TEKUTINOVÉ MECHANISMY UČEBNÍ TEXTY PRO VÝUKU MECHATRONIKY
1
OBSAH:
Hydraulika .............................................................................................................................. 3 Základní veličiny a jednotky .............................................................................................. 3 Molekulové vlastnosti tekutin ................................................................................................ 3 Tlak v kapalinách ............................................................................................................... 4 Hydrostatický tlak .............................................................................................................. 6 Atmosférický tlak ............................................................................................................... 9 Archimédův zákon ........................................................................................................... 10 Plavání těles...................................................................................................................... 11 Proudění tekutin ............................................................................................................... 13 Bernoulliova rovnice ........................................................................................................ 15 Vnitřní tření tekutin .......................................................................................................... 17 Přenos a transformace energie.......................................................................................... 18 Princip hydraulických zařízení............................................................................................. 18
2
Hydraulika Základní veličiny a jednotky Veličina délka
Označení
Jednotky SI
Používané jednotky
l, s
m
1m=100cm=1000mm
2
1m2=10000cm2=106mm2
plocha
S
m
objem
V
m3
1m3=1000dm3
čas
t
s
60s=1min
rychlost
v
m/s
1m/s=60m/min
průtok
Q
m3/s
hmotnost
m
kg
1kg=1000g
hustota
ρ
kg/m3
1kg/m3=0,001kg/dm3
síla
F
N
1N=1kg·m/s2
tlak
p
Pa
1Pa=0,00001bar
práce
W
J
1J=1Ws=1Nm
výkon
P
W
1W=1J/s=1Nm/s
teplota
T
K
t
°C
gravitační zrychlení g=9,81m/s2
273,15K=0°C
Molekulové vlastnosti tekutin Kapaliny a plyny se liší od pevných látek tak, že se jejich částice mohou navzájem snadno posunovat a tato vlastnost se nazývá tekutost. Tekutost kapalin a plynů souvisí s větší kinetickou a potenciální energií molekul těchto látek. Molekuly těchto látek nejsou navázány na krystalickou mřížku, jako je tomu u pevných látek. Větší pohyblivost molekul je u plynů než u kapalin. Příčinou tekutosti kapalin jsou síly vnitřního tření. Vnitřní tření tekutin se nazývá viskozita a vyvolává odporové síly působící proti vzájemnému pohybu částic. Čím má kapalina větší viskozitu, tím menší je její tekutost. U kapalin jsou vazební síly v látce veliké, zvláště pak odpudivé síly mezi molekulami, proto kapaliny velmi těžko mění svůj objem. Proto jsou kapaliny málo stlačitelné. Pro další úvahy, ze kterých vyplynou důležité zákony pro kapaliny, zavedeme pojem ideální kapalina, kterou budeme uvažovat jako kapalinu bez vnitřního tření, dokonale tekutou a nestlačitelnou. Dokonalý plyn budeme uvažovat jako plyn, který nemá vnitřní tření a který je dokonale stlačitelný.
3
Tlak v kapalinách Molekuly plynů i kapalin jsou v neustálém pohybu, působí na stěny nádoby a tím vyvolávají tlakovou sílu a můžeme říci, že v nádobě je určitý tlak. Tlak se obecně určí jako podíl síly na určitou plochu: p=
F , kde S
F – síla působící na určitou plochu, S – plocha, na kterou působí síla F.
Jednotkou tlaku je Pascal [Pa]. V literatuře se objevují ještě jiné jednotky tlaku, např.: • atmosféra 1 at = 1 kp/cm2 = 105 Pa • bar
1 bar = 105 Pa
• torr
1 Torr = 133,3 Pa 1 bar = 760 Torr
Příklad: Na píst o průměru d = 3 cm působíme silou 400 N. Jaký tlak vznikne v nádobě, jestliže uzavřeme její vývod. Řešení:
plocha pístu
S=
tlak v nádobce p =
πd 2 4
=
π ⋅ 0,06 2 4
= 0,002827 m 2 = 0,0028m 2
F 400 = = 142857 N S 0,0028
Tlak v nádobce bude 142 857 N. Pokud bychom do nádoby dali tekutinu a působili na píst tlakem dle obrázku, pak by ze všech dírek unikala tekutina stejně.
