MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy

ˇ MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNE Pˇr´ırodovˇedecká fakulta

Bakaláˇrská práce z matematiky

Akce grupy

Brno 2009

Lenka Macálková

Prohl´ aˇ sen´ı: Prohlaˇsuji, ˇze jsem tuto bakaláˇrskou práci vypracovala zcela samostatnˇe pod veden´ım prof. RNDr. Radana Kuˇcery, DSc. a veˇskerou pouˇzitou literaturu jsem uvedla v seznamu. Souˇcasnˇe souhlas´ım s t´ım, aby byla práce uloˇzena v knihovnˇe Pˇr´ırodovˇedecké fakulty Masarykovy univerzity v Brnˇe a zpˇr´ıstupnˇena na internetov´ ych stránkách Pˇr´ırodovˇedecké fakulty ke studijn´ım u ´ˇcel˚ um.

V Brnˇe dne 30. kvˇetna 2009

................................................... Lenka Macálková

Podˇ ekov´ an´ı: Ráda bych podˇekovala prof. RNDr. Radanu Kuˇcerovi, DSc. za ochotu a trpˇelivost, se kter´ ymi vedl moji bakaláˇrskou práci, a za cenné rady a pˇripom´ınky k n´ı.

Obsah ´ Uvod

5

1 Akce grupy na mnoˇ zinˇ e 1.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Rozklad na nezávislé cykly . . . . . . . . . . . 1.2 Akce grupy na sobˇe násoben´ım zleva, Cayleyova vˇeta 1.2.1 Akce grupy na sobˇe násoben´ım zleva . . . . . 1.2.2 Cayleyova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Akce grupy na sobˇe konjugovanost´ı . . . . . . . . . . 1.3.1 Akce grupy na sobˇe konjugovanost´ı . . . . . . 1.3.2 Konjugovanost v Sn . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

6 6 6 13 15 15 17 18 18 23

2 Automorfismy 2.1 Vlastnosti grupy automorfism˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Charakteristické podgrupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 29

3 Sylowovy vˇ ety 3.1 Sylowovy vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vyuˇzit´ı Sylowov´ ych vˇet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 37

4 Grupy symetri´ı a alternuj´ıc´ı grupy 4.1 Alternuj´ıc´ı grupy . . . . . . . . . . . . . 4.2 Grupy symetri´ı . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Automorfismy grupy symetri´ı . . 4.2.2 Struktura centralizéru permutace

41 41 44 44 45

Literatura

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

50

´ Uvod V této bakaláˇrské práci se budeme zab´ yvat p˚ usoben´ım neboli akc´ı grupy na mnoˇzinˇe. K tomu, aby ˇctenáˇr dobˇre porozumˇel textu práce, by mˇel m´ıt základn´ı znalosti o grupách v rozsahu [6], pˇriˇcemˇz pro vˇetˇs´ı srozumitelnost a ˇcitelnost textu budou nˇekteré pojmy pˇripomenuty a tvrzen´ı zopakována. Celá práce je rozdˇelena do ˇctyˇr kapitol. V prvn´ı kapitole se seznám´ıme s definic´ı akce grupy na mnoˇzinˇe, zavedeme dalˇs´ı základn´ı pojmy a rozebereme si dva d˚ uleˇzité typy akce: akci grupy p˚ usoben´ım zleva a akci grupy pomoc´ı konjugovanosti. Ve druhé kapitole se budeme vˇenovat automorfism˚ um. V prvn´ı ˇcásti odvod´ıme nˇekteré vlastnosti grupy automorfism˚ u. Ve druhé si uvedeme definici charakteristické a komutátorové podgrupy a bl´ıˇze se pod´ıváme, jak vypadaj´ı faktorgrupy, jestliˇze faktorizujeme podle podgrupy obsahuj´ıc´ı komutátorovou podgrupu. Nápln´ı tˇret´ı kapitoly jsou Sylowovy vˇety. Kromˇe odvozen´ı vlastnost´ı p-Sylowsk´ ych podgrup si ukáˇzeme nˇekteré aplikace na pˇr´ıkladech. V posledn´ı kapitole se budeme podrobnˇeji vˇenovat symetrick´ ym a alternuj´ıc´ım grupám. V prvn´ım paragrafu definujeme pojem jednoduché grupy a vzápˇet´ı ukáˇzeme, ˇze kaˇzdá alternuj´ıc´ı grupa je pro n ≥ 5 jednoduchá. Ve druhém paragrafu se dozv´ıme v´ıce o automorfismech symetrick´ ych grup. Na závˇer práce dokáˇzeme, ˇze centralizér permutace na n-prvkové mnoˇzinˇe je izomorfn´ı s kruhov´ ym souˇcinem Zk o Sm pro vhodná k, m ∈ N. Tato bakaláˇrská práce byla vysázena systémem LATEX.

5

Kapitola 1 Akce grupy na mnoˇ zinˇ e 1.1

Z´ akladn´ı pojmy

V prvn´ı ˇca´sti této kapitoly se seznám´ıme s pojmem akce grupy na mnoˇzinˇe a odvod´ıme jej´ı základn´ı vlastnosti. Dále ukáˇzeme platnost nˇekter´ ych tvrzen´ı, která budeme v pozdˇejˇs´ım textu potˇrebovat. V dalˇs´ı ˇcásti se budeme vˇenovat akci grupy násoben´ım zleva a s jej´ı pomoc´ı dokáˇzeme nˇekterá tvrzen´ı vˇcetnˇe Cayleyovy vˇety. Obsahem posledn´ıho paragrafu této kapitoly bude akce grupy pomoc´ı konjugovanosti a na závˇer se podrobnˇeji pod´ıváme na konjugovanost v grupách Sn .

1.1.1

Z´ akladn´ı pojmy

Pozn´ amka 1.1.1. Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u budeme grupu (G, ·) oznaˇcovat pouze p´ısmenem G. ˇ Casto budeme také vynechávat symbol operace. Tedy pro prvky x, y ∈ G bude xy znaˇcit souˇcin prvk˚ u x a y. Dále poznamejme, ˇze oznaˇcen´ım N budeme rozumˇet mnoˇzinu pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Nulu za pˇrirozené ˇc´ıslo povaˇzovat nebudeme. Symbolem H ≤ G, resp. H E G, budeme oznaˇcovat podgrupu H grupy G, resp. normáln´ı podgrupu H grupy G.

Definice 1.1.2. Necht’ G je grupa a A je neprázdná mnoˇzina. Akc´ı grupy G na mnoˇzinˇe A (nebo také p˚ usoben´ım G na A) nazveme zobrazen´ı · : G×A → A, které splˇ nuje následuj´ıc´ı dvˇe podm´ınky: 1. g1 · (g2 · a) = (g1 g2 ) · a, pro vˇsechna g1 , g2 ∈ G, a ∈ A, 2. 1 · a = a, pro vˇsechna a ∈ A, kde 1 ∈ G je neutráln´ı prvek v˚ uˇci operaci v grupˇe G.

6

Pozn´ amka 1.1.3. Vˇsimnˇeme si, ˇze g · a neznaˇc´ı v´ ysledek operace, ale prvek mnoˇziny A. Prvn´ı podm´ınka tedy ˇr´ıká, ˇze prvek g1 ∈ G p˚ usob´ı na prvek g2 ·a ∈ A se stejn´ ym v´ ysledkem, jako souˇcin prvk˚ u g1 g2 ∈ G p˚ usob´ı na prvek a ∈ A.

Vˇ eta 1.1.4. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A. Dále pro libovolné g ∈ G oznaˇcme σg zobrazen´ı σg : A → A dané pˇredpisem σg (a) = g · a pro kaˇzdé a ∈ A. Pak plat´ı: 1. pro libovolné g ∈ G je σg permutace na mnoˇzinˇe A, 2. zobrazen´ı ϕ : G → SA definované vztahem ϕ(g) = σg , je homomorfismus grup. D˚ ukaz. 1. K tomu, abychom ukázali, ˇze zobrazen´ı σg je permutace na A, mus´ıme dokázat, ˇze je to bijekce. Ovˇeˇr´ıme, ˇze σg−1 je invezn´ı k σg . V´ıme, ˇze toto zobrazen´ı existuje, protoˇze g je prvek grupy G. Pro kaˇzdé a ∈ A plat´ı: (σg−1 ◦ σg )(a) = σg−1 (σg (a)) = g −1 · (g · a). Protoˇze pˇredpokládáme, ˇze grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A, dostáváme: g −1 · (g · a) = (g −1 g) · a = 1 · a = a. Ukázali jsme, ˇze (σg−1 ◦ σg )(a) = a. Pokud vezmeme m´ısto prvku g prvek g −1 (coˇz m˚ uˇzeme, protoˇze g ∈ G je libovolné) a budeme postupovat stejn´ ym zp˚ usobem, dostaneme, ˇze i (σg ◦ σg−1 )(a) = a. Tedy zobrazen´ı σg je opravdu bijekce a (σg )−1 = σg−1 . 2. Nyn´ı dokáˇzeme, ˇze zobrazen´ı ϕ : G → SA , urˇcené pˇredpisem ϕ(g) = σg pro kaˇzdé g ∈ G, je homomorfismem grup. Necht’ g1 , g2 ∈ G, a ∈ A libovolné. Pak plat´ı, ˇze ϕ(g1 g2 )(a) = σg1 g2 (a) = (g1 g2 ) · a Nyn´ı vyuˇzijeme pˇredpokladu, ˇze grupa G p˚ usob´ı na A: (g1 g2 ) · a = g1 · (g2 · a) = σg1 (σg2 (a)) = (ϕ(g1 ) ◦ ϕ(g2 ))(a). Tedy ϕ je homomorfismus grup.

Definice 1.1.5. Necht’ G je grupa, A je mnoˇzina a necht’ G p˚ usob´ı na A. Homomorfismus ϕ : G → SA , ϕ(g) = σg , kter´ y je popsan´ y v pˇredchoz´ı vˇetˇe, se naz´ yvá reprezentace permutacemi odpov´ıdaj´ıc´ı dané akci grupy G na mnoˇzinˇe A. 7

Uvˇedomme si, ˇze reprezentace permutacemi je jin´ ym vyjádˇren´ım akce grupy G na mnoˇzinˇe A. Naopak pro libovoln´ y homomorfismus ϕ : G → SA plat´ı, ˇze pˇredpis g · a = ϕ(g)(a), pro vˇsechna g ∈ G a vˇsechna a ∈ A, jistˇe splˇ nuje podm´ınky akce grupy na mnoˇzinˇe. Pˇred t´ım, neˇz uvedeme pˇr´ıklady akce grupy G na mnoˇzinˇe A, definujme jeˇstˇe dva jej´ı speciáln´ı typy: Definice 1.1.6. Necht’ G je grupa a necht’ A je mnoˇzina. 1. Jestliˇze g · a = a pro vˇsechna a ∈ A a vˇsechna g ∈ G, pak ˇrekneme, ˇze akce grupy G na A je triviáln´ı nebo grupa G p˚ usob´ı triviálnˇe na mnoˇzinˇe A. 2. Akci grupy G na mnoˇzinˇe A nazveme vˇernou, jestliˇze reprezentace permutacemi odpov´ıdaj´ıc´ı této akci je injektivn´ı zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 1.1.7. Oznaˇcme Dn dihedráln´ı grupu, tedy grupu vˇsech symetri´ı pravidelného n-´ uheln´ıku, jehoˇz vrcholy si pop´ıˇseme 1, 2, . . . , n. Uvˇedomme si, ˇze prvky Dn nám zadávaj´ı permutace na n-prvkové mnoˇzinˇe vˇsech vrchol˚ u n-´ uheln´ıku. Necht’ f : Dn × {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} je zobrazen´ı definované pˇredpisem f ((α, i)) = α(i), kde α je nˇekterá ze symetri´ı n-´ uheln´ıku, i ∈ {1, 2, . . . , n} a α(i) oznaˇcuje obraz vrcholu i v symetrii α. Zobrazen´ı f je akc´ı grupy Dn na mnoˇzinˇe {1, 2, . . . , n}, protoˇze podm´ınky definice akce jsou splnˇeny d´ıky skládán´ı symetri´ı pravidelného n-´ uheln´ıka. Tato akce je vˇerná, protoˇze jediná symetrie, která nechá vˇsechny vrcholy na m´ıstˇe, je identita. Pˇ r´ıklad 1.1.8. Necht’ G je nekomutativn´ı grupa, mnoˇzina A = G. Dále necht’ g1 , g2 , a jsou prvky grupy G. Nejdˇr´ıve ukáˇzeme, ˇze pˇredpisem g · a = ag −1 je urˇcená akce. Ovˇeˇrme prvn´ı podm´ınku z definice 1.1.2: g1 · (g2 · a) = = = = =

g1 · (ag2−1 ) = (ag2−1 )g1−1 = a(g2−1 g1−1 ) = a(g1 g2 )−1 = (g1 g2 ) · a.

Druhá podm´ınka je jistˇe splnˇena, protoˇze pro kaˇzdé a ∈ G plat´ı, ˇze 1 · a = a. Pod´ıvejme se, jak by to vypadalo v pˇr´ıpadˇe, ˇze bychom uváˇzili pˇredpis g · a = ag. Protoˇze A = G, plat´ı, ˇze g1 · (g2 · a) = g1 · (ag2 ) = ag2 g1 (g2 g1 ) · a = ag1 g2 , a protoˇze G nen´ı komutativn´ı, jistˇe existuj´ı prvky g1 , g2 ∈ G takové, ˇze g1 g2 6= g2 g1 . Pak napˇr´ıklad pro a = 1 nen´ı splnˇena prvn´ı podm´ınka z definice akce. 8

Definice 1.1.9. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A. Mnoˇzina J = {g ∈ G | g · a = a, ∀a ∈ A} se naz´ yvá jádro akce grupy G na mnoˇzinˇe A.

Pˇ r´ıklad 1.1.10. Necht’ G p˚ usob´ı na A triviálnˇe a souˇcasnˇe vˇernˇe. Pro trivián´ı akci G na A je jádrem pˇr´ısluˇsné reprezentace celá grupa G. Aby odpov´ıdaj´ıc´ı reprezentace permutacemi byla injektivn´ı, mus´ı m´ıt toto zobrazen´ı jednoprvkové jádro. To plat´ı právˇe tehdy, kdyˇz |G| = 1.

