Moravskoslezsk matematick πampionát 2013

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba p¯íspÏvková organizace

Moravskoslezsk˝ matematick˝ πampionát 2013 Sborník

Ostrava-Poruba 24. 10. 2013

c RNDr. Eva Davidová a kol. ISBN 978-80-87058-19-0

OrganizaËní v˝bor Mgr. Bc. Libor Klubal

hlavní organizátor

RNDr. Eva Davidová

odborn˝ matematick˝ dohled, editor sborníku

Mgr. Lada Stachovcová

technická podpora

Auto¯i a recenzenti RNDr. Eva Davidová, Mgr. Lenka Dedková, Mgr. Jana Gajduπková, Mgr. Petra KÚurová, Mgr. Tomáπ KrchÚák, Mgr. Lenka Pláπková, Mgr. Lada Stachovcová, Mgr. Marie ©típalová, RNDr. Michal Vavroπ, PhD.

P¯eklad do anglického jazyka Mgr. Jan NetoliËka, Mgr. Lada Stachovcová

Obsah Úvodní slovo RNDr. Dag Hrub˝

7

Kategorie Z© 9 Automobily

9

Odlitky

10

Dálnice

11

Ukotvení sloupu

12

Gong

14

Kategorie S© 3 V˝robní Ëíslo

15

Æeb¯ík

16

A Component

18

Protiskluzová podlaha

20

V˝bÏrové ¯ízení

22

Úvodní slovo Abero, moæná nevíte, æe podobnÏ jako vodáci a lyæa¯i, mají i matematici sv˘j pozdrav. Je to pozdrav Abero. Slovo abero nám p¯ipomíná následující konstrukËní úlohu z planimetrie: „Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a, b, ⇢.ˇ Písmeno ⇢ znaËí v tomto p¯ípadÏ polomÏr kruænice trojúhelníku vepsané, a, b jsou strany trojúhelníku. Po nÏkolika marn˝ch pokusech zjistíte, æe ¯eπení je stále v nedohlednu. Není se co divit, úloha totiæ nemá v obecném p¯ípadÏ ¯eπení v eukleidovském smyslu, trojúhelník nelze sestrojit klasick˝m zp˘sobem pouze pomocí pravítka a kruæítka. Úloha se velmi podobá slavn˝m úlohám starovÏku, jako jsou kvadratura kruhu, trisekce úhlu a reduplikace krychle. Kaædému studentovi matematiky lze jen doporuËit, aby se s uveden˝mi úlohami seznámil. Problematika t˝kající se tÏchto slavn˝ch úloh byla velice podnÏtná pro rozvoj matematického myπlení. Uplynulo vπak témÏ¯ dva a p˘l tisíce let, neæ bylo prokázáno, æe tyto úlohy jsou ne¯eπitelné. Rozhodujících v˝sledk˘ bylo dosaæeno aæ v devatenáctém století. Sledujeme-li v˝voj myπlení v EvropÏ od πestého století p¯ed naπím letopoËtem do souËasnosti, pak zjistíme, æe ¯ada v˝znamn˝ch filosof˘ mÏla velmi blízko k matematice. Matematika mÏla vædy velk˝ vliv, protoæe utvá¯ela zp˘soby myπlení, byla souËástí vzdÏlávání na πkolách. Rád bych v této souvislosti p¯ipomenul, æe v roce 2013 uplyne 2 400 let od zaloæení slavné Akademie v Athénách, kterou zaloæil Platón v roce 387 p¯. n. l. Tato slavná πkola, která existovala p¯es devÏt set let, byla zruπena aæ v roce 529 naπeho letopoËtu. Nad vstupem do Platónovy Akademie byl nápis „Nevstupuj, kdo neznáπ geometriiˇ. ÚËastník˘m letoπního πampionátu p¯eji, aby jim studium matematiky p¯ináπelo radost a uspokojení.