4
Z uvedeného plyne, že v kapalinách platí Pascalův zákon, který zní: Jestliže na kapalinu působí vnější tlaková síla, pak tlak v každém místě kapaliny vzroste o stejnou hodnotu. Z uvedeného Pascalova zákona vyplývá, že tlak v kapalinách vyvolaný vnější silou nezávisí na směru této síly, ani na hustotě a objemu kapaliny v nádobě. Pascalův zákon je nejnázorněji využit u hydraulického lisu. Jeho podstatou jsou dva válce nestejného průřezu, propojené u dna dle obrázku.
Jestliže působíme na píst 1 o velikosti plochy S1 tlakovou silou F1, pak v kapalině vyvoláme tlak o velikosti:
p=
5
F1 . S1
Tlak je dle Pascalova zákona ve všech místech v kapalině stejný. Proto na širší píst působí také tlak p. Tento tlak působí na plochu pístu S2, a tudíž vyvolá sílu:
F2 = p ⋅ S 2 =
F1 ⋅ S2 . S1
Z toho dostaneme vztah:
F2 S 2 = . F1 S1 Z uvedeného vztahu vyplývá, že síly působící na písty jsou ve stejném poměru jako plochy obou těchto pístů. Práce vykonaná na obou pístech je stejná, protože na malém pístu působí síla na delší dráze než na pístu velkém. Zde můžeme při výpočtu vycházet z rovnosti objemu. Jestliže budeme malý píst stlačovat na dráze l1, pak velký píst musí vykonat dráhu, aby platilo:
S1 ⋅ l1 = S 2 ⋅ l 2 , takže l 2 =
S1 ⋅ l1 . S2
Příklad: Hydraulický lis má průměr malého pístu 2 cm a průměr velkého pístu 8 cm. Určete jak velkou silou bude působit velký píst, jestliže na malý píst budeme působit silou 500 N? Řešení:
π ⋅ d1 2
π ⋅ 0,02 2
• plocha malého pístu
S1 =
• plocha velkého pístu
S2 =
• síla velkého pístu
F2 S 2 S 0,00502 = ⇒ F2 = F1 ⋅ 2 = 500 ⋅ = 7993,6 N F1 S1 S1 0,000314
4
π ⋅ d22 4
=
=
4
π ⋅ 0,08 2 4
= 0,000314m 2
= 0,00502m 2
Velký píst bude vytvářet sílu 7 993,6 N.
Hydrostatický tlak Dosud byl tlak v kapalině vyvolaný vnější silou. Jestliže se kapalina nachází v gravitačním poli, tak na ni působí gravitační zrychlení a kapalina má tzv. hydrostatický tlak, což je tlak vyvolaný vlastní tíhou kapaliny. Na kapalinu, která se nachází v tíhovém poli Země, působí tíhová síla. Tato síla má stejný vliv jako kterákoliv jiná vnější síla působící na kapalinu. Volný povrch kapaliny se tedy snaží zaujmout takovou polohu, aby byl kolmý k vnější síle, tedy k tíhové síle. Výsledkem je skutečnost, že volný povrch klidné kapaliny je vždy kolmý k tíhové síle. Např. v nádobách je
6
volná hladina kapaliny vždy vodorovná, hladiny velkých vodních ploch (např. oceánů) jsou zakřiveny jako povrch Země apod. Hydrostatickým tlakem tlačí kapalina na tělesa do ní ponořená nebo na stěny nádoby nebo na své vlastní části (výše položené části tlačí svou tíhou na níže položené části kapaliny). Hydrostatický tlak závisí přímo úměrně na hloubce v kapalině (výšce kapalinového sloupce), hustotě kapaliny a na gravitaci. Nezáleží na množství (hmotnosti, objemu) kapaliny. Velikost hydrostatické tlakové síly, kterou působí kapalina v hloubce h na dno nádoby o obsahu S, je dána tíhou kapaliny Fg v nádobě: Fh = Fg = mg = ρ ⋅ S ⋅ h ⋅ g , kde
m – hmotnost kapaliny,
ρ – hustota kapaliny, S – plocha dna nádoby, h – výška kapaliny a g – tíhové (gravitační) zrychlení.