Definice 1.1.11. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A a necht’ a ∈ A je libovoln´ y. Mnoˇzina Ga = {g ∈ G | g · a = a} se naz´ yvá stabilizátor prvku a.

Lemma 1.1.12. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A. Potom plat´ı, ˇze jádro je pr˚ unikem stabilizátor˚ u vˇsech prvk˚ u a ∈ A, tj. \ J= Ga . a∈A

D˚ ukaz. Budeme dokazovat dvˇe inkluze. ⊆“ Jádro je mnoˇzina vˇsech prvk˚ u grupy G, které nechávaj´ı na m´ıstˇe vˇsechny prvky ” mnoˇziny A, tedy i libovoln´ y prvek a, tzn. jádro je podmnoˇzinou stabilizátoru libovolného prvku. ⊇“ Naopak, pokud prvek g ∈ G patˇr´ı do pr˚ uniku stabilizátor˚ u vˇsech prvk˚ u z A, ” nechává tyto prvky na m´ıstˇe, tedy patˇr´ı i do jádra.

Pˇ r´ıklad 1.1.13. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A. Ukaˇzme, ˇze jádro akce grupy G na A je stejné jako jádro odpov´ıdaj´ıc´ı reprezentace permutacemi ϕ. Oznaˇcme si jádro reprezentace Ker ϕ a jádro akce J. Tyto mnoˇziny maj´ı následuj´ıc´ı tvar: Ker ϕ = {g ∈ G | ϕ(g)(a) = a, ∀a ∈ A}, J = {g ∈ G | g · a = a, ∀a ∈ A}. Protoˇze g · a = ϕ(g)(a) jsou tyto mnoˇziny stejné, tj. Ker ϕ = J.

9

Vˇ eta 1.1.14. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A a necht’ a ∈ A je libovolný. Stabilizátor prvku a ∈ A tvoˇr´ı podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normáln´ı podgrupou této grupy. D˚ ukaz. Nejdˇr´ıve dokáˇzeme, ˇze stabilizátor prvku a je podgrupa grupy G. Neutráln´ı prvek grupy G nechává na m´ıstˇe vˇsechny prvky z A, tedy leˇz´ı ve stabilizátoru libovolného prvku. Necht’ g, h ∈ Ga , a ∈ A je pevn´ y. Potom (gh) · a = g · (h · a), protoˇze G p˚ usob´ı na A, g · (h · a) = g · a, protoˇze h ∈ Ga a g · a = a, protoˇze g ∈ Ga . Tedy i gh ∈ Ga . Jeˇstˇe je tˇreba ukázat, ˇze v Ga leˇz´ı i inverze k jeho libovolnému prvku. Necht’ g ∈ Ga , a ∈ A je pevn´ y, pak plat´ı, ˇze g · a = a. Nyn´ı budeme na tuto rovnost p˚ usobit zleva prvkem g −1 . Ten jistˇe existuje, protoˇze g je prvkem grupy G. Dostáváme tedy, ˇze g −1 · (g · a) = g −1 · a. Na levé stranˇe m˚ uˇzeme zmˇenit uzávorkován´ı, protoˇze G p˚ usob´ı na A: (g −1 g) · a = g −1 · a, 1 · a = g −1 · a, a = g −1 · a, tedy i prvek g −1 ∈ Ga . Dokázali jsme, ˇze Ga je podgrupou grupy G. Jádro akce grupy G na A je i jádrem odpov´ıdaj´ıc´ı reprezentace ϕ (potˇrebné u ´vahy jsme provedli v pˇr´ıkladu 1.1.13). Protoˇze ϕ je homomorfismus, je jeho jádrem normáln´ı podgrupa.

Vˇ eta 1.1.15. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A. Relace ∼ daná pˇredpisem a ∼ b ⇐⇒ ∃g ∈ G : a = g · b, je relac´ı ekvivalence. Pro libovolné a ∈ A existuje bijekce mezi tˇr´ıdou rozkladu A/∼ obsahuj´ıc´ı prvek a a levým rozkladem G/Ga grupy G podle podrupy Ga , tj. obˇe mnoˇziny maj´ı stejná kardináln´ı ˇc´ısla. D˚ ukaz. D˚ ukaz povedeme ve dvou kroc´ıch. Nejprve ukáˇzeme, ˇze relace ∼ je ekvivalence. V druhé ˇcásti budeme hledat vhodné bijektivn´ı zobrazen´ı mezi lev´ ym rozkladem G/Ga grupy G podle Ga a tˇr´ıdou rozkladu A/∼ obsahuj´ıc´ı prvek a. O relaci ∼ budeme dokazovat, ˇze je reflexivn´ı, symetrická a tranzitivn´ı: • reflexivn´ı: Protoˇze G p˚ usob´ı na A, plat´ı, ˇze a = 1 · a pro kaˇzdé a ∈ A, tzn. a ∼ a.

10

• symetrická: Necht’ a ∼ b, tzn. a = g · b pro nˇejaké vhodné g ∈ G. P˚ usoben´ım zleva prvkem g −1 dostáváme, ˇze g −1 · a = g −1 · (g · b). Protoˇze G p˚ usob´ı na A, plat´ı, ˇze g −1 · a = (g −1 g) · b, g −1 · a = 1 · b, b = g −1 · a ⇒ b ∼ a. • tranzitivn´ı: Necht’ a ∼ b a souˇcasnˇe b ∼ c, tzn. existuj´ı g, h ∈ G taková, ˇze a = g · b, b = h · c. Dostáváme, ˇze a = g·b= = g · (h · c) = = (gh) · c ⇒ a ∼ c. Tedy relace ∼ je relac´ı ekvivalence na mnoˇzinˇe A. Abychom dokázali druhou ˇca´st tvrzen´ı, je potˇreba naj´ıt bijektivn´ı zobrazen´ı mezi lev´ ymi tˇr´ıdami rozkladu G podle Ga a tˇr´ıdou A/ ∼ obsahuj´ıc´ı prvek a. Oznaˇcme Ca = {g · a | g ∈ G}, tˇr´ıdu rozkladu podle ekvivalence ∼, ve které se nacház´ı prvek a, a gGa levou tˇr´ıdu rozkladu G podle Ga . Z vlastnost´ı tˇr´ıd rozkladu v´ıme, ˇze g · a = h · a ⇔ (h−1 g) · a = a ⇔ h−1 g ∈ Ga ⇔ gGa = hGa .

(1.1)

Nyn´ı definujeme zobrazen´ı ψ z Ca do mnoˇziny lev´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd G podle Ga pˇredpisem ψ(g · a) = gGa . Tato definice je korektn´ı, nebot’ z rovnosti g · a = h · a plyne podle 1.1 rovnost gGa = hGa . Toto zobrazen´ı je surjektivn´ı, protoˇze pro libovolné g ∈ G prvek g · a jistˇe leˇz´ı v Ca . To, ˇze obrazen´ı ψ je téˇz injektivn´ı, plyne z ekvivalence 1.1. Tedy zobrazen´ı ψ je bijektivn´ı.

Definice 1.1.16. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A. 1. Mnoˇzina {g · a | g ∈ G} definovaná v pˇredchoz´ım d˚ ukazu se naz´ yvá orbita prvku a v G a oznaˇcuje se Oa . 2. Akci grupy G na A nazveme tranzitivn´ı, jestliˇze má právˇe jednu orbitu, tj. ∀ a, b ∈ A ∃ g ∈ G : a = g · b. 11

D˚ usledek 1.1.17. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na koneˇcné mnoˇzinˇe A, a ∈ A. Pak plat´ı, ˇze |Oa | = |G/Ga |. D˚ ukaz. Trvzen´ı vypl´ yvá z druhé ˇcásti vˇety 1.1.15 pro koneˇcné mnoˇziny.

Pˇ r´ıklad 1.1.18. Necht’ grupa G p˚ usob´ı triviálnˇe na mnoˇzinˇe A. Pak celá grupa je stabilizátorem vˇsech prvk˚ u, tj. Ga = G, ∀a ∈ A, a kaˇzdá orbita je tedy jednoprvková. Tato akce bude tranzitivn´ı pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy A je jednoprvková.

Pˇ r´ıklad 1.1.19. Necht’ G = h(1 2), (3 4 5)i ≤ S5 p˚ usob´ı na {1, 2, 3, 4, 5} pˇredpisem σ · a = σ(a) pro kaˇzdé σ ∈ G a kaˇzdé a ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Pak orbity v G jsou O1 = O2 = {1, 2} a O3 = O4 = O5 = {3, 4, 5}. Na závˇer této ˇca´sti jeˇstˇe odvod´ıme nˇekolik tvrzen´ı, které budeme v pozdˇejˇs´ım textu vyuˇz´ıvat. Lemma 1.1.20. Necht’ p je prvoˇc´ıslo, G je grupa ˇrádu pα , kde α ∈ N, a necht’ G p˚ usob´ı na koneˇcné mnoˇzinˇe A. Oznaˇcme A∗ mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u a ∈ A takových, ˇze pˇri p˚ usoben´ı kaˇzdým g ∈ G z˚ ustávaj´ı na m´ıstˇe, tedy g · a = a pro kaˇzdé g ∈ G. Pak plat´ı, ˇze |A| ≡ |A∗ | (mod p).

D˚ ukaz. Uvˇedomme si, pokud si poˇcet prvk˚ u A nap´ıˇseme jako souˇcet poˇctu prvk˚ u v jednotliv´ ych orbitách, mus´ı pro kaˇzdou orbitu kaˇzdého prvku platit, ˇze poˇcet jej´ıch prvk˚ u je mocninou prvoˇc´ısla p, nebot’ plat´ı, ˇze poˇcet prvk˚ u v orbitˇe tohoto prvku je roven indexu jeho stabilizátoru, a tedy podle Lagrangeovy vˇety dˇel´ı |G|. Protoˇze právˇe prvky, které pˇri této akci z˚ ustávaj´ı na m´ıstˇe, maj´ı jednoprvkové orbity, dostáváme t´ım poˇzadované tvrzen´ı.

Vˇ eta 1.1.21. Necht’ (G, ?), (H, ~) jsou grupy. Potom kartézský souˇcin G × H s operac´ı } danou pˇredpisem (g1 , h1 ) } (g2 , h2 ) = (g1 ? g2 , h1 ~ h2 ), ∀g1 , g2 ∈ G, ∀h1 , h2 ∈ H, tvoˇr´ı grupu.

12

D˚ ukaz. Nejdˇr´ıve ukáˇzeme, ˇze je operace } asociativn´ı. Necht’ g1 , g2 , g3 ∈ G, h1 , h2 , h3 ∈ H, potom dostáváme [(g1 , h1 ) } (g2 , h2 )] } (g3 , h3 ) = = = =

(g1 ? g2 , h1 ~ h2 ) } (g3 , h3 ) = ((g1 ? g2 ) ? g3 , (h1 ~ h2 ) ~ h3 ) = (g1 ? (g2 ? g3 ), h1 ~ (h2 ~ h3 )) = (g1 , h1 ) } [(g2 , h2 ) } (g3 , h3 )].

Neutráln´ı prvkem v˚ uˇci operaci } je zˇrejmˇe (1G , 1H ) a inverz´ı prvku (g, h) je prvek (g −1 , h−1 ).

Definice 1.1.22. Grupu (G×H, }) definovanou ve vˇetˇe 1.1.21 naz´ yváme pˇr´ımým souˇcinem grup G a H. Vˇ eta 1.1.23. Necht’ G je koneˇcná komutativn´ı grupa a p je libovolné prvoˇc´ıslo dˇel´ıc´ı ˇr´ ad grupy G. Pak v grupˇe G existuje prvek ˇrádu p. D˚ ukaz. K tomu, abychom ukázali platnost tvrzen´ı vyuˇzijeme matematické indukce vzhledem k ˇra´du grupy G. Pro |G| = 1 nen´ı tˇreba tvrzen´ı dokazovat. Pˇredpokládejme tedy, ˇze n ≥ 2 a ˇze tvrzen´ı plat´ı pro vˇsechny grupy ˇrádu menˇs´ıho neˇz n a vˇsechna prvoˇc´ısla dˇel´ıc´ı jejich ˇrád. Oznaˇcen´ım |x| budeme rozumˇet ˇra´d prvku x. Necht’ G je libovolná grupa ˇrádu n. Jestliˇze n je prvoˇc´ıslo, pak z Lagrangeovy vˇety plyne, ˇze libovoln´ y netriviáln´ı prvek má ˇra´d n. Pˇredpokládejme, ˇze n nen´ı prvoˇc´ıslo a zvolme a ∈ G takové, ˇze a 6= 1. Pokud je ˇra´d prvku a je roven ˇc´ıslu mp pro m ∈ N, pak prvek am má jistˇe ˇra´d p. Nyn´ı naopak pˇredpokládejme, ˇze p nedˇel´ı ˇra´d prvku a. Uvaˇzme podgrupu H generovanou t´ımto prvkem. Protoˇze G je komutativn´ı, je H normáln´ı. Protoˇze |H| > 1, plat´ı, ˇze |G/H| < |G|. Jelikoˇz p - |H| mus´ı p | |G/H| a podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu tato grupa jiˇz obsahuje prvek kH ˇra´du p. Protoˇze k 6∈ H a k p ∈ H, mus´ı platit, ˇze |k| > |k p |. Oznaˇcme c c . Z toho plyne, ˇze ˇrád prvku k je ˇra´d prvku k. Pro prvek k p pak nutnˇe plat´ı, ˇze |k p | = (c,p) c dˇeliteln´ y prvoˇc´ıslem p a jsme hotovi, nebot’ k p má ˇrád p.

1.1.2

Rozklad na nez´ avisl´ e cykly

V této ˇcásti se budeme zab´ yvat grupami symetri´ı Sn . Uvedeme tvrzen´ı o rozkladu permutace na nezávislé cykly a na pˇr´ıkladu ukáˇzeme, jak´ ym zp˚ usobem m˚ uˇze grupa Sn p˚ usobit na mnoˇzinˇe uspoˇra´dan´ ych dvojic.