Dag Hrub˝

Moravskoslezsk˝ matematick˝ πampionát

7

8


Kategorie Z© 9

Automobily Zadání Nové vozy z t˝denní produkce automobilky Hyundai byly zaparkovány do ¯ad tvo¯ících obdélník. Jedna strana obdélníka má o 5 voz˘ více neæ druhá strana. Z provozních d˘vod˘ bylo t¯eba p¯eparkovat tyto vozy do ¯ad po 4 automobilech. Provozní Frantiπek tvrdí, æe pak by ale v poslední ¯adÏ chybÏl jeden v˘z. Brigádník Aleπ se pokusil z tÏchto podmínek zjistit poËet zaparkovan˝ch voz˘. Co mu vyπlo?

ÿeπení OznaËme poËet voz˘ na kratπí stranÏ obdélníka x. Na delπí stranÏ je tedy zaparkováno x + 5 voz˘. Pokud by tyto vozy byly uspo¯ádány do ¯ad po Ëty¯ech, muselo by jich b˝t 4y 1, kde y je poËet ¯ad nového seskupení. Musí tedy platit x · (x + 5) = 4y 1. VπimnÏme si, æe v˝raz na levé stranÏ rovnice dává pro kaædé p¯irozené x sudé Ëíslo, zatímco v˝raz na pravé stranÏ rovnice dává vædy liché Ëíslo.

Daná rovnice tedy nem˘æe mít v oboru p¯irozen˝ch Ëísel ¯eπení. Provozní Frantiπek neuvaæoval správnÏ.


9

Kategorie Z© 9

Odlitky Zadání Ve slévárnÏ byly vyrobeny 4 druhy odlitk˘: 1. druh – odlitky pro cementárny, 2. druh – odlitky pro hutní produkci, 3. druh – odlitky pro vodní energetiku, 4. druh – odlitky pro lodní pr˘mysl. SouËet poËt˘ kus˘ prvních dvou druh˘ odlitk˘ je 707. SouËet kus˘ druhého a t¯etího typu odlitk˘ je 700 a souËet kus˘ t¯etího a Ëtvrtého druhu je 689. UrËete: a) souËet kus˘ prvního a Ëtvrtého druhu odlitk˘, b) nejmenπí moænou hodnotu p¯edstavující poËet kus˘ prvního druhu odlitk˘ (tj. odlitk˘ pro cementárny).

ÿeπení PoËty kus˘ jednotliv˝ch druh˘ odlitk˘ oznaËíme po ¯adÏ a, b, c, d. Podle podmínek úlohy platí a+b

= 707

b+c

= 700

c+d

= 689

(1)

Z poslední rovnice vyjád¯íme c, tj. c = 689 d, dosadíme do druhé rovnice, ze které vyjád¯íme b a dosadíme do první rovnice. Takæe b

= 700

c = 700

b

= 11 + d

a

= 707

b = 707

a

= 696

d

(689

d)

(11 + d)

a) SouËet kus˘ prvního a Ëtvrtého druhu odlitk˘ je a + d = 696. b) Dále odeËtením prvních dvou rovnic soustavy (1) dostaneme a

c = 7,

takæe a je alespoÚ 8. Tedy nejmenπí moæná hodnota p¯edstavující poËet kus˘ prvního druhu odlitku je 8. 10


Kategorie Z© 9

Dálnice Zadání Stavební firma Big Tunel nasadila na stavbu dálnice scrapery a gradery. Dohromady jich bylo 38. Scraper˘ ale bylo o 6 více, neæ Ëinil trojnásobek poËtu grader˘. Kolik bylo kter˝ch? Poznámka: Scrapery a gradery jsou pracovní stroje urËené k p¯epravÏ zeminy, k jejímu rozhrnování a k vyrovnávání terénu.

ÿeπení OznaËme x poËet grader˘ a y poËet scraper˘. Pak platí: 38

= x+y

y

= 3x + 6

Úpravou dostaneme x+y 3x

y

= 38 =

6

a seËtením obou rovnic 4x = 32, odkud plyne x = 8. Dosazením nap¯. do první rovnice získáme y = 38 8 = 30. PoËet scraper˘ je tedy 30 a poËet grader˘ 8.