Z uvedeného vztahu vyplývá, že velikost hydrostatické síly závisí na hustotě kapaliny a na součinu S.h, ale nezávisí na tvaru nádoby.
Velikost hydrostatické tlakové síly působící na dno nádob je u všech nádob stejná. Tlak, který je vyvozen od hydrostatické tlakové síly Fh, se nazývá hydrostatický tlak a budeme jej označovat ph. Tento hydrostatický tlak, který působí v hloubce h pod povrchem kapaliny o hustotě ρ se vypočítá podle vztahu: ph =
Fh ρShg = = ρhg . S S
Z uvedeného vztahu vidíme, že hydrostatický tlak je přímo úměrný hustotě kapaliny a hloubce místa pod povrchem kapaliny.
7
Místa v kapalině o stejném hydrostatickém tlaku se nazývají hladiny. Hladina o nulovém hydrostatickém tlaku se nazývá volná hladina. Na stejném principu je možné vysvětlit princip spojených nádob. Ve spojených nádobách, které jsou spojeny ve spodní části, jsou hladiny ve stejné výšce a přitom nezáleží na tvaru a ni velikosti nádoby.
Ve všech ramenech je hydrostatický tlak: p = ρgh
a je ve všech ramenech stejný. Vzhledem k tomu, že je stejné ρ a g, musí být i výška h ve všech ramenech stejná. Jinak je tomu v případě, kdy do spojených nádob nalijeme dvě navzájem nemísící se tekutiny s rozdílnými hustotami ρ1 a ρ2. Hladiny v tomto případě dosahují rozdílných výšek, viz. obrázek.
Protože hydrostatické tlaky p1 = ρ1 gh1 a p 2 = ρ 2 gh2 na rozhraní obou kapalin jsou stejné, platí tedy:
ρ1 gh1 = ρ 2 gh2 a po úpravě pak dostaneme:
ρ1 h2 = . ρ 2 h1 Hustoty kapalin jsou v obráceném poměru, než jsou výšky sloupců kapalin nad společnou hladinou. Této vlastnosti se využívá u zjišťování hustoty kapalin.
8
Atmosférický tlak Celou Zemi obklopuje vzdušný obal – atmosféra. Tlak vyvolaný tíhou ovzduší se nazývá atmosférický tlak, který se označuje p a . Tento atmosférický tlak vyvolává poměrně velkou tlakovou sílu na všechna tělesa na povrchu Země. Atmosférický tlak určíme pokusem, který poprvé provedl Torricelii. Silnostěnnou skleněnou trubici o délce asi 1 m, na jednom konci zatavenou, naplníme rtutí. Otevřený konec uzavřeme prstem, trubici obrátíme a ponoříme do nádoby se rtutí dle obr.
Sloupec rtuti v Torricelliho trubici udržuje v určité výšce atmosférická tlaková síla, která působí na povrch rtuti v ploché nádobě. Atmosférický tlak p a musí být v rovnováze s hydrostatickým tlakem rtuťového sloupce p h = ρhg , kde ρ je hustota rtuti a h výška sloupce rtuti. Dosadíme-li tyto hodnoty:
ρ = 13,6 ⋅ 10 3 kg/m3, h = 0,75 m a g = 9,81 m/s2, pak dostaneme pro tlak: p h = 10 5 Pa = 100 kPa, který se udává jako atmosférický tlak p a .
