MODELOVÁNÍ NESYMETRICKÉHO TŘÍFÁZOVÉHO VEDENÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV ELEKTROENERGETIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF ELECTRICAL POWER ENGINEERING

MODELOVÁNÍ NESYMETRICKÉHO TŘÍFÁZOVÉHO VEDENÍ

DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER‘S THESIS

AUTOR PRÁCE AUTHOR

BRNO 2009

Bc. RENÉ VÁPENÍK

LICENČNÍ SMLOUVA POSKYTOVANÁ K VÝKONU PRÁVA UŢÍT ŠKOLNÍ DÍLO uzavřená mezi smluvními stranami: 1. Pan Jméno a příjmení: René Vápeník Bytem: Komenského 416, 261 01 Příbram VII Narozen/a (datum a místo): 31.5.1971 v Příbrami (dále jen „autor“) a 2. Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, se sídlem Údolní 244/53, 602 00 Brno, jejímţ jménem jedná na základě písemného pověření děkanem fakulty: doc. Ing. Petr Toman, Ph.D. (dále jen „nabyvatel“) Čl. 1 Specifikace školního díla 1. Předmětem této smlouvy je vysokoškolská kvalifikační práce (VŠKP): □ disertační práce □ diplomová práce □ bakalářská práce □ jiná práce, jejíţ druh je specifikován jako ..................................................... (dále jen VŠKP nebo dílo) Název VŠKP:

Modelování nesymetrického třífázového vedení

Vedoucí/ školitel VŠKP:

Doc. Ing. Petr Toman, Ph.D.

Ústav:

Ústav elektroenergetiky

Datum obhajoby VŠKP: VŠKP odevzdal autor nabyvateli v*: □ tištěné formě □ elektronické formě

*

hodící se zaškrtněte

–

počet exemplářů ………………..

–

počet exemplářů ………………..

2. Autor prohlašuje, ţe vytvořil samostatnou vlastní tvůrčí činností dílo shora popsané a specifikované. Autor dále prohlašuje, ţe při zpracovávání díla se sám nedostal do rozporu s autorským zákonem a předpisy souvisejícími a ţe je dílo dílem původním. 3. Dílo je chráněno jako dílo dle autorského zákona v platném znění. 4. Autor potvrzuje, ţe listinná a elektronická verze díla je identická. Článek 2 Udělení licenčního oprávnění 1. Autor touto smlouvou poskytuje nabyvateli oprávnění (licenci) k výkonu práva uvedené dílo nevýdělečně uţít, archivovat a zpřístupnit ke studijním, výukovým a výzkumným účelům včetně pořizovaní výpisů, opisů a rozmnoţenin. 2. Licence je poskytována celosvětově, pro celou dobu trvání autorských a majetkových práv k dílu. 3. Autor souhlasí se zveřejněním díla v databázi přístupné v mezinárodní síti □ ihned po uzavření této smlouvy □ 1 rok po uzavření této smlouvy □ 3 roky po uzavření této smlouvy □ 5 let po uzavření této smlouvy □ 10 let po uzavření této smlouvy (z důvodu utajení v něm obsaţených informací) 4. Nevýdělečné zveřejňování díla nabyvatelem v souladu s ustanovením § 47b zákona č. 111/ 1998 Sb., v platném znění, nevyţaduje licenci a nabyvatel je k němu povinen a oprávněn ze zákona. Článek 3 Závěrečná ustanovení 1. Smlouva je sepsána ve třech vyhotoveních s platností originálu, přičemţ po jednom vyhotovení obdrţí autor a nabyvatel, další vyhotovení je vloţeno do VŠKP. 2. Vztahy mezi smluvními stranami vzniklé a neupravené touto smlouvou se řídí autorským zákonem, občanským zákoníkem, vysokoškolským zákonem, zákonem o archivnictví, v platném znění a popř. dalšími právními předpisy. 3. Licenční smlouva byla uzavřena na základě svobodné a pravé vůle smluvních stran, s plným porozuměním jejímu textu i důsledkům, nikoliv v tísni a za nápadně nevýhodných podmínek. 4. Licenční smlouva nabývá platnosti a účinnosti dnem jejího podpisu oběma smluvními stranami. V Brně dne: ……………………………………. ………………………………………..

…………………………………………

Nabyvatel

Autor

Bibliografická citace práce: VÁPENÍK, R. Modelování nesymetrického třífázového vedení. Diplomová práce.Brno: Ústav elektroenergetiky FEKT VUT v Brně, 2009, 98 stran.

Prohlašuji, ţe jsem svou diplomovou práci vypracoval samostatně a pouţil jsem pouze podklady (literaturu, projekty, SW atd.) uvedené v přiloţeném seznamu. Zároveň bych na tomto místě chtěl poděkovat vedoucímu diplomové práce doc. Ing. Petru Tomanovi, Ph.D. za cenné rady a připomínky k mé práci. ……………………………

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav elektroenergetiky

Diplomová práce

Modelování nesymetrického třífázového vedení

Bc. René Vápeník

vedoucí: doc. Ing. Petr Toman, Ph.D. Ústav elektroenergetiky, FEKT VUT v Brně, 2009

Brno

BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Faculty of Electrical Engineering and Communication Department of Electrical Power Engineering

Master’s Thesis

Modellink of three phase asymmetric power line by

Bc. René Vápeník

Supervisor: doc. Ing. Petr Toman, Ph.D. Brno University of Technology, 2009

Brno

Abstrakt

9

ABSTRAKT Předmětem diplomové práce je vytvoření a popis matematického modelu třífázového nesouměrného vedení a návrh výpočtu chodu třífázové sítě při různých stavech. Součástí je i vytvoření programu v PHP, který by tento matematický model pouţíval k výpočtům chodu třífázové sítě. Součástí práce je odvození matic elementárních multibranů a jejich sériovým řazení odvození sloţitějších multibranů, které lze vyuţít pro náhradu soustředěných parametrů prvků vedení.

KLÍČOVÁ SLOVA:

Nesouměrné třífázové vedení, multibrany, přenosové matice multibranů, sériové a paralelní řazení multibranů, zkraty v třífázové nesouměrné soustavě

Abstract

10

ABSTRACT The subject of the thesis is creation and description of mathematical model of three-phase asymmetric power line and proposal for three-phase operation calculating of the power network by variet aspects. Another component is the creation of a program in PHP, which would use this mathematical model for the calculation of the three-phase operation of the power network. Part of this work deals with derivation of matrices of elementary multipoles and their serial ordering derive complex multipoles that can be use for concentrated parameters compensation of the power lines.

KEY WORDS:

Asymmetric three-phase power line, multipoles, transfer matrices of mutipoles, series and parallel sort of multipoles, shorts circuit in threephase asymmetric power system.

Seznam obrázků

11

SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 2-1 Fázorový diagram [11] ............................................................................................... 22 Obr. 2-2 Časový průběh souměrné trojfázové soustavy [11] ...................................................... 22 Obr. 2-3 Spojení do hvězdy a jeho topografický fázorový diagram ............................................ 23 Obr. 2-4 Souměrná soustava napětí se zátěží zapojenou do hvězdy ............................................ 24 Obr. 2-5 Lineární dvojbran ........................................................................................................ 25 Obr. 2-6 Lineární dvojbran s jedním podélným prvkem .............................................................. 26 Obr. 2-7 Lineární dvojbran s příčným prvkem ........................................................................... 27 Obr. 2-8 Lineární dvojbran bez prvku ........................................................................................ 28 Obr. 2-9 Lineární dvojbran s krátkým spojením výstupních svorek ............................................. 29 Obr. 3-1 Příklad náhrady trojfázového vedení prvky se soustředěnými parametry...................... 35 Obr. 4-1 Fázorový diagram [11] ............................................................................................... 36 Obr. 4-2 Časový průběh nesouměrné trojfázové soustavy [11] ................................................... 36 Obr. 4-3 Nesouměrná soustava napětí se zátěží zapojenou do hvězdy ........................................ 37 Obr. 4-4 Nesouměrná soustava napětí se zátěží zapojenou do hvězdy bez středního vodiče ........ 37 Obr. 4-5 Fázorový diagram obvodu dle obr. 4.4 ........................................................................ 38 Obr. 4-6 Lineární multibran ...................................................................................................... 39 Obr. 4-7 Lineární multibran s podélnými impedancemi jednotlivých pracovních vodičů ............ 40 Obr. 4-8 Lineární multibran s příčnými admitancemi fázových vodičů proti střednímu vodiči .... 42 Obr. 4-9 Lineární multibran s admitancemi mezi fázovými vodiči .............................................. 44 Obr. 4-10 Lineární multibran s admitancemi mezi pracovními vodiči a zemí ............................. 46 Obr. 4-11 Zdroj napětí s uzlem uzemněným přes impedanci ....................................................... 48 Obr. 4-12 Lineární multibran s činným odporem mezi středním vodičem a zemí ........................ 54 Obr. 5-1 Jednofázový zkrat A – N ............................................................................................. 61 Obr. 5-2 Jednofázový zemní zkrat A – E .................................................................................... 63 Obr. 5-3 Dvoufázový izolovaný zkrat A – B ............................................................................... 65 Obr. 5-4 Dvoufázový zkrat A – B – N ........................................................................................ 67 Obr. 5-5 Dvoufázový zemní zkrat A – B - E ............................................................................... 69 Obr. 5-6 Trojfázový izolovaný zkrat A – B - C ........................................................................... 71 Obr. 5-7 Trojfázový zemní zkrat A – B – C – N - E .................................................................... 72 Obr. 5-8 Trojfázový zemní zkrat A – B – C – E.......................................................................... 74 Obr. 6-1 Schéma pro výpočet příkladu ....................................................................................... 79 Obr. 6-2 Změna napětí při dvoufázovém izolovaném zkratu ....................................................... 84

Seznam obrázků

12

Obr. 7-1 Snímek úvodní obrazovky ............................................................................................ 85 Obr. 7-2 Snímek obrazovky – zadání parametrů......................................................................... 85 Obr. 7-3 Snímek obrazovky – parametry na konci vedení ........................................................... 86

Seznam tabulek

13

SEZNAM TABULEK Tab. 2-1 Elementární dvojbrany a jejich přenosové matice ........................................................ 34 Tab. 8-1 Rovnice pro zvláštní případy chodu trojfázové nesouměrné soustavy ........................... 89 Tab. 8-2 Rovnice pro výpočty jednofázových zkratů trojfázové nesouměrné soustavy ................. 89 Tab. 8-3 Rovnice pro výpočty dvoufázových zkratů trojfázové nesouměrné soustavy .................. 90 Tab. 8-4 Rovnice pro výpočty trojfázových zkratů trojfázové nesouměrné soustavy .................... 91

Seznam symbolů a zkratek

SEZNAM SYMBOLŮ A ZKRATEK A – písmenné označení první fáze A – Ampér, jednotka proudu B – písmenné označení druhé fáze BC – kapacitní susceptance C – písmenné označení třetí fáze E – písmenné označení země HTML – Hyper Text Markup Language G – konduktivita I k'' - zkratový proud

L – indukčnost MVA – Megavoltampér N – písmenné označení středního vodiče, resp. uzlu zdroje PHP – Hypertext Preprocessor R – rezistance RZ – přechodový odpor uzemnění V – Volt, jednotka napětí WWW -World Wide Web c – součinitel napětí kA – kiloampér kV - kilovolt l – délka nn – nízké napětí s – průřez vodiče t – čas vn – vysoké napětí vvn – velmi vysoké napětí zvn – zvlášť vysoké napětí

A - fázor Blondelovy konstanty A Amn - prvek přenosové matice soustavy na m–tém řádku a n-tém sloupci

Aˆ - přenosová matice soustavy

14

Seznam symbolů a zkratek Aˆ RU - redukovaná přenosová matice soustavy Aˆ 0 - redukovaná matice přenosu pro výpočet chodu naprázdno Aˆ k - redukovaná matice přenosu pro výpočet chodu nakrátko Aˆ AN - redukovaná matice přenosu pro výpočet jednofázového zkratu A – N

Aˆ AE - redukovaná matice přenosu pro výpočet jednofázového zemního zkratu A – E Aˆ AB - redukovaná matice přenosu pro výpočet dvoufázového zkratu A – B Aˆ ABC - redukovaná matice přenosu pro výpočet třífázového zkratu A – B – C

Aˆ ABN - redukovaná matice přenosu pro výpočet dvoufázového zkratu A – B – N

Aˆ ABE - redukovaná matice přenosu pro výpočet dvoufázového zemního zkratu A – B – E Aˆ3k - redukovaná matice přenosu pro výpočet třífázového zkratu A – B – C – E Aˆ 4 k - redukovaná matice přenosu pro výpočet třífázového zkratu A – B – C – N – E

B - fázor Blondelovy konstanty B C - fázor Blondelovy konstanty C

D - fázor Blondelovy konstanty D Eˆ - jednotková matice Kˆ - přenosová matice dvojbranu s výstupem spojeným nakrátko I A - fázor proudu ve fázi A v měřítku efektivních hodnot I A1 - fázor proudu ve fázi A na vstupu do multibranu v měřítku efektivních hodnot I A 2 - fázor proudu ve fázi A na výstupu z multibranu v měřítku efektivních hodnot I B - fázor proudu ve fázi B v měřítku efektivních hodnot I B1 - fázor proudu ve fázi B na vstupu do multibranu v měřítku efektivních hodnot I B 2 - fázor proudu ve fázi B na výstupu z multibranu v měřítku efektivních hodnot I C - fázor proudu ve fázi C v měřítku efektivních hodnot I C1 - fázor proudu ve fázi C na vstupu do multibranu v měřítku efektivních hodnot

I C 2 - fázor proudu ve fázi C na výstupu z multibranu v měřítku efektivních hodnot

I E - fázor proudu tekoucí zemí v měřítku efektivních hodnot

I N - fázor proudu ve středním vodiči v měřítku efektivních hodnot

15


16

I 01 - fázor proudu ve středním vodiči na vstupu do multibranu v měřítku efektivních hodnot I 02 - fázor proudu ve středním vodiči na výstupu z multibranu v měřítku efektivních hodnot

I1 - fázor proudu na vstupu dvojbranu v měřítku efektivních hodnot I 2 - fázor proudu na výstupu dvojbranu v měřítku efektivních hodnot Iˆ1 - matice proudu na výstupu multibranu Iˆ2 - matice proudu na výstupu multibranu

Rˆ - přenosová matice činných odporů S k'' - zkratový výkon soustavy

Tˆ - přenosová matice ve tvaru T článku U A - fázor napětí ve fázi A v měřítku efektivních hodnot U B - fázor napětí ve fázi B v měřítku efektivních hodnot U C - fázor napětí ve fázi C v měřítku efektivních hodnot

U 0 - fázor napětí uzlu zdroje proti referenčnímu uzlu v měřítku efektivních hodnot

U AB - fázor sdruţeného napětí mezi fázemi A a B v měřítku efektivních hodnot U AC - fázor sdruţeného napětí mezi fázemi A a C v měřítku efektivních hodnot

U BC - fázor sdruţeného napětí mezi fázemi B a C v měřítku efektivních hodnot

U A - modul napětí ve fázi A v měřítku efektivních hodnot

U AB - modul sdruţeného napětí mezi fázemi A a B v měřítku efektivních hodnot U A1 - fázor napětí ve fázi A na vstupu multibranu v měřítku efektivních hodnot U A2 - fázor napětí ve fázi A na výstupu multibranu v měřítku efektivních hodnot U B1 - fázor napětí ve fázi B na vstupu multibranu v měřítku efektivních hodnot U B 2 - fázor napětí ve fázi B na výstupu multibranu v měřítku efektivních hodnot U C1 - fázor napětí ve fázi C na vstupu multibranu v měřítku efektivních hodnot

U C 2 - fázor napětí ve fázi C na výstupu multibranu v měřítku efektivních hodnot

U 01 - fázor napětí středního vodiče proti zemi na vstupu multibranu v měřítku efektivních hodnot U 02 - fázor napětí středního vodiče proti zemi na výstupu multibranu v měřítku efektivních

hodnot


U1 - fázor napětí na vstupu dvojbranu U 2 - fázor napětí na výstupu dvojbranu Uˆ1 - matice vstupních napětí multibranu Uˆ 2 - matice výstupních napětí multibranu U m - modul napětí v měřítku amplitud U mA - modul napětí ve fázi A v měřítku amplitud

U mB - modul napětí ve fázi B v měřítku amplitud U mC - modul napětí ve fázi C v měřítku amplitud

u A - časově proměnné napětí ve fázi A u B - časově proměnné napětí ve fázi B u C - časově proměnné napětí ve fázi C

