3. AKTIVNÍ FILTRY 3.1 Úvod Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma jsou potlačována. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů, kondenzátorů a indukčností. Použití pasivních filtrů je běžné všude tam, kde nejsou příliš vysoké nároky na přesnost aproximace přenosové funkce filtru. V ostatních případech dáváme přednost aktivním filtrům, které navíc obsahují jeden nebo několik zesilovačů. Jednou z výhod aktivních filtrů je možnost vyloučení indukčnosti při návrhu a realizaci přenosové funkce. Indukčnost je totiž vždy charakterizována velkými rozměry, relativně velkou cenou vzhledem ke složitosti výroby, ale zejména při použití feromagnetického materiálu se vždy jedná o nelineární prvek, který může negativně ovlivňovat přesnost aproximace přenosové funkce celého filtru. Podle účelu, ke kterému má filtr sloužit, rozlišujeme celkem čtyři základní typy filtrů: 1. Filtr typu dolní propust (low-pass) 2. Filtr typu horní propust (high-pass) 3. Filtr typu pásmová propust (band-pass) 4. Filtr typu pásmová zádrž (notch, latch, band-stop) Základní vlastnosti těchto filtrů jsou znázorněny na obr. 3.1 (v lineárních frekvenčních charakteristikách, v technické praxi obvykle nepoužívaných).
Obr. 3.1 Frekvenční vlastnosti čtyř základních kategorií filtrů Pozn.:
ideální frekvenční charakteristika typické průběhy skutečných frekvenčních charakteristik
1
Hranice mezi propustným pásmem a nepropustným pásmem nastává při určité frekvenci fc, která se nazývá frekvence zlomu. Při této frekvenci může dosáhnout amplitudová frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích aproximovaná přímkami své největší chyby proti skutečné hodnotě.
3.2 Druhy filtrů 3.2.1 Butterworthovy filtry Amplitudová charakteristika Butterworthových filtrů má velmi plochý průběh v propustném pásmu, který začíná klesat teprve v blízkosti frekvence zlomu. Rozdíl mezi ideální a aproximovanou amplitudovou frekvenční charakteristikou je na frekvenci zlomu (f = fc) 3 dB a nezáleží na řádu filtru. Normovaným Butterworthovým polynomem n-tého řádu rozumíme polynom, jehož komplexně sdružené kořeny leží v levé polorovině, přitom pro liché n je jeden kořen vždy reálný a roven -1, dalších n-1 kořenů jsou komplexně sdružené kořeny se zápornou reálnou částí. Pro sudá n má polynom n/2 dvojic komplexně sdružených kořenů se zápornou reálnou částí. V tab. 3.1 jsou uvedeny normované Butterworthovy polynomy. n ... řád filtru koeficienty normovaného Butterworthova polynomu BN(p) 1 (p + 1) 2 (p2 + 1.4142p + 1) 3 (p2 + p + 1)(p + 1) 4 (p2 + 0.7654p + 1)(p2 + 1.8478p + 1) 5 (p2 + 0.618p + 1)(p2 + 1.618p + 1)(p + 1) 6 (p2 + 0.5176p + 1)(p2 + 1.4142p + 1)(p2 + 1.9318p + 1) 7 (p2 + 0.445p + 1)(p2 +1.247p + 1)(p2 + 1.802p + 1)(p + 1) 8 (p2 + 0.3902p + 1)(p2 + 1.1112p + 1)(p2 + 1.663p + 1)(p2 + 1.9616p + 1) 9 (p2 + 0.3472p + 1)(p2 + p + 1)(p2 + 1.532p + 1)(p2 + 1.8794p + 1)(p + 1) 10 (p2 + 0.3128p + 1)(p2 +0.908p + 1)(p2 + 1.4142p + 1)(p2 + 1.782p + 1) (p2 + 1.9754p + 1) Tab. 3.1 Normované Butterworthovy polynomy BN(p) řádu 1 až 10 Obecně lze přenos systému 2. řádu napsat ve tvaru: Au 0 G ( p) = 2 p p +1 + 2k ωc ωc