13

Vˇ eta 1.1.24. Kaˇzdou neidentickou permutaci na n-prvkové mnoˇzinˇe m˚ uˇzeme zapsat jako souˇcin nezávislých cykl˚ u, a to jednoznaˇcnˇe aˇz na jejich poˇrad´ı. D˚ ukaz. Necht’ A = {1, 2, . . . , n}, σ ∈ Sn , necht’ G = hσi a necht’ G p˚ usob´ı na A pˇredpisem σ · a = σ(a) pro kaˇzdé a ∈ A. Pak podle vˇety 1.1.15 je A rozdˇelena do orbit. Oznaˇcme jednu z nich Ox a jednoho jej´ıho reprezentanta x. Mezi prvky z Ox a tˇr´ıdami G podle Gx existuje podle vˇety 1.1.15 bijektivn´ı zobrazen´ı σ i · x 7→ σ i Gx . Grupa G je cyklická (tzn. je i komutativn´ı), takˇze Gx je normáln´ı podgrupou grupy G a G/Gx je také cyklická. Oznaˇcme n nejmenˇs´ı pˇrirozené ˇc´ıslo splˇ nuj´ıc´ı σ n ∈ Gx . Tedy n = |G/Gx | = |Ox |. Tˇr´ıdy rozkladu grupy G podle Gx jsou tvaru σ 0 Gx , σGx , σ 2 Gx , . . . , σ n−1 Gx . Z toho vid´ıme, ˇze prvky orbity Ox jsou x, σ(x), σ 2 (x), . . . , σ n−1 (x). Vˇsimnˇeme si, ˇze σ ob´ıhá“ vˇsechny prvky z Ox , tzn. σ p˚ usob´ı na orbitˇe velikosti n ” jako cyklus délky n. Protoˇze orbity jsou navzájem disjunktn´ı (vˇzdyt’ jsou to tˇr´ıdy rozkladu podle ekvivalence), nem˚ uˇze se stát, ˇze by prvek σ k (x) leˇzel ve dvou cyklech. Tud´ıˇz pro kaˇzdé σ ∈ Sn existuje rozklad na souˇcin nezávisl´ ych cykl˚ u. Pokud bychom z orbity Ox vybrali za reprezentanta jin´ y prvek, dostaneme tent´ yˇz cyklus délky n, jen posunut´ y. Tud´ıˇz pro kaˇzdé σ ∈ Sn existuje rozklad na souˇcin nezávisl´ ych cykl˚ u, kter´ y je jednoznaˇcn´ y aˇz na poˇrad´ı jednotliv´ ych cykl˚ u.

Pˇ r´ıklad 1.1.25. Necht’ S3 p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe uspoˇra´dan´ ych dvojic Ω = {(i, j)|1 ≤ i, j ≤ 3} tak, ˇze σ · (i, j) = (σ(i), σ(j)). Ukáˇzeme, jak vypadá p˚ usoben´ı prvkem σ = (1 2 3) ∈ S3 pro tuto akci. Pro názornost si vypiˇsme vˇsechny prvky mnoˇziny Ω: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3). Nyn´ı spoˇc´ıtáme, jak prvek σ = (1 2 3) p˚ usob´ı na mnoˇzinu Ω. σ · (1, 1) = (2, 2), σ · (1, 2) = (2, 3), σ · (1, 3) = (2, 1), σ · (2, 1) = (3, 2), σ · (2, 2) = (3, 3), σ · (2, 3) = (3, 1), σ · (3, 1) = (1, 2), σ · (3, 2) = (1, 3), σ · (3, 3) = (1, 1). Tento zápis nen´ı pˇr´ıliˇs pˇrehledn´ y, proto si situaci znázornˇeme jestˇe schématem:

14

(1, 1) -

−→ (3, 3)

(2, 2) .

−→

(1, 2) -

(2, 3) .

(3, 1)

(1, 3) -

−→

(2, 1) .

(3, 2)

T´ımto zp˚ usobem bychom na mnoˇzinu Ω mohli p˚ usobit vˇsemi prvky z S3 . Stabilizátor prvku (i, j) ∈ Ω by pak obsahoval ty permutace, pro které plat´ı, ˇze σ · (i, j) = (i, j). Napˇr´ıklad stabilizátorem prvku (1, 1) je tedy G(1,1) = {id, (2 3)}. Uvˇedomme si, ˇze (2 3) neznaˇc´ı prvek z Ω ale z S3 .

1.2

1.2.1

Akce grupy na sobˇ e n´ asoben´ım zleva, Cayleyova vˇ eta Akce grupy na sobˇ e n´ asoben´ım zleva

Pozn´ amka 1.2.1. To, ˇze grupa G p˚ usob´ı na sobˇe, znamená, ˇze jsme za mnoˇzinu, na které grupa p˚ usob´ı, zvolili nosnou mnoˇzinu grupy G. P˚ usoben´ı násoben´ım zleva chápeme jako souˇcin prvk˚ u v grupˇe. Tedy pro a, g ∈ G g · a = ga. Pokud je G koneˇcná grupa ˇra´du n, je v´ yhodné oznaˇcit si prvky grupy pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly jako g1 , . . . , gn . P˚ usoben´ı nˇekter´ ym z prvk˚ u pak m˚ uˇzeme chápat jako permutaci na indexech. Pˇ r´ıklad 1.2.2. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na sobˇe násoben´ım zleva a necht’ G = {1, a, b, c} je Kleinova grupa, tj. necyklická ˇctyˇrprvková grupa. Prvky a, b, c jsou prvky ˇra´du 2. Oznaˇcme si po ˇradˇe prvky grupy ˇc´ısly 1, 2, 3, 4. Spoˇc´ıtejme permutaci σa danou p˚ usoben´ım zleva prvkem a = 2: a · 1 = 2 · 1 = 2, a · a = 2 · 2 = 1, a · b = 2 · 3 = 4, a · c = 2 · 4 = 3,

tedy tedy tedy tedy

σa (1) = 2, σa (2) = 1, σa (3) = 4, σa (4) = 3.

Tedy p˚ usoben´ı prvkem a odpov´ıdá v reprezentaci permutacemi (1 2)(3 4). Stejn´ ym zp˚ usobem spoˇc´ıtáme, ˇze (1 3)(2 4) odpov´ıdá prvku b a (1 4)(2 3) prvku c.

15

Akce grupy na sobˇe násoben´ım zleva je tranzitivn´ı a vˇerná. Stabilizátorem libovolného prvku je podgrupa obsahuj´ıc´ı právˇe neutráln´ı prvek grupy. P˚ usoben´ı grupy G na sobˇe samé násoben´ım zleva m˚ uˇzeme zobecnit. A to t´ım zp˚ usobem, ˇze za mnoˇzinu A, na které G p˚ usob´ı, budeme uvaˇzovat mnoˇzinu lev´ ych tˇr´ıd rozkladu grupy G podle libovolné podgrupy H, tzn. g · aH = gaH pro vˇsechny g ∈ G, aH ∈ A. Tˇr´ıdou gaH pak rozum´ıme tˇr´ıdu rozkladu s reprezentantem ga. Ukáˇzeme, ˇze t´ımto pˇredpisem je opravdu zadaná akce grupy. Ovˇeˇr´ıme podm´ınky z definice 1.1.2: g1 · (g2 · aH) = g1 · g2 aH = g1 g2 aH = (g1 g2 ) · aH, 1 · aH = aH. Je zˇrejmé, ˇze pokud za podgrupu H zvol´ıme podgrupu obsahuj´ıc´ı pouze neutráln´ı prvek grupy G, budou tˇr´ıdy rozkladu právˇe jednoprvkové mnoˇziny. Provedeme-li ztotoˇznˇen´ı prvku s takovou jednoprvkovou mnoˇzinou, dostaneme akci grupy G na sobˇe násoben´ım zleva (tedy pˇresnˇe tu, kterou jsme uvaˇzovali v u ´vodu této ˇca´sti). Vˇ eta 1.2.3. Necht’ G je grupa, H jej´ı podgrupa a necht’ G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe levých rozkladových tˇr´ıd G podle H násoben´ım zleva. Pak plat´ı: 1. akce G na mnoˇzinˇe levých rozkladových tˇr´ıd G podle H je tranzitivn´ı, 2. stabilizátorem prvku 1H v grupˇe G je podgrupa H, tj. G1H = H, T 3. jádro této akce je J = x∈G xHx−1 a nav´ıc je nejvˇetˇs´ı normáln´ı podgrupou grupy G, která je obsaˇzená v H. D˚ ukaz. Oznaˇcme A mnoˇzinu vˇsech rozkladov´ ych tˇr´ıd G podle H. 1. Necht’ aH, bH ∈ A jsou libovolné a necht’ g = ba−1 . Pak pˇri p˚ usoben´ı prvkem g na aH dostáváme: g · aH = (ba−1 )aH = b(aa−1 )H = b1H = bH. Tedy kaˇzdé dva prvky leˇz´ı ve stejné orbitˇe, tzn. akce má pouze jednu orbitu, tzn. je tranzitivn´ı. 2. Podle definice stabilizátoru (definice 1.1.11) je G1H = {g ∈ G | g · 1H = 1H} = {g ∈ G | gH = H} = H.

16

3. Oznaˇcme xH tˇr´ıdu s reprezentantem x. Potom plat´ı: GxH = = = = =

{g {g {g {g {g

∈ G | gxH = xH} = ∈ G | x−1 (gx)H = x−1 xH} = ∈ G | (x−1 gx)H = H} = ∈ G | (x−1 gx) ∈ H} = ∈ G | g ∈ xHx−1 }.

Tedy stabilizátorem prvku xH je xHx−1 a podle lemmatu 1.1.12 plat´ı, ˇze \ J= xHx−1 . x∈G

Pˇredpokládejme, ˇze N je normáln´ı podgrupa grupy G,Tkterá je obsaˇzená v H, pak N = xN x−1 ≤ xHx−1 pro vˇsechna x ∈ G, tedy N ≤ x∈G xHx−1 = J. Tud´ıˇz J je nejvˇetˇs´ı normáln´ı podgrupa G leˇz´ıc´ı v H.

1.2.2

Cayleyova vˇ eta

Vˇ eta 1.2.4. (Cayley) Libovolná grupa G je izomorfn´ı s vhodnou podgrupou grupy symetri´ı SG . Pokud je G koneˇcná grupa ˇrádu n, pak je G izomorfn´ı s vhodnou podgrupou grupy Sn . D˚ ukaz. Necht’ H = {1} je triviáln´ı podgrupa grupy G. Uvaˇzme akci G na sobˇe p˚ usoben´ım zleva. Tato akce je vˇerná, tud´ıˇz jádrem je pouze H. Tedy G lze vnoˇrit do SG .

Pozn´ amka 1.2.5. Tuto vˇetu poprvé dokázal britsk´ y matematik Arthur Cayley (18211895). Kromˇe algebry byla objektem jeho zájmu také projektivn´ı geometri´ı. Byl jedn´ım z prvn´ıch, kdo se zab´ yvali problémem ˇctyˇr barev. Pˇ r´ıklad 1.2.6. Necht’ G je grupa a H je jej´ı podgrupa s indexem n ∈ N. Ukáˇzeme, ˇze existuje podgrupa K ≤ H, která je normáln´ı v G, a plat´ı, ˇze |G/K| dˇel´ı n!. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe G/H násoben´ım zleva. Oznaˇcme si πH odpov´ıdaj´ıc´ı reprezentaci permutacemi. Jádro této reprezentace je normáln´ı podgrupa. Plat´ı, ˇze G/ Ker πH ∼ = πH (G), a tedy πH (G) podgrupou SG/H . Protoˇze |G/H| = n je SG/H ∼ = Sn . Z Lagrangeovy vˇety pak dostáváme, ˇze |G/ Ker πH | dˇel´ı n!. Podle vˇety 1.2.3 je Ker πH ≤ H. Tedy Ker πH je hledanou podgrupou. 17

Vˇ eta 1.2.7. Necht’ G je koneˇcná grupa ˇrádu n a necht’ p je nejmenˇs´ı prvoˇc´ıslo dˇel´ıc´ı ˇr´ ad grupy G. Pak libovolná podgrupa H grupy G taková, ˇze |G/H| = p, je normáln´ı. D˚ ukaz. Necht’ H je podgrupa grupy G s indexem p. Oznaˇcme A mnoˇzinu vˇsech lev´ ych ’ rozkladov´ ych tˇr´ıd G/H. Necht πH je reprezentace, která odpov´ıdá akci grupy G na mnoˇzinˇe A násoben´ım zleva, a necht’ |G/ Ker πH | = k. Podle vˇety 1.2.3 je Ker πH nejvˇetˇs´ı normáln´ı podgrupa grupy G, která leˇz´ı v H. Podle hlavn´ı vˇety o faktorgrupách plat´ı, ˇze G/ Ker πH ∼ = ∼ πH (G) ≤ SG/H = Sp a podle Lagrangeovy vˇety |G/ Ker πH | dˇel´ı p!. Tedy plat´ı, ˇze p! = |G/H| · |H/ Ker πH | · r, ˇ ıslo |H/ Ker πH | mus´ı dˇelit kde r ∈ N. Z toho dostáváme, ˇze (p − 1)! = |H/ Ker πH | · r. C´ ˇra´d grupy G, tedy je to bud’ 1, nebo je dˇelitelné nˇejak´ ym prvoˇc´ıslem vˇetˇs´ım nebo rovn´ ym p. Zároveˇ n mus´ı |H/ Ker πH | | (p − 1)!. Ale vˇsechna prvoˇc´ısla dˇel´ıc´ı (p − 1)! jsou menˇs´ı neˇz p. Tedy dostáváme, ˇze |H/ Ker πH | = 1, tj. H = Ker πH .

