Netradičné úlohy z geometrie

Netradičné úlohy z geometrie Ingrid Semanišinová Ústav matematických vied Univerzita Pavla Jozefa Šafárika, Prírodovedecká fakulta Košice

Úloha. Rozdeľte obrázky do skupín podľa Vami zvoleného kritéria.

Viac obrázkov

Pravidelné mnohouholníky – úvod

Do koľkých skupín ste obrázky rozdelili? Aké kritérium ste si zvolili? Vedeli ste podľa Vami zvoleného kritéria obrázky jednoznačne zadeliť do skupín?

Zavedenie pojmu pravidelný mnohouholník Triedenie obrázkov už na základe spoločného kritéria – pravidelný mnohouholník Vyhľadanie ďalších obrázkov (internet)

Nadväzujúce aktivity 1. Pravidelné mnohouholníky (konvexné aj nekonvexné) 2. Pravidelný päťuholník 3. Mozaiky z mnohouholníkov 4. Pravidelné mnohosteny (Platónske a Archimedovské telesá)

PRAVIDELNÉ MNOHOUHOLNÍKY

Pravidelné mnohouholníky Úloha 1. Predstavte si klasické hodiny bez ručičiek, v ktorých sú všetky čísla napísané z vonkajšej časti kruhu.

Pravidelné mnohouholníky Úloha 1. Predstavte si klasické hodiny bez ručičiek, v ktorých sú všetky čísla napísané z vonkajšej časti kruhu.

Pravidelné mnohouholníky Úloha 1. Predstavte si klasické hodiny bez ručičiek, v ktorých sú všetky čísla napísané z vonkajšej časti kruhu. Aký útvar dostanete ak pospájate jednotlivé čísla za sebou? Aký útvar dostanete ak pospájate za sebou každé druhé číslo? Aký útvar dostanete ak pospájate za sebou každé tretie číslo? ...

Pravidelné mnohouholníky Úloha 2. Zostrojte kružnicu (polomer si môžete zvoliť) a rozdeľte ju na 8 (6, 12, 5, 10, 9) rovnakých častí. Pospájaním bodov na kružnici zostrojte pravidelné mnohouholníky. Úloha 3. Konštrukciou pravidelných mnohouholníkov pomocou pravítka bez mierky a kružidla (euklidovská konštrukcia) sa zaoberali mnohí matematici. Dvaja z nich Euklides a Gauss - zohrali v tejto oblasti výnimočnú úlohu. Využite internet a zistite, ktoré pravidelné mnohouholníky vedeli skonštruovať. Sformulujte niekoľko dôvodov, prečo bola práve konštrukcia pravidelných mnohouholníkov pre ľudí dôležitá.

Pravidelné mnohouholníky Konštrukcie mnohouholníkov - história Euklides – Základy, kniha 4 Konštrukcie pravidelných n-uholníkov pre n = 3, 4, 5, 6. Euklidove základy na internete: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Carl Fridrich Gauss Konštrukcia pre n = 7, 11 a 13 je nemožná. Našiel konštrukciu pravidelného 17-uholníka Dokázal, že p -uholník možno skonštruovať ak p je prvočíslo v tvare p = 22n + 1 (tzv. Fermatove prvočíslo) Disquisitiones Arithmeticae – zoznam 38 konštruovateľných pravidelných mnohouholníkov s počtom strán menej ako 300. 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272

Pravidelné mnohouholníky Úloha 4. Rozdeľte kruh na 9 rovnakých častí a postupne spojte každý druhý bod. V ďalšom obrázku spojte každý tretí bod a potom každý štvrtý bod. Ako by ste pomenovali vzniknuté útvary? Aké majú vlastnosti? Ako by ste ich označili? Rozdeľte kruh na 5, 6, ... 12 rovnakých častí a vzniknuté body pospájajte tak, aby ste dostali nekonvexné pravidelné mnohouholníky – hviezdy. (obrázok) Úloha 5. Vyhľadajte obrázky rôznych nekonvexných pravidelných mnohouholníkov – hviezd v reálnom živote. (obrázok)

Pravidelné mnohouholníky Úloha 6. Na fotografii žiaci vytvorili 5-cípu hviezdu. Pokúste sa o to tiež. Podarí sa Vám vytvoriť 6-cípu hviezdu?