Vˆ2 - matice neznámých výstupních veličin Xˆ S - přenosová matice reaktance soustavy

Xˆ Vx - přenosová matice podélných indukčních reaktancí x-tého vedení

Y - admitance Y A - příčná admitance mezi fází A a zemí Y AB - příčná admitance mezi fází A a B Y AC - příčná admitance mezi fází A a C Y A0 - příčná admitance mezi fází A a středním vodičem YB - příčná admitance mezi fází B a zemí YBC - příčná admitance mezi fází B a C YB 0 - příčná admitance mezi fází B a středním vodičem YC - příčná admitance mezi fází C a zemí

YC 0 - příčná admitance mezi fází C a středním vodičem Y0 - příčná admitance mezi středním vodičem a zemí

Yq - měrná admitance Yˆ - přenosová matice příčné admitance

17


Yˆ1 - přenosová matice příčné admitance poloviční délky vedení 2

Yˆ -1 - inverzní přenosová matice příčné admitance YˆD - přenosová matice příčných admitancí mezi jednotlivými fázemi YˆY 0 - přenosová matice příčných admitancí mezi fázemi a středním vodičem

YˆY - přenosová matice příčných admitancí mezi fázemi a zemí

Z - impedance Zˆ - přenosová matice podélné impedance Zˆ 1 - přenosová matice podélné impedance poloviční délky vedení 2

Z A - impedance ve fázi A Z B - impedance ve fázi B Z C - impedance ve fázi C Z k - měrná impedance Z Z - impedance mezi uzlem zdroje a zemí Z 0 - impedance mezi referenčním uzlem a uzlem 0

Zˆ -1 - inverzní přenosová matice podélné impedance Zˆ Z - přenosová matice impedance mezi uzlem zdroje a zemí

a - pomocné komplexní číslo u A (t ) - časový průběh napětí ve fázi A

u B (t ) - časový průběh napětí ve fázi B u C (t ) - časový průběh napětí ve fázi C

Γˆ - přenosová matice dvojbranu ve tvaru Г článku Πˆ - přenosová matice dvojbranu ve tvaru П článku

 A - fázový posun fáze A  B - fázový posun fáze B

 C - fázový posun fáze C

 - úhlová rychlost  - rezistivita

18

Obsah

19

OBSAH 1 ÚVOD .................................................................................................................................................21 2 MODELOVÁNÍ VEDENÍ – SOUČASNÝ STAV .............................................................................21 2.1 SOUMĚRNÁ TŘÍFÁZOVÁ SOUSTAVA.............................................................................................22 2.2 DVOJBRANY ................................................................................................................................25 2.2.1 DVOJBRAN JEN S PODÉLNÝM PRVKEM ................................................................................26 2.2.2 DVOJBRAN S PŘÍČNÝM PRVKEM..........................................................................................27 2.2.3 DVOJBRAN BEZ PASIVNÍHO PRVKU .....................................................................................28 2.2.4 DVOJBRAN S KRÁTKÝM SPOJENÍM NA VÝSTUPU..................................................................29 2.3 SÉRIOVÉ ŘAZENÍ DVOJBRANŮ.....................................................................................................30 2.3.1 NÁHRADA PARAMETRŮ VEDENÍ..........................................................................................30 2.3.2 DVOJBRAN VE TVARU Γ ČLÁNKU S PŘÍČNÝM PRVKEM NA VSTUPU .....................................31 2.3.3 DVOJBRAN VE TVARU Γ ČLÁNKU S PŘÍČNÝM PRVKEM NA VÝSTUPU ...................................31 2.3.4 DVOJBRAN VE TVARU T ČLÁNKU .......................................................................................32 2.3.5 DVOJBRAN VE TVARU Π ČLÁNKU ......................................................................................32 2.4 PARALELNÍ ŘAZENÍ DVOJBRANŮ ................................................................................................33 2.5 SHRNUTÍ ......................................................................................................................................33 3 CÍL PRÁCE .......................................................................................................................................35 4 NÁHRADA TŘÍFÁZOVÉ NESOUMĚRNÉ SOUSTAVY ...............................................................36 4.1 NESOUMĚRNÁ TŘÍFÁZOVÁ SOUSTAVA ........................................................................................36 4.2 ODVOZENÍ MATIC JEDNODUCHÝCH MULTIBRANŮ .....................................................................39 4.2.1 ODVOZENÍ MATICE PODÉLNÝCH IMPEDANCÍ .......................................................................40 4.2.2 ODVOZENÍ MATICE PŘÍČNÝCH ADMITANCÍ MEZI FÁZEMI A STŘEDNÍM VODIČEM..................42 4.2.3 ODVOZENÍ MATICE PŘÍČNÝCH ADMITANCÍ MEZI JEDNOTLIVÝMI FÁZEMI .............................44 4.2.4 ODVOZENÍ MATICE PŘÍČNÝCH ADMITANCÍ MEZI FÁZEMI A ZEMÍ .........................................46 4.2.5 VÝPOČET MATICE PŘÍČNÝCH ADMITANCÍ ...........................................................................47 4.2.6 ODVOZENÍ MATICE PRO UZEMNĚNÍ UZLU ZDROJE ...............................................................48 4.3 ODVOZENÍ ZÁKLADNÍCH MULTIBRANŮ .....................................................................................50 4.3.1 MULTIBRANY PRO NÁHRADU PARAMETRŮ VEDENÍ .............................................................50 4.3.2 MULTIBRAN VE TVARU Γ ČLÁNKU S PŘÍČNÝM PRVKEM NA VSTUPU ...................................52 4.3.3 MULTIBRAN VE TVARU Γ ČLÁNKU S PŘÍČNÝM PRVKEM NA VÝSTUPU .................................52 4.3.4 MULTIBRAN VE TVARU T ČLÁNKU .....................................................................................52 4.3.5 MULTIBRAN VE TVARU Π ČLÁNKU .....................................................................................53 4.4 POUŢITÍ MULTIBRANŮ PRO NÁHRADU JEDNOTLIVÝCH PRVKŮ SÍTĚ ..........................................53 4.4.1 IMPEDANCE ZDROJE ...........................................................................................................53 4.4.2 NÁHRADA VEDENÍ NN ........................................................................................................53 4.4.3 NÁHRADA VEDENÍ VN, VVN A ZVN......................................................................................54 4.4.4 NÁHRADA UZEMNĚNÍ STŘEDNÍHO VODIČE ..........................................................................54 4.4.5 SIMULACE ZÁTĚŢE .............................................................................................................55 5 VÝPOČTY CHODU TROJFÁZOVÉHO NESOUMĚRNÉHO VEDENÍ .......................................56 5.1 OBECNÝ POPIS ŘEŠENÍ SOUSTAV ROVNIC ...................................................................................56 5.2 ZVLÁŠTNÍ PŘÍPADY USTÁLENÉHO CHODU ..................................................................................58 5.2.1 CHOD NAPRÁZDNO .............................................................................................................58

Obsah

20

5.2.2 CHOD NAKRÁTKO...............................................................................................................59 5.3 ŘEŠENÍ PORUCHOVÝCH STAVŮ ...................................................................................................61 5.3.1 JEDNOFÁZOVÉ ZKRATY ......................................................................................................61 5.3.2 DVOUFÁZOVÉ ZKRATY .......................................................................................................65 5.3.3 TROJFÁZOVÉ ZKRATY.........................................................................................................70 5.4 STABILITA ŘEŠENÍ SOUSTAVY .....................................................................................................75 6 PŘÍKLADY POUŢITÍ MATEMATICKÉHO MODELU................................................................76 6.1 VÝPOČET POMĚRŮ PŘI JEDNOFÁZOVÉM ZKRATU V SÍTI TN-C VEDENÍ NN ................................76 6.1.1 ZADÁNÍ ..............................................................................................................................76 6.1.2 VÝPOČET ...........................................................................................................................76 6.1.3 VYHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ .................................................................................................78 6.2 VÝPOČET POMĚRŮ PŘI DVOUFÁZOVÉM IZOLOVANÉM ZKRATU V SÍTI TT VEDENÍ VVN ............79 6.2.1 ZADÁNÍ ..............................................................................................................................79 6.2.2 VÝPOČET ...........................................................................................................................79 6.2.3 VYHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ .................................................................................................84 7 VÝPOČETNÍ SOFTWARE ..............................................................................................................85 8 ZÁVĚR ...............................................................................................................................................87 8.1 SHRNUTÍ TEORETICKÝCH POZNATKŮ PRÁCE .............................................................................88 8.2 VÝPOČETNÍ SOFTWARE...............................................................................................................92 8.3 PŘÍNOS PRÁCE A MOŢNOSTI ROZVOJE ........................................................................................92 POUŢITÁ LITERATURA ...................................................................................................................95 PŘÍLOHA A

VÝPIS FUNKCÍ KNIHOVNY COMPLEX.PHP ......................................................97

Úvod

21

1 ÚVOD Vlastnosti skutečných elektrických obvodů nevyšetřujeme nikdy přímo, ale prostřednictvím jejich modelů. Předmětem této práce je návrh matematického modelu pro výpočty základních stavů nesouměrné trojfázové sítě v ustáleném stavu. Součástí řešení je i softwarová podpora řešení základních úloh chodu třífázové sítě. Tato softwarová podpora je řešena pomocí PHP skriptů umístěných na studentském webu VUT Brno. Pro běţného uţivatele budou přístupné pomocí www prostřednictvím prohlíţeče webových stránek. Toto řešení patří z uţivatelského hlediska mezi nejjednodušší, odpadá jakákoliv potřeba instalace software na klientský počítač, ovládání je jednoduché. Tato softwarová podpora bude prostřednictvím internetu volně přístupná širokému počtu zájemců z řad odborné veřejnosti, studentů a učňů Středních průmyslových škol a Středních odborných učilišť.

2 MODELOVÁNÍ VEDENÍ – SOUČASNÝ STAV V současné době se pro výpočty chodu třífázové sítě pouţívá metod, kdy se předpokládá symetrická struktura elektrického zařízení. Ať je to při výpočtu chodu vedení pomocí dvojbranů a Blondelových konstant nebo při výpočtu zkratů metodou souměrných sloţek. Ve všech těchto případech se předpokládá souměrné vedení, tzn. vedení, které má v jednotlivých fázích stejné parametry. Ve skutečnosti ale vedení díky svému geometrickému uspořádání má v jednotlivých fázových vodičích nestejné, nesouměrné parametry.Dalším předpokladem je napájení souměrným trojfázovým napětím, tedy napětím, kde mají jednotlivé fáze stejnou velikost a jsou vzájemně natočeny o úhel 2π/3. Součástí této práce je i vytvoření uţivatelsky jednoduché aplikace vytvořené pomocí PHP skriptů. Ze softwarové podpory je k dispozici řada programů (např. ATPDraw for Windows). Jejich ovládání i přes grafickou podporu není pro méně zasvěceného uţivatele jednoduché, dalším problémem je neexistence česká verze. Tyto sofistikované programy jsou bezesporu vhodné pro studenty Vysokých škol a jsou vhodné pro řešitele úzce specializovaných a specifických úloh. Omezení uţivatele při návrhu a řešení úloh je minimální, ale vyţaduje jiţ poměrně hluboké odborné znalosti. Oproti tomu softwarová podpora řešení úloh pomocí PHP nevyţaduje odborné znalosti, jedná se o uţivatelsky velice jednoduché řešení, které umoţňuje řešit i poměrně sloţité úlohy, ale s minimální mírou flexibility pro uţivatele. V následující části je popsána souměrná trojfázová soustava a náhrada trojfázového vedení pomocí dvojbranů. Jsou zde shrnuty základní dvojbrany nahrazující soustředěné prvky reprezentující parametry vedení. Pomocí sériového řazení základních dvojbranů jsou odvozeny sloţitější dvojbrany, které jsou běţně pouţívány při výpočtech. Jsou to dvojbrany ve tvaru Г článku s příčným prvkem na vstupu nebo na výstupu, dvojbran ve tvaru П článku a konečně dvojbran ve tvaru Т článku. Tyto dvojbrany lze samozřejmě odvodit přímo z jejich náhradního schématu aplikací Kirchhoffových zákonů. Zde popsaný způsob jednoduchým způsobem demonstruje princip, jaký je v další části této práce pouţit u multibranů. U multibranů by odvození přenosových matic v případě sloţitějších vnitřních struktur multibranu bylo značně sloţité. A rovněţ tak i neúčelné, neboť při pouţití výpočetní techniky je výhodou pouţití co nejjednodušších algoritmů, a to i za cenu zvýšení počtu početních operací.

Modelování vedení – současný stav

22

2.1 Souměrná třífázová soustava Souměrná třífázová soustava, pouţívaná při výrobě a rozvodu elektrické energie je tvořena zdroji harmonického napětí stejného kmitočtu a amplitudy, jejichţ vzájemný posun je 2π/3. Pro označení jednotlivých sloţek se vţil název fáze. Pořadí napětí jak za sebou následují na časové ose nazýváme sledem fází [8]. 90

400

120

UA UB UC

60 300 200

150

400 UA UB UC

300 200

30

100

100

180

0

0 -100

210

330 240

300 270

Obr. 2-1 Fázorový diagram [11]

-200 -300 -400 0

0.005

0.01

0.015

0.02

Obr. 2-2 Časový průběh souměrné trojfázové soustavy [11]

Souměrnou trojfázovou soustavu tedy tvoří napětí [8] u A (t )  U m sin t 2   u B (t )  U m sin  t   3   2   uC (t )  U m sin t  t   3  

(2.1)

Častěji se ale vyjadřují pomocí fázorů v měřítku efektivních hodnot:

UA 

Um 2 (2.2)

U B  U A .e  j 2 / 3 U C  U A .e j 2 / 3

V této soustavě se často setkáváme s fázovým posunem 2π/3. Pro zjednodušení zápisu fázorů proto zavádíme pomocné komplexní číslo

a  e j 2 / 3  

1 3  j 2 2

(2.3)

Potom je 2 1 3 a 2  e ( j 2 / 3)  e ( j 4 / 3)    j 2 2

(2.4)


23

Platí a 0  a1  a 2  0

(2.5)

Fázory souměrné trojfázové soustavy pak můţeme psát ve tvaru

U B  a 2U A

UA

UC  a U A

(2.6)

Vzhledem k 2.5 platí

U A  U B  U C  U A  a 2U A  a U A  0 V

(2.7)

Z trojfázové soustavy zapojené do hvězdy můţeme z kaţdého zdroje vyvést jeden vodič, který označujeme stejným písmenem. Vývod ze společného uzlu označujeme písmenem N a nazýváme jej středním vodičem. . V tomto uspořádání máme k dispozici dvojí druh napětí. Fázová napětí jsou napětí mezi vodiči A, B, C a středním vodičem N. Sdruţená napětí jsou napětí mezi vodiči A-B, B-C a C-A. Jak je vidět z fázorového diagramu, jsou sdruţená napětí dána rozdílem napětí fázových, U AB  U A  U B

U BC  U B  U C

U CA  U C  U A

(2.8)

Stejně jako pro fázová napětí, platí i pro sdruţená napětí vztah U AB  U BC  U CA  0 V

(2.9)

Pro vztah modulů fázových a sdruţených napětí platí vztah

U AB  3. U A

(2.10)

A

U CA

A

U CA

UA

UA UB N

UB N

U AB

UC

UC C

U BC

B

C

U BC

Obr. 2-3 Spojení do hvězdy a jeho topografický fázorový diagram

U AB B


24

Souměrnou trojfázovou zátěţ představuje spotřebič, který odebírá z kaţdé fáze stejný proud a to jak do jeho velikosti, tak se stejným fázovým posunem vůči fázovému napětí.

