Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 7. února 2011
Obsah 1 Matematická analýza 1a 1.1 Výroky, důkazové techniky a množiny . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Výroková a predikátová logika . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Základní typy důkazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Množiny a množinové operace . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Zobrazení a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Reálná a komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Reálná čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Mohutnosti množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Limity posloupností reálných čísel . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Vlastní limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Nevlastní limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Monotónní posloupnosti a hlubší věty o posloupnostech 1.5 Řady reálných čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Kritéria konvergence řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Reálné funkce jedné reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Základní definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Věty o limitách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Funkce spojité na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Derivace reálné funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6 Konvexní a konkávní funkce, inflexní body . . . . . . . . 1.6.7 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 9 9 11 13 13 15 15 16 16 17 18 20 21 21 23 25 25 27 29 30 34 36 37
2 Proseminář z kalkulu 1a 2.1 Téma 1: Metody důkazů, nerovnosti, zobrazení, logika . . 2.2 Téma 2: Vlastnosti reálných čísel, mohutnost množin . . . 2.3 Téma 3: Infimum a limita posloupnosti . . . . . . . . . . . 2.4 Téma 4: Číselné řady s nezápornými členy . . . . . . . . . 2.5 Téma 5: Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Téma 6: Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Téma 7: Věty o střední hodnotě a L’Hospitalovo pravidlo 2.8 Téma 8: Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Téma 9: Základní vlastnosti polynomů . . . . . . . . . . . 2.10 Téma 10: Konvexita, průběh funkce . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
39 39 40 41 43 45 47 48 49 50 52
3 Matematická analýza 1a - cvičení 3.1 Téma 1: Opakování středoškolské látky, logika, matematická indukce . . 3.2 Téma 2: Výroky, kvantifikátory, zobrazení, supremum a infimum . . . . 3.3 Téma 3: Limita posloupnosti reálných čísel . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Téma 4: Vyšetřování konvergence číselných řad . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Téma 5: Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Téma 6: Derivace funkce, l’Hospitalovo pravidlo, věty o střední hodnotě
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
53 53 54 55 58 59 63
3
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
3.7
Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Matematická analýza 1b 4.1 Taylorovy polynomy a řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Taylorovy polynomy a věty o zbytku . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Symbol malé o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Taylorovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Číselné řady II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Neabsolutně konvergentní řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Přerovnání řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Součin řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Zobecněné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Integrace racionálních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Některé substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Riemannův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Definice a základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Existence Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Vlastnosti Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Newtonův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Definice a základní vlastnosti .R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 4.6.2 Existence (N ) a vztah k (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Konvergence Newtonova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Věty o střední hodnotě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Metrické prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Definice a základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Kompaktní množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Zajímavost: charakterizace riemannovsky integrovatelných funkcí 4.7.4 Spojitá zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69 69 69 69 70 71 71 71 72 72 73 74 76 76 77 78 78 78 80 80 81 81 82 83 83 83 85 85 88 89 89
5 Proseminář z kalkulu 1b 5.1 Téma 1: Taylorův polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Téma 2: Číselné řady s reálnými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dobrovolná vsuvka: Kummerovo kritérium konvergence řad a jeho důsledky 5.4 Téma 3: Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Pro zajímavost: Nekonečné součiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Téma 4: Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Téma 5: Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Téma 6: Newtonův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Téma 7: Limitní přechody v Riemannově integrálu . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Téma 8: Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Téma 9: Věty o střední hodnotě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Téma 10: Integrální kritérium konvergence řad . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 Téma 11: Integrální tvar zbytku Taylorova polynomu . . . . . . . . . . . . . 5.14 Téma 12: Metrické prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
91 91 92 93 94 95 95 97 98 99 100 100 101 101 101
6 Matematická analýza 1b - cvičení 6.1 Téma 1: Taylorův polynom . . . . . . . . . 6.2 Téma 2: Číselné řady s reálnými členy . . . 6.3 Téma 3: Mocninné řady . . . . . . . . . . . 6.4 Téma 4: Primitivní funkce . . . . . . . . . . 6.5 Téma 6: Určitý integrál . . . . . . . . . . . 6.6 Téma 7: Aplikace určitého integrálu . . . . 6.7 Téma 8: Konvergence Newtonova integrálu
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
103 103 104 105 106 109 110 112
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
6.8
Téma 9: Integrální kritérium konvergence řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6
Kapitola 1
Matematická analýza 1a 1.1 1.1.1
Výroky, důkazové techniky a množiny Výroková a predikátová logika
Definice 1.1.1. Logika je věda o formální správnosti výroků. Výrok je dobře zformulované tvrzení, o kterém má smysl říci, zda je pravdivé nebo není. Příklady.
• Obloha je modrá. (Je výrok.)
• Nový Bydžov je hlavní město Kanady. (Je výrok.) • Ahoj! (Není výrok.) • Kéž by už byl konec hodiny! (Není výrok.) • 2π je iracionální číslo. (Neví se, ale je to výrok.) Definice 1.1.2. Definujeme následující logické spojky a operace: • konjunkce A&B: platí oba výroky A i B zároveň; • disjunkce A ∨ B: platí alespoň jeden z výroků A a B; • implikace A =⇒ B: platí-li výrok A, pak také platí výrok B (říkáme, že A je postačující podmínka pro B a B je nutná podmínka pro A); • ekvivalence A ⇐⇒ B: výrok A platí právě tehdy, když platí výrok B (říkáme, že A je nutná a postačující podmínka pro B); • negace ¬A: výrok A neplatí. Poznámky. (1) Logická spojka nebo (disjunkce) není vylučující, tj. disjunkce zůstává v platnosti i když platí oba výroky A a B. (2) Je-li premisa implikace A nepravdivá, pak implikace platí vždy bez ohledu na platnost důsledku B (jinými slovy, z nepravdivého výroku plyne cokoli). Definice 1.1.3. Výroková funkce V (x1 , . . . , xn ) (též výroková forma nebo predikát) je výraz, z něhož vznikne výrok poté, co do něj dosadíme prvky z daných množin A1 , . . . , An za proměnné x1 , . . . , xn . Příklad. Výroková funkce V (x): x < 3. Pak platí V (2), ale neplatí V (5). Definice 1.1.4. Kvantifikátory: • velký (též všeobecný), značíme ∀, čteme “pro každé”; • malý (též existenční), značíme ∃, čteme “existuje”. Příklad. Obecný zápis ∀x∈M
∃y∈N
∀ a, b ∈ I :
V (x, y, a, b)
čteme “pro každé x ∈ M existuje y ∈ N takové, že pro každé a, b ∈ I platí výrok V (x, y, a, b)” 7
Úmluva 1.1.5. Zápis ∀x ∈ M : V (x) znamená ∀x ∈ M =⇒ V (x) a zápis ∃x ∈ M : V (x) znamená ¬ (∀x ∈ M : ¬V (x)). Poznámka. Výrok • ∀x ∈ M, A(x) : B(x) znamená ∀x ∈ M : A(x) =⇒ B(x); • ∃x ∈ M, A(x) : B(x) znamená ∃x ∈ M : A(x)&B(x); • ∀x ∈ M ∀y ∈ N : V (x, y) znamená ∀x ∈ M (∀y ∈ N : V (x, y)); • ∀x ∈ M ∃y ∈ N : V (x, y) znamená ∀x ∈ M (∃y ∈ N : V (x, y)). Poznámka 1.1.6. Kvantifikátory stejného typu lze libovolně přehazovat, například ∀x ∀y : V (x, y)
⇐⇒
∀y ∀x : V (x, y)
⇐⇒
∀x, y : V (x, y).
Na druhé straně ale kvantifikátory různého typu není možno volně přehazovat, aniž by se změnil smysl výroku. Výrok ∃x ∀y : V (x, y) sice implikuje výrok ∀y ∃ x : V (x, y), ale opačná implikace obecně neplatí. Například výrok ∀y ∈ N ∃x ∈ N : x > y platí, ale ∃y ∈ N ∀x ∈ N : x > y nikoli. Poznámka. Platí: ¬(∀x ∈ M : V (x)) ¬(∃x ∈ M : V (x))
¬(∀x ∈ M, A(x) : B(x))
⇐⇒ ⇐⇒
⇐⇒
∃x ∈ M : ¬V (x); ∀x ∈ M : ¬V (x);
∃x ∈ M : A(x)&¬B(x).
Cvičení. Nechť M je množina osob přítomných v posluchárně a nechť W (x, y) znamená: osoba x zná příjmení osoby y. Zkoumejte platnost výroků ∀x ∈ M ∃y ∈ M : W (x, y);
∀y ∈ M ∃x ∈ M : W (x, y); ∃x ∈ M ∀y ∈ M : W (x, y); ∃y ∈ M ∀x ∈ M : W (x, y).
Příklad. Platí ¬ (∀x ∈ R ∃y ∈ R ∀z ∈ R : (z > y =⇒ z > x))
⇐⇒
(∃x ∈ R ∀y ∈ R ∃z ∈ R : (z > y & z ≤ x)) .
——————–konec přednášky 1:29.9. Luboš Pick———————————————Definice 1.1.7. Zápis ∃ ! x ∈ M : V (x) čteme “existuje právě jedno x ∈ M , pro které platí výrok V (x)”. Příklad: ∀x ≥ 0 ∃ ! y ≥ 0 : y 2 = x. Problém 1.1.8. Znegujte výrok: Každý si rád dá jedno pivo, ale ne vždy a ne v každé hospodě. 8
1.1.2
Základní typy důkazů
• Důkaz přímo: Při důkazu výroku ∀x ∈ M : V (x) postupujeme takto: 1. krok: zvolíme x ∈ M pevné, ale libovolné.
2. krok: postupnými dedukcemi vyvozujeme V (x);
zatímco při důkazu výroku ∃ x ∈ M : V (x) máme dvě možnosti: buď najdeme nějaké x0 ∈ M , pro které platí V (x)
nebo takové x0 ∈ M nenajdeme, ale dokážeme, že alespoň jedno musí existovat.
• Důkaz nepřímo: Místo ∀x ∈ M : V (x) dokážeme ¬V (x) ⇒ x 6∈ M . Podobně místo A ⇒ B dokážeme ¬B ⇒ ¬A. • Důkaz sporem: Chceme dokázat a =⇒ b. Předpokládáme a&¬b a najdeme výrok v tak, že (a&¬b) =⇒ (v&¬v). • Důkaz rozborem případů. ——————–konec přednášky 1:30.9. Jiří Spurný———————————————• Důkaz matematickou indukcí: Při důkazu tvrzení ∀n ∈ N : V (n) dokážeme nejprve V (1) a potom ∀n ∈ N : [V (n) ⇒ V (n + 1)]. Příklady. • Dokažte přímo, nepřímo a sporem následující tvrzení: je-li n ∈ N a n2 je liché, pak také n je liché. • Dokažte indukcí, že každé n ∈ N lze zapsat buď ve tvaru 2k nebo va tvaru 2k − 1 pro nějaké k ∈ N. • Dokažte sporem, že neexistuje žádné racionální číslo x, splňující x2 = 2. Příklady.
• Existují dvě iracionální čísla x, y taková, že xy ∈ Q.
• Existují dvě osoby v této posluchárně, které mají narozeniny ve stejném týdnu. • Existují dvě ženy v Praze, které mají stejný počet vlasů. Problém 1.1.9. Ukažte, že počet všech podmnožin množiny {1, . . . , n} je 2n .
1.1.3
Množiny a množinové operace
Pracujeme v tzv. Zermelo-Frankelově teorii množin dané systémem axiomů. Detaily této teorie sahají hluboko za rámec této přednášky a nebudou zde uvedeny. S objekty teorie množin pracujeme intuitivním (naivním) způsobem. Značení 1.1.10. Budeme používat standardní množinové operace a standardní značení: jsou-li A a B dvě množiny, pak značíme • A ⊂ B nebo A ⊆ B znamená, že množina A je podmnožinou množiny B, tj. [x ∈ A ⇒ x ∈ B]); • A = B (A rovná se B), pokud mají stejné prvky; • prázdnou množinou nazveme množinu neobsahující žádný prvek a značíme ji ∅; T • A ∩ B = {x; x ∈ A & x ∈ B} je průnik množin A a B, obecněji, i∈I Ai = {x; ∀i ∈ I : x ∈ Ai }; S • A ∪ B = {x; x ∈ A ∨ x ∈ B} je sjednocení množin A a B, obecněji, i∈I Ai = {x; ∃i ∈ I : x ∈ Ai }; • jestliže A ∩ B = ∅, řeknem že jsou disjunktní; • A \ B = {x ∈ A; x ∈ / B} je rozdíl A a B; • je-li V (x) výroková forma a A množina, pak B = {x ∈ A : V (x)} značí množinu těch prvků x z A splňujících V (x). 9
Věta 1.1.11 (de Morganova pravidla). Nechť I, X, Ai pro i ∈ I jsou množiny. Pak [ \ \ [ X\ Ai = X \ Ai a X\ Ai = X \ Ai i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Definice 1.1.12. Nechť A1 , . . . , An jsou množiny. • Jejich kartézským součinem rozumíme množinu A1 × · · · × An = {[a1 , . . . , an ]; ∀i ∈ {1, . . . , n} : ai ∈ Ai }, tedy množinu uspořádaných n-tic [a1 , . . . , an ]. • Binární relací R mezi množinami A a B rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu A × B. Obecně značíme buď aRb nebo [a, b] ∈ R a hovoříme o relaci mezi A a B nebo také o relaci z A do B. Příklad. Nerovnost mezi reálnými čísly “ ≤′′ tvoří binární relaci na [0, 1]. Tuto relaci lze také graficky znázornit pomocí horního trojúhelníku ve čtverci [0, 1]2 . Poznámka. Jakákoli výroková funkce V (x, y) na A × B vytváří binární relaci M = {[x, y] ⊂ A × B, V (x, y)} a naopak. Definice 1.1.13. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť M ⊂ A × B je binární relace. Pak relaci M −1 ⊂ B × A definovanou předpisem [x, y] ∈ M −1 ⇐⇒ [y, x] ∈ M nazýváme inverzní relací k relaci M . Příklad. Inverzní relací k relaci ≤ na [0, 1]2 je relace ≥. Definice 1.1.14. Nechť A je množina a nechť M ⊂ A × A je binární relace. Řekneme, že M je • reflexivní, jestliže ∀x ∈ M : [x, x] ∈ M , • symetrická, jestliže [x, y] ∈ M ⇒ [y, x] ∈ M , • transitivní, jestliže ([x, y] ∈ M &[y, z] ∈ M ) ⇒ [x, z] ∈ M , • antisymetrická, jestliže [x, y] ∈ M ⇒ [y, x] 6∈ M , • slabě antisymetrická, jestliže ([x, y] ∈ M &[y, x] ∈ M ) ⇒ x = y. ——————–konec přednášky 2:1.10. Luboš Pick———————————————Definice 1.1.15. Nechť A je množina a nechť M ⊂ A × A je binární relace. Řekneme, že M je • ekvivalence, jestliže je reflexivní, symetrická a transitivní; • částečné uspořádání (někdy jen uspořádání), jestliže je reflexivní, slabě antisymetrická a transitivní; • lineární uspořádání, jestliže je to částečné uspořádání a splňuje, že pro každé dva prvky x, y ∈ A nastává buď [x, y] ∈ M nebo [y, x] ∈ M . Příklady.
• Nechť A je libovolná neprázdná množina. Pak relace rovnost (=) je ekvivalence na A×A.
• Nechť p ∈ N. Pak relace kongruence modulo p, definovaná předpisem m ≡ n (mod p)
⇐⇒
|m − n| je dělitelné číslem p,
je ekvivalence na N × N. • Relace menší nebo rovno než (≤) je lineární uspořádání na R. • Nechť A je množina všech funkcí z intervalu [0, 1] do R a nechť ≤ je relace definovaná předpisem f ≤ g ⇐⇒ ∀x ∈ [0, 1] : f (x) ≤ g(x). pak ≤ tvoří na množině A × A částečné uspořádání, které není lineární. 10
• Je-li X množina a 2X značí množinu všech jejích podmnožin, pak relace R = {[A, B] ∈ 2X × 2X ; A ⊂ B} je částečné uspořádání na 2X , které obecně není lineární. ——————–konec přednášky 2:1.10. Jiří Spurný———————————————Problém 1.1.16. Rozhodněte o platnosti věty: Nechť A, B ⊂ R jsou neprázdné a nechť platí podmínka ∀β > 0 ∃x ∈ A ∀y ∈ B : |x − y| > β. Pak B není omezená.
1.1.4
Zobrazení a funkce
Definice 1.1.17. Binární relaci F ⊂ A × B nazýváme zobrazením neboli funkcí množiny A do množiny B, jestliže platí ∀x ∈ A ∀y1 , y2 ∈ B : ([x, y1 ] ∈ F & [x, y2 ] ∈ F =⇒ y1 = y2 ). Množinu
{x ∈ A; ∃y ∈ B : [x, y] ∈ F }
nazýváme definičním oborem zobrazení (funkce) F a značíme D(F ) (nebo Dom(F )). Množinu {y ∈ B; ∃x ∈ A : [x, y] ∈ F } nazýváme oborem hodnot a značíme H(F ) (nebo Rng(F )). Poznámka. Zobrazení není totéž co předpis, neboť různé předpisy mohou definovat stejné zobrazení. Například zobrazení f : R → R a g : R → R, definované pomocí předpisů p g(x) := |x + 1|, x ∈ R, f (x) := x2 + 2x + 1, splňují f = g.
Definice 1.1.18. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. Pak grafem zobrazení f nazýváme množinu Gf := {z ∈ A × B; ∃ x ∈ A : [x, f (x)] = z} = {[x, f (x)]; x ∈ A} . Poznámky.
• Graf zobrazení f : A → B je binární relací na A × B.
• Mezi grafem a zobrazením rozlišujeme, ačkoli se vzájemně jednoznačně určují. V jiných matematických oborech než v analýze se občas tyto pojmy ztotožňují. • Výrok f (x) = y znamená totéž jako výrok [x, y] ∈ Gf . • Binární relace M ⊂ A × B je grafem nějakého zobrazení právě tehdy, jestliže pro každé x ∈ A existuje nejvýše jedno y ∈ B takové, že [x, y] ∈ M . Cvičení. Nechť A = [0, 1], B = [0, 2]. Rozhodněte, která z následujících relací je grafem nějakého zobrazení: M1 := [x, y] ∈ A × B; x2 + y 2 = 1 ; M2 := {[x, y] ∈ A × B; y − x = 0} ; M3 := [x, y] ∈ A × B; x2 + (y − 1)2 = 1 .
Definice 1.1.19. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. • Nechť M ⊂ A. Pak množinu f (M ) := {y ∈ B; ∃ x ∈ M : f (x) = y} nazýváme obrazem množiny M při zobrazení f . 11
• Nechť P je libovolná množina. Pak množinu f −1 (P ) := {x ∈ A; f (x) ∈ P } nazýváme vzorem množiny P při zobrazení f . Definice 1.1.20. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. (1) Řekneme, že f je prosté (injektivní), jestliže
∀x, y ∈ A : [f (x) = f (y) ⇒ x = y]. (2) Řekneme, že f je na (surjektivní), jestliže ∀y ∈ B ∃ x ∈ A : f (x) = y. (3) Řekneme, že f je bijekce (vzájemně jednoznačné), jestliže je zároveň prosté a na. Poznámka. Abychom mohli říci, zda nějaké zobrazení je na, musí být přesně zadána koncová množina B (takže (2) a (3) můžeme chápat jako vlastnosti zobrazení f a množiny B). Definice 1.1.21. • Nechť A a B jsou dvě množiny, nechť f : A → B je zobrazení a nechť C ⊂ A. Pak zobrazení g : C → B, definované předpisem g(x) = f (x),
x ∈ C,
nazýváme restrikcí (zúžením nebo parcializací) zobrazení f na množinu C. • Nechť A, B, C jsou tři množiny a nechť f : A → B, g : B → C jsou dvě zobrazení. Pak zobrazení g ◦ f : A → C, definované předpisem (g ◦ f )(x) := g(f (x)),
x ∈ A,
nazýváme složeným zobrazením (složením zobrazení f a g), přičemž g nazýváme vnějším zobrazením a f nazýváme vnitřním zobrazením. Poznámka. Skládání zobrazení je asociativní operace, ale není komutativní (cvičení). Definice 1.1.22. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je prosté. Pak zobrazení f −1 : f (A) → A, definované předpisem f −1 (y) = x
⇐⇒
y = f (x),
x ∈ A, y ∈ f (A),
nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f . Poznámky. • K neprostému zobrazení nelze definovat inverzní zobrazení (lze definovat inverzní binární relaci, ta ale nebude zobrazením). Příkladem je funkce y = x2 pro x ∈ R a y ∈ [0, ∞). • Ve smyslu binárních relací platí G−1 f = Gf −1 .
——————–konec přednášky 3:6.10.2009 Luboš Pick———————————————Příklady. • Inverzním zobrazením k zobrazení f : x 7→ log x, x ∈ (0, ∞), je zobrazení f −1 : y 7→ exp y, y ∈ R. • Zobrazení f : x 7→ sin x, není prosté na množině R a tedy nelze definovat zobrazení k němu inverzní. Lze však toto zobrazení zúžit na množinu [− π2 , π2 ]. Tato restrikce již prostá je a lze definovat inverzní zobrazení f −1 : y 7→ arcsin y, y ∈ [−1, 1].
Příklad. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. Pak
• f je prosté právě tehdy, když rovnice f (x) = y má pro každé y ∈ B nejvýše jedno řešení;
• f je na právě tehdy, když rovnice f (x) = y má pro každé y ∈ B alespoň jedno řešení; • f je bijekce právě tehdy, když rovnice f (x) = y má pro každé y ∈ B právě jedno řešení.
Problém 1.1.23. Necht f : A → C a g : A → B splňují g(A) = B. Najděte nutnou a postačující podmínku pro existenci zobrazení h : B → C splňující f = h ◦ g. 12
1.2 1.2.1
Reálná a komplexní čísla Reálná čísla
Intuitivně budeme zacházet s množinami N, Z, Q. Axiomaticky si zavedeme R. Množinu reálných čísel R lze popsat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání (≤), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Axiom suprema I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah • ∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání), • ∀x, y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),
• ∃w ∈ R ∀x ∈ R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek), • ∀x ∈ R ∃z ∈ R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho −x), • ∀x, y, z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativita násobení),
• ∀x, y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),
• ∃v ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : v · x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), • ∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x−1 nebo
1 x ),
• ∀x, y, z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita). II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení
• ∀x, y, z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) =⇒ x ≤ z (tranzitivita),
• ∀x, y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) =⇒ x = y (slabá antisymetrie),
• ∀x ∈ R : x ≤ x (reflexivita), • ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x,
• ∀x, y, z ∈ R : x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z,
• ∀x, y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y) =⇒ 0 ≤ x · y. Značení 1.2.1. • Označení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x. Symbolem x < y budeme značit situaci, kdy x ≤ y, ale x 6= y (tzv. ostrá nerovnost). • Reálná čísla, pro něž x > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). • Reálná čísla, pro něž x ≥ 0 (resp. x ≤ 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). Definice 1.2.2. • Řekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola, jestliže existuje číslo a ∈ R takové, že pro každé x ∈ M platí x ≥ a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množiny M . • Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. • Řekneme, že množina M ⊂ R je omezená, je-li omezená shora i zdola. Definice 1.2.3. Nechť M ⊂ R. Číslo s ∈ R splňující • ∀x ∈ M : x ≤ s, • ∀s′ ∈ R, s′ < s ∃x ∈ M : x > s′ , 13
nazýváme supremem množiny M . Poznámka. Nechť M ⊂ R. Má-li množina M supremum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej sup M. Definice 1.2.4. Nechť M ⊂ R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M , jestliže a ∈ M a a je horní závorou množiny M . Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M . Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a min M . III. Axiom suprema • Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má supremum. Věta 1.2.5 (Existence a jednoznačnost R). Existuje čtveřice (R, +, ·, ≤) splňující podmínky I–III, při˜ ⊕, ⊙, ≤∗ ) čemž je těmito podmínkami určena jednoznačně v následujícím smyslu. Pokud čtveřice (R, ˜ splňuje mutatis mutandis podmínky I–III, pak existuje bijekce ϕ : R → R taková, že pro každé x, y ∈ R platí • ϕ(x + y) = ϕ(x) ⊕ ϕ(y), • ϕ(x · y) = ϕ(x) ⊙ ϕ(y), • x ≤ y =⇒ ϕ(x) ≤∗ ϕ(y). ——————–konec přednášky 3:7.10.2009 Jiří Spurný———————————————Definice 1.2.6. Nechť M ⊂ R. Číslo i ∈ R splňující • ∀x ∈ M : x ≥ i, • ∀i′ ∈ R, i′ > i ∃x ∈ M : x < i′ , nazýváme infimem množiny M . Poznámka. Nechť M ⊂ R. Má-li množina M infimum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej inf M . Definice 1.2.7. Nechť −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Pak otevřeným intervalem (a, b) nazýváme množinu (a, b) := {x ∈ R, a < x < b} . Obdobně definujeme uzavřený interval [a, b] a polouzavřené intervaly [a, b) a (a, b] předpisem • [a, b] := {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} pro −∞ < a < b < ∞, • [a, b) := {x ∈ R; a ≤ x < b} pro −∞ < a < b ≤ ∞, • (a, b] := {x ∈ R; a < x ≤ b} pro −∞ ≤ a < b < ∞. Ve všech případech nazýváme bod a počátečním bodem a bod b koncovým bodem intervalu. Poznámky. • V definici intervalu vždy předpokládáme, že počáteční bod je ostře menší než koncový bod. Takže množinu [a, a] = {a} nepovažujeme za interval. Literatura není v tomto bodě jednotná, v některých pramenech se tato množina považuje za interval, který se někdy označuje termínem degenerovaný. • Počáteční nebo koncový bod nemusí být prvkem intervalu. Může být prvkem intervalu tehdy, jestliže to není jedno z nekonečen. Věta 1.2.8 (Existence infima). Nechť M ⊂ R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M . Věta 1.2.9 (Existence celé části). Pro každé r ∈ R existuje právě jedno číslo k ∈ Z takové, že k ≤ r < k + 1. Věta 1.2.10 (Archimédova vlastnost R). Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splňující x < n. 14
——————–konec přednášky 4:8.10.2009 Luboš Pick———————————————Věta 1.2.11 (Hustota Q). Nechť a, b ∈ R, a < b. Pak existuje q ∈ Q takové, že a < q < b. Věta 1.2.12 (Existence n-té odmocniny). Pro každé n ∈ N a x ∈ R, x ≥ 0, existuje právě jedno y ∈ R, y ≥ 0, splňující y n = x. Definice 1.2.13. Pro reálné číslo x ∈ R definujeme absolutní hodnotu |x| := max {x, −x} Poznámka. Absolutní hodnota splňuje takzvanou trojúhelníkovou nerovnost: ∀ x, y, z ∈ R : |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Problém 1.2.14. Nechť A ⊂ R je omezená a neprázdná. Pak platí sup A − inf A = sup{x − y; x, y ∈ A}. ——————–konec přednášky 4:8.10. Jiří Spurný———————————————-
1.2.2
Komplexní čísla
Definice 1.2.15. Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, přičemž pro komplexní čísla x = (a, b), y = (c, d) definujeme operace sčítání a násobení takto • x + y = (a + c, b + d), • x · y = (ac − bd, ad + bc). Dále definujeme 0 = (0, 0), 1 = (1, 0) (sic!) a i = (0, 1). Nechť x = (a, b) ∈ C. • Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. √ • Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a2 + b2 . • Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = (a, −b); symbol −x značí číslo (−a, −b) a symbol 1/x značí pro x 6= 0 (jednoznačně určené) číslo splňující x · x1 = 1. Poznámka. Absolutní hodnota splňuje takzvanou trojúhelníkovou nerovnost: ∀ x, y, z ∈ C : |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Problém 1.2.16. Nechť An ⊂ C, n ∈ N, jsou množiny. Pak platí {z ∈ C; {n ∈ N; z ∈ / An } je konečná} = {z ∈ C; {n ∈ N; z ∈ An } není konečná} =
1.3
∞ \ ∞ [
n=1 k=n ∞ ∞ [ \
Ak , Ak .
n=1 k=n
Mohutnosti množin
Definice 1.3.1. B.
• Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost, jestliže existuje bijekce A na
• Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. 15
Definice 1.3.2. Nechť X je množina, množinu 2X = exp X = {A; A ⊂ X} nazýváme potenční množinou množiny X (nebo potencí množiny X). Věta 1.3.3 (Cantor–Bernstein). Nechť A, B jsou množiny takové, že A má mohutnost menší nebo rovnu než B a B má mohutnost menší nebo rovnu než A. Pak mají stejnou mohutnost. Věta 1.3.4 (Cantor). Nechť X je množina. Pak neexistuje zobrazení ϕ : X → exp X, které je na. Definice 1.3.5. Řekneme, že množina X je nekonečná, jestliže má stejnou mohutnost jak nějaká její vlastní podmnožina. V opačném případě říkáme, že X je konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jako N. Nekonečná množina, která není spočetná, se zove nespočetná. Příklady. Tato fakta nebudou na přednášce dokazována: • Je-li A neprázdná množina, je A konečná právě tehdy, když existuje n ∈ N tak, že A má stejnou mohutnost jako {1, . . . , n}. • Množiny N a N × N jsou spočetné. Jakákoli nekonečná podmnožina N je také spočetná. • Množina racionálních čísel Q je spočetná. • Množiny R, (0, 1), exp N jsou nespočetné. Navíc mají všechny tyto tři množiny stejnou mohutnost. Problém 1.3.6. Nechť f : N → N. Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení: • Je-li f (N) konečná, není f prosté; • Je-li f (N) nekonečná, je f prosté; • Je-li N \ f (N) = ∅, je f prosté; • Je-li f prosté, je N \ f (N) = ∅. ——————–konec přednášky 5:13.10. Luboš Pick———————————————-
1.4 1.4.1
Limity posloupností reálných čísel Úvod
Definice 1.4.1. Posloupností reálných čísel nazýváme jakékoli zobrazení z množiny N do množiny R. ∞ Posloupnost obvykle značíme symbolem {an }, případně {an }n=1 nebo {an }n∈N . Pro každé konkrétní n ∈ N nazýváme reálné číslo an n-tým členem posloupnosti {an }. Příklady.
• an =
n n−1 ,
n ∈ N \ {1};
• Fibonacciho posloupnost 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . je dána rekurentním předpisem a1 = 1,
a2 = 1,
∀ n ∈ N, n ≥ 3 : an = an−2 + an−1 .
• Look and say sequence: 1, 11, 21, 1211, 111221, . . . Definice 1.4.2. Nechť {an } je posloupnost reálných čísel. Říkáme, že {an } je omezená, jestliže je množina {an ; n ∈ N} je omezená v R. Říkáme, že {an } je neklesající, jestliže ∀ n ∈ N : an ≤ an+1 . Analogicky definujeme posloupnost zdola omezenou, shora omezenou, nerostoucí, klesající, rostoucí a monotónní. 16
1.4.2
Vlastní limita posloupnosti
Definice 1.4.3. Nechť {an } je posloupnost reálných čísel a A ∈ R. Řekneme, že A je vlastní limitou posloupnosti {an }, jestliže ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
|an − A| < ε.
Značíme limn→∞ an = A, lim an = A nebo an → A. Poznámka. Pro posloupnost {an } jsou následující výroky ekvivalentní: (i) lim an = A, (ii) ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N
∀n > n0 , n ∈ N :
|an − A| < ε,
(iii) ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
|an − A| ≤ ε,
(iv) ∃ε0 > 0 ∀ ε ∈ (0, ε0 ) ∃ n0 ∈ N (v) ∀ ε > 0 :
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
|an − A| < ε,
{n ∈ N; an 6∈ (A − ε, A + ε)} je konečná.
Následující tvrzení ukazuje důležitý a užitečný fakt, že v definici limity můžeme |an − A| < ε nahradit například |an − A| < 2ε nebo |an − A| < Kε, kde K je nějaká konstanta. Tvrzení 1.4.4. Nechť K > 0, nechť {an } je posloupnost, nechť A ∈ R a platí ∀ε>0
∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
|an − A| < Kε.
Potom lim an = A.
n→∞
——————–konec přednášky 5:15.10.2009 Jiří Spurný———————————————Definice 1.4.5. Jestliže existuje A ∈ R tak, že limn→∞ an = A, pak říkáme, že posloupnost {an } má vlastní limitu nebo že konverguje (je konvergentní). V opačném případě říkáme, že posloupnost diverguje. Poznámka. Není-li posloupnost definována pro konečně mnoho indexů n ∈ N, při vyšetřování limity ji dodefinujeme jakkoliv a zkoumáme existenci limity pro tuto novou posloupnost. (1) limn→∞ n1 = 0; √ √ n + 1 − n = 0; (2) limn→∞ √ (3) limn→∞ n n = 1; ——————–konec přednášky 6:15.10 Luboš Pick———————————————-
Příklady.
(4) vlastní limita {(−1)n } a {2n } neexistuje. Věta 1.4.6 (O jednoznačnosti limity posloupnosti). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Věta 1.4.7 (O omezenosti konvergentní posloupnosti). Každá konvergentní posloupnost je omezená. Definice 1.4.8. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že posloupnost {bk }k∈N je vybraná z posloupnosti {an }n∈N neboli, že posloupnost {bk }k∈N je podposloupnost posloupnosti {an }n∈N , jestliže existuje rostoucí posloupnost přirozených čísel {nk } taková, že bk = ank pro všechna k ∈ N. Věta 1.4.9 (O limitě vybrané posloupnosti). Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel a nechť limn→∞ an = A. Nechť posloupnost {bk }k∈N je vybraná z posloupnosti {an }n∈N . Pak limk→∞ bk = A. Věta 1.4.10 (Aritmetika limit). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť limn→∞ an = A ∈ R a limn→∞ bn = B ∈ R. Pak platí: (a) limn→∞ (an + bn ) = A + B, (b) limn→∞ (an · bn ) = A · B, (c) je-li B 6= 0, pak limn→∞
an bn
=
A B.
17
• Dokažte, že platí implikace limn→∞ an = A
Cvičení.
⇒
limn→∞ |an | = |A|.
• Platí opačná implikace? • Platí opačná implikace ve speciálním případě, kdy A = 0? Věta 1.4.11 (O limitě a uspořádání). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť limn→∞ an = A ∈ R a limn→∞ bn = B ∈ R. (a) Jestliže A < B, potom ∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n 0 : an < b n .
∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n 0 : an ≥ b n ,
(b) Jestliže pak A ≥ B. Poznámka. Z nerovnosti ∀ n ≥ n 0 : an > b n
∃ n0 ∈ N
obecně neplyne A > B. Příkladem jsou posloupnosti {an } = { n1 }n∈N a {bn } = 0, 0, 0, . . ., pro které platí ∀ n ∈ N : an > bn , ale limn→∞ an = limn→∞ bn = 0. Věta 1.4.12 (O dvou policajtech). Nechť {an }n∈N , {bn }n∈N a {cn }n∈N jsou tři posloupnosti reálných čísel, splňující (i) ∃ n0 ∈ N
∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn ,
(ii) limn→∞ an = lim bn = A ∈ R. Pak lim cn = A. ——————–konec přednášky 6: 21.10 Jiří Spurný—————————————————————–konec přednášky 7: 15.10. Luboš Pick———————————————Příklad. Nechť a ∈ R, a > 0. Pak
lim
n→∞
√ n
a = 1.
Věta 1.4.13 (O limitě součinu omezené a mizející posloupnosti). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel, nechť limn→∞ an = 0 a {bn } je omezená. Pak lim (an · bn ) = 0.
n→∞
1.4.3
Nevlastní limita posloupnosti
Definice 1.4.14. Řekneme, že posloupnost {an } má limitu +∞, jestliže ∀K∈R
∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
an ≥ K.
Obdobně řekneme, že posloupnost {an } má limitu −∞, jestliže ∀K∈R
∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
an ≤ K.
Jestliže má posloupnost limitu +∞ nebo −∞, pak říkáme, že má nevlastní limitu. Příklady. lim n2 = +∞,
n→∞
lim −(n + 1)n = −∞.
n→∞
18
Poznámka. Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu: neexistuje vlastní ( limita posloupnosti existuje +∞ nevlastní −∞ Definice 1.4.15. Množinu
R∗ := R ∪ {+∞, −∞}
nazýváme rozšířenou reálnou osou. Na množině R∗ je definováno uspořádání předpisem ∀a∈R:
−∞ < a < +∞,
absolutní hodnota předpisem | ± ∞| = +∞
a operace + a · předpisy
∀ a ∈ R∗ \ {+∞} : ∀ a ∈ R∗ \ {−∞} :
− ∞ + a = −∞, ∞ + a = ∞,
∀ a ∈ R∗ , a > 0 :
a · (±∞) = ±∞,
∗
∀a∈R , a<0:
a · (±∞) = ∓∞, a = 0. ±∞
∀a∈R: Následující výrazy nejsou definovány: −∞ + ∞,
cokoli . 0
±∞ , ±∞
0 · (±∞) ,
Nyní se budeme zabývat platností vět v této kapitole v případě, že připustíme nevlastní limity. Poznámka 1.4.16. Věty 1.4.6, 1.4.9, 1.4.11 a 1.4.12 platí v nezměněné podobě, jestliže připustíme nevlastní limity. Věta 1.4.7 zřejmě neplatí, neboť je-li limn→∞ an = ∞ nebo limn→∞ an = −∞, pak posloupnost {an } není omezená. Větu 1.4.10 pro rozšířenou reálnou osu uvedeme zvlášť. Věta 1.4.17 (Aritmetika limit pro nevlastní limity). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť limn→∞ an = A ∈ R∗ a limn→∞ bn = B ∈ R∗ . Pak platí: (a) limn→∞ (an + bn ) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) limn→∞ (an · bn ) = A · B, pokud je výraz A · B definován; (c) je-li B 6= 0, pak limn→∞
an bn
=
A B,
pokud je výraz
A B
definován.