kde
(3.1)
ω c [ s −1 ] ... je frekvence zlomu
k[ − ] ... je poměrné tlumení V případě Butterworthových filtrů současně platí, že řešením charakteristické rovnice jsou dva komplexně sdružené kořeny ležící v levé polorovině. Butterworthův filtr však lze také obecně popsat přenosem: Au 0 G ( p) = (3.2) B N ( p) kde B N ( p) je Butterworthův polynom n-tého řádu. Jestliže dosadíme p = jω , bude pro absolutní velikost G( jω ) v případě Butterworthova filtru platit:
2
2
G ( jω ) = G ( jω ) G ( − jω ) =
Au20 2n
ω 1+ ωc Ze vztahu (3.3) vyplývá, že absolutní hodnota přenosu G ( jω ) je dána vztahem:
G ( jω ) =
Au 0 ω 1+ ωc
2n
(3.3)
(3.4)
kde n je řád polynomu. Z výrazu (3.4) vyplývá velmi důležitá vlastnost Butterworthových filtrů: platí totiž, že pro ω = ω c poklesne amplituda na výstupu filtru na hodnotu: Au 0 = 0.707 ⋅ Au 0 2 tj. na hodnotu o 3 dB nižší oproti propustnému pásmu. G ( jω ) =
(3.5)
Na obr. 3.2 jsou amplitudové frekvenční charakteristiky Butterworthových filtrů sudého řádu 2 - 16. Na obr. 3.3 jsou pak fázové frekvenční charakteristiky Butterworthových filtrů sudého řádu 2 - 16. Fázová frekvenční charakteristika vykazuje v propustném pásmu plynulou změnu fáze s frekvencí, se sklonem daným počtem pólů filtru. Pro posouzení těchto vlastností se používá pojmu skupinové zpoždění, což je derivace fáze podle frekvence. U tohoto typu filtru nemá v propustném pásmu skupinové zpoždění zvlnění. Přechodová charakteristika (viz obr. 3.4) se vyznačuje rychlým čelem impulsu a mírným překmitem. Butterworthův filtr je nejvíce používaný filtr v regulační technice.
Obr. 3.2 Amplitudové frekvenční charakteristiky Butterworthových filtrů řádu 2 - 16
3
Obr. 3.3 Fázové frekvenční charakteristiky Butterworthových filtrů řádu 2 - 16
Obr. 3.4 Přechodové charakteristiky Butterworthových filtrů řádu 2 - 16
3.2.2 Besselovy filtry Besselovy filtry (nazývané též Bessel-Thomsonovy nebo Thomsonovy filtry) jsou navrhovány tak, aby fázová chgarakteristika byla v pásmu okolo kritické frekvence maximálně lineární. Amplitudová charakteristika v nepropustném pásmu je velmi plochá. Na
4
obr. 3.5 jsou amplitudové frekvenční charakteristiky Besselových filtrů sudého řádu 2 - 16. Amplitudová charakteristika má neostrý zlom a oproti filtrům ostatních druhů je její přechodové pásmo nejdelší. Na obr. 3.6 jsou pak fázové frekvenční charakteristiky Besselových filtrů sudého řádu 2 - 16. Fázová část frekvenční charakteristiky je ve své přechodné části plochá nejvíce ze všech popisovaných filtrů.
Obr. 3.5 Amplitudové frekvenční charakteristiky Besselových filtrů řádu 2 - 16
Obr. 3.6 Fázové frekvenční charakteristiky Besselových filtrů řádu 2 - 16
Na obr. 3.7 jsou přechodové charakteristiky Besselových filtrů sudého řádu 2 - 16. Přechodová charakteristika má malý překmit, menší než 1% amplitudy vstupního skoku.