IA

A

A

ZA

UA

IN

UA

UB N

UC

C

N

ZC B

UB

UC

C

IB

ZB B

IC Obr. 2-4 Souměrná soustava napětí se zátěží zapojenou do hvězdy Pro impedance tedy platí:

Z A  Z B  ZC  Z

(2.11)

Proudy vytékající ze zdrojů jsou

IA 

UA , Z

IB 

UB , Z

IC 

UC , Z

(2.12)

Pro proud středního vodiče platí





I N   I A  I B  IC  

1 Z

U

A



 U B  UC  0

(2.13)


25

2.2 Dvojbrany Třífázové vedení můţeme nahradit pro výpočet poměrů na začátku a na jeho konci nahradit lineárním dvojbranem, který obsahuje soustředěné parametry [7]. Při pouţití dvojbranů omezujeme výpočet jen pro jednu fázi a předpokládáme souměrné parametry ve všech třech fázích a to jak z hlediska parametrů vedení, tak souměrné zátěţe a samozřejmě souměrného napájecího napětí. Dvojbrany nám umoţňují řešit zvláštní chody a to chod naprázdno a chod nakrátko, popř. chod s přirozeným výkonem. Případ chodu nakrátko je identický s případem třífázového zkratu, jiné druhy poruch ale nelze pomocí dvojbranů řešit a zde musíme pouţít souměrných sloţek. Odvození kaskádní matice pro dvojbran, obsahující jak podélné impedance, tak příčné admitance pro různé typy dvojbranů je poměrně jednoduché. Zde si ukáţeme, jak lze k témuţ výsledku dojít sériovým řazením elementárních dvojbranů. Stejný způsob následně pouţit u multibranů, kde by přímé odvození multibranů obsahujících jak podélné impedance, tak přímé admitance bylo velice sloţité.

I1 U1

I2

U2

Obr. 2-5 Lineární dvojbran Chod soustavy reprezentované lineárním dvojbranem můţeme popsat touto soustavou matic [9]:

U1   A B  U 2    *   I1  C D   I 2 

(2.14)

Roznásobením matic dostáváme rovnice

U 1  A.U 2  B.I 2

(2.15)

I 1  C.U 2  D.I 2

(2.16)


26

2.2.1 Dvojbran jen s podélným prvkem Tento dvojbran reprezentuje sériově řazený rezistor s induktorem. Rezistivita rezistoru je vyjádřena reálnou částí impedance

Z . Reaktance induktoru je vyjádřena imaginární částí

impedance Z . Platí [7]

Z  R  jω L

(2.17)

I1 U1

Z

I2 U2

Obr. 2-6 Lineární dvojbran s jedním podélným prvkem Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí: U1  U 2  Z.I 2

(2.18)

A analogicky podle Kirchhoffova zákona o proudech v uzlu platí: I1  I 2

(2.19)

Porovnáním rovnic 2.18 a 2.19 s rovnicemi 2.15 a 2.16 po rozpisu dostáváme A  1 0 j BZ C0

(2.20)

D  1 0 j

Výsledná matice má tvar

1 Z  Zˆ    0 1 

(2.21)

a k ní inverzní matice má tvar

1  Z  Zˆ -1    0 1 

(2.22)


27

2.2.2 Dvojbran s příčným prvkem Tento dvojbran reprezentuje příčně řazenou admitanci. Tento dvojbran reprezentuje paralelně řazený rezistor s kapacitorem. Vodivost rezistoru je vyjádřena reálnou částí admitance Y . Susceptance kapacitoru je vyjádřena imaginární částí admitance Y . Platí [7] Y  G  jω BC

(2.23)

I1

U1

I2 Y

U2

Obr. 2-7 Lineární dvojbran s příčným prvkem Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí: U1  U 2

(2.24)

A analogicky podle Kirchhoffova zákona o proudech v uzlu platí:

I1  Y .U 1  I 2

(2.25)

Porovnáním rovnic 2.24 a 2.25 s rovnicemi 2.15 a 2.16 po rozpisu dostáváme

A  1 0 j B0

(2.26)

C Y D  1 0 j Výsledná matice má tvar  1 0 Yˆ    Y 1

(2.27)

a k ní inverzní matice má tvar  1 Yˆ -1    Y

0 1

(2.28)


28

2.2.3 Dvojbran bez pasivního prvku Pro úplnost můţeme odvodit dvojbran bez prvku.

I1

U1

I2

U2

Obr. 2-8 Lineární dvojbran bez prvku Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí:

U f1  U f 2

(2.29)

A analogicky podle Kirchhoffova zákona o proudech v uzlu platí: I1  I 2

(2.30)

Porovnáním rovnic 2.29 a 2.30 s rovnicemi 2.15 a 2.16 po rozpisu dostáváme A  1  0j B0 C0

(2.31)

D  1  0j

Výsledná matice má tvar 1 0 Eˆ    0 1 

(2.32)

a k ní inverzní matice má tvar 1 0 Eˆ -1    0 1 

(2.33)


29

2.2.4 Dvojbran s krátkým spojením na výstupu Obdobně můţeme odvodit matici pro dvojbran s krátkým spojením výstupních svorek

I1

U1

I2

U2

Obr. 2-9 Lineární dvojbran s krátkým spojením výstupních svorek Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí: U1  U 2  0 V

(2.34)

Podle Kirchhoffova zákona o proudech v uzlu platí: I1  I 2

(2.35)

Porovnáním rovnic 2.34 a 2.35 s rovnicemi 2.15 a 2.16 po rozpisu dostáváme A0 B0 C0

(2.36)

D  1  0j

Výsledná matice má tvar ˆ  0 0  K 0 1   

K této matici neexistuje inverzní matice, neboť matice Kˆ není regulární. Det Kˆ  0

(2.37)


30

2.3 Sériové řazení dvojbranů Máme odvozeny matice pro elementární dvojbrany. Řazením dvojbranů do série můţeme odvodit nejpouţívanější články typu T, Π a Γ. Konstanty náhradního výsledného dvojbranu n sériově řazených dvojbranů určíme z rovnice [2]

 A1n  C1n

n  B1n  Am    D1n  m1 C m

Bm   Dm 

(2.38)

Výslednou matici sériově řazených dvojbranů dostaneme vynásobením jednotlivých matic v daném pořadí mezi sebou. Pořadí řazení a pořadí násobení musíme zachovat, protoţe násobení matic obecně není komutativní [5].

2.3.1 Náhrada parametrů vedení Při nahrazování parametrů vedení pouţíváme měrné impedance a admitance vztaţené na jednotku délky, nejčastěji na 1 km [7]. Podélnou impedanci vedení tak vyjádříme vztahem: Z  Z k .l

(2.39)

Příčnou admitanci vedení vyjádříme vztahem:

Y  Yq .l

(2.40)

Příslušné přenosové matice pak mají tvar:

1 Z k .l  Zˆ    0 1 

(2.41)

 1 0 Yˆ    Yq .l 1

(2.42)

Rovněţ se pouţívají měrné impedance a admitance vztaţení na polovinu délky vedení. Matice mají tvar:

l  1 Zk.  Zˆ 1   2 0 2 1  

(2.43)

0  1  Yˆ1   l Yq . 2 1 2

(2.44)


31

2.3.2 Dvojbran ve tvaru Γ článku s příčným prvkem na vstupu Tento dvojbran dostaneme vynásobením elementárních dvojbranů

Γˆ  Yˆ.Zˆ

(2.45)

 1 0 1 Z k .l   1 Z k .l  Γˆ   *    2 Yq .l 1 0 1  Yq .l 1  Yq .Z k .l 

(2.46)

Pro Blondelovy konstanty tak dostáváme

A 1

(2.47)

B  Z k .l

(2.48)

C  Yq .l

(2.49)

D  1  Yq .Z k .l 2

(2.50)

2.3.3 Dvojbran ve tvaru Γ článku s příčným prvkem na výstupu Tento dvojbran dostaneme vynásobením elementárních dvojbranů

Γˆ  Zˆ.Yˆ

1 Z k .l   1 0 1  Yq .Z k .l 2 ˆ Γ  *   0 1  Yq .l 1  Yq .l

(2.51)

Z k .l   1 

(2.52)


A  1  Yq .Z k .l 2

(2.53)

B  Z k .l

(2.54)


32

C  Yq .l

(2.55)

D 1

(2.56)

Zde vidíme, ţe platí nerovnost

Yˆ.Zˆ  Zˆ.Yˆ

(2.57)

Násobení matic obecně není komutativní.

2.3.4 Dvojbran ve tvaru T článku Tento dvojbran dostaneme vynásobením matic elementárních dvojbranů

Tˆ  Zˆ 1 .Yˆ.Zˆ 1 2

(2.58)

2

 ˆ T  1  0

Z k .l   1 0   1 2 * Y .l 1*   0 1   q

 Yq .Z .l 2 Z k .l  1  2   2  1   Y .l q 

Yq .Z k2 .l 3   4  Yq .Z k .l 2  1  2 

Z k .l 

(2.59)


A  1

Yq .Z.l 2

(2.60)

2

B  Z k .l 

Yq .Z k2 .l 3

C  Yq .l

D  1

(2.61)

4

(2.62)

Yq .Z k .l 2

(2.63)

2

2.3.5 Dvojbran ve tvaru Π článku Tento dvojbran dostaneme vynásobením matic elementárních dvojbranů

Πˆ  Yˆ1 .Zˆ.Yˆ1 2

2

(2.64)


  1 Πˆ   l Yq  2

 0   1 * 1   0 

 Z k .l   1 * 1  Y l q  2

Yq .Z k .l 2   0   1 2  2 3 1  Y .l  Yq .Z k .l    q 4

33

Z k .l 1

Yq .Z k .l 2 2

     

(2.65)


A  1

Yq .Z.l 2

B  Z k .l

(2.67)

C  Yq .l 

D  1

(2.66)

2

Y q2 .Z k .l 3

(2.68)

4

Yq .Z k .l 2

(2.69)

2

2.4 Paralelní řazení dvojbranů Pro úplnost zde ještě uvedeme vztahy pro výpočet paralelního řazení dvojbranů.Konstanty náhradního výsledného dvojbranu n paralelně řazených dvojbranů určíme z rovnice [2]

1  1  Dr  1  n 1  Dm     Br   1  Ar  m1 Br   1  Am 

(2.70)

Zbývající konstantu C r určíme z následujícího vztahu [2] Ar .Dr  Br .Cr  1

Cr 

Ar .Dr  1 Br .

(2.71)

(2.72)

2.5 Shrnutí V předchozí části jsme si ukázali, jak lze sériovým řazením elementárních dvojbranů, resp. vynásobením jejich přenosových matic odvodit sloţitější dvojbrany obsahující sloţitější vnitřní strukturu. Toto odvození bylo ukázáno na nejčastěji pouţívaných dvojbranech nahrazující vedení a to na článcích typu T, Π a Γ.


34

V následující tabulce jsou shrnuty základní typy dvojbranů a jejich přenosové matice: Tab. 2-1 Elementární dvojbrany a jejich přenosové matice Přenosová matice

Inverzní matice

U2

1 Z  Zˆ    0 1 

1  Z  Zˆ -1    0 1 

U2

 1 0 Yˆ    Y 1

 1 Yˆ -1    Y

Dvojbran

Z

I1

I2

U1

I1

U1

I1

U1

I1

U1

I2 Y

0 1

I2

U2

1 0 Eˆ    0 1 

1 0 Eˆ -1    0 1 

0 0  Kˆ    0 1 

neexistuje

I2

U2

Dalším sériovým řazením dvojbranů můţeme odvodit přenosové matice sloţitějších útvarů.

Cíl práce

35

3 CÍL PRÁCE Cílem práce je vytvoření zjednodušeného matematického modelu trojfázové sítě, která umoţní provádět základní výpočty chodu této sítě v ustáleném stavu s nesouměrnými parametry a to ve všech jejích variantách. Trojfázovou síť můţeme obecně provozovat v několika základních typech zapojení. o Vedení nízkého napětí je provozováno jako síť TN – C. Jedná se o síť s vyvedeným středním vodičem a přímo uzemněným uzlem. o Vedení vysokého napětí je provozováno jako síť IT. V této síti není vyveden střední vodič a uzel je buď izolován (není spojen se zemí) nebo je spojen se zemí přes impedanci. V závislosti na charakteru sítě je tedy spojen buď přes zhášecí tlumivku a nebo u čistě kabelových sítí přes odporník. o A v poslední řadě, vedení velmi a zvláště vysokého napětí jsou provozována jako síť TT. Uzel v této síti je přímo uzemněn. Střední vodič v této síti není sice vyveden, ale zemní lano, kterým jsou vedení vvn a zvn doplněna a kterým jsou propojeny jednotlivé transformovny se ve své podstatě jako střední vodič chová. I kdyţ účel ochranného zemního lana je samozřejmě jiný. Vlastní vedení při výpočtech nahrazujeme prvky se soustředěnými parametry. Základními primárními parametry jsou rezistance, indukčnost, konduktance a kapacita. Tyto primární parametry při výpočtech nahrazujeme podélnou impedancí a příčnou admitancí. Návrh matematického modelu by měl být univerzální a měl by umoţnit namodelovat jak L1 různé typy sítí, tak odlišné parametry prvků nahrazující vedení a to nejen v jednotlivých fázích, L2 ale i mezi fázovými vodiči a zemí, mezi L3fázovými a středním vodičem, mezi středním vodičem a (PEN) zemí a v neposlední řadě mezi fázovýmiN vodiči navzájem. V navrţeném matematickém modelu by mělo být následně umoţněno počítat základní typy chodů (chod naprázdno, chod nakrátko),E tak současně i nejčastější druhy poruch, zejména tedy zkratů.

L1

L2

L3

N (PEN)

E

Obr. 3-1 Příklad náhrady trojfázového vedení prvky se soustředěnými parametry

Náhrada třífázové nesouměrné soustavy

36

4 NÁHRADA TŘÍFÁZOVÉ NESOUMĚRNÉ SOUSTAVY 4.1 Nesouměrná třífázová soustava V reálném stavu však díky rozdílnému zatíţení, nestejným parametrům prvků sítě dochází k nesymetrii napájecího napětí. Nesymetrie napětí je stav, kdy se napětí liší v amplitudě nebo ve vzájemném fázovém posunu nebo v obou dvou parametrech [11]. 90

60 300 200

150

400

UA UB UC

400

120

30

200

100 180

UA UB UC

300

100

0

0 210

330 240

-100 -200

300 270

-300 -400 0

Obr. 4-1 Fázorový diagram [11]

0.005

0.01

0.015

0.02

Obr. 4-2 Časový průběh nesouměrné trojfázové soustavy [11]

Nesouměrnou trojfázovou soustavu tedy tvoří napětí [11]

u A (t )  U mA sin t   A 

u B (t )  U mB sin t   B 

uC (t )  U mC sin t t   C 

(4.1)

Pro vyjádření pomocí fázorů v měřítku efektivních hodnot platí: UA 

U mA

UB 

U mB

UC 

U mC

2 2 2

.e j A .e j B

(4.2)

.e jC

Pro nesouměrnou trojfázovou soustavu platí U A U B UC  0

(4.3)


37

V případě nesouměrné třífázové zátěţe platí pro proud středního vodiče:





I N   I A  I B  IC  0

(4.4)

Středním vodičem nám teče nenulový proud. Protoţe střední vodič nemá nulovou impedance, dochází při průchodu proudu středním vodičem k úbytku napětí, které označujeme U 0.

IA

A

A

ZA

U1 UA

IN

Z0

U2 N

ZC

U0 UC

C

UB

0

U3

C B

ZB B

IB

IC Obr. 4-3 Nesouměrná soustava napětí se zátěží zapojenou do hvězdy K rozdílnému napětí mezi referenčním uzlem N a uzlem 0 je důsledkem nesymetrie proudů. Velikost impedance Z 0 má rovněţ vliv na jeho velikost. K největšímu rozdílnému napětí U 0 můţe dojít v obvodu s rozpojeným (chybějícím) středním vodičem. Teoreticky při impedanci

Z 0  0  k nesymetrii napětí nedojde, ale tento stav je nereálný.

IA

A

A

ZA

U1 UA

U0 U2 N

C

UC

0

ZC

UB

U3

C B

ZB

IB

IC Obr. 4-4 Nesouměrná soustava napětí se zátěží zapojenou do hvězdy bez středního vodiče

B


38

V obvodu se středním vodičem můţeme napětí U 0 určit ze vztahu U0  

I N I A  I B  IC  Z0 Z0

(4.5)

V obvodu se bez středního vodiče určíme napětí U 0 ze vztahu UA U0 

ZA 1 ZA

 

UB ZB 1 ZB

 

UC ZC 1

(4.6)

ZC

A

U1 UA

U0

0

N

UC

U2 U3

UB

C

Obr. 4-5 Fázorový diagram obvodu dle obr. 4.4

B


39

4.2 Odvození matic jednoduchých multibranů Třífázové vedení můţeme nahradit pro výpočet poměrů na začátku a na jeho konci nahradit lineárním multibranem, který obsahuje soustředěné parametry. Odvození kaskádní matice pro multibran, obsahující jak podélné impedance, tak příčné admitance by bylo poměrně sloţité. Takový to multibran ale můţeme rozloţit na jednodušší multibrany, obsahující vţdy jednotlivé prvky nahrazující část třífázové sítě.