Příklady. Předpoklad definovanosti výrazů na pravé straně ve Větě 1.4.17 nelze vynechat, jak ilustrují následující příklady. • Nechť K ∈ R je libovolné reálné číslo, nechť an = n a bn = n + K. Pak lim an = ∞,
n→∞
lim bn = ∞ a
n→∞
lim (an − bn ) = K.
n→∞
To ale není možno vyvodit z Věty 1.4.17, neboť limn→∞ an − limn→∞ bn = ∞ − ∞, což není definovaný pojem. • Nechť an =
(−1)n n .
Pak limn→∞ an = 0, ale limn→∞
1 an
neexistuje ani nevlastní.
Rozšířená reálná osa nám umožní rozšířit pojem suprema a infima pro neomezené množiny a také pro prázdnou množinu. Definice 1.4.18.
• Nechť A ⊂ R je shora neomezená. Pak klademe sup A := +∞.
• Nechť A ⊂ R je zdola neomezená. Pak klademe inf A := −∞. 19
• Nechť A = ∅. Pak klademe sup A := −∞ a inf A := +∞. Poznámka. Prázdná množina je jediná množina, jejíž supremum je menší než infimum. Věta 1.4.19 (O limitě podílu kladné a mizející posloupnost). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel, nechť limn→∞ an = A ∈ R∗ , A > 0, a nechť limn→∞ bn = 0. Nechť ∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n0 , n ∈ N :
Pak lim
n→∞
1.4.4
bn > 0.
an = +∞. bn
Monotónní posloupnosti a hlubší věty o posloupnostech
Věta 1.4.20 (O limitě monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu. Poznámka. Je-li posloupnost neklesající (nerostoucí) a navíc shora (zdola) omezená, pak má vlastní limitu. Je-li posloupnost neklesající (nerostoucí) a navíc shora (zdola) neomezená, pak má limitu +∞ (−∞). ——————–konec přednášky 8: 20.10. Luboš Pick———————————————Definice 1.4.21. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme ( limn→∞ sup{ak ; k ≥ n}, jestliže je an shora omezená lim sup an := ∞, jestliže je an shora neomezená. Tuto hodnotu nazýváme limes superior posloupnosti {an }n∈N . Obdobně definujeme limes inferior posloupnosti {an }n∈N předpisem ( limn→∞ inf{ak ; k ≥ n}, jestliže je an zdola omezená lim inf an := −∞, jestliže je an zdola neomezená. Poznámka. • Je-li {an } omezená, pak posloupnost bn = sup{ak ; k ≥ n}, n ∈ N, je zřejmě nerostoucí a podobně posloupnost cn = inf{ak ; k ≥ n} je neklesající. Z Věty 1.4.20 tedy vyplývá, že obě mají limitu. Navíc cn ≤ an ≤ bn , n ∈ N. Tedy lim inf an ≤ lim sup an .
• Rovnost lim inf an ≤ lim sup an platí i pro obecné posloupnosti. • Je-li lim sup an = ∞, pak {an } je shora neomezená. Poznámka. Limes superior a limes inferior jsou dobře definované hodnoty a platí lim sup an ∈ R∗ ,
lim inf an ∈ R∗ .
Na rozdíl od limity, která nemusí existovat, tyto dvě hodnoty existují pro libovolnou posloupnost reálných čísel. Cvičení. Nechť an = (−1)n , n ∈ N. Pak lim sup an = 1 a lim inf an = −1. Věta 1.4.22 (O vztahu limity, limes superior a limes inferior). Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel a A ∈ R∗ . Potom lim an = A právě tehdy, když lim sup an = lim inf an = A. ——————–konec přednášky 7: 22.10. Jiří Spurný———————————————20
Poznámka 1.4.23. Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel. Potom lim inf an + lim inf bn ≤ lim inf(an + bn ) ≤ lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn , pokud mají výrazy smysl. Definice 1.4.24. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Pak A ∈ R∗ nazveme hromadnou hodnotou posloupnosti {an }, jestliže existuje vybraná posloupnost {ank }k∈N taková, že limk→∞ ank = A. Množinu všech hromadných hodnot značíme H({an }). Věta 1.4.25 (O vztahu limes superior, limes inferior a hromadných hodnot). Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Potom H({an }) 6= ∅, lim sup an = max H({an }) a lim inf an = min H({an }) (maximum a minimum se uvažuje v R∗ ). Cvičení.
• Je-li lim an = A, pak H({an }) = {A}.
• Pro an = (−1)n je H({an }) = {−1, 1}. • Pro an = sin n je H({an }) = [−1, 1] (možná bude na prosemináři). Věta 1.4.26 (Bolzanova–Weierstrassova). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. ——————–konec přednášky 9: 22.10. Luboš Pick———————————————Věta 1.4.27 (Bolzanova–Cauchyova podmínka). Posloupnost {an } má vlastní limitu právě když splňuje Bolzanovu–Cauchyovu podmínku, tj. ∀ ε>0
∃ n0 ∈ N
∀ m, n ∈ N, n ≥ n0 , m ≥ n0 :
|an − am | < ε.
Problémy 1.4.28. • Rozhodněte o platnosti tvrzení: Je-li {an } konvergentní, pak existuje max{an ; n ∈ N} nebo min{an ; n ∈ N}. • Nechť {an } je posloupnost kladných čísel konvergující k 0. Dokažte, že existuje vybraná klesající podposloupnost. • Nechť dvě ze tří posloupností {an }, {bn } a {an + bn } konvergují. Ukažte, že i zbývající konverguje. • Sestrojte posloupnost kladných čísel {an } tak, že lim an = 0 a posloupnost {an+k }∞ n=1 není monotónní pro každé k ∈ N. • Nechť lim an = a, a ∈ R∗ a f : N → N je prosté. Ukažte, že lim af (n) = a. • Sestrojte konvergentní posloupnost {an } tak, že pro každé ε ∈ (0, ∞) existuje k ∈ N splňující |a2 − a1 | + |a3 − a2 | + · · · + |ak − ak−1 | > ε. • Najděte kladná čísla an,k , n, k ∈ N, tak, že lim an,k = 0,
k ∈ N,
lim an,k = 1,
n ∈ N.
n→∞ k→∞
1.5 1.5.1
Řady reálných čísel Úvod
Definice 1.5.1. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Číslo sm = a 1 + a 2 + · · · + a m P P∞ nazýváme m-tým částečným součtem řady ∞ n=1 an . Součtem nekonečné řady n=1 an nazýváme limitu posloupnosti {s } , pokud tato limita existuje. Tuto limitu (tj. součet řady) budeme značit symbolem m m∈N P∞ a . Píšeme n n=1 ∞ X an = lim sm . n=1
m→∞
21
P∞ Jestliže existuje limm→∞ sm vlastní (tj. jestliže má řada n=1 an konečný součet), pak říkáme, že řada konverguje, neboli je konvergentní. Jestliže limita neexistuje nebo existuje, ale je nevlastní, pak říkáme, že řada diverguje, neboli je divergentní. P∞ Cvičení 1.5.2. • Řada n=1 (−1)n diverguje, neboť posloupnost částečných součtů splňuje s1 = −1,
s2 = 0,
s3 = −1,
...,
a tedy limm→∞ sm neexistuje. P n−1 • Řada ∞ konverguje právě když |q| < 1. n=1 q P∞ 2 • Řada n=1 n12 konverguje a jejím součtem je číslo π6 . P∞ • Řadu n=1 n1 nazýváme harmonickou řadou. Harmonická řada diverguje, neboť pro každé m ∈ N 1 , a tedy jest sm = 1 + 21 + 31 + · · · + m s2m − sm =
1 1 1 1 1 + + ···+ ≥m = , m+1 m+2 2m 2m 2
m ∈ N,
takže posloupnost částečných součtů harmonické řady nesplňuje Bolzanovu–Cauchyovu podmínku, a tedy podle Věty 1.4.27 nemá vlastní limitu.
Poznámka. Konvergence P řady nezávisí na konečně mnoha členech. Přesněji, následující podmínky jsou ekvivalentní pro řadu an : P∞ (i) n=1 an konverguje; P (ii) existuje k ∈ N, že ∞ n=k an konverguje; P∞ (iii) pro každé k ∈ N řada n=k an konverguje. P∞ Věta 1.5.3 (Nutná podmínka konvergence). Je-li n=1 an konvergentní, pak limn→∞ an = 0. ——————–konec přednášky 8: 29.10. Jiří Spurný———————————————Poznámka. Nutná podmínka z Věty 1.5.3 sama o sobě není postačující pro konvergenci řady. Protipříkladem je harmonická řada, případně další řady jako například ∞ X
∞ X 1 √ , n n=1
1 log n n=2
a podobně. Tyto řady sice divergují, ale limita obecného členu an je ve všech případech rovna nule. Věta 1.5.4 (Linearita množiny konvergentních řad). ∞ X
n=1
an
konverguje
⇔
∞ X
n=1
α · an
konverguje.
P∞ P∞ an konverguje a α ∈ R, pak n=1 αan = α n=1 an . P∞ P∞ P∞ P∞ (b) Nechť P řady n=1 aP n a n=1 bn konvergují. Pak konverguje také řada n=1 (an + bn ) a platí n=1 (an + ∞ ∞ bn ) = n=1 an + n=1 bn . P Poznámka 1.5.5. Nechť ∞ n=1 an je řada s nezápornými členy. Pak je buď konvergentní nebo má součet +∞. To plyne ihned z toho, že pro řadu s nezápornými členy je posloupnost částečných součtů neklesající. P∞ P∞ Věta 1.5.6 (Srovnávací kritérium pro konvergenci řad). Nechť n=1 an a n=1 bn jsou dvě řady s nezápornými členy. Nechť existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0 platí an ≤ bn . Potom P∞ P∞ (a) n=1 bn konverguje, pak n=1 an konverguje, P∞ P∞ (b) n=1 bn diverguje. n=1 an diverguje, pak Pokud
P∞
(a) Nechť α ∈ R \ {0}. Potom
n=1
22
Věta 1.5.7 (Limitní srovnávací kritérium pro konvergenci řad). Nechť s nezápornými členy. Nechť an = K ∈ R∗ . lim bn
P∞
n=1
an a
P∞
n=1 bn
jsou dvě řady
(a) Jestliže K ∈ (0, ∞), pak ∞ X
an
∞ X
bn
∞ X
an
konverguje
⇔
n=1
∞ X
bn
konverguje.
∞ X
an
konverguje.
∞ X
bn
konverguje.
n=1
(b) Jestliže K = 0, pak konverguje
⇒
n=1
n=1
(c) Jestliže K = ∞, pak konverguje
⇒
n=1
n=1
——————–konec přednášky 10: 27.10. Luboš Pick———————————————P∞ Definice 1.5.8.P Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných číselPa nechť řada n=1 |an | konverguje. Pak P∞ ∞ ∞ říkáme, že řada n=1 an konverguje absolutně. Jestliže řada a konverguje a řada |a | n=1 n n=1 n neP konverguje, pak říkáme, že řada ∞ a konverguje neabsolutně. n=1 n P∞ (−1)n Příklad 1.5.9. • Řada n=1 n konverguje neabsolutně. • Řada
P∞
n=1
(−1)n n2
konverguje absolutně.
Věta 1.5.10 (Bolzanova–Cauchyova podmínka pro řady). Řada ∀ε>0
∃ n0 ∈ N
P∞
an konverguje právě tehdy, když m X ak < ε.
n=1
∀ m, n ∈ N, m ≥ n ≥ n0 :
k=n
Věta 1.5.11 (Vztah absolutní konvergence a konvergence). Absolutně konvergentní řada je konvergentní. P P Problém 1.5.12. Dokažte, že an je absolutně konvergentní právě tehdy, když je řada an bn absolutně konvergentní pro každou omezenou posloupnost {bn }.
1.5.2
Kritéria konvergence řad
Věta 1.5.13 (Cauchyovo odmocninové kritérium). Nechť (a) Jestliže platí pak
P∞
∃ q ∈ (0, 1)
∃ n0 ∈ N
P∞
n=1
an je řada.
∀ n ∈ N, n ≥ n0 :
p n |an | ≤ q,
an konverguje absolutně; p P (b) jestliže lim sup n |an | < 1, pak ∞ n=1 an konverguje absolutně; p P ∞ (c) jestliže lim n |an | < 1, pak n=1 an konverguje absolutně; p P (d) jestliže lim sup n |an | > 1, pak {an } nekonverguje k 0, a proto ∞ n=1 an diverguje; p P∞ (e) jestliže limn→∞ n |an | > 1, pak {an } nekonverguje k 0, a tedy n=1 an diverguje. p P∞ Poznámka. Je-li limn→∞ n P |an | = 1, pak o konvergenci řady n=1 an nelze rozhodnout. Příkladem ∞ 1 je harmonická řada a řada n=1 n2 ; první z nich diverguje a druhá konverguje, avšak obě splňují p n limn→∞ |an | = 1. n=1
23
Věta 1.5.14 (d’Alembertovo podílové kritérium). Nechť (a) Jestliže platí ∃ q ∈ (0, 1)
P∞
n=1
an je řada. |an+1 | ≤ q, |an |
∀ n ∈ N, n ≥ n0 :
∃ n0 ∈ N
P∞
an konverguje absolutně; P | < 1, pak ∞ (b) jestliže lim sup |a|an+1 n=1 an konverguje absolutně; n| pak
n=1
(c) jestliže limn→∞
|an+1 | |an |
< 1, pak
(d) jestliže limn→∞
|an+1 | |an |
> 1, pak {an } nekonverguje k 0, a tedy
P∞
n=1
an konverguje absolutně; P∞
n=1
an diverguje.
——————–konec přednášky 9: 4.11. Jiří Spurný———————————————P Poznámky. • Je-li limn→∞ aan+1 = 1, pak o konvergenci řady ∞ n=1 an nelze rozhodnout (protipřín klady jako v poznámce po Větě 1.5.13). P∞ • Je-li pouze lim supn→∞ aan+1 > 1, pak o konvergenci n=1 an nelze rozhodnout; příkladem je řada n 1+
která konverguje, ale lim supn→∞
an+1 an
1 1 1 1 + + + + ..., 4 2 16 8
= 2.
Věta 1.5.15 (Cauchyovo kondenzační kritérium). Nechť
Potom
∞ X
an
∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n0 :
konverguje
⇔
n=1
Věta 1.5.16 (Konvergence řad
P∞
1 n=1 nα
konverguje právě tehdy, když α > 1. (b) Řada
a
P∞
P∞
n=1
an je řada s nezápornými členy. Nechť
an+1 ≤ an .
∞ X
2n a2n
konverguje.
n=1
1 n=1 n(log n)α ).
(a) Řada
∞ X 1 nα n=1
∞ X
1 n(log n)α n=2 konverguje právě tehdy, když α > 1.
Poznámka. Obecnou mocninu a logaritmus definujeme později. P∞ Věta 1.5.17 (Raabeovo kritérium). . Nechť n=1 an je řada s kladnými členy. P∞ n (a) Jestliže limn→∞ n aan+1 − 1 > 1, pak n=1 an konverguje; P∞ n − 1 < 1, pak n=1 an diverguje. (b) Jestliže limn→∞ n aan+1 P∞ n − 1 = 1, pak o konvergenci řady n=1 an nelze rozhodnout (protiPoznámka. Je-li limn→∞ n aan+1 příklady jako v poznámce po Větě 1.5.13). ——————–konec přednášky 11: 29.10. Luboš Pick———————————————VětaP1.5.18 (Leibnizovo kritérium). Nechť {bn }n∈N je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Pak ∞ řada n=1 (−1)n bn konverguje právě když limn→∞ bn = 0. P Problém 1.5.19. Nechť P an je konvergentní řada kladných čísel. Najděte posloupnost {bn } kladných bn konverguje. čísel tak, že lim abnn = 0 a 24
1.6
Reálné funkce jedné reálné proměnné
1.6.1
Základní definice
Definice 1.6.1. Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení f : M → R, kde M ⊂ R. • Řekneme, že funkce f : M → R je rostoucí klesající
jestliže jestliže
nerostoucí
jestliže
neklesající
jestliže
∀ x, y ∈ M, x > y : ∀ x, y ∈ M, x > y :
f (x) > f (y), f (x) < f (y),
∀ x, y ∈ M, x > y :
f (x) ≥ f (y).
∀ x, y ∈ M, x > y :
f (x) ≤ f (y),
• Řekneme, že funkce f : M → R je sudá lichá
jestliže jestliže
periodická s periodou p > 0
jestliže
∀x∈M : ∀x∈M :
−x ∈ M & f (x) = f (−x), −x ∈ M & f (x) = −f (−x),
∀ x ∈ M : x − p ∈ M, x + p ∈ M & f (x) = f (x + p) = f (x − p).
——————–konec přednášky 10: 5.11. Jiří Spurný———————————————• Řekneme, že funkce f : M → R je shora omezená zdola omezená
jestliže jestliže
omezená
jestliže
∃K ∈R ∃K ∈R
∃K ∈R
∀x∈M : ∀x∈M :
∀x∈M :
f (x) ≤ K, f (x) ≥ K,
|f (x)| ≤ K.
Definice 1.6.2. Nechť a ∈ R a δ > 0. Pak definujeme prstencové (redukované) okolí bodu a prstencové (redukované) okolí bodu + ∞ prstencové (redukované) okolí bodu − ∞ pravé prstencové (redukované) okolí bodu a levé prstencové (redukované) okolí bodu a
P δ (a) := (a − δ, a + δ) \ {a}, 1 P δ (∞) := ( , +∞), δ 1 δ P (−∞) := (−∞, − ), δ δ P+ (a) := (a, a + δ),
δ P− (a) := (a − δ, a),
U δ (a) := (a − δ, a + δ),
okolí bodu a okolí bodu + ∞
U δ (+∞) := P δ (+∞),
pravé okolí bodu a
δ U+ (a) := [a, a + δ),
U δ (−∞) := P δ (−∞),
okolí bodu − ∞
δ U+ (a) := (a − δ, a].
levé okolí bodu a
Poznámka. Každé okolí bodu +∞ je automaticky levé a prstencové. Obdobně, každé okolí bodu −∞ je automaticky pravé a prstencové. Definice 1.6.3. Nechť f : M → R, M ⊂ R. Řekneme, že f má v bodě a ∈ R∗ limitu rovnou A ∈ R∗ , jestliže platí ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ P δ (a) : f (x) ∈ U ε (A). V takovém případě píšeme
lim f (x) = A.
x→a
Poznámky. • Z definice limity implicitně vyplývá, že f musí být definovaná alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu a. 25
• Reformulace limx→a f (x) = A je ekvivalentní s výrokem ∀ ε > 0 ∃ δ : f (P δ (a)) ⊂ U ε (A). • Bod a nemusí být prvkem M , ale nějaké jeho prstencové okolí musí být podmnožinou M . Například je-li funkce f definovaná na (0, 1) ∪ (1, 2), pak má smysl definovat její limitu v bodě a = 1 ∈ / M. • Bod a může také být roven ∞ nebo −∞; v takovém případě je nezbytné, aby byla funkce f definovaná na nějakém okolí tohoto bodu. • V bodě a může a nemusí být funkce f definovaná. Je-li v něm definovaná, pak hodnota limity v tomto bodě na této konkrétní hodnotě nezáleží. • Mohou nastat tyto situace: Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu: neexistuje vlastní A ∈ R ( existuje +∞ nevlastní A = −∞
lim f (x)
x→a
Limita může být definována buď ve vlastním bodě a ∈ R nebo v nevlastním bodě (a = ±∞). • Je-li a ∈ R a A ∈ R, pak lim f (x) = A
x→a
⇔
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a + δ) \ {a} : f (x) ∈ (A − ε, A + ε).
Je-li a ∈ R a A = ∞, pak lim f (x) = A
x→a
⇔
∀K ∈R
∃ δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a + δ) \ {a} : f (x) > K.
Definice 1.6.4. Nechť f : M → R, M ⊂ R, a ∈ R∗ \ {∞}. Řekneme, že f má v bodě a limitu zprava rovnou A ∈ R∗ , jestliže platí ∀ε>0
∃δ>0
δ ∀x ∈ P+ (a) :
f (x) ∈ U ε (A).
V takovém případě píšeme lim f (x) = A.
x→a+
Analogicky definujeme limitu zleva. Poznámka. Je-li a ∈ R a A ∈ R∗ , pak lim f (x) = A
x→a
Příklady.
⇔
lim f (x) = A
x→a+
&
lim f (x) = A.
x→a−
• Nechť f (x) = x, x ∈ R. Pak pro každé a ∈ R jest limx→a f (x) = a.
• Nechť f je konstantní funkce na jistém prstencovém okolí bodu a ∈ R∗ , tj. ∃ δ > 0 ∃c ∈ R
∀x ∈ P δ (a) :
f (x) = c.
Pak limx→a f (x) = c. • Nechť funkce sgn je definována předpisem −1 sgn x = 0 1
pokud x < 0, pokud x = 0, pokud x > 0.
Pak limx→0 sgn x neexistuje neboť limx→0+ sgn x = 1 a limx→0− sgn x = −1. ——————–konec přednášky 12: 3.11. Luboš Pick———————————————26
• Dirichletova funkce je definovaná předpisem ( D(x) =
1 0
pokud x ∈ Q, pokud x ∈ / Q.
Tato funkce nemá v žádném bodě a ∈ R limitu (ani jednostrannou). • Riemannova funkce je definovaná předpisem ( 1 pokud x ∈ Q, x = pq , p ∈ Z, q ∈ N, p, q nesoudělná, R(x) = q 0 pokud x ∈ / Q. Tato funkce má v každém bodě x ∈ R limitu rovnou 0. • Platí
sin x = 1, x→0 x lim
ex − 1 = 1. x→0 x lim
(Důkaz bude později.)
Definice 1.6.5. Nechť f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M . Řekneme, že f je spojitá v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a).
x→a
Poznámka. Funkce f je spojitá v bodě a právě když platí ∀ε>0
∀x ∈ U δ (a) :
∃δ>0
f (x) ∈ U ε (f (a)).
Povšimněte si důležitého rozdílu oproti definici limity: okolí bodu a není prstencové. Promyslete si tento fakt. Definice 1.6.6. Nechť f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M . Řekneme, že f je spojitá zprava v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a).
x→a+
Obdobně řekneme, že f je spojitá zleva v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a).
x→a−
1.6.2
Věty o limitách.
Věta 1.6.7 (Heineova). Nechť a ∈ R∗ , A ∈ R∗ a nechť funkce f : M → R, M ⊂ R, je definována na nějakém prstencovém okolí bodu a. Potom jsou následující dva výroky ekvivalentní: (i) lim f (x) = A;
x→a
(ii) Pro každou posloupnost {xn }n∈N , splňující xn ∈ M , ∀n ∈ N : xn 6= a a limn→∞ xn = a platí limn→∞ f (xn ) = A. ——————–konec přednášky 11: 11.11 Jiří Spurný———————————————Důsledek 1.6.8 (Heineova věta pro spojitost). Nechť a ∈ R a nechť funkce f : M → R, M ⊂ R, je definována na nějakém okolí bodu a. Pak f je spojitá v bodě a právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn }n∈N , splňující xn ∈ M a limn→∞ xn = a, platí limn→∞ f (xn ) = f (a). Poznámka. Předcházející věty 1.6.7 a 1.6.8 platí i pro jednostranné limity. Příklad. lim sin
x→0+
1 x
neexistuje. 27
Věta 1.6.9 (O jednoznačnosti limity funkce). Každá funkce má v kterémkoli bodě nejvýše jednu limitu. Věta 1.6.10 (O vztahu limity a omezenosti funkce). Nechť funkce f má v bodě a vlastní limitu. Potom existuje δ > 0 takové, že funkce f je na P δ (a) omezená. Věta 1.6.11 (O aritmetice limit). Nechť a ∈ R∗ , limx→a f (x) = A ∈ R∗ a limx→a g(x) = B ∈ R∗ . Pak (a) limx→a (f (x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) limx→a f (x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován; (c) limx→a
f (x) g(x)
=
A B,
pokud je výraz
A B
definován.
Důsledek 1.6.12. Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a ∈ R, pak také funkce f + g a f g jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 6= 0, pak také funkce fg je spojitá v bodě a. ——————–konec přednášky 13: 5.11. Luboš Pick———————————————Poznámka. Věta 1.6.11 a Důsledek 1.6.12 platí i v jednostranných variantách. Definice 1.6.13. Nechť n ∈ N a a0 , a1 , . . . an ∈ R, an 6= 0. Potom funkci P (x) := an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
x ∈ R,
nazýváme polynomem stupně n. Příklad. Funkce f (x) = x je spojitá v každém bodě a ∈ R. Odtud a z předcházejícího důsledku plyne, že každý polynom je spojitý na celém R. Věta 1.6.14 (O limitě a uspořádání). δ > 0 takové, že
(a) Nechť a ∈ R∗ , limx→a f (x) > limx→a g(x). Pak existuje ∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) > g(x).
∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) ≤ g(x).
(b) Nechť existuje δ > 0 takové, že
Nechť existují limx→a f (x) a limx→a g(x). Pak lim f (x) ≤ lim g(x).
x→a
x→a
(c) (dva policajti pro funkce) Nechť existuje δ > 0 takové, že ∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).
Nechť lim f (x) = lim h(x) = A ∈ R∗ .
x→a
x→a
Pak lim g(x) = A.
x→a
(d) (jeden policajt pro funkce) Nechť existuje δ > 0 takové, že ∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) ≤ g(x).
Nechť lim f (x) = ∞.
x→a
Pak lim g(x) = ∞.
x→a
Příklad. limx→0 x · D(x) = 0. 28
Věta 1.6.15 (O limitě složené funkce). Nechť a ∈ R∗ a nechť funkce f a g splňují lim g(x) = A ∈ R∗ ,
x→a
lim f (y) = B ∈ R∗ .
y→A
Je-li navíc splněna alespoň jedna z podmínek (P1) f je spojitá v A; (P2) ∃ δ > 0
∀ x ∈ P δ (a) :
g(x) 6= A;
pak limx→a f (g(x)) = B. Poznámka. Předcházející věty mají i své jednostranné varianty. ——————–konec přednášky 12: 12.11. Jiří Spurný———————————————Věta 1.6.16 (O limitě monotónní funkce). Nechť f je monotónní na intervalu (a, b), a, b ∈ R∗ . Potom existují limx→a+ f (x) i limx→b− f (x). Problém 1.6.17. Nechť y ∈ R. Rozhodněte, zda pro každou dvojici a, b ∈ R existují funkce f, g : R → R tak, že lim f (x) + g(x) = a, lim f (x)g(x) = b. x→y
1.6.3
x→y
Funkce spojité na intervalu
Definice 1.6.18. Nechť I ⊂ R je interval libovolného typu. Nechť a ∈ I. Řekneme, že a je vnitřním bodem intervalu I, jestliže není krajním bodem intervalu. Množinu všech vnitřních bodů intervalu I značíme Int I. Poznámka. Je-li I otevřený interval, pak je automaticky každý jeho bod vnitřním bodem. Definice 1.6.19. Nechť I ⊂ R je interval a f je funkce. Řekneme, že f je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá zprava v každém bodě z I, který není koncovým bodem I a spojitá zleva v každém bodě z I, který není počátečním bodem I. Věta 1.6.20 (Skládání spojitých funkcí). Nechť I, J jsou intervaly, f : I → J a g : J → R jsou spojité funkce. Pak g ◦ f : I → R je spojitá. Věta 1.6.21 (Borelova pokrývací). Nechť [a, b] je uzavřený interval a {Ui ; i ∈ I} je systém otevřených S S intervalů splňující [a, b] ⊂ i∈I Ui . Pak existuje konečná množina J ⊂ I tak, že [a, b] ⊂ J⊂I Ui .
Věta 1.6.22 (Darbouxova). Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], −∞ < a < b < ∞. Nechť f (a) < f (b) a nechť y ∈ (f (a), f (b)). Pak existuje bod x ∈ (a, b), splňující f (x) = y. Analogické tvrzení platí v případě, kdy f (b) < f (a). Věta 1.6.23 (Spojitý obraz intervalu). Nechť I je interval libovolného typu a nechť f je spojitá funkce na I. Potom f (I) je opět interval nebo jednobodová množina. Definice 1.6.24. Mějme funkci f : M → R, M ⊂ R, a bod a ∈ M . Řekneme, že funkce f nabývá v bodě a svého maxima na M, jestliže ∀ x ∈ M : f (x) ≤ f (a), minima na M, ostrého maxima na M,
jestliže jestliže
ostrého minima na M,
jestliže
∀ x ∈ M : f (x) ≥ f (a), ∀ x ∈ M, x 6= a : f (x) < f (a),
∀ x ∈ M, x 6= a : f (x) > f (a).
Řekneme, že f nabývá v bodě a svého lokálního maxima na M , lokálního minima na M , ostrého lokálního maxima na M , respektive ostrého lokálního minima na M ), jestliže existuje δ > 0 takové, že f nabývá na M ∩ U δ (a) svého maxima, minima, ostrého maxima, respektive ostrého minima. Jestliže funkce nabývá v bodě a svého lokálního minima nebo maxima, pak říkáme, že zde nabývá lokálního extrému. ——————–konec přednášky 13: 18.11. Jiří Spurný———————————————29
Věta 1.6.25 (Vztah spojitosti a omezenosti). Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu omezená. ——————–konec přednášky 14: 12.11. Luboš Pick———————————————Věta 1.6.26 (Vztah spojitosti a nabývání extrémů). Nechť a, b ∈ R, a < b, a nechť f je spojitá funkce na [a, b]. Potom f nabývá na [a, b] svého maxima i minima. Věta 1.6.27 (O spojitosti inverzní funkce). Nechť f je spojitá rostoucí (respektive klesající) funkce na intervalu I. Potom inverzní funkce f −1 je také spojitá a rostoucí (respektive klesající) na f (I). Problémy 1.6.28. • Nechť f : [0, 1] → R je prostá a f ([0, 1]) = [0, 1]. Je funkce f spojitá alespoň v jednom bodě x ∈ [0, 1]? • Rozhodněte, pro která n ∈ N existuje spojitá f : R → R taková, že f −1 (y) je n-prvková pro každé y ∈ R.
1.6.4
Derivace reálné funkce
Definice 1.6.29. Nechť f je reálná funkce a a ∈ R. Jestliže existuje lim
h→0
f (a + h) − f (a) , h
pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f ′ (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a) . h
Obdobně definujeme derivaci zprava a derivaci zleva funkce f v bodě a předpisy ′ f+ (a) := lim
h→0+
Poznámky.
• Platí
f (a + h) − f (a) h
′ a f− (a) := lim
h→0−
f (a + h) − f (a) . h
• Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu: neexistuje vlastní ′ ( f (a) existuje +∞ nevlastní −∞ f ′ (a) = A ∈ R∗
⇔
′ ′ (a) = f− (a) = A. f+
• Pro výpočet derivace můžeme použít alternativní vzorec f (x) − f (a) . x→a x−a
f ′ (a) = lim
Poznámka. Má-li funkce f : M → R vlastní derivaci v každém bodě x ∈ M , pak zobrazení f ′ : M → R, které přiřadí x ∈ M derivaci f ′ (x), je rálná funkce na M . Příklad 1.6.30.
(1) Je-li f (x) = xn , x ∈ R, a a ∈ R, pak f ′ (a) = nan−1 .
(2) Je-li f (x) = sgn x, x ∈ R, pak f ′ (0) = ∞. (3) Je-li f (x) = |x|, x ∈ R, pak f ′ (0) neexistuje. Věta 1.6.31 (O vztahu derivace a spojitosti). Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Věta 1.6.32 (Aritmetika derivací). Nechť a ∈ R a nechť f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Nechť existují f ′ (a) ∈ R∗ a g ′ (a) ∈ R∗ . 30
(a) Platí (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a), je-li výraz na pravé straně definován. (b) Je-li alespoň jedna z funkcí f , g spojitá v bodě a, pak (f g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a), je-li výraz na pravé straně definován. (c) Je-li funkce g spojitá v bodě a a navíc g(a) 6= 0, pak ′ f ′ (a)g(a) − f (a)g ′ (a) f (a) = , g g(a)2 je-li výraz na pravé straně definován.
——————–konec přednášky 14: 19.11. Jiří Spurný—————————————————————–konec přednášky 15: 24.11. Luboš Pick———————————————Poznámka. Předpoklad spojitosti alespoň jedné z funkcí f, g v bodě a nelze z Věty 1.6.32(ii) vynechat, jak ukazuje následující příklad: ( ( sgn x, x 6= 0, − sgn x, x= 6 0, f (x) := g(x) := 1 1 −2, x = 0, x = 0. 2, Pak (f g)(x) =
(
a tedy (f g)′ (0) neexistuje, ale
−1, − 14 ,
f ′ (0)g(0) + g ′ (0)f (0) = (∞) ·
x 6= 0, x = 0,
1 1 = ∞. + (−∞) · − 2 2
Věta 1.6.33 (O derivaci složené funkce). Nechť f má derivaci v bodě y0 ∈ R, g má derivaci v bodě x0 ∈ R, y0 = g(x0 ) a g je v bodě x0 spojitá. Potom ′
(f ◦ g) (x0 ) = f ′ (y0 )g ′ (x0 ) = f ′ (g(x0 )) g ′ (x0 ),
je-li výraz na pravé straně definován. Poznámka. Předpoklad spojitosti funkce g v bodě x0 nelze z Věty 1.6.33 vynechat, jak ukazuje následující příklad: ( sgn x, x= 6 0, f (y) := |y|, g(x) := 1 −2, x = 0.
Pak
(f ◦ g)(x) = a tedy (f g)′ (0) neexistuje, ale 1 ′ f − = −1, 2 Příklady.
′
g (0) = ∞,
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = − sin x, 1 , (tg x)′ = cos2 x 1 (cotg x)′ = − 2 , sin x (exp x)′ = exp x,
(
1, 1 2,
x 6= 0, x = 0,
a tedy x ∈ R, x ∈ R, x∈ R\
1 f − · g ′ (0) = −∞. 2 ′
nπ 2
o + kπ, k ∈ Z ,
x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z} , x ∈ R. 31
Věta 1.6.34 (O derivaci inverzní funkce). Nechť f je spojitá a ryze monotónní v intervalu I a nechť a je vnitřním bodem I. Označme b := f (a). Potom ′ (a) je-li f ′ (a) ∈ R∗ \ {0}, pak f −1 (b) = f ′1(a) ; ′ ′ (b) je-li f ′ (a) = 0 a f je rostoucí (respektive klesající), pak f −1 (b) = ∞ (respektive f −1 (b) = −∞).
Příklady.
1 , (arcsin x)′ = √ 1 − x2 1 (arccos x)′ = − √ , 1 − x2 1 (arctg x)′ = , 1 + x2 1 , (arccotg x)′ = − 1 + x2 1 (log x)′ = , x
x ∈ (−1, 1), x ∈ (−1, 1), x ∈ R, x ∈ R, x ∈ (0, ∞).
Věta 1.6.35 (Fermatova - nutná podmínka existence lokálního extrému). Nechť M ⊂ R a f : M → R. Nechť a je bodem lokálního extrému funkce f . Pak buď f ′ (a) neexistuje nebo f ′ (a) = 0. ——————–konec přednášky 15: 25.11. Jiří Spurný———————————————Věta 1.6.36 (Rolleova). Nechť f je funkce spojitá na nějakém intervalu I, nechť a, b ∈ I, a < b, a nechť pro každé x ∈ (a, b) existuje f ′ (x) a nechť f (a) = f (b). Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f ′ (ξ) = 0. ——————–konec přednášky 16: 1.12. Luboš Pick———————————————Věta 1.6.37 (Lagrangeova věta o střední hodnotě). Nechť f je funkce spojitá na intervalu [a, b] ⊂ R, a nechť pro každé x ∈ (a, b) existuje f ′ (x). Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f ′ (ξ) =
f (b) − f (a) . b−a
Věta 1.6.38 (Cauchyova věta o střední hodnotě). Nechť f, g jsou funkce spojité na intervalu [a, b] ⊂ R, nechť f má v každém bodě x ∈ (a, b) derivaci a nechť g má v každém bodě x ∈ (a, b) vlastní a nenulovou derivaci. Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f (b) − f (a) f ′ (ξ) = . g ′ (ξ) g(b) − g(a) (a) (verze “ 00 ”) Nechť a ∈ R∗ , nechť
Věta 1.6.39 (L’Hospitalovo pravidlo).