5
Obr. 3.7 Přechodové charakteristiky Besselových filtrů sudého řádu 2 - 16
Besselovy filtry se používají v televizní technice, při zpracování digitálně syntetizovaného signálu a též v měřicí technice. Použití nacházejí všude tam, kde je na závadu překmit přechodové charakteristiky. V tab. 3.2 jsou uvedeny normované Besselovy polynomy BL(p) řádu 1 až 10. n ... řád filtru 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
koeficienty normovaného Besselova polynomu BL(p) (p + 1) (p2 + 1.732p + 1) (p2 + 1,4912p + 1.062)(9416p + 1) (p2 + 1.3144p + 1.1211)(p2 + 1.8096p + 0.8920) (p2 + 1.7032p + 0.9212)(p2 + 1.1812p + 1.1718)(0.9264p + 1) (p2 + 1.8188p + 0.8615)(p2 + 1.5954p + 0.9556)(p2 + 1.0772p + 1.215) (p2 + 1.76p + 0.8779)(p2 +1.5054p + 0.9897)(p2 + 0.9934p + 1.2517) (0.9195p + 1) (p2 + 1.8194p + 0.8475)(p2 + 1.6946p + 0.8993)(p2 + 1.4222p + 1.0222) (p2 + 0.9244p + 1.2836) (p2 + 1.7822p + 0.8579)(p2 + 1.6296p + 0.9226)(p2 + 1.3488p + 1.0525) (p2 + 0.8662p + 1.3114)(0.9155p + 1) (p2 + 1.8182p + 0.8395)(p2 +1.7376p + 0.8725)(p2 + 1.5676p + 0.946) (p2 + 1.2836p + 1.0804)(p2 + 0.8166p + 1.3359)
Tab. 3.2 Normované Besselovy polynomy BL(p) řádu 1 až 10
6
3.2.3 Eliptické filtry Eliptické, též Cauerovy nebo Cauer-Čebyševovy filtry, byly navrženy Cauerem v roce 1931. Tyto filtry se vyznačují maximální strmostí zlomové části amplitudové charakteristiky, čemuž odpovídá krátké přechodové pásmo. Na obr. 3.8 jsou amplitudové frekvenční charakteristiky eliptických filtrů sudého řádu 2 - 16.
Obr. 3.8 Amplitudové frekvenční charakteristiky eliptických filtrů sudého řádu 2 - 16
Obr. 3.9 Fázové frekvenční charakteristiky eliptických filtrů sudého řádu 2 - 16
7
Na obr. 3.9 pak jsou fázové frekvenční charakteristiky eliptických filtrů sudého řádu 2 - 16. Na obr. 3.10 jsou uvedeny přechodové charakteristiky eliptických filtrů sudého řádu 2. - 16.
Obr. 3.10 Přechodové charakteristiky eliptických filtrů sudého řádu 2 - 16
Eliptické filtry nacházejí použití všude tam, kde se požaduje velmi strmý pokles amplitudové frekvenční charakteristiky na zlomové frekvenci. Eliptický filtr, navržený s danými parametry, představuje optimální řešení pro tento požadavek. Eliptické filtry najdeme v televizní, měřicí a komunikační technice. Vstupními parametry návrhu eliptického filtru jsou n , ω c , R p a Rs , tedy řád, zlomová frekvence, maximální zvlnění v propustném směru a minimální útlum v nepropustném pásmu (viz obr. 3.11).
Obr. 3.11 Parametry návrhu eliptického filtru
8
3.3 Příklad návrhu a realizace Butterworthova filtru Návrh Butterworthova filtru s použitím operačních zesilovačů a s využitím normovaných polynomů BN(p) (tab. 3.1) je možno řešit různým způsobem. Především je možné dokázat, že lze s jedním operačním zesilovačem a sítí RC realizovat filtr libovolného řádu. Tímto způsobem lze redukovat na nejmenší možnou míru počet aktivních součástek obvodu, na druhé straně však vytvořené obvody splňují požadované vlastnosti pouze s velmi přesnými hodnotami součástek. Tato citlivost roste s rostoucím řádem filtru. Příklad zapojení aktivní dolní propusti n-tého řádu s jedním operačním zesilovačem je možné nalézt např. v literatuře [3.1]. Jiný způsob návrhu dolních nebo horních propustí využívá operačních zesilovačů jako impedačních převodníků, tj. zesilovačů s kladným zesílením s vysokou vstupní impedancí a minimální výstupní impedancí. V tomto případě je možné použít zapojení pro první řád podle obr. 3.12. Impedance Z1 a Z2 v obr. 3.12 jsou tvořeny prvky RC. V případě aktivního filtru typu dolní propust bude impedance Z1 nahražena rezistorem a impedance Z2 kondenzátorem.