Atmosférický tlak se mění s nadmořskou výškou. S výstupem o 100 m klesne tlak o 1,3 kPa. Atmosférický tlak se také využívá pro předpovědi počasí. Pro meteorologické účely byl stanoven tak zvaný normální atmosférický tlak p n = 1013,5 mb = 1,01325 ⋅ 10 5 Pa .
9
Archimédův zákon Tělesa, která jsou ponořena pod vodou, jsou lehčí než tělesa nad vodou. Tento jev způsobuje tzv. hydrostatická vztlaková síla, která působí na každé těleso, které je ponořené do kapaliny.
Ověření vztlakové síly Archimédes svými pokusy stanovil tzv. Archimédův zákon, který se vyslovuje: Těleso zcela ponořené do kapaliny je nadlehčováno hydrostatickou vztlakovou silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny o stejném objemu, jako je objem ponořeného tělesa. Vztlaková síla: FVZ = ρgV , kde
ρ - hustota kapaliny, do které je ponořené těleso, g - gravitační zrychlení, V - objem ponořeného tělesa.
Stejně tak jsou nadlehčována tělesa v plynech. Vzhledem k tomu, že hustota plynů je velmi malá, je i vztlaková síla působící na tělesa v plynech malá oproti vztlakovým silám působících na tělesa ponořená do kapalin.
10
Plavání těles Z Archimédova zákona vyplývá rovnost vztlakové síly a tíhy kapaliny vytlačené ponořeným tělesem. Vztlaková síla: FVZ = ρ 2 ⋅ g ⋅ V ,
pro tíhu platí: FG = ρ1 ⋅ g ⋅ V , kde
ρ 2 - hustota kapaliny, ρ1 - hustota tělesa, g - gravitační zrychlení a V - objem tělesa.
Při ponoření tělesa do kapaliny mohou nastat tyto případy: 1. Těleso klesá ke dnu – je-li FG > FVZ , tedy ρ1 gV > ρ 2 gV a odtud tedy ρ1 > ρ 2 , to znamená, že těleso klesá ke dnu, když je jeho hustota větší než hustota kapaliny.
2. Těleso v kapalině stoupá vzhůru – je-li FG < FVZ , tedy ρ1 gV < ρ 2 gV a odtud tedy
ρ1 < ρ 2 , to znamená, že těleso v kapalině stoupá vzhůru k volnému povrchu hladiny.
11
V případě, že těleso dosáhne volného povrchu kapaliny, tak se částečně vynoří a ustálí se v takové poloze, že tíhová síla tělesa FG je v rovnováze se vztlakovou silou FVZ , jejíž velikost je podle Archimédova zákona rovna tíze kapaliny o stejném objemu, jako je objem ponořené části tělesa.
V tomto případě říkáme, že těleso plave v kapalině. Takto se chovají tělesa, jejichž hustota je menší než hustota kapaliny (např. dřevo, korek apod.). Na hladině však plavou i tělesa vyrobena z materiálů, jejichž hustota je větší než hustota kapaliny, například plechovka na vodě, loď na řece apod. To je způsobeno tím, že v plechovce je uzavřen vzduch a průměrná hustota objemu kovu a vzduchu je menší než hustota kapaliny. Musí zde platit, že síly FG a FVZ jsou v rovnováze. Jejich velikosti jsou: FG = ρ1 gV a FVZ = ρ 2 gV P ,
kde VP je objem ponořené části tělesa. Jestliže se síly mají rovnat (být v rovnováze), pak dostaneme: FG = FVZ
ρ1 gV = ρ 2 gVP ρ1V = ρ 2VP V P ρ1 = V ρ2 V - objem tělesa,
VP - objem ponořené části tělesa,
ρ1 - hustota tělesa, ρ 2 - hustota kapaliny.
12
3. Je-li hustota ponořeného tělesa stejná jako hustota kapaliny, ve které je těleso ponořeno, tzn, že platí ρ1 = ρ 2 , pak hovoříme, že se těleso vznáší v kapalině.
