MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R

MODUL 4 PEUBAH ACAK Pengantar Suatu percobaan melempar mata uang yang setimbang sebanyak 3 kali. Ruang sampel dari percobaan tersebut adalah S= { AAA, AGG, AGA, AAG, GAG, GGA , GAA, GGG } Suatu kejadian A : dari ketiga lemparan banyaknya gambar sejumlah 2 sehingga P(A) = 3/8 Suatu kejadian B : dari ketiga lemparan banyaknya angka sejumlah 3 sehungga P(B) = 1/8 Suatu kejadian C : dari ketiga lemparan banyaknya gambar sejumlah 1 sehingga P(C) = 3/8 Permasalahan di atas , lebih mudah kiranya jika didefinisikan suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke suatu bilangan Real Peubah Acak adalah suatu fungsi yang bernilai bilangan real yang didefinisikan atas ruang sampel. Peubah acak dinyatakan dengan huruf kapital misalkan X, Y, Z dan lain sebagainya , sedangkan nilainya dinyatakan sebagai huruf kecil padanannya misalnya x, y, z . Peubah acak dapat dikatakan sebagai usaha untuk menumeriskan kejadian dari suatu percobaan.

Definisi Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X:S

R

Dengan demikian permasalahan di atas , dapat didefinisikan suatu peubah acak X,

MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 22

dimana X : menyatakan banyaknya gambar yang muncul dari ketiga lemparan sedangkan nilai-nilainya adalah x: 0, 1, 2, 3 S

R P(A) = P(X= ) = 0 1

P(B) = P(X= ) = P(C) = P(X= ) =

2 3

Jenis peubah acak Berdasarkan jumlah elemen pada ruang sampel, peubah acak. secara umum dibedakan menjadi dua yaitu peubah acak diskret dan peubah acak kontinu.

Peubah acak diskret : adalah suatu peubah acak , ruang sampelnya mengandung titik yang berhingga banyaknya atau tak hingga banyaknya namun terbilang.

Peubah acak kontinu : adalah suatu peubah acak , ruang sampelnya mengandung titik yang tak berhingga banyaknya .( ruang sampelnya dense/padat pada suatu interval bilangan Real ) Peubah acak campuran :adalah gabungan dari peubah acak diskret dan kontinu

MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 23

Contoh Dua dadu bersisi 6 dilemparkan dan angka yang muncul diamati. Misalkan X suatu peubah acak yang menyatakan jumlah angka pada mata dadu yang muncul. Bila yang muncul mata dadu pertama adalah 4 dan kedua adalah 6, maka nilai x adalah 10 dan seterusnya. Soal : 1. Berilah contoh jenis peubah acak diskret 2. Berilah contoh jenis peubah acak kontinu Langkah berikutnya adalah menemtukan distribusi peluangnya. Distribusi peluang dapat dinyatakan sebagai kumpulan dari nilai-nilai peluang untuk semua harga dari ruang sampelnya. X

P(X=x)

S

ei

B={a 0a1}

A

xi

ai

P( X(ei)=xi ) = ai P( X = xi ) = ai

DEFINISI : Distribusi peluang atau fungsi kepadatan peluang (probability density function) dari suatu peubah acak diskret didefinisikan  x  X p(x) = P( X=x) = P( s  S ; X(s) = x) yang bersifat :

p( x)  0  p ( x)  1

xX

MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 24

Contoh : Pengiriman 8 PC yang sama ke suatu toko memuat 3 PC yang cacat. Bila suatu lembaga pendidikan membeli 2 komputer secara acak, a. Distribusi peluang ( fungsi kepadatan peluang ) banyaknya yang cacat ! b. Grafik dari fungsi kepadatan peluang

Jawab : Misal X : banyaknya komputer yang cacat yang dibeli oleh lembaga pendidikan x:0,1,2  3  5   0  2  10 p (0)      28 8   2    3  5  1 1  15 p (1)      28 8   2    3  5   2 1  3 p (2)      8 28    2  

a. Distribusi peluang dari X x

0

1

2

p(x)

10/28

15/28

3/28

2

 p( x)  1

x 0

b.Grafik dari fkp p(x)

0

1

2

x

MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 25

Selain fungsi kepadatan peluang perlu juga dibahas tentang fungsi distribusi kumulatif.

Definisi Fungsi distribusi kumulatif atau FD dari peubah acak X, didefinisikan untuk semua bilangan Real a, -∞ < a < ∞, dengan FX(a) = P(X ≤ a) Dengan kata lain bahwa FX(a) adalah peluang bahwa peubah acak X mengambil nilai kurang dari atau sama dengan a. Beberapa sifat dari fungsi distribusi kumulatif.: 1. F adalah fungsi yang tidak turun : jika a  b maka F(a) ≤ F(b) 2. lim F (a)  1 a 

3.

lim F (a)  0

a  

4. F adalah fungsi yang kontinu dari kanan. , lim F ( x   )  F ( x)  0

Preposisi:

P(a  X  b)  F (b)  f (a  ) p(a  X  b)  F (b)  F (a) P( X  x)  F ( x  ) P( X  x)  F ( x  )  F ( x  ) P( X  x)  1  P( X  x)  1  F ( x) Contoh Fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X diberikan oleh

0 x 2  2 F ( x)   3 11 12 1

x0 0  x 1 1 x  2 2 x3 3 x

MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 26

Hitung : a. P(X<3) b. P(X=1) c. P(X>1/2) d. P(2<X≤4) Jawab a. P(X<3) = 11/12 b. P(X=1) = P(X1)-P(x<1) = 2/3 – 1/2 = 1/6 c. P(X>1/2) = 1 – P(X1/2) = 1-

1/ 2 =3/4 2

d. P(2<X≤4) = P(X≤4)- P(X≤2) = 1 – 11/12 = 1/12 SOAL: Bila diketahui fungsi distribusi kumulatif peubah acak diskret Y adalah sebagai berikut Y

0

1

2

3

F(y)

0.2

0.5

0.8

1.0

Hitung :

a. P(Y>2) b. P(1≤Y≤3) c. P(Y=2)

SOAL: Jika diketahui fungsi kepadatan peluang dari X sebagai berikut : X

1

2

3

4

p(x)

0.4

0.3

0.2

0.1

a.Dapatkan fungsi distribusi kumulatifnya ! b. Gambarkan Fungsi distribusinya !

SOAL : Dapatkan FD dari soal pembelian 2 PC kemudian gambar grafiknya ! MODUL PELUANG PRODI MAT .UB 2014- - 27