Obr. 3. 12 Zapojení filtru 1. řádu
Obr. 3.123 Zapojení Sallen-Key filtru druhého řádu
Zapojení s jedním operačním zesilovačem pro druhý řád je na obr. 3.13. Tomuto zapojení se běžně říká Salen-Key filtr. Impedance Z1 až Z4 v obr. 3.13 jsou tvořeny stejně jako v případě filtru 1. řádu prvky RC. V případě aktivního filtru typu dolní propust budou
9
impedance Z1 a Z2 nahraženy rezistory, zatímco impedance Z3 a Z4 budou nahraženy kondenzátory. Při realizaci filtru typu horní propust budou zaměněny rezistory a kondenzátory. Chceme-li realizovat filtr vyššího řádu, pak pro liché n se zapojení skládá z kaskádního spojení (n-1)/2 obvodů podle obr. 3.13 a jednoho obvodu podle obr. 3.12. Pro sudé n se pak výsledné schema skládá z n/2 obvodů podle obr. 3.13. Určitá nevýhoda tohoto způsobu návrhu je v tom, že pro zaručení přenosové funkce BN(p) vycházejí obvykle rozdílné hodnoty kapacit nebo odporů pro jednotlivá zapojení. V následujícím odvozeních bude použit vztah (3.1), který představuje typickou přenosovou funkci obecného systému druhého řádu: Au 0 G ( p) = 2 p p +1 + 2k ωc ωc V obou popisovaných zapojeních je operační zesilovač zapojen jako neinvertující zesilovač, jehož zesílení AU 0 je v pásmu provozovaných frekvencí dáno vztahem: R + R2 R AU 0 = 1 = 1+ 2 (3.6) R1 R1 S využitím vztahu (3.6) platí pro zapojení na obr. 3.13: R1 U Ui = U2 = 2 R1 + R2 AU 0 Pro napětí Ux platí: Z3 (Z2 + Z4 ) Z1 ( Z 2 + Z 4 ) U x = U1
Z3 + Z2 + Z4 Z1 +
Z3 (Z2 + Z4 )
+ U2
Z1 + Z 2 + Z 4
Z1 ( Z 2 + Z 4 )
(3.7)
(3.8)
Z3 + Z3 + Z2 + Z4 Z1 + Z 2 + Z 4 Napětí na neinvertujícím vstupu je jednak dáno vztahem (3.7), ale současně můžeme
psát: Z4 (3.9) Z2 + Z4 Dosadíme-li za Ux ze vztahu (3.8) do vztahu (3.9) a současně porovnáme vztahy (3.7) a (3.9) dostaneme po úpravě: U2 U 1 Z 3 Z 4 + U 2 Z1 Z 4 = (3.10) AU 0 Z1 Z 3 + Z1 Z 2 + Z1 Z 4 + Z 3 Z 2 + Z 3 Z 4 Další úpravou dostaneme přenos ve tvaru: U2 AU 0 Z 3 Z 4 = (3.11) U 1 Z1 Z 2 + Z1 Z 4 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 4 + Z1 Z 3 − AU 0 Z1 Z 4 Chceme-li nyní realizovat např. dolní propust druhého řádu typu Butterworth, definujeme: 1 Z1 = Z 2 = R a Z 3 = Z 4 = pC Ui = U x
10
U 2 ( p) = U 1 ( p)
1 AU 0 pC
2
2
R R 1 R R + + − AU R2 + + pC pC pC pC pC a po úpravě dostaneme: AU 0 U 2 ( p) = U 1 ( p) ( pRC ) 2 + (3 − A ) pRC + 1 U
(3.12)
(3.13)
Porovnáme-li nyní vztah (3.13) se vztahem (3.1) určíme: 1 (3.14) ωc = RC a dále 2 k = 3 − AU , respektive pro dané k z tab. 3.1 určíme potřebné zesílení AU 0 : AU 0 = 3 − 2k (3.15) Na základě vztahů (3.14) a (3.15) lze velmi jednoduše navrhovat požadovaný filtr tak, že určíme podle (3.14) prvky R, C a hledáme takové zesílení AU pro každý operační zesilovač, aby byl navržen koeficient tlumení podle tab. 3.1.
3.4 Návrh pásmových propustí pomocí filtrů polynomiálního typu Pásmová propust tohoto typu vznikne kaskádním zapojením dolní a horní propusti podle obr. 3.14.