Pravidelné mnohouholníky Úloha 6. Na fotografii žiaci vytvorili 5-cípu hviezdu. Pokúste sa o to tiež. Podarí sa Vám vytvoriť 6-cípu hviezdu?

PRAVIDELNÝ PÄŤUHOLNÍK

Pravidelný päťuholník Častý výskyt v prírode Rastliny

Zvieratá

Pentagram – znamenie, podľa ktorého sa mohli spoznať členovia bratstva Pytagorejcov

Pravidelný päťuholník Na obrázku je osem pravouholníkov. Neponáhľajte sa, pozorne si ich prezrite a vyberte si ten, ktorý sa Vám najviac páči. (Aký tvar obrazu alebo pohľadnice by ste si vybrali?)

Pravidelný päťuholník Konštrukcia zlatého rezu: Na danej úsečke zostrojte bod tak, aby platilo: : = :

Zlatý rez v umení

Zlatý rez v umení

Pravidelný päťuholník

: = =

- zlatý rez

– dĺžka uhlopriečky pravidelného päťuholníka – dĺžka strany pravidelného päťuholníka

Pravidelný päťuholník Postup konštrukcie: 1. 2.

3.

4. 5.

6.

Zostrojíme kružnicu k so stredom S, do ktorej chceme vpísať pravidelný 5-uholník. Na kružnici si zvolíme bod A, ktorý bude jedným z vrcholov pravidelného 5-uholníka. Zostrojíme priamku prechádzajúcu bodmi A a S. Zostrojíme kolmicu na priamku AS, ktorá prechádza cez bod S. Jeden z bodov, ktorý je prienikom tejto kolmice a kružnice k označme X. Zostrojíme stred úsečky SX. Označme ho Y. Zostrojíme kružnicu so stredom v bode Y, ktorá prechádza bodom A. Prienik tejto kružnice s priamkou SX (vo vnútri kružnice k) označme Z. Zostrojíme kružnicu so stredom v A a prechádzajúcu cez bod Z. Body, ktoré sú prienikom tejto kružnice a kružnice k označme B a

E. 7. 8. 9.

Zostrojíme kružnicu so stredom v B a prechádzajúcu bodom A. Bod, ktorý je prienikom tejto kružnice a kružnice k označme C. Zostrojíme kružnicu so stredom v E a prechádzajúcu bodom A. Bod, ktorý je prienikom tejto kružnice a kružnice k označme D. Zostrojíme pravidelný päťuholník ABCDE vpísaný do kružnice k.

Pravidelný päťuholník Iná „konštrukcia“ pravidelného päťuholníka

MOZAIKY Z MNOHOUHOLNÍKOV

Mozaiky - história

Už od pradávna, keď si ľudia začali stavať prvé domy pokrývali dlážku a steny malými časťami nejakého materiálu (hlinené doštičky, kusy dreva, neskôr dlaždičky, parkety). Neskôr sa snažili vytvoriť nejakú opakujúcu sa, symetrickú vzorku, v ktorej by sa časti materiálu neprekrývali a nevznikali by medzery. Takéto pokrytie roviny navzájom sa neprekrývajúcimi rovinnými útvarmi bez medzier budeme nazývať rovinná mozaika.

Mozaiky v prírode Inšpiráciu pre tvorbu prvých mozaík našli ľudia v prírode.