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a+
a nechť existuje
x→a+
f ′ (x) . x→a+ g ′ (x) lim
Potom
f (x) f ′ (x) = lim ′ . x→a+ g(x) x→a+ g (x) lim
∗ (b) (verze “ cokoli ∞ ”) Nechť a ∈ R , nechť
lim |g(x)| = ∞
x→a+
a nechť existuje
f ′ (x) . x→a+ g ′ (x) lim
32
Potom
f ′ (x) f (x) = lim ′ . x→a+ g (x) x→a+ g(x) lim
Analogická tvrzení platí pro limity zleva. ——————–konec přednášky 16: 26.11. Jiří Spurný———————————————Poznámky.
• Typická limita vhodná pro použití L’Hospitalova pravidla je lim
x→0
x − sin x 1 = . x3 6
• Pozor na nesprávné používání L’Hospitalova pravidla; vždy je nutno napřed ověřit, že platí předpoklady jedné ze dvou přípustných verzí. Například lim
x→0
2 2x + 1 6= . 3x + 1 3
• L’Hospitalovo pravidlo neplatí obráceně, například x2 = ∞, x→∞ x + sin x lim
ale
2x x→∞ 1 + cos x lim
neexistuje.
• L’Hospitalovo pravidlo není vždy nejvhodnější metodou pro výpočet limity, například 1
−
1
e x2 e − x2 lim = lim x→0+ x→0+ x 1
2 x3
1
2e− x2 = lim x→0+ x3
sice platí, ale výsledná limita je ještě horší než limita zadaná. ——————–konec přednášky 17: 3.12. Luboš Pick———————————————Věta 1.6.40 (O limitě derivací). Nechť funkce f je spojitá zprava v bodě a a nechť limx→a+ f ′ (x) = A ∈ ′ R∗ . Pak f+ (a) = A. Věta 1.6.41 (O vztahu derivace a monotonie). Nechť I je interval libovolného typu a nechť funkce f je spojitá na I a v každém vnitřním bodě intervalu I má derivaci. (a) Je-li f ′ > 0 na Int I, pak f je rostoucí na I; (b) Je-li f ′ < 0 na Int I, pak f je klesající na I; (c) Je-li f ′ ≥ 0 na Int I, pak f je neklesající na I; (d) Je-li f ′ ≤ 0 na Int I, pak f je nerostoucí na I. Důsledek 1.6.42. Nechť I je interval, f : I → R spojitá a nechť f ′ (x) = 0 pro všechna x ∈ Int I. Potom f je konstantní na I. Poznámky. • Tvrzení Věty 1.6.41 neplatí obráceně. Například funkce f (x) = x3 je sice rostoucí na celém R, ale f ′ (0) = 0. • Tvrzení Věty 1.6.41 neplatí, pokud definičním oborem funkce f není interval. Například funkce f (x) = tg x má na svém definičním oboru R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}, kladnou derivaci, neboť tg′ (x) = 1 cos2 (x) , ale není rostoucí. Věta 1.6.43 (Darbouxova vlastnost derivace). Nechť I je otevřený interval a f : I → R má na I vlastní derivaci. Je-li x, y ∈ I a c ∈ (f ′ (x), f ′ (y)), pak existuje z v otevřeném intervalu s krajními body x, y takové, že f ′ (z) = c. 33
Definice 1.6.44. Nechť n ∈ N a a ∈ R a nechť funkce f má vlastní n-tou derivaci na okolí bodu a. Pak (n + 1)-ní derivací funkce f v bodě a budeme rozumět f (n) (a + h) − f (n) (a) . h→0+ h
f (n+1) (a) := lim
Problémy 1.6.45. • Sestrojte spojitou f : R → R takovou, že f ′ (0) existuje a přitom v každém okolí bodu 0 existuje bod, kde derivace f neexistuje. • Nechť f : R → R, f (0) = 0 a existuje f ′′ (0). Dokažte, že platí 1 (f (h) + f (−h)). h→0 h2
f ′′ (0) = lim
Plyne z existence této limity existence f ′′ (0) nebo spojitost f v 0? ——————–konec přednášky 17: 2.12. Jiří Spurný———————————————-
1.6.5
Elementární funkce
Věta 1.6.46 (Zavedení exponenciály). Existuje právě jedna funkce exp : R → R, splňující (1) ∀ x, y ∈ R : exp(x + y) = exp x · exp y, (2) limx→0 x1 (exp(x) − exp(0)) = 1. ——————–konec přednášky 18: 8.12. Luboš Pick———————————————Definice 1.6.47. Funkci exp : R → (0, ∞), jejíž existenci a jednoznačnost zaručuje Věta 1.6.46, nazýváme exponenciální funkcí, případně exponenciálou. Číslo exp(1) označujeme symbolem e a nazýváme Eulerovým číslem. Poznámka. Z důkazu Věty 1.6.46 plyne, že exponenciální funkce má následující vlastnosti: • ∀n∈N
∀x ∈ R :
exp(nx) = exp(x)n ;
• exp(0) = 1; • ∀x∈R:
exp(−x) =
1 exp(x) ;
• limx→−∞ exp(x) = 0; • limx→∞ exp(x) = ∞; • exp je rostoucí a spojitá na R. Definice 1.6.48. • Funkce log : (0, ∞) → R je definována jako inverzní funkce k funkci exp : R → (0, ∞). Nazývá se funkcí přirozeného logaritmu, případně přirozeným logaritmem nebo logaritmickou funkcí. • Je-li a ∈ (0, ∞) \ {1}, pak definujeme loga x :=
log x , log a
x > 0.
Funkci loga nazýváme logaritmem o základu a. • Nechť a > 0 a b ∈ R. Potom definujeme reálné číslo ab předpisem ab := exp(b log a). • Nechť a > 0. Potom funkci, která každému x ∈ R přiřadí hodnotu ax nazýváme obecnou mocninou. 34
√ • Je-li n ∈ N liché, n-tou odmocninu x 7→ n x, x ∈ R, definujeme jako inverzní funkci k funkci √ x 7→ xn , x ∈ R. Je-li n ∈ N sudé, n-tou odmocninu x 7→ n x, x ∈ [0, ∞), definujeme jako inverzní funkci k funkci x 7→ xn , x ∈ [0, ∞). Věta 1.6.49 (Vlastnosti přirozeného logaritmu). Funkce log je definovaná, spojitá a rostoucí na intervalu (0, ∞) a splňuje ∀ x, y ∈ (0, ∞) : log(xy) = log(x) + log(y), log x lim . x→1 x − 1 ——————–konec přednášky 18: 3.12. Jiří Spurný—————————————————————–konec přednášky 19: 10.12. Luboš Pick———————————————Věta 1.6.50 (Zavedení sinu, cosinu a čísla π). Existuje právě jedna funkce s : R → R, právě jedna funkce c : R → R a právě jedno číslo π ∈ R tak, že (1) s(x + y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) a c(x + y) = c(x)c(y) − s(x)s(y), x, y ∈ R; (2) s je lichá, c je sudá; (3) s roste na [0, π2 ], s( π2 ) = 1 a s(0) = 0; (4) limx→0
s(x) x
= 1.
——————–konec přednášky 19: 9.12. Jiří Spurný———————————————Definice 1.6.51. Definujme sin a cos jako funkce s a c z Věty 1.6.50. Poznámka. Funkce sinus a cosinus mají všechny obvyklé vlastnosti, které od těchto funkcí očekáváme. Definice 1.6.52. Pomocí funkcí sin a cos zavedeme další funkce: π sin x , x ∈ R, x 6= + kπ, k ∈ Z, tangens tg x = cos x 2 cos x kotangens cotg x = , x ∈ R, x 6= kπ, k ∈ Z. sin x Funkce sin, cos, tg a cotg nazýváme souhrnně goniometrickými funkcemi. Definice 1.6.53. Inverzní funkce ke goniometrickým funkcím nazýváme cyklometrickými funkcemi. Jde o funkce arkussinus arcsin := (sin |[−π/2,π/2] )−1 , arkuskosinus
arkustangens arkuskotangens
arccos := (cos |[0,π] )−1 ,
arctg := (tg |(−π/2,π/2) )−1 ,
arccotg := (cotg |(0,π) )−1 .
Tedy arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2], arccos : [−1, 1] → [0, π], arctg : R → (−π/2, π/2), arccotg : R → (0, π). ——————–konec přednášky 20: 10.12. Luboš Pick———————————————Definice 1.6.54. Pomocí funkce exp definujeme tzv. hyperbolické funkce: ex − e−x , x ∈ R, , 2 ex + e−x hyperbolický kosinus cosh x := , x ∈ R, 2 sinh x , x ∈ R, hyperbolický tangens tgh x := cosh x cosh x , x ∈ R \ {0}. hyperbolický kotangens cotgh x := sinh x Pn aj = 0. Dokažte, že polynom a0 +a1 x+· · ·+an xn Problém 1.6.55. Nechť a0 , . . . , an ∈ R splňují j=0 n+1 má v (0, 1) alespoň jeden kořen. hyperbolický sinus
sinh x :=
35
1.6.6
Konvexní a konkávní funkce, inflexní body
Definice 1.6.56. Nechť f je reálná funkce a a ∈ R. • Pokud f ′ (a) existuje vlastní, pak tečnu ke grafu funkce f v bodě a definujeme jako lineární funkci x 7→ f (a) + f ′ (a)(x − a), x ∈ R. • Řekneme, že f má v bodě a inflexi (neboli že a je inflexním bodem funkce f , jestliže existuje vlastní f ′ (a) a existuje δ > 0 takové, že buď ∀ x ∈ (a − δ, a) :
f (x) > f (a) + f ′ (a)(x − a),
∀ x ∈ (a − δ, a) : & ∀ x ∈ (a, a + δ) :
f (x) < f (a) + f ′ (a)(x − a), f (x) > f (a) + f ′ (a)(x − a).
& ∀ x ∈ (a, a + δ) : nebo
f (x) < f (a) + f ′ (a)(x − a)
Věta 1.6.57 (Nutná podmínka pro inflexi). Nechť f je reálná funkce a a ∈ R. Jestliže existuje f ′′ (a) 6= 0, pak a není inflexní bod funkce f . Poznámka. Samotný fakt, že f ′′ (a) = 0 ještě nezaručuje inflexi. Příkladem je funkce f (x) = x4 , x ∈ R. Pak f ′′ (0) = 0, nula ale není inflexním bodem f . Věta 1.6.58 (Postačující podmínka pro inflexi). Nechť f má spojitou první derivaci na intervalu (a, b). Nechť z ∈ (a, b) a nechť ∀ x ∈ (a, z) :
f ′′ (x) > 0
a
∀ x ∈ (z, b) :
f ′′ (x) < 0.
f ′′ (x) < 0
a
∀ x ∈ (z, b) :
f ′′ (x) > 0,
Pak z je inflexní bod funkce f . Analogicky, je-li ∀ x ∈ (a, z) : je v z inflexní bod. Příklad. Je-li f (x) :=
(
x5 (1 + sin x1 ), 0,
x
6= 0, x = 0.
Pak f má v 0 inflexi, ale nejsou splněny předpoklady věty. ——————–konec přednášky 20: 10.12. Jiří Spurný———————————————Definice 1.6.59. Nechť I je interval a nechť f je reálná funkce definovaná alespoň na I. Řekneme, že f je konvexní na I, jestliže ∀ x, y, ∈ I, λ ∈ (0, 1) :
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y);
f je konkávní na I, jestliže ∀ x, y, ∈ I, λ ∈ (0, 1) :
f (λx + (1 − λ)y) ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y);
f je ryze konvexní na I, jestliže ∀ x, y, ∈ I, λ ∈ (0, 1) :
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y);
f je ryze konkávní na I, jestliže ∀ x, y, ∈ I, λ ∈ (0, 1) :
f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y).
Lemma 1.6.60 (Ekvivalentní podmínky pro konvexitu). Nechť I ⊂ R je interval a nechť f je funkce definovaná na I. Následující výroky jsou ekvivalentní: (i) f je konvexní na I; 36
(ii) ∀x1 , x2 , x3 ∈ I, x1 < x2 < x3 :
f (x2 )−f (x1 ) x2 −x1
≤
f (x3 )−f (x1 ) ; x3 −x1
(iii) ∀x1 , x2 , x3 ∈ I, x1 < x2 < x3 :
f (x3 )−f (x1 ) x3 −x1
≤
f (x3 )−f (x2 ) ; x3 −x2
(iv) ∀x1 , x2 , x3 ∈ I, x1 < x2 < x3 :
f (x2 )−f (x1 ) x2 −x1
≤
f (x3 )−f (x2 ) . x3 −x2
Analogické charakterizace platí pro konkavitu, ryzí konvexitu a ryzí konkavitu. Věta 1.6.61 (O vztahu konvexity a existence jednostranných derivací). Nechť f je funkce konvexní na ′ ′ intervalu I a nechť a ∈ Int I. Potom existují vlastní jednostranné derivace f+ (a) a f− (a). Navíc platí ′ ′ f− (a) ≤ f+ (a). Poznámka. Jednostranné derivace, jejichž existenci zaručuje Věta 1.6.61, se nemusí sobě rovnat (nemusí tedy existovat f ′ (a)). Příkladem je funkce f (x) = |x| a bod x = 0. V krajních bodech intervalu existují jednostranné derivace, ale ty mohou být nekonečné (např. funkce sgn x na intervalu [−1, 0]). ——————–konec přednášky 21: 15.12. Luboš Pick———————————————Věta 1.6.62 (O vztahu konvexity a spojitosti). Konvexní funkce na otevřeném intervalu je na tomto intervalu spojitá. Poznámka. Na jiném než otevřeném intervalu Věta 1.6.62 neplatí. Protipříkladem je funkce sgn, která je například na intervalu (−1, 0] konvexní, ale ne spojitá. Věta 1.6.63 (O vztahu druhé derivace a konvexity/konkavity). Nechť f je spojitá funkce na intervalu I ⊂ R a nechť má f na Int I spojitou první derivaci. Jestliže je f ′ rostoucí na Int I, pak f je ryze konvexní na I. Speciálně, je-li f ′′ > 0 na Int I, pak f je ryze konvexní na I. Analogická tvrzení platí pro ryzí konkávitu, konvexitu a ryzí konvexitu. Problém 1.6.64. Nechť f : R → R je konkávní a zdola omezená. Dokažte, že je konstantní. ——————–konec přednášky 21: 16.12. Jiří Spurný———————————————-
1.6.7
Průběh funkce
Definice 1.6.65. Nechť f je reálná funkce definovaná na nějakém okolí bodu ∞. Nechť a, b ∈ R. Řekneme, že f má v bodě ∞ asymptotu ax + b, jestliže lim (f (x) − ax − b) = 0.
x→∞
Analogicky definujeme asymptotu v bodě −∞. Věta 1.6.66 (O tvaru asymptoty). Funkce f má v bodě ∞ asymptotu ax + b právě tehdy, když lim
x→∞
f (x) =a∈R x
lim (f (x) − ax) = b ∈ R.
a
x→∞
Analogické tvrzení platí pro asymptotu v bodě −∞. Příklady. • Funkce ex má v −∞ asymptotu y = 0 a v bodě ∞ asymptotu nemá, neboť první limita ve Větě 1.6.66 je nevlastní. √ √ 1 . • Funkce f (x) = 2x2 + x + 1 má v bodě ∞ asymptotu 2x + 2√ 2 • Funkce tg x nemá v bodě ∞ asymptotu, protože není definovaná na žádném jeho okolí. • Funkce sin x nemá v bodě ∞ asymptotu, ačkoli první z obou limit ve Větě 1.6.66 existuje a je rovna nule, neexistuje však limita limx→∞ (f (x) − 0 · x). Poznámka 1.6.67. Při vyšetřování průběhu funkce získáváme následující informace: • definiční obor, spojitost, limity v krajních bodech a limity v bodech nespojitosti; 37
• eventuální speciální vlastnosti, např. sudost, lichost nebo periodicita; • definiční obor derivace, derivace a eventuální jednostranné derivace; • intervaly monotonie a extrémy (lokální i globální); • obor hodnot; • definiční obor druhé derivace, druhá derivace, konvexita a konkávita, inflexní body; • asymptoty; • graf funkce. ——————–konec přednášky 22: 17.12. Luboš Pick———————————————Příklad. Vyšetřete průběh funkce f (x) = arcsin( x22x +1 ). ——————–konec přednášky 22: 17.12. Jiří Spurný———————————————-
38
Kapitola 2
Proseminář z kalkulu 1a 2.1
Téma 1: Metody důkazů, nerovnosti, zobrazení, logika
Příklad 2.1.1. Dokažte zobecněnou Bernoulliovu nerovnost: ∀n ∈ N ∀x ≥ −2 :
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
(Návod: použijte matematickou indukci s krokem n → n + 2.) Ukažte na příkladě, že pro x < −2 a obecné n ∈ N již Bernoulliova nerovnost neplatí. Příklad 2.1.2. Nechť a1 , . . . , an jsou kladná reálná čísla. Označme postupně An , Gn , Hn aritmetický, geometrický a harmonický průměr čísel a1 , . . . , an , tedy a1 + · · · + an , n √ Gn = n a1 a2 . . . an , n Hn = 1 1 . a1 + · · · + an An =
Dokažte nerovnost Hn ≤ Gn ≤ An .
Druhá z těchto nerovností se často označuje jako tzv. AG nerovnost. (Návod: použijte matematickou indukci s krokem n → 2n a potom znovu se zpětným krokem n → n − 1 k důkazu druhé nerovnosti. První nerovnost pak dokažte použitím druhé nerovnosti na převrácené hodnoty čísel a1 , . . . , an .) Příklad 2.1.3. Dokažte nerovnost 1 1 2 1 + + ···+ > . n n+1 2n − 1 3 Příklad 2.1.4. Dokažte nerovnost ∀n ∈ N \ {1} :
1+
1 n−1
n−1
n 1 ≤ 1+ . n
(Návod: použijte AG nerovnost pro čísla a1 = a2 = · · · = an−1 =
n n−1 ,
an = 1.)
Příklad 2.1.5. Dokažte následující Cauchyovu nerovnost: Nechť a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn jsou reálná čísla. Potom platí ! ! n !2 n n X X X 2 2 bi . ai ai b i ≤ i=1
i=1
i=1
Příklad 2.1.6. Uvažujme zobrazení f : X → Y a množiny A ⊂ X, B ⊂ X. Dokažte následující rovnosti. • f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B), 39
• f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B), • f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B), • f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B). Příklad 2.1.7. Uvažujme zobrazení f : X → Y a množiny A ⊂ X, B ⊂ X. Ukažte, že následující vztahy obecně neplatí. • f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B), • f (A \ B) = f (A) \ f (B). Příklad 2.1.8. Ukažte, že bez ohledu na pravdivostní hodnotu výroků a, b, c jsou následující výroky vždy pravdivé. • a & (b & c) ⇔ (a & b) & c, • a & (b ∨ c) ⇔ (a & b) ∨ (a & c), • a ∨ (b & c) ⇔ (a ∨ b) & (a ∨ c), • (a ⇒ b) ⇔ (¬b ⇒ ¬a), • ¬(a ⇒ b) ⇔ (a & ¬b).
2.2
Téma 2: Vlastnosti reálných čísel, mohutnost množin
Příklad 2.2.1. Odvoďte z definice reálných čísel. • ∀x ∈ R : x · 0 = 0 · x = 0, • ∀x ∈ R : −x = (−1) · x, • ∀x, y ∈ R : xy = 0 ⇒ (x = 0 ∨ y = 0), • ∀x, y ∈ R : (x > 0 & y > 0) ⇒ xy > 0, • ∀x, y, z ∈ R : x > y ⇒ x + z > y + z, • ∀x, y, z ∈ R : x ≥ y > z ⇒ x > z, • ∀x, y ∈ R : (x ≥ 0 & y > 0) ⇒ x + y > 0, • ∀x, y, z, u ∈ R : (x ≥ y & z > u) ⇒ x + z > y + u, • ∀x, y, z, u ∈ R kladná : (x < y & z ≤ u) ⇒ xz < yu, • ∀x, y ∈ R ∀n ∈ N : 0 ≤ x < y ⇒ xn < y n , • (−1)(−1) = 1, • ∀x, y ∈ R : (−x)(−y) = xy, • −0 = 0, • ∀x ∈ R : −(−x) = x, • ∀x, y ∈ R : (−x)y = −(xy) = x(−y), • ∀x ∈ R : x > 0 ⇐⇒ −x < 0, • 0 < 1, • ∀x ∈ R : x > 0 ⇒
1 x
> 0,
• ∀x, y ∈ R : (x > 0 & y > 0) ⇒ xy > 0, 40
x+y 2
• ∀x, y ∈ R : (x < y) ⇒ x <
• ∀x, y ∈ R : (0 < x < y) ⇒ 0 <
< y, 1 y
kde
2 = 1 + 1,
< x1 ,
• ∀x, y ∈ R : (x 6= 0) ⇒ 0 < x · x, • ∀x, y ∈ R : (x < 0 < y) ⇒ x · y < 0, • ∀x, y ∈ R : (0 < x < 1) ⇒ x · x < x. Příklad 2.2.2. Nechť x1 , . . . , xn ∈ R. Pak platí n n X X |xi |. xi ≤ i=1
i=1
Příklad 2.2.3. Nechť množiny An , n ∈ N, jsou spočetné. Pak
Příklad 2.2.4. Ukažte, že množina Q je spočetná.
S∞
n=1
An je spočetná.
Příklad 2.2.5. Nechť množiny A, B jsou spočetné. Pak A × B je spočetná.
Příklad 2.2.6. Každá nekonečná podmnožina spočetné množiny má stejnou mohutnost jako N. Příklad 2.2.7. Množina všech zobrazení z N do {0, 1} je nespočetná.
Příklad 2.2.8. (vlastnosti subvalence) Pro libovolné množiny A, B, C platí: • (A B & B C) ⇒ A C, • A A, • (A B & B A) ⇒ A ≈ B (bez důkazu). (vlastnosti ekvivalence mohutnosti množin) Pro libovolné množiny A, B, C platí: • A≈A
(reflexivita),
• A≈B⇒B≈A
(symetrie),
• (A ≈ B & B ≈ C) ⇒ A ≈ C
(tranzitivita).
Příklad 2.2.9. R je nespočetné. Příklad 2.2.10. Transcendentních čísel je nespočetně mnoho. Příklad 2.2.11. Nechť A je množina. Pak platí A ≺ 2A , kde 2A značí potenci A, tj. množinu všech podmnožin množiny A. Příklad 2.2.12. R \ Q je hustá v R.
2.3
Téma 3: Infimum a limita posloupnosti
Příklad 2.3.1. Najděte infimum a supremum množin 1 { ; n ∈ N}, n 1 {n + ; n ∈ N}, n 1 1 {1 − + ; n, m ∈ N}. m n Příklad 2.3.2. Je-li q ∈ R, pak 0, 1, lim q n = ∞, neexistuje, 41
q q q q
∈ (−1, 1), = 1, > 1, ∈ (−∞, −1].
Příklad 2.3.3. Buď k ∈ N, a ∈ R, a ≥ 0. Buď {an } posloupnost nezáporných reálných čísel. Ukažte (z definice limity), že platí: √ √ lim an = a =⇒ lim k an = k a . Příklad 2.3.4. Ukažte „lemma o jednom strážníku v nekonečnuÿ: Buďte {an }, {bn } posloupnosti reálných čísel, an ≤ bn . Potom lim an = +∞ =⇒ lim bn = +∞ , lim bn = −∞
=⇒
lim an = −∞ .
Příklad 2.3.5. Zvolme a1 ∈ (0, 2) a definujme posloupnost an rekurentním vztahem an+1 := n ∈ N. Ukažte:
√ 2 + an ,
• an je neklesající posloupnost, • ∀n ∈ N : an ≤ 2. • S využítím znalosti, že každá monotónní a (z příslušné strany) omezená posloupnost má vlastní limitu ukažte, že lim an = 2. Příklad 2.3.6. Definujme posloupnosti n 1 , an := 1 + n
n+1 1 bn := 1 + . n
Ukažte: • ∀n ∈ N : an < bn , • an je rostoucí posloupnost, bn je klesající posloupnost, • an je omezená shora, bn je omezená zdola, • lim(bn − an ) = 0. S využítím znalosti, že každá monotónní a (z příslušné strany) omezená posloupnost má vlastní limitu ukažte, že n n+1 • existují vlastní lim 1 + n1 a vlastní lim 1 + n1 a rovnají se; • označíme-li tuto společnou limitu E, ukažte s využítím vlastností an a bn , že 2 < E < 3.
Příklad 2.3.7. Ukažte, že pro posloupnost kladných čísel an platí: √ √ lim n an = B > 1 =⇒ lim an = +∞ , lim n an = A < 1 =⇒ lim an = 0 , lim
an+1 = A < 1 =⇒ lim an = 0 , an
lim
an+1 = B > 1 =⇒ lim an = +∞ . an
Spočtěte limity lim
nk , an
lim
an , n!
lim
n! , nn
kde k ∈ N, a ∈ R, a > 1 . Příklad 2.3.8. Ukažte, že pro posloupnost kladných čísel an platí: lim inf
√ √ an+1 an+1 ≤ lim inf n an ≤ lim sup n an ≤ lim sup . an an
Odvoďte z toho, že platí: ∃ lim
an+1 =A∈R an
=⇒
∃ lim
√ n an = A .
Ukažte na příkladu, že tuto implikaci nelze obrátit. Spočtěte s využitím této implikace lim Příklad 2.3.9.
q n
n! nn E −n .
a) Dokažte Stolzovu větu: Nechť an , bn jsou posloupnosti reálných čísel, takové, že 42
• bn je rostoucí, lim bn = +∞,
−an = A ∈ R. • existuje lim abn+1 n+1 −bn
Potom existuje lim abnn = A. b) Ukažte na příkladech, že Stolzovu větu nelze obrátit. c) Ukažte, že nelze vynechat předpoklad neomezenosti posloupnosti {bn }. d) Spočtěte 1 1 √ √ 1+ , + ···+ n 2
1 lim √ n
lim
1 k + 2 k + · · · + nk , k ∈ N. nk+1
a1 +···+an Příklad 2.3.10. Buď {an }∞ . Potom platí: n=1 posloupnost reálných čísel a definujme bn := n existuje-li lim an = A ∈ R, existuje i lim bn = A. Dokažte. Ukažte, že může existovat lim bn a nemusí existovat lim an .
Příklad 2.3.11. Nechť {an } je posloupnost a {bn } je posloupnost obsažená v H({an }) s limitou b ∈ R∗ . Ukažte, že b ∈ H({an }). Příklad 2.3.12. Buď a ∈ R iracionální číslo. Ukažte, že množinou hromadných bodů posloupnosti {na − [na]}∞ n=1 (kde [x] značí celou část čísla x) je celý uzavřený interval [0, 1]. Příklad 2.3.13. Ukažte, že množinou hromadných bodů posloupnosti {sin n}∞ n=1 je celý uzavřený interval [−1, 1].
2.4
Téma 4: Číselné řady s nezápornými členy
Příklad 2.4.1. Seznamte se zněním (resp. osvěžte si znění) následujících (zjednodušených) kritérií konvergence číselných řad s nezápornými členy: P∞ Věta (Cauchyovo odmocninové kritérium). Nechť n=1 an je řada s nezápornými členy. Potom platí: P∞ √ (i) Je-li lim n an < 1, pak je n=1 an konvergentní. P∞ √ (ii) Je-li lim n an > 1, pak je n=1 an divergentní. P∞ Věta (d’Alembertovo podílové kritérium). Nechť n=1 an je řada s kladnými členy. P∞ (i) Je-li lim aan+1 < 1, pak je n=1 an konvergentní. n P∞ > 1, pak je n=1 an divergentní. (ii) Je-li lim aan+1 n Příklad 2.4.2. Rozhodněte, zda jsou následující řady konvergentní nebo divergentní: (a) (c) (f )
X 1 , n!
(b)
X (n!)2 , (2n)!
X (n + 7)! 7n
n!
,
X xn n!
(d) (g)
(x ∈ R, x > 0 pevné) ,
X 3n + 5 2n
X n! , nn
,
(h)
(e)
X 3n
n3
,
X 2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)
1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)
.
Příklad 2.4.3. Seznamte se zněním (resp. osvěžte si znění) následujících (zjednodušených) kritérií konvergence číselných řad s nezápornými členy: P∞ P∞ Věta (srovnávací kritérium). Nechť n0 ∈ N. Dále nechť n=1 an a n=1 bn jsou dvě řady splňující 0 ≤ an ≤ bn pro každé n ∈ N, n ≥ n0 . P∞ P∞ (i) Je-li n=1 bn konvergentní, je rovněž n=1 an konvergentní. P∞ P∞ (ii) Je-li n=1 an divergentní, je rovněž n=1 bn divergentní. 43
P∞ P∞ Věta (limitní srovnávací kritérium). Nechť n=1 an a n=1 bn jsou P∞ P∞řady s nezápornými členy a lim an /bn ∈ (0, ∞). Potom n=1 an konverguje, právě když konverguje n=1 bn . Příklad 2.4.4. Rozhodněte, zda jsou následující řady konvergentní nebo divergentní. √ √ √ X 1 + 4 n3 X 9 n10 + 10 n9 √ √ √ , (a) , (b) 9 3 11 1 + n5 n11 + n9 √ √ X n+1− n−1 , (c) n √ √ X n3 + n + 1 − n3 − n − 1 (d) , n X X 1! + 2! + · · · + n! n5 . , (f ) (e) (2n)! 2n + 3n + 5n
Příklad 2.4.5. Seznamte se zněním (resp. osvěžte si znění) následujícího kritéria konvergence číselných řad s nezápornými členy (případně naznačte důkaz): P∞ Věta (Raabeovo kritérium). Nechť n=1 an je řada s kladnými členy. P∞ n (i) Je-li lim n aan+1 − 1 > 1, pak je n=1 an konvergentní. (ii) Je-li lim n
an an+1
P∞ − 1 < 1, pak je n=1 an divergentní.
Příklad 2.4.6. Rozhodněte, zda jsou následující řady konvergentní nebo divergentní: X 1 (k ≥ 2 , k ∈ N) , nk √ X n! √ (c) √ , (2 + 1) · · · (2 + n) (a)
(b) (d)
a a(a + d) a(a + d)(a + 2d) + + + ··· b b(b + d) b(b + d)(b + 2d)
X 4n (n!)2 , (2 n + 1)! pro a, b, d > 0.
P∞ Příklad 2.4.7. Předpokládejme, že řada s nezápornými členy n=1 an diverguje. Označme {sn } poP∞ sloupnost částečných součtů řady n=1 an . Předpokládejme, že sn 6= 0 pro každé n ∈ N. Dokažte, že potom ∞ ∞ X X an an diverguje, (b) konverguje. (a) s s2 n=1 n n=1 n
Aplikujte tento výsledek na případy (i) an = 1, n ∈ N a (ii) an = log(1 + n1 ), n ∈ N. P Příklad 2.4.8. Předpokládejme, že řada s nezápornými členy ∞ n=1 an konverguje. Označme {rn } poP∞ P∞ sloupnost zbytků řady n=1 an , to jest rn = k=n ak , n ∈ N. Předpokládejme, že rn 6= 0 pro každé n ∈ N. Dokažte, že potom (a)
∞ X an diverguje, r n=1 n
(b)
∞ X an √ konverguje. rn n=1
P∞ Příklad 2.4.9. Nechť {an } je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Dokažte, že pokud n=1 an konverguje, potom limn→∞ nan = 0. Ukažte na příkladu, že tuto implikaci není možno obrátit. P Příklad 2.4.10. Nechť ∞ a postačující n=1 an je konvergentní řada s kladnými členy. P∞ Najděte Pnutnou ∞ podmínku pro existenci kladné posloupnosti {bn } takové, aby obě řady n=1 bn a n=1 abnn konvergovaly. P∞ P∞ Příklad 2.4.11. Existuje kladná posloupnost {an } taková, že řady n=1 an a n=1 n21an konvergují? P∞ Příklad 2.4.12. Dokažte, že pro každou konvergentní řadu n=1 an s kladnými členy existuje rostoucí P∞ posloupnost {cn } taková, že limn→∞ cn = ∞ a řada n=1 an cn konverguje. 44
Výsledky. • Příklad 2.4.2: (a) konverguje (podílové kr.), (b) konverguje ∀x ∈ R (podílové kr.), (c) konverguje (podílové kr.), (d) konverguje (podílové nebo odmocninové kr.), (e) diverguje (podílové nebo odmocninové kr.), (f) konverguje (podílové kr.), (g) konverguje (podílové kr.), (h) konverguje (podílové kr.). • Příklad 2.4.4: (a) diverguje (limitní srovnávací kr.), (b) diverguje (limitní srovnávací kr.), (c) diverguje (limitní srovnávací kr.), (d) konverguje (limitní srovnávací kr.), (e) konverguje (srovnávací kr., odhadněte čitatele shora), (f) konverguje (srovnávací kr., odhadněte jmenovatele zdola). • Příklad 2.4.6: (b) konverguje (Raabeovo kr.), (c) diverguje (Raabeovo kr.), (d) konverguje pro b > a + d a diverguje pro b < a + d (Raabeovo kr.), diverguje pro b = a + d (limitní srovnávací kr.). P∞ √ • Příklad 2.4.10: konvergence řady n=1 an
2.5
Téma 5: Limita funkce
Příklad 2.5.1. Určete následující limity, pokud existují. 1 lim x cos , x→0 x
lim x
x→∞
p p 3 x2 + 1 − x3 + 1 ,
lim xα (
x→∞
π − arctg x), α ∈ R. 2
lim x
x→0
1 . x
Příklad 2.5.2. Určete následující limity, pokud existují. (1 + x)α − 1 , x→0 xβ lim
1
lim (log x) x .
α, β ∈ R,
x→∞
Příklad 2.5.3. Spočtěte limity lim x2 ((1 + 2 + · · · + [
x→0
1 ]), |x|
lim x([
x→0+
1 2 k + [ ] + · · · + [ ]). x x x
Příklad 2.5.4. Určete následující limity, pokud existují. lim (cos x)
1 sin2 (x)
x→0
√ √ 1 − e−x − 1 − cos x √ . lim x→0+ sin x
log(cos x) lim , x→0 tg(x2 )
,
Příklad 2.5.5. Určete následující limity, pokud existují. lim
x→∞
tg
πx 2x + 1
x1
x x − log . lim x log 1 + x→∞ 2 2
,
Příklad 2.5.6. Z definice spočtěte limity lim
x→a
√
x, lim x3 , lim x→a
x→a
x . x2 + 1
Příklad 2.5.7. Ukažte, že existuje: (a) Funkce g : [0, 1] → [0, 1] taková, že g(I) = [0, 1] pro libovolný interval I ⊂ [0, 1]. Může taková funkce být v nějakém bodě spojitá? (b) Funkce f : R → R taková, že f (I) = R pro libovolný interval I ⊂ R. Příklad 2.5.8. Hledejte limity a zkoumejte spojitost funkcí D(x) sin x, D(R(x)), sin(R(x)) apod. Příklad 2.5.9. S využitím znalosti, že funkce f , monotónní na (c − δ, c), má limitu limx→c− f (x) (a podobně pro limitu zprava), ukažte, že množina všech bodů nespojitosti monotónní funkce je nejvýše spočetná. Rozmyslete si také, že všechny nespojitosti monotónní funkce jsou neodstranitelné nespojitosti 1. druhu, tj. nespojitosti typu „skokÿ. Příklad 2.5.10. Jaké dodatečné podmínky na funkce f a g je potřeba klást, aby platila věta o limitě složené funkce v různých „ jednostrannýchÿ verzích? Diskutujte například tyto možnosti: 45
(a) lim g(x) = D ∈ R, lim f (y) = A ∈ R & . . . =⇒ lim f (g(x)) = A. x→c+
x→c+
y→D−
(b) lim g(x) = +∞, lim f (y) = A ∈ R & . . . =⇒ lim f (g(x)) = A. x→c−
y→+∞
x→c−
∗
Příklad 2.5.11. Nechť existuje δ ∗ > 0 takové, že funkce f je definována alespoň na P δ (c). Definujme limes inferior (lim inf) a limes superior (lim sup) funkce f v bodě c takto: lim inf f (x) := x→c
sup inf {f (x) : x ∈ P (c, δ)} ,
δ∈(0,δ ∗ )
lim sup f (x) := x→c
inf
δ∈(0,δ ∗ )
sup {f (x) : x ∈ P (c, δ)} .
(a) Ukažte, že limita lim f (x) existuje právě tehdy, když existují lim inf f (x) a lim sup f (x) a rovnají x→c x→c x→c se. (b) Ukažte, že platí lim inf f (x) = lim inf {f (x) : x ∈ P (c, δ)} , x→c
δ→0+
lim sup f (x) = lim sup {f (x) : x ∈ P (c, δ)} x→c
δ→0+
a lim inf f (x) = inf {y ∈ R∗ : existuje posloupnost {xn }∞ n=1 , xn 6= c, lim xn = c, y = lim f (xn )} , x→c
lim sup f (x) = sup {y ∈ R∗ : existuje posloupnost {xn }∞ n=1 , xn 6= c, lim xn = c, y = lim f (xn )} . x→c
(c) Spočtěte lim inf x→c f (x) a lim inf x→c f (x) pro Dirichletovu resp. Riemannovu funkci v různých bodech c ∈ R. Příklad 2.5.12. Nechť f je spojitá funkce na R a {xn } omezená posloupnost v R. Platí lim sup f (xn ) = f (lim sup xn ) a
lim inf f (xn ) = f (lim inf xn )?