11

Kategorie Z© 9

Ukotvení sloupu Zadání Sloup mostní konstrukce vysok˝ 12 metr˘ je ukotven dvÏma napnut˝mi lany tak, æe pata sloupu i pata ukotvení obou lan leæí v jedné p¯ímce. ObÏ lana jsou uchycena na vrcholu sloupu. Jedno z lan má 13 metr˘. Jak dlouhé je druhé lano, je-li vzdálenost jejich patek (spodních ukotvení) 11 metr˘?

ÿeπení V zadání není jednoznaËnÏ urËeno, jak jsou umístÏna lana vzhledem k sloupu. Proto musíme úlohu ¯eπit pro dva zp˘soby umístÏní. OznaËme tedy postupnÏ: S – pata sloupu, V – vrchol sloupu, P1 – ukotvení (pata) prvního napnutého lana, P2 – ukotvení (pata) druhého napnutého lana. 1. moænost: Lana jsou na stejné stranÏ sloupu.

Z pravoúhlého trojúhelníku SP1 V urËíme vzdálenost SP1 : p |SP1 | = |V P1 |2 |SV |2 p p p a po dosazení |SP1 | = 132 122 = 169 144 = 25 = 5 m. 12


Kategorie Z© 9

Dále platí |SP2 | = |SP1 | + |P1 P2 | = 5 + 11 = 16 m. Vzdálenost z vrcholu sloupu k patÏ lana je rovna vzdálenosti V P2 . Z pravoúhlého trojúhelníku SP2 V vypoËítáme |V P2 |: p p p p |V P2 | = |SP2 |2 + |SV |2 = 162 + 122 = 256 + 144 = 400 = 20 m. Druhé lano je tedy dlouhé 20 metr˘.

2. moænost: Lana nejsou na stejné stranÏ sloupu. OpÏt platí |SP1 | = 5 m. Dále vyjád¯íme |SP2 | = |P2 P1 |

|SP1 | = 11

5 = 6 m.

V pravoúhlém trojúhelníku SV P2 platí |P2 V | =

p

|P2 S|2 + |SV |2 ,

odkud po dosazení získáme p p |P2 V | = 62 + 122 = 36 + 144 = p . = 180 = 13,42 m. Druhé lano je tedy dlouhé p¯ibliænÏ 13,42 metr˘. ZávÏr Úloha má dvÏ ¯eπení: Druhé lano je dlouhé buÔ 20 metr˘, nebo p¯ibliænÏ 13,42 metr˘.


13

Kategorie Z© 9

Gong Zadání V Dolní oblasti Vítkovic v OstravÏ se nachází b˝val˝ plynojem, kter˝ je nyní p¯estavÏn na multifunkËní objekt GONG. Má tvar válce s pr˘mÏrem podstavy 71,7 m a v˝πkou 13,5 m. V polovinÏ v˝πky se má vybudovat venkovní ochoz o πí¯ce 1 m. VypoËtÏte rozdíl mezi vnit¯ním a vnÏjπím obvodem ochozu.

ÿeπení OznaËme r1 vnit¯ní polomÏr, ten je polovinou zadaného pr˘mÏru, tedy r1 =

d = 35,85 m. 2

VnÏjπí polomÏr r2 má délku r2 = r1 + 1 = 36,85 m. Pak pro vnit¯ní a vnÏjπí obvod platí následující vztahy: o1 = 2⇡r1 , o2 = 2⇡r2 = 2⇡ (r1 + 1) . OznaËíme-li hledan˝ rozdíl obvod˘ x, pak x = o2

o1 = 2⇡ (r1 + 1)

. 2⇡r1 = 2⇡ m = 6,28 m.

Rozdíl mezi obvody je tedy p¯ibliænÏ 6,28 m.

14


Kategorie S© 3

V˝robní Ëíslo Zadání V továrnÏ na hliníková kola zajiπªuje v˝robu nÏkolik v˝robních linek. Ta nejmodernÏjπí, plnÏ automatická, p¯idÏluje za úËelem rozliπení sv˝m v˝robk˘m πestimístná v˝robní Ëísla dÏlitelná sedmi. Která z následujících v˝robních Ëísel toto splÚují pro libovolnou volbu Ëíslic A a B? AABBAB

ABABAB

BABBAA

OdpovÏÔ zd˘vodnÏte.