1.3 1.3.1

Akce grupy na sobˇ e konjugovanost´ı Akce grupy na sobˇ e konjugovanost´ı

Vˇ eta 1.3.1. Necht’ G je grupa. Pak zobrazen´ı · : G × G → G dané pˇredpisem g · a = gag −1 pro a ∈ G a libovolné g ∈ G je akc´ı G na sobˇe samé. Odpov´ıdaj´ıc´ı reprezentace tedy libovolnému g ∈ G pˇriˇrad´ı permutaci σg : G → G danou pˇredpisem σg (a) = gag −1 pro kaˇzdé a ∈ G. D˚ ukaz. Postupnˇe ovˇeˇr´ıme obˇe podm´ınky z definice 1.1.2: 1. Necht’ a ∈ G je pevné, g, h ∈ G. Pak plat´ı, ˇze (σg ◦ σh )(a) = σg (σh (a)) = σg (hah−1 ) = g(hah−1 )g −1 = (gh)a(gh)−1 = σgh (a). 2. Necht’ 1 znaˇc´ı neutráln´ı prvek G, a ∈ G. Pak dostáváme, ˇze σ1 (a) = 1 a 1−1 = 1 a 1 = a. Tedy t´ımto pˇredpisem je zadaná akce grupy G na sobˇe samé.

Definice 1.3.2. Necht’ G je grupa. Pak se akce grupy G na sobˇe samé definovaná v pˇredchoz´ı vˇetˇe naz´ yvá akce grupy G na sobˇe konjugovanost´ı. 18

Definice 1.3.3. Necht’ G je grupa a a, b ∈ G libovolné. Tyto prvky nazveme konjugované, jestliˇze prvky a, b leˇz´ı ve stejné orbitˇe akce grupy G na sobˇe konjugovanost´ı. Orbity této akce se naz´ yvaj´ı tˇr´ıdy konjugovanosti.

Vˇ eta 1.3.4. Necht’ G je grupa a H je jej´ı podgrupa. Pak plat´ı, ˇze H je normáln´ı podgrupa grupy G právˇe tehdy, kdyˇz H je sjednocen´ım nˇekterých tˇr´ıd konjugovanosti. D˚ ukaz. Postupnˇe dokáˇzeme oba smˇery ekvivalence. ⇒“ Pˇredpokládejme, ˇze H je normáln´ı podgrupa grupy G, tj. gHg −1 = H pro vˇsechna ” g ∈ G. Tedy v H mus´ı s kaˇzd´ ym prvek leˇzet i vˇsechny prvky s n´ım konjugované, tzn. H je sjednocen´ım nˇekter´ ych tˇr´ıd konjugovanosti. ’ ⇐“ Necht podgrupa H je sjednocen´ım nˇekter´ ych tˇr´ıd konjugovanosti. Chceme ukázat, ” ˇze ghg −1 ∈ H pro kaˇzdé h ∈ H, g ∈ G. Protoˇze h i ghg −1 leˇz´ı v téˇze tˇr´ıdˇe konjugovanosti a h ∈ H, mus´ı i ghg −1 ∈ H. Tedy H je normáln´ı podgrupa grupy G.

Vˇ eta 1.3.5. Necht’ g ∈ G je libovolné. Pak zobrazen´ı σg : G → G urˇcené pˇredpisem σg (a) = gag −1 pro kaˇzdé a ∈ G (tedy konjugovanost pomoc´ı prvku g) automorfismem grupy G. D˚ ukaz. V d˚ ukazu vˇety 1.3.1 jsme ukázali, ˇze konjugovanost je homomorfismem. Z vˇety 1.1.4 v´ıme, ˇze je to bijekce. Dostáváme tedy, ˇze je to automorfismus.

D˚ usledek 1.3.6. Libovolné dva konjugované prvky grupy G maj´ı stejný ˇrád. D˚ ukaz. Z pˇredchoz´ı vˇety v´ım, ˇze konjugovanost je automorfismus, a ten zachovává ˇrády prvk˚ u, tedy konjugované prvky maj´ı stejn´ y ˇra´d.

Definice 1.3.7. Necht’ G je grupa a a ∈ G. Centralizérem prvku a v grupˇe G naz´ yváme mnoˇzinu CG (a) = {g ∈ G | ga = ag}.

Vˇ eta 1.3.8. Necht’ G je grupa. Pak centralizér libovolného prvku a ∈ G je podgrupa grupy G.

19

D˚ ukaz. Neutráln´ı prvek grupy G jistˇe leˇz´ı v CG (a), protoˇze komutuje s kaˇzd´ ym prvkem grupy. Necht’ g, h ∈ CG (a), tedy g i h komutuj´ı s prvkem a. Plat´ı, ˇze (gh)a = g(ha) = g(ah) = (ga)h = (ag)h = a(gh), tzn. i prvek gh komutuje s prvkem a, tud´ıˇz (gh) ∈ CG (a). Jeˇstˇe je tˇreba dokázat, ˇze v centralizéru leˇz´ı g −1 . Vynásob´ıme zprava i zleva rovnost ag = ga prvkem g −1 a dostáváme, ˇze g −1 agg −1 = g −1 gag −1 , g −1 a = ag −1 . Tedy CG (a) je podgrupa grupy G.

Definice 1.3.9. Necht’ G je grupa. Centrem grupy G naz´ yváme mnoˇzinu prvk˚ u Z(G) = {g ∈ G | ga = ag, ∀a ∈ G}.

Vˇ eta 1.3.10. (Rovnice tˇr´ıd rozkladu) Necht’ G je koneˇcná grupa a necht’ prvky g1 , . . . , gk ∈ G jsou reprezentanti vˇsech navzájem r˚ uzných tˇr´ıd konjugovanosti, které neleˇz´ı v centru Z(G). Pak plat´ı k X |G| = |Z(G)| + |G/CG (gi )|. i=1

D˚ ukaz. Pokud je prvek z centra grupy, je jeho tˇr´ıdou konjugovanosti jednoprvková mnoˇzina. Necht’ tedy Z(G) = {1, z1 , . . . , zm }. Dále oznaˇcme Ki tˇr´ıdu konjugovanosti s reprezentantem gi . Pak p˚ usoben´ı grupy G na sobˇe pomoc´ı konjugovanosti má tyto orbity: {1}, {z1 }, . . . , {zm }, K1 , . . . , Kk . Protoˇze centralizér prvku gi je jeho stabilizátorem pˇri akci grupy konjugovanost´ı, je poˇcet prvk˚ u v Ki podle vˇety 1.1.15 roven |G/CG (gi )|. Tedy plat´ı, ˇze |G| =

m X i=0

1+

k X

|Ki | =

i=1 k X

= |Z(G)| +

i=1

20

|G/CG (gi )|.

Pˇ r´ıklad 1.3.11. Za grupu G z pˇredchoz´ı vˇety zvolme grupu kvaternion˚ u Q8 . Grupa Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k} je nekomutativn´ı a operace · je v n´ı definována následuj´ıc´ı tabulkou: · 1 −1 i −i j −j k −k

1 1 −1 i −i j −j k −k

−1 −1 1 −i i −j j −k k

−i −i i 1 −1 k −k −j j

i i −i −1 1 −k k j −j

j j −j k −k −1 1 −i i

−j −j j −k k 1 −1 i −i

k k −k −j j i −i −1 1

−k −k k j −j −i i 1 −1

Vid´ıme, ˇze v centru grupy se nácházej´ı pouze prvky 1, −1, a centralizér prvku a ∈ / Z(Q8 ) je podgrupa generovaná t´ımto prvkem, tj. |Q8 /hai| = 2. Tˇr´ıdy konjugovanosti jsou {1}, {−1} , {i, −i}, {j, −j}, {k, −k} {z } | {z } |

prvky z centra

prvky mimo centrum

a rovnice tˇr´ıd rozkladu pro tuto grupu je tvaru X |Q8 | = |Z(Q8 )| + |Q8 /hai| = 2 + (2 + 2 + 2). a∈{i,j,k}

Pozn´ amka 1.3.12. Roku 1843 pˇredstavil William R. Hamilton svˇetu kvaterniony. Kvaternionem q rozum´ıme lineáln´ı kombinaci jednotek 1, i, j, k, tedy q = q1 + q2 i + q3 j + q4 k, kde koeficienty q1 , . . . , q4 jsou reálná ˇc´ısla. Kvaterniony sˇc´ıtáme po sloˇzkách. Operaci násoben´ı odpov´ıdá tabulka z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. Jak uˇz jsme vidˇeli, kvaterniony jsou v˚ uˇci násoben´ı nekomutativn´ı. Okruhu kvaternion˚ u se nˇekdy ˇr´ıká Hamilton˚ uv okruh. Ten je dokonce nekomutativn´ım okruhem s dˇelen´ım. V roce 1843 John T. Graves publikoval práci o oktionech. Oktiony jsou rozˇs´ıˇren´ım kvaternion˚ u. Libovoln´ y oktion a m˚ uˇzeme vˇzdy zapsat pomoc´ı lineáln´ı kombinace osmi základn´ıch jednotek 1, i, j, k, l, li, lj, lk, tj. a = a1 + a2 i + a3 j + a4 k + a5 l + a6 li + a7 lj + a8 lk, kde a1 , . . . , an ∈ R. Sˇc´ıtán´ı prob´ıhá po sloˇzkách. To, jak prob´ıhá operace násoben´ı, m˚ uˇzeme popsat tabulkou:

21

· 1 i j k l li lj lk

1 1 i j k l li lj li

i i −1 −k j li −l lk −lj

j j k −1 −i lj −lk −l li

k k −j i −1 lk lj −li −l

l l −li −lj −lk −1 i j k

li li l lk −lj −i −1 k −j

lj lj −lk l li −j −k −1 i

lk lk lj −li l −k j −i −1

Vˇsimnˇeme si, ˇze oktiony jsou stejnˇe jako kvaterniony nekomutativn´ı a nejsou nav´ıc ani asociativn´ı. V roce 1845 popsal oktiony téˇz A. Cayley (nezávisle na J. T. Gravesovi), proto se také oktiony nˇekdy naz´ yvaj´ı Cayleyova ˇc´ısla.

Vˇ eta 1.3.13. Necht’ G je grupa, p je prvoˇc´ıslo a necht’ |G| = pα , α ∈ N. Pak má grupa G netriviáln´ı centrum. D˚ ukaz. Podle vˇety 1.3.10 plat´ı, ˇze |G| = |Z(G)| +

k X

| G/CG (gi )|,

i=1

kde gi jsou reprezentanti r˚ uzn´ ych tˇr´ıd konjugovanosti, které neleˇz´ı v centru grupy. Protoˇze centralizér je podgrupa grupy G, je jeho index mocnina prvoˇc´ısla p. Protoˇze |G/CG (gi )| je vˇetˇs´ı neˇz 1, a tedy dˇeliteln´ y p, dˇel´ı p levou stranu a také souˇcet index˚ u centralizér˚ u, mus´ı tedy dˇelit i |Z(G)|.

Pozn´ amka 1.3.14. Vˇsimnˇeme si, ˇze vˇeta 1.3.13 je v podstatˇe jen speciáln´ı pˇr´ıpadem lemmatu 1.1.20, kde uvaˇzovanou akc´ı je akce grupy na sobˇe samé pomoc´ı konjugovanosti. P˚ usoben´ı grupy G na sobˇe samé pomoc´ı konjugovanosti m˚ uˇzeme zobecnit. Dvˇe podmnoˇziny T, S ⊆ G nazveme konjugované, pokud existuje g ∈ G pro které plat´ı, ˇze T = gSg −1 . To je ekvivalentn´ı s t´ım, ˇze T, S leˇz´ı ve stejné orbitˇe akce grupy G na mnoˇzinˇe vˇsech podmnoˇzin grupy G, kterou dále budeme oznaˇcovat P(G), pomoc´ı konjugovanosti. To nám umoˇzn ˇuje zformulovat následuj´ıc´ı definice. Definice 1.3.15. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na P(G) konjugovanost´ı. Potom stabilizátor mnoˇziny A pˇri této akci naz´ yváme normalizérem A a oznaˇcujeme NG (A), tj. NG (A) = {g ∈ G | gAg −1 = A}. 22

Definice 1.3.16. Necht’ grupa G p˚ usob´ı na P(G) konjugovanost´ı a H je podgrupa grupy G. Potom centralizérem podgrupy H v grupˇe G naz´ yváme pr˚ unik centralizér˚ u vˇsech prvk˚ u z H, tj. \ CG (H) = CG (h). h∈H

Pozn´ amka 1.3.17. Centralizérem podgrupy H je tedy mnoˇzina vˇsech prvk˚ u z G takov´ ych, ˇze komutuj´ı se vˇsemi prvky z H. Napˇr´ıklad centralizérem celé grupy je jej´ı centrum. Uvˇedomme si také, ˇze pˇr´ımo z definice plyne, ˇze CG (H) ⊆ NG (H).

1.3.2

Konjugovanost v Sn

V této ˇca´sti se budeme zab´ yvat konjugovanost´ı v grupˇe symetri´ı Sn . Ukáˇzeme, jak vypadaj´ı prvky konjugované s danou permutac´ı a jak naj´ıt prvek, s jehoˇz pomoc´ı jsou permutace konjugované. Vˇ eta 1.3.18. Necht’ σ, τ ∈ Sn a necht’ rozklad σ na souˇcin nezávislých cykl˚ u je tvaru (a1 a2 . . . ak1 )(b1 b2 . . . bk2 ) . . . Pak prvek s n´ım konjugovaný pomoc´ı prvku τ má rozklad na souˇcin nezávislých cykl˚ u následuj´ıc´ıho tvaru: τ στ −1 = (τ (a1 ) τ (a2 ) . . . τ (ak1 ))(τ (b1 ) τ (b2 ) . . . τ (bk2 )) . . . , tj. libovolný prvek i v rozkladu σ na nezávislé cykly nahrad´ıme prvkem τ (i). D˚ ukaz. Necht’ σ(i) = j, pak jistˇe plat´ı, ˇze τ στ −1 (τ (i)) = τ σ(i) = τ (j).