Co když přidáme předpoklad monotonie u funkce f ? Příklad 2.5.13. Zkoumejte spojitost funkcí f (x) = [x2 ] sin(πx),
1 [x] + (x − [x])[x] , x ∈ [ , ∞). 2
Příklad 2.5.14. Řekneme, že funkce f má na intervalu J Darbouxovu vlastnost, pokud pro všechna x, y ∈ J, x < y, a pro všechna c mezi f (x) a f (y) existuje z ∈ (x, y), že f (z) = c. Klasická věta reálné analýzy říká, že každá spojitá funkce na uzavřeném intervalu má Darbouxovu vlastnost. Ukažte, že funkce f (x) := sin x1 pro x ∈ (0, 1], f (0) := 0 je nespojitá na [0, 1] a přitom má Darbouxovu vlastnost. Příklad 2.5.15. Zkonstruujte tzv. Cantorovo diskontinuum C a ukažte: (a) Celková délka všech intervalů, které se při konstrukci Cantorova discontinua odstraní z intervalu [0, 1], je 1. (b) Množina všech bodů, patřících do Cantorova diskontinua C, je nespočetná. (c) Nechť C = [0, 1] \ ∪∞ j=1 (aj , bj ), kde (aj , bj ) jsou všechny intervaly, odstraněné při konstrukci C. x−a Uvažujte funkci g(x) := 2 bj −ajj − 1, pro x ∈ (aj , bj ) a g(x) := 0, x ∈ C. Ukažte, že tato funkce je nespojitá v nespočetně mnoha bodech intervalu [0, 1], přesto má na něm Darbouxovu vlastnost. Příklad 2.5.16. Existuje funkce, která není spojitá v žádném bodě intervalu J a přitom má na něm Darbouxovu vlastnost? Příklad 2.5.17. Buď f : R → R taková, že pro všechna a > 0 platí limn→∞ f (an) = 0. Existuje potom limx→∞ f (x)? Příklad 2.5.18.
• Ukažte, že darbouxovská a monotonní funkce f : R → R je spojitá. 46
• Tvoří darbouxovské funkce na R vektorový prostor? Příklad 2.5.19. Je-li f : R → R spojitá prostá, pak je monotónní. Dokažte. Výsledky. • Příklad 2.5.7: (a) Uvažujte x ∈ [0, 1) s dekadickým rozvojem x = 0.a1 a2 . . . ak . . . . Jsou dvě možnosti: α) Existuje p ∈ N takové, že a2n = 5 pro všechna n ≥ p; potom uvažujme nejmenší takové p a definujme g(x) := 0.a2p−1 a2p+1 a2p+3 . . . . β) Žádné p s uvedenou vlastností neexistuje; pak položme g(x) := 0. Ukážeme nyní, že g(I) = [0, 1] pro libovolný interval I ⊂ [0, 1) :
K libovolnému I ⊂ [0, 1) najdeme q ∈ N a čísla a1 , . . . , a2q ∈ {0, 1, . . . , 9} taková, že jak bod 0.a1 a2 . . . a2q tak bod 0.a1 a2 . . . a2q +10−2q leží v I; pak libovolný bod tvaru 0.a1 a2 . . . a2q a2q+1 a2q+2 . . . (kde a2q+1 , a2q+2 , . . . jsou zcela libovolné cifry z {0, 1, . . . , 9}) také leží v I. Mějme nyní libovolné y ∈ [0, 1], a nechť 0.y1 y2 . . . yn . . . je jeho desetinný rozvoj. Jak lze jednoduše ověřit, číslo z := 0.a1 . . . a2q 00y1 5y2 5y3 5 . . . leží v I a přitom g(z) = y. (b) Rozšiřme nyní g na celé R 1-periodicky, toto rozšíření budeme stále značit g. Potom zřejmě g(I) = [0, 1] pro libovolný interval I ⊂ R. Položme h(x) := g(x) kdykoli g(x) ∈ (0, 1), a h(x) := 12 pokud buď g(x) = 0 nebo g(x) = 1; pak h(I) = (0, 1) pro libovolný interval I ⊂ R. Protože dále ϕ(x) := tg π(x − 21 ) zobrazuje (0, 1) na R, zobrazuje funkce f := ϕ ◦ h každý interval I ⊂ R na celé R. • Příklad 2.5.9: Bez újmy na obecnosti uvažujte neklesající f . Pro každý bod nespojitosti x0 funkce f platí, že otevřený interval (limx→x0 − f (x), limx→x0 + f (x)) je nedegenerovaný, tj. neprázdný. Lze tedy bodu x0 přiřadit (libovolné) racionální číslo rx0 z tohoto intervalu. Protože pro dva různé body nespojitosti x1 6= x2 funkce f jsou intervaly (limx→x1 − f (x), limx→x1 + f (x)) a (limx→x2 − f (x), limx→x2 + f (x)) disjunktní (důsledek monotonie), je takovéto přiřazení prostým zobrazením z množiny bodů nespojitosti f do Q. • Příklad 2.5.10: (a) Buď musí existovat ε > 0, δ > 0 taková, že g(P + (c, δ)) ⊂ P − (D, ε), nebo stačí, když existují ε > 0, δ > 0 taková, že g(P + (c, δ)) ⊂ B − (D, ε) a f je spojitá v bodě D zleva. (b) Není potřeba žádná dodatečná podmínka.
• Příklad 2.5.16: Uvažte funkci z problému 1. √ √ • Příklad 2.5.17: Uvažte f (n n 2) := 1 a f (x) := 0 pro x 6= n n 2, n ∈ N.
2.6
Téma 6: Derivace
Příklad 2.6.1. Zderivujte: cos x, tg x, cotg x, arccos x, arctg x, arccotg x. Příklad 2.6.2. Nalezněte derivace následujících funkcí v bodech, ve kterých existují: x|x|,
p 1 |x|, |x| sin2 (πx), arccos , logx (2), logx (cos x). |x|
Příklad 2.6.3. Nalezněte derivace následujících funkcí v bodech, ve kterých existují: ( arctg x, |x| ≤ 1; (a) f (x) := π x−1 sgn x + , |x| > 1; 4 2 (
2
arctg x2 e−x , (b) f (x) := 1 e, ( 1 , arctg |x| (c) f (x) := π 2, Příklad 2.6.4. Najděte funkci f : R → R tak, že: 47
|x| ≤ 1; |x| > 1; x 6= 0;
x = 0.
• f ′ (0) > 0 a funkce není rostoucí na žádném okolí 0, • f ′ (0) = 0 a funkce je rostoucí na R, • f ′ (0) > 0, funkce není rostoucí na žádném okolí 0 a má na R vlastní derivaci. Příklad 2.6.5. Spočtěte z definice (pokud existují) derivace následujících funkcí: 1. x sin x1 v bodě x = 0, x2 sin x1 v bodě x = 0; 2. xD(x) v bodě x = 0, x2 D(x) v bodě x = 0, kde D(x) je Dirichletova funkce; Příklad 2.6.6. 1. Víte-li, že (xn )′ = nxn−1 , x > 0, n ∈ N, spočtěte pomocí věty o derivaci inverzní 1/n ′ funkce (x ) . 2. Na přednášce byla dokázána věta o derivaci inverzní funkce ve vnitřních bodech otevřeného intervalu. Nechť tedy nyní f je ryze monotónní na [a, b] a má jednostranné derivace v a zprava (resp. v b zleva). Zformulujte a dokažte větu o (jednostranných) derivacích inverzní funkce f −1 v bodech f (a), f (b) (z příslušné strany). Spočtěte poté derivace (resp. jednostranné derivace) funkce arcsin ve všech bodech jejího definičního oboru. Příklad 2.6.7. Nechť f (a) > 0 a f ′ (a) ∈ R. Spočtěte lim
n→∞
f (a + 1/n) f (a)
1/n
,
lim
x→a
f (x) f (a)
1 log x−log a
.
Příklad 2.6.8. Nechť existuje f ′ (a) a {xn }, {yn } jsou posloupnosti v R \ {a} konvergující k a takové, že xn 6= yn . Platí, že f (xn ) − f (yn ) = f ′ (a)? lim n→∞ xn − yn A co když xn < a < zn ?
Příklad 2.6.9. Nechť f : R → R má vlastní derivaci a je lichá. Pak f ′ je sudá. Co když je f sudá?
2.7
Téma 7: Věty o střední hodnotě a L’Hospitalovo pravidlo
Příklad 2.7.1. Dokažte: Je-li f spojitá na [a, b], má vlastní derivaci na (a, b) a f (a) = f (b) = 0, pak pro každé reálné α existuje x ∈ (a, b) takové, že αf (x) + f ′ (x) = 0. Příklad 2.7.2. Dokažte: Jsou-li f a g spojité na [a, b], mají vlastní derivaci na (a, b) a f (a) = f (b) = 0, pak existuje x ∈ (a, b) takové, že g ′ (x)f (x) + f ′ (x) = 0. Příklad 2.7.3. Dokažte: Je-li f spojitá na [0, 2], má vlastní druhou derivaci na (0, 2) a f (0) = 0, f (1) = 1 a f (2) = 2, pak existuje x ∈ (0, 2) takové, že f ′′ (x) = 0. Příklad 2.7.4. Nechť f má konečnou derivaci v každém bodě (a, b). Je-li {f ′ (x); x ∈ (a, b)} konečná, pak f je lineární funkce na (a, b). Příklad 2.7.5. Sestrojte spojitou nekonstantní f : [0, 1] → R takovou, že f ′ (x) existuje pro každé x ∈ (a, b) a množina {x ∈ (a, b); f ′ (x) = 0} je nekonečná. Příklad 2.7.6. Nechť f : R → R má spojitou f ′ a f ′′ ≥ 2 na R. Nechť dále platí f (0) = f ′ (0) = 0. Ukažte, že f (x) ≥ x2 pro x ∈ [0, ∞). Příklad 2.7.7. Nechť pro f : (a, b) → R existuje K > 0, β > 1 taková, že |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|β , Pak f je konstantní na (a, b). 48
x, y ∈ (a, b).
Příklad 2.7.8. Pomocí L’Hospitalova pravidla určete následující limity. 2
lim
arctg xx2 −1 +1
x→1
x−1
;
lim x
x→∞
1 1+ x
x
1
−e ;
lim (6 − x) x−5 .
x→5
Příklad 2.7.9. Spočtěte limity. (log x)α , α, β ∈ (0 ∞); x→∞ xβ lim
2.8
xα , α > 0; x→∞ ex
lim xα | log x|β , α, β > 0.
lim
x→0+
Téma 8: Elementární funkce
Příklad 2.8.1. ∀ x ∈ R : Příklad 2.8.2. jité,
exp(x) = limn→∞ 1 +
x n . n
(a) Funkce tg, cotg, arcsin, arccos, arctg, arccotg jsou na svém definičním oboru spo-
(b) ∀ x ∈ [−1, 1] : ∀x∈R: Příklad 2.8.3.
arcsin x + arccos x =
arctg x + arccotg x =
π . 2
π , 2
• Nalezněte vzorec pro arcsin(sin x), x ∈ R.
• Nalezněte vzorec pro arctg(x) − arctg(y), x, y ∈ R. Příklad 2.8.4. Definujte tzv. hyperbolické funkce (hyperbolický sinus, kosinus, tangens a kotangens): ex − e−x , 2 x −x sinh x e −e tgh x := , = x cosh x e + e−x
ex + e−x , 2 1 cosh x ex + e−x cotgh x := , = = x tgh x sinh x e − e−x
sinh x :=
cosh x :=
a ukažte: (a) D(sinh) = R, sinh je na celém definičním oboru spojitá lichá a rostoucí, zobrazuje R prostě na R, a pro její derivaci platí: (sinh x)′ = cosh x , x ∈ R; (b) D(cosh) = R, cosh je na celém definičním oboru spojitá a sudá, která zobrazuje R na [1, +∞), přičemž je klesající na (−∞, 1] a rostoucí na [1, +∞), a pro její derivaci platí: (cosh x)′ = sinh x ,
x ∈ R;
(c) D(tgh) = R, tgh je na celém definičním oboru spojitá lichá a rostoucí, zobrazuje R prostě na (−1, 1), a pro její derivaci platí: 1 , x ∈ R; (tgh x)′ = cosh2 x (d) D(cotgh) = R \ {0}, cotgh je na celém definičním oboru spojitá a lichá, zobrazuje R \ {0} prostě na R \ [−1, 1], přičemž je klesající na (−∞, 0) a klesající na (0, +∞) (nikoli však klesající na R \ {0}, a pro její derivaci platí: 1 , x ∈ R \ {0}. (cotgh x)′ = sinh2 x Příklad 2.8.5. Definujte inverzní hyperbolické (tzv. hyperbolometrické) funkce: argsinh := argcosh := argtgh := argcotgh :=
−1
(sinh) , −1 cosh|[0,+∞) , (tgh)−1 ,
−1
(cotgh) 49
,
a ukažte, že jsou to spojité bijekce mezi uvedenými dvojicemi množin: argsinh : R → R ,
argcosh : [1, +∞) → [0, +∞) , argtgh : (−1, 1) → R ,
argcotgh : R \ [−1, 1] → R \ {0} .
Studujte monotonii uvedených funkcí. Příklad 2.8.6. Ukažte některé ze základních vztahů pro hyperbolické funkce: ex
=
cosh2 x − sinh2 x =
cosh x + sinh x 1
sinh 2x = cosh 2x =
2 sinh x cosh x cosh2 x + sinh2 x
x 2 2 x cosh 2
cosh x − 1 2 cosh x + 1 2
sinh2
= =
sinh(x + y) =
sinh x cosh y + cosh x sinh y
sinh(x − y) = cosh(x + y) =
sinh x cosh y − cosh x sinh y cosh x cosh y + sinh x sinh y
cosh(x − y) =
cosh x cosh y − sinh x sinh y
sinh x + sinh y
=
sinh x − sinh y
=
cosh x + cosh y
=
cosh x − cosh y
=
x+y x−y cosh 2 2 x−y x+y sinh 2 cosh 2 2 x−y x+y cosh 2 cosh 2 2 x−y x+y sinh 2 sinh 2 2
2 sinh
Porovnejte tyto vztahy se vztahy pro goniometrické funkce! Příklad 2.8.7. Ukažte, že platí: argsinh x argcosh x argtgh x argcotgh x
2.9
p x2 + 1) , x ∈ R, p 2 = ln(x + x − 1) , x ∈ R, r x + 1 = ln x ∈ (−1, 1) , , x−1 r x + 1 x ∈ R \ [−1, 1] . = ln , x−1 = ln(x +
Téma 9: Základní vlastnosti polynomů
Tvrzení 2.9.1. Polynom tvaru (4.1), n ≥ 0, an 6= 0, má nejvýše n kořenů. Tvrzení 2.9.2. Nechť P (z) = an z n + · · · + a1 z + a0 a Q(z) = bn z n + · · · + b1 z + b0 jsou dva polynomy takové, že platí P (z) = Q(z) pro n + 1 různých komplexních čísel. Potom aj = bj , j = 1, . . . , n. 50
Definice 2.9.3. Číslo α ∈ C nazveme kořenem polynomu P násobnosti k (říkáme také, že α je knásobným kořenem polynomu P ), 1 ≤ k ≤ st(P ), pokud existuje polynom Q takový, že P (z) = (z − α)k Q(z) Q(α) 6= 0 .
Tvrzení 2.9.4.
(2.1)
∀z ∈ C ,
(2.2)
(i) Polynom Q z (2.1) má stupeň st(P ) − k.
(ii) Každý kořen polynomu stupně n ≥ 1 má jednoznačně určenou násobnost. Návod: V případě, že Q(α) 6= 0, jste hotovi, jinak aplikujte na Q(x) znovu (případně opakovaně) Tvrzení 4.1.4. Jednoznačnost lze ukázat sporem: pokud by existovala 1 ≤ k1 < k2 ≤ n, že P (z) = (z − α)k1 Q1 (z) = (z − α)k2 Q2 (z), dostanete Q1 (z) = (z − α)k2 −k1 Q2 (z), odkud Q1 (α) = 0. Tvrzení 2.9.5 (základní věta algebry). Buď P polynom tvaru (4.1), st(P ) = n ≥ 1. Potom existuje α ∈ C, které je kořenem polynomu P . Důsledek 2.9.6 (rozklad polynomu na kořenové činitele). Buď P polynom tvaru (4.1), st(P ) = n ≥ 1. Potom existují jednoznačně (až na pořadí) určená čísla αj ∈ C, j = 1, . . . , m (kořeny polynomu P ), a jednoznačně určená čísla kj ∈ N, 1 ≤ kj ≤ n, j = 1, . . . , m (násobnosti kořenů αj ) taková, že P (z) = an (z − α1 )k1 · · · (z − αm )km
(2.3)
∀z ∈ C .
Navíc platí k1 + · · · + km = n ,
(2.4)
neboli platí, že polynom P stupně n ≥ 1 má právě n komplexních kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, jaká je jeho násobnost. Návod: Užijte základní větu algebry, získáte kořen α1 polynomu P . Buď jeho násobnost k1 podle Tvrzení 2.9.4, (ii); podle (2.1)–(2.2) pište P (z) = (z −α1 )k1 Q1 (z), Q1 (α1 ) 6= 0. Je-li st Q1 (= st P −k1 ) ≥ 1 lze tento proces opakovat, dokud nedostanete polynom Qm , st Qm = 0, tedy Qm (z) = c0 6= 0 pro vhodnou konstantu c0 . Vztah (2.4) plyne buď z konstrukce polynomů Qj nebo z toho, že nejvyšší mocnina z vpravo v (2.3) je z k1 +···+km . Porovnáním koeficientů u z n v (4.1), (2.3) dostanete c0 = an (viz Tvrzení 2.9.2). Tvrzení 2.9.7. Buď P polynom stupně n ≥ 1 s reálnými koeficienty, buď 1 ≤ k ≤ n. Potom α ∈ C je kořenem polynomu P násobnosti k právě tehdy, když α ∈ C je kořenem polynomu P násobnosti k. Zde α značí číslo komplexně sdružené k α ∈ C. Návod: Vyjděte z (2.1) a uvažte nejprve pouze reálná x. Pak ovšem P (x) = P (x) = (x−α)k Q(x), kde Q je polynom s koeficienty komplexně sdruženými k odpovídajícím koeficientům polynomu Q. Rovnost P (x) = (x − α)k Q(x) platí pro všechna reálná x, a tedy podle Tvrzení 2.9.2 i pro všechna z ∈ C. Odtud plyne, že α ∈ C je kořenem P násobnosti větší nebo rovné násobnosti kořene α. Provedeme-li ale stejnou úvahu pro kořen α polynomu P , vidíme, že α = α je kořenem P násobnosti větší nebo rovné násobnosti kořene α. S využitím předchozího výsledku lze ukázat následující variantu Tvrzení 2.9.6. Tvrzení 2.9.8. Buď P polynom stupně n ≥ 1 s reálnými koeficienty. Buďte αj ∈ R, j = 1, . . . , m právě všechny reálné kořeny polynomu P s násobnostmi kj ∈ N, 1 ≤ kj ≤ n, j = 1, . . . , m. Buďte dále βj , βj ∈ C \ R, j = 1, . . . , ℓ právě všechny dvojice komplexně sdružených kořenů polynomu P , s násobnostmi λj , j = 1, . . . , ℓ. Pak platí P (z) = an (z − α1 )k1 · · · (z − αm )km (z 2 + γ1 z + δ1 )λ1 · · · (z 2 + γℓ z + δℓ )λℓ
∀z ∈ C ,
(2.5)
kde γj , δj jsou reálná čísla taková, že polynomy z 2 + γj z + δj mají právě kořeny βj , βj ∈ C \ R. Navíc platí k1 + · · · + km + 2(λ1 + · · · + λℓ ) = n . 51
(2.6)
2.10
Téma 10: Konvexita, průběh funkce
Příklad 2.10.1. Nechť f je konvexní funkce na otevřeném intervalu (a, b) ⊂ R. Dokažte, že f má derivaci v každém bodě x ∈ (a, b) až na nejvýše spočetnou množinu. Příklad 2.10.2. Nechť f je konvexní funkce na otevřeném intervalu (a, b) ⊂ R. Dokažte, že potom platí Jensenova nerovnost f (ax + by) ≤ af (x) + bf (y) pro každé x, y ∈ (a, b) a a, b ≥ 0, a + b = 1. Zformulujte obecnou verzi tohoto tvrzení pro n sčítanců. Příklad 2.10.3. Dokažte Youngovu nerovnost : pro každé x, y > 0 a p.q > 0, xy ≤
1 p
+
1 q
= 1 platí
yq xp + . p q
Příklad 2.10.4. Nechť a 6= b, a, b ∈ R. Potom eb − ea ea + eb < . b−a 2 Příklad 2.10.5. Nechť f je konvexní funkce na otevřeném intervalu (a, b) ⊂ R. Dokažte, že potom je buďto f monotónní na (a, b) nebo existuje bod c ∈ (a, b) s vlastností f (c) = min{f (x); x ∈ (a, b)}, přičemž f je nerostoucí na (a, c] a neklesající na [c, b). Příklad 2.10.6. Je-li f reálná funkce a x ∈ R, řekneme, že f je rostoucí v bodě x pokud existuje δ > 0, δ δ že f (y) < f (x) pro y ∈ P− (x) a f (y) > f (x) pro y ∈ P+ (x). Dokažte následující tvrzení: • Je-li f ′ (x) > 0, je f rostoucí v x; • Je-li f rostoucí v každém bodě intervalu (a, b), je rostoucí na (a, b). Příklad 2.10.7. Ukažte, že • sin x ≤ x, x ∈ [0, ∞); • ex − 1 ≥ x, x ∈ [0, ∞); • (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ), a, b > 0, p ≥ 1. Příklad 2.10.8. Rozhodněte, které z dané dvojice čísel je větší. Snažte se nalézt analytický důkaz. (i) eπ
nebo
πe ,
√ 2
(ii) 2 nebo e, (iii) log 8 nebo 2. Příklad 2.10.9. Vyšetřete průběhy funkcí x , f (x) = (x − 1) exp 1+x p 4 2 f (x) = arcsin arctg 1 − x . π
52
Kapitola 3
Matematická analýza 1a - cvičení 3.1
Téma 1: Opakování středoškolské látky, logika, matematická indukce
Příklad 3.1.1. Řešte následující nerovnice v R: x−2 ≥ 1, 2x − 8
2x + 3 x+2 > . x+3 x+6
log 31 (x2 − 3x + 3) ≥ 0,
Příklad 3.1.2. Nakreslete graf funkce f (x) = ||||x| − 1| − 1| − 1|. Příklad 3.1.3. Určete definiční obor a obor hodnot funkce f (x) = x −
√ x2 − 1.
Příklad 3.1.4. Dokažte následující formulky: n X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1) , 6
n X
k=1
k 3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)2 .
√ √ Příklad 3.1.5. (i) Dokažte, že √ ( 2 + 3) 6∈ Q. (ii) Pro která n ∈ N platí: n ∈ Q? (iii) Dokažte pomocí vhodného protipříkladu, že neplatí výrok ∀n ∈ N :
n2 + n + 41 je prvočíslo.
(iv) Nyní dokažte, že neplatí ani výrok ∀n ∈ N, n < 41 :
n2 + n + 41 je prvočíslo.
Příklad 3.1.6. Dokažte, že následující vztahy platí pro všechna n ∈ N: n+1 n n = + ; k+1 k k+1 n X n = 2n ; k k=0 n X n k = n2n−1 . k k=0
Příklad 3.1.7. Vyjádřete cos 5x (resp. sin 5x) pouze pomocí funkcí cos x a sin x. Příklad 3.1.8. Dokažte pro a, b ∈ R: |a + b| ≤ |a| + |b|,
||a| − |b|| ≤ |a − b|.
Příklad 3.1.9. (i) Pro všechna n ∈ N platí n ≤ 2n . Dokažte! (ii) Pro všechna n ∈ N, n 6= 3, platí n2 ≤ 2n . Dokažte! Příklad 3.1.10. Řešte rovnice: sin 2x = sin x,
2 sin x + cos x = 1, 53
log(x2 + 1) = 2 log(3 − x).
Příklad 3.1.11. Sečtěte: sin x + · · · + sin nx. Příklad 3.1.12.
2n 2n 2n + + ···+ . 0 2 2n
Příklad 3.1.13. Dokažte, že pro n ∈ N, n ≥ 3, platí:
Výsledky.
(n + 1)n ≤ nn+1 . √ √ • Cvičení 3.1.1: (4, 6i; h1, 2i; (−6, −3) ∪ (−1 − 13)/2, (−1 + 13)/2
• Cvičení 3.1.4: Použijte matematickou indukci. • Cvičení 3.2.1: Všechny výroky jsou pravdivé.
• Cvičení 3.2.2: (i) B je padouch a C je poctivec; (ii) oba jsou poctivci; (iii) oba jsou padouši; (iv) ano. • Cvičení 3.1.5: (ii) n = k 2 , k ∈ N; (iii) n = 41; (iv) n = 40.
Cvičení 3.1.7: Použijeme-li Moivreovu větu nebo součtové vzorce dostaneme: cos 5x = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x, sin 5x = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x.
Cvičení 3.1.8: První nerovnost dokažte užitím vhodné definice absolutní hodnoty nebo provedením diskuse znamének členů v absolutních hodnotách. Druhou nerovnost odvoďte z první. Cvičení 3.1.9: Použijte matematickou indukci. Cvičení 3.1.10: 1. rovnice: x = kπ nebo x = π3 + 2kπ nebo x = nebo x = π − arcsin(4/5) + 2kπ, kde k ∈ Z; 3. rovnice: 4/3
5π 3
+ 2kπ, kde k ∈ Z; 2. rovnice: x = 2kπ
Cvičení 3.1.11: Vhodným použitím Moivreovy věty a vzorce pro součet geometrické řady dostaneme: cos x2 − cos(n + 21 )x 2 sin(x/2)
pro x 6= 2kπ, k ∈ Z.
Pokud x = 2kπ, k ∈ Z, pak je součet roven nule.
Cvičení 3.1.12: Použijte binomickou větu na výrazy (1 + 1)2n a (1 − 1)2n . Výsledek: 22n−1 .
Cvičení 3.1.13: Použijte matematickou indukci nebo aplikujte binomickou větu na (n + 1)n a pak odhadněte členy binomického rozvoje.
3.2
Téma 2: Výroky, kvantifikátory, zobrazení, supremum a infimum
Příklad 3.2.1. Rozhodněte o správnosti následujících výroků a napište jejich negace. ∀x ∈ N ∃y ∈ N : (z > x =⇒ y < z)
∀a ∈ R ∃ε > 0 ∃α ∈ R ∀x ∈ R : (x ∈ (a, a + ε) ⇐⇒ |x − α| < 1); ∃a ∈ R ∀ε > 0 ∀α ∈ R ∃x ∈ R : (x ∈ (a, a + ε) ⇐⇒ |x − α| < 1). Příklad 3.2.2. Hádanky z ostrova poctivců a padouchů (podle R. Smullyana): (i) Jdete kolem tří obyvatel ostrova a zeptáte se: „Kolik je mezi vámi poctivců?ÿ A odpoví nezřetelně, tak se zeptáte B: „Co říkal A?ÿ B odpoví: „A říkal, že je mezi námi jediný poctivecÿ. Nato řekne C: „Nevěřte B, ten lže!ÿ Co jsou B a C? (ii) A řekne: „Buď jsem já padouch a nebo B je poctivec.ÿ Co jsou A a B? (iii) A řekne: „Já jsem padouch, ale B je poctivec.ÿ Co jsou A a B? (iv) A řekne: „B a C mají stejnou povahu.ÿ Nato se zeptáte C: „Mají A a B stejnou povahu?ÿ Co odpoví C? 54
Příklad 3.2.3. Zjistěte, zda následující množiny mají supremum a infimum. Pokud ano, určete je. 1 A= − ; n∈N ; n n + (−1)n ; n∈N ; B= n n o n C = n(−1) ; n ∈ N ; n √ o D = q ∈ Q; q < 3 ; E = {sin x cos x; x ∈ R} .
Příklad 3.2.4. Charakterizujte zobrazení f : M → L, pro která platí • ∀A ⊂ M : f −1 (f (A)) = A, • ∀B ⊂ L : f (f −1 (B)) = B. Příklad 3.2.5. Nalezněte suprema a infima následujících množin (pokud existují): • A = {p/(p + q); p ∈ N, q ∈ N}, • B = {sin x; x ∈ h0, 2πi}, • C = {n2 − m2 ; n ∈ N, m ∈ N}, • D = {2−n + 3−n ; n ∈ N}, • E = {5(−1) Výsledky.
j k
3
; j ∈ Z, k ∈ Z}.
• Cvičení 3.2.1: Všechny výroky jsou pravdivé.
• Cvičení 3.2.2: Cvičení 3.2.2: (i) B je padouch a C je poctivec; (ii) oba jsou poctivci;
(iii) oba jsou padouši; (iv) ano. • Cvičení 3.2.3: sup A = 0, inf A = −1; sup B = 23 , inf B = 0; sup C neexistuje, inf C = 0; sup D = inf D neexistuje; sup E = 21 , inf E = − 21 .
3.3
Téma 3: Limita posloupnosti reálných čísel
Příklad 3.3.1. Vypočtěte: 2n2 + n − 3 , n→∞ n3 − 1 lim
2n5 + 3n − 2 , n→∞ n5 − 3n3 + 1 lim
Příklad 3.3.2. Spočtěte limity následujících posloupností: 2 1 + 2 + ···+ n n 1 + 2 2 + · · · + n2 , , − n+2 2 n3
lim
2n3 + 6n . − 7n + 7
n→∞ n3
1 3 + 2 3 + · · · + n3 n4
Příklad 3.3.3. Vypočtěte: √ 2n n 3 n + n5 n n + 4n , 2 lim , lim , lim , n→∞ n! n→∞ 2n n→∞ n→∞ n6 + n! s p ((n + 2)2 − (n + 1)2 )n+1 n n2 + n3 + n4 + 2 n + 3 n + 4 n , . lim lim n n→∞ n→∞ ((n + 1)3 − n3 − 3n2 )n−1 lim
√ n an + b n √ pro a > b > 0. Příklad 3.3.4. Vypočtěte: lim n n→∞ a2n + b2n 55
.
√ 3,
Příklad 3.3.5. Spočtěte limity: √ √ 4 √ √ √ √ n+2− 4n+1 √ lim 3 n + 1 − 3 n, lim , lim ( n + 1 − n), √ 3 n→∞ n→∞ n→∞ n+3− 3 n √ √ √ √ 3 3 n2 + 7 − 3 n2 + 1 n3 + n − 3 n3 + 1 √ √ . lim , lim √ √ 3 3 n→∞ n→∞ 3 n3 + 2n − 3 n3 + n n2 + 6 − n2
Příklad 3.3.6. Spočtěte
√ √ √ lim (−1) n( n + 1 − n), n
n→∞
Příklad 3.3.7. Spočtěte limitu
√ n3 n n √ . lim (−1) 3 n→∞ n + 2n n n
(n + 4)100 − (n + 3)100 . n→∞ (n + 2)100 − n100 lim
Příklad 3.3.8. Spočtěte limitu
lim (n2 + sin(n + 1))
n→∞
Příklad 3.3.9. Spočtěte:
p p n4 + 2 − n4 + 1 .
5 2n − 1 3 1 , + 2 + 3 + ··· + lim n→∞ 2 2 2 2n 1 1 1 1 lim 1− 2 1− 2 1 − 2 ··· 1 − 2 . n→∞ 2 3 4 n
Výsledky.
• Cvičení 3.3.1: 0, 2, 2
• Cvičení 3.3.2: −1/2, 1/3, 1/4 • Cvičení 3.3.3: 1-4. 0, 4, 0, 0
2n = +∞. Odtud plyne, že existuje n0 ∈ N takové, že n→∞ nk
5. Víme, že pro k ∈ N platí lim
∀n ∈ N, n ≥ n0 : n2 ≤ n3 ≤ n4 ≤ 2n ≤ 3n ≤ 4n . Platí tedy
p √ n n ∀n ∈ N, n ≥ n0 : 4 ≤ n2 + n3 + n4 + 2n + 3n + 4n ≤ 4 6. √ n Víme, že platí lim 6 = 1 a proto podle věty o dvou policajtech dostáváme n→∞
lim
n→+∞
p n n2 + n3 + n4 + 2n + 3n + 4n = 4.
6. 2/3 • Cvičení 3.3.4: 1/a • Cvičení 3.3.5:1.-4. 0, 0, 0, 1
5. Nejprve upravíme výraz, jehož limitu máme spočítat. √ √ 3 n3 + n − 3 n3 + 1 √ √ 3 n3 + 2n − 3 n3 + n 1 1 1 2 2 1 (n3 + n) 3 − (n3 + 1) 3 (n3 + n) 3 + (n3 + n) 3 (n3 + 1) 3 + (n3 + 1) 3 · = 1 2 1 1 1 2 · (n3 + 2n) 3 − (n3 + n) 3 (n3 + n) 3 + (n3 + n) 3 (n3 + 1) 3 + (n3 + 1) 3 ·
2
1
1
2
2 3
1 3
1 3
2
(n3 + 2n) 3 + (n3 + 2n) 3 (n3 + n) 3 + (n3 + 1) 3
(n3 + 2n) + (n3 + 2n) (n3 + n) + (n3 + 1) 3 2
1
1
2
n − 1 (n3 + 2n) 3 + (n3 + 2n) 3 (n3 + n) 3 + (n3 + n) 3 · = 2 1 1 2 n (n3 + n) 3 + (n3 + n) 3 (n3 + 1) 3 + (n3 + 1) 3 =
n − 1 (1 + · n (1 +
2 32 n2 ) 1 32 n2 )
+ (1 + + (1 +
2 13 n2 ) (1 1 13 n2 ) (1
56
+ +
1 13 n2 ) 1 13 n3 )
+ (1 + + (1 +
1 23 n2 ) 1 23 n3 )
√ √ 3 n3 + n − 3 n3 + 1 √ Odtud již vyplývá, že lim √ = 1. n→∞ 3 n3 + 2n − 3 n3 + n
• Cvičení 3.3.6: 1. Limita neexistuje. 2. Spočítejme nejprve tuto limitu
Platí
√ n3 n n √ . lim n→∞ n3 + 2n n
√ n3 n n √ = lim lim n→∞ n3 + 2n n n→∞
√ n n q√
= 1. n n 1+ n6 √ n n = 1. Z výše uvedeného a věty o limitě
Zde jsme využili větu o aritmetice limit a limn→∞ vybrané posloupnosti vyplývá, že √ √ (2n)3 2n 2n (2n + 1)3 2n+1 2n + 1 √ √ lim =1 a lim − = −1. n→∞ (2n)3 + 4n 2n n→∞ (2n + 1)3 + 4n+2 2n + 1 √ 3 n n n n √ neexistuje. To znamená, že lim (−1) 3 n→∞ n + 2n n • Cvičení 3.3.7: Platí: 100
(n + 4)
100
− (n + 3)
100 100 X 100 100−j j X 100 100−j j n 3 n 4 − = j j j=0 j=0
100 X 100 100−j j n (4 − 3j ) = 100n99 + P1 (n); = j j=0
(n + 2)100 − n100 = 200n99 + P2 (n),
kde P1 , P2 jsou polynomy stupně ostře menšího než 99. Pro tyto polynomy tedy platí lim
n→∞
Dostáváme tak:
P1 (n) = 0, n99
lim
n→∞
P2 (n) = 0. n99
100 + (n + 4)100 − (n + 3)100 = lim 100 100 n→∞ n→∞ 200 + (n + 2) − n lim
P1 (n) n99 P2 (n) n99
= 1/2.
• Cvičení 3.3.8: Platí p p lim (n2 + sin(n + 1)) · ( n4 + 2 − n4 + 1)
n→∞
√ √ p p n4 + 2 + n4 + 1 4 4 √ = lim (n + sin(n + 1)) · ( n + 2 − n + 1) · √ n→+∞ n4 + 2 + n4 + 1 2
1 + sin(n+1) n2 + sin(n + 1) n2 √ q = lim √ = lim q n→+∞ n4 + 2 + n4 + 1 n→+∞ 1 + 24 + 1 + n
1 n4
.
Víme, že platí: (1) ∀n ∈ N : | sin(n + 1)| ≤ 1,
(2) limn→∞
1 n2
= 0.