ÿeπení První ani t¯etí Ëíslo není dÏlitelné sedmi (coæ m˘æeme ovÏ¯it nap¯. volbou A = 2, B = 3), nesplÚují tedy zadanou podmínku. »íslo ABABAB zapíπeme pomocí dekadického rozvoje ABABAB = A · 100 000 + B · 10 000 + A · 1 000 + B · 100 + A · 10 + B, odkud po úpravÏ dostaneme ABABAB = A · 101 010 + B · 10 101. Protoæe 7|101 010 a souËasnÏ 7|101 101, lze za A a B zvolit jakoukoli Ëíslici a v˝sledn˝ souËet bude vædy dÏliteln˝ sedmi. ZávÏr Pouze Ëíslo ABABAB m˘æe b˝t v˝robním Ëíslem splÚujícím zadané podmínky.


15

Kategorie S© 3

Æeb¯ík Zadání Pracovník stavební firmy dostal za úkol p¯ipevnit na zdi budov novÏ postaveného technologického parku smÏrové ukazatele. Aby si práci urychlil, rozhodl se pouæít jednodíln˝ hliníkov˝ æeb¯ík bez stabilizaËních prvk˘. V jednom okamæiku mu vπak æeb¯ík podklouzl tak, æe se pata æeb¯íku posunula o 0,5 m a zarazila se o obrubník. P¯ed podklouznutím svíral æeb¯ík se zemí úhel ↵, po podklouznutí úhel . S pomocí dan˝ch údaj˘ (0,5 m, ↵, ) vyjád¯ete délku d, o kterou se sníæila v˝πka, které æeb¯ík dosahoval p¯ed a po podklouznutí.

ÿeπení OznaËme L délku æeb¯íku, x vzdálenost paty æeb¯íku od stÏny budovy p¯ed podklouznutím a y v˝πku, které æeb¯ík dosahoval po podklouznutí (viz obr.). Z¯ejmÏ platí x = L cos ↵ a souËasnÏ x + 0, 5 = L cos , odkud odeËtením vztah˘ dostaneme 0, 5 = L(cos cos ↵), neboli

L=

16

0, 5 . cos cos ↵

(1)


Kategorie S© 3

Dále m˘æeme vyjád¯it y = L sin a podobnÏ y + d = L sin ↵, odkud obdobnou úpravou získáme d = L(sin ↵

sin ).

(2)

Dosazením (1) do (2) uæ dostáváme koneËn˝ vztah d=

0, 5 · (sin ↵ sin ) . cos cos ↵


17

Kategorie S© 3

A component Problem A component consists of two non-ferrous metal layers. The bottom layer is a circle with a diameter of 13 cm. The upper layer, placed on the first one, is rectangular with two circular holes, each with a diameter of 4 cm (see the picture). Determine the length and width of the rectangular layer.

Solution Denote the sides of the rectangular layer by a and b. Then a, b are the ordinates of the right-angled triangle ABC with the hypotenuse c (see the picture). Further, let X, Y, Z denote the points of tangency to the inscribed circle of the triangle ABC, S the center of the circle and ⇢ its radius.

18


Kategorie S© 3

We can see that |AB| = c = 13 cm, |Y S| = |ZS| = |XS| = ⇢ = 2 cm and |CY | = |CZ| = ⇢ = 2 cm. The quadrilateral Y SXB is a deltoid (kite), thus |BY | = |BX| = a ⇢. The quadrilateral ZAXS is also a deltoid, so |ZA| = |XA| = b ⇢. Then, c = |BX| + |XA| = (a

⇢) + (b

⇢).

Using the Pythagorean Theorem in the right-angled triangle ABC we obtain c 2 = a 2 + b2 . So we can build the system of equations with the unknowns a, b: (a

⇢) + (b

⇢) = c

2

a + b2

= c2 ,

concretely (a

2) + (b 2

2) = 13

a + b2

= 169.