U A1

U B1 U C1

I A1

I A2

I B1

I B2

IC1

IC2

I 01

I 02

U A2

U B2

U 01

U C2 U 02

Obr. 4-6 Lineární multibran K tomuto lineárnímu multibranu přísluší rovnice:  U A1   A11    U   A  B1   21 U C1   A31     U 01   A41    I A1   A51     I B1   A61     I C1   A71  I  A  01   81

A12

A13

A14

A15

A16

A17

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

A18   U A 2     ..   U B 2  ..  U C 2  ..   U 02  *  I   .. A2     ..   I B 2     ..   I C 2  A88   I 02    

(4.7)

kterou rovněţ můţeme napsat ve tvaru

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(4.8)


40

4.2.1 Odvození matice podélných impedancí

U A1

U B1 U C1

I A1

ZA

I A2

I B1

ZB

I B2

IC1

ZC

IC2

I 01

Z0

I 02

U 01

U A2

U B2

U C2 U 02

Obr. 4-7 Lineární multibran s podélnými impedancemi jednotlivých pracovních vodičů Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí: U A1  U A2  Z A .I A2

(4.9)

U B1  U B 2  Z B .I B 2

(4.10)

U C1  U C 2  Z C .I C 2

(4.11)

U 01  U 02  Z 0 .I 0

(4.12)

A analogicky podle Kirchhoffova zákona o proudech v uzlu platí: I A1  I A2

(4.13)

I B1  I B 2

(4.14)

I C1  I C 2

(4.15)


I 01  I 02

41

(4.16)

Maticový zápis výše uvedených rovnic je:  U A1   1    U    B1   0 U C1   0     U 01   0    I A1   0     I B1   0     I C1   0 I    01   0

0 0 0 ZA

0

0

1 0 0

0

ZB

0

0 1 0

0

0

ZC

0 0 1

0

0

0

0 0 0

1

0

0

0 0 0

0

1

0

0 0 0

0

0

1

0 0 0

0

0

0

0   U A 2     0  U B 2  0  U C 2  Z 0   U 02  *   I   0 A2     0   I B2     0   IC2     1   I 02 

(4.17)

Výslednou matici přenosu označíme Zˆ a platí tedy: 1   0 0  0 Zˆ   0  0  0  0

0 0 0 ZA

0

0

1 0 0

0

ZB

0

0 1 0

0

0

ZC

0 0 1

0

0

0

0 0 0

1

0

0

0 0 0

0

1

0

0 0 0

0

0

1

0 0 0

0

0

0

0   0  0  Z0   0   0   0   1 

(4.18)


42

4.2.2 Odvození matice příčných admitancí mezi fázemi a středním vodičem

I A1 I B1

U A1

IC1

U B1 U C1

I 01

I A2 Y A0

I B2

Y B0 Y C0

IC2 I 02

U 01

U A2

U B2 U C2

U 02

Obr. 4-8 Lineární multibran s příčnými admitancemi fázových vodičů proti střednímu vodiči Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí: U A1  U A2

(4.19)

U B1  U B 2

(4.20)

U C1  U C 2

(4.21)

U 01  U 02

(4.22)


I A1  YA0 .U A1  I A2

(4.23)

I B1  YB 0 .U B1  I B 2

(4.24)


43

I C1  YC 0 .U C1  I C 2

(4.25)

I 01  YA0 .U A1  YB 0 .U B1  YC 0 .U C1  I 02

(4.26)

Maticový zápis výše uvedených rovnic je:  U A1   1    U    B1   0  U C1   0     U 01   0    I A1   Y A0     I B1   0     I C1   0  I  Y  01   A0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

YB 0

0

0

YC 0

 YB 0

 YC 0

0 0 0 0 0   U A 2     0 0 0 0 0  U B 2  0 0 0 0 0  U C 2  1 0 0 0 0   U 02  *   I   0 1 0 0 0 A2     0 0 1 0 0   I B2     0 0 0 1 0  IC2     0 0 0 0 1   I 02 

(4.27)

ˆ a platí tedy: Výslednou matici přenosu označíme Y Y0

YˆY 0

 1    0  0   0   Y A0   0   0 Y  A0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

YB 0

0

0

YC 0

 YB 0

 YC 0

0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0  0 1 0 0 0  0 0 1 0 0  0 0 0 1 0  0 0 0 0 1

(4.28)


44

4.2.3 Odvození matice příčných admitancí mezi jednotlivými fázemi I A1

U A1

I A2

Y AB Y AC

I B1

U B1

Y BC

IC1

U C1

I B2

U A2

U B2

IC2

I 01

I 02

U C2

U 01

U 02

Obr. 4-9 Lineární multibran s admitancemi mezi fázovými vodiči Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí: U A1  U A2

(4.29)

U B1  U B 2

(4.30)

U C1  U C 2

(4.31)

U 01  U 02

(4.32)










I A1  I AB  I AC  I A2  U A2  U B 2 .YAB  U A2  U C 2 .YAC  I A2 





 YAB  YAC .U A2  YAB .U B 2  YAC .U C 2  I A2









I B1   I AB  I BC  I B 2   U A2  U B 2 .YAB  U B 2  U C 2 .YBC  I B 2 





 YAB .U A2  YAB  YBC .U B 2  YBC .U C 2  I B 2

(4.33)

(4.34)










I C1   I AC  I BC  I C 2   U A2  U C 2 .YAC  U B 2  U C 2 .YBC  I C 2 





 YAC .U A2  YBC .U B 2  YAC  YBC .U C 2  I C 2

45

(4.35)

Maticový zápis výše uvedených rovnic je:  U A1   1    U   0  B1   U C1   0     U 01   0    I A1   Y AB  Y AC     I B1   -Y AB     I C1   -Y AC I   0  01  

0

0

1

0

0

1

0

0

-Y AB

-Y AC

Y AB  YBC

-YBC

-YBC

YBC  Y AC

0

0

0 0 0 0 0   U A 2     0 0 0 0 0  U B 2  0 0 0 0 0  U C 2  1 0 0 0 0   U 02  *   I   0 1 0 0 0 A2     0 0 1 0 0  I B2     0 0 0 1 0  IC2     0 0 0 0 1   I 02 

(4.36)

Výslednou matici přenosu označíme YˆD a platí tedy:  1   0   0   0 YˆD    Y AB  Y AC   -Y AB   -Y AC  0 

0

0

1

0

0

1

0

0

-Y AB

-Y AC

Y AB  YBC

-YBC

-YBC

YBC  Y AC

0

0

0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0  0 1 0 0 0  0 0 1 0 0  0 0 0 1 0  0 0 0 0 1

(4.37)


46

4.2.4 Odvození matice příčných admitancí mezi fázemi a zemí

I A1 I B1

U A1

IC1

U B1 U C1

I 01

U 01

I A2 YA

YB YC

I B2

U A2

IC2

U B2

I 02

U C2

Y0

U 02

Obr. 4-10 Lineární multibran s admitancemi mezi pracovními vodiči a zemí Podle Kirchhoffova zákona o napětí ve smyčce platí: U A1  U A2

(4.38)

U B1  U B 2

(4.39)

U C1  U C 2

(4.40)

U 01  U 02

(4.41)

A analogicky podle Kirchhoffova zákona o proudech v uzlu platí: I A1  YA .U A1  I A2

(4.42)

I B1  YB .U B1  I B 2

(4.43)


47

I C1  YC .U C1  I C 2

(4.44)

I 01  Y0 .U 01  I 02

(4.45)

Maticový zápis výše uvedených rovnic je:  U A1   1    U    B1   0 U C1   0     U 01   0    I A1   Y A     I B1   0     I C1   0 I    01   0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

YB

0

0

0

YC

0

0

0

Y0

0 0 0 0   U A 2     0 0 0 0  U B 2  0 0 0 0  U C 2  0 0 0 0   U 02  *   I   1 0 0 0 A2     0 1 0 0  I B2     0 0 1 0  IC2     0 0 0 1   I 02 

(4.46)

Výslednou matici přenosu označíme YˆY a platí tedy: 1    0  0   0 YˆY    YA   0   0   0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

YB

0

0

0

YC

0

0

0

Y0

0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0  1 0 0 0  0 1 0 0  0 0 1 0  0 0 0 1

(4.47)

4.2.5 Výpočet matice příčných admitancí Předchozí matice různých typů příčných admitancí můţeme nahradit jednou maticí příčných admitancí, kterou dostaneme jejich vzájemných vynásobením Yˆ  YˆY 0 .YˆY .YˆD

(4.48)

Lze dokázat, ţe násobení těchto matic je komutativní a nezáleţí tedy na pořadí jejich násobení.


48

4.2.6 Odvození matice pro uzemnění uzlu zdroje I uzemnění uzlu zdroje můţeme nahradit přenosovou maticí. Můţeme tak nahradit nejen vlastní uzemnění, ale i impedanci, která můţe být mezi uzel zdroje a zem připojena. Touto další přídavnou impedancí můţe být zhášecí tlumivka či odporník.

I A1

U A1

I A2

~ U B1

I B1

U A2

I B2

~ U C1

I C1

U B2 I C2

~ I 01

U C2 I 02 U 01  U 02

ZZ

I E  I A  I B  IC  I0

Obr. 4-11 Zdroj napětí s uzlem uzemněným přes impedanci Všechny proudy, které tečou ze zdroje, se do tohoto zdroje vrací. Pro velikost napětí U 0 platí:



U 0  Z Z .I E  Z Z . I A  I B  I C  I 0



(4.49)

Pro vnitřní napětí zdroje platí:





(4.50)





(4.51)





(4.52)

U A1  U A2  U 0  U A2  Z Z . I A  I B  I C  I 0

U B1  U B 2  U 0  U B 2  Z Z . I A  I B  I C  I 0

U C1  U C 2  U 0  U C 2  Z Z . I A  I B  I C  I 0


49

A analogicky podle Kirchhoffova zákona o proudech v uzlu platí: I A1  I A2

(4.53)

I B1  I B 2

(4.54)

I C1  I C 2

(4.55)

I 01  I 02

(4.56)

Maticový zápis výše uvedených rovnic je:  U A1     1 U    B1   0 U C1   0     U 01   0    I A1   0     I B1   0     I C1   0 I    01   0

0 0 0 ZZ

ZZ

ZZ

1 0 0 ZZ 0 1 0 ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

0 0 1 ZZ

ZZ

ZZ

0 0 0

1

0

0

0 0 0

0

1

0

0 0 0

0

0

1

0 0 0

0

0

0

Z Z   U A 2  Z Z  U B 2       UC2  ZZ    Z Z   U 02   *  0   I A2     0   I B2     0   IC2     1   I 02 

(4.57)

Výslednou matici přenosu označíme Zˆ Z a platí tedy: 1   0 0  0 Zˆ Z   0  0  0 0 

0 0 0 ZZ

ZZ

ZZ

1 0 0 ZZ 0 1 0 ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

0 0 1 ZZ

ZZ

ZZ

0 0 0

1

0

0

0 0 0

0

1

0

0 0 0

0

0

1

0 0 0

0

0

0

Z Z  ZZ   ZZ   ZZ   0   0   0   1 

(4.58)


50

4.3 Odvození základních multibranů Máme odvozeny matice pro jednoduché multibrany. Výsledný multibran dostaneme kaskádním řazením jednoduchých multibranů. Obdobně jako náhrady elektrizační soustavy dvojbrany, kde mezi nejpouţívanější patří články T, Π a Γ, můţeme i zde pouţít různé varianty zapojení.

4.3.1 Multibrany pro náhradu parametrů vedení Při nahrazování parametrů vedení pouţíváme měrné impedance a admitance vztaţené na jednotku délky, nejčastěji na 1 km. Podélnou impedanci tak vyjádříme vztahem: Z A  Z kA .l

(4.59)

Příčnou admitanci vedení vyjádříme vztahem:

YA0  YqA0 .l

(4.60)

Analogicky přepočítáme ostatní měrné parametry:

YAB  YqAB .l

(4.61)

YA  YqA.l

(4.62)

Příslušné přenosové matice pak mají tvar: 1   0 0  0 Zˆ   0  0  0  0

0 0 0 Z kA .l

0

0

1 0 0

0

Z kB .l

0

0 1 0

0

0

Z kC .l

0 0 1

0

0

0

0 0 0

1

0

0

0 0 0

0

1

0

0 0 0

0

0

1

0 0 0

0

0

0

0   0  0  Z k 0 .l   0   0   0   1 

(4.63)


YˆY 0

  1   0   0   0   YqA0 .l   0   0    YqA0 .l 

0 1 0 0 0 YqB0 .l 0  YqB0 .l

 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 1  0 1 0 0 0 0  0 0 1 0 0 0  0 0 0 1 0 0  YqC0 .l 0 0 0 1 0    YqC 0 .l 0 0 0 0 1  

51

0

 0 0 1    0 0 1   0 0 1   0 0 0 YˆD   -YqAB .l -YqAC .l  ( YqAB  YqAC ).l  -YqAB .l ( YqAB  YqBC ).l -YqBC .l    -YqAC .l -YqBC .l ( YqBC  YqAC ).l   0 0 0   0 0 0  1   0 0 0 1   0 0 0 1   0 0 0 1 YˆY    YqA.l 0 0 0  YqB .l  0 0 0   0 YqC .l 0 0   0 Yq 0 .l 0 0 

 0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  1 0 0 0  0 1 0 0  0 0 1 0  0 0 0 1 

(4.64)

 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0  0 0 0 0 0  1 0 0 0 0  0 1 0 0 0  0 0 1 0 0  0 0 0 1 0  0 0 0 0 1 

(4.65)

(4.66)


52

Obdobným způsobem určíme přenosové matice pro poloviční délky vedení. Tyto matice vyuţijeme při přesnějších náhradách vedení tvořených П nebo Т články.   1   0   0   0  Zˆ 1   2  0   0   0   0  

0 0 0 1 0 0

Z kA .

0

l 2

0 Z kB .

0 1 0

0

0

0 0 1

0

0

0 l 2

0 Z kC .

0

0 0 0

1

0

0

0 0 0

0

1

0

0 0 0

0

0

1

0 0 0

0

0

0

l 2

  0    0    0   l Z k0.  2    0    0    0    1  

(4.67)

Ostatní přenosové matice zde jiţ nebudeme rozepisovat.

4.3.2 Multibran ve tvaru Γ článku s příčným prvkem na vstupu Přenosovou matici tohoto multibranu dostaneme vzájemným vynásobením přenosové matice multibranu příčných admitancí s přenosovou maticí multibranu podélných impedancí (v tomto pořadí !). Γˆ  Yˆ.Zˆ

(4.68)

4.3.3 Multibran ve tvaru Γ článku s příčným prvkem na výstupu Přenosovou matici tohoto multibranu dostaneme vzájemným vynásobením přenosové matice multibranu podélných impedancí s přenosovou maticí multibranu příčných admitancí (v tomto pořadí !).

Γˆ  Zˆ.Yˆ

(4.69)

4.3.4 Multibran ve tvaru T článku Přenosovou matici tohoto multibranu dostaneme vzájemným vynásobením přenosové matice multibranu polovičních podélných impedancí s přenosovou maticí multibranu příčných admitancí


53

a následným vynásobením matice multibranu polovičních podélných impedancí. Opět musíme dodrţet pořadí násobení.

Tˆ  Zˆ 1 .Yˆ.Zˆ 1 2

(4.70)

2

4.3.5 Multibran ve tvaru Π článku Přenosovou matici tohoto multibranu dostaneme vzájemným vynásobením přenosové matice multibranu polovičních příčných admitancí s přenosovou maticí multibranu podélných impedancí a následným vynásobením matice multibranu polovičních příčných admitancí. Opět musíme dodrţet pořadí násobení.

Πˆ  Yˆ1 .Zˆ.Yˆ1 2

(4.71)

2

4.4 Pouţití multibranů pro náhradu jednotlivých prvků sítě 4.4.1 Impedance zdroje Pokud při výpočtech neuvaţujeme ideální napěťový zdroj, vnitřní impedanci zdroje nahradíme multibranem obsahující podélné impedance.