Z (1) a (2) plyne limn→∞
sin(n+1) n2
= 0. Odtud, z (3) a z věty o aritmetice limit plyne
lim (n2 + sin(n + 1)) ·
n→∞
1 p p n4 + 2 − n4 + 1 = . 2
• Cvičení 3.3.9: 3, 1/2 57
3.4
Téma 4: Vyšetřování konvergence číselných řad
Příklad 3.4.1. Zjistěte, zda konvergují (divergují) řady: ∞ X
(−1)n
n=1
∞ X
∞ X 2n , n! n=1
n2 , 3 n +1 n=1
2n2 + 3n + 4 , 2n2 + 5
∞ X 2n 1 . n 5n n=1
Příklad 3.4.2. Zjistěte, zda následující řady konvergují: √ ∞ ∞ √ 3 X X n2 + 5 − 3 n2 + 1 1 √ √ √ , , 4 n 2n + 1 2n + 3 n=1 n=1
∞ X
n=1
2n
n5 . + 3n
Příklad 3.4.3. Vyšetřete konvergenci následujících řad: ∞ X n! , n2 2 n=1
∞ X
∞ X 2n + (−1)n n , 3n + (−1)n n n=1
3 , n − 2n 2 n=3
∞ p p X ( n3 + 1 − n3 − 1).
n=1
Příklad 3.4.4. Vyšetřete konvergenci následujících řad: ∞ X 3n + 4n , 4n + 5n n=1
∞ X n5 , 5n n=1
∞ X
(−1)n
n=1
2n2 + 3n + 4 . (2n2 + 5)2
Příklad 3.4.5. Určete pro která z ∈ R následující řady konvergují: ∞ X
n3 z n ,
n=1
∞ X 2n n z , n! n=1
∞ X 2n n z , n2 n=1
∞ X n3 n z . 3n n=1
Příklad 3.4.6. Určete pro která z ∈ R následující řady konvergují: ∞ X (−1)n+1 z n , n n=1
Výsledky.
∞ X (−1)n z 2n+1 . 2n + 1 n=0
∞ X zn , n2 n=1
• Cvičení 3.4.1: Diverguje, diverguje, konverguje, konverguje.
• Cvičení 3.4.2: Konverguje, diverguje, konverguje. • Cvičení 3.4.3, 1): Všechny členy uvažované řady jsou kladné, můžeme proto zkusit použít podílové kritérium: (n+1)! an+1 n+1 n! (n+1)2 lim an = n2 , = lim 2 n! = lim 2n+1 = 0 < 1. n→+∞ an n→+∞ n→+∞ 2 2 n2 2
Řada tedy konverguje podle podílového kritéria. • Cvičení 3.4.3, 2):
Pro každé n ∈ N, n ≥ 3 platí 2n > 2n, a proto jsou všechny členy uvažované řady jsou kladné. Můžeme proto zkusit použít podílové kritérium: an =
3 , 2n − 2n
an+1 = lim n→+∞ n→+∞ an lim
3 2n+1 −2(n+1) 3 2n −2n
Řada tedy konverguje podle podílového kritéria. 58
1− n→+∞ 2 −
= lim
n 2n−1 n+1 2n−1
=
1 < 1. 2
• Cvičení 3.4.3, 3): Pro každé n ∈ N platí n ≤ 2n ≤ 3n , a proto má uvažovaná řada pouze kladné členy. Zkusme použít podílové kritérium: 2n + (−1)n n ; an = n 3 + (−1)n n 2n+1 3n+1
= lim
2n 3n
n→+∞
n+1 2n+1 1+(−1)n+1 n+1 3n+1
1+(−1)n+1
1+(−1)n 2nn 1+(−1)n 3nn
Užili jsme následujících faktů: (1) limn→∞
nk an
an+1 = lim lim n→+∞ n→∞ an
2n+1 +(−1)n+1 (n+1) 3n+1 +(−1)n+1 (n+1) 2n +(−1)n n 3n +(−1)n n
1+(−1)n+1
= lim
n→+∞
2 · lim 3 n→+∞
n+1 2n+1 n+1 n+1 1+(−1) 3n+1 n 1+(−1) 2nn 1+(−1)n 3nn
2 2 ·1 = . 3 3
=
= 0, kde a > 1, k ∈ N;
(2) posloupnost {(−1)n } je omezená. Z (1) a (2) vyplývá:
n n = 0, lim (−1)n n = 0, n→+∞ 2n 3 n+1 n+1 lim (−1)n+1 n+1 = 0. lim (−1)n+1 n+1 = 0, n→+∞ n→+∞ 2 3 lim (−1)n
n→+∞
Zbytek vyplývá z věty o aritmetice limit. Naše řada tedy konverguje podle podílového kritéria. √ √ • Cvičení 3.4.3, 4): Označme an = n3 + 1 − n3 − 1. Platí: 2 2 √ < 3/2 , an > 0 pro každé n ∈ N a an = √ 3 3 n n +1+ n −1 Řada
P+∞
2 n=1 n3/2
n ∈ N.
konverguje, a proto podle srovnávacího kritéria konverguje i vyšetřovaná řada.
• Cvičení 3.4.4, 1): Všechny členy uvažované řady jsou kladné, můžeme proto zkusit použít podílové kritérium: n5 an = n , 5
an+1 lim = lim n→+∞ an n→+∞
(n+1)5 5n+1 n5 5n
1 = lim n→+∞ 5
n+1 n
5
=
1 < 1. 5
Řada tedy konverguje podle podílového kritéria. • Cvičení 3.4.4, 2): Členy uvažované řady jsou kladné a použijeme-li podílové kritérium, dostaneme: 3n+1 + 4n+1 4n + 5n · n→+∞ 4n+1 + 5n+1 3n + 4n lim
=
3n+1 4n lim n+1 n→+∞ 4 5n
+4 +5
·
4n 5n 3n 4n
+1 4 = < 1. 5 +1
Zkoumaná řada tedy konverguje podle podílového kritéria. • Cvičení 3.4.4, 3): Zkoumaná řada je absolutně konvergentní, a tedy konvergentní. • Cvičení 3.4.5: (−1, 1), R, h−1/2, 1/2i, (−3, 3). • Cvičení 3.4.6: (−1, 1i, h−1, 1i, h−1, 1i.
3.5
Téma 5: Limita funkce
Příklad 3.5.1. Spočtěte: lim
x→0
sin 5x − sin 3x , sin x
lim
x→0
1 − cos x , x2 59
lim
x→0
1 + sin x − cos x . 1 − sin x − cos x
Příklad 3.5.2. Spočtěte: lim
lim
√ n
x→0
x→3
√
√ x + 13 − 2 x + 1 , x2 − 9
1+x−1 x
√ √ 1+x− 1−x √ , lim √ x→0 3 1 + x − 3 1 − x √ √ 1 + tg x − 1 + sin x . lim x→0 x3
(n ∈ N),
Příklad 3.5.3. Spočtěte následující limity: lim x
x→∞
log cos x , x→0 x2
p 3 x3 + 7x − x ,
lim (ex − 1)
lim
x→0+
(tg x)2 √ 3 2 x
.
Příklad 3.5.4. Spočtěte následující limity: lim
x→∞
lim
x→0
1 + x 2x 1 + x 3x
1 x2
x+2 2x − 1
x2
lim (tg x)tg 2x ,
,
x→ π 4
3 . lim log(1 + 2 ) log 1 + x→∞ x x
,
Příklad 3.5.5. Spočtěte limity následujících funkcí lim √
x→0
esin 2x − earcsin x , x→0 tg x
log(1 + sin x) √ , 2x + 1 − x + 1
lim
ex − 2 sin( π6 + x) . x→0 tg x lim
Příklad 3.5.6. Spočtěte limity následujících funkcí a posloupností n √ 1 n √ , lim n( 2 − 1), lim 1 + √ 4 4 3 n→∞ n→∞ n + 2n − n + 1
√ arcsin x √ . lim x→0+ log(1 + x)
Příklad 3.5.7. Spočtěte: cotg πx
lim (1 + sin πx)
x→1
,
lim x
x→∞
π x − arctg 4 x+1
,
Příklad 3.5.8. Spočtěte limitu posloupnosti: p lim sin 2π n2 + 1 .
n→∞
Výsledky.
• Cvičení 3.5.1: 2, 1/2, −1
• Cvičení 3.5.2: −1/16, 3/2, 1/n, 1/4 • Cvičení 3.5.3: 7/3, −1/2, 0 • Cvičení 3.5.4: 0, 1/e, 2/3, log 8 60
x2 . lim √ √ x→0 1 + x sin x − cos x
• Cvičení 3.5.5: 2. Platí
log(1 + sin x) √ lim √ 2x + 1 − x + 1 √ √ 2x + 1 + x + 1 log(1 + sin x) 1 √ √ ·√ = lim · sin x · √ x→0 sin x 2x + 1 − x + 1 2x + 1 + x + 1 √ log(1 + sin x) sin x √ = lim · · 2x + 1 + x + 1 . x→0 sin x x
x→0
Víme, že (i) limy→0 (ii) limx→0
log(1+y) y sin x x
= 1,
= 1,
(iii) limx→0 sin x = 0, (iv) sin je prostý na h−π/2, π/2i, √ (v) je spojitá ve svém definičním oboru. log(1 + sin x) = 1. sin x Poslední rovnost, spolu s (ii), (v) a větou o limitě součinu dává Z (i), (iii), (iv) a věty o limitě složené funkce plyne lim
x→0
√ log(1 + sin x) sin x √ 2x + 1 + x + 1 = 1 · 1 · 2 = 2. x→0 sin x x lim
2. Pišme esin 2x − earcsin x esin 2x − earcsin x x = lim · x→0 x→0 tg x x tg x esin 2x − earcsin x x = lim · lim . x→0 x→0 tg x x lim
Víme, že limx→0
x tg x
= 1. Zabývejme se teď první limitou ve výše uvedeném součinu limit.
esin 2x − 1 sin 2x earcsin x − 1 arcsin x esin 2x − earcsin x = lim · − · = 1. x→0 x→0 x sin 2x x arcsin x x lim
Použili jsme – limx→0 –
arcsin x x
limx→0 sinx x
– limy→0
y
e −1 y
= 1,
= 1, = 1,
– sin je prostá funkce na jistém okolí 0, – arcsin je prostá funkce, – x 7→ 2x je prostá funkce,
– větu o limitě složené funkce ve verzi s podmínkou (P1), – větu o aritmetice limit. Dohromady tedy máme esin 2x − earcsin x = 1. x→0 tg x lim
61
3. Upravme nejprve výraz jehož limitu počítáme x e − 1 1 − 2 sin(π/6 + x) x ex − 2 sin(π/6 + x) = + tg x tg x x x ! √ x ex − 1 1 − cos x 3 sin x = + − tg x x x x ! √ 3 sin x ex − 1 1 − cos x 1 + cos x x + · − = tg x x x 1 + cos x x ! √ x ex − 1 sin x 1 3 sin x = . (⋆) + · sin x · − tg x x x 1 + cos x x Víme, že tg x x = 1, sin x limx→0 x = 1, x limx→0 e x−1 = 1,
(1) limx→0 (2) (3)
(4) limx→0 cos x = 1. Z (⋆), (1)–(4) a z věty o aritmetice limit vyplývá √ ex − 2 sin(π/6 + x) = 1 − 3. x→0 tg x lim
• Cvičení 3.5.6:
1. Pokusme se nejprve spočítat limitu funkce x 1 √ lim 1 + √ . x→∞ x4 + 2x3 − x4 + 1
Upravme nejprve výraz jehož limitu počítáme: x 1 √ 1+ √ x4 + 2x3 − x4 + 1 x 1 √ = exp log 1+ √ x4 + 2x3 − x4 + 1 1 √ = exp x log 1 + √ x4 + 2x3 − x4 + 1 log 1 + √x4 +2x31−√x4 +1 1 √ = exp ·x· √ 1 √ 4 + 2x3 − 4+1 √ x x 4 3 4 x +2x − x +1 √ √ log 1 + √x4 +2x31−√x4 +1 4 + 2x3 + 4+1 x x ·x· = exp 1 √ √ 2x3 − 1 4 3 4 x +2x − x +1 q q log 1 + √x4 +2x31−√x4 +1 1 + x2 + 1 + x14 . · = exp (⋆) 1 √ √ 2 − x13 x4 +2x3 − x4 +1 Dále platí:
– limz→0
log(1+z) z
= 1,
1 √ √ = limx→∞ 4 +2x3 − x4 +1 x√ q 2 1 1+ x + 1+ x4 2 = 0, = ∞ limx→∞ 2x− 1
– limx→∞ =
√
√ x4 +2x3 + x4 +1 3 2x −1
x2
62
– funkce x 7→
√
1 √ x4 +2x3 − x4 +1
– exp je spojitá na R.
je na jistém okolí ∞ různá od nuly,
Z (1)–(3) a z věty o limitě složené funkce log 1 + √x4 +2x31−√x4 +1 lim = 1. 1 x→∞
√
Dále máme lim
x→∞
(⋆⋆)
√ x4 +2x3 − x4 +1
q 1+
2 x
+
2−
q 1+ 1 x3
1 x4
= 1.
(⋆ ⋆ ⋆)
Z (⋆), (⋆⋆), (⋆ ⋆ ⋆) a (4) plyne x 1 √ = e1 = e lim 1 + √ x→∞ x4 + 2x3 − x4 + 1 a tedy podle Heineho věty lim 1 + √
n→∞
1 √ 4 3 n + 2n − n4 + 1
n
= e.
√ 1 x 2. Místo limity posloupnosti {n( n 2 − 1)}∞ n=1 počítejme limitu funkce f (x) = x(2 − 1) v ∞. Pokud totiž ukážeme, že limx→∞ f (x) = A, pak podle Heineho věty také limn→∞ f (n) = A. Platí 1
1 x
lim x(2 − 1) = lim
x→∞
x→∞
2x − 1 1 x
= lim
e
log 2 x
−1
log 2 x
x→∞
· log 2 = log 2.
Užili jsme ey −1 y
= 1,
–
limx→∞ logx 2
= 0,
–
log 2 x
– limy→0
6= 0 pro každé x > 0,
– větu o limitě složené funkce ve verzi s podmínkou (P1). 3. 1. • Cvičení 3.5.7: 1/e, 1/2, 4/3 • Cvičení 3.5.8: 0
3.6
Téma 6: Derivace funkce, l’Hospitalovo pravidlo, věty o střední hodnotě
Příklad 3.6.1. Spočtěte: lim x
x→∞
π 4
− arctg
x x+1
(3.1)
.
Příklad 3.6.2. Spočtěte následující limity: √ 1 lim (cos( x)) x ,
x→0+
√ 1 − cos x √ , lim x→0+ 1 − cos( x) 63
x lim √ 1 − e−x2
x→±0
(3.2)
Příklad 3.6.3. Definujme funkci f (x) =
(
1 x 1 2
−
1 ex −1
pro x 6= 0; pro x = 0.
Určete, zda má funkce f derivaci v bodě 0 a pokud ano, spočtěte ji. Příklad 3.6.4. Spočtěte následující limity: √ 3
tg x − 1 , limπ x→ 4 2 sin2 x − 1
tg( πx 2 )
lim (2 − x)
x→1
; lim
x→0
arcsin x x
1 x2
(a + x)x − ax , x→0 x2 lim
,
a > 0.
Příklad 3.6.5. Spočtěte limity následujících funkcí: lim
x→0
sin x x
1 1−cos x
ex − e−x − 2x lim , x→0 x − sin x
;
lim
x→∞
π 2 arctg x
x
.
(3.3)
Příklad 3.6.6. Spočtěte derivace (i jednostranné, pokud oboustranná neexistuje) následujících funkcí: f (x) =
(
arctg(tg2 x) π 2
pro x 6= pro x =
π 2 π 2
+ kπ, + kπ,
f (x) = max{min{cos x, (1/2)}, (−1/2)}; p f (x) = 1 − e−x2 ; 1 f (x) = arccos ; 1 + x2 ( x2 sin x1 + cos x1 pro x 6= 0, f (x) = 0 pro x = 0;
k ∈ Z, k ∈ Z;
x
f (x) = x(x ) , pro x > 0; f (x) = max{x + 4 arctg(sin x), x}. Příklad 3.6.7. Nalezněte A, B ∈ R, tak aby na R platil vztah ′ 1 1 A + x − arctg x + (1 + x2 ) arctg x − x log 1 + x2 − 1 2 2
= (Ax + B)(arctg x) log(1 + x2 ).
Příklad 3.6.8. Najděte A ∈ R, aby na (0, +∞) platil vztah ′ p 1 2 4 √ log cos x + 1 + cos x + arctg x + arcsin 1 + x2 sin 2x = A√ . 1 + cos4 x Příklad 3.6.9. U následujících funkcí spočtěte derivace (i jednostranné, pokud neexistuje oboustranná): arccos
1 − x2 1 + x2
,
x2 exp(−|x − 1|),
sin x . sin(x + π4 )
Příklad 3.6.10. Spočtěte derivaci (resp. jednostranné derivace) následujících funkcí ve všech bodech, 64
kde existuje. f (x) =
(
arctg(tg2 x)
pro x 6= pro x =
π 2
π 2 π 2
+ kπ, + kπ,
k∈Z k ∈ Z;
f (x) = max{min{cos x, (1/2)}, (−1/2)}; p f (x) = 1 − e−x2 ; 1 f (x) = arccos ; 1 + x2 ( x2 sin x1 + cos x1 pro x 6= 0, f (x) = 0 pro x = 0; x
f (x) = x(x ) , pro x > 0; f (x) = max{x + 4 arctg(sin x), x}. Příklad 3.6.11. Pomocí L’Hospitalova pravidla určete následující limity: lim
x→0+
sin x x
x1
lim
,
x→0+
sin x x
1 x2
.
Příklad 3.6.12. Pro a > 0, a 6= 1 určete lim
x→∞
ax − 1 x(a − 1)
x1
.
Příklad 3.6.13. Je možné použít L’Hospitalova pravidla pro určení následujících limit? x − sin x lim ; x→∞ 2x + sin x
x √ √ 1 ; lim 2 sin x + x sin x→0 x
2x + sin 2x + 1 ; lim x→∞ (2x + sin 2x)(sin x + 3)2
Příklad 3.6.14. Má následující funkce derivaci v nule? f (x) :=
(
1 x log 2 1 2,
−
1 2x −1 ,
x 6= 0; x = 0.
Příklad 3.6.15. Dokažte, že každá z následujících dvou rovnic má právě jeden kořen. x13 + 7x3 − 5 = 0. 3x + 4x = 5x .
Výsledky.
• Cvičení 3.6.10:
– Pro funkci f platí −1/2, x ∈ h2π/3, 4π/3i + 2kπ, k ∈ Z, f (x) = cos x, x ∈ ((π/3, 2π/3) ∪ (4π/3, 5π/3)) + 2kπ, k ∈ Z, 1/2, x ∈ h−π/3, π/3i + 2kπ, k ∈ Z.
Z předchozího vyjádření vyplývá, že ′
f (x) =
(
0, − sin x,
x ∈ (−π/3, π/3) + k π, k ∈ Z, x ∈ (π/3, 2π/3) + kπ, k ∈ Z. 65
e x12 1 1 . lim 1 + xe− x2 sin 4 x→0 x
Funkce f je spojitá na R a proto můžeme podle z předchozího vyjádření vypočítat jednostranné derivace jako příslušné limity derivací: √ ′ f+ (π/3 + 2kπ) = lim − sin x = − sin(π/3 + 2kπ) = − 3/2, x→π/3+2kπ+
′ f− (π/3
+ 2kπ) =
lim
x→π/3+2kπ−
0 = 0,
′ f+ (2π/3 + 2kπ) = 0,
√ ′ f− (2π/3 + 2kπ) = − sin(2π/3 + 2kπ) = − 3/2, √ ′ f+ (4π/3 + 2kπ) = − sin(4π/3 + 2kπ) = 3/2,
′ f− (4π/3 + 2kπ) = 0, ′ f+ (5π/3 + 2kπ) = 0,
√ ′ f− (5π/3 + 2kπ) = − sin(5π/3 + 2kπ) = 3/2, k ∈ Z. √ 2 – Zřejmě D(f ) = R. Platí ( x)′ = 12 √1x pro x > 0. Vzhledem k tomu, že 1 − e−x = 0 ⇔ x = 0, tak pro každé x ∈ R \ {0} máme 2
f ′ (x) =
2 x 1 e−x 2x √ = e−x √ . 2 1 − e−x2 1 − ex2
V bodě 0 počítejme derivaci funkce f podle definice:
√ 1 − e−x2 f (x) − f (0) lim = lim . x→0 x→0 x−0 x Výpočet poslední limity provedeme nejprve zprava a pak zleva. s √ 2 −x 1−e e−x2 − 1 ′ = lim f+ (0) = lim x→0+ x→0+ x −x2
Uvědomme si, že y ∗ limy→0+ e y−1 = 1,
∗ limx→0 −x2 = 0, ∗ −x2 = 0 ⇔ x = 0, √ ∗ je spojitá na svém definičním oboru.
Z věty o limitě složené funkce, (1), (2) a (3) plyne limx→0+ limitě složené funkce obdržíme s e−x2 − 1 lim = 1. x→0+ −x2
2
e−x −1 −x2
= 1. Odtud, z (4) a věty o
Obdobně dostaneme
s √ −x2 1 − e e−x2 − 1 ′ = −1. = lim − f− (0) = lim x→0− x→0− x −x2
′ ′ Derivace funkce f v bodě 0 tedy neexistuje. Platí totiž f+ (0) = 1, f− (0) = −1. – Zkoumaná funkce je definována na celém R a je na R spojitá. Je-li x 6= 0, můžeme f ′ (x) vypočítat pomocí věty o derivaci složené funkce:
2 sgn x −1 −2x √ = . f ′ (x) = q · 2 )2 2 ) x2 + 2 1 (1 + x (1 + x 1 − (1+x2 )2
V 0 vypočítáme jednostranné derivace pomocí limity derivace (předpoklady příslušné věty jsou splněny): √ 2 sgn x ′ √ f+ (0) = lim = 2, x→0+ (1 + x2 ) x2 + 2 √ 2 sgn x ′ √ = − 2. f− (0) = lim x→0− (1 + x2 ) x2 + 2 V 0 tedy derivace neexistuje. 66
– Pro x 6= 0 platí f ′ (x) = 2x(sin
1 1 1 1 1 1 + cos ) + x2 (− 2 cos + 2 sin ). x x x x x x
Tento vztah vyplývá z věty o aritmetice derivací a věty o derivaci složené funkce. V bodě 0 počítejme derivaci z definice, tj. počítejme limitu f (x) − f (0) 1 1 lim = 0, = lim x sin + cos x→0 x→0 x−0 x x neboť limx→0 x = 0 a funkce x 7→ (sin x1 + cos x1 ) je omezená na jistém prstencovém okolí bodu 0. Platí tedy f ′ (0) = 0. – Spočtěme nejprve 1 = xx (log x + 1), (xx )′ = (ex log x )′ = ex log x 1 · log x + x · x
x > 0.
Pak dostáváme ′ x ′ x x ′ x 1 xx log x x log x (x ) (x ) · log x + x · =e = e x x x x−1 (xx ) , x > 0. x (log x + 1) log x + x =x
Při výpočtech jsme využili větu o derivaci složené funkce, větu o derivaci součinu a faktu, že derivované funkce mají ve svých definičních oborech vlastní derivace. – Pro hodnoty funkce f platí ( x + 4 arctg(sin x), f (x) = x,
x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z, x ∈ h(2k + 1)π, (2k + 2)πi, k ∈ Z.
Odtud již můžeme vypočítat hodnotu derivace všude mimo body ve tvaru kπ, k ∈ Z: ( cos x x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z, 1 + 4 1+sin 2 x, ′ f (x) = 1, x ∈ ((2k + 1)π, (2k + 2)π), k ∈ Z. Funkce f je na R spojitá a jednostranné derivace v bodech kπ, k ∈ Z, lze tedy počítat pomocí limit derivací: cos x ′ 1+4 f+ (2kπ) = lim f ′ (x) = lim = 5, x→2kπ+ x→2kπ+ 1 + sin2 x ′ f− (2kπ) = lim f ′ (x) = lim 1 = 1, x→2kπ− x→2kπ− cos x ′ 1+4 f− ((2k + 1)π) = lim f ′ (x) = lim = −3, x→(2k+1)π− x→(2k+1)π− 1 + sin2 x ′ f+ ((2k + 1)π) = lim f ′ (x) = lim 1 = 1. x→(2k+1)π+
x→(2k+1)π+
Z výše uvedeného vyplývá, že funkce f v bodech tvaru kπ, k ∈ Z, nemá derivaci.
3.7
Průběh funkce
Příklad 3.7.1. Vyšetřete průběhy následujících funkcí 1
f (x) = x x ; f (x) = logx e; x f (x) = log tg ; 4 f (x) = (sin x)cos x ; p f (x) = x − x2 − 1. 67
Příklad 3.7.2. Vyšetřete průběhy funkcí (v prvních dvou příkladech nemusíte vyšetřovat konvexitu) cos x cos 2x 2 f (x) = (cos x)e 3 sin x , f (x) =
f (x) = (log |x|)3 − 3 log |x|, Příklad 3.7.3. Vyšetřete průběhy funkcí: sin3 x + cos2 x, arccos x √ , 1 − x2 2 x arctg 2 , π x −1
68
Kapitola 4
Matematická analýza 1b 4.1 4.1.1
Taylorovy polynomy a řady Polynomy
Definice 4.1.1. • Nechť n ∈ N ∪ {0}, aj ∈ C, j = 0, . . . , n. Polynomem s komplexními koeficienty nazveme funkci P : C → C definovanou předpisem P (z) = an z n + · · · + a1 z + a0 .
(4.1)
• Číslo α ∈ C nazveme kořenem polynomu P , pokud P (α) = 0. Tvrzení 4.1.2. Nechť P (z) = an z n + · · · + a1 z + a0 , an 6= 0, a Q(z) = bm z m + · · · + b1 z + b0 , bm 6= 0, jsou dva polynomy s reálnými koeficienty takové, že platí P (x) = Q(x) pro všechna x ∈ R. Potom n = m a aj = bj , j = 1, . . . , n. Speciálně tedy P (z) = Q(z) pro všechna z ∈ C. ——————–konec přednášky 23: 5.1. Luboš Pick———————————————Definice 4.1.3. Buď P polynom tvaru (4.1) s reálnými koeficienty, n ≥ 0. Je-li an 6= 0, nazýváme n stupněm polynomu P , značíme st(P ). Každý polynom stupně 0 je tedy tvaru P (x) = c 6= 0. Polynomem stupně −1 rozumíme polynom P (z) = 0. Poznámka. Z Tvrzení 4.1.2 plyne, že pojem stupně polynomu je korektně definován. Tvrzení 4.1.4. Nechť P je polynom s reálnými koeficienty stupně nejvýše n a α ∈ R je jeho kořen. Pak existuje polynom Q s reálnými koeficienty stupně nejvýše n − 1 tak, že P (x) = (x − α)Q(x), x ∈ R.
4.1.2
Taylorovy polynomy a věty o zbytku
Definice 4.1.5. Nechť f je funkce, a ∈ R a existuje f (n) (a) ∈ R. Pak polynom Tnf,a (x) := f (a) + f ′ (a)(x − a) + · · · +
1 (n) f (a)(x − a)n , n!
x ∈ R,
nazveme Taylorovým polynomem řádu n funkce f v bodě a. • Stupeň Tnf,a je nejvýše n.
Poznámky.
• Platí f (a) = Tnf,a (a), f ′ (a) = (Tnf,a )′ (a), . . . , f (n) (a) = (Tnf,a )(n) (a). ′
f ,a • Platí Tn−1 = (Tnf,a )′ .
Lemma 4.1.6. Nechť Q je polynom, st Q ≤ n a limx→a
Q(x) (x−a)n
= 0. Pak Q je nulový polynom.
Věta 4.1.7 (Peanův tvar zbytku). Nechť a ∈ R, n ∈ N, f je reálná funkce s konečnou n-tou derivací v bodě a a P je polynom stupně nejvýše n. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) P = Tnf,a ; 69
(ii) limx→a
f (x)−P (x) (x−a)n
= 0.
Věta 4.1.8 (Taylorova věta o zbytku). Nechť f, ϕ jsou reálné funkce, a, x ∈ R a a < x. Předpokládejme, že • f má v každém bodě intervalu [a, x] vlastní (n + 1)-ní derivaci, • ϕ má na (a, x) vlastní nenulovou derivaci a je spojitá na [a, x]. Pak existuje c ∈ (a, x) tak, že f (x) − Tnf,a (x) =
1 ϕ(x) − ϕ(a) (n+1) f (c)(x − c)n . n! ϕ′ (c)
——————–konec přednášky 23: 6.1.2010 Jiří Spurný———————————————Poznámky.
• Výraz Rnf,a (x) := f (x) − Tnf,a (x) nazýváme zbytkem po Taylorově polynomu řádu n.
• Píšeme-li x = a + h, pak Tnf,a (a + h) = f (a) + f ′ (a)
h h2 hn + f (2) (a) + · · · + f (n) (a) . 1! 2! n!
Věta 4.1.9 (Lagrangeův tvar zbytku). Nechť f je reálná funkce, a, x ∈ R a a < x. Předpokládejme, že f má v každém bodě intervalu [a, x] vlastní (n + 1)-ní derivaci. Pak existuje c ∈ (a, x) tak, že f (x) − Tnf,a (x) =
1 f n+1 (c)(x − a)n+1 . (n + 1)!
——————–konec přednášky 24: 5.1. Luboš Pick———————————————Věta 4.1.10 (Cauchyův tvar zbytku). Nechť f je reálná funkce, a, x ∈ R a a < x. Předpokládejme, že f má v každém bodě intervalu [a, x] vlastní (n + 1)-ní derivaci. Pak existuje c ∈ (a, x) tak, že f (x) − Tnf,a (x) =
1 (n+1) f (c)(x − c)n (x − a). n!
Poznámka. Předcházející věty samozřejmě platí i v případě x < a.
4.1.3
Symbol malé o
Definice 4.1.11. Nechť f, g jsou reálné funkce a a ∈ R∗ . Řekneme, že funkce f je v bodě a malé o od g (x) (značíme f (x) = o(g(x)), x → a), pokud limx→a fg(x) = 0. Věta 4.1.12 (Vlastnosti o). Nechť a ∈ R∗ . (a) Jestliže pak
f1 (x) = o(g(x)), x → a,
a
f2 (x) = o(g(x)), x → a,
(f1 + f2 )(x) = o(g(x)), x → a. (b) Jestliže pak
f1 (x) = o(g1 (x)), x → a,
a
f2 (x) = o(g2 (x)), x → a,
(f1 · f2 )(x) = o((g1 · g2 )(x)), x → a. (c) Jestliže f (x) = o(g1 (x)), x → a,
a
lim
x→a
pak f (x) = o(g2 (x)), x → a. 70
g1 (x) ∈ R, g2 (x)
Věta 4.1.13 (Skládání funkcí a o). Nechť a, b ∈ R∗ , • f (y) = o(g(y)), y → b, • limx→a ϕ(x) = b, a • existuje δ > 0 tak, že ϕ(x) 6= b pro x ∈ P δ (a). Pak (f ◦ ϕ)(x) = o((g ◦ ϕ)(x)), x → a. Poznámky. • Symbol o lze uvažovat i v jednostranných případech a předcházející věty pak platí v příslušných jednostranných verzích. • Peanova věta tedy říká, že f (x) − Tnf,a (x) = o((x − a)n ), x → a.
4.1.4
Taylorovy řady
Definice 4.1.14. Nechť f je reálná funkce, a ∈ R a f má konečné derivace všech řádů v bodě a. Pak ∞ X 1 (n) f (a)(x − a)n n! n=0
nazýváme Taylorovou řadou se středem v bodě a. Je-li a = 0, mluvíme o Maclaurinově řadě. (Připomeňme, že ve výše uvedeném vzorci uvažujeme 0! = 1 a 00 = 1.) P∞ 1 (n) f (a)(x − a)n konvergentní pouze pro x = a. Poznámka. V některých případech je řada n=0 n! P∞ n Příklady 4.1.15. • ex = n=0 xn! , x ∈ R, P n−1 xn • log(1 + x) = ∞ n=1 (−1) n , x ∈ (−1, 1], • sin x =
n−1 x2n−1 n=1 (−1) (2n−1)!
P∞
• (1 + x)α = Příklad. Je-li
P∞
n=0
a cos x =
α n n x , x ∈ (−1, 1). f (x) =
pak f (x) =
n x2n n=0 (−1) (2n)! ,
P∞
(
x ∈ R,
1
e− x2 , x ∈ R \ {0}, 0, x = 0,
∞ X 1 (n) f (0) · xn n! n=0
pouze pro x = 0.
——————–konec přednášky 24: 7.1.2010 Jiří Spurný———————————————-
4.2 4.2.1
Číselné řady II. Neabsolutně konvergentní řady
Lemma 4.2.1 (Abelova parciální sumace). Nechť n ∈ N a a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R. Označme sk = Pk i=1 ai pro k = 1, . . . , n. Pak platí n X j=1
aj b j =
n−1 X j=1
sj (bj − bj+1 ) + sn bn .
——————–konec přednášky 25: 12.1. Luboš Pick———————————————∞ Věta 4.2.2 (Abel-Dirichletovo kritérium). Nechť {an }∞ n=1 je posloupnost a {bn }n=1 je omezená monotónní posloupnost. Nechť je splněna některá z následujících podmínek: P∞ (A) n=1 an je konvergentní,
71
(D) limn→∞ bn = 0 a Pak je
P∞
n=1
P∞
n=1
an má omezenou posloupnost částečných součtů.
an bn konvergentní.
P∞ P∞ Příklad. Řada n=1 sinnnx je konvergentní proPkaždé x ∈ R, řada n=1 cosnnx je konvergentní pro každé ∞ x ∈ R \P {2kπ; k ∈ Z}. Zde používáme fakt, že n=1 q n sin nx má omezené částečné součty pro |q| ≤ 1 a ∞ n x ∈ R, n=1 q cos nx má omezené částečné součty pro |q| ≤ 1 a x ∈ R \ {2kπ; k ∈ Z}. Věta 4.2.3 (Leibniz). Nechť {an }∞ n=1 je posloupnost splňující • ∀n ∈ N : an ≥ 0, • ∀n ∈ N : an ≥ an+1 , • lim an = 0. Potom je řada
4.2.2
P∞
n n=1 (−1) an
konvergentní.
Přerovnání řad
Definice 4.2.4. Nechť p : N → N je bijekce. Přerovnáním řady P∞
Věta 4.2.5. Nechť n=1 an je absolutně konvergentní P∞řada a je absolutně konvergentní a má stejný součet jako n=1 an .
P∞
n=1
P∞
n=1
an rozumíme řadu
P∞
n=1
ap(n) je její přerovnání. Pak
ap(n) .
P∞
n=1
ap(n)
——————–konec přednášky 25: 13.1. Jiří Spurný———————————————Věta 4.2.6 (Riemann). Neabsolutně konvergentní P∞ P∞ řadu lze přerovnat k libovolnému součtu z R. Neboli: Nechť pro konvergentní řadu a platí n n=1 n=1 |an | = ∞. Pak pro libovolné s ∈ R existuje bijekce P∞ p : N → N, že n=1 ap(n) = s. ——————–konec přednášky 26: 14.1. Jiří Spurný—————————————————————–konec přednášky 26: 14.1. Luboš Pick———————————————-
4.2.3
Součin řad
Definice 4.2.7. Cauchyovým součinem řad
P∞
n=0
an a
∞ k X X k=0
Věta 4.2.8 (Mertens). Nechť řada
P∞
n=1
∞ k X X k=0
Věta 4.2.9 (Abel). Nechť guje. Pak platí
P∞
n=0
k=0
Příklad.
ak−i bi
P∞
∞ k X X i=0
m=0 bm
ak−i bi
i=0
!
budeme rozumět řadu
.
an absolutně konverguje a řada
i=0
an ,
P∞
!
m=0 bm
ak−i bi
!
=
∞ X
an
n=0
!
·
∞ X
bm
m=0
!
P∞
m=1 bm
konverguje. Potom
.
jsou konvergentní řady, jejichž Cauchyův součin konver=
∞ X
n=0
an
!
·
∞ X
m=0
bm
!
.
P (−1)n √1n konverguje neabsolutně, ale Cauchyův součin této řady se sebou diverguje. 72
4.2.4
Zobecněné řady
P Definice 4.2.10. Nechť I je množina a xi ∈ R pro každé i ∈ I. Symbol i∈I xi nazýváme zobecněnou řadou. P Číslo x ∈ R nazveme součtem zobecněné řady i∈I xi , pokud pro každé ε > 0 existuje konečná množina J0 ⊂ I tak, že X |x − xi | < ε i∈J
pro každou konečnou množinu J ⊂ I obsahující J0 . P P Píšeme x = i∈I xi a říkáme, že zobecněná řada i∈I xi je konvergentní.
Poznámka. Pro reálné číslo x ∈ R značíme x+ = max{x, 0}, x− = max{−x, 0}. Pak x = x+ − x− a |x| = x+ + x− . P Věta 4.2.11 (Vlastnosti zobecněného součtu). Nechť i∈I xi je zobecněná řada. P (a) i∈I xi má nejvýše jeden součet. ——————–konec přednášky 1: 23.2. Luboš Pick———————————————P (b) Jsou-li xi nezáporné, pak i∈I xi má součet právě tehdy, když X sup{ xi ; F ⊂ I konečná} < ∞. i∈F
Pak
X
xi = sup{
i∈I
X i∈F
xi ; F ⊂ I konečná}.
——————–konec přednášky 1: 23.2. Jiří Spurný———————————————P (c) Má-li i∈I xi součet, mají součet i řady X X X |xi |, x+ x− i , i , i∈I
i∈I
i∈I
a platí X i∈I
xi =
X i∈I
x+ i −
X
x− i ,
i∈I
X i∈I
|xi | =
X i∈I
x+ i +
X
x− i .
i∈I
——————–konec přednášky 2: 24.2. Luboš Pick———————————————P P (d) Zobecněná řada i∈I xi má součet právě tehdy, když i∈I |xi | má součet. P P (e) Má-li i∈I xi součet a π : I → I je bijekce, má součet i i∈I xπ(i) a platí X X xi = xπ(i) . i∈I
(f) Má-li
P
i∈I
i∈I
xi součet, je množina {i ∈ I; xi 6= 0} spočetná.