This system has two symmetric solutions: a = 12; b = 5, or a = 5; b = 12. Therefore, the length of the rectangular layer is 12 cm and the width is 5 cm.


19

Kategorie S© 3

Protiskluzová podlaha Zadání Pracovní zóna haly 1 má tvar lichobÏæníka, kter˝ je úhlop¯íËkami rozdÏlen do 4 sektor˘ (viz obrázek). Podlaha v sektoru A má v˝mÏru 900 m2 , podlaha v sektoru B má v˝mÏru 1 600 m2 . V sektorech C a D má b˝t instalována protiskluzová podlaha. Nat¯ení jednoho ËtvereËního metru speciálním nátÏrem vyjde na 45 KË. Na kolik vyjde protiskluzov˝ nátÏr v sektorech C a D?

ÿeπení OznaËme v˝mÏry trojúhelníkov˝ch sektor˘ shodnÏ s jejich názvy A, B, C, D. Vrcholy lichobÏæníka oznaËme K, L, M, N , pr˘seËík úhlop¯íËek S. Úseky na úhlop¯íËce KM oznaËme |KS| = s, |SM | = r. Velikost spoleËné v˝πky trojúhelník˘ KSN a SM N oznaËme v, velikost spoleËné v˝πky trojúhelník˘ KLS a SLM oznaËme w.

20


Kategorie S© 3

Platí

s·v r·v C A = C; = A, odkud = . 2 2 s r

(1)

Dále

s·w r·w B D = B; = D, odkud = . (2) 2 2 s r C B Z (1) a (2) plyne = , neboli C · D = A · B. A D Dále platí, æe B + D = C + B, protoæe trojúhelníky s tÏmito v˝mÏrami mají stejnou základnu KL i velikost v˝πky na tuto základnu. Z této rovnosti ovπem plyne, æe D = C. p Z porovnání závÏr˘ p¯edchozích úvah dostáváme C = D = A · B. Pro souËet v˝mÏr ploch tedy platí p p C + D = 2 A · B = 2 900 · 1 600 = 2 · 30 · 40 = 2 400 m2 .

Cena za protiskluzov˝ nátÏr v tÏchto dvou sektorech tedy vyjde na 2 400 · 45 KË = 108 000 KË.


21

Kategorie S© 3

V˝bÏrové ¯ízení Zadání Firma, zab˝vající se moderními technologiemi, se rozhodla finanËnÏ podporovat nadané studenty na vysok˝ch πkolách. P¯i v˝bÏrovém ¯ízení pro zájemce o tuto podporu byla zadána následující úloha: „UrËete, pro která celá Ëísla a má rovnice |||x|

1|

a| = 4

s neznámou x 2 R nejvíce ¯eπení. UrËete také jejich poËet.ˇ NaleznÏte správné ¯eπení této úlohy. UspÏli byste?

ÿeπení Úlohu je moæno ¯eπit efektivnÏ pomocí graf˘ funkcí. Sestrojme proto nÏkolik graf˘ funkcí z parametrického systému fa (x) : y = |||x|

1|

a| pro a 2 {2; 4; 5; 7}

a hledejme jejich pr˘seËíky s grafem funkce g(x) : y = 4 (viz obrázek).

Z graf˘ je patrné, æe nejvíce ¯eπení je pro a = 5 a jejich poËet je 5.

22


Kategorie S© 3

Poznámky


23

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, p¯íspÏvková organizace Sborník p¯íklad˘ ze soutÏæe Moravskoslezsk˝ matematick˝ πampionát 2013 Ostrava 24. 10. 2013 Název Editor Vydavatel Náklad Rozsah Vydání Tisk DoporuËená cena

Moravskoslezsk˝ matematick˝ πampionát 2013 RNDr. Eva Davidová Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, p. o. »s. exilu 669, 708 00 Ostrava-Poruba 400 ks 24 stran první, 2013, revize 1 Repronis Ostrava zdarma Texty neproπly jazykovou úpravou. ISBN 978-80-87058-19-0

Moravskoslezsk matematick πampionát 2013

Recommend Documents