4.4.2 Náhrada vedení nn Pro výpočty chodu v síti nn je postačující uvaţovat pouze podélné impedance a i zde můţeme uvaţovat pouze činný odpor vodičů. Vlivy indukčností, kapacitní admitance či svodových proudů jsou k malému rozsahu sítě a nízkého napětí zanedbatelné. Vedení nn tedy můţeme nahradit maticí:

1  0  0 0 Rˆ   0 0  0 0 

0 0 0 RkA .l 0 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0

0

0 0

1 0 0

1 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 RkB .l 0 0 0 1 0 0

0 0 RkC .l 0 0 0 1 0

0  0   0  Rk 0 .l   0  0   0  1 

(4.72)


54

4.4.3 Náhrada vedení vn, vvn a zvn U těchto vedení jiţ v závislosti dostupných parametrech sítě, účelu výpočtu a poţadavcích na jeho přesnost můţeme zvolit kterýkoliv s multibranů typu T, Π nebo Γ. Při výpočtech zkratových proudů, kdy se omezujeme pouze na indukční reaktance vedení, můţeme pro náhradu vedení multibran obsahující pouze imaginární část sloţky podélných impedancí reprezentovaný maticí:

1  0  0 0 Xˆ   0 0  0 0 

jX kA .l

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0

0

1 0 0 0

0 0

1 0 0

1 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 jX kB .l 0 0 0 1 0 0

0 0 jX kC .l 0 0 0 1 0

    0  jX k 0 .l   0  0   0  1  0 0

(4.73)

4.4.4 Náhrada uzemnění středního vodiče Uzemnění středního vodiče můţeme nahradit redukovaným multibranem s příčnou admitancí mezi středním vodičem a zemí.

U A1

U B1 U C1

I A1

I A2

I B1

I B2

U A2

IC1

IC2

U B2

I 01

I 02

U C2

U 01

RZ

U 02

Obr. 4-12 Lineární multibran s činným odporem mezi středním vodičem a zemí


55

Příslušná přenosová matice má tvar:   1    0   0    0  Rˆ Z    0    0    0   0  

0 0

0

0 0 0

1 0

0

0 0 0

0 1

0

0 0 0

0 0

1

0 0 0

0 0

0

1 0 0

0 0

0

0 1 0

0 0

0

0 0 1

0 0

1 RZ

0 0 0

  0    0   0    0    0    0    0   1  

(4.74)

4.4.5 Simulace zátěţe Pro simulaci zátěţe můţeme rovněţ pouţít multibran.

4.4.5.1 Zátěţ zapojená do hvězdy Pro zátěţ zapojenou do hvězdy pouţijeme multibran s příčnými admitancemi mezi fázovými vodiči a středním vodičem reprezentovaný maticí Yˆ . Y0

4.4.5.2 Zátěţ zapojená do trojúhelníku Pro zátěţ zapojenou do trojúhelníku pouţijeme multibran s příčnými admitancemi mezi jednotlivými fázovými vodiči reprezentovaný maticí YˆD .

Výpočty chodu trojfázového nesouměrného vedení

56

5 VÝPOČTY CHODU TROJFÁZOVÉHO NESOUMĚRNÉHO VEDENÍ 5.1 Obecný popis řešení soustav rovnic Jednotlivé části trojfázové soustavy nahradíme příslušnými multibrany, které řadíme sériově.Vynásobením přenosových matic příslušných multibranů dostaneme výslednou matici přenosu Aˆ . Matematický model vţdy vede na tuto soustavu matic.  U A1   A 11 A 12    U  A  B1   21 ..  U C1   A 31 ..     U 01   A 41 ..    I A1   A 51 ..     I B1   A 61 ..     I C1   A 71 ..  I  A  01   81 ..

A 13

A 14

A 15

A 16

A 17

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

A 18   U A2     ..   U B2  ..   U C2  ..   U 02  *  ..   I A2     ..   I B2     ..   I C2  A 88   I 02    

(5.1)

Z této soustavy známe matici Aˆ a dále vstupní hodnoty napětí U A1 aţ U 01 . Matici přenosu

Aˆ můţeme rozdělit do dvou bloků. Pak dostáváme tyto dvě soustavy matic.

 U A1   A11     U B1   A21   U C1   A31 U   A  01   41

A12 ..

A13 ..

A14 ..

A15 ..

A16 ..

A17 ..

.. ..

.. ..

.. ..

.. ..

.. ..

.. ..

U A2    U   B2  U  A18   C 2  ..   U 02   *  ..   I A 2  A48   I   B2     IC2  I   02 

(5.2)

Tuto soustavu můţeme přepsat do tvaru:

Uˆ  Uˆ 1  AˆU* 2  ˆ  I2 

(5.3)


 I A1   A51     I B1   A61    I C1   A71 I  A  01   81

A52 ..

A53 ..

A54 ..

A55 ..

A56 ..

A57 ..

.. ..

.. ..

.. ..

.. ..

.. ..

.. ..

U A2    U   B2  U  A58   C 2  ..   U 02   *  ..   I A 2  A88   I   B2     IC2  I   02 

57

(5.4)

Tuto soustavu můţeme přepsat do tvaru:

Uˆ  Iˆ1  Aˆ I* 2  ˆ  I2 

(5.5)

První soustava matic nám představuje soustavu 4 rovnic o celkem 8 neznámých. Vţdy známe matici vstupních napětí. Následně si ukáţeme, ţe pro různé varianty chodu sítě je tato soustava řešitelná, neboť ji dokáţeme vţdy upravit na soustavu 4 rovnic o čtyřech neznámých. Dostáváme tak redukovanou matici přenosu Aˆ RU . K této matici vypočteme inverzní matici a jejím vynásobením maticí vstupních napětí vypočítáme neznáme výstupní hodnoty dle vztahu: 1 Vˆ  Aˆ RU *Uˆ 1

(5.6)

V závislosti na vstupních podmínkách spočítáme hodnoty na výstupu Uˆ 2 a Iˆ2 . Poté dokáţeme jednoduchým vynásobením původní přenosové matice Aˆ spočítat vstupní hodnoty, tedy nejen jiţ známé hodnoty vstupního napětí U A1 aţ U 01 , ale i neznáme proudy I A1 aţ I 01 .

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.7)


58

5.2 Zvláštní případy ustáleného chodu 5.2.1 Chod naprázdno Vstupní podmínky jsou:

I A2  I B 2  I C 2  I 02  0 A

(5.8)

Soustavu matic rozepíšeme na soustavu lineárních rovnic

U A1  A11.U A2  A12.U B 2  A13.U C 2  A14.U 02  A15.I A2  A16.I B 2  A17 .I C 2  A18.I 02 U B1  A21.U A2  A22.U B 2  A23.U C 2  A24.U 02  A25.I A2  A26.I B 2  A27.I C 2  A28.I 02 U C1  A31.U A2  A32.U B 2  A33.U C 2  A34.U 02  A35.I A2  A36.I B 2  A37 .I C 2  A38.I 02

(5.9)

U 01  A41.U A2  A42.U B 2  A43.U C 2  A44.U 02  A45.I A2  A46.I B 2  A47 .I C 2  A48.I 02 Tuto soustavu můţeme zjednodušit:

U A1  A11.U A2  A12.U B 2  A13.U C 2  A14.U 02 U B1  A21.U A2  A22.U B 2  A23.U C 2  A24.U 02 U C1  A31.U A2  A32.U B 2  A33.U C 2  A34.U 02

(5.10)

U 01  A41.U A2  A42.U B 2  A43.U C 2  A44.U 02 Maticový zápis: U A1   A11    U B1   A21   U  C1   A31 U   A  01   41

A12 A22 A32 A42

A13 A23 A33 A43

A14  U A2  A24  U B 2  *  A34  U C 2  A44   U 02 

(5.11)

Redukovanou matici přenosu označíme Aˆ 0  A11  A Aˆ 0   21  A31 A  41

A12 A22 A32 A42

A13 A23 A33 A43

A14  A24   A34  A44 

(5.12)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ 0 a vypočítáme napětí U A 2 aţ U 02 : Uˆ 2  Uˆ 1 *Aˆ 01

(5.13)


59

Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu Aˆ s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu.

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.14)

5.2.2 Chod nakrátko Vstupní podmínky jsou: U A2  U B 2  U C 2  U 02 a I A2  I B 2  I C 2  I 02  0  I A2  I B 2  I C 2   I 02

(5.15)

Pozor, chodem nakrátko zde uvaţujeme vzájemné spojení pracovních vodičů, avšak bez spojení se zemí. Proto nemůţeme napětí na výstupu poloţit rovno 0. Soustavu matic rozepíšeme na soustavu lineárních rovnic


(5.16)


  A  A  A

   A U  A  A U  A  A U  A











U A1  A11  A12  A13  A14 U A2  A15  A18 .I A2  A16  A18 .I B 2  A17  A18 .I C 2 U B1 U C1 U 01

21

 A22  A23

31

 A32  A33

41

 A42  A43

 .I .I

  A  A

 .I .I

  A  A

 .I .I

24

A2

25

 A28 .I A2  A26  A28 .I B 2  A27  A28 .I C 2

34

A2

35

 A38

44

A2

45

 A48

A2 A2

36

 A38

46

 A48

B2 B2

37

 A38

47

 A48

(5.17)

C2 C2

Maticový zápis: U A1   ( A11  A12  A13  A14 )    U B1   ( A21  A22  A23  A24 )   U  C1   ( A31  A32  A33  A34 )  U  ( A  A  A  A ) 42 43 44  01   41

( A15  A18 ) ( A25  A28 ) ( A35  A38 ) ( A45  A48 )

( A16  A18 ) ( A26  A28 ) ( A36  A38 ) ( A46  A48 )

( A17  A18 )  U A2  ( A27  A28 )   I A2  *  ( A37  A38 )   I B 2  ( A47  A48 )   I C 2 

(5.18)

Redukovanou matici přenosu označíme Aˆ k  ( A11  A12  A13  A14 )   ( A  A22  A23  A24 ) Aˆ k   21  ( A31  A32  A33  A34 ) ( A  A  A  A ) 42 43 44  41

( A15  A18 ) ( A25  A28 ) ( A35  A38 ) ( A45  A48 )

( A16  A18 ) ( A26  A28 ) ( A36  A38 ) ( A46  A48 )

( A17  A18 )  ( A27  A28 )   ( A37  A38 )  ( A47  A48 ) 

(5.19)


60

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ k jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. U A2   ( A11  A12  A13  A14 )     I A2   ( A21  A22  A23  A24 )    I B 2   ( A31  A32  A33  A34 )  I  ( A  A  A  A ) 42 43 44  C 2   41

( A15  A18 ) ( A25  A28 ) ( A35  A38 ) ( A45  A48 )

( A16  A18 ) ( A26  A28 ) ( A36  A38 ) ( A46  A48 )

1

( A17  A18 )  U A1  ( A27  A28 )  U B1   *  ( A37  A38 )  U C1  ( A47  A48 )   U 01 

(5.20)


Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.21)


61

5.3 Řešení poruchových stavů Stejný způsob výpočtu, jaký jsme pouţili pro výpočet chodu naprázdno, resp. nakrátko, můţeme pouţít i pro výpočet různých druhu zkratů.

5.3.1 Jednofázové zkraty 5.3.1.1 Řešení jednofázového zkratu A - N IA

A IB

UA

B

IC

UB

I0

C UC

N U0

E

Obr. 5-1 Jednofázový zkrat A – N Vstupní podmínky jsou: U A2  U 02

I B2  I C 2  0 A

I A2  I 02  0 A  I A2   I C 2

(5.22)


U A1  A11.U A2  A12.U B 2  A13.U C 2  A14.U 02  A15.I A2  A16.I B 2  A17 .I C 2  A18.I 02 U B1  A21.U A2  A22.U B 2  A23.U C 2  A24.U 02  A25.I A2  A26.I B 2  A27 .I C 2  A28.I 02 U C1  A31.U A2  A32.U B 2  A33.U C 2  A34.U 02  A35.I A2  A36.I B 2  A37 .I C 2  A38.I 02

(5.23)


  A  A  A

 .U .U .U

  A  A  A



U A1  A11  A14 .U A2  A12.U B 2  A13.U C 2  A15  A18 .I A2 U B1 U C1 U 01

21

 A24

31  A34

41

 A44

A2

 A22.U B 2  A23.U C 2

A2

 A32.U B 2  A33.U C 2

A2

 A42.U B 2  A43.U C 2

25

35  A38

45

 .I .I

 A28 .I A2  A48

A2 A2

(5.24)


62

Maticový zápis: U A1   ( A11  A14 ) A12    U B1   ( A21  A24 ) A22   U C1   ( A31  A34 ) A32  U  ( A  A ) A 44 42  01   41

A13 ( A15  A18 )  U A2  A23 ( A25  A28 )  U B 2  *  A33 ( A35  A38 )  U C 2  A43 ( A45  A48 )   I A2 

(5.25)

Redukovanou matici přenosu označíme Aˆ AN

Aˆ AN

 ( A11  A14 ) A12   ( A  A24 ) A22   21  ( A31  A34 ) A32 ( A  A ) A 44 42  41

A13 ( A15  A18 )  A23 ( A25  A28 )   A33 ( A35  A38 )  A43 ( A45  A48 ) 

(5.26)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ AN jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. 1


Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A*   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.27)

Analogicky můţeme určit matice přenosu pro jednofázové zkraty B - N a C – N. Maticový zápis pro jednofázový zkrat B - N: U A1   A11    U B1   A21   U  C1   A31 U   A  01   41

( A12  A14 ) A13 ( A16  A18 )  U A2  ( A22  A24 ) A23 ( A26  A28 )  U B 2  *  ( A32  A34 ) A33 ( A36  A38 )  U C 2  ( A42  A44 ) A43 ( A46  A48 )   I B 2 

(5.28)

Maticový zápis pro jednofázový zkrat C - N: U A1   A11    U B1   A21   U C1   A31 U   A  01   41

A12 ( A13  A14 ) A22 ( A23  A24 ) A32 ( A33  A34 ) A42 ( A43  A44 )

( A17  A18 )  U A2  ( A27  A28 )  U B 2  *  ( A37  A38 )  U C 2  ( A47  A48 )   I C 2 

(5.29)


63

5.3.1.2 Řešení jednofázového zkratu A - E IA

A

IB IC

UA

B UB

I0

C UC

N U0

E

Obr. 5-2 Jednofázový zemní zkrat A – E Vstupní podmínky jsou:

U A2  0 V

I B 2  I C 2  I 02  0 A

(5.30)



(5.31)


U A1  A12.U B 2  A13.U C 2  A14.U 02  A15.I A2 U B1  A22.U B 2  A23.U C 2  A24.U 02  A25.I A2 U C1  A32.U B 2  A33.U C 2  A34.U 02  A35.I A2 U 01  A42.U B 2  A43.U C 2  A44.U 02  A45.I A2

(5.32)


64

Maticový zápis: U A1   A12    U B1   A22   U  C1   A32 U   A  01   42

A13 A23 A33 A43

A14 A24 A34 A44

A15  U B 2  A25  U C 2  *  A35   U 02  A45   I A2 

(5.33)

Redukovanou matici přenosu označíme Aˆ AE

Aˆ AE

 A12  A   22  A32 A  42

A13 A23 A33 A43

A14 A24 A34 A44

A15  A25   A35  A45 

(5.34)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ AE jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu.

ˆ Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu A s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu. Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A*   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.35)

Analogicky můţeme určit matice přenosu pro jednofázové zkraty B - E a C – E. Maticový zápis pro jednofázový zkrat B - E: U A1   A11    U B1   A21   U C1   A31 U   A  01   41

A13 A23 A33 A43

A14 A24 A34 A44

A16  U A2  A26  U C 2  *  A36   U 02  A46   I B 2 

(5.36)

Maticový zápis pro jednofázový zkrat C - E: U A1   A11    U B1   A21   U  C1   A31 U   A  01   41

A12 A22 A32 A42

A14 A24 A34 A44

A16  U A2  A26  U B 2  *  A36   U 02  A46   I C 2 

(5.37)


65

5.3.2 Dvoufázové zkraty 5.3.2.1 Řešení dvoufázového zkratu A - B IA

A IB

UA

B

IC

UB

I0

C UC

N U0

E Obr. 5-3 Dvoufázový izolovaný zkrat A – B Vstupní podmínky jsou: U A2  U B 2

I C 2  I 02  0

I A2  I B 2  0  I A2   I B 2

(5.38)



(5.39)


  A  A  A

 .U .U .U

  A  A  A



U A1  A11  A12 .U A2  A13.U C 2  A14.U 02  A15  A16 .I A2 U B1 U C1 U 01

21

 A22

31

 A32

41

 A42

Maticový zápis:

A2

 A23.U C 2  A24.U 02

A2

 A33.U C 2  A34.U 02

A2

 A43.U C 2  A44.U 02

 .I .I

25

 A26 .I A2

35

 A36

45

 A46

A2 A2

(5.40)


U A1   ( A11  A12 ) A13    U B1   ( A21  A22 ) A23   U C 1    ( A31  A32 ) A33  U  ( A  A ) A 42 43  01   41

A14 ( A15  A16 )   U A2  A24 ( A25  A26 )  U C 2  *  A34 ( A35  A36 )   U 02  A44 ( A45  A46 )   I A2 

66

(5.41)

Redukovanou matici přenosu označíme Aˆ AB

Aˆ AB

 ( A11  A12 ) A13   ( A  A22 ) A23   21  ( A31  A32 ) A33 ( A  A ) A 42 43  41

A14 ( A15  A16 )  A24 ( A25  A26 )   A34 ( A35  A36 )  A44 ( A45  A46 ) 

(5.42)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ AB jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu Aˆ s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu.

