Pembahasan Soal-Soal Latihan 1.1 Oleh : Fendi Alfi Fauzi
Anda pasti masih ingat bagaimana memanipulasi bilangan, tetapi tidak ada salahnya untuk mengulang kembali sejenak.
Dalam Soal-soal
1 − 20,
sederhanakanlah sebanyak mungkin.
Pastikan untuk menghilangkan semua tanda kurung dan memudahkan semua pecahan.
1. 4 − 3(8 − 12) − 6 = 4 − 3(−4) − 6 = 4 + 12 − 6 = 10 2. 2[3 − 2(4 − 8)] = 2[3 − 2(−4)] = 2[3 + 8] = 2(11) = 22 3. −4[3(−6 + 13) − 2(5 − 9)] = −4[3(7) − 2(−4)] = −4[21 + 8] = −4(29) = −116 4. 5[−1(7 + 12 − 16) + 4] + 2 = 5[−3 + 4] + 2 = 5(1) + 2 = 7
5 1 2 5 11 10 11 1 5. − + = − = − =− 6 4 3 6 12 12 12 12
3 2 3 8 3 13 27 13 14 7 7 21 6. − − = − − = − = − = = 4 12 9 4 36 36 4 36 36 36 36 18
1 1 1 1 1 7. − + 3 2 4 3 6
1 1 1 1 1 − + 3 2 4 3 6
= = = =
1 2 1 1 1 − − 8. − 3 5 2 3 5
1 1 3−4 1 + 3 2 12 6 1 1 1 1 − + 3 2 12 6 1 4 1 − + 3 24 24 1 3 1 = 3 24 24
1 2 1 1 1 − − − 3 5 2 3 5
1 6 − − 3 15 1 6 − − 3 15 1 6 − − 3 15 1 5 − 3 15 1 1 − 3 3 1 − 9
= = = = = =
1
1 5 3 − 2 15 15 1 2 2 15 1 15
14 2 1 − 9. 33 3 7
10.
2
3 14 14 − = 33 21 21
2
14 11 = 33 21
2
14 11 = 33 21
11 2 1 = 21 3 3
11 22 = 21 189
5 7 1 45 49 2 1 94 3 94 2 188 + / 1+ = + / + = / = · = 7 9 2 63 63 2 2 63 2 63 3 189
11.
11 49 11 49
12.
1 2 1 2
− +
3 7 3 7
=
− 34 + + 43 −
7 8 7 8
2 2+
3 4
13. 1 −
11 49 11 49
− +
=
4 8 4 8
21 49 21 49
=
−10 49 32 49
− 86 + + 68 −
7 8 7 8
2 +
3 4
=1−
8 4
=
5 −10 49 · =− 49 32 16
5 8 3 8
=
5 8 5 · = 8 3 3
=
=1−
2 11 4
=1−2·
4 8 11 8 3 =1− = − = 11 11 11 11 11
6 20 3 3 2 =2+ = 5 = 2+ 7 = 2+3· 7 7 7 1+ 2 2 √ √ √ √ 2+ 3 2 − 3 = (2 − 3) = −1 15.
14. 2 +
16.
√
2+
√ √ 2 √ 3 =2+2 6+3=5+2 6
√ √ √ √ √ √ √ √ 17. 3 2 2 − 8 = 3 2 · 2 − 3 2 · 8 = 3 · 2 − 3 16 = 6 − 3 · 4 = −6 h√ i √ √ 3 3 3 18. 2 4 2 + 16
h√ i h 1 i √ √ 1 1 3 3 3 2 4 2 + 16 = 2 · 4 3 2 3 + 16 3 1
h
1
1
= 2 · 22( 3 ) 2 3 + 24( 3 ) 2
1
4
= 2 · 23 23 + 23 5
h
4
1
= 23 23 + 23 6
i
i
9
= 23 + 23 = 22 + 23 = 4 + 8 = 12 19.
5 1 + 6 3
−2
5 2 = + 6 6
−2
−2
=
7 6
1 1 36 = 2 = 49 = 7 49 36 6
20.
1 5 √ − √ 2 2 2
!−2
=
2−5 √ 2 2
!−2
=
−3 √ 2 2
!−2
=
1 −3 √ 2 2
2
1 8 = 9 = 9
Sedikit latihan aljabar akan baik untuk mahasiswa kalkulus. lakukan operasi yang diminta dan sederhanakan.
2
8
Dalam Soal-soal 21-34,
21. (2x − 3) (2x + 3) = 4x2 − 9 22. (2x − 3)2 = 4x2 − 12x + 9 23. (3x − 9) (2x + 1) = 6x2 + 3x − 18x − 9 = 6x2 + −15x − 9 24. (3x + 11) (2x − 4) = 6x2 − 12x + 22x − 44 = 6x2 + 10x − 44 25.