P∞ P Věta 4.2.12 (Zobecněný součet P∞Jestliže má zobecněná řada n∈N xn součet, pak je n=1 xn Pna N). (a) absolutně konvergentní a n∈N xn = n=1 xn . P∞ P (b) Jestliže je řada n∈N xn má součet a platí n=1 xn absolutně konvergentní, pak zobecněná řada P∞ P x . x = n∈N n n=1 n P∞ P Poznámka. Povšimněte an a n∈N an jsou definovány jinak, i když pro absolutně n=1P P∞ P∞ si, že symboly konvergentní řadu n=1 an platí n=1 an = n∈N an . ——————–konec přednášky 2: 24.2. Jiří Spurný—————————————————————–konec přednášky 3: 2.3. Luboš Pick———————————————73
Věta 4.2.13 (Zobecněný asociativní zákon). Nechť B je množina, (Aβ )β∈B je systém množin, který P S 6 β2 . Nechť A = β∈B Aβ a zobecněná řada α∈A xα je splňuje Aβ1 ∩ Aβ2 = ∅, kdykoliv β1 , β2 ∈ B, β1 = konvergentní. P Potom řada α∈Aβ xα konverguje pro každé β ∈ B a platí X X X xα = xα . α∈A
β∈B
α∈Aβ
Věta 4.2.14 (Součin zobecněných řad). Nechť zobecněné řady P konverguje i zobecněná řada (α,β)∈A×B xα yβ a ! X X X xα · yβ = α∈A
β∈B
P
α∈A
xα a
P
β∈B
yβ konvergují. Potom
xα yβ .
(α,β)∈A×B
Poznámka. Z předcházejích vět dostáváme, že Cauchyův součin absolutně konvergentních řad konverguje absolutně. ——————–konec přednášky 4: 3.3. Luboš Pick—————————————————————–konec přednášky 3: 2.3. Jiří Spurný———————————————-
4.3
Mocninné řady
P k Definice 4.3.1. Mocninnou řadou o středu x0 ∈ R rozumíme řadu ∞ k=0 ak (x − x0 ) , kde x ∈ R a ak ∈ R pro každé k ∈ N ∪ {0}. P∞ Věta 4.3.2 (Poloměr konvergence). Nechť k=0 ak (x − x0 )k je mocninná řada. Pak existuje právě jeden nezáporný prvek ρ ∈ R∗ takový, že • pro každé x ∈ R, |x − x0 | < ρ, uvedená řada konverguje absolutně,
• pro každé x ∈ R, |x − x0 | > ρ, uvedená řada diverguje. Prvek ρ splňuje ρ=
1 lim supk→∞
p , k |ak |
kde výrazem 1/0 zde rozumíme +∞ a výrazem 1/∞ zde rozumíme 0. P∞ Definice 4.3.3. Nechť k=0 ak (x − x0 )k je mocninná řada. Pak číslo ρ z předcházející věty nazýváme jejím poloměrem konvergence. P∞ xn P∞ xn P∞ n n Příklady. n=0 n! , n=1 n x . n=1 n , P∞ P∞ (−1)n n P 1 n n Poznámka 4.3.4. Pro |x − x0 | může nastat cokoliv, např. ∞ n=1 nx , n=1 n=1 n2 x , n x . P∞ n Věta 4.3.5 (Derivace mocninné řady). Nechť řada n=0 an (x − x0 ) konverguje pro |x − x0 | < R. Definujme ∞ X an (x − x0 )n , |x − x0 | < R. f (x) = n=0
Potom řada
P∞
n−1 konverguje pro |x − x0 | < R a platí n=1 nan (x − x0 )
f ′ (x) =
∞ X
n=1
nan (x − x0 )n−1 ,
|x − x0 | < R.
Věta 4.3.6. Nechť f je jako ve Větě 4.3.5. Potom má f derivace všech řádů pro x ∈ R, |x − x0 | < R, a platí: ∞ X f (k) (x) = n(n − 1) . . . (n − k + 1)an (x − x0 )n−k . n=k
Speciálně platí f
(k)
(x0 ) = k!ak .
74
Příklad.
• arctg x =
• arcsin x =
n−1 x2n−1 n=1 (−1) 2n−1 ,
P∞
n − 12 x2n+1 n=0 (−1) n 2n+1 ,
P∞
x ∈ (−1, 1),
x ∈ (−1, 1).
P∞ P∞ Věta 4.3.7 (Jednoznačnost mocninné řady). Nechť n=0 an (x−x0 )n a n=0 bn (x−x0 )n jsou mocninné řady s kladnými poloměry konvergence ρ1 a ρ2 . Pokud ∞ X
n=0
an (x − x0 )n =
∞ X
n=0
bn (x − x0 )n ,
x ∈ (x0 − min{ρ1 , ρ2 }, x0 + min{ρ1 , ρ2 }),
pak an = bn pro každé n = 0, 1, 2, . . . a ρ1 = ρ2 . ——————–konec přednášky 5: 9.3. Luboš Pick—————————————————————–konec přednášky 4: 3.3. Jiří Spurný———————————————P∞ Věta 4.3.8 (Vztah k Taylorovu polynomu). Nechť f (x) = n=0 an (x − x0 )n má kladný poloměr konP vergence. Pak kn=0 an (x − x0 )n je Taylorův polynom funkce f v bodě x0 řádu k. P∞ P n n Věta 4.3.9 (Operace s mocninnými řadami). Nechť f (x) = ∞ n=0 bn (x−x0 ) n=0 an (x−x0 ) a g(x) = mají kladné poloměry konvergence ρ1 a ρ2 . Pak P∞ (a) f (x) + g(x) = n=0 (an + bn )(x − x0 )n , |x − x0 | < min{ρ1 , ρ2 }, P∞ Pn (b) f (x)g(x) = n=0 ( i=0 an−i bi )(x − x0 )n , |x − x0 | < min{ρ1 , ρ2 }. P P∞ n Věta 4.3.10 (Abel). Nechť řada ∞ n=0 an (x−x0 ) má poloměr konvergence R ∈ (0, ∞). Nechť n=0 an (y− x0 )n konverguje v bodě y = x0 + R. Pak lim
r→R−
∞ X
an r n =
n=0
∞ X
an R n .
n=0
Poznámka. Analogické tvrzení platí pro y = x0 − R. P∞ π n+1 1 Příklad. n=1 (−1) 2n−1 = 4 .
Poznámka 4.3.11 (Symbol o pro posloupnosti). Jestliže limn→∞
an bn
= 0, píšeme an = o(bn ), n → ∞.
Věta 4.3.12 (Toeplitz). Nechť {cn,k ; n, k ∈ N} jsou reálná čísla splňující: P∞ (1) limn→∞ k=1 cn,k = 1, (2) limn→∞ cn,k = 0 pro každé k ∈ N, P∞ (3) posloupnost { k=1 |cn,k |}∞ n=1 je omezená.
Pak pro každou konvergentní posloupnost {an } platí lim
n→∞
∞ X
cn,k ak = lim an . n→∞
k=1
Poznámka. Věta 4.3.12 má následující obrácení. Jestliže matice {cn,k ; n, k ∈ N} zachovává limitu každé konvergentní posloupnosti, pak splňuje vlastnosti (1)-(3). ——————–konec přednášky 6: 10.3. Luboš Pick—————————————————————–konec přednášky 5: 9.3. Jiří Spurný———————————————P∞ Definice 4.3.13 (Cesarova a Abelova sčítací metoda). Nechť n=0 an je řada a {sn } posloupnost jejích 1 částečných součtů. Řekneme, že s ∈ R∗ je její cesarovský součet, pokud n→∞ n (s0 + · · · + sn−1 ). P∞s = lim n Řekneme, že s je její abelovský součet, pokud pro funkci f (x) = n=0 an x platí s = limx→1− f (x). P∞ Věta 4.3.14 (Součet řady a zobecněné sčítací metody). Pokud n=0 an konverguje, pak její součet je též její cesarovský i abelovský součet. P∞ P∞ n n Příklad. n=0 (−1) n. n=0 (−1) , 75
4.4
Primitivní funkce
4.4.1
Základní vlastnosti
Definice 4.4.1. Nechť funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x ∈ I existuje F ′ (x) a platí F ′ (x) = f (x). Poznámky.
1. Ne každá funkce má primitivní funkci (např. sgn x).
2. Primitivní funkce je spojitá. 3. Hledání primitivní funkce se nazývá integrací a primitivní funkce se někdy nazývá neurčitý integrál. Věta 4.4.2 (Rovnost až na konstantu). Nechť F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Pak existuje c ∈ R takové, že F (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
Věta 4.4.3 (Existence primitivní funkce). Nechť f je spojitá funkce na otevřeném neprázdném intervalu I. Pak f má na I primitivní funkci. Věta 4.4.4 (Linearita neurčitého integrálu). Nechť f má na otevřeném intervalu I primitivní funkci F , funkce g má na I primitivní funkci G a α, β ∈ R. Potom funkce αF + βG je primitivní funkcí k αf + βg na I. R Značení 4.4.5. • Je-li (a, b), zapisujeme tento fakt jako F = f R F primitivní funkce k f na intervalu R na (a, b), F (x) = f (x), x ∈ (a, b), nebo F (x) = f (x) dx, x ∈ (a, b) R • Je-li f funkce na (a, b), značením f rozumíme množinu všech primitivních funkcí k f na (a, b). R • Je-li f reálná funkce, značením f rozumíme množinu všech funkcí F , které jsou primitivní k f na každém otevřeném intervalu obsaženém v definičním oboru f .
——————–konec přednášky 7: 16.3. Luboš Pick—————————————————————–konec přednášky 6: 10.3. Jiří Spurný———————————————R R Poznámky. 1. Značení f tady znamená množinu primitivních funkcí, F = f znamená, že F je primitivní k f . 2. Je-li X vektorový prostor nad R, A, B ⊂ X a α ∈ R, pak značíme αA = {αa; a ∈ A},
A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B}.
R 3. Je-li f funkce na otevřeném intervalu I, množina f je obsažena ve vektorovém prostoru RI všech R R R reálných funkcí na I. Pak Větu 4.4.4 můžeme zapsat jako (αf + βg) ⊃ α f + β g na I. Dále na I platí R R • αf = α f pro α ∈ R \ {0}, R R • 0 · f ⊂ 0 · f. R R R • Mají-li f, g primitivní funkce, pak (f + g) = f + g. R R R • Je-li f neprázdná, pak f − f = {c; c ∈ R}.
Věta 4.4.6 (O substituci). (i) Nechť F je primitivní funkce k f na (a, b). Nechť ϕ je funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodě t ∈ (α, β) vlastní derivaci. Pak Z f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt = F (ϕ(t)) na (α, β).
(ii) Nechť funkce ϕ má v každém bodě intervalu (α, β) nenulovou vlastní derivaci a ϕ((α, β)) = (a, b). Nechť funkce f je definována na intervalu (a, b) a platí Z f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt = G(t) na (α, β). Pak
Z
f (x) dx = G(ϕ−1 (x)) na (a, b). 76
Příklad.
R
sin4 t · cos t,
R√ 1 − x2 .
Věta 4.4.7 (Integrace per partes). Nechť I je neprázdný otevřený interval, F je primitivní funkce k f na I a G je primitivní funkce ke g na I. Pak platí Z Z g(x)F (x) dx = G(x)F (x) − G(x)f (x) dx na I. Pokud je f navíc spojitá na I, pak množiny na obou stranách rovnosti jsou neprázdné. R R 1 n R x R Příklad. log x, ( 1+x e sin x, tg x. 2) ,
Poznámka. Ne každá ”elementární” funkce má primitivní funkci vyjádřitelnou jako kombinaci elemen2 tárních, např. sinx x nebo e−x . ——————–konec přednášky 8: 17.3. Luboš Pick———————————————-
4.4.2
Integrace racionálních funkcí
Definice 4.4.8. Racionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. Věta 4.4.9 (O rozkladu na parciální zlomky). Nechť P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = an (x − x1 )p1 . . . (x − xk )pk (x2 + α1 x + β1 )q1 . . . (x2 + αl x + βl )ql , (iii) an , x1 , . . . , xk , α1 , . . . , αl , β1 , . . . , βl ∈ R, an 6= 0, (iv) p1 , . . . , pk , q1 , . . . , ql ∈ N, (v) žádné dva z mnohočlenů x − x1 , x − x2 , . . . , x − xk , x2 + α1 x + β1 , . . . , x2 + αl x + βl nemají společný kořen, (vi) mnohočleny x2 + α1 x + β1 , . . . , x2 + αl x + βl nemají reálný kořen. Pak existují jednoznačně určená čísla A11 , . . . , A1p1 , . . . , Ak1 , . . . , Akpk , B11 , C11 , . . . , Bq11 , Cq11 , . . . , B1l , C1l , . . . , Bql l , Cql l taková, že platí A1p1 A11 P (x) + · · · + = Q(x) (x − x1 )p1 x − x1
Akpk Ak1 + · · · + (x − xk )pk x − xk 1 1 Bq11 x + Cq11 B x + C1 + 2 1 + ... + · · · + (x + α1 x + β1 )q1 x2 + α1 x + β1 Bql l x + Cql l B l x + C1l + 2 1 . + · · · + (x + αl x + βl )ql x2 + αl x + βl pro všechna x ∈ R splňující Q(x) 6= 0. + ···+
——————–konec přednášky 7: 16.3. Jiří Spurný———————————————R R P (x) R = P1 (x)+ Poznámka 4.4.10 (Postup při integraci racionální funkce). 1. Q(x) st Q, Q 6= 0. 2. Provedeme rozklad na parciální zlomky. 3. Integrace parciálních zlomků: R A (a) (x−a) n R Bx+C (b) (x2 +αx+β)q R x2 +1 Příklad. (x+1)(x 2 +x+1) 77
P2 (x) Q(x) ,
kde st P2 <
4.4.3 Typ
R
Některé substituce R(sin t, cos t) dt
• vždy lze užít substituci tg
t 2
=x
• je-li R(a, −b) = −R(a, b), lze užít substituci sin t = x • je-li R(−a, b) = −R(a, b), lze užít substituci cos t = x • je-li R(−a, −b) = R(a, b), lze užít substituci tg t = x R 1 Příklad. 1+sin 2t
——————–konec přednášky 9: 23.3. Luboš Pick———————————————Typ
R
at+b 1/q R(t, ( ct+f ) ) dt
q ∈ N, q > 1, a, b, c, f ∈ R, af 6= bc at+b 1/q ) =x • substituce ( ct+f
Typ
R
√ R(t, at2 + bt + c) dt, a 6= 0
• at2 + bt + c má dvojnásobný kořen α ∈ R: √ √ at2 + bt + c = a|t − α|, pro a > 0 • at2 + bt + c má dva reálné kořeny α1 < α2 :
q √ t−α2 at2 + bt + c = |t − α1 | a t−α 1
• at2 + bt + c nemá reálné kořeny: pak a > 0, c > 0, a lze užít některou z Eulerových substitucí √ √ √ √ at2 + bt + c = ± at + x nebo at2 + bt + c = tx + c ——————–konec přednášky 8: 17.3. Jiří Spurný———————————————R Příklad. x2 √1x2 +1
4.5
4.5.1
Riemannův integrál
Definice a základní vlastnosti
Definice 4.5.1. Konečnou posloupnost {xj }nj=0 nazýváme dělením intervalu [a, b], jestliže platí a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Body x0 , . . . , xn nazýváme dělícími body. Normou dělení D = {xj }nj=0 rozumíme číslo ν(D) = max{xj − xj−1 ; j = 1, . . . , n}.
Řekneme, že dělení D′ intervalu [a, b] je zjemněním dělení D intervalu [a, b], jestliže každý dělící bod D je i dělícím bodem D′ (značíme D′ ≺ D).
Definice 4.5.2. Nechť f je omezená funkce definovaná na intervalu [a, b] a D = {xj }nj=0 je dělení [a, b]. Označme n X Mj (xj − xj−1 ), kde Mj = sup{f (x); x ∈ [xj−1 , xj ]}, S(f, D) = S(f, D) =
j=1 n X j=1
Z
mj (xj − xj−1 ), kde mj = inf{f (x); x ∈ [xj−1 , xj ]},
b
f (x) dx = inf{S(f, D); D je dělením intervalu [a, b]},
a
Z
b
f (x) dx = sup{S(f, D); D je dělením intervalu [a, b]}.
a
78
• Řekneme, že omezená funkce f na intervalu [a, b], a < b, má Riemannův integrál Rb Rb od a do b, pokud a f (x) dx = a f (x) dx. Hodnota integrálu f od a do b je rovna této společné Rb Rb Rb hodnotě. Značíme ji a f (x) dx, (R) a f (x) dx nebo (R) a f . Rb Ra Rb • Pokud a > b, definujeme a f (x) dx = − b f (x) dx, v případě, že a = b, definujeme a f (x) dx = 0.
Definice 4.5.3.
Značení 4.5.4. Množinu všech funkcí f : [a, b] → R, které mají Riemannův integrál od a do b, značíme R([a, b]). R1 R1 Poznámka. 0 1 dx = 1, 0 D(x) dx neexistuje ——————–konec přednášky 10: 24.3. Luboš Pick———————————————Lemma 4.5.5 (Vlastnosti riemannovských součtů). Nechť f je omezená funkce na intervalu [a, b]. (i) Nechť D, D′ jsou dělení [a, b] a D′ zjemňuje D. Pak platí S(f, D) ≤ S(f, D′ ) ≤ S(f, D′ ) ≤ S(f, D) (ii) Nechť D1 , D2 jsou dělení intervalu [a, b]. Pak platí S(f, D1 ) ≤ S(f, D2 ). (iii) Platí
Z
a
b
f (x) dx ≤
Z
b
f (x) dx.
a
Důsledek 4.5.6 (Odhady riemannovských součtů). Nechť f je omezená na [a, b], D1 a D2 jsou dělení intervalu [a, b]. Potom m(b − a) ≤ S(f, D1 ) ≤
Z
a
b
f (x) dx ≤
b
Z
f (x) dx ≤ S(f, D2 ) ≤ M (b − a),
a
kde m = inf{f (x); x ∈ [a, b]} a M = sup{f (x); x ∈ [a, b]}. ——————–konec přednášky 9: 23.3. Jiří Spurný———————————————Věta 4.5.7 (Aproximace riemannovských součtů). Nechť f je omezená na [a, b]. Pak pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé dělení D intervalu [a, b] splňující ν(D) < δ platí: Z b Z b f (x) dx ≥ S(f, D) ≥ f (x) dx − ε, a
Z
a
a
b
f (x) dx ≤ S(f, D) ≤
Z
b
f (x) dx + ε.
a
Důsledek 4.5.8 (Riemannovské součty pro dělení jdoucí k 0). Nechť f je omezená na [a, b] a {Dn }∞ n=1 je posloupnost dělení intervalu [a, b] splňující limn→∞ ν(Dn ) = 0. Potom Z
a
b
Z
f (x) dx = lim S(f, Dn ), n→∞
a
b
f (x) dx = lim S(f, Dn ). n→∞
Poznámka. Tedy máme: Je-li f omezená na [a, b] a existuje posloupnost dělení {Dn } splňující • ν(Dn ) → 0, • lim S(f, Dn ) = lim S(f, Dn ), Rb pak f ∈ R([a, b]) a a f = lim S(f, Dn ) = lim S(f, Dn ). R1 Příklad. 0 x2 ——————–konec přednášky 11: 30.3. Luboš Pick———————————————79
4.5.2
Existence Riemannova integrálu
Věta 4.5.9 (Kritérium existence Riemannova integrálu). Nechť f je omezená funkce na intervalu [a, b]. Pak f ∈ R([a, b]), právě když ∀ε > 0 ∃dělení D intervalu [a, b] : S(f, D) − S(f, D) < ε. Definice 4.5.10. Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá na intervalu I, jestliže platí ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I ∀y ∈ I : (|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε). Poznámky. • x2 ,
1 x
• Stejnoměrně spojitá funkce je spojitá, ale obrácená implikace obecně neplatí.
nejsou stejnoměrně spojité.
——————–konec přednášky 10: 24.3. Jiří Spurný———————————————Věta 4.5.11 (Stejnoměrná spojitost na omezeném uzavřeném intervalu). Nechť funkce f je spojitá na omezeném uzavřeném intervalu [a, b]. Pak f je stejnoměrně spojitá na [a, b]. Věta 4.5.12 (Postačující podmínka pro riemannovskou integrovatelnost). Nechť [a, b] je omezený uzavřený interval a f : [a, b] → R. Je-li f (a) spojitá nebo (b) monotónní na [a, b], pak je f riemannovsky integrovatelná na [a, b].
4.5.3
Vlastnosti Riemannova integrálu
Značení 4.5.13. Je-li f reálná funkce a [a, b] ⊂ D(f ), pak f ∈ R([a, b]) znamená f |[a,b] ∈ R([a, b]). Věta 4.5.14 (Vlastnosti Riemannova integrálu). R([a, b]), αf ∈ R([a, b]) a platí Z
b
(f + g) =
a
(b) Nechť f, g ∈ R([a, b]) a f ≤ g. Pak
Rb a
Z
(a) Nechť f, g ∈ R([a, b]) a α ∈ R. Potom f + g ∈
b
f+ a
f≤
Z
b
a
Rb a
g,
Z
b
a
αf = α
Z
b
f.
a
g.
(c) Nechť a < b < c jsou reálná čísla a f : [a, c] → R. Pak platí • f ∈ R([a, c]) ⇔ f ∈ R([a, b]) & f ∈ R([b, c]); Z c Z c Z b f= f+ f. • je-li f ∈ R([a, c]), pak a
a
b
——————–konec přednášky 12: 31.3. Luboš Pick———————————————Rb Rb (d) Nechť f ∈ R([a, b]). Pak |f | ∈ R([a, b]) a | a f | ≤ a |f |.
Věta 4.5.15 (Vztah k primitivní funkci). Nechť J je interval a f je funkce definovaná na J splňující f ∈ R([α, β]) pro každé α, β ∈ J. Nechť c je libovolný pevně zvolený bod z J. Definujme na J funkci Z x f (t) dt. F (x) = c
Potom platí: F je spojitá na J a F ′ (x0 ) = f (x0 ) v každém bodě spojitosti x0 ∈ Int J funkce f . ——————–konec přednášky 13: 6.4. Luboš Pick—————————————————————–konec přednášky 11: 30.3. Jiří Spurný———————————————80
R Důsledek 4.5.16 (Existence primitivní funkce pomocí (R) ). pak má na (a, b) primitivní funkci.
(i) Jestliže je f spojitá na intervalu (a, b),
(ii) Nechť f je spojitá na intervalu [a, b], a, b ∈ R a F je funkce primitivní k f na (a, b). Potom existují vlastní limity limx→a+ F (x), limx→b− F (x) a platí Z
b
a
f (t) dt = lim F (x) − lim F (x). x→a+
x→b−
Věta 4.5.17 (Definice integrálu pomocí vybraných bodů). Nechť a, b ∈ R, a < b, a f je funkce definovaná na [a, b]. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) f ∈ R([a, b]), (ii) existuje I ∈ R takové, že pro každé ε ∈ R, ε > 0, existuje δ ∈ R, δ > 0, splňující:
je-li D = {xi }ni=0 dělení intervalu [a, b], ν(D) < δ, a ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, . . . , n, pak n X f (ti )(xi − xi−1 ) − I < ε. i=1
——————–konec přednášky 14: 7.4. Luboš Pick———————————————Rb Poznámka. Pokud platí jedna z podmínek ve Větě 4.5.17, pak I = a f .
Poznámka. Pro omezenou funkci f : [a, b] → R a číslo I ∈ R dostáváme, že následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀D dělení [a, b]: ν(D) < δ =⇒ |S(f, D) − I| < ε & |S(f, D) − I| < ε, (ii) ∀ε > 0 ∃D0 dělení [a, b]: D ≺ D0 =⇒ (|S(f, D) − I| < ε & |S(f, D) − I| < ε), n (iii) ∀ε Pn> 0 ∃δ > 0 ∀D = {xi }i=0 dělení [a, b]: (ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, . . . , n & ν(D) < δ) =⇒ | j=1 f (ti )(xi − xi−1 ) − I| < ε).
——————–konec přednášky 12: 31.3. Jiří Spurný———————————————-
4.6 4.6.1
Newtonův integrál Definice a základní vlastnosti
Definice 4.6.1. Řekneme, že Newtonův integrál funkce f na intervalu (a, b), a < b, a, b ∈ R∗ , existuje, jestliže f má na (a, b) primitivní funkci (označme ji F ), limity limx→a+ F (x), limx→b− F (x) existují a jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonova integrálu funkce f přes interval (a, b) pak rozumíme číslo (N )
Z
a
b
f (t) dt = ((N )
Z
a
b
f ) = lim F (x) − lim F (x). x→b−
x→a+
Píšeme [F ]ba = limx→b− F (x) − limx→a+ F (x). Rb Pokud (N ) a f (t) dt existuje vlastní, pak říkáme, že integrál je konvergentní. Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je divergentní. Značení 4.6.2. Množinu od a všech funkcí f : (a, b) → R, které mají konvergentní Newtonův integrál do b, značíme N (a, b) . Pokud f je reálná funkce a (a, b) ⊂ D(F ), symbolem f ∈ N (a, b) rozumíme f |(a,b) ∈ N (a, b) . Rb Poznámky. 1. a f se někdy říká určitý integrál. 2. Hodnota (N )
Rb a
f nezávisí na použité primitivní funkci. 81
3. Pro (N )
Příklady.
R1 0
Rb a
f tedy mohou nastat následující možnosti: neexistuje Z b vlastní f (N ) existuje a nevlastní
xα ,
R∞ 1
(
+∞ −∞
xα
Věta 4.6.3 (Vlastnosti Newtonova integrálu). (a) Nechť f, g : (a, b) → R a α ∈ R. Potom Z b Z b Z b Z b Z b (f + g) = f+ g, αf = α f, a
a
a
a
a
pokud je pravá strana definována. Speciálně, je-li f, g ∈ N (a, b) , pak f + g ∈ N (a, b) a αf ∈ N (a, b) .
——————–konec přednášky 15: 13.4. Luboš Pick——————————————— Rb Rb (b) Nechť f, g ∈ N (a, b) a f ≤ g. Pak a f ≤ a g. (c) Nechť −∞ ≤ a < b < c ≤ +∞ a f ∈ N (a, c) . Potom f ∈ N (a, b) , f ∈ N (b, c) a platí Rc Rb Rc a f = a f + b f. (d) Nechť −∞ ≤ a < b < c ≤ +∞, f ∈ N (a, b) , f ∈ N (b, c) a f je spojitá v b. Potom f ∈ N (a, c) .
Věta 4.6.4 (Per partes pro určitý integrál). Nechť funkce F je primitivní k f na (a, b), G je primitivní ke g na (a, b). Potom Z b Z b gF = [GF ]ba − Gf, a
a
pokud je pravá strana definována.
Věta 4.6.5 (Substituce pro určitý integrál). Nechť f : (a, b) → R, ω : (α, β) → (a, b) splňuje ω((α, β)) = (a, b) a ω má vlastní nenulovou derivaci na (α, β). Potom Z b Z β f (x) dx = (f ◦ ω)(t)|ω ′ (t)| dt, a
α
pokud alespoň jeden z integrálů existuje. ——————–konec přednášky 13: 6.4. Jiří Spurný———————————————-
4.6.2
Existence (N)
R
a vztah k (R)
R
Věta 4.6.6 (Bolzano-Cauchyova podmínka). Nechť a ∈ R∗ a F je definována na jistém prstencovém okolí bodu a. Potom limx→a F (x) existuje vlastní, právě když je splněna Bolzano-Cauchyova podmínka: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ P δ (a) : |F (x) − F (y)| < ε. Poznámka. Analogické tvrzení platí pro jednostranné limity. ——————–konec přednášky 16: 14.4. Luboš Pick———————————————R Věta 4.6.7 (Existence (N) na omezeném (a, b)). Nechť f je omezená a spojitá na omezeném intervalu (a, b). Potom f ∈ N (a, b) . R R Věta 4.6.8 (Rovnost (R) a (N ) ). Nechť [a, b] je omezený uzavřený interval a f : [a, b] → R. Pokud Rb Rb f ∈ N (a, b) ∩ R([a, b]), pak (N ) a f = (R) a f . Důsledek 4.6.9 (Integrály pro spojitou funkci). Nechť f je spojitá na [a, b]. Pak f ∈ R([a, b])∩N (a, b) Rb Rb a (R) a f = (N ) a f . 82
4.6.3
Konvergence Newtonova integrálu
Věta 4.6.10 (Srovnávací kritérium). Nechť −∞ pro funkce f a g platí 0 ≤ f ≤ g < a < b ≤ +∞. Jestliže na [a, b), f je spojitá na [a, b) a g ∈ N (a, b) . Potom f ∈ N (a, b) .
Věta 4.6.11 (Limitní srovnávací kritérium). Nechť −∞ < a < b ≤ +∞. Jestliže pronezáporné spojité funkce f a g na [a, b) platí limx→b− f (x)/g(x) = c ∈ (0, ∞), potom f ∈ N (a, b) , právě když g ∈ N (a, b) . ——————–konec přednášky 17: 20.4. Luboš Pick——————————————— Poznámka. Pokud c = 0, pak g ∈ N (a, b) implikuje f ∈ N (a, b) . Je-li c = ∞, pak f ∈ N (a, b) implikuje g ∈ N (a, b) . Příklady.
R1
1 0 x
sin( x1 ),
R∞ 0
1
x4 +1
,
√
R∞ 1
√ x+ x+1 3 x +x2
Věta 4.6.12 (Absolutní konvergence a konvergence). Nechť −∞ < a < b ≤ +∞ a f : (a, b) → R je spojitá. Pokud |f | ∈ N (a, b) , pak f ∈ N (a, b) . ——————–konec přednášky 14: 7.4. Jiří Spurný———————————————Lemma 4.6.13. Nechť a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R je spojitá, g : [a, b] → R je nerostoucí, nezáporná a spojitá na [a, b]. Potom Z x Z b Z x g(a) inf f≤ f g ≤ g(a) sup f. x∈[a,b]
a
x∈[a,b]
a
a
Věta 4.6.14 (Abelovo-Dirichletovo kritérium). Nechť −∞ < a < b ≤ +∞, f : [a, b) → R je spojitá. Její primitivní funkci na (a, b) označme F . Dále nechť g : [a, b) → R je monotónní a spojitá na [a, b). Potom platí (A) Jestliže f ∈ N (a, b) a g je omezená, potom f g ∈ N (a, b) . (D) Jestliže je F omezená na (a, b) a limx→b− g(x) = 0, potom f g ∈ N (a, b) . R∞ R∞ Příklady. 0 sinx x , 0 cosx x
4.6.4
Věty o střední hodnotě
Věta 4.6.15 (První věta ostřední hodnotě). Nechť a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R je spojitá, g : [a, b] → R je nezáporná, g ∈ N (a, b) a f g ∈ N (a, b) . Potom existuje ξ ∈ [a, b] takové, že Z
b
f g = f (ξ)
a
Z
b
g. a
——————–konec přednášky 18: 21.4. Luboš Pick—————————————————————–konec přednášky 15: 14.4. Jiří Spurný———————————————Věta 4.6.16 (Druhá věta o střední hodnotě). Nechť a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R je spojitá, g : [a, b] → R je monotónní a spojitá na [a, b]. Potom existuje ξ ∈ [a, b] takové, že Z
b
f g = g(a)
a
4.6.5
Z
ξ
a
f + g(b)
Z
b
f.
ξ
Aplikace určitého integrálu
Definice 4.6.17. Křivkou budeme rozumět zobrazení ϕ : [a, b] → Rn takové, že každá složka ϕi : [a, b] → R, i = 1, . . . , n je spojitě diferencovatelná na [a, b] (v krajních bodech uvažujeme jednostranné derivace). Geometrickým obrazem křivky ϕ rozumíme množinu < ϕ >= ϕ([a, b]). Příklad.
• ϕ(t) = [cos t, sin t], t ∈ [0, 2π], 83
• ϕ(t) = [t, f (t)], t ∈ [a, b], kde f : [a, b] → R je spojitě diferencovatelná, • ϕ(t) = [t3 , t2 ], t ∈ [−1, 1]. Poznámka. Různé křivky mohou mít stejný geometrický obraz, např. ϕ1 (t) = [t, t] a ϕ2 (t) = [t2 , t2 ], t ∈ [0, 1]. Definice 4.6.18. Nechť ϕ : [a, b] → Rn je křivka. Délkou křivky ϕ rozumíme hodnotu L(ϕ) = sup{L(ϕ, D); D je dělení intervalu [a, b]}, kde pro dělení D = {xi }ni=0 intervalu [a, b] definujeme L(ϕ, D) =
n X
vzdálenost (ϕ(xj−1 ), ϕ(xj )).
i=1
n Poznámka. Vzdálenost pPndvou bodů x = [x1 , . . . , xn ], y = [y1 , . . . , yn ] v R je definována jako ρ(x, y) = 2 kx − yk, kde kuk = i=1 ui . Pro normu k · k : Rn → [0, ∞) platí
• kxk = 0 právě tehdy, když x = 0, • kλxk = |λ|kxk, λ ∈ R, x ∈ Rn , • kx + yk ≤ kxk + kyk, x, y ∈ Rn . Lemma 4.6.19. Nechť a, b ∈ R, a < b, f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] → Rn je spojitá (tj. fi je spojitá, i = 1, . . . , n). Potom platí Z b Z b Z b Z b ||f ||. fn ]|| ≤ f1 , . . . , f || := ||[ || a
a
a
a
——————–konec přednášky 19: 27.4. Luboš Pick———————————————Věta 4.6.20 (Délka křivky). Nechť ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : [a, b] → Rn je křivka. Potom platí L(ϕ) =
Z
a
b
q (ϕ′1 )2 + · · · + (ϕ′n )2
(=
Z
a
b
||ϕ′ ||).
——————–konec přednášky 16: 14.4. Jiří Spurný———————————————Příklad.
• ϕ(t) = [cos t, sin t], t ∈ [0, 2π],
• f : [a, b] → R spojitě diferencovatelná. “Věta” (Objem a povrch rotačního tělesa). Nechť f je spojitá a nezáporná na intervalu [a, b], a, b ∈ R, a < b. Označme p T = {[x, y, z] ∈ R3 ; x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ f (x)}.
Pak
Objem (T ) = π
Z
b
f (x)2 .
a
Je-li navíc f ′ spojitá na [a, b], pak Povrch pláště (T ) = 2π
Z
a
b
p f (x) 1 + (f ′ (x))2 .
Věta 4.6.21 (Integrální kritérium). Nechť f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na [n0 , +∞), kde n0 ∈ N. Nechť pro posloupnost reálných čísel {an }∞ n=1 platí an = f (n) pro n ≥ n0 . Pak Z
∞
f (x) konverguje, právě když
n0
Příklad.
P∞
∞ X
n=1
1 n=2 n log n .
84
an konverguje.
Věta 4.6.22 (Zbytek Taylorova polynomu v integrálním tvaru). Nechť a, x ∈ R, a < x, a funkce f má v každém bodě intervalu [a, x] vlastní (n + 1)-ní derivaci. Potom Z x 1 (n+1) f (t)(x − t)n dt. f (x) − Tnf,a (x) = n! a ——————–konec přednášky 20: 28.4. Luboš Pick———————————————-
4.7
Metrické prostory
4.7.1
Definice a základní vlastnosti
Definice 4.7.1. Metrickým prostorem budeme rozumět dvojici (P, ρ), kde P je množina, ρ : P × P → [0, ∞) je funkce splňující (1) ∀x, y ∈ P : ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, (2) ∀x, y ∈ P : ρ(x, y) = ρ(y, x), (3) ∀x, y, z ∈ P : ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z). Funkci ρ nazýváme metrika na P . Příklady 4.7.2.
(1) Množinu Rn uvažujeme s metrikami
ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |, i=1,...,n
ρ1 (x, y) =
n X i=1
|xi − yi |,
(2) Obecněji, uvažujme pro p ∈ (1, ∞) metriku ρp (x, y) =
v u n uX ρ2 (x, y) = t |xi − yi |2 , i=1
p Pn p
i=1
x, y ∈ Rn .
|xi − yi |p , x, y ∈ Rn .
——————–konec přednášky 17: 20.4. Jiří Spurný———————————————(3) Na R lze uvažovat metriku ρ(x, y) = arctg |x − y|. (4) Na prostoru C([a, b]) spojitých funkcí na [a, b] uvažujme Z 1 ρ∞ (f, g) = max |f (x) − g(x)|, ρi (f, g) = |f (t) − g(t)| dt, x∈[a,b]
0
f, g ∈ C([a, b]).