Vysušené blato

Včelí plast

Mozaiky v prírode

Hadie kože

Mozaiky v prírode

Ananás

Kukurica

Mozaiky v prírode

Pancier korytnačky

List

Mozaiky v rôznych kultúrach Rovinné mozaiky sú staré tisícky rokov a môžeme ich nájsť na celom svete v rôznych kultúrach (egyptskej, moslimskej, rímskej, perskej, gréckej, byzantskej, arabskej, japonskej, čínskej). Afganistan

Mozaiky v rôznych kultúrach

Zdobenie egyptských hrobiek


Maľba na porceláne z Číny

Látka z Havajských ostrovov


Rohožka pochádzajúca z Egypta

Dlažba v Salzburgu približne z roku 1000


Perzské mozaiky

Mozaiky v rôznych kultúrach Najznámejším miestom, na ktorom môžeme vidieť dlážku, steny a stropy pokryté rovinnými mozaikami a rôznymi opakujúcimi sa vzormi je moslimský palác Alhambra v Granade (Španielsko). Islamské náboženstvo zakazovalo, aby umelci zobrazovali niečo živé vo svojich umeleckých dielach. Aj to je zrejme dôvod, prečo práve v islamskej kultúre nachádzame toľko rôznorodých mozaík.

Mozaiky v rôznych kultúrach Palác Alhambra (Granada, Španielsko)


Palác Alhambra - Španielsko

Mozaiky v umení – M. C. Escher



Metomorfózy

Mozaiky a matematika M.C. Escher: „ Keď stojím s otvorenými zmyslami tvárou v tvár záhadám, ktoré ma obklopujú a uvažujem o svojich pozorovaniach, analyzujem ich, prichádzam do kontaktu s matematikou. Napriek tomu, že nemám exaktné vedecké vzdelanie a znalosti, cítim sa často spriaznený skôr s matematikmi ako s vlastnými kolegami.“

Mozaiky a matematika

Niektoré geometrické vlastnosti rovinných mozaík popísal ako prvý Johannes Kepler v roku 1619 vo svojom diele Harmonices Mundi. Koncom devätnásteho storočia v roku 1891, ruský kryštalograf E. S. Fedorov dokázal, že každá rovinná mozaika môže byť podľa spôsobu opakovania vzoru v rovine zaradená do jednej zo sedemnástich grúp symetrií. Jeho práce boli neoficiálnym začiatkom matematického skúmania rovinných mozaík.

Pravidelné (regulárne) mozaiky

Pravidelné (regulárne) mozaiky Počet strán mnohouholníka

Veľkosť vnútorného uhla

Počet mnohouholníkov okolo vrchola mozaiky

3

60

360 / 60 = 6

4

90

360 / 90 = 4

5

108

360 / 108 = 3,333...

6

120

360 / 120 = 3

7

900/7

360 / (900 / 7) = 2,8

n

180(n - 2) / n

360/[180(n - 2) / n] = 2n / (n - 2)

Pravidelné (regulárne) mozaiky

Včelí plast

Kombinovanie pravidelných mnohouholníkov Skúsme kombinovať pravidelné mnohouholníky okolo jedného vrchola, napr. jeden štvorec a 2 x pravidelný osemuholník. 90º + 2 · 135º = 360º

Kombinovanie pravidelných mnohouholníkov Úloha. Koľko najviac a koľko najmenej pravidelných mnohouholníkov môže byť okolo jedného vrcholu? Odôvodnite. Úloha. Môžu byť okolo jedného vrcholu mozaiky položené 4 rôzne pravidelné mnohouholníky? Odôvodnite. (Tak, aby sa mnohouholníky neprekrývali a neostali žiadne medzery.)

Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky Úloha. Skúmajte, či môžu byť okolo jedného vrcholu polopravidelnej mozaiky dva rôzne pravidelné mnohouholníky (n a m - uholník) a rovnostranný trojuholník.

Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky Úloha. Skúmajte, či môžu byť okolo jedného vrcholu polopravidelnej mozaiky dva rôzne pravidelné mnohouholníky (n a m - uholník) a pravidelný k-uholník, kde k je nepárne číslo. Úloha. Môže byť okolo jedného vrcholu rovnostranný trojuholník, pravidelný k - uholník, n - uholník a m - uholník, kde k ≠ n ≠ m (pozri obrázok)?