Pˇ r´ıklad 1.3.19. Necht’ σ = (1 2)(3 4 5)(6 7 8 9), τ = (1 3 5 7)(2 4 6 8). Pak podle návodu z vˇety 1.3.18 dostáváme, ˇze τ στ −1 = (3 4)(5 6 7)(1 2 9 8). Tohoto návodu m˚ uˇzeme také vyuˇz´ıt, pokud známe dva konjugované prvky σ1 , σ2 a máme naj´ıt prvek τ , pomoc´ı kterého jsou spolu konjugované. Necht’ σ1 = (1 3)(2 4 6), σ2 = (2 4)(3 5 6). Hledané τ nen´ı urˇcené jednoznaˇcnˇe, m˚ uˇzeme ho tedy zvolit v´ıce zp˚ usoby, napˇr´ıklad τ1 (1) = 2, τ1 (2) = 3, τ1 (3) = 4, τ1 (4) = 5, τ1 (6) = 6, tj. τ1 = (1 2 3 4 5)(6). Dalˇs´ı moˇznost, jak m˚ uˇze vypadat τ , je τ2 (1) = 4, τ2 (2) = 5, τ2 (3) = 2, τ2 (4) = 6, τ2 (6) = 3, tedy τ2 = (1 4 6 3 2 5). 23

Definice 1.3.20. Necht’ σ ∈ Sn je souˇcinem nezávisl´ ych cykl˚ u délek n1 , n2 , . . . , nk tak, ˇze n1 ≤ n2 ≤ . . . ≤ nk , kde 1 ≤ ni ≤ n, pak se k-tice ˇc´ısel n1 , n2 , . . . , nk naz´ yvá tvarem cykl˚ u permutace σ.

Definice 1.3.21. Necht’ n ∈ N. Rozdˇelen´ım ˇc´ısla n nazveme neklesaj´ıc´ı posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel takov´ ych, ˇze jejich souˇcet je rovn´ y ˇc´ıslu n.

Pˇ r´ıklad 1.3.22. Tvar cykl˚ u pro permutaci vyjádˇrenou jedn´ım cyklem délky m v Sn je 1, 1, . . . , 1, m. | {z } n−m

Vˇ eta 1.3.23. Dva prvky grupy Sn jsou konjugované právˇe tehdy, kdyˇz maj´ı stejný tvar cykl˚ u. Poˇcet tˇr´ıd konjugovanosti Sn se rovná poˇctu rozdˇelen´ı ˇc´ısla n. D˚ ukaz. Nejprve dokáˇzeme prvn´ı ˇca´st tvrzen´ı. Protoˇze jde o ekvivalenci, budeme postupovat dvˇema smˇery. ⇒“ Pˇredpokládejme, ˇze prvky σ1 , σ2 jsou konjugované. Pak jsou podle vˇety 1.3.18 ” permutacemi se stejn´ ym tvarem cykl˚ u. ⇐“ Necht’ σ1 , σ2 maj´ı stejn´ y tvar cykl˚ u. Cykly v zápise permutac´ı σ1 , σ2 seˇrad´ıme ” tak, aby jejich délky tvoˇrily neklesaj´ıc´ı posloupnost. Pokud si zápis σ1 , σ2 (vˇcetnˇe cykl˚ u délky jedna) pˇredstav´ıme bez uzávorkován´ı, dostaneme n-tice, kde se kaˇzdé z ˇc´ısel 1, . . . , n objevuje právˇe jednou. Nyn´ı definujme zobrazen´ı τ tak, ˇze ˇc´ıslo, které se v σ1 nacház´ı na i-tém m´ıstˇe, zobraz´ı na ˇc´ıslo, které se v σ2 nacház´ı na tom samém m´ıstˇe. Protoˇze maj´ı obˇe permutace stejn´ y tvar cykl˚ u, z˚ ustaly závorky na sv´ ych pozic´ıch. Zobrazen´ı τ splˇ nuje poˇzadavky z vˇety 1.3.18, tud´ıˇz σ1 , σ2 jsou konjugované. Nyn´ı dokáˇzeme druhou ˇca´st tvrzen´ı. Uvˇedomme si, ˇze kaˇzd´ y prvek je konjugován pouze s prvky se stejn´ ym tvarem cykl˚ u a kaˇzd´ y tvar cykl˚ u odpov´ıdá jednomu rozdˇelen´ı ˇc´ısla n, tedy poˇcet tˇr´ıd konjugovanosti je roven poˇctu rozdˇelen´ı ˇc´ısla n.

Pˇ r´ıklad 1.3.24. Necht’ n = 6. V tabulce uvedeme rozdˇelen´ı n a reprezentanta tˇr´ıdy konjugovanosti, která odpov´ıdá tomuto rozdˇelen´ı.

24

rozdˇelen´ı 6 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 2 1, 1, 2, 2 2, 2, 2 1, 1, 1, 3 3, 3 1, 1, 4 1, 5 6 1, 2, 3 2, 4

reprezentant tˇr´ıdy konjugovanosti identita (1 2) (1 2)(3 4) (1 2)(3 4)(5 6) (1 2 3) (1 2 3)(3 4 5) (1 2 3 4) (1 2 3 4 5) (1 2 3 4 5 6) (1 2)(3 4 5) (1 2)(3 4 5 6)

Necht’ σ ∈ S6 je cyklus délky 3, pak poˇcet vˇsech cykl˚ u této délky (tedy poˇcet prvk˚ u 6 v tˇr´ıdˇe konjugovanosti pˇr´ısluˇsné prvku σ) je 2 · 3 = 40, coˇz je |S6 /CS6 (σ)|. Samotn´ y centralizér prvku σ je podgrupa generovaná σ a prvky, v jejichˇz rozkladu na nezávislé cykly se neobjevuje ˇza´dné ˇc´ıslo, které bylo v rozkladu σ na nezávislé cykly, tj. CS6 (σ) = {σ i τ |i = 1, 2, 3; τ ∈ S3 }, kde S3 oznaˇcuje podgrupu, která nechává na m´ıstˇe vˇsechna ˇc´ısla obsaˇzená v σ.

25

Kapitola 2 Automorfismy V této kapitole se budeme zab´ yvat izomorfn´ımi zobrazen´ımi grupy G na sebe samu – automorfismy. Mnoˇzinu vˇsech automorfism˚ u na grupˇe G budeme oznaˇcovat Aut(G). Uvˇedomme si, ˇze sloˇzen´ım dvou automorfism˚ u je opˇet automorfismem a inverzn´ım zobrazen´ım k automorfismu je opˇet automorfismus. Tedy (Aut(G), ◦) je grupa. V dalˇs´ı ˇca´sti definujeme pojmy charakteristická a komutátorová podgrupa a odvod´ıme nˇekteré vlastnosti tˇechto podgrup.

2.1

Vlastnosti grupy automorfism˚ u

Vˇ eta 2.1.1. Necht’ G je grupa, H je jej´ı normáln´ı podgrupa a necht’ G p˚ usob´ı na H konjugovanost´ı. Pak odpov´ıdaj´ıc´ı reprezentace permutacemi je homomorfismus ψ : G → Aut(H) a Ker ψ = CG (H). D˚ ukaz. Protoˇze H je normáln´ı podgrupa grupy G, m˚ uˇzeme definovat zobrazen´ı ϕg : H → H pˇredpisem ϕg (a) = gag −1 pro libovolné a ∈ H. Protoˇze H je normáln´ı, plat´ı, ˇze ϕg (H) = H a zˇrejmˇe ϕg ∈ Aut(H). Oznaˇcme ψ : G → SH reprezentaci permutaci odpov´ıdaj´ıc´ı akci konjugovanost´ı G na H, ta je dána pˇredpisem ψ(g) = ϕg . Plat´ı, ˇze Ker ψ = {g ∈ G | ϕg = id} = = {g ∈ G | ghg −1 = h, ∀h ∈ H} = = CG (H).

D˚ usledek 2.1.2. Necht’ G je grupa, H jej´ı normáln´ı podgrupa a necht’ ψ je reprezentace permutacemi odpov´ıdaj´ıc´ı akci G na H pomoc´ı konjugovanosti. Potom G/CG (H) ∼ = ψ(G). 26

D˚ ukaz. Plyne z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı, protoˇze CG (H) = Ker ψ. Vˇ eta 2.1.3. Necht’ G je grupa a necht’ H je jej´ı libovolná podgrupa. Pak plat´ı, ˇze faktorgrupa NG (H)/CG (H) je izomorfn´ı s vhodnou podgrupou grupy Aut(H). D˚ ukaz. Vˇsimnˇeme si, ˇze NG (H) je podgrupa grupy G, ve které je H normáln´ı, potom volbou NG (H) m´ısto G z vˇety 2.1.1 dostáváme, ˇze NG (H)/CNG (H) (H) je izomorfn´ı s podgrupou grupy Aut(H). Ovˇsem pˇr´ımo z definic dostáváme, ˇze CNG (H) (H) = CG (H), protoˇze NG (H) jistˇe obsahuje vˇsechny prvky grupy G se kter´ ymi komutuj´ı prvky grupy H. Definice 2.1.4. Necht’ G je grupa a necht’ g ∈ G. Pak automorfismus ϕg grupy G urˇcen´ y −1 pˇredpisem ϕg (x) = gxg (tedy konjugovanost prvkem g) naz´ yváme vnitˇrn´ım automorfismem na grupˇe G. Mnoˇzinu vˇsech vnitˇrn´ıch automorfism˚ u grupy G oznaˇcujeme Inn(G). Vˇ eta 2.1.5. Necht’ G je grupa. Mnoˇzina vnitˇrn´ıch automorfism˚ u na grupˇe G tvoˇr´ı normáln´ı podgrupu grupy Aut(G). D˚ ukaz. 1. Nejprve dokáˇzeme, ˇze Inn(G) tvoˇr´ı podgrupu Aut(G), tedy je neprázdná, uzavˇrená vzhledem ke skládán´ı zobrazen´ı a ke kaˇzdému vnitˇrn´ımu automorfismu v n´ı leˇz´ı jeho inverze. (a) Inn(G) 6= ∅, protoˇze identita je jistˇe vnitˇrn´ım automorfismem. (b) Necht’ g, h ∈ G, necht’ ϕg , ϕh ∈ Inn(G) a x ∈ G je libovoln´ y pevn´ y prvek. Potom dostáváme, ˇze (ϕg ◦ ϕh )(x) = = = = =

ϕg (ϕh (x)) = ϕg (hxh−1 ) = g(gxh−1 g −1 ) = (gh)x(gh)−1 = ϕgh (x)

Tedy i ϕg ◦ ϕh ∈ Inn(G). (c) Necht’ ϕg ∈ Inn(G). K ϕg jistˇe existuje inverzn´ı zobrazen´ı, protoˇze je to automorfismus. Intuitivnˇe tuˇs´ıme, ˇze (ϕg )−1 = ϕg−1 . Ukáˇzeme, ˇze tomu tak opravdu je: (ϕg ◦ ϕg−1 )(x) = = = = 27

ϕg (ϕg−1 (x)) = ϕg (g −1 xg) = g(g −1 xg)g −1 = (gg −1 )x(gg −1 ) = x.

Analogicky bychom ukázali, ˇze i ϕg−1 ◦ ϕg je identita. Tedy (ϕg )−1 = ϕg−1 je také vnitˇrn´ım automorfismem. Mnoˇzina vnitˇrn´ıch automorfism˚ u je podgrupou grupy Aut(G). 2. Nyn´ı ukáˇzeme, ˇze Inn(G) je normáln´ı v Aut(G). Necht’ x, g ∈ G, ψ ∈ Aut(G) a ϕg ∈ Inn(G). Potom plat´ı, ˇze (ψ ◦ ϕg ◦ ψ −1 )(x) = = = =

ψ(ϕg (ψ −1 (x))) = ψ(g(ψ −1 (x))g −1 ) = ψ(g) (ψ(ψ −1 (x))) ψ(g)−1 = ψ(g) x ψ(g −1 ) = ϕψ(g) (x).

Inn(G) je normáln´ı podgrupou grupy Aut(G) .

Pozn´ amka 2.1.6. Eulerovou funkc´ı rozum´ıme funkci, která pro dané n ∈ N udává poˇcet pˇrirozen´ ych ˇc´ısel nesoudˇeln´ ych s n nepˇrevyˇsuj´ıc´ıch n. Budeme ji oznaˇcovat ϕ(n). Symbolem × ych tˇr´ıd modulo n. Ta je ˇra´du ϕ(n). Zn multiplikativn´ı grupu zbytkov´ Vˇ eta 2.1.7. Necht’ G je cyklická grupa ˇrádu n. Pak jej´ı grupa automorfism˚ u je izomorfn´ı . s grupou Z× n D˚ ukaz. Pro libovoln´ y prvek α = [a]n ∈ Z× redpisem ψα = xa . Je n definujme ψα : G → G pˇ tˇreba ukázat, ˇze tato definice je korektn´ı. Jestliˇze α = [c]n , pak plat´ı, ˇze n | a − c a tedy xa = xc pro kaˇzdé x ∈ G. Protoˇze je G komutativn´ı, pro kaˇzdé x, y ∈ G je ψα (x · y) = (xy)a = xa y a = ψα (x) · ψα (y), a proto je ψα : G → G homomorfismus. Pro libovolné α = [a]n , β = [b]n ∈ Z× zdé x ∈ G plat´ı, ˇze n a pro kaˇ ψαβ (x) = ψ[ab]n (x) = xab = (xb )a = ψα (ψβ (x)) = (ψα ◦ ψβ )(x), a tedy ψαβ = ψα ◦ ψβ . Protoˇze ψ[1]n je identita, dostáváme, ˇze ψα−1 = ψα−1 , a tedy ψα je automorfismus grupy G. redpisem Ψ(α) = ψα . V´ yˇse jsme jiˇz Nyn´ı definujme zobrazen´ı Ψ : Z× n → Aut(G) pˇ ukázali, ˇze Ψ je homomorfismus grup. Protoˇze zˇrejmˇe Ker Ψ = {[1]n }, je Ψ injektivn´ı. Zvolme pevnˇe generátor g grupy G. Necht’ ψ : G → G je libovoln´ y automorfismus. Pak ψ(g) = g b pro nˇejaké b ∈ {1, . . . , n} Libovolné x ∈ G je tvaru x = g c pro vhodné c ∈ {1, . . . , n}. Pak ψ(x) = ψ(g c ) = g bc = (g c )b = xb . 28

Protoˇze ψ je automorfismus, existuje d ∈ {1, . . . , n} takové, ˇze ψ(g d ) = g, tj. g bd = g. Z toho dostáváme, ˇze bd ≡ 1(mod n). Tedy (b, n) = 1, a z´ıskáváme, ˇze ψ = Ψ([b]n ) pro [b]n ∈ Z× n.