(5) Diskrétní metrika na množině. (6) Gaussova rovina C. Definice 4.7.3. Normovaným lineárním prostorem budeme rozumět dvojici (X, k·k), kde X je vektorový prostor nad K (kde K je R nebo C) a k · k : X → [0, ∞) je funkce splňující (1) ∀x ∈ X : kxk = 0 ⇔ x = 0, (2) ∀x ∈ X∀λ ∈ K : kλxk = |λ|kxk, (3) ∀x, y ∈ X : kx + yk ≤ kxk + kyk. Funkci k · k nazýváme normou na X. Tvrzení 4.7.4. Nechť (X, k · k) je normovaný lineární prostor, pak zobrazení ρ : X × X → [0, ∞) definované předpisem ρ(x, y) = kx − yk, x, y ∈ X, je metrika na X. Příklady 4.7.5.
(1) Je-li p ∈ [1, ∞), prostor Rn můžeme uvažovat s normami v u n uX p |xi |p , x ∈ Rn . kxkp = t i=1
Je-li p = ∞, pak máme kxk∞ = maxi=1,...,n |xi |, x ∈ Rn . 85
(2) Na prostoru C([a, b]) spojitých funkcí na [a, b] uvažujme kf k∞ = max |f (x)|, x∈[a,b]
kf ki =
Z
b a
|f (t)| dt,
f ∈ C([a, b]).
1. Uvažujme prostory c0 a ℓp pro p ∈ [1, ∞]. ——————–konec přednášky 21: 4.5. Luboš Pick———————————————Definice 4.7.6. Nechť (P, ρ) je metrický prostor. (1) Nechť x ∈ P, r > 0. Množinu U (x, r) definovanou předpisem U (x, r) = {y ∈ P ; ρ(x, y) < r} nazýváme otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nebo také okolím bodu x. (2) Nechť x ∈ P, r > 0. Množinu B(x, r) definovanou předpisem B(x, r) = {y ∈ P ; ρ(x, y) ≤ r} nazýváme uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r. (3) Nechť M ⊂ P, x ∈ P . Řekneme, že x ∈ P je vnitřním bodem množiny M , jestliže existuje r > 0 splňující U (x, r) ⊂ M . (4) Množina M ⊂ P se nazývá otevřená v (P, ρ), jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. (5) Vnitřkem množiny M rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny M . Vnitřek množiny M budeme značit Int M . Poznámky.
• Bod x je vnitřním bodem M právě tehdy, když existuje r > 0 tak, že B(x, r) ⊂ M .
• Každá podmnožina M metrického prostoru P je sama metrickým prostorem, uvažujeme-li na M metriku zděděnou z P . Věta 4.7.7 (Vlastnosti otevřených množin). Nechť (P, ρ) je metrický prostor. (a) Prázdná množina a celý prostor P jsou otevřené v (P, ρ). (b) Nechť A je neprázdná množina indexů. Nechť množiny Gα ⊂ P, α ∈ A, jsou otevřené v (P, ρ). Pak S G α∈A α je otevřená množina v (P, ρ). Tm (c) Nechť m ∈ N. Nechť množiny Gi , i = 1, . . . , m, jsou otevřené v (P, ρ). Pak i=1 Gi je otevřená množina v (P, ρ). ——————–konec přednášky 18: 21.4. Jiří Spurný———————————————Definice 4.7.8. Nechť (P, ρ) je metrický prostor. (1) Nechť M ⊂ P a x ∈ P . Řekneme, že x je hraničním bodem množiny M , pokud pro každé r > 0 platí U (x, r) ∩ M 6= ∅ a U (x, r) ∩ (P \ M ) 6= ∅. (2) Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hraničních bodů M . Značíme ji ∂M (nebo H(M ) či bd(M )). (3) Uzávěrem množiny M rozumíme množinu M ∪ ∂M . Uzávěr množiny M značíme M . (4) Řekneme, že množina M je uzavřená v (P, ρ), jestliže obsahuje všechny své hraniční body (tj. ∂M ⊂ M , neboli M = M ). Příklad. Uvažujme množiny (0, 1), [0, 1], [0, 1), { n1 ; n ∈ N}, Q, R \ Q, {z ∈ C; |z| < 1}, {z ∈ C; Re z ∈ Q, |z| ≤ 1}, diskrétní prostor. Věta 4.7.9 (Vlastnosti uzavřených množin). Nechť (P, ρ) je metrický prostor. 86
(a) Nechť F ⊂ P . Potom F je uzavřená v (P, ρ), právě když P \ F je otevřená v (P, ρ). ——————–konec přednášky 22: 5.5. Luboš Pick———————————————(b) Prázdná množina a celý prostor P jsou uzavřené v (P, ρ). (c) Nechť A je neprázdná množina indexů. Nechť množiny Fα ⊂ P, α ∈ A, jsou uzavřené v (P, ρ). Pak T α∈A Fα je uzavřená množina v (P, ρ). Sm (d) Nechť m ∈ N. Nechť množiny Fi , i = 1, . . . , m, jsou uzavřené v (P, ρ). Pak i=1 Fi je uzavřená množina v (P, ρ). Poznámka 4.7.10.
• Otevřená koule je otevřená mnnožina, uzavřená koule je uzavřená množina.
• Průnik otevřených množin nemusí být otevřená množina, sjednocení uzavřených množin nemusí být uzavřená množina. • Bod tvoří uzavřenou množinu. • Je-li P = (−1, 1) s eukleidovskou metrikou, pak U (0, 1) = U (0, r) = P pro každé r > 1. Definice 4.7.11. Nechť (P, ρ) je metrický prostor, A ⊂ P a x ∈ P . Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ(x, A) = inf{ρ(x, y); y ∈ A}.
Diametrem neprázdné množiny B ⊂ P rozumíme
diam(B) = sup{ρ(x, y); x, y ∈ B} a klademe diam(∅) = 0. Pokud diam B < ∞, pak říkáme, že B je omezená množina v (P, ρ). Poznámka. Platí ρ(x, ∅) = ∞. Věta 4.7.12 (Vlastnosti uzávěru). Nechť (P, ρ) je metrický prostor, A ⊂ P , B ⊂ P . Pak platí: (a) ∅ = ∅, P = P , T (b) A = {F ⊂ P ; F ⊃ A uzavřená} = {x ∈ P ; ρ(x, A) = 0} = {x ∈ P ; ∀r > 0 : U (x, r) ∩ A 6= ∅}, ——————–konec přednášky 19: 27.4. Jiří Spurný———————————————-
(c) A je uzavřená, tj. A = A, (d) pokud A ⊂ B, pak A ⊂ B, (e) A ∪ B = A ∪ B, A ∩ B ⊂ A ∩ B, (f) diam A = diam A, a tedy A je omezená, právě když A je omezená. ——————–konec přednášky 23: 11.5. Luboš Pick———————————————Věta 4.7.13 (Vlastnosti vnitřku). Nechť (P, ρ) je metrický prostor, A ⊂ P , B ⊂ P . Pak platí: (a) Int ∅ = ∅, Int P = P , S (b) Int A = {G ⊂ P ; G ⊂ A otevřená} = {x ∈ P ; ρ(x, P \ A) > 0}, (c) Int A je otevřená, tj. Int(Int A)) = Int A,
(d) pokud A ⊂ B, pak Int A ⊂ Int B, (e) Int(A ∪ B) ⊃ Int A ∪ Int B, Int(A ∩ B) = Int A ∩ Int B, (f) Int A = P \ P \ A. Poznámka. Inkluze v (e) mohou být striktní. 87
Definice 4.7.14. Nechť (P, ρ) je metrický prostor a {xn }∞ n=1 je posloupnost prvků P . Řekneme, že {xn }∞ konverguje k y ∈ P v (P, ρ), jestliže platí lim ρ(xn , y) = 0. Prvek y nazýváme limitou n→∞ n=1 posloupnosti {xn }∞ v (P, ρ). Konvergentní posloupností v (P, ρ) rozumíme každou posloupnost prvků n=1 P , která má limitu v (P, ρ). Poznámka 4.7.15. Posloupnost {xn } konverguje k x právě tehdy, když ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : xn ∈ U (x, ε). Věta 4.7.16 (Vlastnosti konvergence). Nechť (P, ρ) je metrický prostor. Pak platí: (a) Nechť {xn }∞ n=1 je posloupnost prvků z P a existují n0 ∈ N, y ∈ P takové, že xn = y pro každé n ≥ n0 . Pak limn→∞ xn = y. (b) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (c) Nechť A ⊂ P . Je-li x ∈ P , pak x ∈ A právě tehdy, když existuje posloupnost {xn } bodů z A konvergující k x. Dále, množina A je uzavřená, právě když limita každé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. ∞ ∞ (d) Nechť {xnk }∞ k=1 je posloupnost vybraná z posloupnosti {xn }n=1 prvků P , tj., {nk }k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže limn→+∞ xn = y, pak také limk→∞ xnk = y.
Věta 4.7.17 (Konvergence v (Rn , ρ2 )). Posloupnost {xk } v Rn konverguje k x ∈ Rn právě tehdy, když xk (i) → x(i) pro každé i = 1, . . . , n. ——————–konec přednášky 24: 12.5. Luboš Pick—————————————————————–konec přednášky 20: 27.4. Jiří Spurný———————————————-
4.7.2
Kompaktní množiny
Definice 4.7.18. Nechť (P, ρ) je metrický prostor a K ⊂ P . Řekneme, že K je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti prvků množiny K lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou v K. Příklady. Konečné množiny, [0, 1], (0, 1), R, N, posloupnost se svojí limitou, B(0, 1) v C([0, 1]) se supremovou a integrální metrikou. Věta 4.7.19 (Vlastnosti kompaktních množin). Nechť (P, ρ) je metrický prostor a K ⊂ P je kompaktní. Pak (a) K je uzavřená v (P, ρ), (b) K je omezená v (P, ρ), (c) je-li F ⊂ K uzavřená v (P, ρ), pak je F kompaktní v (P, ρ). (d) Systém kompaktních množin v P je uzavřený na konečná sjednocení a libovolné průniky. Věta 4.7.20 (Charakterizace kompaktních množin pomocí otevřených pokrytí). Pro metrický prostor (K, ρ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) K je kompaktní, ——————–konec přednášky 21: 4.5. Jiří Spurný———————————————(ii) pro každé pokrytí {Ui ; i ∈ I} prostoru K otevřenými množinami existuje konečná množina J ⊂ I S tak, že K ⊂ i∈J Ui , T (iii) jestliže T systém {Fi ; i ∈ I} uzavřených množin v K splňuje i∈J Fi 6= ∅ pro každou konečnou J ⊂ I, pak i∈I Fi 6= ∅.
Věta 4.7.21 (Charakterizace kompaktních množin v Rn ). Množina K ⊂ Rn je kompaktní v (Rn , ρ2 ), právě když je omezená a uzavřená v (Rn , ρ2 ). ——————–konec přednášky 22: 5.5. Jiří Spurný———————————————88
4.7.3
Zajímavost: charakterizace riemannovsky integrovatelných funkcí
Věta 4.7.22. Nechť I je omezený uzavřený interval, f : I → R omezená a D = {x ∈ I; f nespojitá v x}. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) f ∈ R(I), (ii) pro P∞ každé ε > 0 existuje spočetný systém {In ; n ∈ N} intervalů v I tak, že D ⊂ n=1 |In | < ε (zde |J| značí délku intervalu J).
4.7.4
S∞
n=1 In
a
Spojitá zobrazení
Definice 4.7.23 (Limita a spojitost zobrazení). Jsou-li (P, ρ) a (Q, σ) metrické prostory a f : P → Q zobrazení, x ∈ P a y ∈ Q, řekneme, že limz→x f (z) = y (f má v x limitu y), pokud platí: ∀ε > 0 ∃δ > 0 : f (U (x, δ) \ {x}) ⊂ U (f (x), ε). Zobrazení f spojité v x, pokud limz→x f (y) = f (x). Zobrazení f je spojité (spojité na P ), pokud je spojité v každém bodě P . Příklad. Je-li A ⊂ P neprázdná, pak x 7→ ρ(x, A) je spojitá funkce na P . Uvažujeme-li na P ×P metriku σ([x1 , y1 ], [x2 , y2 ]) = ρ(x1 , x2 )+ρ(y1 , y2 ), pak ρ je spojitá na (P ×P, σ). Věta 4.7.24 (Heine). Pro f : (P, ρ) → (Q, σ), x ∈ P , y ∈ Q jsou následující podmínku ekvivalentní: (i) limz→x f (z) = y, (ii) pro každou posloupnost {xn } v P \ {x} splňující xn → x platí f (xn ) → y. Věta 4.7.25 (Charakterizace spojitého zobrazení). Pro f : (P, ρ) → (Q, σ) jsou následující podmínku ekvivalentní: (i) f je spojité, (ii) pro každou posloupnost {xn } v P splňující xn → x platí f (xn ) → f (x), (iii) f −1 (F ) je uzavřená pro každou F ⊂ Q uzavřenou, (iv) f −1 (G) je otevřená pro každou G ⊂ Q otevřenou, (v) f (A) ⊂ f (A) pro každou A ⊂ P . Věta 4.7.26 (Spojité funkce na kompaktu). Je-li (K, ρ) kompaktní metrický prostor a f : K → R je spojitá, pak f je omezená na K a nabývá svého maxima i minima na K. Poznámka. Funkce f na množině K je omezená, pokud existuje C ≥ 0 tak, že |f (x)| ≤ C pro všechna x ∈ K. Věta 4.7.27 (Vlastnosti spojitých zobrazení). (a) Nechť f1 : (P1 , ρ1 ) → (P2 , ρ2 ) a f2 : (P2 , ρ2 ) → (P3 , ρ3 ) jsou spojitá, pak f2 ◦ f1 : (P1 , ρ1 ) → (P3 , ρ3 ) je spojité zobrazení. (b) Nechť (P, ρ) je metrický prostor a (X, k · k) je normovaný lineární prostor nad K. Jsou-li f, g : P → X spojitá a α ∈ K, pak x 7→ f (x) + g(x) i x 7→ αf (x) jsou spojitá. (c) Nechť (P, ρ) je metrický prostor a f, g : P → R jsou spojitá. Pak x 7→ min{f (x), g(x)} i x 7→ max{f (x), g(x)} jsou spojitá.
89
90
Kapitola 5
Proseminář z kalkulu 1b 5.1
Téma 1: Taylorův polynom
Příklad 5.1.1. Dokažte, že pokud pro nějaké k ∈ R jest f (x) = 1 + kx + o(x), x → 0, pak platí 1 limx→0 (f (x)) x = ek . Příklad 5.1.2. Spočtěte limity: √ sin(sin(x)) − x 3 1 − x2 lim , x→0+ x5 sinh(tg x) − x lim . x→0 x3 Příklad 5.1.3. Vyšetřete konvergenci řad: ∞ X
n=1 ∞ X
arctg(
1 1 − √ ), n n
1 1 − arcsin n n n=1 ∞ X 1 1 sin . − arcsin n n n=1 sin
Příklad 5.1.4. Pro která x ∈ R platí aproximace cos x ≈ 1 −
x2 2
s přesností na 10−4 ?
Příklad 5.1.5. Nechť n ∈ N, n ≥ 2, a > 0, x > 0. Dokažte, že platí √ n
an + x = a +
x −r nan−1
2
x pro nějaké r ∈ (0, n−1 n2 a2n−1 ).
Příklad 5.1.6. Nechť funkce f má na intervalu (0, 1) spojitou druhou derivaci a nechť f je spojitá na [0, 1]. Nechť dále platí f (0) = f (1) = 0 a |f ′′ (x)| ≤ A pro nějaké A > 0 a pro všechna x ∈ (0, 1). Dokažte, že potom platí |f ′ (x)| ≤ A 2 pro všechna x ∈ [0, 1]. Příklad 5.1.7. Nechť funkce f má na R vlastní druhou derivaci a nechť Mk := sup |f (k) (x)| < ∞,
k = 0, 1, 2.
x∈R
Dokažte M12 ≤ 2M0 M2 . Příklad 5.1.8. Jak je třeba zvolit koeficienty a, b ∈ R, aby platil vztah x − (a + b cos x) sin x = o(x3 ), 91
x → 0?
Příklad 5.1.9. Jak je třeba zvolit koeficienty A, B ∈ R, aby platil vztah cotg x − kde funkce
ω(x) x5
je omezená na nějakém okolí 0. • Příklad 5.1.4: |x| ≤ 10−1 ·
Výsledky.
1 + Ax2 = ω(x), x + Bx3
√ 4 24.
• Příklad 5.1.8: a = 43 , b = − 31 . 1 . • Příklad 5.1.9: A = − 52 , B = − 15
5.2
Téma 2: Číselné řady s reálnými členy
Příklad 5.2.1. Vyšetřete konvergenci řad ∞ X
2 n sin
(−1)
n=1 ∞ X
n
n
,
sin nπ 4 , α + sin nπ n 4 n=1
∞ X sin n 1 1 1 + + ···+ , n 2 n n=1 ∞ X sin n + n1 α > 0, , log(log n) n=2
∞ X sin(na) sin(n2 a) , n n=1
∞ X sin(na) cos(n2 a) , n n=1
∞ X
1 n2 cos π , n+1 log2 n n=2
∞ X sin(na) cos(n2 a) , n n=1
a ∈ R.
Příklad 5.2.2. Rozhodněte, pro která a ∈ R konverguje absolutně řada ∞ X sin(na) . n n=1
Příklad 5.2.3. Dokažte, že pro všechna a ∈ R a n ∈ N platí n X sin(ak) √ < 2 π. k k=1
Příklad 5.2.4. Dokažte následující Kroneckerovo lemma: Nechť {bn } je rostoucí posloupnost splňující limn→∞ bn = ∞. Potom ∞ X ak 1 =o bk bn
n X
a
k=n
P∞
n=1
an je konvergentní řada a nechť
ak bk = o (bn ) .
k=1
Příklad 5.2.5. Utvořte Cauchyův součin daných řad a spočítejte jeho součet: (i) (ii) (iii)
∞ X 2n n! n=0 ∞ X
a
(−1)n
n=1 ∞ X
∞ X
n=0
1 n
1 2n n!
∞ X 1 , n 3 n=1
a
(n + 1)xn
,
a
n=0
∞ X
(−1)n (n + 1)xn .
n=0
92
Příklad 5.2.6. Zkoumejte konvergenci (a eventuální součet) následujících zobecněných řad: (i)
X
xi y k ,
|x|, |y| < 1
(i,k)∈(N∪{0})2
(ii)
X
(n,k)∈(N∪{0})2
(iii)
1 , nk(n + k + 2)
X
(n,k)∈N×N
(iv)
X
1 , n!k!(n + k + 1)
(n,k)∈(N∪{0})2
(v)
X
(n,k)∈N×N
(vi)
1 , nα k β
X
α, β > 0,
1 , (n + k)p
X
(n,k)∈N×N
(vii)
n!k! , (n + k + 2)!
nxnk ,
(n,k)∈N×N
p > 0,
|x| < 1.
Výsledky. • Příklad 5.2.1: (i), (ii), (iii) konvergují, (iv) konverguje pro α > 0 < α ≤ 12 , (v) konverguje, (vi), (vii) a (viii) konvergují pro každé a ∈ R.
1 2
a diverguje pro
• Příklad 5.2.2: Řada konverguje absolutně právě tehdy, pokud a = kπ, k ∈ Z, pro ostatní a ∈ R konverguje neabsolutně. 5
• Příklad 5.2.5: (i) e 2 , (ii) − 12 log 2, (iii)
5.3
1 (1−x2 )2 .
Dobrovolná vsuvka: Kummerovo kritérium konvergence řad a jeho důsledky
P Příklad 5.3.1. Dokažte následující Kummerovo kritérium konvergence řad. Nechť ∞ n=1 an je řada reálných čísel s nezápornými členy. Nechť Dn je posloupnost kladných reálných čísel. Označme pn := Dn
an − Dn+1 . an+1
Potom P (i) jestliže lim inf pn > 0, pak řada ∞ a konverguje; n=1 P∞ P∞n (ii) jestliže lim sup pn < 0 a navíc řada n=1 D1n diverguje, pak řada n=1 an diverguje.
Příklad P 5.3.2. Dokažte pomocí Kummerova kritéria následující Raabeovo kritérium konvergence řad. Nechť ∞ čísel s nezápornými členy. Potom n=1 an je řadareálných P∞ an (i) jestliže lim inf n an+1 − 1 > 1, pak řada n=1 an konverguje; P∞ n (ii) jestliže lim sup n aan+1 − 1 < 1, pak řada n=1 an diverguje.
Příklad P 5.3.3. Dokažte pomocí Kummerova kritéria následující Gaussovo kritérium konvergence řad. Nechť ∞ n=1 an je řada reálných čísel s nezápornými členy. Nechť existuje omezená posloupnost reálných čísel bn a konstanta k ∈ R tak, že platí an k bn = 1+ + 2. an+1 n n Potom P∞ (i) jestliže k > 1, pak řada Pn=1 an konverguje; ∞ (ii) jestliže k ≤ 1, pak řada n=1 an diverguje.
93
5.4
Téma 3: Mocninné řady
Příklad 5.4.1. Dokažte následující tvrzení: P P∞ n n (a) P Nechť f (x) = ∞ n=0 an x a g(x) = n=0 bn y mají kladné poloměry konvergence ρ1 a ρ2 . Nechť ∞ n n=0 |bn y | < ρ1 pro y ∈ (−ρ2 , ρ2 ) a g(0) = 0. Pak existují cn ∈ R, n ∈ N, tak, že (f ◦ g)(z) = P∞ n n=0 cn z , z ∈ (x0 − ρ2 , x0 + ρ2 ). P P∞ n n (d) Nechť f (x) = ∞ konvergence n=0 an (x − x0 ) a g(x) = n=0 bn (x − x0 ) mají kladné poloměry P∞ n ρ1 a ρ2 a g(x0 ) 6= 0. Pak existují cn ∈ R, n ∈ N, a ρ > 0 tak, že fg (x) = c n=0 n (x − x0 ) , x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ). Příklad 5.4.2. Nalezněte poloměr konvergence následujících mocninných řad. Určete oblasti absolutní konvergence, neabsolutní konvergence a divergence. p n ∞ X x−1 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)
2 · 4 · 6 . . . (2n) n p 2 (n!)2 n (−1) xn (2n + 1)! n=1
2
n=1 ∞ X
,
p ∈ R;
p ∈ R;
∞ X (3 + (−1)n )n n x . n n=1
P∞ P∞ Příklad 5.4.3. Nechť R1 a R2 jsou po řadě poloměry konvergence řad n=1 an xn a n=1 bn xn . P∞ (i) Dokažte, že pokud R1 6= R2 , pak poloměr konvergence řady n=1 (an +bn )xn je roven min{R1 , R2 }. P∞ n (ii) Co se dá říci o poloměru konvergence řady P n=1 (an + bn )x , je-li R1 = R2 ? ∞ n (iii) Dokažte, že je-li R poloměr konvergence řady n=1 an bn x je roven min{R1 , R2 }, pak R ≥ R1 R2 . (iv) Ukažte na příkladu, že nerovnost v (iii) může být ostrá. P P∞ n n Příklad 5.4.4. Nechť R1 a R2 jsou po řadě poloměry konvergence řad ∞ n=1 Pa∞n x ana n n=1 bn x . (i) Dokažte, že pokud R1 , R2 ∈ (0, ∞) a R je poloměr konvergence řady n=1 bn x , kde bn 6= 0 pro 1 žádné n ∈ N, pak R ≤ R R2 . P∞ P∞ (ii) Dokažte, že poloměr konvergence Cauchyova součinu řad n=1 an xn a n=1 bn xn splňuje R ≥ min{R1 , R2 }. Příklad 5.4.5. Nechť funkce f je definována předpisem f (x) :=
∞ X
n
x2 ,
x ∈ (−1, 1).
n=0
Potom existuje M > 0 takové, že |f ′ (x)| <
M . 1 − |x|
Příklad 5.4.6. Dokažte následující Tauberovu větu. Nechť funkce f je definována předpisem f (x) :=
∞ X
an xn
n=0
a nechť P∞poloměr konvergence této řady je roven 1. Jestliže navíc limn→∞ nan = 0 a limx→1− f (x) = L ∈ R, pak n=0 an = L. Příklad 5.4.7. Dokažte obrácenou implikaci v Toeplitzově větě.
Příklad 5.4.8. Předpokládejte navíc v Toeplitzově větě, že jsou čísla cn,k nezáporná. Dokažte, že pro každou omezenou posloupnost {an } platí lim inf an ≤ lim inf n→∞
n→∞
∞ X
k=1
cn,k ak ≤ lim sup n→∞
94
∞ X
k=1
cn,k ak ≤ lim sup an . n→∞
Výsledky.
• Příklad 5.4.2:
(i) R = 2, pro −1 < x < 3 AK pro všechna p, pro x = −1 AK pro p > 2, K pro p ∈ (0, ∞), pro x = 3 AK i K pro p ∈ (2, ∞);
(ii) R = 2p , AK pro −2p < x < 2p , pro x = −2p AK i K pokud p > 2, pro x = 2p AK pro p ∈ (2, ∞), K pro (0, ∞); (iii) R = 14 , AK i K pro − 41 < x < 14 .
5.5
Pro zajímavost: Nekonečné součiny
Q∞ Příklad 5.5.1. Nechť {an } je posloupnost čísel. Pak n=1 an nazýváme Qnekonečným součinem a existujeli limita částečných součinů {pn }, říkáme této limitě hodnota součinu ∞ n=1 an . Součin nazývéme konvergentní, pokud existuje vlastní nenulová limita posloupnosti {pn }. Dokažte následující tvrzení: • Je-li lim pn konečná nenulová, pak an → 1.
• Nechť 1 + un > 0, n ∈ N, un → 0 a posloupnost {un } nemění znaménko. Pak Q∞ P∞ – n=1 (1 + un ) konverguje, pokud n=1 un konverguje; Q P – ∞ (1 + un ) = ∞, pokud ∞ n=1 un = ∞; Qn=1 P ∞ ∞ – n=1 (1 + un ) = 0, pokud n=1 un = −∞; Q∞ Q∞ • Pokud n=1 (1 + |un |) konverguje, konverguje též n=1 (1 + un ). Q∞ Q∞ Q∞ 3 2n Příklad 5.5.2. Najděte hodnoty součinů (existují-li) n=1 (1 − n12 ), n=1 nn3 −1 n=1 (1 + x ) pro +1 , √ Q∞ n |x| < 1, n=1 1+ e1 . n n Q∞ Q∞ Q∞ 1 2n Příklad 5.5.3. Zkoumejte konvergenci součinů n=1 (1+ (−1) n=1 (1+ n ), n=1 (1+x ) pro |x| < 1, n ), √ Q∞ ne 1 . n=1 1+ n Q∞ Příklad 5.5.4. Nechť an > 0 a n=1 (1 + an ) diverguje. Ukažte, že ∞ X
an = 1. (1 + a )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) 1 n=1
5.6
Téma 4: Primitivní funkce
Příklad 5.6.1. Buď I otevřený neprázdný interval. Označme C(I) = {f : I → R, f spojitá na I} P (I) = {f : I → R, f má primitivní funkci na I}
Na přednášce bylo vysloveno a bude dokázáno, že platí
C(I) ⊂ P (I) .
(5.1)
Ukažte, že inkluze (5.1) není rovností, tedy že existuje nespojitá funkce na I, mající primitivní funkcí na I. Návod: Uvažte funkci g(x) = 2x sin x1 − cos x1 pro x 6= 0, g(0) = 0, a funkci G(x) = x2 sin x1 pro x 6= 0, G(0) = 0. Příklad 5.6.2. Funkce g z předchozího bodu je P nespojitá právě v bodě x = 0. Buďte nyní aj ∈ R, j = 1, . . . , n po dvou různé body. Potom funkce nj=1 g(x − aj ) je nespojitá právě v bodech aj ∈ R, Pn j = 1, . . . , n, a přitom má primitivní funkci j=1 G(x − aj ) na R.
Poznámka. S využitím pojmu tzv. stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí (tedy nad rámec našich současných znalostí) lze ukázat např. následující tvrzení: buď {rn }∞ n=1 posloupnost všech (různých) P∞ g(x−rn ) je nespojitá ve všech racionálních racionálních čísel z intervalu (−1, 1). Potom funkce n n=1 2 P ∞ G(x−rn ) bodech intervalu (−1, 1), a přitom má primitivní funkci n=1 2n na (−1, 1). Funkce, mající všude primitivní funkci, tedy mohou být nespojité i na tzv. spočetné husté množině v (−1, 1) (množina A ⊂ (−1, 1) je hustá v (−1, 1), pokud ke každému x ∈ (−1, 1) existují an ∈ A, že lim an = x). n→∞
95
Příklad 5.6.3. Buď I ⊂ R neprázdný interval. Označme symbolem
B1 (I) = {f : I → R, existuje posloupnost fn ∈ C(I) , ∀x ∈ I lim fn (x) = f (x)} , n→∞
tzv. funkce první Baireovy třídy. (Jde tedy o funkce, které jsou bodovými limitami spojitých funkcí.) Ukažte, že platí: 1. pro každý neprázdný otevřený interval I ⊂ R je 2. pro každý neprázdný interval I ⊂ R je
P(I) ⊂ B1 (I) ;
(5.2)
C(I) ⊂ B1 (I) ,
(5.3)
přičemž inkluze v (5.3) není rovností, tj. existují nespojité funkce první Baireovy třídy. Návod: 1. Studujte chování posloupnosti fn (x) := n(F (x + n1 ) − F (x)), kde F je primitivní k f na I. Nezapomeňte se zamyslet nad tím, jak se pro každé pevné n ∈ N zachovat vůči všem bodům x ∈ I, pro / I. které x + n1 ∈
2. Je-li f ∈ C(I), uvažujte fn := f pro všechna přirozená n; poté studujte chování posloupnosti funkcí xn na intervalu h0, 1i.
Příklad 5.6.4. Násobení funkcí nezachovává ani vlastnost „mít primitivní funkciÿ, ani vlastnost „nemít primitivní funkciÿ. Ukažte: 1. existuje otevřený interval ∅ 6= I ⊂ R a f : I → R taková, že f ∈ / P(I) & f 2 ∈ P(I);
2. existuje otevřený interval ∅ 6= I ⊂ R a h : I → R taková, že h ∈ P(I) & h2 ∈ / P(I); Návod: 1. Uvažte jakýkoli I ⊃ {0} a funkci f (x) = 1 pro x ≥ 0, f (x) = −1 pro x < 0.
2. Z vlastností funkce g z bodu 1 plyne, že funkce h1 (x) := cos x1 pro x 6= 0, h1 (0) := 0, má primitivní funkci na R. Podobně ukažte, funkce h2 (x) := sin x1 pro x 6= 0, h2 (0) := 0, má primitivní funkci na R. Funkce h21 + h22 však nemá Darbouxovu vlastnost na R, alespoň jedna z funkcí h21 , h22 tedy nemůže mít primitivní funkci na R. R Příklad 5.6.5. Ze vztahu x2dx +1 = arctg x, x ∈ R odvoďte pro a, b ∈ R, a 6= 0 vzorce (možná hodné zapamatování): Z Z dx 1 1 x x+b dx = = arctg arctg , , x ∈ R. (5.4) x2 + a2 a a (x + b)2 + a2 a a Příklad 5.6.6. Položme Z dx p Ln := , 2 (x + 1)n
Kn :=
Ukažte:
Z p (x2 + 1)n dx ,
√ 1. L1 = log(x + x2 + 1), x ∈ R; √ √ 2. K1 = x2 x2 + 1 + 21 log(x + x2 + 1), x ∈ R; 3. pro všechna n ∈ N platí Ln+2 = √ n
4. pro všechna n ∈ N platí Kn = Návod:
x n+1
x (x2 +1)n
+
n−1 n Ln ,
p (x2 + 1)n +
x ∈ R,
x ∈ R;
n n+1 Kn−2 ,
x ∈ R.
√ 1. použijte substituci x2 + 1 = −x + t; √ R 2. integrujte 1 · x2 + 1 dx per partes a využijte předchozího výsledku; R 3. integrujte 1 · √ dx per partes; 2 n (x +1)
4. integrujte
R
p 1 · (x2 + 1)n dx per partes.
96
n ∈ N.
5.7
Téma 5: Určitý integrál
Příklad 5.7.1. Spočtěte tyto Riemannovy integrály bez použití primitivní funkce: a
Z
(a)
x3 dx ,
Z
(b)
0
π 2
sin xdx .
0
Návod: Uvažte ekvidistantní dělení s normou n1 . V prvním případě budete potřebovat vztah 13 +· · ·+n3 = Pn n2 (n+1)2 , ve druhém vzorec pro k=1 sin kx. 4 Příklad 5.7.2. Ukažte, že existuje Riemannův integrál z Riemannovy funkce na h0, 1i. Spočtěte jej. Příklad 5.7.3. Použitím Riemannových integrálů vhodných funkcí spočtěte tyto limity: 1 p 1 1 1 n (n + 1)(n + 2) · · · 2n . , (b) lim + + ···+ (a) lim n→∞ n n→∞ n + 1 n+2 3n Návod: (a) Pište
1 n+1
+
1 n+2
1 1 2 +x
+ ··· +
1 3n
=
1 2n
1
1 1 2 + 2n
+
1
1 2 2 + 2n
+ ···+
1
1 2n 2 + 2n
a uvažte Riemannovské
při vhodném dělení intervalu h0, 1i. Proveďte podrobně. p (b) Označte an := n1 n (n + 1)(n + 2) · · · 2n, ukažte, že log an := n1 log(1 + n1 ) + log(1 + n2 ) · · · log(1 + nn ) a dále postupujte obdobně jako v předchozím případě.
součty funkce
Příklad 5.7.4. Dokažte následující tvrzení: Buďte f , g omezené funkce, definované na omezeném uzavřeném intervalu ha, bi a takové, že f = g s výjimkou konečného počtu bodů. Nechť f má Riemannův integrál na ha, bi. Potom i g má Riemannův integrál na ha, bi a platí Z
b
f (x)dx =
Návod: Substitucí ukažte, že
R
Příklad 5.7.6. Položme Ik :=
g(x)dx .
π 2
sinn x dx . sinn x + cosn x 0 R π2 sinn x cosn x sinn x+cosn x dx = 0 sinn x+cosn x dx a pak sečtěte oba tyto integrály.
π 2
0
R
b
a
a
Příklad 5.7.5. Spočtěte pro n ∈ N
Z
π 2
0
Z
sink xdx, k ∈ N ∪ {0}. Ukažte (metodou integrace per partes), že Ik =
k−1 Ik−2 , k
k = 2, 3, . . . .
Spočtěte I0 a I1 a odvoďte explicitní vztahy pro I2n a I2n+1 , n ∈ N. Příklad 5.7.7. S použitím výsledků předchozího bodu ukažte tzv. Wallisovu formuli: 2 1 (2n)!! π lim = . n→∞ 2n + 1 (2n − 1)!! 2 Příklad 5.7.8. Ukažte tzv. Stirlingův vzorec: n! n = 1. lim √ 2πn ne
n→+∞
Příklad 5.7.9. Ukažte, že číslo π je iracionální.
97
5.8
Téma 6: Newtonův integrál
Příklad 5.8.1. Neabsolutní konvergence Newtonova integrálu. Buďte a, b ∈ R∗ , a < b. Symbolem Rb N (a, b) rozumíme množinu všech funkcí f , definovaných na intervalu (a, b), takových, že (N ) a f (x) dx ∈ R. 1. Nechť |f | ∈ N (a, b) a f má primitivní funkci na (a, b). Ukažte, že potom f ∈ N (a, b).
2. Ukažte, že implikaci, obsaženou v předchozím bodě, nelze „obrátitÿ, tj. že existuje f ∈ N (a, b) taková, že |f | má primitivní funkci na (a, b) a |f | ∈ / N (a, b). 3. Ukažte, že implikace z bodu (i) neplatí bez předpokladu existence primitivní funkce k |f | na (a, b), tj. najděte f takovou, že |f | ∈ N (a, b) a přitom f nemá primitivní funkci na (a, b).
Příklad 5.8.2. Chování Newtonovsky integrovatelné funkce v nekonečnu. Rozhodněte, které z uvedených tvrzení platí. Podle toho tvrzení buď dokažte nebo najděte protipříklad: R∞ 1. f ∈ C([, ∞)), 1 f ∈ R, potom lim f (x) = 0. x→+∞
2. f ∈ C([1, ∞)),
3. f ∈ C([1, ∞)), 4. f ∈ C([1, ∞)),
R∞ 1
R∞ 1
R∞
f ∈ R, f ≥ 0 na (1, +∞), potom lim f (x) = 0. x→+∞
f ∈ R, f ≥ 0 na (1, +∞), potom f je omezená na (1, +∞).
f ∈ R, existuje lim f (x), potom lim f (x) = 0. x→+∞ x→+∞ R∞ R∞ x √ ∈ R, zatímco π Příklad 5.8.3. Záludnosti obratu „chová se jakoÿ. Ukažte, že π sin x R. 1
√ sin x x+sin x
∈ /
Varování. Uvedený příkladR slouží jako varování před následující chybnou úvahou: Ve jmenovateli ∞ sin x lze pro velká x funkci sin x „zanedbatÿ vzhledem k funkci integrované funkce v integrálu π √x+sin x R∞ x R ∞ sin x √ √ . Uvědomte si, jak byste tento váš x, proto se integrál π √x+sin x chová „stejně jakoÿ integrál π sin x odhad koretně oveřovali a proč toto ověření v tomto příkladu selže. Návody a poznámky. Příklad 5.8.1 1. Označte F primitivní funkci k f a H primitivní funkci k |f |, na (a, b). Ukažte že pro x, y ∈ P − (b, δ) je |F (x)−F (y)| < |H(x)−H(y)| a použijte B-C podmínku pro existenci vlastní limity limx→b− F (x). Podobně postupujte pro bod a. R ∞ sin x R∞ x| 2. π x ∈ R, zatímco π | sin = +∞. Ukažte. x 3. Na intervalu (0, 1) uvažte funkci D(x) − 12 ; (D(x) je Dirichletova funkce). Příklad 5.8.2 1. Tvrzení neplatí. Uvažte
R∞ 1
sin x2 dx. (Substituujte x2 = y a poté užijte A-D kritérium.)
