ podle stochasticke´ R diferencia´lnı´ rovnice dSt = St (σdWt + µdt). Budeme takove´ procesy mı´t dva, ale budou se vyvı´jet podle stejne´ho Brownova pohybu dSti = Sti (σi dWt + µi dt), kde i ∈ {1, 2}. Aby tato aktiva byla obchodovatelna´ musı´ jejich diskontovane´ hodnoty by´t martingaly vzhledem ke stejne´ mı´rˇe Q. Budeme pouzˇ´ıvat nejjednodusˇsˇ´ı Blacku˚v-Scholesu˚v model, jako v minule´ prˇedna´sˇce, Bt = exp(rt). Z toho ˜ t = Wt + ( µi −r ) t. Chceme, aby toto byl Brownu˚v ma´me W σi pohyb prˇi stejne´ mı´rˇe. Prˇemysl Bejda




Odvozenı´ ceny rizika

To je ovsˇem mozˇne´ pouze tehdy, pokud

µ1 −r σ1

=

µ2 −r σ2 .

σ bude nynı´ mı´ra rizikovosti, r bezrizikova´ u´rokova´ mı´ra, pak γ = µ−r σ prˇedstavuje zisk navıć na jednu jednotku rizika. Anglicky se tomuto cˇı´slu rˇ´ıka´ market price of risk. V obecneˇjsˇ´ım prˇ´ıpadeˇ kdy se model rˇ´ıdı´ stochastickou diferencia´lnı´ rovnicı´ dSt = St (σt dWt + µt dt) lze uka´zat, zˇe jsou shodne´ a take´ uda´vajı´ trzˇnı´ cenu rizika. hodnoty µσt −r t

Prˇemysl Bejda




Neobchodovatelna´ aktiva Neˇkdy se stane, zˇe chceme zjistit Stochastickou diferencia´lnı´ rovnici, cˇi trzˇnı´ cenu rizika pro neobchodovatelne´ aktivum. Tuto situaci jsme jizˇ rˇesˇili pro kurz cizı´ meˇny. Meˇjme tedy neobchodovatelne´ Xt , ktere´ se rˇ´ıdı´ stochastickou diferencia´lnı´ rovnicı´ dXt = σt dWt + µt dt. Da´le prˇedpokla´dejme, zˇe toto aktivum je spojene´ s obchodovatelny´m aktivem Yt pomocı´ funkce f , tedy Yt = f (Xt ). Z Itoôva lemmatu

Itoôvo lemma

dostaneme

′ ′ ′′ 1 dYt = σt f (Xt )dWt + (µt f (Xt ) + σt2 f (Xt )) dt. 2

Prˇemysl Bejda




Neobchodovatelna´ aktiva Pokud r je konstantnı´, mu˚zˇeme napsat trzˇnı´ cenu rizika Yt (postupujeme jako drˇ´ıve, zbavı´me se driftu u dYt , pomocı´ ˜ t , aby diskontovane´ Yt bylo martingal, riziko je pra´veˇ ten W drift) ′′ ′ µt f (Xt ) + 21 σt2 f (Xt ) − rf (Xt ) . γt = σt f ′ (Xt ) Protozˇe tı´mto postupem jsme v podstateˇ prˇecha´zeli od mı´ry P k mı´rˇe Q, mu˚zˇeme napsat take´ stochastickou diferencia´lnı´ rovnici pro proces Xt prˇi mı´rˇe Q ′′

1 2 ˜ t + rf (Xt ) − 2 σt f (Xt ) dt. dXt = σt d W ′ f (Xt )

Prˇemysl Bejda




Bibliography

M. Baxter, A. Rennie. Financial Calculus: An introduction to derivative pricing. Cambridge university press, 1996. J. C. Hull. Options Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 2002.

Prˇemysl Bejda




Za´veˇr

ˇ as na dotazy C

Prˇemysl Bejda




Za´veˇr

Deˇkuji za pozornost

Prˇemysl Bejda


Přemysl Bejda

Recommend Documents