Proudění tekutin Proudění tekutiny je pohyb tekutiny v jednom směru. Proudění z hlediska časového průběhu může být:
1. Stacionární (ustálené) – proudění, při němž se v daném místě tekutiny nemění její rychlost v závislosti na čase 2. Nestacionární – prouděním, u něhož se v daném místě tekutiny rychlost v závislosti na čase mění Pohyb částic tekutiny se popisuje pomocí proudnic. Proudnice je taková myšlená čára, že tečna sestrojená v jejím libovolném bodě určuje směr rychlosti pohybující se částice tekutiny. Proudnice uvidíme, nasypeme-li do proudící vody jemný prášek, drobné kousky trávy nebo listí apod. Dále lze proudění rozdělit na:
1. Laminární – proudění při malých rychlostech proudící tekutiny; vrstvy tekutiny se po sobě pravidelně posouvají, obraz proudnic zůstává v čase stejný; vektory rychlosti v jednotlivých vrstvách kapaliny jsou navzájem rovnoběžné 2. Turbulentní – vzniká z proudění laminárního při zvětšení rychlosti proudící tekutiny; proudnice se rozpadají a víří, tj. jejich obraz není v čase konstantní Rozdíl mezi laminárním a turbulentním prouděním je vidět na tenkém svazku dýmu. Leží-li např. na popelníku zapálená cigareta a vzduch v okolí je v klidu, tvoří cigaretový dým nejdříve laminární proudění – jednotlivé proudy stoupají „vzájemně rovnoběžně“. Po
13
dosažení určité výšky se proudy začnou rozpadat, vířit, zamotávat se - proudění se stalo turbulentním. Při proudění mohou částice měnit i vzájemnou polohu vůči sobě - proto je pohyb tekutin složitější než pohyb tuhého tělesa, protože částice tekutin mohou velmi snadno měnit svůj směr proudění.
Ustálené proudění je charakterizováno stálou rychlostí a stálým tlakem v libovolném místě toku. Při proudění tekutiny ve válci, za určitý čas se částice posune z místa 1 na místo 2.
To znamená, že trubicí proteče množství tekutiny, které můžeme vyjádřit jako objem válce o podstavě S a výšce v , V = S ⋅v .
Označujeme takzvaný objemový průtok Q , který udává průtok za jednotku času a vypočítá se jako: Q=
[ ]
V m3 . s t
Objem kapaliny, který protéká potrubím za určitou dobu se měří vodoměrem, průtok plynu se měří plynoměrem. Vzhledem k tomu, že protečené množství musí být stále stejné bez ohledu na průřez, pak při zmenšeném průřezu potrubí se musí zvýšit rychlost protékající tekutiny.
14
Průřezem S1 proteče při rychlosti v1 objem tekutiny V1 = S1 ⋅ v1 , průřezem S 2 proteče při rychlosti v 2 objem tekutiny V2 = S 2 ⋅ v 2 . Protože musí platit, že V1 = V2 , pak platí také:
S1 ⋅ v1 = S 2 ⋅ v 2 . Pro libovolný průřez S platí vztah: S ⋅ v = konst. Tento vztah se nazývá vztah spojitosti toku.
Bernoulliova rovnice Nyní budeme řešit vztah mezi rychlostí proudění a tlakem.