2. Tvrzení neplatí. Uvažte funkci, jejíž graf je tvořen rameny rovnoramenných trojúhelníků o základně délky 2/n2 a výšce 1, umístěných v bodech x = n reálné osy. „Mimo tyto trojúhelníkyÿ je funkce nulová. 3. Tvrzení neplatí. Uvažte podobnou funkci, jako v předchozím případě, pouze základny trojúhelníků budou 2/n3 a výšky n. 4. Tvrzení platí. Nechť
lim f (x) > 0 (konečná či nekonečná). Potom existují x0 > 0, c > 0, že
x→+∞
f (x) > c pro všechna x ≥ x0 . Ukažte, že taková funkce má nutně nekonečný integrál. Podobně odvoďte spor v případě lim f (x) < 0. x→+∞
R ∞ sin x R∞ x √ ∈ R podle A-D kritéria. Předpokládejte pro spor, že π √x+sin ∈ R, pak by Příklad 5.8.3 π sin x x R∞ R ∞ sin x R ∞ sin x sin2 x √ √ √ √ − π = π ∈ R. Poslední integrál však diverguje, neboť pro x ≥ π ovšem i π x x+sin x x( x+sin x) R∞ 2 √ √ √ 2 2 sin x je 0 < x + sin x < x + 1 < 2 x, tedy √x(√x+sin x) > sin2x x a π sin2x x = +∞. Proveďte podrobně. 98
5.9
Téma 7: Limitní přechody v Riemannově integrálu
Příklad 5.9.1. (i) Dokažte, že je-li f spojitá na [a, b] a pro každé α, β takové, že a ≤ α < β ≤ b platí Z
β
f (x) dx = 0,
α
pak f je identicky nulová funkce na [a, b]. (ii) Dokažte, že je-li f spojitá na [a, b] a pro každou funkci g spojitou na [a, b] platí Z
b
f (x)g(x) dx = 0,
a
pak f je identicky nulová funkce na [a, b]. (iii) Dokažte, že je-li f spojitá na [a, b] a pro každou funkci g spojitou na [a, b] a takovou, že g(a) = g(b) = 0 platí Z b f (x)g(x) dx = 0, a
pak f je identicky nulová funkce na [a, b]. Příklad 5.9.2. Nechť f je spojitá na R. Dokažte, že: (i) je-li pro každé x ∈ R Z x f (t) dt = 0, −x
pak f je lichá; (ii) je-li pro každé x ∈ R
x
Z
f (t) dt = 2
Z
x
Z
T
f (t) dt,
0
−x
pak f je sudá; (iii) je-li pro každé nějaké T > 0 a všechna x ∈ R Z
x+T
f (t) dt =
x
f (t) dt,
0
pak f je periodická s periodou T . Příklad 5.9.3.
• Nechť fn : [0, 1] → [0, 1] spojité, fn ց 0. Pak
• Nechť fn : [0, 1] → [0, 1] spojité, fn → 0. Pak Příklad 5.9.4. Spočtěte následující limity:
0
n 2n
Z lim n3
n→∞
n
Z
lim
R→∞
lim
n→∞
Výsledky.
• Příklad 5.9.4: 1,
7 24 ,
π 2
1 3π
x dx ; x5 + 1 x dx ; x5 + 1 !
e−R sin t dt ;
0
Z
2π
π 4
x dx arctg(nx)
0, e 3π2 . 99
0
fn → 0.
fn → 0. (Těžké.)
n+1
Z lim n4
n→∞
R1
R1
n
.
5.10
Téma 8: Aplikace určitého integrálu
Příklad 5.10.1. Spočtěte objem toru, vzniklého rotací kruhu o poloměru a > 0 a středu v bodě b > a kolem osy y. Příklad 5.10.2. Spočtěte povrch pláště parabolické mísy, vzniklé rotací parabolického oblouku y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1 kolem osy y. Příklad 5.10.3. Spočtěte povrch pláště ragbyového míče, vzniklého rotací elipsy x2 + 4y 2 = 4 kolem osy y. Příklad 5.10.4. Těžiště rovinné oblasti dané nerovnostmi a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) je bod [x, y], kde Rb a
xf (x) dx
x = Rb a
f (x) dx
y=
,
Rb
2 a (f (x)) dx . Rb 2 a f (x) dx
Najděte těžiště rovinných oblastí, daných následujícími nerovnostmi:
p a2 − x2 ; 1 ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √ 1 + x2 x2 + y 2 = r2 , x ≥ 0, y ≥ 0. 0≤y≤
− a ≤ x ≤ a,
Výsledky.
• Příklad 5.10.1: V = 2π 2 a2 b,
• Příklad 5.10.2:
π 6 (5
√ 5 − 1)
• Příklad 5.10.3: 8π 1 + • Příklad 5.10.4:
5.11
S = 4π 2 ab
√ log(2+ 3) √ 3 2 ,
i h √2−1 4a π √ √ , 0, 3π , , , log(1+ 2) 8 log(1+ 2)
2r π
, 2r π
Téma 9: Věty o střední hodnotě
Příklad 5.11.1. Nechť f je spojitá na [0, 1]. Spočtěte lim
n→∞
Výsledky.
Z
1
f (xn ) dx.
0
• Příklad 5.11.1: f (0).
Příklad 5.11.2. Nechť f je spojitá na [a, b]. Dokažte, že existuje ξ ∈ [a, b] takové, že Z
ξ
f (t) dt =
a
Z
b
f (t) dt. ξ
Rb Příklad 5.11.3. Nechť f je spojitá na [a, b] a nechť platí a f (s) dx = 0. Dokažte, že existuje ξ ∈ (a, b) takové, že Z ξ f (x) dx = f (ξ). a
Příklad 5.11.4. Nechť f je spojitá na [a, b], a > 0 a nechť platí ξ ∈ (a, b) takové, že Z ξ f (x) dx = ξf (ξ). a
100
Rb a
f (s) dx = 0. Dokažte, že existuje
5.12
Téma 10: Integrální kritérium konvergence řad
Příklad 5.12.1. Nechť f je spojitá a nezáporná na [1, ∞) a nechť an := f (n), n ∈ N. Dokažte (na čtyřech příkladech), že obecně neplatí žádný vztah mezi konvergencí řady a integrálu. Příklad 5.12.2. Nechť f kladná a má vlastní klesající derivaci na (0, ∞) a nechť limx→∞ f ′ (x) = 0. Dokažte, že řady ∞ ∞ X X f ′ (n) f ′ (n), a f (n) n=1 n=1
buď obě zároveň konvergují nebo obě zároveň divergují.
Příklad 5.12.3. Nechť f kladná klesající funkce na [1, ∞). Položme SN :=
N X
f (n)
a
IN :=
Z
N
f (x) dx.
1
n=1
Dokažte, že posloupnost {SN − IN }n∈N je nerostoucí a její limita se nachází v intervalu [0, f (1)]. Příklad 5.12.4. Dokažte, že limity posloupností 1 1 1 1 + + + · · · + − log n a 2 3 n n∈N
Z n 1 1 dx 1 1 + α + α + ··· + α − α 2 3 n 1 x n∈N
se obě nacházejí v intervalu (0, 1).
5.13
Téma 11: Integrální tvar zbytku Taylorova polynomu
Příklad 5.13.1. Pomocí zbytku Taylorova polynomu v integrálním tvaru dokažte, že Taylorova řada pro log(1 + x) konverguje k této funkci na intervalu (−1, 1]. Příklad 5.13.2. Pomocí zbytku Taylorova polynomu v integrálním tvaru odhadněte chybu aproximace Taylorovým polynomem stupně 4 funkce log(sin x) rozvinutým v bodě π2 pro hodnotu log(sin( 32 )). 4
Příklad 5.13.3. Kolik nenulových členů Taylorovy řady pro e−x je třeba k výpočtu hodnoty s přesností na pět desetinných míst? Spočtěte integrál s touto přesností.
5.14
R
1 2
0
4
e−x dx
Téma 12: Metrické prostory
Příklad 5.14.1. Ověřte, zda následující funkce definují metriku na R: ̺(x, y) = |x3 − y 3 |;
̺(x, y) = |x2 − y 2 |;
̺(x, y) = (x − y)2 .
Příklad 5.14.2. Nechť ̺1 a ̺2 jsou dvě metriky na množině P . Ověřte, zda následující funkce definují metriku na P : ̺ = ̺1 + ̺2 ;
̺ = max{̺1 ; ̺2 };
̺ = min{̺1 ; ̺2 };
̺ = max{̺1 ; 1};
̺ = min{̺1 ; 2}.
Příklad 5.14.3. Co je potřeba předpokládat o funkci ϕ, aby funkce ̺(x, y) := |ϕ(x) − ϕ(y)| definovala metriku na R? Příklad 5.14.4. Najděte okolí bodu [1, 1] v prostoru R2 v ruské metrice o poloměrech 1 a 2 a v diskrétní metrice o poloměrech 21 a 2. Příklad 5.14.5. Rozhodněte, zda v obecném metrickém prostoru platí A ∩ B = A ∩ B. Příklad 5.14.6. V metrickém prostoru R2 s eukleidovskou metrikou najděte uzávěry grafů funkcí ( sin x1 , x 6= 0, D(x); R(x), f (x) := 0, x = 0; kde symboly D a R značíme Dirichletovu a Riemannovu funkci. 101
Příklad 5.14.7. Rozhodněte, zda v metrikách ℓ1 , ℓp a ℓ∞ konvergují následující posloupnosti: {1, 2, 3, . . . , n, 0, 0, . . . , 0, . . . } ; {1, 1, 1, . . . , 1, 0, 0, . . . , 0, . . . } (n krát); 1 1 1 , , . . . , , . . . , 0, . . . (n krát); n n n 1 1 1 √ , √ , . . . , √ , 0, . . . (n krát). n n n
Příklad 5.14.8. Dokažte nálsedující vztah pro vnitřek množiny:
Int(X \ Y ) ⊂ Int X \ Int Y.
Platí v posledním vztahu obecně i opačná inkluze? p
Příklad 5.14.9. Nalezněte uzávěr množiny {2 q , p, q ∈ N} v prostoru R s eukleidovskou metrikou.
Příklad 5.14.10. Jsou dána kladná čísla p ≤ q. Sestrojte množinu A takovou, aby diam A = q a diam Int A = p. Příklad 5.14.11. Dokažte, že je-li podmnožina A metrického prostoru P otevřená, pak ∂A = A \ A.
Příklad 5.14.12. Definujme břeh množiny A předpisem B(A) := A ∩ ∂A. Dokažte ∂A = B(A) ∪ B(P \ A);
B(A) ∩ B(P \ A) = ∅;
B(B(A)) = B(A).
Příklad 5.14.13. Definujme na množině R × R funkci 1 jestliže |x − y| ∈ R \ Q; 1 ̺(x, y) := jestliže |x − y| ∈ Q \ {0}; 2 0 jestliže x = y.
Ověřte, zda ̺ je metrika, a pokud ano, charakterizujte všechny otevřené a všechny kompaktní množiny v této metrice. Příklad 5.14.14. Definujme na množině R × R funkci ̺(x, y) :=
|x − y| . 1 + |x − y|
Ověřte, zda ̺ je metrika, a pokud ano, spočtěte diam(Fn ), kde Fn := [n, ∞), n ∈ N, v této metrice. Jsou množiny Fn omezené, uzavřené, kompaktní? Příklad 5.14.15. Definujme na množině R × R funkci 1 jestliže x 6= 0, y = 0; |x| 1 jestliže y 6= 0, x = 0; |y| ̺(x, y) := 1 1 jestliže x 6= 0, y 6= 0, x 6= y; |x| + |y| 0 jestliže x = y.
Ověřte, zda ̺ je metrika, a pokud ano, charakterizujte všechny kompaktní množiny v této metrice. Je celý prostor (R, ̺) kompaktní? Příklad 5.14.16. Definujme na množině R × R funkci 1 jestliže x 6= 0, y = 0; |x| 1 jestliže y 6= 0, x = 0; |y| ̺(x, y) := 1 1 jestliže x 6= 0, y 6= 0, x 6= y; |x| + |y| 0 jestliže x = y.
Ověřte, zda ̺ je metrika, a pokud ano, charakterizujte všechny kompaktní množiny v této metrice. Je celý prostor (R, ̺) kompaktní? Příklad 5.14.17. Dokažte, že je-li metrický prostor (P, ̺) kompaktní, pak existují y, z ∈ P tak, že ̺(y, z) = diam P . Příklad 5.14.18. Uvažujte R s eukleidovskou metrikou ρ a metrikou σ(x, y) = arctg(|x − y|). Ukažte, že prostory (R, ρ) a (R, σ) mají stejný systém otevřených množin. 102
Kapitola 6
Matematická analýza 1b - cvičení 6.1
Téma 1: Taylorův polynom 2
1+x+x 4 včetně. Příklad 6.1.1. Napište Taylorův polynom funkce f (x) = 1−x+x 2 v bodě x = 0 až do řádu x (4) Spočtěte f (0). p Příklad 6.1.2. Napište Taylorův polynom funkce f (x) = 3 sin(x3 ) v bodě x = 0 až do řádu x13 včetně. √ Příklad 6.1.3. Rozložte funkci f (x) = 1 + x2 − x pro x > 0 do řady mocnin x1 až do řádu x13 včetně.
Příklad 6.1.4. Odhadněte absolutní chybu aproximace daných funkcí na daných intervalech: x3 xn x2 + + ···+ , x ∈ [0, 1] 2! 3! n! 1 1 x3 x ∈ [− , ], sin x ≈ x − , 6 2 2 √ x x2 1+x≈1+ − , x ∈ [0, 1]. 2 8 ex ≈ 1 + x +
Příklad 6.1.5. Spočtěte přibližnou numerickou hodnotu následujících veličin a odhadněte chybu: √ e, arcsin 0, 45, log(1, 2), (1, 1)1,2 . Příklad 6.1.6. Spočtěte přibližnou numerickou hodnotu následujících veličin s danou přesností: √ e s přesností na 10−9 , 5 s přesností na 10−4 , log10 (11) s přesností na 10−5 . Příklad 6.1.7. S pomocí Taylorova polynomu spočtěte následující limity: x2
cos x − e− 2 , lim x→0+ x4 ex sin x − x(1 + x) lim , x→0 x3 1 1 − cotg x, lim x→0 x x 1 − (cos x)sin x lim , 3 x→0 i h x x 1 p 6 ex − x + 1 . lim x3 − x2 + x→∞ 2
Příklad 6.1.8. S pomocí Taylorova polynomu vyšetřete konvergenci následujících řad: " !# r ∞ ∞ X X 1 1 1 1 1 1 √ + log 2 tg , 1+ − √ − sin − 3 . 1 1 n n n n5 n5 n5 n=1 n=1 103
Příklad 6.1.9. Vyšetřete konvergenci řad: ∞ X
1 1 sin( √ ) − log(1 + √ ), 3 n n n=1 ∞ X
1
(e n − 1 −
n=1
Výsledky.
1 1 1 )(arcsin − √ ). n n n
• Cvičení 6.1.1: 1 + 2x + 2x2 − 2x4 + o(x4 ), −48.
• Cvičení 6.1.2: x −
x7 18
1 8x3
• Cvičení 6.1.3:
1 2x
• Cvičení 6.1.4:
3 (n+1)! ,
−
x13 3240
−
+ o(x13 ). + o x13 .
1 3840 ,
2 · 10−6 .
• Cvičení 6.1.5: 1, 64872, 0, 46676, 1, 12117. • Cvičení 6.1.6: 2, 718281828, 2, 2361, 1, 04139. 1 , • Cvičení 6.1.7: − 12
1 3,
1 3,
1 2,
1 6.
• Cvičení 6.1.8: konverguje, diverguje.
6.2
Téma 2: Číselné řady s reálnými členy
Příklad 6.2.1. Vyšetřete absolutní a neabsolutní konvergenci řad ∞ X
(−1)n
n=1 ∞ X
∞ X nπ log58 n √ cos ; n 4 n=1
√ n 3−1 ,
sin(πn/3) √ , n+1 n=1
∞ X
cos(n2 )
n=1
p n6 + n − n3 .
Příklad 6.2.2. Vyšetřete absolutní a neabsolutní konvergenci řad ∞ X
(−1)n
n=1 ∞ X
∞ X (−1)[log n] ; n n=1
| sin n| , n
∞ X
1 πn2 cos . 2 n+1 log n n=1
arctg n , (−1)n √ n n=1
Příklad 6.2.3. Vyšetřete charakter konvergence řad v závislosti na parametru: √ √ ∞ ∞ ∞ n X X X (−1)[ n] log a n n sin(n) , , (−1) , x ≥ 0, q ∈ R, a > 1. (−1) x q n n n n=1 n=1 n=1 Příklad 6.2.4. Nalezněte součet řad (i) (ii) (iii)
∞ X
nxn−1 ,
n=1 ∞ X
cn ,
n=1 ∞ X
n=1
Výsledky.
cn ,
|x| < 1, n X
kde cn = kde cn =
xk y n−k ,
k=1 n X
k=1
|x| < 1, |y| < 1,
1 . k(k + 1)(n − k + 1)!
• Cvičení 6.2.1: (i), (ii), (iii) konvergují neabsolutně, (iv) konverguje absolutně;
• Cvičení 6.2.2: (i) konverguje neabsolutně, (ii) diverguje, (iii) konverguje neabsolutně, (iv) konverguje neabsolutně; 104
• Cvičení 6.2.3: (i) diverguje pro x = 0, konverguje neabsolutně pro 0 < x ≤ 1, konverguje absolutně pro x > 1; (ii) diverguje pro q ≤ 21 , konverguje neabsolutně pro
1 2
(iii) konverguje neabsolutně pro každé a > 1; 2 1 1 , (iii) e − 1. , (ii) (1−x)(1−y) • Cvičení 6.2.4: (i) 1−x
6.3
< q ≤ 1, konverguje absolutně pro q > 1;
Téma 3: Mocninné řady
Příklad 6.3.1. Následující funkce vyjádřete jako součet mocninné řady o středu 0 na maximálním otevřeném intervalu. 2
e−x ,
, sin3 x, r 1+x log , 1−x
cos2 x,
x √ , 1 − 2x
x10 , 1−x
1 , (1 − x)2
x , 1 + x − 2x2
1 , x2 + x + 1
log(1 + x + x2 + x3 ).
Příklad 6.3.2. Na intervalu konvergence sečtěte mocninné řady ∞ X x2k+1 , 2k + 1 k=0 ∞ X
∞ X
(−1)k
k=0
∞ X x2k , (2k)!
1(−1)k k 2 xk ,
k=1
∞ X
k=1
k=0
k(k + 1)xk ,
∞ X
x2k+1 , 2k + 1
kxk ,
k=1 ∞ X
k=1
xk , k(k + 1)
∞ X (2k − 1)!! k x , 1+ (2k)!! k=1
∞ X x4k . (4k)! k=0
Příklad 6.3.3. Pomocí vhodně zvolené mocninné řady sečtěte číselnou řadu ∞ X
n=1
(−1)n . + 1)
4n (2n
Příklad 6.3.4. Užitím Abelovy věty sečtěte řadu ∞ X (−1)n−1 . 4n2 − 1 n=1
Příklad 6.3.5. Pomocí vhodně zvolené mocninné řady sečtěte číselnou řadu ∞ X (−1)n (2n + 3) . (n + 1)2n n=0
Příklad 6.3.6. Sečtěte řadu
∞ X
(n − 1)(n + 3)x2n
n=1
na jejím definičním oboru. Rozhodněte, zda na svém definičním oboru řada konverguje absolutně. Příklad 6.3.7. Sečtěte řadu
na jejím definičním oboru. Příklad 6.3.8. Sečtěte řadu
∞ X (n2 − 1) n x 3n n! n=1
∞ X
(−1)n
n=1
na jejím definičním oboru.
nxn (2n − 1)!
105
Příklad 6.3.9. Nalezněte definiční obor funkce f , zadané předpisem n ∞ X 3 + (−1)n+1 xn . f (x) := 2 + (−1)n n=1
Rozhodněte, zda na tomto definičním oboru řada konverguje absolutně. Příklad 6.3.10. Sečtěte řadu
∞ X
(−1)n
n=1
na jejím definičním oboru.
n(n − 1)xn−1 (2n)!
Příklad 6.3.11. Pomocí vhodně zvolené mocninné řady sečtěte číselnou řadu ∞ X (−1)n n2 . n!2n n=1
Příklad 6.3.12. Nalezněte poloměr konvergence následujících mocninných řad. Určete oblasti absolutní konvergence, neabsolutní konvergence a divergence. ∞ ∞ X X 3n + (−2)n (n!)2 n (x + 1)n , x ; n (2n)! n=1 n=1 n2 ∞ ∞ X X (nx)n 1 n 1+ x , . n n! n=1 n=1
Příklad 6.3.13. Nalezněte poloměr konvergence následujících mocninných řad. Určete oblasti absolutní konvergence, neabsolutní konvergence a divergence. ∞ ∞ X X xn (−1)n n n n √ , a > 0; x ; n! e a n n=1 n=1 √ ∞ ∞ X X (−1)[ n] n 1 1 1 n 1 + + + ··· + x ; x 2 3 n n n=1 n=1
Výsledky.
(těžké),
(−1) ∞ X 1 1+ n n=1
n
n2
xn .
• Cvičení 6.3.12: (i) R = 13 , AK pro − 34 ≤ x < − 32 , K pro − 34 < x < − 32 ;
(ii) R = 4, AK i K pro −4 < x < 4;
(iii) R = 1e , AK i K pro − e1 < x < 1e ;
(iv) R = 1e , AK pro − 1e < x < 1e , K pro − e1 ≤ x < 1e .
• Cvičení 6.3.13: (i) R = 1, pro −1 < x < 1 AK pro všechna a > 0, pro x = ±1 AK i K pro a ∈ (1, ∞); (ii) R = 1, AK pro −1 < x < 1 K pro −1 ≤ x < 1; (iii) R = 1, AK i K pro −1 < x < 1;
(iv) R = 1, AK pro −1 < x < 1 K pro −1 < x ≤ 1;
(v) R = 1e , AK i K pro − 1e < x < 1e .
6.4
Téma 4: Primitivní funkce
Příklad 6.4.1. Spočtěte následující primitivní funkce: Z Z Z (x + 1) √ dx; (x + 5)3 dx, sin(2x + 7) dx, x Z Z Z dx dx x2 √ √ , , dx; 1 + x2 2 − 5x 2 − 3x2 Z √ Z Z p arctg x 1 − sin(2x) dx, tg2 x dx, dx; 1 + x2 Z Z Z x dx x √ dx, dx, . 4 2 1 + x 1 + cos x 1−x 106
Příklad 6.4.2. Pomocí jednoduchých substitucí spočtěte následující primitivní funkce: Z Z Z dx dx dx √ √ ; , , sin(log x) x (x + 1) x x x2 − 1 Z Z Z 2x + 1 sin x x+1 √ dx, dx, dx; x2 + x + 1 x2 + 2x + 9 cos 2x Z Z Z dx dx dx √ √ √ , . , x 2x x(1 + x2 ) e +1 1−e Příklad 6.4.3. Pomocí trigonometrických vzorců určete následující primitivní funkce: Z Z Z sin2 x dx, sin3 x dx, sin4 x dx; Z Z Z dx sin x cos x dx ; , dx, 2 4 2 4 sin x cos3 x sin x cosZ x sinZ +x cos x Z dx dx dx ; cos4 x sin3 x cos5 x sin2 x cos x Z Z Z sin x dx dx √ dx, . 3 5 1 + sin x 2 sin x − cos x + 5 sin x cos x Příklad 6.4.4. Pomocí metody integrování per partes spočtěte následující primitivní funkce: Z Z Z ex sin x dx, arcsin x dx, log x dx; Z Z Z √ dx arcsin x dx, , arctg( x) dx. x2 (1 + x2 )n Příklad 6.4.5. Pomocí metody integrování per partes odvoďte formule pro následující primitivní funkce: Z Z Z ax e sin bx dx, arcsin x dx, sin(log x) dx. Příklad 6.4.6. Pomocí vhodné substituce spočtěte následující primitivní funkce: Z Z Z x3 cos x log2 x p dx, dx, ; x x8 − 2 2 + cos(2x) s √ Z Z 2 Z 2 log x + 1 + x2 x +1 x dx, dx. dx, 1+x 1 + x4 1 + x2 Příklad 6.4.7. Procvičte si lepení primitivních funkcí na následujících příkladech: Z Z Z −|x| |x| dx, e dx, max{x, x2 } dx; Z Z Z dx ; |2x + 1| dx; (|1 + x| − |1 − x|) dx. 1 + sin2 x Příklad 6.4.8. Pomocí rozkladu na parciální zlomky spočtěte následující primitivní funkce: Z Z Z x3 + 1 x x4 dx, dx, ; x3 − 5x2 + 6x x2 − x − 2 x4 + 5x2 + 4 Z Z Z x dx x , dx, dx. x3 − 1 1 + x6 x3 − 3x + 2 Příklad 6.4.9. Spočtěte následující primitivní funkce: Z Z Z p dx ex 2 − 2x dx, √ √ x dx, ; ex + 2 1+ x+3 Z Z Z r x2 1−x1 dx √ √ , dx. dx, √ 1+xx 1+ x+ x+1 1 + x + x2 107
Příklad 6.4.10. Pomocí Eulerových substitucí spočtěte následující primitivní funkce: Z Z dx dx √ √ ; , x + x2 + x + 1 1 + 1 − 2x − x2 √ Z Z x − x2 + 3x + 2 x2 √ √ . , x − x2 + 3x + 2 2 1 − x2
Příklad 6.4.11. Na intervalu (−π, π) nalezněte primitivní funkci Z (sin x)| sin x| + (cos x)2 dx. (sin x)2 + 2(cos x)2
Příklad 6.4.12. Spočtěte primitivní funkci na intervalu (0, π) k funkci 1 . x + 4 sin x cos x + sin2 x Příklad 6.4.13. Spočtěte primitivní funkci na maximálním možném intervalu k funkci 1 . f (y) = 3 cos2 y + sin(2y) + 1 f (x) =
6 cos2
Příklad 6.4.14. Spočtěte primitivní funkci na maximálních intervalech, na kterých existuje, k funkci Z 4x e + 2e2x dx. e3x − 1 Výsledky. • Cvičení 6.4.11: Označme Z (sin x)| sin x| + (cos x)2 dx. I := (sin x)2 + 2(cos x)2
Použijeme substituci t = tg x, a to na intervalech x ∈ (− π2 , π2 ), x ∈ (−π, − π2 ) a x ∈ ( π2 , π), pak po řadě vychází t ∈ (−∞, ∞), t ∈ (0, ∞) a t ∈ (−∞, 0). Tedy (R 1−t2 x ∈ (−π, − π2 ), x ∈ (− π2 , 0), 2 )(1+t2 ) dt, I = R (2+t dt x ∈ (0, π2 ), x ∈ ( π2 , π). 2+t2
Rozložíme první funkci na parciální zlomky a druhou spočítáme rovnou. U první funkce dostaneme rozklad 1 − t2 Ct + D At + B + , = 2 2 2 (2 + t )(1 + t ) 1+t 2 + t2 uhodneme A = C = 0 a dopočítáme B = 2, D = −3. Celkem dostaneme √ 2 √3 arctg 2x − tg x + C1 , x ∈ (−π, − π2 ), 2 √2 2 2x − √3 arctg x ∈ (− π2 , 0), 2 tg x + C2 , 2 √ √ I= 2 2 x ∈ (0, π2 ), √2 arctg √2 tg x + C3 , 2 2 arctg x ∈ ( π2 , π). 2 2 tg x + C4 , Nyní spočítáme jednu primitivní funkci na celém intervalu (−π, π), řekněmě F0 . Nejprve zvolíme konstantu C2 = 0 Konstanty C1 , C3 a C4 spočítáme z jednostranných limit funkce F0 v bodech ± π2 a 0. Dostáváme √ √ 3 2π π 2 C1 = , C3 = 0, C4 = . 2 2 π V bodech ± 2 a 0 dodefinujeme funkci F0 tak, aby byla spojitá. Celkem tedy máme √ √ √ 3 2π 3 2 2 x ∈ (−π, − π2 ), 2x − 2 arctg 2 tg x + 2 , √ 3 2π − π, x = − π2 , 4 √ √ 2 3 2 x ∈ (− π2 , 0), 2x − 2 arctg 2 tg x , F0 (x) = 0, x=0 √ √ 2 2 arctg x ∈ (0, π2 ), 2 tg x , √22π x = π2 √4 , √ √ 2 π 2 2 arctg x ∈ ( π2 , π). 2 2 tg x + 2 , 108
Všechny primitivní funkce na intervalu (−π, π) jsou tedy tvaru F (x) = F0 (x) + C,
C ∈ R.
• Cvičení 6.4.12: Všechny primitivní funkce jsou tvaru F0 (x) + C, x ∈ (0, π), kde (například) √ 1 2 (3 cotg x + 1) F0 (x) = − √ arctg 2 nebo
F0 (x) =
1 1 √ √ arctg (tg x + 2) , 2 2
√1 arctg 2 π √ , 2 2
√1 2
(tg x + 2) +
π √ , 2
x ∈ (0, π2 ); x ∈ (0, π2 );
x=
π 2
• Cvičení 6.4.13: Všechny primitivní funkce jsou tvaru F0 (y) + C, y ∈ (−∞, ∞), kde (například) kπ √1 arctg tg√y+1 + √ , y ∈ (− π2 + kπ, π2 + kπ); 3 3 3 F0 (y) = √π 1 + k , y = π2 + kπ, k ∈ Z 3 2 • Cvičení 6.4.14:
1 1 log |ex −1|− log e2x + ex + 1 + √ arctg 2 3
6.5
2 √ 3
1 ex + , 2
x ∈ (−∞, 0) nebo
Téma 6: Určitý integrál
Příklad 6.5.1. Spočtěte Newtonův integrál Z 0 e4x + 4e3x − e2x − 2ex dx. 2x + 1)(2e2x + 3ex + 1) −∞ (e Příklad 6.5.2. Spočtěte Newtonův integrál Z Příklad 6.5.3. Spočtěte Newtonův integrál Z 1 0
1 0
1+
dx q
1+x x
.
dx √ . 1 + x2 + x + 1
Příklad 6.5.4. Spočtěte Newtonův integrál Z ∞ 2
√ y−1 √ dy. √ (y + 2)( y + 1) y
Příklad 6.5.5. Spočtěte Newtonův integrál Z π/2 sin 2t p dt. 2 0 sin t + 3 sin t + 1
Příklad 6.5.6. Spočtěte Newtonův integrál Z π2 π 4
tg x + 2 dx. (cos(2x) + sin2 x)(tg x + 1)(tg2 x + 2 tg x + 3)
Příklad 6.5.7. Spočtěte Newtonův integrál Z ∞ 3 √ 2y 2 − 5y + 8 y − 1 dy √ √ √ y−2 y−3 y y− y+2 16 109
x ∈ (0, ∞).
Výsledky.
• Cvičení 6.5.1: Označme I :=
Z
0
−∞
e4x + 4e3x − e2x − 2ex dx. (e2x + 1)(2e2x + 3ex + 1)
Použijeme substituci y = ex , pak y ∈ (0, 1). Protože dy = ex dx, máme I=
Z
1
y 3 + 4y 2 − y − 2 dy. + 1)(2y 2 + 3y + 1)
(y 2
0
Rozložíme integrand na parciální zlomky: y 3 + 4y 2 − y − 2 Ay + B C D = 2 + + + 1)(2y 2 + 3y + 1) y +1 2y + 1 y + 1
(y 2
Použitím cover-up rule, tj. dosazením y = − 21 a y = −1 dostaneme ihned C = D = −1, pak dosazením například y = 0 vypočítáme B = 0 a konečně dosazením například y = 1 dostaneme A = 2. Celkem Z 1 1 1 2y dy − − I= y 2 + 1 2y + 1 y + 1 0 y=1 1 2 = log(y + 1) − log(2y + 1) − log(y + 1) 2 y=0 1 = − log 3. 2
• Cvičení 6.5.2:
• Cvičení 6.5.4: • Cvičení 6.5.5:
√ 2 − 1 1 1 1 1 √ − √ log √ + 2 + 1 4 8 2 − 1 ( 2 − 1)2 2 3
2 π √ − 2 log √ 4 2 2+1
√ √ 5 5 − 2 + 3 log(5 − 2 5) + 2
• Cvičení 6.5.6:
1 √ −1 5−2 5
√ 1 3 π arctg 2 √ log + √ − 4 2 2 2 2
• Cvičení 6.5.7: ∞ (integrál existuje, ale nekonverguje)
6.6
Téma 7: Aplikace určitého integrálu
Příklad 6.6.1. Určete délku křivky, zadané rovnicí y=
x2 log x − , 2 4
x ∈ [2, 4].
Příklad 6.6.2. Určete objem a povrch pláště tělesa, vzniklého rotací množiny [x, y] ∈ R2 , x2 + (y − b)2 ≤ a2 , (0 < a ≤ b),
okolo osy x.
Příklad 6.6.3. Určete délku křivky, zadané rovnicí 1 , y = log cos x 110
x ∈ [0,
π ]. 4
Příklad 6.6.4. Určete délku křivky, zadané rovnicí x e −1 y = log x , e +1
x ∈ [2, 4].
Příklad 6.6.5. Spočtěte objem a povrch pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací funkce y = ex kolem osy x, kde x ∈ (−∞, 0). Příklad 6.6.6. Nechť a > 0. Určete délku křivky, zadané rovnicí 2
2
2
x3 + y 3 = a3 . Příklad 6.6.7. Nechť a > 0. Určete délku křivky, zadané rovnicí y = cosh x,
x ∈ [0, a]
Příklad 6.6.8. Spočtěte objem tělesa vzniklého rotací oblasti M := [x, y] ∈ R2 , x2 + y 2 + 8 ≤ 6y kolem osy x.
Výsledky.
• Cvičení 6.6.1: Označme L hledanou délku křivky. Podle příslušného vzorce je Z 4p 1 + f ′ (x)2 dx, L= 2
kde
f (x) =
x2 log x − , 2 4
takže f ′ (x) = x − tj.
2 1 1 1 = x2 − + . f (x) = x − 4x 2 16x2 ′
Dosadíme do vzorce:
2
4
r
1 1 1 + x2 − + dx 2 2 16x 2 r Z 4 1 1 x2 + + = dx 2 16x2 2 s 2 Z 4 1 dx x+ = 4x 2 Z 4 1 = x+ dx 4x 2 2 x=4 x 1 = + log x 2 4 x=2 log 2 . =6+ 4
L=
Z
• Cvičení 6.6.2: V = 2π 2 a2 b, S = 4π 2 ab • Cvičení 6.6.4:
1 2
• Cvičení 6.6.5:
π 2
4
−4
−2 log ee2 −e −e−2 −2
• Cvičení 6.6.6: 6a • Cvičení 6.6.7:
1 , 4x
ea −e−a 2
• Cvičení 6.6.8: 6π 2 111
6.7
Téma 8: Konvergence Newtonova integrálu
Příklad 6.7.1. Vyšetřete, pro které hodnoty příslušných parametrů konvergují následující Newtonovy integrály: Z 1 Z ∞ Z ∞ √ 1 p−1 q−1 √ dx; x (1 − x) dx; xp e− x dx; x x log(1 + e ) 0 0 0 Z π/2 Z ∞ Z ∞ p 2 x sin x √ dx; (tg x)a dx; dx; 3 3 1 + xq 1 + x 0 0 0 Z ∞ Z 1 1 − cos ax dx; xax dx; xp 0 0 Z 1 Z ∞ | log x|p xa √ √ dx; dx. 1+x 1−x 0 0
Příklad 6.7.2. Vyšetřete, pro které hodnoty příslušných parametrů konvergují následující Newtonovy integrály: Z ∞ Z 1 arccos x α (π − 2 arctg x) dx, dx. q log (1/x) 0 0 Výsledky.
• Cvičení 6.7.1:
konverguje; p, q > 0; p > −1;
konverguje; a ∈ (−1, 1); 0 < p + 1 < q;
a ∈ R, 1 < p < 3; a ∈ R;
a ∈ (−1, − 21 ); p > − 21 .
• Cvičení 6.7.2 α > 1; q < 23 .
6.8
Téma 9: Integrální kritérium konvergence řad
Příklad 6.8.1. Vyšetřete, pro které hodnoty α, β ∈ R konverguje následující řada: ∞ X
n=2
Výsledky.
1 n(log n)α (log(log n))β
• Cvičení 6.8.1:
.
řada konverguje právě tehdy, když α > 1 nebo α = 1, β > 1.
112