2.2

Charakteristick´ e podgrupy

Definice 2.2.1. Necht’ G je grupa a H je jej´ı podgrupa. Podgrupa H se naz´ yvá charakteristická v G jestliˇze je invariantn´ı v˚ uˇci vˇsem automorfism˚ um grupy G, tj. pro kaˇzdé ψ ∈ Aut(G) plat´ı, ˇze ψ(H) = H.

Vˇ eta 2.2.2. Necht’ G je grupa a H je charakteristická podgrupa grupy G. Pak H je normáln´ı. D˚ ukaz. Vˇsimnˇeme si, ˇze podgrupa H grupy G je normáln´ı právˇe tehdy, kdyˇz pro ni plat´ı, ˇze gHg −1 = H pro vˇsechna g ∈ G. Tedy vˇsechny vnitˇrn´ı automorfismy ji zobraz´ı samu na sebe a protoˇze charateristická podgrupa je invariantn´ı v˚ uˇci vˇsem automorfism˚ um (tedy i v˚ uˇci vnitˇrn´ım), je také normáln´ı podgrupou grupy G.

Pˇ r´ıklad 2.2.3. Uvˇedomme si, ˇze ne kaˇzdá normáln´ı podgrupa je charakteristická. Pod´ıvejme se napˇr´ıklad na Kleninovu ˇctyˇrprvkovou grupu. S tou jsme se jiˇz setkali v pˇr´ıkladu 1.2.2. Oznaˇcme si jej´ı prvky 1, a, b, c. Kaˇzd´ y z prvk˚ u a, b, c generuje normáln´ı dvouprvkovou podgrupu. Pokud uváˇz´ıme automorfismus takov´ y, ˇze a 7→ b, b 7→ c a c 7→ a, tak tento automorfismus nenechá podgrupy generované prvky a, b, c na m´ıstˇe a to znamená, ˇze tyto dvojprvkové podgrupy nejsou charakteristické v Kleinovˇe ˇctyˇrprvkové grupˇe.

Vˇ eta 2.2.4. Necht’ G je grupa a H je jej´ı podgrupa. Pokud kromˇe H nen´ı v G jiná podgrupa stejného ˇrádu jako H, pak H je charakteristická v G. D˚ ukaz. Libovoln´ y automorfismus zachovává ˇra´dy podgrup, tud´ıˇz H se mus´ı zobrazit na podgrupu stejného ˇra´du. Protoˇze H je jediná podgrupa tohoto ˇra´du, mus´ı ji libovoln´ y automorfismus zobrazit samu na sebe. Tedy H je charakteristická.

Vˇ eta 2.2.5. Necht’ G je grupa, H, K jej´ı podgrupy takové, ˇze K ≤ H. Jestliˇze K je charakteristická v H a H je normáln´ı podgrupa grupy G, pak K je normáln´ı podgrupa G.

29

D˚ ukaz. Vyuˇzijeme toho, ˇze normáln´ı podgrupy jsou invariantn´ı v˚ uˇci vnitˇrn´ım automorfism˚ um. Tedy libovoln´ y vnitˇrn´ı automorfismus nechá na m´ıstˇe podgrupu H. Pro libovoln´ y prvek g ∈ G je z´ uˇzen´ı vnitˇrn´ıho automorfismu ϕg : G → G na podgrupu H automorfismem (ale ne nutnˇe vnitˇrn´ım) podgrupy H. Protoˇze K je charakteristická podgrupa H, plat´ı, ˇze ϕg (K) = K, tedy K je normáln´ı podgrupa grupy G.

Vˇ eta 2.2.6. Necht’ G je grupa. Pak jej´ı centrum je charakteristická podgrupa a nav´ıc plat´ı, ˇze kaˇzdá podgrupa centra je normáln´ı podgrupou grupy G. D˚ ukaz. Neprve ukáˇzeme, ˇze centrum je charakteristická podgrupa. Necht’ g ∈ Z(G) a necht’ ψ je libovoln´ y automorfismus grupy G, pak pro kaˇzdé a ∈ G m˚ uˇzeme naj´ıt prvek b ∈ G tak, ˇze plat´ı a = ψ(b). Pokud tuto rovnici vynásob´ıme zleva prvkem ψ(g) ψ(g)a = ψ(g)ψ(b), u ´pravami postupnˇe z´ıskáváme ψ(g)a = = = =

ψ(g)ψ(b) = ψ(gb) = ψ(bg) = aψ(g).

Tedy ukázali jsme, ˇze prvek z centra bude pˇri zobrazen´ı libovoln´ ym automorfismem opˇet prvekem z centra, tedy centrum je invariantn´ı v˚ uˇci vˇsem automorfism˚ um, tj. je to charakteristická podgrupa. Nyn´ı dokáˇzeme zb´ yvaj´ıc´ı ˇca´st tvrzen´ı. Je vidˇet, ˇze pokud H je podgrupou Z(G), pak vˇsechny prvky h ∈ H komutuj´ı se vˇsemi prvky grupy G, tj. pro kaˇzdé g ∈ G a kaˇzdé h ∈ H plat´ı, ˇze gh = hg. Z toho plyne, ˇze g −1 hg = h, tud´ıˇz H je normáln´ı podgrupou grupy G.

Vˇ eta 2.2.7. Necht’ G je grupa. Pak plat´ı, ˇze G/Z(G) je izomorfn´ı s Inn(G). D˚ ukaz. V d˚ usledku 2.1.2 zvol´ıme H = G. Protoˇze ψ(G) = Inn(G), kde ψ je reprezentace permutacemi odpov´ıdaj´ıc´ı akci pomoc´ı konjugovanosti, a CG (G) = Z(G), dostáváme poˇzadované tvrzen´ı.

30

Pˇ r´ıklad 2.2.8. Pod´ıvejme se nyn´ı, jak vypadaj´ı grupy vnitˇrn´ıch automorfism˚ u nˇekter´ ych grup. Nejprve si rozebereme, jak vypadá Inn(Q8 ), kde Q8 je grupa kvaternion˚ u, kterou jsme popsali v pˇr´ıkladu 1.3.11. Centrem této grupy je podgrupa obsahuj´ıc´ı pouze prvky 1, −1. Podle vˇety 2.2.7 plat´ı, ˇze Inn(G) ∼ = G/Z(G). Tedy Inn(Q8 ) je ˇctyˇrprvková a je izomofn´ı s Kleinovou grupou. Dalˇs´ım zaj´ımav´ ym pˇr´ıkladem jsou beze sporu grupy permutac´ı na n-prvkové mnoˇzinˇe. Pro kaˇzdé n ≥ 3 je centrem triviáln´ı podgrupa obsahuj´ıc´ı pouze identitu, dostáváme tedy, ˇze Inn(Sn ) ∼ = Sn /Z(Sn ) ∼ = Sn .

Definice 2.2.9. Necht’ G je grupa a H je jej´ı podgrupa. Pak H se naz´ yvá u ´plnˇe charakteristická, pokud pro kaˇzd´ y homomorfismus ψ : G → G plat´ı, ˇze ψ(H) ≤ H.

Pozn´ amka 2.2.10. Uvˇedomme si, ˇze kaˇzdá u ´plnˇe charakteristická podgrupa H je zároveˇ n i charakteristická, protoˇze je invariantn´ı v˚ uˇci vˇsem homomorfism˚ um G → G, tedy i v˚ uˇci −1 automorfism˚ um. Je-li ψ ∈ Aut(G) libovoln´ y, je ψ(H) ≤ H i ψ (H) ≤ H. Odtud aplikac´ı ψ dostaneme H = ψ(ψ −1 (H)) ≤ ψ(H). Dohromady tedy dostáváme, ˇze ψ(H) = H.

Definice 2.2.11. Necht’ G je grupa a necht’ g, h ∈ G. Prvek ghg −1 h−1 se naz´ yvá komutátorem prvk˚ u g, h (v tomto poˇrad´ı). Podgrupu generovanou mnoˇzinou vˇsech komutátor˚ u obvykle oznaˇcujeme G0 a naz´ yváme bud’ komutátorovou podgrupou grupy G nebo komutantem grupy G.

Vˇ eta 2.2.12. Necht’ G je grupa a G0 jej´ı komutátorová podgrupa. Pak G0 je u ´plnˇe charakteristická podgrupa grupy G. D˚ ukaz. Necht’ ψ je homomorfismus G → G a necht’ g je komutátor. Pak g jistˇe m˚ uˇzeme −1 −1 zapsat ve tvaru xyx y pro vhodná x, y ∈ G. Ukaˇzme, ˇze inverzn´ım prvkem k prvku g bude opˇet komutátor: g −1 = (xyx−1 y −1 )−1 = (xy(yx)−1 )−1 = (yx)(xy)−1 = yxy −1 x−1 Necht’ a ∈ G0 . Prvek a je tedy moˇzné zapsat jako souˇcin koneˇcnˇe mnoha komutátor˚ ua protoˇze pro kaˇzd´ y komutátor g plat´ı, ˇze ψ(g) = ψ(xyx−1 y −1 ) = ψ(x)ψ(y)ψ(x−1 )ψ(y −1 ), lze i ψ(a) zapsat jako souˇcin komutátor˚ u. Tedy ψ(a) ∈ G0 . T´ım jsem ukázali, ˇze G0 je u ´plnˇe charakteristická podgrupa grupy G. 31

Vˇ eta 2.2.13. Necht’ G je grupa a G0 jej´ı komutátorová podgrupa. Potom G0 je nejmenˇs´ı normáln´ı podgrupa grupy G taková, ˇze G/G0 je komutativn´ı. D˚ ukaz. To, ˇze G0 je normáln´ı, je vidˇet z pˇredchoz´ı vˇety. Nejprve ukáˇzeme, ˇze G/G0 je komutativn´ı. Necht’ aG0 , bG0 ∈ G/G0 , pak plat´ı, ˇze aG0 bG0 = = = =

(ab)G0 = 1(ab)G0 = (ba)(ba)−1 (ab)G0 = (ba) (a−1 b−1 ab) G0 = | {z } ∈G0

0

= (ba)G = = bG0 aG0 . Zb´ yvá nám ukázat, ˇze G0 je nejmenˇs´ı normáln´ı podgrupa grupy G taková, ˇze faktorgrupa 0 G/G je komutativn´ı. Pˇredpokládejme tedy, ˇze H je normáln´ı podgrupa grupy G taková, ˇze G/H je komutativn´ı. Potom pro kaˇzdé a, b ∈ G plat´ı, ˇze (aba−1 b−1 )H = aH bH a−1 H b−1 H = = aH a−1 H bH b−1 H = = 1H = H Z toho dostáváme, ˇze v H leˇz´ı komutátory vˇsech prvk˚ u, tj. G0 ⊆ H.

32

Kapitola 3 Sylowovy vˇ ety Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918) byl norsk´ y matematik. Zab´ yval se studiem Galoisovy teorie. Svoje poznatky od tzv. Sylowov´ ych podgrupách publikoval roku 1872. Mimoto se dále zab´ yval eliptick´ ymi funkcemi (f : C → C) a kuˇzeloseˇckami. V roce 1894 se stal ˇséfredaktorem Acta Mathematica. Jak jiˇz napov´ıdá název, v této kapitole se budeme zab´ yvat Sylowov´ ymi vˇetami. Pro lepˇs´ı ˇcitelnost pˇripomene nˇekteré pojmy uvedené v [6] a odvod´ıme tvrzen´ı potˇrebná k tomu, abychom mohli Sylowovy vˇety dokázat. Ve druhém odstavci této kapitoly si na pˇr´ıkladech ukáˇzeme nˇekteré jejich aplikace.

3.1

Sylowovy vˇ ety

Definice 3.1.1. Necht’ G je koneˇcná grupa ˇra´du pe m, kde p je prvoˇc´ıslo, e, m ∈ N a plat´ı, ˇze p - m. Pak kaˇzdou podgrupu ˇrádu pe naz´ yváme p-Sylowskou podgrupou grupy G. Mnoˇzinu vˇsech p-Sylowsk´ ych podgrup dané grupy oznaˇcujeme Sylp (G) a poˇcet tˇechto podgrup np (G), popˇr. np . Lemma 3.1.2. Necht’ G je koneˇcná grupa, K, L jej´ı podgrupy a necht’ KL = {kl | k ∈ K, l ∈ L}. Pak plat´ı, ˇze |KL| =

|K||L| . |K ∩ L|

D˚ ukaz. Plat´ı, ˇze KL je sjednocen´ı lev´ ych tˇr´ıd rozkladu grupy G podle L takov´ ych, ˇze jejich reprezentanti jsou prvky z K, tj. [ KL = kL. k∈K

33

Vˇsechny levé rozkladové tˇr´ıdy dle L maj´ı právˇe |L| prvk˚ u. Zb´ yvá nám tedy zjistit, kolik r˚ uzn´ ych tˇr´ıd rozkladu se v KL skr´ yvá. V´ıme, ˇze tˇr´ıdy rozkladu prvk˚ u k, k 0 se rovnaj´ı, jestliˇze pro tyto dva prvky plat´ı, ˇze k −1 k 0 ∈ L. To ale znamená, ˇze prvek k −1 k 0 leˇz´ı v K i v L, tedy v jejich pr˚ uniku. Jin´ ymi slovy kL = k 0 L právˇe tehdy, kdyˇz k a k 0 leˇz´ı ve stejné |K| . tˇr´ıdˇe rozkladu grupy K podle podgrupy K ∩ L. Tˇechto tˇr´ıd je právˇe |K∩L|

Lemma 3.1.3. Necht’ G je grupa, K, L jej´ı podgrupy a L je normáln´ı podgrupou grupy G. Potom KL = {kl | k ∈ K, l ∈ L} je podgrupa grupy G. D˚ ukaz. Mnoˇzina KL je jistˇe neprázdná, protoˇze v n´ı leˇz´ı neutráln´ı prvek grupy G. Necht’ k1 , k2 ∈ K, l1 , l2 ∈ L. Potom pro souˇcin prvk˚ u k1 l1 a k2 l2 plat´ı, ˇze k1 l1 k2 l2 = k1 l1 l2

l2−1 k2 l2 | {z }

∈ KL

∈L, nebot’ LEG

|

{z

∈L

}

Nyn´ı zb´ yvá ukázat, ˇze inverzn´ı prvek prvku k1 l1 je také prvkem KL: (k1 l1 )−1 = l1−1 k1−1 = k1−1

k1 l1 k1−1 | {z }

∈ KL.