3t2 − t + 1
2
3t2 − t + 1
2
=
3t2 − t + 1
3t2 − t + 1
= 9t4 − 3t3 + 3t2 − 3t3 + t2 − t + 3t2 − t + 1 = 9t4 − 6t3 + 7t2 − 2t + 1 26. (2t − 1)3 = (2t − 1)(2t − 1)(2t − 1) = (4t2 − 4t + 1)(2t − 1) = 8t2 − 12t2 + 6t − 1 27.
x2 − 4 (x − 2)(x + 2) = =x+2 x−2 (x − 2)
x2 − x − 6 (x − 3)(x + 2) 28. = =x+2 x−3 (x − 3) 29.
x3 − 8 = ...? 2x − 4 ingat kembali bahwa (x − a)3 = x3 − 3x2 a + 3xa2 − a3 maka
x3 − a3 = (x − a)3 + 3x2 a − 3xa2 sehingga x3 − 8 (x − 2)3 + 6x2 − 12x = 2x − 4 2x − 4 (x − 2)3 + 6x(x − 2) = 2(x − 2) (x − 2)2 + 6x = 2 2 x − 4x + 4 + 6x = 2 x2 + 2x + 4 = 2
30.
2x − 2x2 2x(1 − x) 2(1 − x) −2(x − 1) −2 = = = = 3 2 2 x − 2x + x x(x − 2x + 1) (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) x+1
31.
18 4 6 − + x2 + 3x x x + 3
x2
18 4 6 18 − 4 (x + 3) + 6x − + = + 3x x x + 3 x2 + 3x 3
18 − 4x − 12 + 6x x2 + 3x 6 + 2x = x(x + 3) 2(x + 3) = x(x + 3) 2 = x =
32.
2 y 2y + 1 + 2 − 6y − 2 9y − 1 1 − 3y y 2y + 1 2 y 2y + 1 2 + 2 − = + 2 − 6y − 2 9y − 1 1 − 3y 2 (3y − 1) 9y − 1 − (3y − 1) 1 y 2y + 1 = + + (3y − 1) (3y − 1)(3y + 1) (3y − 1) (3y + 1) + y + (2y + 1)(3y + 1) = (3y + 1)(3y − 1) (3y + 1) + y + 6y 2 + 5y + 1 = (3y + 1)(3y − 1) 2 6y + 9y + 2 = (3y + 1)(3y − 1)
33. 34.
x2 + x − 6 x2 + x − 2 (x + 3) (x − 2) (x + 2) (x − 1) (x − 2) · 2 == · = 2 x −1 x + 5x + 6 (x + 1) (x − 1) (x + 3) (x + 2) (x + 1) x x−3
2 x2 −4x+3 5 5 + x−3 x−1
−
x x−3
2 x2 −4x+3 5 5 + x−3 x−1
−
= = = = = = = =
x x−3
2 (x−1)(x−3) 5 5 + x−3 x−1
−
x (x − 1) − 2 5 (x − 3) + 5 (x − 1) : (x − 1) (x − 3) (x − 1) (x − 3) x (x − 1) − 2 (x − 1) (x − 3) × (x − 1) (x − 3) 5 (x − 3) + 5 (x − 1) x (x − 1) − 2 5 (x − 3) (x − 1) x2 − x − 2 5x − 15 + 5 − 5 (x − 2) (x + 1) 10x − 20 (x − 2) (x + 1) 10 (x − 2) x+1 10
4
35. Carilah nilai masing-masing yang berikut; jika tak terde nisi, katakan demikian (a). 0 · 0 = 0 ⇐⇒ 0 dikalikan dengan bilangan apapun akan bernilai 0 (b). (c). (d).
0 = tak 0 0 =0 8 8 = tak 0 0
terdefenisi terdefenisi
(e). 8 = 1 (f). 08 = 0
36. Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah tanpa arti sebagai berikut: Andaikan a 6= 0. Jika
= b, maka a = b · 0 = 0 yang merupakan kontradiksi. Sekarang cari alasan mengapa 00 juga tanpa arti. Jawab: 0 = tak terde nisi. Jika kita misalkan x adalah hasil bagi dari 00 maka 00 = x 0 sehingga 0 = x · 0. Maka berapapun nilai x pada himpunan bilangan Real akan memenuhi persamaan diatas mulai dari −∞ sampai +∞ sehingga sangat banyak nilai x yang memenuhi. Tidak mungkin suatu pembagian punya hasil lebih dari satu. Jadi 00 = tak terdefenisi a 0
37. Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah. (a). −2 < −20 (salah) (b). 1 > −39 (benar) (c). −3 < 95 (benar) (d). −4 > −16 (benar)
< 34 (benar) 39 5 (f). − 7 < − 44 (salah) 59
(e).