15
V části 1 trubice je průřez trubice S1 , rychlost tekutiny je zde v1 a tlak p1 , v části 2 trubice je průřez S 2 , rychlost tekutiny je zde v 2 a tlak p 2 . Při měření zjišťujeme, že p1 < p 2 . Z rovnice spojitosti toku pak platí, že je-li S1 > S 2 , pak musí i v1 > v 2 . Z toho vyplývá, že v místě s větším průřezem má tedy proudící tekutina větší tlak a menší rychlost, zatímco v místě s menším průřezem má tekutina vetší rychlost a menší tlak. Pro kinetickou energii platí vztah:
Ek =
1 2 mv . 2
Označíme-li V objem tekutiny, pak můžeme kinetickou energii podělit tímto objemem a dostaneme kinetickou energii o jednotkovém objemu: Ek 1 m 2 1 2 = ⋅ ⋅ v = ρv , kde V 2 V 2
ρ - je hustota tekutiny. Vzhledem k tomu, že na průřezech 1 a 2 jsou rozdílné rychlosti proudění tekutiny a v1 < v 2 , pak platí, že: 1 2 1 2 ρv1 < ρv 2 . 2 2 Kinetická energie tekutiny o jednotkovém objemu je tedy větší v místě s menším průřezem. Přírůstek kinetické energie tekutiny v průřezu se menším průřezem musí být vyrovnán jinou energií, protože musí platit zákon o zachování energie. Z poklesu tlaku v trubici s menším průřezem usuzujeme na úbytek tak zvané tlakové potenciální energie E P = mgh , kde g - je gravitační zrychlení a h - je výška sloupce kapaliny v manometrické trubici. Vztáhneme-li opět tuto energii k jednotkovému objemu tekutiny, dostáváme: E P mgh = = ρgh = p . V V
Tlaková potenciální energie tekutiny v jednotkovém objemu se rovná hydrostatickému tlaku v hloubce h pod volným povrchem kapaliny. Vzhledem k tomu, že se energie nemůže samovolně měnit v jiné druhy energií, pak platí, že součet kinetické a tlakové potenciální energie v jednotkovém objemu tekutiny stejný pro libovolný průřez a platí tedy: 1 2 ρv + p = konst. , 2 Je to Bernoullioho rovnice, která vyjadřuje zákon o zachování energie ideální kapaliny proudící v trubici. Z toho vypadá, že tlak s rostoucí rychlostí proudění tekutiny klesá. Při velkém zúžení, kde značně vzroste rychlost proudění tekutiny, může tlak klesnout tak, že bude menší než tlak atmosférický. V tomto místě pak vniká podtlak, který se projeví tak, že do trubice, která měří tlak, vůbec tekutina nevstoupí, ale naopak se do ní nasává vzduch. Tohoto jevu se využívá například u rozprašovače, stříkací pistole apod.
16
Rychlost kapaliny vytékající otvorem se určí opět ze zákona o zachování energie: 1 2 ρv = ρgh 2 a odtud výtoková rychlost:
v = 2 gh .
Vnitřní tření tekutin Předchozí zákonitosti platí pro ideální kapalinu u které neexistuje vnitřní tření. Vnitřní tření tvoří odporové síly působící proti posouvání částic tekutin po sobě. Míra vnitřního tření je vyjádřena tak zvanou viskozitou. Viskozita (také vazkost) je fyzikální veličina, udávající poměr mezi tečným napětím a změnou rychlosti v závislosti na vzdálenosti mezi sousedními vrstvami při proudění skutečné kapaliny. Viskozita je veličina charakterizující vnitřní tření a závisí především na přitažlivých silách mezi částicemi. Kapaliny s větší přitažlivou silou mají větší viskozitu, větší viskozita znamená větší brzdění pohybu kapaliny nebo těles v kapalině. Viskozita je závislá především na druhu tekutiny a její teplotě. Na obrázku je znázorněn rychlostní profil při laminárním proudění reálné kapaliny.
Dynamická viskozita se označuje η a jednotkou je Pa·s. Různé kapaliny mají různou viskozitu a měří se viskozimetry, které jsou založeny na měření doby, za kterou vyteče dané množství kapaliny z nádoby.
17
Přenos a transformace energie Energie tekutin se využívala od pradávna, především k vykonávání mechanické práce, například k pohonu vodních kol, hamrů apod. V současné době se využívá energie především k pohonu vodních turbín, které jsou základem vodních elektráren. Využívá se zde rozdílu potenciální energie u hladin dvou nádrží. Mechanická práce závisí jednak na hmotnostním průtoku Qm =
m , t
a jednak na spádu h , to je na rozdílu ve vodní nádrži a pod vodní nádrží. Jednotkou je kg/s.
Princip hydraulických zařízení Příklad blokového schéma hydraulických zařízení:
18