∈L, nebot’ LEG

Dostáváme tedy, ˇze KL je podgrupa grupy G.

Vˇ eta 3.1.4. Necht’ P je p-Sylowská podgrupa grupy G. Jestliˇze Q je p-podgrupa grupy G, pak plat´ı, ˇze Q ∩ NG (P ) = Q ∩ P . D˚ ukaz. Oznaˇcme si K = Q ∩ NG (P ) a pm ˇra´d P . Postupnˇe ukáˇzeme obˇe inkluze. ⊇“ Protoˇze plat´ı, ˇze P ≤ NG (P ), dostáváme, ˇze Q ∩ P ≤ K. ” ⊆“ Jistˇe je K ≤ Q, takˇze je jeˇstˇe tˇreba ukázat, ˇze K ≤ P . Protoˇze K ≤ NG (P ) a P je ” normáln´ı podgrupou grupy NG (P ), P K je podle lemmatu 3.1.3 podgrupa grupy NG (P ), a tedy i G. Z lemmatu 3.1.2 v´ıme, ˇze plat´ı |P K| =

|P ||K| . |P ∩ K|

Protoˇze vˇsechna ˇc´ısla v tomto zlomku jsou mocniny prvoˇc´ısla p, je i P K p-podgrupa. Protoˇze P je podgrupou P K, mus´ı platit, ˇze pm | |P K|. Ale to je nejvyˇsˇs´ı mocnina p, která dˇel´ı ˇrád grupy G, tedy P K = P . Z toho dostáváme, ˇze K ≤ P .

34

Vˇ eta 3.1.5. (Sylow) Necht’ G je grupa a necht’ |G| = pe m, kde p je prvoˇc´ıslo, e ∈ N ∪ {0}, m ∈ N a plat´ı p - m. Pak existuje podgrupa grupy G ˇrádu pe . D˚ ukaz. K d˚ ukazu této vˇety vyuˇzijeme matematickou indukci vzhledem k ˇra´du grupy G. 1. Je vidˇet, ˇze pro |G| = 1 vˇeta plat´ı. 2. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze n > 1 a ˇze pro kaˇzdou grupu H takovou, ˇze |H| ≤ n − 1, byla vˇeta dokázána, a dokaˇzme ji pro libovolnou grupu ˇra´du n. Pokud p - n, vˇeta zˇrejmˇe plat´ı. Pˇredpokládejme tedy, ˇze p | n. Jestliˇze p | |Z(G)|, pak z vˇety 1.1.23 plyne, ˇze v centru se nacház´ı podgrupa o p prvc´ıch. Oznaˇcme ji K a faktorgrupu G/K symbolem G. Jistˇe plat´ı, ˇze |G| = pe−1 m. Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu má G podgrupu P o pe−1 prvc´ıch. Oznaˇcme P = {a ∈ G | aK ∈ P }, aby K E P a P = P/K. Pak P má |P/K| · |K| = pe prvk˚ u. Je to tedy hledaná p-Sylowská podgrupa grupy G. Rozeberme jeˇstˇe pˇr´ıpad, kdy p - |Z(G)|. Necht’ prvky g1 , . . . , gs jsou reprezentanti tˇr´ıd konjugovanosti, které nejsou obsaˇzeny v centru. Rovnice tˇr´ıd rozkladu vypadá následovnˇe: s X |G| = |Z(G)| + |G/CG (gi )|. i=1

Pokud by indexy vˇsech centralizér˚ u byly dˇelitelné prvoˇc´ıslem p, muselo by p dˇelit i poˇcet prvk˚ u centra, coˇz by byl spor s naˇs´ım pˇredpokladem. Z toho tedy vypl´ yvá, ˇze existuje i takové, ˇze |G/CG (gi )| nen´ı dˇeliteln´ y p. Tento centralizér si oznaˇcme K = CG (gi ). Protoˇze gi 6∈ Z(G), plat´ı, ˇze K 6= G, a tedy |K| = pe k < |G|. Podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu v´ıme, ˇze K má p-Sylowskou podgrupu, která je zároveˇ n i p-Sylowskou podgrupou grupy G.

Vˇ eta 3.1.6. (Sylow) Necht’ G je grupa a necht’ |G| = pe m, kde p je prvoˇc´ıslo, e, m ∈ N a plat´ı p - m. Dále necht’ P je p-Sylowská podgrupa grupy G a K je p-podgrupa. Pak K je obsaˇzena v nˇekteré podgrupˇe konjugované s P , tj. ∃g ∈ G takové, ˇze K ≤ gP g −1 . D˚ ukaz. Oznaˇcme si A mnoˇzinu vˇsech lev´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd G podle P . Nyn´ı uvaˇzme p˚ usoben´ı K na A násoben´ım zleva. Z Lagrangeovy vˇety plyne, ˇze prvoˇc´ıslo p nedˇel´ı |A| (nebot’ P je p-Sylowská), a z lemmatu 1.1.20 dostáváme, ˇze existuje prvek g ∈ G takov´ y, ˇze gP z˚ ustává pˇri p˚ usoben´ı libovoln´ ym k ∈ K na m´ıstˇe. To znamená, ˇze pro libovolné k ∈ K plat´ı rovnost kgP = gP , coˇz je ekvivalentn´ı s t´ım, ˇze g −1 kg ∈ P . Tud´ıˇz g −1 Kg ≤ P , coˇz je to samé jako K ≤ gP g −1 .

35

D˚ usledek 3.1.7. Kaˇzdé dvˇe p-Sylowské podgrupy jsou konjugované. D˚ ukaz. Plyne okamˇzitˇe z pˇrechoz´ı vˇety.

Vˇ eta 3.1.8. (Sylow) Necht’ G je grupa a necht’ |G| = pe m, kde p je prvoˇc´ıslo, e ∈ N a plat´ı p - m. Dále necht’ P je p-Sylowská podgrupa grupy G. Pak pro np (G) (poˇcet p-Sylowských podgrup) plat´ı, ˇze np (G) = |G/NG (P )|, np (G) | m, np (G) ≡ 1 (mod p).

D˚ ukaz. Uvaˇzme akci grupy G na mnoˇzinˇe p-Sylowsk´ ych podgrup pomoc´ı konjugovanosti. Ta je podle d˚ usledku 3.1.7 tranzitivn´ı. Tedy poˇcet jej´ıch prvk˚ u je poˇctem prvk˚ u orbity, tj. je indexem stabilizátoru. Stabilizátorem pˇri této akci je NG (P ). Dostáváme, ˇze np (G) = |G/NG (P )|. Dále v´ıme, ˇze kaˇzdá podgrupa konjugovaná s p-Sylowskou je opˇet p-Sylowská tedy m˚ uˇzeme uvaˇzovat p˚ usoben´ı podgrupy P na mnoˇzinu vˇsech p-Sylowsk´ ych podgrup pomoc´ı konjugovanosti. Ukaˇzme, ˇze poˇcet podgrup, které z˚ ustanou pˇri této akci na m´ıstˇe, je roven právˇe jedné. Jestliˇze Q je p-Sylowská podgrupa, kterou nechává P na m´ıstˇe, pak pro kaˇzdé p ∈ P a kaˇzdé q ∈ Q plat´ı, ˇze pqp−1 ∈ Q. Potom dostáváme jako v lemmatu 3.1.3, ˇze p1 q1 p2 q2 = p1 q1 q2 q2−1 p2 q2 ∈ P Q, | {z } ∈Q | {z } ∈Q

−1 −1 (p1 q1 )−1 = q1−1 p−1 1 = p1 p1 q1 p1 ∈ P Q, | {z } ∈Q

tedy P Q je podgrupou grupy G. Podle lemmatu 3.1.2 je P Q dokonce p-podgrupou, a tedy |P Q| = pe . Protoˇze P ⊆ P Q, Q ⊆ P Q a |P | = |Q| = pe , dostáváme, ˇze P = Q = P Q. Tedy dle vˇety 1.1.20 np (G) ≡ 1 (mod p). Protoˇze plat´ı, ˇze (np (G), p) = 1 a np (G) | |G|, dostáváme, ˇze np (G) | m.

D˚ usledek 3.1.9. Necht’ G je grupa a necht’ |G| = pe m, kde p je prvoˇc´ıslo a plat´ı p - m. Pak následuj´ıc´ı ˇctyˇri podm´ınky jsou ekvivalentn´ı: 1. np (G) = 1, 2. P je normáln´ı podgrupa grupy G, 36

3. P je charakteristická podgrupa grupy G, 4. pokud X ⊆ G taková, ˇze kaˇzdé x ∈ X je ˇrádu pa , pro 0 ≤ a ≤ e, pak podgrupa generovaná touto podmnoˇzinou je p-podgrupa grupy G. D˚ ukaz. 2 ⇒ 1“ Necht’ P E G. Pokud K je p-Sylowská, mus´ı dle d˚ usledku 3.1.7 platit, ˇze ” −1 pro vhodné g ∈ G je K = gP g . Protoˇze P je normáln´ı, je invariantn´ı v˚ uˇci vˇsem vnitˇrn´ım automorfism˚ um, tedy K = P . T´ım jme dostali, ˇze P je jediná p-Sylowská podgrupa pro prvoˇc´ıslo p. 1 ⇒ 3“ Plyne z vˇety 2.2.4. ” 3 ⇒ 2“ Charakteristické podgrupy jsou nutnˇe normáln´ı. ” 1 ⇒ 4“ Podle vˇety 3.1.6 v´ıme, ˇze pro kaˇzdé x ∈ X plat´ı, ˇze hxi ⊆ gP g −1 pro vhodné ” g ∈ G. Podle pˇredpokladu gP g −1 = P , a tedy x ∈ P , proto hXi ≤ P , tedy hXi je p-podgrupa. 4 ⇒ 1“ Uvaˇzme jako X mnoˇzinu, která je dána sjednocen´ım vˇsech p-Sylowsk´ ych ” podgrup. Ale protoˇze P je p-podgrupa nejvyˇsˇs´ıho moˇzného ˇra´du (je p-Sylowská) a hXi je p-podgrupa, která P obsahuje, mus´ı b´ yt hXi = P .

3.2

Vyuˇ zit´ı Sylowov´ ych vˇ et

V této ˇca´sti si ukáˇzeme nˇekteré vlastnosti koneˇcn´ ych grup, které vypl´ yvaj´ı ze Sylowov´ ych vˇet. Rozebereme, jak vypadaj´ı vˇsechny grupy ˇra´du 9 a 18. V dalˇs´ım pˇr´ıkladu spoˇc´ıtáme poˇcet p-Sylowsk´ ych podgrup grupy Sp , pod´ıváme se podrobnˇeji na grupy ˇrádu pq, kde p, q jsou prvoˇc´ısla. Na závˇer ukáˇzeme, ˇze grupa ˇra´du 30 má normáln´ı cyklickou podgrupu ˇra´du 15. Pˇ r´ıklad 3.2.1. Necht’ G je grupa a necht’ |G| = 9. Protoˇze G je p-grupa pro p = 3, má G podle vˇety 1.3.13 netriviáln´ı centrum. M˚ uˇze tedy nastat jedna z následuj´ıc´ıch moˇznost´ı. Bud’ má Z(G) ˇra´d 9 a celá grupa je tedy komutativn´ı, nebo je Z(G) = 3. Pak by existoval prvek a ∈ G ˇra´du 3 takov´ y, ˇze neleˇz´ı v centru. Uvaˇzme podgrupu generovanou t´ımto prvkem. Podgrupa hai má s centrem triviáln´ı pr˚ unik, a protoˇze prvky podgrupy hai komutuj´ı s prvky podgrupy Z(G), dostáváme tedy, ˇze G = Z(G) × hai. Protoˇze jak hai tak Z(G) jsou komutativn´ı grupy, je i jejich souˇcinem komutativn´ı grupa. Ale to je spor s t´ım, ˇze jsme pˇredpokládali, ˇze |Z(G)| = 3. Tedy grupa ˇrádu 9 je nutnˇe komutativn´ı.

Pˇ r´ıklad 3.2.2. Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na popis grup ˇra´du 18. Mˇejme tedy libovolnou grupu G tohoto ˇra´du. Protoˇze 18 = 2 · 32 , jsou v G pouze 2-Sylowské a 3-Sylowské podgrupy. V´ıme, ˇze n3 (G) ≡ 1 (mod 3) a nav´ıc mus´ı n3 (G) | 2. Z toho dostáváme, ˇze v G je právˇe jedna 37

3-Sylowská podgrupa. Protoˇze 2-Sylowské podgupy jistˇe nejsou podgrupami 3-Sylowsk´ ych, je sjednocen´ım 3-Sylowské a libovolné 2-Sylowské podgrupy generovaná celá grupa G. Oznaˇcme si H2 2-Sylowskou podgrupu generovanou prvkem a ∈ G ˇra´du 2. Nyn´ı mohou nastat dva pˇr´ıpady. Bud’ bude 3-Sylowská podgrupa H3 grupy G generovaná prvkem b ˇra´du 9, nebo dvˇema prvky b1 , b2 ˇra´du 3. Protoˇze |G/H3 | = 2, plat´ı podle vˇety 1.2.7, ˇze H3 C G. 1. Necht’ je H3 generovaná prvkem b ˇra´du 9. Z toho z´ıskáváme, ˇze aba−1 = bi , kde i ∈ {1, . . . 8}. Z d˚ usledku 1.3.6 dostáváme, ˇze ˇra´d aba−1 je stejn´ y jako ˇra´d b, takˇze pˇricházej´ı v u ´vahu jen ˇc´ısla 1, 2, 4, 5, 7, 8. Pokud je i = 1, pak G je komutativn´ı, ∼ a tedy G = Z2 × Z9 . Pˇredpokládejme dále, ˇze i 6= 1. Ze vztahu aba−1 = bi z´ıskáváme, ˇze ab = bi a. Odtud indukc´ı dostaneme, ˇze pro libovolnou mocninu b plat´ı, ˇze ab−ij = b−j a. Uvaˇzme prvek b−1 ab. Ten je podle d˚ usledku 1.3.6 ˇra´du 2. Tento prvek b−1 ab se dá jistˇe zapsat v následuj´ıc´ım tvaru: b−1 ab = b−1 bi a = bi−1 a. Tedy mus´ı platit, ˇze 1 = (b−1 ab)2 = bi−1 abi−1 a = bi−1 bi(i−1) aa = bi

2 −1

a2 = b i

2 −1

.