6 7
38. Buktikan masing-masing jika a > 0, b > 0 (a). a < b ⇔ a2 < b2
a < b ⇒ a2 < ab a < b ⇒ ab < b2 Sehingga a2 < b2 (b). a < b ⇔
a
a b
1 a
> 1b < 1 sehingga
1 b
<
1 a
maka kita dapatkan
1 a
>
1 b
39. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu, artinya, buktikan bahwa: a+b a
a<
a+b 2
40. Mana diantara yang berikut selalu benar jika a ≤ b ? (a). a − 4 ≤ b − 4 (benar) 5
a ≤ b (Pertaksamaan bernilai benar jika masing-masing dikurangi dengan 4 sehingga) a−4≤b−4 (b). −a ≤ −b (salah)
a ≤ b (Pertaksamaan dikalikan dengan −1) sehingga −a ≥ −b (c). a2 ≤ ab (salah)
a ≤ b (pertaksamaan dikalikan dengan a dengan a < 0) a2 ≥ ab (d). a3 ≤ a2 b
a ≤ b (pertaksamaan dikalikan dengan a2 baik a < 0 maupun a > 0 tetapi a2 akan selalu bernilai > 0 dan tanda ketaksamaan tidak akan berubah) a3 ≤ a2 b 41. Bilangan prima adalah bilangan asli (bilangan bulat positif) yang hanya mempunyai dua bilangan asli pembagi, bilangan itu sendiri dan 1. Beberapa bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Menurut Teorema Dasar Hitungan, setiap bilangan asli (selain 1) dapat kita tulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima. Misalnya, 45 = 3.3.5. Tuliskan masing-masing yang berikut sebagai suatu hasil kali bilangan-bilangan prima. Catatan:
Hasil kali tersebut adalah trivial jika bilangan itu adalah prima yaitu,
ia hanya mempunyai satu faktor (a) 240 = 2.2.2.2.3.5 (b) 310 = 2.5.31 (c) 119 = 7.17 (d) 5400 = 2.2.2.3.3.3.5.5 42. Gunakan Teorema Dasar Hitungan (Soal 41) untuk membuktikan bahwa kuadrat sebarang bilangan asli (selain 1) dapat kita tulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima, dengan masing-masing bilangan prima ini muncul sebanyak bilangan genap. Misaalnya, (45)2 = 3.3.3.3.5.5. Jawab:
a = b.b.c.d.d.d dimana b, c, dan d adalah bilangan prima a2 = (b.b.c.d.d.d)2 a2 = (b2 · b2 · c2 · d2 · d2 · d2 ) b2 = (b · b · b · b · c · c · d · d · d · d · d · d ) dari uraian di atas nampak bahwa kuadrat bilangan asli (selain 1) dapat kita tulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima dengan masing-masing bilangan prima mucul sebanyak bilangan genap 6
√ 2 adalah tak tasional ! √ Petunjuk : Andaikan 2 = pq di mana p dan q adalah bilangan-bilangan asli (bukan 2 1). Maka 2 = pq2 sehingga 2q 2 = p2 . Sekarang gunakan Soal 42 untuk menemukan suatu kontradiksi. Jawab: √ p p2 Andaikan 2 = ⇒ 2 = 2 sehingga p2 = 2q 2 ⇒ p2 = 2 · q · q q q Sementara pada soal no. 42 disampaikan bahwa bilangan asli (selain 1) dapat ditulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima, dengan masing-masing bilangan pima mucul sebanyak bilangan genap, sedangkan pada uraian di atas, angka 2 hanya muncul sebanyak 1 kali bukan sebanyak bilangan genap, sudah jelas bertentangan dengan Soal 42.
43. Buktikan bahwa
44. Buktikan bahwa
√ 3 adalah tak rasional (lihat soal 43)
Jawab:
√ √ 3 adalah rasional maka dapat kita tuliskan menjadi 3 = pq dimana p dan q adalah bilangan-bilangan asli (bukan 1). 2 3 = pq2 ⇒ p2 = 3q 2 ⇒ p2 = 3 · q · q Terlihat bahwa angka 3 hanya muncul sebanyak 1 kali, bertentangan dengan per√ nyataan pada Soal 42. Terbukti bahwa 3 takrasional. Andaikan
45. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional. Pembahasan: Misalkan a dan b adalah bilangan rasional, maka dapat kita misalkan a =
m n
dan
b = dimana m, n, p, q adalah bilangan bulat. a+b= m + pq = mq+np n nq Dari uraian diatas terbukti bahwa a + b dapat ditulis dalam bentuk xy dengan x = mq + np dan y = nq dimana x dan y adalah bilangan bulat. Jadi terbukti bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional p q
46. Buktikan bahwa hasilkali sebuah bilangan rasional (selain 0) dengan sebuah bilangan takrasional adalah takrasional. Petunjuk:
Coba buktikan melalui dengan kontradiksi
Jawab: misalkan: a bilangan rasional (selain 0), dengan demikian a =
m , n
di mana m dan
n adalah bilangan bulat. b bilangan takrasional, Andaikan a.b rasional, dan dengan p pn demikian a.b = pq , di mana p dan q adalah bilangan bulat. Maka b = qa = qm dari uraian di atas didapat bahwa b rasional bertentangan dengan hipotesis. Maka terbukti bahwa hasilkali bilangan rasional (selain 0) dengan sebuah bilangan tak rasional adalah tak rasional 47. Mana di antara yang berikut rasional dan mana yang tak rasional?
7
