Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
N - edik gyökvonás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvonás) Egy nem negatív 𝑥 valós szám négyzetgyökén azt a nem negatív valós számot értjük, amelynek 2
négyzete 𝑥. Jelölés: (√𝑥) = 𝑥.
DEFINÍCIÓ: (𝑵 - edik gyökvonás) Legyen 𝑥 valós szám, 𝑛 pedig pozitív egész. Az 𝑥 szám 𝑛 - edik gyöke: páros 𝑛 esetén az a nem negatív valós szám, amelynek 𝑛 - edik hatványa 𝑥 páratlan 𝑛 esetén az a valós szám, amelynek 𝑛 - edik hatványa 𝑥. 𝑛
𝑛
Jelölés: ( √𝑥) = 𝑥, ahol páros 𝑛 esetén 𝑥 ≥ 0, páratlan 𝑛 esetén 𝑥 ∈ ℝ. Megjegyzés: A gyökvonás a hatványozás inverz művelete: adott a hatványérték és hatványkitevő, keressük a hatvány alapot. √𝑥 esetén az 𝑛 – et gyökkitevőnek, az 𝑥 – et a gyökvonás argumentumának nevezzük. 𝑛
Az 𝑥 valós szám négyzetének négyzetgyöke az 𝑥 abszolútértékével egyenlő: √𝑥 2 = |𝑥|. Az 𝑥 2 = 𝑦 egyenletnek két megoldása van: 𝑥1 = √𝑦 és 𝑥2 = −√𝑦.
DEFINÍCIÓ: Egy 𝑥 valós szám
𝑚 𝑛
𝑛
𝑚
– edik hatványán az 𝑥 𝑚 szám 𝑛 - edik gyökét értjük. Jelölés: √𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑛 .
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az 𝒏 - edik gyökvonás azonosságai: TÉTEL: Szorzat 𝑛 – edik gyöke a tényezők 𝑛 – edik gyökének szorzatával egyenlő. 𝑛 Jelöléssel: 𝑛√𝑥 ∙ 𝑦 = √𝑥 ∙ 𝑛√𝑦, ahol 𝑥; 𝑦 ≥ 0 és 𝑛 ∈ ℕ+ .
TÉTEL: Hányados 𝑛 – edik gyöke egyenlő a számláló 𝑛 – edik gyökének és a nevező 𝑛 – edik gyökének 𝑛
𝑥
a hányadosával. Jelöléssel: √ = 𝑦
𝑛
√𝑥 ; √𝑦
𝑛
ahol 𝑥 ≥ 0; 𝑦 > 0 és 𝑛 ∈ ℕ+ .
TÉTEL: Egy valós szám 𝑛 – edik gyökének 𝑚 – edik hatványa egyenlő a szám 𝑚 – edik hatványának 𝑚 𝑛 𝑛 𝑛 – edik gyökével. Jelölés: ( √𝑥) = √𝑥 𝑚 ; ahol 𝑥 > 0 és 𝑚 ∈ ℤ; 𝑛 ∈ ℕ+ .
TÉTEL: Egy valós szám 𝑚 – edik gyökének 𝑛 – edik gyöke egyenlő a szám 𝑛 · 𝑚 – edik gyökével. 𝑛 𝑚 𝑛∙𝑚 Jelöléssel: √ √𝑥 = √𝑥; ahol 𝑥 ≥ 0 és 𝑚; 𝑛 ∈ ℕ+ .
TÉTEL: Egy valós szám 𝑚 – edik hatványának 𝑛 – edik gyöke egyenlő a szám 𝑚 · 𝑘 – adik hatványának 𝑛∙𝑘 𝑛 𝑛 · 𝑘 – adik gyökével. Jelöléssel: √𝑥 𝑚 = √𝑥 𝑚 ∙ 𝑘 ; ahol 𝑥 ≥ 0 és 𝑚; 𝑛 ∈ ℕ+ .