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.43)

Analogicky můţeme určit matice přenosu pro zkraty B - C a A – C. Maticový zápis pro jednofázový zkrat B - C: U A1   A11    U B1   A21   U  C1   A31 U   A  01   41

( A12  A13 ) A14 ( A16  A17 )  U A2  ( A22  A23 ) A24 ( A26  A27 )  U B 2  *  ( A32  A33 ) A34 ( A36  A37 )   U 02  ( A42  A43 ) A44 ( A46  A47 )   I B 2 

(5.44)

Maticový zápis pro jednofázový zkrat A - C: U A1   ( A11  A13 ) A12    U B1   ( A21  A23 ) A22   U C1   ( A31  A33 ) A32  U  ( A  A ) A 43 42  01   41

A14 ( A15  A17 )  U A2  A24 ( A25  A27 )  U B 2  *  A34 ( A35  A37 )   U 02  A44 ( A45  A47 )   I A2 

(5.45)


67

5.3.2.2 Řešení dvoufázového zkratu A – B – N IA A IB

UA

IC

B UB

C

I0

UC

N U0

E

Obr. 5-4 Dvoufázový zkrat A – B – N Vstupní podmínky jsou: U A2  U B 2  U 02

I B 2  IC 2  I 02  0 A  I 02   I B 2  IC 2

IC 2  0 A

(5.46)



(5.47)


  A  A  A

 .U .U .U

  A  A  A







U A1  A11  A12  A14 .U A2  A13.U C 2  A15  A18 .I A2  A16  A18 .I B 2 U B1 U C1 U 01

21

 A22  A24

A2

 A23.U C 2

31

 A32  A34

A2

 A33.U C 2

41

 A42  A44

A2

 A43.U C 2

Maticový zápis:

 .I .I

  A  A

 .I .I

25

 A28 .I A2  A26  A28 .I B 2

35

 A38

45

 A48

A2 A2

36

 A38

46

 A48

B2 B2

(5.48)


U A1   ( A11  A12  A14 ) A13 ( A15  A18 )    U B1   ( A21  A22  A24 ) A23 ( A25  A28 )   U C 1    ( A31  A32  A34 ) A33 ( A35  A38 )  U  ( A  A  A ) A ( A45  A48 ) 42 44 43  01   41

( A16  A18 )  U A2  ( A26  A28 )  U C 2  *  ( A36  A38 )   I A2  ( A46  A48 )   I B 2 

68

(5.49)

Redukovanou matici přenosu označíme Aˆ ABN

Aˆ ABN

 ( A11  A12  A14 ) A13 ( A15  A18 )   ( A  A22  A24 ) A23 ( A25  A28 )   21  ( A31  A32  A34 ) A33 ( A35  A38 ) ( A  A  A ) A ( A45  A48 ) 42 44 43  41

( A16  A18 )  ( A26  A28 )   ( A36  A38 )  ( A46  A48 ) 

(5.50)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ ABN jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu Aˆ s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu.

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.51)

Analogicky můţeme určit matice přenosu pro zkraty B – C - N a A – C – N. Maticový zápis pro jednofázový zkrat B – C – N: U A1   A11 ( A12  A13  A14 )    U B1   A21 ( A22  A23  A24 )   U C1   A31 ( A32  A33  A14 ) U   A  01   41 ( A42  A43  A44 )

( A16  A18 ) ( A26  A28 ) ( A36  A38 ) ( A46  A48 )

( A17  A18 )  U A2  ( A27  A28 )  U B 2  *  ( A37  A38 )   I B 2  ( A47  A48 )   I C 2 

(5.52)

Maticový zápis pro jednofázový zkrat A – C – N: U A1   ( A11  A13  A14 ) A12 ( A15  A18 )    U B1   ( A21  A23  A24 ) A22 ( A25  A28 )   U  C1   ( A31  A33  A34 ) A32 ( A35  A38 )  U  ( A  A  A ) A ( A45  A48 ) 43 44 42  01   41

( A17  A18 )  U A2  ( A27  A28 )  U B 2  *  ( A37  A38 )   I A2  ( A47  A48 )   I C 2 

(5.53)


69

5.3.2.3 Řešení dvoufázového zkratu A – B – E IA

A IB

IC

UA

B UB

I0

C UC

N U0

E

Obr. 5-5 Dvoufázový zemní zkrat A – B - E Vstupní podmínky jsou: U A2  U B 2  0 V

I C 2  I 02  0 A

(5.54)



(5.55)


U A1  A13.U C 2  A14.U 02  A15.I A2  A16.I B 2 U B1  A23.U C 2  A24.U 02  A25.I A2  A26.I B 2 U C1  A33.U C 2  A34.U 02  A35.I A2  A36.I B 2 U 01  A43.U C 2  A44.U 02  A45.I A2  A46.I B 2 Maticový zápis:

(5.56)


U A1   A13    U B1   A23   U C 1    A33 U   A  01   43

A14 A24 A34 A44

A16  U C 2  A26   U 02  *  A36   I A2  A46   I B 2 

A15 A25 A35 A45

70

(5.57)

Redukovanou matici přenosu označíme Aˆ ABE

Aˆ ABE

 A13  A   23  A33 A  43

A14 A24 A34 A44

A15 A25 A35 A45

A16  A26   A36  A46 

(5.58)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ ABE jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu Aˆ s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu.

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.59)

Analogicky můţeme určit matice přenosu pro zkraty B – C – E a A – C – E. Maticový zápis pro jednofázový zkrat B – C – E: U A1   A11    U B1   A21   U C 1    A31 U   A  01   41

A14 A24 A34 A44

A16 A26 A36 A46

A17  U A2  A27   U 02  *  A37   I B 2  A47   I C 2 

(5.60)

Maticový zápis pro jednofázový zkrat A – C – E: U A1   A12    U B1   A22   U C1   A32 U   A  01   42

A14 A24 A34 A44

A15 A25 A35 A45

A17  U B 2  A27   U 02  *  A37   I A2  A47   I C 2 

5.3.3 Trojfázové zkraty Z trojfázových poruch mohou nastat tyto vzájemná poruchová spojení: o spojení vodičů A – B – C, trojfázový izolovaný zkrat o spojení vodičů A – B – C – N – E, trojfázový zemní zkrat

(5.61)


71

o spojení vodičů A – B – C – E, trojfázový zemní zkrat o spojení vodičů A – B – C – N, viz. chod nakrátko

5.3.3.1 Řešení trojfázového izolovaného zkratu A – B - C IA A IB

UA

IC

B UB

C

I0

UC

N U0

E Obr. 5-6 Trojfázový izolovaný zkrat A – B - C Vstupní podmínky jsou: U A2  U B 2  U C 2

I A2  I B 2  I C 2  0 A  I B 2   I A2  I C 2 a I C 2   I A2  I B 2

I 02  0 A

(5.62)



(5.63)


  A  A  A

  A .U  A .U  A .U

  A  A  A







U A1  A11  A12  A13 .U A2  A14.U 02  A15  A16  A17 .I A2  A16  A15  A17 .I B 2 U B1 U C1 U 01

21

 A22

31

 A32

41

 A42

23

A2

 A24.U 02

33

A2

 A34.U 02

43

A2

 A44.U 02

 .I .I

  A  A

 .I .I

25

 A26  A27 .I A2  A26  A25  A27 .I B 2

35

 A36  A37

45

 A46  A47

A2 A2

36

 A35  A37

46

 A45  A47

B2 B2

(5.64)


72

Maticový zápis: U A1   ( A11  A12  A13 ) A14 ( A15  A17 )    U B1   ( A21  A22  A23 ) A24 ( A25  A27 )   U  C1   ( A31  A32  A33 ) A34 ( A35  A37 )  U  ( A  A  A ) A ( A45  A47 ) 42 43 44  01   41

( A16  A17 )  U A2  ( A26  A27 )   U 02  *  ( A36  A37 )   I A2  ( A46  A47 )   I B 2 

(5.65)

Označíme-li matici přenosu Aˆ ABC

Aˆ ABC

 ( A11  A12  A13 ) A14 ( A15  A17 )   ( A  A22  A23 ) A24 ( A25  A27 )   21  ( A31  A32  A33 ) A34 ( A35  A37 ) ( A  A  A ) A ( A45  A47 ) 42 43 44  41

( A16  A17 )  ( A26  A27 )   ( A36  A37 )  ( A46  A47 ) 

(5.66)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ ABC jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu Aˆ s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu.

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.67)

5.3.3.2 Řešení trojfázového zemního zkratu - spojení A – B – C – N – E IA

A IB

UA

IC I0

B

UB

C UC

N U0

E Obr. 5-7 Trojfázový zemní zkrat A – B – C – N - E


73

Vstupní podmínky jsou: U A2  U B 2  U C 2  U 02  0

(5.68)



(5.69)


U A1  A15.I A2  A16.I B 2  A17 .I C 2  A18.I 02 U B1  A25.I A2  A26.I B 2  A27 .I C 2  A28.I 02 U C1  A35.I A2  A36.I B 2  A37 .I C 2  A38.I 02

(5.70)

U 01  A45.I A2  A46.I B 2  A47 .I C 2  A48.I 02 Maticový zápis: U A1   A15     U B1   A25   U C1   A35 U   A  01   45

A16 A26 A36 A46

A17 A27 A37 A47

A18   I A2  A28   I B 2  *  A38   I C 2  A48   I 02 

(5.71)

Označíme-li matici přenosu Aˆ 4 k  A15  A Aˆ 4 k   25  A35 A  45

A16 A26 A36 A46

A17 A27 A37 A47

A18  A28   A38  A48 

(5.72)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ 4 k jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu Aˆ s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu.

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.73)


74

5.3.3.3 Řešení trojfázového zemního zkratu - spojení A – B – C– E IA

A

IB IC

UA

B UB

I0

C UC

N U0

E Obr. 5-8 Trojfázový zemní zkrat A – B – C – E Vstupní podmínky jsou: U A2  U B 2  U C 2  0 V

I 02  0 A

(5.74)



(5.75)


U A1  A14.I A2  A15.I B 2  A16.I C 2  A17 .I 02 U B1  A24.I A 2  A25.I B 2  A26.I C 2  A27 .I 02 U C1  A34.I A2  A35.I B 2  A36.I C 2  A37 .I 02

(5.76)

U 01  A44.I A2  A45.I B 2  A46.I C 2  A47 .I 02 Maticový zápis: U A1   A14     U B1   A24   U C1   A34 U   A  01   44

A15 A25 A35 A45

A16 A26 A36 A46

A17  U 02  A27   I A2  *  A37   I B 2  A47   I C 2 

(5.77)


75

Označíme-li matici přenosu Aˆ 3k , platí:

 A14  A Aˆ 3k   24  A34 A  44

A15 A25 A35 A45

A16 A26 A36 A46

A17  A27   A37  A47 

(5.78)

Poté vypočteme inverzní matici k matici Aˆ 3k jejím vynásobení zleva vektorem vstupních napětí Uˆ 1 vypočítáme neznámé na pravé straně multibranu. Nyní známe všechny veličiny na pravé straně multibranu a vynásobením matice přenosu Aˆ s vektorem veličin pravých stran dostaneme hodnoty napětí a proudu na vstupu do multibranu.

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(5.79)

5.4 Stabilita řešení soustavy Při řešení jakékoliv numerické metody vznikají zaokrouhlovací chyby. Obecně jakákoliv numerická úloha obsahující soustavy lineárních algebraických rovnic je obecně vzato nestabilní.Předmětem této práce není sice vyšetřování stability řešení soustavy, nicméně nemůţeme tento problém zcela pominout a zde se otvírá prostor pro další postup. Obecně platí, ţe pokud prvky matice Aˆ a k ní inverzní matice Aˆ -1 jsou srovnatelné (stejného řádu), je soustava stabilní. V opačném případě se jedná o nestabilní soustavu [1].

Příklady použití matematického modelu

76

6 PŘÍKLADY POUŢITÍ MATEMATICKÉHO MODELU 6.1 Výpočet poměrů při jednofázovém zkratu v síti TN-C vedení nn 6.1.1 Zadání Předpokládejme čtyřvodičové vedení nízkého napětí sítě TN-C 3x230/400 V 50 Hz provedené vodiči 4x35 AlFe o délce 1 km. Na konci vedení dojde k jednofázovému zkratu mezi fází A a PEN vodičem. Jaké bude napětí na konci vedení a jaké proudy do vedení potečou? Vedení předpokládejme bez odboček, bez odběru. Indukční reaktanci vedení zanedbejme. Rovněţ zanedbejte vnitřní impedanci zdroje.

6.1.2 Výpočet Spočítáme odpor vodiče: l 1000 m R  .  0,02941Ω.mm 2 .m 1.  0,84  s 35 mm 2

(6.1)

Impedance vodičů se rovná: Z A  Z B  Z C  Z 0  0,840 

(6.2)

Při náhradě vedení budeme uvaţovat pouze podélné impedance. Přenosová matice bude mít tvar:

1  0  0 0 Aˆ  Zˆ   0 0  0 0 

0 0 0 0,840 0 0 0,840 0 0 1 0 0 0,840 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

 0  0   0  0,840   0   0  0   1 

(6.3)

Pro výpočet jednofázového zkratu A-N bude mít redukovaná přenosová matice Aˆ AN tvar:

Aˆ AN

 ( A11  A14 ) A12   ( A  A24 ) A22   21  ( A31  A34 ) A32 ( A  A ) A 44 42  41

0 0 0,840  A13 ( A15  A18 )  10   10 0 0 A23 ( A25  A28 )   0    0 10 0 A33 ( A35  A38 )   0   0 0 0,84180  A43 ( A45  A48 )  10

(6.4)


77

Určíme inverzní matice k matici Aˆ AN

-1 Aˆ AN

0 0 0,50  0,50    0 10 0 0     0 0 10 0    0,5952380  0 0 0 , 595238  180   

(6.5)

Vynásobením inverzní matice vektorem vstupních napětí dostáváme neznáme veličiny: 0 0 0,50  0,50   2300   1150        0 1  0  0 0 230  24 0  230  24 0        -1 Aˆ AN *Uˆ 1   *  (6.6)   0 0 10 0 230120 230120         0,5952380   00   136,90  0 0 0 , 595238  180       

Pro vektor pravých stran tedy dostáváme:

 U A 2   1150       U B 2   230240     U C 2   230120   I   136,90   A2 

(6.7)

Po zahrnutí vstupních podmínek dostáváme výsledek: U A2   1150      230  240    U   Uˆ 2   B 2    V a U C 2   230120   U   1150   02 

 I A2   136,90      0   I   Iˆ2   B 2    A 0  IC2     I  136,9180   02 

(6.8)

Vynásobením matice přenosu vektorem výstupních veličin dostáváme napětí a proudy na vstupu do multibranu:

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(6.9)


1  0  0 ˆ U 1   0    Iˆ  0  1  0  0 0 

0 0 0 0,840 0 0 0,840 0 0 1 0 0 0,840 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

78

  1150   2300  0      0   230240   230240       0   230120   230120  0,840   1150   00   *  136,90    136,90  (6.10) 0           0 0 0      0 0 0           1  136,9180  136,9180 

Matice vstupních napětí a proudů má tedy hodnoty: U   A1    U   2300   B1   230240   U C1       230120  Uˆ 1   U 01   00       Iˆ   1   I A1   136,90      0  I B1    0      I C1  136,9180   I    01 

(6.11)

6.1.3 Vyhodnocení výsledků V místě zkratu jsme dostali následující hodnoty napětí:  U A2   1150         230240  U B2 ˆ U2    V 230  120  U  C2     U   1150   02 

(6.12)

Musíme si zde uvědomit, ţe dané napětí je vztaţené k uzlu zdroje. Není to napětí, kterým jsou namáhány elektrické spotřebiče připojené k vedení v místě zkratu. Ty jsou namáhány napětím, které dostaneme odečtením napětím

Uˆ 2 N

U A2  U 02   0       U B 2  U 02    304  139  V   U C 2  U 02   304139   

(6.13)

Vidíme, ţe při jednofázovém zkratu dochází k dočasným přepětím ve zbývajících fázových vodičích, které mohou být příčinou jejich poškození. V případě zkratů v distribuční síti nízkého napětí činí vypínací doba aţ 30 s [12].