Obr. 3.134 Realizace pásmové propusti pomocí dolní a horní propusti
Realizace pásmové propusti podle principu na obr. 3.14 má velkou výhodu v univerzálnosti použití. Volbou řádu obou propustí můžeme volit sklony charakteristik nezávisle na sobě. Frekvence fd a fh je možno libovolně měnit a vždy jsou vzájemně nezávislé, je-li splněna podmínka f d ≤ f h }viz obr. 3.1. Vlastní návrh pásmové propusti je velmi jednoduchý a lze použít stejný postup jako v případech dolní či horní propusti, které byly popsány v předchozích kapitolách.
3.5 Návrh pásmových zádrží pomocí filtrů polynomiálního typu U tohoto návrhu, podobně jako v předchozím případě, lze frekvence fd a fh libovolně bez interakce měnit. Rovněž sklony frekvenčních charakteristik v okolí pásma zadržených frekvencí lze navrhovat nezávisle na sobě. Vlastnosti zapojení dolní a horní propusti však v tomto případě nelze provést kaskádně. Obě propusti se zapojují společně svými vstupy a jejich výstupy se přivádějí na součtový zesilovač podle obr. 3.15.
11
Obr. 3.145 Princip zapojení pásmové zádrže
Návrh této pásmové zádrže vychází opět z výše popsaného způsobu návrhu dolní a horní propusti. Součtový zesilovač lze realizovat způsobem podle obr. 3.15. V tomto případě je výstupní napětí dáno vztahem: R R + u12 = 0.5(u11 + u12 ) u2 = u11 2R 2R
(3.16)
3.6 Řešené příklady 3.6.1 Butterworthův filtr 4. řádu Zadání: Navrhněte Butterworthův filtr typu dolní propust čtvrtého řádu se zlomovou frekvencí f c = 1kHz . Máte k dispozici kondenzátory 33 nF a rezistory z řady E24. Rezistory R1 = R1' = 10kΩ nemáte možnost měnit. Řešení: Filtr bude sestaven ze dvou zapojení „ Sallen-Key “ (viz obr. 3.16).
Obr. 3.156 Dolní propust 4. řádu typu Butterworth
12
Obecně lze zapsat normovaný Butterworthův polynom čtvrtého řádu ve tvaru: B N ( p) = ( p 2 + 2 k1ω1n p + ω12 )( p 2 + 2 k 2ω 2 n p + ω 22n ) Podle tab. 3.1 je charakteristický polynom Bn(p): . B N ( p) = ( p 2 + 0.7654 p + 1)( p 2 + 18478 p + 1) První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2: AU = 3 − 2 k 1 = 3 − 0.7654 = 2.2346 AU' = 3 − 2 k 2 = 3 − 18478 . = 11522 . R2 + 1 = 2.2346 R1 Ze zadání známe R1 = 10kΩ a snadno dopočítáme R2 = R1 ( AU − 1) = R1 (2.2346 − 1) = 12.346kΩ AU =
' U
A
=
R2' R1' 1
+ 1 = 11522 .
Známe-li R1' = 10kΩ snadno opět dopočítáme . − 1) = 1522 . kΩ R''2 = R1' ( AU' − 1) = R1' (11522 Frekvence zlomu je dána vztahem (3.14) 1 fc = 2πRC Volíme jednu součástku a druhou dopočítáme. Z praktického hlediska je vhodné volit velikost kondenzátorů, neboť se obvykle jedná o rozměrnější součástku, která by měla být co do hodnoty v řadě vyráběných kondenzátorů. Ze zadání plyne, že máme volit velikost kondenzátoru C=33 nF. 1 R= = 4.823kΩ 2πf c C Odpor R je tedy přibližně 4k9. Na obr. 3.17 jsou frekvenční a přechodové charakteristiky takto navrženého filtru.
3.6.2 Besselův filtr 4. řádu Zadání: Navrhněte Besselův filtr typu dolní propust čtvrtého řádu se zlomovou frekvencí f c = 1kHz . K dispozici máte kondenzátory 33 nF a rezistory z řady E24. Rezistory R1 = R1' = 10kΩ nemáte možnost měnit. Řešení: Filtr bude sestaven opět ze dvou zapojení „Salen-Key “ (viz obr. 3.18).