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Gyakorló feladatok K: középszintű feladat
E: emelt szintű feladat
1. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 𝟑
𝟒
√
𝟏
√𝟐𝟒𝟑
√ ∙ 𝟒
𝟑
𝟒𝟗
√𝟗
𝟑
√𝟒𝟖 ∙ 𝟏𝟐
𝟑
√𝟓 ∙ √𝟐𝟓
(√𝟓)
𝟗
𝟒
𝟑
√𝟏𝟔 ∙ 𝟖𝟏
𝟐𝟓
𝟒
𝟑
( √𝟑)
√−𝟐𝟒 ∙ 𝟗
𝟔
𝟒
( √𝟐)
𝟏𝟐
2. (K) Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! √𝒙 − 𝟓
𝟑
𝒙−𝟐
𝟓
𝟏𝟎
√
𝟒
𝟔
√(𝒙 + 𝟗)𝟐
√𝟑 + 𝒙
√𝟏𝟏𝒙 + 𝟏𝟑 − 𝟏𝟕
−𝟖
√
𝟕
√
𝟑
√−(𝒙 − 𝟏)𝟒
𝒙+𝟕
𝟏−𝒙
√𝒙 + √𝟑𝒙 + 𝟔
𝒙+𝟒
3. (K) Írd fel hatványok segítségével a következő kifejezéseket! 𝟏
𝟑
𝟓
√𝟑
√𝒙𝟒
√𝟐
𝟏
𝟒
𝟏𝟏
√𝒙
√ 𝒙𝟕
4. (K) Írd fel egyetlen hatvány, illetve egyetlen gyök segítségével a következő kifejezéseket! 𝟓 𝟏 𝟕 (𝟑𝟐 )
𝟏 − (𝟐𝟑 ∙ 𝟐𝟒 ) 𝟑 𝟐 𝟐𝟓
𝟑−𝟐
𝟑
√𝟐𝟓 ∙ 𝟏𝟐𝟓−𝟓
∙ 𝟗𝟒
(√𝟓𝟑 )
−𝟒
5. (K) Hozd ki a gyökjel alól, amit lehetséges! 𝟑
√𝟏𝟐
𝟒
√𝟒𝟎
√𝟐𝟒𝟑
√𝟏𝟎𝟖
𝟑
√𝟕𝟐𝟓𝟕𝟔
√𝟏𝟔𝟎
6. (E) Hozd ki a gyökjel alól, amit lehetséges! √𝒂𝟐
𝟓
√𝒂𝟓
𝟖
√𝒂𝟏𝟔
𝟏𝟎
√𝒂𝟏𝟎 𝒃𝟒𝟎 𝒄𝟕𝟎
√𝒂𝟐 − 𝟔𝒂 + 𝟗 3
𝟐 𝒃𝟓
√𝟒𝒂
𝟐𝟒𝟑𝒄𝟕
𝟑
𝟑 𝒃𝟔
√𝟏𝟐𝟓𝒂
𝟏𝟐𝟖𝒄𝟓
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. (K) Vidd be a gyökjel alá a gyök előtti tényezőket! 𝟑
𝟐 ∙ √𝟏𝟏
𝟒
𝟑 ∙ √𝟕
𝟐
𝟓
𝟐𝟐 ∙ √𝟑
𝟐 ∙ 𝟑 √𝟓
8. (E) Vidd be a gyökjel alá a gyök előtti tényezőket!
𝟏𝟓
∙ √𝟏𝟒 𝟑
𝒂
𝟑
𝒃
∙ √𝒂 𝒃
𝒂 ∙ √𝒃
9. (K) Melyik nagyobb az alábbi számpárok közül? 𝟑
𝟐 ∙ √𝟑 vagy 𝟑 ∙ √𝟐
𝟑
𝟑
√𝟕𝟐
𝟒
√𝟕 vagy √𝟐
𝟑
√𝟔
𝟑
𝟓
𝟑
𝟓 ∙ √𝟐 vagy 𝟒 ∙ √𝟑
√𝟑 vagy √𝟓
𝟑
vagy √𝟒 ∙ √𝟔
10. (K) A gyökök átalakítása után vond össze az összevonható tagokat! 𝟑
√𝟖 − 𝟑 √𝟓𝟎 + 𝟐 √𝟒𝟎𝟓𝟎
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
√𝟖𝟏 − √𝟏𝟗𝟐 + 𝟒 √𝟑𝟕𝟓
𝟒
√𝟖𝟎 + 𝟐 √𝟒𝟎𝟓 − 𝟕 √𝟑𝟏𝟐𝟓
11. (K) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 𝟑
√𝟐 + √𝟔
𝟓
𝟑
√𝟓 − √𝟏𝟎
𝟓
√𝟏𝟓 − 𝟐 ∙ √𝟓𝟏
√𝟕 + 𝟕
12. (K) Egyszerűsítsd a következő törteket! √𝟐𝟏 − √𝟑
𝟑
𝟐 ∙ √𝟏𝟐 + √𝟐𝟖
√𝟏𝟒 − √𝟐
𝟑
𝟓
√𝟖𝟎 + √𝟓𝟒
𝟑
𝟔 + √𝟕𝟐
𝟓
√𝟔𝟒 + √𝟒𝟖𝟔
𝟑
𝟓
√𝟏𝟔 − √𝟐𝟕𝟎
√𝟔𝟐𝟓𝟎
13. (K) Végezd el a következő szorzásokat! (𝟑 √𝟐 + 𝟓 √𝟖 − √𝟓𝟎) ∙ √𝟐
√√𝟒𝟏 + √𝟑𝟐 ∙ √√𝟒𝟏 − 𝟒 √𝟐
(𝟒 √𝟑 + √𝟖 − 𝟐 √𝟐𝟕) ∙ (√𝟑 + √𝟐)
( √𝟏𝟎 − √𝟒) ∙ ( √𝟏𝟎𝟎 + √𝟒𝟎 + √𝟏𝟔)
𝟑
(√𝟕 − √𝟏𝟑 + √𝟕 + √𝟏𝟑)
𝟑
𝟑
√√𝟏𝟕 + 𝟗 ∙ √𝟗 − √𝟏𝟕
(√𝟔 + √𝟏𝟏 − √𝟔 − √𝟏𝟏)
𝟐
4
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 14. (K) Gyöktelenítsd a törtek nevezőit! 𝟏
𝟐
𝟑
√𝟐