Kombinovanie pravidelných mnohouholníkov Predpokladajme, že okolo jedného vrchola máme k mnohouholníkov (3≤k ≤6), ktoré majú postupne n1 , ..., nk strán. Potom platí:

nk − 2 n1 − 2 n2 − 2 180 ⋅ + 180 ⋅ + ⋯ + 180 ⋅ = 360 n1 n2 nk Po úprave:

nk − 2 n1 − 2 n2 − 2 + +⋯+ =2 n1 n2 nk

Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky 3 mnohouholníky pri jednom vrchole – najmenší mnohouholník je 3-uholník

3 mnohouholníky pri jednom vrchole – najmenší mnohouholník je 4-uholník





Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky 5 mnohouholníkov pri jednom vrchole – najmenší mnohouholník je 3-uholník

6 mnohouholníkov pri jednom vrchole – najmenší mnohouholník je 3-uholník

Kombinovanie pravidelných mnohouholníkov Označenie mozaík

3.4.6.4

3.3.4.3.4

4.8.8

Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky Niektoré usporiadania mnohouholníkov sa nedajú rozšíriť do roviny.

3.3.4.12

Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky Niektoré usporiadania mnohouholníkov sa nedajú rozšíriť do roviny.

5.5.10

Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky

3.12.12

4.6.12

4.8.8

3.4.6.4

Polopravidelné (semiregulárne) mozaiky

3.6.3.6

3.3.3.4.4

3.3.4.3.4

3.3.3.3.6

Polopolopravidelné (demiregulárne) mozaiky

3.3.6.6 / 3.6.3.6

3.12.12 / 3.4.3.12

3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.12

3.3.4.3.4 / 3.4.6.4


3.3.3.4.4 / 3.4.6.4

3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4

3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4

3.4.6.4 / 4.6.12


3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.12 / 3.3.4.3.4

3.3.3.4.4 / 3.3.4.3.4 / 3.4.6.4

Ďalšie mozaiky z pravidelných mnohouholníkov Mozaika na obrázku má 4 rôzne usporiadania mnohouholníkov: vrchol 1 je typu 4.6.12, vrchol 2 je typu 3.3.4.12, vrchol 3 je typu 3.3.3.3.6 a vrchol 4 je typu 3.4.4.6. Mozaiku môžeme označiť ako: 4.6.12 / 3.3.4.12 / 3.3.3.3.6 / 3.4.4.6

Ďalšie mozaiky z pravidelných mnohouholníkov Mozaika obsahuje 6 rôznych usporiadaní mnohouholníkov: vrchol 1 – 3.6.3.6, vrchol 2 – 3.4.4.6, vrchol 3 – 3.4.6.4, vrchol 4 – 3.3.4.12, vrchol 5 – 3.3.3.4.4, vrchol 6 – 4.4.4.4. Označenie mozaiky: 3.6.3.6 / 3.4.4.6 / 3.4.6.4 /3.3.4.12 / 3.3.3.4.4 / 4.4.4.4

Mozaiky z nepravidelných mnohouholníkov

Aký trojuholník môžeme použiť na vytvorenie mozaiky? Aký štvoruholník môžeme použiť na vytvorenie mozaiky?

Mozaiky z nepravidelných mnohouholníkov Mozaiky z trojuholníkov

Mozaiky z nepravidelných mnohouholníkov Mozaiky zo štvoruholníkov

Modifikácia mozaiky












Modifikácia mozaiky - Escher

Modifikácia mozaiky - Escher

PRAVIDELNÉ MNOHOSTENY

Platónske telesá

Štvorsten

Platónske telesá

Kocka (šesťsten)

Platónske telesá

Osemsten

Platónske telesá

Dvanásťsten

Platónske telesá

Dvadsaťsten

Platónske telesá

Platónske telesá ako hracie kocky

Archimedovské telesá




Ďakujem za pozornosť

a)

Maroko

b)

Izrael

c)

Austrália

d)

Azerbajdžan

e)

Nepál

f)

Malajzia

Fibonacciho postupnosť

Fibonacciho postupnosť je postupnosť čísel, v ktorej každý ďalší člen je súčtom dvoch predchádzajúcich. Fibonacciho postupnosť a zlatý rez:



Netradičné úlohy z geometrie

Recommend Documents