13
Obr. 3.167 Frekvenční a přechodové charakteristiky navrženého Butterworthova filtru 4. řádu typu dolní propust
14
Obr. 3.178 Dolní propust 4. řádu typu Bessel
Obecně lze zapsat normovaný Besselův polynom čtvrtého řádu ve tvaru: B L ( p) = ( p 2 + 2 k 1ω1n p + ω12 )( p 2 + 2 k 2ω 2 n p + ω 22n ) Podle tab. 3.2 je charakteristický polynom BL(p): . . )( p 2 + 18096 . B L ( p) = ( p 2 + 13144 p + 11211 p + 0.892) První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2. ω1n = 11211 . = 10588 . , ω1 = 10588 . ⋅ 2π ⋅ f c
ω 2 n = 0.892 = 0.9445 ,
ω 2 = 0.9445 ⋅ 2π ⋅ f c
2 k1 = 13144 . / 10588 . = 12414 . , AU = 3 − 2 k1 = 3 − 12414 . = 17586 . ' . / 0.9445 = 19159 . , AU = 3 − 2 k 2 = 3 − 19159 . = 10841 . 2 k 2 = 18096 Dále určíme hodnoty Z1 − Z 4 a Z1' 1 − Z 4' :
ωi =
1 2πRi C
Z 3 = Z 4 = Z 3' = Z 4' = 33nF 1 1 = = 4.555kΩ Z1 = Z1' = ω1C 10588 ⋅ 2π ⋅ 1000 ⋅ 33 ⋅ 10 − 9 . 1 1 = = 5106 . kΩ Z 2 = Z 2' = ω 2 C 0.9445 ⋅ 2π ⋅ 1000 ⋅ 33 ⋅ 10 − 9
Nakonec je potřeba určit hodnoty rezistorů R2 a R2' , víme-li ze zadání, že R1 = R1' = 10kΩ . R AU = 2 + 1 = 17586 . R1 R2 = R1 ( AU − 1) = R1 (17586 . − 1) = 7.586kΩ ' R2 AU' = ' + 1 = 11522 . R11 R''2 = R1' ( AU' − 1) = R1' (10841 . − 1) = 841Ω
15
Na obr. 3.19 jsou frekvenční a přechodové charakteristiky takto navrženého filtru.
Obr. 3.189 Frekvenční a přechodové charakteristiky navrženého Besselova filtru 4. řádu typu dolní propust
16
3.7 Filtry se spínanými kondenzátory 3.7.1 Úvod V předchozích kapitolách jsme poznali jak lze vytvořit aktivní filtry z diskrétních pasivních a aktivních prvků. U těchto filtrů lze velmi složitým způsobem měnit jejich parametry, především pak přeladění jejich kmitočtových vlastností. Nabízí se zde použití filtrů, kde se tato změna provádí velmi elegantním způsobem. Rezistory v nich jsou nahraženy periodicky přepínanými kondenzátory, což dovoluje změnu jejich ekvivalentních odporů a následně i přeladění filtru úpravou přepínacího kmitočtu. Proto jsou tyto filtry v literauře označovány jako SCF (switching capacitors filtres).
3.7.2 Princip filtru se spínaným kondenzátorem
Obr. 3.20 Princip filtru se spínaným kondenzátorem
Označíme-li časový interval t1 , jako interval po který je sepnut spínač S1 a t 2 jako interval, po který je sepnut spínač S 2 , bude pro periodu TCLK platit (viz obr. 3.20): 1 TCLK = = t1 + t 2 (3.17) f CLK kde TCLK je perioda vzorkování a f CLK je vzorkovací frekvence. Náboj kondenzátoru C1 je v okamžicích přepnutí dán vztahy: Q(t1 ) = C1u1 , Q(t 2 ) = C1u2
(3.18)
Změna náboje na kondenzátoru za jednu vzorkovací periodu je tedy: ∆Q(t1 ) = C1 (u1 − u2 ) = I ⋅ TCLK
(3.19)
Změna náboje v časovém intervalu je proto dána střední hodnotou proudu v tomto časovém intervalu. Z tohoto a s využitím Ohmova zákona můžeme psát: u1 − u2 u1 − u2 = I= (3.20) Rekv TCLK C1
17
Ze vztahu (3.20) plyne, že pomocí vzorkování lze realizovat časovou konstantu, ve T které figuruje přídavný kondenzátor C1 a odpor je nahrazen fiktivním odporem Rekv = CLK . C1 Časová konstanta obvodu je tedy (podle obr. 3.20): C τ = Rekv C2 = 2 TCLK (3.21) C1 Časová konstanta podle vztahu (3.21) nezávisí na skutečném odporu, ale pouze na C periodě vzorkování TCLK a na poměru dvou kapacit 2 . C1 Přenos obvodu (na obr. 3.20) je dán vztahem: uO ( p ) C 1 1 =− =− 1 (3.22) u1 ( p) pC2 Rekv C2 pTCLK C1 Pokud zaručíme konstantní poměr , bude zlomová frekvence řízena pouze C2 frekvencí vzorkovací, přičemž se nemění tvar charakteristiky filtru. Toto je základní výhoda filtrů se spínaným kondenzátorem. Další výhodou je, že mezní kmitočet je dán poměrem kapacit , což je příznivé z hlediska vlivu teploty na parametry filtru.
