• Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). • Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. • Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada matriks tersebut
1 2 A 3 0 B 2 1 4
2 1 0 1 3 1 6 C 3 2 0 1
Ordo Matrik A Ordo Matriks B Ordo Matriks C Ordo Matriks D
:3X2 :1X4 :4X4 :2X1
3 7 1 0
4 6 1 D 2 5 4
• Matriks dinotasikan dengan huruf besar. • Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga menggunakan aij untuk menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari A sehinga A = [aij] • Contoh 1 1 2 9 A 2 4 3 1 3 6 5 0
a11 a 21 A m n am1
a12 a22 am2
a1n a2 n amn
Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada entrinya. A. Matriks Nol Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol. 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 ; B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
B.Matriks Satu Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah 1. C. Matriks Baris Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu baris.
1 1 1 C 1 1 1 1 1 1
A 2 1 0 3
D. Matriks Kolom Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu kolom. E. Matriks Persegi Matriks persegi didefinisikan sebagai matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama
0 B 1 2
2 6 A 6 4
6 3 7 3
6 4 7 3 0 2 2 8
F. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi 2 1 3 yang entri/elemennya memenuhi syarat: B 0 5 2 aij = 0 untuk i > j. 0 0 4 G. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i < j. 2 0 0 B 1 5 0 3 2 4
H. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j. I. Matriks Identitas Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j
2 0 0 A 0 5 0 0 0 4
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
J. Matriks Transpose Matriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris menjadi kolom atau sebaliknya. 1 2 3 1 1 2 9 1 4 6 T A 2 4 3 1 A 2 3 5 3 6 5 0 9 1 0
Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1 i m, 1 j n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. • Contoh :
1 2 1 1 2 w A 2 3 4 dan B 2 x 4 0 4 5 y 4 z
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5
• Penjumlahan (addition) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 b11 a23 ; B b21 b31 a33
b12 b22 b32
b13 a11 b11 b23 A + B a21 b21 a31 b31 b33
a12 b12 a22 b22 a32 b32
a13 b13 a23 b23 a33 b33
Jika
3 2 5 4 A dan B 1 6 4 0 Maka:
7 AB 1
4 12 2 6
6 7 8 2
• Pengurangan (subtruction) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 b11 a23 ; B b21 b31 a33
b12 b22 b32
b13 a11 b11 b23 A B a21 b21 a31 b31 b33
a12 b12 a22 b22 a32 b32
a13 b13 a23 b23 a33 b33
Jika
3 2 5 4 A dan B 1 6 4 0 Maka:
1 8 2 AB 1 14 2
6 7 8 2
• Perkalian Skalar Pada Matriks Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 ca11 a23 cA ca21 ca31 a33
ca12 ca22 ca32
ca13 ca23 ca33
Jika 7 4 12 A 1 2 6
Maka:
7 4 2.A 2. 2 1
12 14 8 24 6 2 4 12
Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. ( n = p) AmxnBnxq = Cmxq A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka n C = [cij]mxq dengan cij aij bij j 1
Tentukan AB dan BA jika: Jawab:
2 A 1
1 3
4 , 2
1 B 1 4
2 3 1
1 2 2 1 4 AB 1 3 1 3 2 4 1 2(1) 1(1) 4(4) 2(2) 1(3) 4(1) 17 3 1(1) 3( 1) 2(4) 1(2) 3(3) 2( 1) 4 5
1 2 2 1 4 BA 1 3 1 3 2 4 1 1(1) 2(3) 1(4) 2(2) 0 7 8 1(2) 2(1) 1(2) 3(1) 1(1) 3(3) 1(4) 3(2) 5 8 2 4(2) (1)(1) 4(1) (1)(3) 4(4) (1)2 9 1 14
Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis Kij (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis () H i (A) () Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K i (A) Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H ()(A) ij
Menambah
kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis
() K ij (A) Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah 1 kali baris ke i dengan 2
( ) ( ) kali baris ke j, ditulis H i (A) j 1
2
Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)
Contoh: 3 1 2 1 A 4 1 0 2 , carilah matrik B yang dihasilkan 1 3 0 1 (-1) (2) ,H ,H , 31 2 12
sederetan transforma si elementer H (1) (2) K ,K . Carilah B tersebut. 41 3
3 1 2 1 H ( 1 ) 3 31 4 1 0 2 8 ( 2 ) 1 3 0 1 H2 - 2 K (1) 8 41 3 K (2) 3 - 2
2 0 12 1 4 4 2 - 4 - 2
1 2 1 H 8 12 2 0 4 3 2 - 2 0 - 2
2 0 4 1 2 1 2 - 2 0
Bebas linear dan terpaut linier
• Kombinasi linier • Vektor bebas linier • Vektor terpaut linier
23
• Nilai pengamatan dari suatu variabel dapat disajikan dalam bentuk vektor • Bila disajikan secara baris disebut vektor baris • Bila disajikan dalam kolom disebut vektor kolom
24
• Kombinasi linier b’ = c1 a1’ + c2 a2’+ …. + cm am’ • Vektor terpaut linier c1 a1’ + c2 a2’+ …. + cm am’=0’ , tidak semua ci=0 • Vektor bebas linier c1 a1’ + c2 a2’+ …. + cm am’=0’ , hanya untuk • c1 = c2 = ….. = cm =0 25
• Kombinasi linier b’ = c1 a1’ + c2 a2’+ …. + cm am’ • Jika a1 = ( 1 2 0 ) dan a2= ( 2 4 3) • dan c1=2 dan c2=3, maka b’= c1 a1 + c2 a2 = 2 ( 1 2 0 ) + 3 ( 2 4 3) = ( 2 4 0 ) + (6 12 9) = ( 8 16 9) 26
• Vektor terpaut linier c1 a1’ + c2 a2’+ …. + cm am’=0’ , tidak semua ci=0 Jika a1= ( 2 4) dan a2= ( 4 8 ) maka a1 dan a2 terpaut linier, karena terdapat c1=1 dan c2=-1/2 yang mengakibatkan c1 a1’ + c2 a2’= 0’ 27
• Secara geometris dua vektor terpaut linier a = ( 1 1 ) dan b = ( 2 2) b a
28
• Vektor bebas linier c1 a1’ + c2 a2’+ …. + cm am’=0’ , hanya untuk c1 = c2 = ….. = cm =0 Jika a1 = ( 1 4 ) dan a2 = ( 0 2) maka a1 dan a2 bersifat bebas linier karena hanya c1=c2=0 yang memenuhi
29
• Secara geometris dua vektor bebas linier • a= ( 1 4 ) dan b = ( 5 2) a b
30
Rank (Pangkat) Matriks – Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks – Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linier dalam suatu matriks – Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar suatu matriks yang determinannya tidak nol.
1 2 0 2 1 4 1. Jika A 3 5 1 dan B 1 5 3 1 2 5 1 2 0
tentukanlah: a. 2A + B b. -3B + A T c. A – 2B
2. Diberikan matriks :
2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 4 C A B 3 4 3 2 5 1 2 3 1 0 Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)t c. AtBt b. BtAt d. BtC + A
e. (Bt + A)C