79

6.2 Výpočet poměrů při dvoufázovém izolovaném zkratu v síti TT vedení vvn 6.2.1 Zadání V následujícím schématu spočítejte napětí a proudy na jednotlivých rozvodnách při dvoufázovém izolovaném zkratu na konci vedení V3 mezi fázemi A a C. Zkratový výkon soustavy je 3000 MVA. Napětí Un je 110 kV. Součinitel napětí c=1. R1

R3

R2

V2

V1

S´´k

X V 1  0,4 Ω.km 1

X V 2  0,35 Ω.km 1

l V1  50 km

l V2  30 km

V3

X V 3  0,4 Ω.km 1 l V3  40 km

Obr. 6-1 Schéma pro výpočet příkladu

6.2.2 Výpočet Nejprve spočítáme náhradní reaktanci soustavy





2

c.U 2 1. 110.10 3 X S  ´´   4,03 Ω Sk 3000.10 6

(6.14)

Přenosová matice bude mít tvar: 1  0 0  0 Xˆ S   0 0  0 0 

0 0 0 4 ,0390 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 4,0390 0 0 0 1 0 0

0  0 0 4,0390 0   0 0  0 0 0 0  0 1 0 1  0

(6.15)


80

Přenosové matice jednotlivých vedení budou:

Xˆ V 1

Xˆ V 2

Xˆ V 3

1  0 0  0  0 0  0 0 

0 0 0 2090 0 0 2090 1 0 0

1  0 0  0  0 0  0 0 

0 0 0 10 ,590

1  0 0  0  0 0  0 0 

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

1 0

0

0 0 0 0 0 0

0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

1 0 0

0  0 2090 0   0 0 0 0  0 0  0 1 0 1  0 0

0 10,590 0

0

0 0

1 0 0 0

1 0 0

0 0 0 1690 0 0 1690 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

1 0

0

0 0 0 0 0 0

0 0

1 0 0

0  0 0 10,590 0   0 0  0 0 0 0  0 1 0 1 

(6.16)

0

0  0 1690 0   0 0 0 0  0 0  0 1 0 1 

(6.17)

0 0

(6.18)

Přenosovou matici Aˆ dostaneme vynásobením jednotlivých matic: Aˆ  Xˆ S .Xˆ V 1.Xˆ V 2 .Xˆ V 3

(6.19)


1  0 0  0 Aˆ   0 0  0 0 

0 0 0 50,5390 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 50,5390 0

0

0 0

1 0 0 0

1 0 0

0  0 0 50,5390 0   0 0  0 0 0 0  0 1 0 1 

81

0

(6.20)

Redukovaná matice Aˆ AC pro výpočet dvoufázového zkratu A-C spočítáme dle:

Aˆ AC

 ( A11  A13 ) A12   ( A  A23 ) A22   21  ( A31  A33 ) A32 ( A  A ) A 43 42  41

A14 ( A15  A17 )  A24 ( A25  A27 )   A34 ( A35  A37 )  A44 ( A45  A47 ) 

(6.21)

Výsledný tvar je

Aˆ AC

1  0  1  0 

50,5390   0  0 0 50,53  90    0 1 0 

0 0 1 0

(6.22)

K ní inverzní matice má tvar

-1 Aˆ AC

0,5   0   0   0,009895  90 

0  0 0 0 1  0 0,00989590 0 

0 1

0,5 0

(6.23)

Pro vektor napětí platí:  635080    63508  240    Uˆ 1   63508120      00  

(6.24)

Vynásobením inverzní redukované matice s maticí vstupních napětí dostaneme neznámé 0,5   0  -1 Aˆ AC *Uˆ 1   0   0,009895  90 

0   635080   3175460       0   63508240   63508240  *   0 0 1   63508120   0        1088240  0 0,00989590 0   00   

0 1

0,5 0

(6.25)


82

Pro vektor výstupních veličin tedy dostáváme:

U A 2   3175460      U B 2   63508240     0 U  02     I   1088240   A2 

(6.26)

A ze vstupních podmínek dostáváme:

U C 2  U A2  3175460 V I B2  0 A

(6.27)

I C 2   I A 2  108860 A I 02  0 A Pro vektory napětí a proudu v místě zkratu tedy dostáváme:  3175460    63508  240    Uˆ 2   V 3175460      0  

1088240    0   Iˆ2   A 108860      0  

(6.28)

Parametry v místě rozvodny R3 dostaneme vynásobením přenosové matice vedení V3 1  0 0  Uˆ R 3  Uˆ 2   0   ˆ    Iˆ   X V 3 * Iˆ    0  2   R3  0  0 0 

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1690 0 0 0 0 1690 0 0 0 0 1690 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0   3175460     0   63508240  0   3175460     0  0  *  0   1088240   0  0    0   108860   0 1   

(6.29)


83

Dostáváme výsledek 1  0 0  Uˆ R 3   0    Iˆ    0  R3   0  0 0 

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1690 0 0 0 0 1690 0 0 0 0 1690 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0   3621331,27     0   63508240  0   3621388,73      0  0 *   0   1088240   0  0    0   108860   1   0 

(6.30)

Obdobným způsobem spočítáme napětí a proudy v místě R2

Uˆ R 2    ˆ  Iˆ   X V 2  R2 

 4289117 ,76     63508240   42891102 ,24    Uˆ R 3    0  *    ˆ  I R 3   1088240    0    108860    0  

(6.31)

A stejně spočítáme a proudy v místě R1  597322 ,11     63508240   59732117 ,89    Uˆ R1  Uˆ R 2    0    Xˆ V 1 *     Iˆ   Iˆ   R1   R 2   1088240    0    108860    0  

(6.32)

A vynásobením matice reaktance soustavy s parametry v místě R1 dostaneme vektor napětí ˆ U1 a vektor proudu ˆI1 .


 634890,006   635080       63508240   63508240   63489119,994   63508120      Uˆ 1  Uˆ R1    0   0    Xˆ S*        Iˆ   Iˆ   1  R1   1088240   1088240      0 0      108860   108860      0 0    

84

(6.33)

Rozdíl výsledného napětí oproti zadaným vstupním hodnotám je způsoben zaokrouhlováním během výpočtů.

6.2.3 Vyhodnocení výsledků V tomto jednoduchém příkladu jsme demonstrovali výpočet napětí a proudu v různých částech soustavy při dvojfázovém izolovaném zkratu. Pro zkratový proud dostáváme:

I k''  I A1  1088 A

(6.34)

A

R3 R2 R1

C

B

Obr. 6-2 Změna napětí při dvoufázovém izolovaném zkratu

Výpočetní software

85

7 VÝPOČETNÍ SOFTWARE Na základě odvození popsaného v kapitole 6 byl vytvořen software, který je nyní k dispozici na studentských www stránkách http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/ . Zde po kliknutí na „Výpočty“ se zobrazí další menu, kde najdeme odkazy na stránky řešící některé vybrané typy úloh. Tou nejjednodušší je „Výpočet chodu 3f vedení nn“. Tato aplikace pomocí algoritmů popsaných v této práci počítá chod třífázového čtyřvodičového vedení nn. Protoţe se jedná o vedení nn, jsou uvaţovány jen podélné impedance.

Obr. 7-1 Snímek úvodní obrazovky V prvním kroku máme pouze moţnost vybrat si ideální či reálný zdroj. Po odeslání formuláře se dostaneme k zadání jednotlivých parametrů sítě.

Obr. 7-2 Snímek obrazovky – zadání parametrů V dolní časti stiskem příslušného tlačítka zvolíme provedení daného výpočtu. Vzhledem k tomu, ţe tento program si bere za cíl výpočty chodu třífázových sítí především

Výpočetní software

86

s nesouměrnými parametry, je zde moţnost výpočtu zkratu v jakékoliv fázi a navíc i třífázového izolovaného zkratu. Třífázový „uzemněný“ zkrat nám reprezentuje chod nakrátko. Po kliknutí na příslušné tlačítko se tedy provede výpočet a výsledky výpočtu se zobrazí v dolní části formuláře. Výsledky jsou zobrazeny ve třech částech: o vnitřní parametry zdroje o parametry na začátku vedení o parametry na konci vedení Výsledky jsou zobrazeny v exponenciálním a současně v algebraickém tvaru.

Obr. 7-3 Snímek obrazovky – parametry na konci vedení Při výpočtu parametrů napětí je velice důleţité dopočítat fázové napětí vztaţené ke střednímu vodiči. Na obrázku 5-5 vidíme, ţe napětí nezatíţených fází (označené U2f0) se nemění vůči uzlu zdroje. Ale pokud jej vztáhneme proti střednímu vodiči, vidíme ţe napětí (označené U2fn) vzrůstá mimo povolené meze (±10 %) a v nezkratovaných fázích dochází k dočasnému přepětí. Právě tímto přepětím jsou namáhány připojené spotřebiče a toto přepětí můţe vést k jejich poškození.

Závěr

87

8 ZÁVĚR Práce se zabývá problematikou modelování elektrických sítí. Je rozdělena do tří hlavních částí; první část tvoří teoretický rozbor problematiky modelování sítí, druhá část se zabývá vytvořením matematického modelu včetně ověření na praktických výpočtech a třetí část pak vytvořením software pro výpočet sítí. Výsledky modelování třífázového nesouměrného vedení dosaţené a popsané v této práci nelze v ţádném případě povaţovat za dokončené. Jsou úvodem do této problematiky. Byly zde odvozeny přenosové matice základních multibranů, které lze pouţít pro náhradu jednotlivých prvků třífázové soustavy. Na nejjednodušších příkladech byl názorně ukázán princip pouţití modelu a algoritmy výpočtů. Tyto výpočty se mohou na první pohled zdát sloţité a pracné, ale účelem této práce bylo vytvořit matematický model, který by vyuţíval výpočetní techniku. A právě při pohledu z této strany je vlastní algoritmus řešení jednoduchý. Lze jej shrnout do několika kroků: 1. analýza modelu, rozdělení soustředěných parametrů prvků do příslušných sériově řazených multibranů 2. vytvoření přenosových matic jednotlivých multibranů 3. výpočet přenosové matice soustavy vynásobením jednotlivých matic 4. vytvoření redukované přenosové matice (v závislosti na typu chodu soustavy chceme počítat) 5. výpočet inverzní redukované přenosové matice 6. vynásobením matice vstupních napětí a redukované inverzní matice dostáváme neznáme na konci soustavy 7. poté můţeme násobením matice výstupních parametrů (napětí a proudu na konci multibranu) s příslušnou přenosovou maticí multibranu vypočítat parametry napětí a proudu na jeho vstupu. Takto můţeme „od konce“ spočítat parametry v jednotlivých částech soustavy. Zase v případě pouţití výpočetní technicky se jedná o velice jednoduchý algoritmus, kdy v n- cyklech je provedeno vynásobení dvou matic a výsledek je pouţit jako vstupní údaj v dalším cyklu.

Závěr

88

8.1 Shrnutí teoretických poznatků práce Obecně můţeme chod trojfázové soustavy popsat pomocí rovnice:  U A1   A11    U   A  B1   21 U C1   A31    Uˆ 1  ˆ Uˆ 2   U 01   A41    A *      Iˆ   Iˆ   1  2   I A1   A51     I B1   A61     I C1   A71  I  A  01   81

A12

A13

A14

A15

A16

A17

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

A18   U A2     ..   U B 2  ..  U C 2  ..   U 02  *   ..   I A 2     ..   I B 2     ..   I C 2  A88   I 02    

(8.1)

Matici Aˆ dostaneme tak, ţe vynásobíme jednotlivé přenosové matice multibranů, které reprezentují jednotlivé části soustavy. n

Aˆ   Aˆ n

(8.2)

1

Pro řešení této rovnice známe vţdy vektor vstupních napětí Uˆ 1 . Z přenosové matice Aˆ vytvoříme redukovanou přenosovou matici Aˆ X , kde podle rovnice spočítáme neznámé parametry. Aˆ X-1*Uˆ 1  Vˆ2

(8.3)

Matice Vˆ2 obsahuje neznámé veličiny na konci soustavy. Z jejich jednotlivých prvků a ze vstupních podmínek jednoznačně určíme napětí a proud na konci soustavy. Napětí a proudy na začátku soustavy spočítáme dle rovnice:

Uˆ 1  ˆ Uˆ 2     A *   Iˆ   Iˆ   1  2

(8.4)

Obdobně můţeme spočítat napětí a proudy v jednotlivých částech soustavy:

Uˆ n  ˆ Uˆ n 1     An*   Iˆ   Iˆ   n  n 1  kde n je počet multibranů.

(8.5)

Závěr

89

Rovnice pro výpočty chodu trojfázové soustavy při různých stavech jsou shrnuty v následující tabulce Tab. 8-1 Rovnice pro zvláštní případy chodu trojfázové nesouměrné soustavy Podmínky

Rovnice Naprázdno Nakrátko

1

 A11   A21   A31 A  41

 ( A11  A12   ( A21  A22   ( A31  A32 ( A  A 42  41

A12 A22 A32 A42

A13 A23 A33 A43

I A2  0 A

A14  U A1  U A2  A24  U B1  U B 2   *   A34  U C1  U C 2  A44   U 01   U 02 

I B2  0 A IC2  0 A I 02  0 A 1

( A15  A18 ) ( A16  A18 ) ( A17  A18 )  U A1  U A1   A23  A24 ) ( A25  A28 ) ( A26  A28 ) ( A27  A28 )  U B1  U B1   *    A33  A34 ) ( A35  A38 ) ( A36  A38 ) ( A37  A38 )  U C1  U C1   A43  A44 ) ( A45  A48 ) ( A46  A48 ) ( A47  A48 )   U 01   U 01   A13  A14 )

U B 2  U A2 U C 2  U A2 U 02  U A 2 I 02   I A 2  I B 2  I C 2

Tab. 8-2 Rovnice pro výpočty jednofázových zkratů trojfázové nesouměrné soustavy Zkrat A - N Zkrat B - N

 A11 (A12  A14 )   A 21 (A 22  A 24 )   A 31 (A 32  A 34 ) A  41 (A 42  A 44 )

Zkrat C - N

 A11 A12   A 21 A 22   A 31 A 32 A  41 A 42

(A13  A14 ) (A 23  A 24 ) (A 33  A 34 ) (A 43  A 44 )

Zkrat A - E

1

 (A 11  A 14 )   (A 21  A 24 )   (A 31  A 34 )  (A  A ) 44  41

 A12   A22   A32 A  42

A14 A24 A34 A44

A 12 A 22 A 32 A 42

A 13 A 23 A 33 A 43

 U A1   U   A 18 )     A2     A 28 ) U B1   U B2   *    A 38 )  U  C1   U C2  U   I   A 48 )   01   A2  1

A13 (A16  A18 )   U A1   U A2  A 23 (A 26  A 28 )   U B1   U B2   *   A 33 (A 36  A 38 )   U C1   U C2  A 43 (A 46  A 48 )   U 01   I B2 

1

A13 A23 A33 A43

(A 15 (A 25 (A 35 (A 45

1

(A17  A18 )   U A1   U A2  (A 27  A 28 )   U B1   U B2   *   (A 37  A 38 )   U C1   U C2  (A 47  A 48 )   U 01   I C2 

A15  U A1  U B 2  A25  U B1  U C 2   *   A35  U C1   U 02  A45   U 01   I A2 

U 02  U A 2 I B2  0 A IC2  0 A I 02   I A 2 U 02  U B 2 I A2  0 A IC2  0 A I 02   I B 2 U 02  U C 2 I A2  0 A I B2  0 A I 02   I C 2 U A2  0 V I B2  0 A IC2  0 A I 02  0 A

Závěr

Zkrat B – E

A13 A23 A33 A43

A14 A24 A34 A44

A16  U A1  U A2  A26  U B1  U C 2   *   A36  U C1   U 02  A46   U 01   I B 2 

Zkrat C – E

1

 A11   A21   A31 A  41  A11   A21   A31 A  41

A12 A22 A32 A42

A14 A24 A34 A44

A16  U A1  U A2  A26  U B1  U B 2   *   A36  U C1   U 02  A46   U 01   I C 2 

90 U B2  0 V I A2  0 A IC2  0 A I 02  0 A

1

UC2  0 V I A2  0 A I B2  0 A I 02  0 A

Tab. 8-3 Rovnice pro výpočty dvoufázových zkratů trojfázové nesouměrné soustavy Zkrat A – B Zkrat B – C