3.7.3 Aliasing Aliasing, neboli překrývání ve frekvenčním spektru vzniká v důsledku přepínání kondenzátoru, které je současně vzorkováním. Běžná dolní propust je pásmovou propustí pro f od 0 Hz až do f C . Filtr se spínaným kondenzátorem je však navíc propustí frekvence od f CLK − f C do f CLK + f C , od 2 f CLK − f C do 2 f CLK + f C , ..., přeložené do propustného pásma filtru. Aliasingu se zamezuje vložením klasického filtru před filtr se spínaným kondenzátorem. Filtr se spínaným kondenzátorem tedy zajistí požadovaný řád a typ filtru (velkou strmost, malou chybu) a klasický (spojitý) dolnopropustný filtr zajistí, aby ve spektru signálu vstupujícího do filtru se spínaným kondenzátorem byly frekvence vyšší než f CLK / 2 dostatečně potlačeny. Tomuto způsobu zpracování říkáme prefiltering. Nevýhodou je, že spojitý filtr není snadné plynule přelaďovat elektrickým signálem. Pevným spojitým filtrem se omezíme jen na určité pásmo, ve kterém lze celý filtr přelaďovat. Stabilita filtru je závislá na vhodně zvolené vzorkovací frekvenci vzhledem k požadované frekvenci zlomu. Pro stabilitu je nutno zaručit, aby vzorkovací frekvence f CLK byla podle Shannonovy věty f CLK >> 2 f C , kde f C je požadovaná frekvence zlomu. Poměr f CLK / 2 f C bývá pro běžné aplikace volen v pásmu 50:1, v přesnějších aplikacích až 100:1.
3.8 Popis měřicího přípravku K dispozici máte dva přípravky filtru typu Salen-Key (viz obr. 3.21) pro realizaci klasických aktivních filtrů a dále tři přípravky filtru se spínaným kondenzátorem realizované pomocí integrovaných obvodů MAX291, MAX292 a MAX293 (viz obr. 3.21). Tyto přípravky obsahují kromě filtru 8. řádu se spínaným kondenzátorem také klasický dolnopropustní filtr, jehož frekvence zlomu je pevně nastavena na 10 kHz.