√𝒂 − 𝒃
√𝟕 + √𝟓
𝟓 𝟐∙
𝟔
𝟕
√𝒙𝟒
𝟒 𝟑
√𝟏𝟏
𝟕 𝟗
𝟓
√(𝒙 − 𝒚)𝟏𝟑
√𝒙 + 𝒚
15. (E) Gyöktelenítsd a törtek nevezőit! 𝟖 𝟑
𝟑
√𝒙 + √𝒚
𝟗
𝟏
√𝒙 − 𝟏
√𝟓 + √𝟑 − √𝟐
𝟑
16. (K) Írd fel egyetlen gyökjel segítségével a következő kifejezéseket! 𝟑
√𝒂𝟐 𝒃𝟑 𝒄 √𝒂𝒃𝒄𝟓
√𝒂𝟐 𝒃 𝟑√𝒃𝟒 𝒄 𝟓√𝒂𝒄𝟑
𝟕
√𝒃𝒄𝟑 √𝒂𝟓 𝒃 𝟏𝟏√𝒂𝟐 𝒄𝟔
17. (K) Oldd meg a következő egyenleteket! √𝒙 + 𝟐 = 𝟓
𝟑
√𝒙 + 𝟕 = √𝒙 − 𝟑
𝟐 − √𝟔 − 𝟑𝒙 = −𝟏
√𝟑 − 𝒙 = −𝟏
𝟒
√𝟐𝒙 − 𝟏 = −𝟑
𝟒
18. (E) Végezd el a gyökvonásokat, az adott feltételeknek megfelelően! 𝟏𝟐
a) √𝒙𝟐𝟒 𝒚𝟑𝟔
(𝒙 ≥ 𝟎; 𝒚 < 𝟎)
b) √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
(𝒙 ≥ 𝟏)
c) √𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔
(𝒙 < −𝟒)
d) √𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒙𝟐
(𝟎 > 𝒙 > 𝒚)
𝟓
e) √𝒚𝟓 + 𝒙 − √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
(𝒙 > 𝒚 ≥ 𝟎)
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 19. (E) Végezd el a gyökvonásokat! a) √𝟐𝟖 + 𝟏𝟎 ∙ √𝟑 b) √𝟏𝟏 − 𝟒 ∙ √𝟕 c) √𝟐𝟖 ∙ √𝟓 + 𝟔𝟗
20. (E) Végezd el a műveleteket! a) √𝟗 − √𝟑𝟐 − √𝟗 + √𝟑𝟐 b) √𝟔 − √𝟏𝟏 + √𝟔 + √𝟏𝟏 c) (
𝟒 √𝟔 − 𝟐
+
𝟏𝟓 √𝟔 + 𝟏
𝟏𝟐
− 𝟑−
) ∙ (√𝟔 + 𝟏𝟏)
√𝟔
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 2003.; Matematika 10.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 2009.; Sokszínű matematika 10; Mozaik Kiadó; Szeged
(3) Ábrahám Gábor; 2010.; Matematika 10; Maxim Könyvkiadó; Szeged
(4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 10; Mozaik Kiadó; Szeged
(5) Gerőcs László; 2006.; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Dr. Gyapjas Ferencné; 2002.; Matematika feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest
(7) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest
feladatgyűjtemény
(8) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba
Feladatgyűjtemény
Érettségi
matematikából;
Matematika
I.;
(9) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 − 10. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (10) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából – emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged
(11) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html (12) Saját anyagok
7