 A11   A21   A31 A  41

Zkrat A – C

 ( A11  A13 ) A12   ( A21  A23 ) A22   ( A31  A33 ) A32 ( A  A ) A 43 42  41

Zkrat A – B – N

U A1   ( A11  A12  A14 ) A13 ( A15  A18 )    U B1   ( A21  A22  A24 ) A23 ( A25  A28 )   U  C1   ( A31  A32  A34 ) A33 ( A35  A38 )  U  ( A  A  A ) A ( A45  A48 ) 42 44 43  01   41

Zkrat B – C – N

1

 ( A11  A12 ) A13   ( A21  A22 ) A23   ( A31  A32 ) A33 ( A  A ) A 42 43  41

A14 ( A15  A16 )  U A1  U A2  A24 ( A25  A26 )  U B1  U C 2   *   A34 ( A35  A36 )  U C1   U 02  A44 ( A45  A46 )   U 01   I A2 

 A11 ( A12  A13  A14 )   A21 ( A22  A23  A24 )   A31 ( A32  A33  A14 ) A  41 ( A42  A43  A44 )

1

( A12  A13 ) A14 ( A16  A17 )  U A1  U A2  ( A22  A23 ) A24 ( A26  A27 )  U B1  U B 2   *   ( A32  A33 ) A34 ( A36  A37 )  U C1   U 02  ( A42  A43 ) A44 ( A46  A47 )   U 01   I B 2  1

A14 ( A15  A17 )  U A1  U A2  A24 ( A25  A27 )  U B1  U B 2   *   A34 ( A35  A37 )  U C1   U 02  A44 ( A45  A47 )   U 01   I A2 

( A16  A18 ) ( A26  A28 ) ( A36  A38 ) ( A46  A48 )

( A16  A18 )  U A2  ( A26  A28 )  U C 2  *  ( A36  A38 )   I A2  ( A46  A48 )   I B 2  1

( A17  A18 )  U A1  U A2  ( A27  A28 )  U B1  U B 2   *   ( A37  A38 )  U C1   I B 2  ( A47  A48 )   U 01   I C 2 

U B 2  U A2 I B 2   I A2 IC2  0 A I 02  0 A

U C 2  U B2 I A2  0 A I C 2  I B2 I 02  0 A U C 2  U A2 I B2  0 A I C 2   I A2 I 02  0 A U B 2  U A2 U 02  U B 2 IC2  0 A I 02   I A 2  I B 2

U C 2  U B2 U 02  U A 2 I A2  0 A I 02   I B 2  I C 2

Závěr

Zkrat A – C – N Zkrat A – B – E

 A13   A23   A33 A  43

A14 A24 A34 A44

A15 A25 A35 A45

A16  U A1  U C 2  A26  U B1   U 02   *   A36  U C1   I A2  A46   U 01   I B 2 

Zkrat B – C – E

 A11   A21   A31 A  41

A14 A24 A34 A44

A16 A26 A36 A46

A17  U A1  U A2  A27  U B1   U 02   *   A37  U C1   I B 2  A47   U 01   I C 2 

Zkrat A – C – E

1

 ( A11  A13  A14 ) A12 ( A15  A18 )   ( A21  A23  A24 ) A22 ( A25  A28 )   ( A31  A33  A34 ) A32 ( A35  A38 ) ( A  A  A ) A ( A45  A48 ) 43 44 42  41

( A17  A18 )   U A1  U A2  ( A27  A28 )   U B1  U B 2   *   ( A37  A38 )  U C1   I A2  ( A47  A48 )   U 01   I C 2 

 A12   A22   A32 A  42

A14 A24 A34 A44

A15 A25 A35 A45

A17  U A1  U B 2  A27  U B1   U 02   *   A37  U C1   I A 2  A47   U 01   I C 2 

1

91

U C 2  U A2 U 02  U A 2 I B2  0 A I 02   I A 2  I C 2 U A2  0 V U B2  0 V IC2  0 A I 02  0 A

1

U B2  0 V UC2  0 V I A2  0 A I 02  0 A

1

U A2  0 V UC2  0 V I B2  0 A I 02  0 A

Zkrat A – B – C

 ( A11  A12  A13 ) A14 ( A15  A17 )   ( A21  A22  A23 ) A24 ( A25  A27 )   ( A31  A32  A33 ) A34 ( A35  A37 ) ( A  A  A ) A ( A45  A47 ) 42 43 44  41

Zkrat A – B – C – N – E

Tab. 8-4 Rovnice pro výpočty trojfázových zkratů trojfázové nesouměrné soustavy

 A15   A25   A35 A  45

1

A16 A26 A36 A46

A17 A27 A37 A47

1

( A16  A17 )  U A1  U A2  ( A26  A27 )  U B1   U 02   *   ( A36  A37 )  U C1   I A2  ( A46  A47 )   U 01   I B 2 

A18  U A1   I A2  A28  U B1   I B 2   *   A38  U C1   I C 2  A48   U 01   I 02 

U B 2  U A2 U C 2  U A2 I C 2   I A2  I B 2 I 02  0 A

U A2  0 V U B2  0 V UC2  0 V U 02  0 V

Zkrat A – B – C – E

 A14   A24   A34 A  44

Zkrat A – B – C – N

Závěr

 ( A11  A12   ( A21  A22   ( A31  A32 ( A  A 42  41

92

1

A15 A25 A35 A45

A16 A26 A36 A46

U A2  0 V

A17  U A1  U 02  A27  U B1   I A2   *   A37  U C1   I B 2  A47   U 01   I C 2 

U B2  0 V UC2  0 V I 02  0 A

1

( A15  A18 ) ( A16  A18 ) ( A17  A18 )  U A1  U A1   A23  A24 ) ( A25  A28 ) ( A26  A28 ) ( A27  A28 )  U B1  U B1   *    A33  A34 ) ( A35  A38 ) ( A36  A38 ) ( A37  A38 )  U C1  U C1   A43  A44 ) ( A45  A48 ) ( A46  A48 ) ( A47  A48 )   U 01   U 01   A13  A14 )

U B 2  U A2 U C 2  U A2 U 02  U A 2 I 02   I A 2  I B 2  I C 2

8.2 Výpočetní software Vlastní software byl vytvořen pomocí programovacího jazyka PHP. PHP [6] je skriptovací jazyk zabudovaný na straně serveru. To znamená, ţe pracuje uvnitř HTML dokumentu a propůjčuje mu tak schopnost generování poţadovaného obsahu. Skriptovací jádro má dobře optimalizovanou dobu odezvy potřebnou ve webových aplikacích. Jazyk PHP se skládá z obvyklých řídících struktur, operátorů, druhů proměnných, deklarací funkcí a deklarací tříd a objektů. Je zde volnost v přidávání dalších funkcí. Této moţnosti bylo vyuţito v naprogramování knihovny funkcí pro početní operace v oboru komplexních čísel a v maticovém počtu, která tvoří základní stavební kámen řešení. Největším přínosem pouţití tohoto řešení je skutečnost, ţe na straně klienta pro vyuţití tohoto výpočetního software odpadá nutnost instalace nějakého speciálního software. Vyuţít lze jakýkoliv z běţně pouţívaných webových prohlíţečů. Díky celosvětové počítačové síti INTERNET můţe tento software vyuţívat kdokoliv. Pouţití tohoto software je uţivatelsky velice jednoduché. Pro jeho vyuţití není třeba hlubokých teoretických znalostí, jeho ovládání je intuitivní. Na druhou stranu je zde ale uţivatel omezen ve své vlastní kreativitě. Můţe zde řešit pouze ty úlohy, které jsou naprogramované. Uţivatel zde nemá moţnost návrhu vlastních úloh a jejich řešení.

8.3 Přínos práce a moţnosti rozvoje Tato práce otevírá nový způsob řešení různých poruchových stavů v elektrizační soustavě. Dosavadní metody výpočtu poruchových stavů, zejména metoda souměrných sloţek předpokládá celou řadu zjednodušení, mezi něţ patří nejen zanedbání kapacity vedení a paralelních admitancí, ale zejména předpokládá symetrickou třífázovou soustavu. Oproti tomu tato práce si kladla za cíl najít řešení nesymetrické třífázové soustavy, která se více blíţí realitě. Za největší přínos této práce lze povaţovat, ţe na dosaţené výsledky lze navázat a danou problematiku dále prohlubovat. Zejména vyuţití výpočetní technicky zde dává velký prostor pro hledání nových přesnějších řešení. Dosaţené výsledky lze vyuţít pro výpočet chodu nesouměrné třífázové soustavy, zejména chodu naprázdno, nakrátko a chodu se zadanou zátěţí. Rovněţ tak lze výsledky pouţít pro

Závěr

93

výpočty zkratů v třífázové nesouměrné soustavě. Přesto daný matematický model vychází z následujících zjednodušení: o po dobu trvání zkratu se nemění typ zkrat o po dobu zkratu nedochází ke změně v síti o zkrat se předpokládá vţdy na konci rozpojeného, nezatíţeného vedení o odpory oblouku se neuvaţují Model je vhodný pro výpočty chodu sítě, která obsahuje výrazné nesymetrie. Je tedy vhodný pro výpočet stavů na vedení vn, které v současné době není pouţívána transpozice vodičů a kde se můţe uplatňovat výrazný vliv nesymetrie způsobované rozdílnou kapacitou vodičů jak proti zemi, tak navzájem mezi pracovními vodiči a stejně tak s rozdílnou vzájemnou indukčností. Rovněţ tak můţe být vhodný pro výpočty v síti nn, které se rovněţ v praxi vyznačují nesymetrií, způsobovanou mnohdy jak nesouměrnou zátěţí, tak třeba nekvalitní proudovými spoji, které mohou být příčinou rozdílné impedance jednotlivých pracovních vodičů. Tato práce nastínila moţný způsob řešení třífázové nesouměrné soustavy v ustáleném chodu. Tento navrţený matematický model můţe být základem pro řešení další problematiky. V tomto modelu nebyl odvozen multibran obsahující přerušení vodiče. Rovněţ tak nebyly odvozeny multibrany obsahující ve svém vnitřním obvodu krátká spojení. Rozšíření matematického modelu o tyto multibrany by umoţnilo řešit nejen úlohy se zkratem na konci nezatíţeného vedení, ale řešit i některé z následujících úloh: o přerušení jednoho z pracovních vodičů o zemní zkrat (zemní spojení) přerušeného pracovního vodiče na straně zátěţe o zemní spojení v různých místech soustavy vn Analýza těchto stavů můţe vést k návrhu metodik a algoritmů pro vyhodnocování těchto stavů a pro jejich lokalizaci. V současné době jsou některé z těchto poruchových stavů obtíţně vyhodnotitelné. Přitom ale v současnosti pouţívané ochranné systémy zaloţené na mikroprocesorech otevírají nové moţnosti v on-line diagnostice chodu trojfázové soustavy a případná i třeba nevýznamná změna ve sledovaných parametrech můţe mít svoji příčinu v některé z výše popsaných poruchových stavů.

94

Použitá literatura

95

POUŢITÁ LITERATURA [1]

BAŠTINEC J., NOVÁK M., Moderní numerické metody, Brno 2007, VUT.

[2]

BLAŢEK V., Přenosové sítě, Brno 2007, VUT.

[3]

BROŢA P., Tvorba WWW stránek pro úplné začátečníky, Praha 1999, Computer Press, ISBN 80-7226-164-9

[4]

BUBENÍK, F.,PULTAR, M., PULTAROVÁ, I. Matematické vzorce a metody. Praha 1997, ČVUT, ISBN 80-01-01643-9.

[5]

BUDINSKÝ B., CHARVÁT J., Matematika I, Praha 1987, SNTL.

[6]

CASTAGNETTO J., RAWAT H., SCHUMANN S., SCOLLO C., VELIATH D., Programujeme PHP profesionálně, Praha 2001, Computer Press, ISBN 80-7226-310-2.

[7]

HODINKA, M., FECKO, Š., NĚMEČEK F., Přenos a rozvod elektrické energie, Praha 1989, SNTL, ISBN 80-03-00065-3.

[8]

MIKULEC, M., HAVLÍČEK, V., Základy teorie elektrických obvodů 1, Praha 1997, ČVUT, ISBN 80-01-01620-X.

[9]

MIKULEC, M., HAVLÍČEK, V., Základy teorie elektrických obvodů 2, Praha 1998, ČVUT, ISBN 80-01-01778-8.

[10] SEDLAČEK J., VALSA J., Elektrotechnika II, Brno 2003, VUT. [11] TOMAN P., Teorie souměrných sloţek, [disk]. Brno 2005, VUT. [cit.2009-05-10] [12] PNE 33 0000-1. Ochrana před úrazem elektrickým proudem v distribučních soustavách a přenosové soustavě.2008.

Použitá literatura

96

Přílohy

97

Příloha A Výpis funkcí knihovny complex.php Základem programu, ve kterém byl vyuţit popsaný matematický model a který je k dispozici na www studentských stránkách na adrese http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/ je knihovna funkcí pro výpočty s komplexními čísly, jejíţ součástí jsou i funkce pro operaci s maticemi a ta jak v oboru reálných čísel, tak v oboru komplexních čísel. Případní zájemci mohou tuto knihovnu vyuţít vloţením následujícího řádku do svého programového chodu: include 'http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/complex.php' ; Komplexní číslo je uloţeno ve tvaru název[Reálná část][Imaginární část][Absolutní hodnota][Argument v rad] Seznam funkcí pro operace s komplexními čísly Rec2Abs - funkce přepočítá absolutní hodnotu komplexního čísla, vrací komplexní číslo Rec2Arg - funkce přepočítá argument komplexního čísla, vrací komplexní číslo Pol2Re - funkce přepočítá reálnou část komplexního čísla, vrací komplexní číslo Pol2Im - funkce přepočítá imaginární část komplexního čísla, vrací komplexní číslo Rec2Pol - funkce dopočítá polární souřadnice [Abs] a [Arg] komplexního čísla, vrací komplexní číslo Pol2Rec - funkce dopočítá relativní souřadnice [Re] a [Im] komplexního čísla, vrací komplexní číslo comadd - funkce sečte dvě komplexní čísla, vrací komplexní číslo comsub - funkce odečte dvě komplexní čísla, vrací komplexní číslo commul - funkce vynásobí dvě komplexní čísla, vrací komplexní číslo comdiv - funkce vydělí dvě komplexní čísla, vrací komplexní číslo comsqrt - funkce vrací druhou odmocninu komplexního číslo (upravit) comsdr - funkce vrací komplexně sdruţené číslo com - převede reálné číslo do komplexního tvaru Seznam funkcí pro operace s maticemi v R matmul - funkce vynásobí dvě reálné matice mattr - funkce vypočte stopu reálné matice matdet - funkce vypočte determinant reálné matice matinv - funkce vypočte inverzní matici k reálné matici mattran - provede transpozici prvků matice matadj - funkce vypočte adjuktovanou matici k reálné matici Seznam funkcí pro operace s maticemi v C commatmul - funkce vynásobí dvě komplexní matice commattr - funkce vypočte stopu komplexní matice commatdet - funkce vypočte determinant komplexní matice commatinv - funkce vypočte inverzní matici k komplexní matici

Přílohy commatadj - funkce vypočte adjuktovanou matici k komplexní matici Seznam funkcí pro výpis proměnných echo_Re - zobrazí reálnou část komplexního čísla echo_Im - zobrazí imaginární část komplexního čísla echo_Abs - zobrazí absolutní hodnoru komplexního čísla echo_Arg_deg - zobrazí argument komplexního čísla ve stupních echo_Arg - zobrazí argument komplexního čísla v radiánech echo_algeb - zobrazí komplexní číslo v algebraickém tvaru echo_exp - zobrazí komplexní číslo v exponenciálním tvaru (v radiánech) echo_exp_deg - zobrazí komplexní číslo v exponenciálním tvaru (ve stupních) echo_gon_rad - zobrazí komplexní číslo v goniometrickém tvaru (v radiánech) echo_gon_deg - zobrazí komplexní číslo v goniometrickém tvaru (ve stupních) echo_mat - zobrazí reálnou matici echo_mat_algeb - zobrazí komplexní matici v algebraickém tvaru echo_mat_exp - zobrazí komplexní matici v exponenciálním tvaru (v radiánech) echo_mat_exp_deg - zobrazí komplexní matici v exponenciálním tvaru (ve stupních)

98

MODELOVÁNÍ NESYMETRICKÉHO TŘÍFÁZOVÉHO VEDENÍ

Recommend Documents