18
Obr. 3.191 Přípravek filtru typu Salen-Key a přípravek filtru se spínaným kondenzátorem
Příkladem filtru se spínaným kondenzátorem je např. řada integrovaných obvodů MAX 29x. Zde jsou uvedeny základní vlastnosti této řady: Označení MAX 291 MAX 292 MAX 293 MAX 294 MAX 295 MAX 296 MAX 297
Aproximace Butterworthova Besselova Eliptická Eliptická Butterworthova Besselova Eliptická
f CLK / f C 100:1 100:1 100:1 100:1 50:1 50:1 50:1
Řád 8 8 8 8 8 8 8
f C (max) 25 kHz 25 kHz 25 kHz 25 kHz 50kHz 50kHz 50kHz
Tab. 3.3 Základní vlastnosti řady MAX 29x
Parametr Napájecí napětí - symetrické Napájecí napětí - nesymetrické Napájecí proud Rozkmit vstupního napětí Rozkmit výstupního napětí Příkon
min ± 2.375V + 4.750V
max ± 5.500V + 11.000V 22 mA 4V 4V 760 mW
Tab. 3.4 Společné vlastnosti řady MAX 29x
19
Pin 1 2 3 4 5 6 7 8
Název CLK UOP OUT OP IN OUT GND U+ IN
Popis funkce Vstup hodinového signálu Záporné napájecí napětí Výstup volného OZ Vstup volného OZ Výstup filtru Analogová zem Kladné napájecí napětí Vstup filtru
Tab. 3.5 Zapojení vývodů MAX 29x
Přípravek umožňuje připojit k vnitřnímu oscilátoru MAX 29x externí kapacitu. Frekvence generovaného hodinového signálu se vypočte takto: 105 (3.23) f CLK [ kHz ] = 3Cext [ pF ]
3.9 Domácí příprava 1. Seznamte s konkrétním postupem návrhu aktivních filtrů typu Butterworth ve všech jeho podobách podle obr. 3.1. Navrhněte dolnopropustný filtr 2. řádu typu Butterworth pro frekvenci zlomu f c = 800 Hz . K dispozici máte sadu kondenzátorů s následujícími hodnotami: 1nF, 3.3nF, 10nF a 33nF. Dále máte k dispozici rezistory z řady E24. 2. Seznamte se konkrétním postupem návrhu aktivních filtrů typu Bessel. Navrhněte . kHz . dolnopropustný filtr 2. řádu typu Bessel pro frekvenci zlomu f c = 12 K dispozici máte sadu kondenzátorů s následujícími hodnotami: 1nF, 3.3nF, 10nF a 33nF. Dále máte k dispozici rezistory z řady E24. 3. Seznamte se s principem činnosti filtru se spínaným kondenzátorem.
3.10 Úkoly měření 1. Na přípravku sestavte vámi navržený dolnopropustný Butterworthův filtr 2. řádu. . f C a na osciloskopu sledujte Na vstup zaveďte obdélníkový průběh s frekvencí f < 01 výstupní napětí. Průběh náběžné či sestupné hrany výstupního průběhu jsou v podstatě přechodové charakteristiky. Nakreslete průběh přechodové charakteristiky pro přesné nastavení všech prvků RC odpovídající zadané frekvenci zlomu podle normalizovaných Butterworthových polynomů. Sledujte průběh přechodové charakteristiky, změní-li se zesílení Au0 o ± 25% . Vypočítejte odpory R1 , R2 pro oba případy. Tyto přechodové charakteristiky též zakreslete. 2. Nastavte opět Au0 a změřte frekvenční charakteristiku (amplitudovou i fázovou). Nakreslete obě charakteristiky: a) v logaritmických souřadnicích b) v komplexní rovině
20
3. Záměnou RC prvků vytvořte Butterworthovu aktivní horní propust. Zopakujte měření bodů 1 a 2. 4. Navrhněte pásmovou propust 2. řádu typu Butterworth. Frekvence zlomu Vám budou sděleny na začátku měření. K dispozici máte sadu kondenzátorů s následujícími hodnotami: 1nF, 3.3nF, 10nF a 33nF. Dále máte k dispozici rezistory z řady E24. Sestavte filtr na přípravku a proveďte měření podle bodu 2. 5. Proměřte amplitudovou část frekvenční charakteristiky filtru se spínaným kondenzátorem pomocí přípravku s MAX 291, jestliže je dána hodinová frekvence 50 kHz. Opakujte měření pro přípravky s MAX 292 a MAX 293. Nakreslete grafy závislosti zesílení filtru na frekvenci v logaritmických souřadnicích. 6. Srovnejte u všech tří přípravků s MAX 29x jaký je poměr frekvencí odpovídající útlumu z 3 dB na 60 dB. 7. Pomocí jednoho přípravku s MAX 29x ověřte zda platí vztah (3.23) mezi externím kondenzátorem a zlomovou frekvencí filtru.
3.11 Literatura [3.1] Vysoký, O.: Elektronické systémy II, skriptum ČVUT, Praha 1997 [3.2] Humlhans, J.: Filtrace a aktivní filtry, časopis KTE č. 5 - 10, 1997 [3.3] Biolek, D.: Návrh filtrů se spínanými kondenzátory, časopis Slaboproudý obzor č. 6, 1991 [3.4] Fuksa, A.: Moderní konstrukce filtrů, bakalářská práce na katedře K335, Praha 1998
21