2 Protoˇze bi −1 = 1, mus´ı b´ yt ˇc´ıslo i2 − 1 dˇelitelné 9 (nebot’ b je ˇra´du 9). Z naˇsich kandidát˚ u na i má tuto vlastnost pouze 8. Tedy konjugovanost v této grupˇe bude dána vztahem a−1 ba = b8 . Grupa tohoto tvaru skuteˇcnˇe existuje a je j´ı napˇr´ıklad P ≤ S9 generovaná permutaceni σ = (1 2 3 4 5 6 7 8 9) a ρ = (1 2)◦(3 9)◦(4 8)◦(5 7), tj. je to grupa D9 (grupa symetri´ı pravidelného dev´ıti´ uheln´ıku).

2. Uvaˇzme H3 takovou, ˇze je generována dvˇema prvky b1 , b2 ˇra´du 3. Protoˇze H3 je normáln´ı, pro prvky b1 , b2 plat´ı, ˇze ab1 a−1 = bi1 bj2 , ab2 a−1 = bk1 bl2 , kde 0 ≤ i, j, k, l < 3. Je-li j 6= 0 resp. k 6= 0, je H3 generovaná prvky b1 , ab1 a−1 , resp. b2 , ab2 a−1 . Oznaˇcme si c1 = b1 b2 Pokud je j = 0 a k = 0, nastává jedna z následuj´ıc´ıch ˇctyˇr situac´ı: (a) i = l = 1: Pak dostáváme, ˇze ab1 a−1 = b1 , ab2 a−1 = b2 , tj. G je komutativn´ı, tedy G ∼ = Z2 × Z3 × Z3 .

38

(b) i = 1, l = 2: Potom konjugované prvky vypadaj´ı následovnˇe: ab1 a−1 = b1 , ab2 a−1 = = b22 = b−1 2 . Prvek b1 je tedy prvkem centra grupy G. Nav´ıc prvky a, b2 generuj´ı podgrupu izomorfn´ı s grupou S3 . Grupa G je tedy izomorfn´ı s grupou Z3 × S3 . (c) i = 2, l = 1: Dostáváme stejn´ y v´ ysledek jako v (b). (d) i = 2, l = 2: Dosazen´ım z´ıskáme, ˇze ab1 a−1 = = b21 = b−1 1 , −1 2 −1 ab2 a = b2 = b2 . Grupa G je v tomto pˇr´ıpadˇe izomorfn´ı s grupou K generovanou permutacemi ρ = (2 3) ◦ (4 5), τ = (1 2 3), σ = (4 5 6). Z vˇety 1.3.18 plyne, ˇze prvky z K jsou konjugované poˇzadovan´ ym zp˚ usobem. Pod´ıvejme se na pˇr´ıpad, kdy j 6= 0. Pokud poloˇz´ıme c1 = b1 a c2 = bi1 bj2 dostáváme, ˇze ac1 a−1 = c2 , ac2 a−1 = c1 . Oznaˇcme d1 = c1 c2 a d2 = c1 c−1 2 . Potom ad1 a−1 = ac1 c2 a−1 = ac1 a−1 ac2 a−1 = c2 c1 . Protoˇze H3 je komutativn´ı, plat´ı, ˇze c2 c1 = c1 c2 = d 1 . Nyn´ı se jeˇstˇe pod´ıvejme na to, jak budou vypadat prvky konjugované s prvkem d2 : −1 −1 ad2 a−1 = ac1 c−1 = ac1 a−1 ac−1 = c2 c−1 2 a 2 a 1 .

Na tomto m´ıstˇe opˇet vyuˇzijeme toho, ˇze H3 je komutativn´ı, a dostáváme, ˇze −1 −1 −1 c2 c−1 = d−1 1 = c1 c2 = (c2 c1 ) 2 .

Z´ıskáváme tedy stejn´ y pˇr´ıpad jako ve (2b). Pˇ r´ıklad 3.2.3. Necht’ p je prvoˇc´ıslo. Urˇc´ıme poˇcet p-Sylowsk´ ych podgrup grupy Sp . V´ıme, ˇze nejvyˇsˇs´ı mocninou p, která dˇel´ı ˇrád této grupy, je samo p. To znamená, ˇze p-Sylowsk´ ymi podgrupami budou právˇe cyklické podgrupy generované cyklem délky p. Cykl˚ u délky p je celkem p!p = (p − 1)!. Do kaˇzdé pogrupy generované p-cyklem σ bude kromˇe identity patˇrit jeˇstˇe (p − 1) r˚ uzn´ ych mocnin σ. Kaˇzdá z nich generuje tuto p-Sylowskou podgrupu, a proto r˚ uzné p-Sylowské podgrupy maj´ı triviáln´ı pr˚ unik. Dostáváme tedy, ˇze p-Sylowsk´ ych podgrup Sp je (p−1)! = (p − 2)!. p−1 39

Pˇ r´ıklad 3.2.4. Mˇejme koneˇcnou grupu |G| ˇra´du pq, kde p, q jsou r˚ uzná prvoˇc´ısla taková, ˇze p < q a p - q − 1. Oznaˇcme si P p-Sylowskou pogrupu grupy G a Q q-Sylowskou. Ukáˇzeme, ˇze G je cyklická grupa. Vzhledem k tomu, ˇze P i Q jsou prvoˇc´ıselného ˇra´du, jsou obˇe dvˇe cyklické. Necht’ tedy P = hxi a Q = hyi. Z vˇety 3.1.8 a z d˚ usledku 3.1.9 plyne, ˇze P je normáln´ı podgrupa grupy G. Z vˇety 2.1.1 v´ıme, ˇze G/CG (P ) je izomorfn´ı s vhodnou podgrupou grupy automorfism˚ u ˇ ad Aut(Zp ) je podle vˇety 2.1.7 roven ˇc´ıslu p − 1. Ale p − 1 nen´ı dˇelitelné ani p ani Zp . R´ q. Z toho dostáváme, ˇze G = CG (P ), coˇz znamená, ˇze P je podgrupou centra grupy G. Tedy prvky x a y spolu jistˇe komutuj´ı, a tedy hx, yi ∼ = hxi × hyi ∼ = G je komutativn´ı. Proto prvek xy má ˇrád pq a je tedy generátorem grupy G, tj. G ∼ = Zpq .

Pˇ r´ıklad 3.2.5. Necht’ |G| = 30. Ukáˇzeme, ˇze tato grupa mus´ı m´ıt normáln´ı cyklickou podgrupu ˇra´du 15. Pod´ıvejme se, proˇc taková podgrupa existuje. Oznaˇcme si H3 3-Sylowskou podgrupu a H5 5-Sylowskou podgrupu grupy G (ty podle vˇety 3.1.5 existuj´ı). Pokud je alespoˇ n jedna z tˇechto dvou podgrup normáln´ı, je H3 H5 hledanou podgrupu ˇra´du 15. Ukaˇzme sporem, ˇze alespoˇ n jedna z tˇechto podgrup normáln´ı je. Pˇredpokládejme, ˇze ani H3 ani H5 nen´ı normáln´ı pogrupa grupy G. To znamená, ˇze existuj´ı dalˇs´ı 5-Sylowské a 3-Sylowské podgrupy grupy G. Podle vˇety 3.1.8 je n5 (G) = 6 a n3 (G) = 10. Vˇsechny prvky ˇra´du 5 leˇz´ı v nˇekteré z 5-Sylowsk´ ych podgrup. Taková podgrupa tedy kromˇe neutráln´ıho prvku obsahuje jeˇstˇe ˇctyˇri prvky ˇra´du 5. Protoˇze kaˇzdé dvˇe 5-Sylowské podgrupy maj´ı triviáln´ı pr˚ unik, máme celkem 4 · 6 = 24 prvk˚ u ˇra´du 5. Stejnˇe tak dostáváme, ˇze v kaˇzdé 3-Sylowské podgrupˇe kromˇe neutráln´ıho dva prvky ˇrádu 3, tj. existuje 10 · 2 = 20 prvk˚ u ˇra´du 2. Celkem tedy dostáváme 20 + 24 = 44 prvk˚ u a to je spor s t´ım, ˇze |G| = 30. Protoˇze 15 = 3 · 5, bude podle pˇr´ıkladu 3.2.4 H3 H5 cyklická. A podle vˇety 1.2.7 je H3 H5 normáln´ı.

40

Kapitola 4 Grupy symetri´ı a alternuj´ıc´ı grupy V této kapitole rozˇs´ıˇr´ıme naˇse znalosti o grupách symetri´ı a alternuj´ıc´ıch grupách. V prvn´ı ˇca´sti, která pojednává o alteruj´ıc´ıch grupách, definujeme pojem jednoduché grupy a dokáˇzeme, ˇze grupy sud´ ych permutac´ı jsou pro n ≥ 5 jednoduché. V dalˇs´ı ˇca´sti se budeme jiˇz zab´ yvat grupami symetri´ı. Nejprve se bl´ıˇze pod´ıváme na grupu automorfism˚ u grupy Sn . V posledn´ı ˇcásti této kapitoly zavedeme pojmy polopˇr´ım´ y a kruhov´ y souˇcin a podrobnˇeji se pod´ıváme, jak vypadaj´ı prvky centralizéru permutace σ ∈ Sn . Na závˇer dokáˇzeme, ˇze centralizér permutace σ je izomorfn´ı s kruhov´ ym souˇcinem Zk o Sm pro vhodná k, m ∈ N.

4.1

Alternuj´ıc´ı grupy

Definice 4.1.1. Necht’ n ∈ N. Alternuj´ıc´ı grupou An naz´ yváme podgrupu vˇsech sud´ ych permutac´ı na n-prvkové mnoˇzinˇe.

Vˇ eta 4.1.2. Necht’ n ∈ N. Pak An je generovaná vˇsemi cykly délky tˇri. D˚ ukaz. Grupa An je generovaná prvky, které vznikly jako souˇcin dvou r˚ uzn´ ych transpozic. Tyto dvojice transpozic jsou bud’ tvaru (a b)(a c) nebo (a b)(c d). V prvn´ım pˇr´ıpadˇe z´ıskáváme cyklus délky tˇri. Pokud jsou a, b, c, d navzájem r˚ uzné, pak (a b)(c d) m˚ uˇzeme zapsat jako souˇcin dvou cykl˚ u délky tˇri, tj. (a b)(c d) = (c a d)(a b c).

Vˇ eta 4.1.3. Necht’ n ≥ 5. Pak je grupa An generovaná vˇsemi permutacemi, které maj´ı tvar cykl˚ u 1, . . . , 1, 2, 2.

41

D˚ ukaz. Z pˇredchoz´ı vˇety v´ıme, ˇze libovolnou permutaci m˚ uˇzeme zapsat jako souˇcin cykl˚ u délky tˇri. Necht’ tedy (a b c) je libovoln´ y cyklus délky tˇri. Protoˇze n ≥ 5, pak jistˇe existuj´ı d, e takové, ˇze d 6= e a {d, e} ∩ {a, b, c} = ∅. Pak (a b c) = (a c)(d e)(d e)(a b). Tedy (a b c) m˚ uˇzeme zapsat jako souˇcin dvou permutac´ı s tvarem cykl˚ u 1, . . . , 1, 2, 2.

ˇ Definice 4.1.4. Necht’ G je koneˇcná grupa. Rekneme, ˇze grupa G je jednoduchá, jestliˇze je netriviáln´ı a nemá ˇza´dnou jinou normáln´ı podgrupu kromˇe triviáln´ı podgrupy a G. ´ Prvn´ım, kdo se zab´ yval studiem jednoduch´ ych grup, byl Evariste Galois (1811-1832). Ten roku 1830 ukázal, ˇze alternuj´ıc´ı grupy An pro n ≥ 5 jsou jednoduché. Vˇ eta 4.1.5. Necht’ n ∈ N, n ≥ 5. Pak An je jednoduchá. D˚ ukaz. Toto tvrzen´ı dokáˇzeme indukc´ı vzhledem k n. 1. Necht’ n = 5. Pod´ıvejme se nejdˇr´ıve, jak vypadaj´ı tˇr´ıdy konjugovanosti v A5 . Sudé permutace na 5-prvkové mnoˇzinˇe maj´ı tvary cykl˚ u a reprezentanty tˇechto tvar˚ u v následuj´ıc´ı tabulce: tvar 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 3 1, 2, 2 5

reprezentant tvaru id (1 2 3) (1 2)(3 4) (1 2 3 4 5)

V A5 je CA5 ((1 2 3)) = h(1 2 3)i a CA5 ((1 2 3 4 5)) = h(1 2 3 4 5)i. Protoˇze |A5 /CA5 ((1 2 3))| = 20 a v A5 existuje 20 cykl˚ u délky 3, jsou vˇsechny v A5 konjugované. Pro cykly délky 5 plat´ı, ˇze |A5 /CA5 (1 2 3 4 5)| = 12. Jenˇze v A5 je jich celkem 24. Tedy cykly délky 5 leˇz´ı ve dvou tˇr´ıdách konjugovanosti, z nichˇz kaˇzdá má 12 prvk˚ u. Pro prvky, které maj´ı tvar cykl˚ u 1, 2, 2, plat´ı, ˇze |CA5 ((1 2)(3 4))| = 4. Tedy (1 2)(3 4) je konjugovan´ y s patnácti prvky. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze v A5 existuje netriviáln´ı normáln´ı podgrupa r˚ uzná od A5 . Podle vˇety 1.3.4 je poˇcet prvk˚ u této normáln´ı podgrupy roven souˇctu ˇc´ısla 1 s nˇekter´ ymi z ˇc´ısel 12, 12, 15, 20. Tento souˇcet mus´ı b´ yt dˇelitelem ˇc´ısla 60. Tˇemto podm´ınkám vyhovuj´ı pouze ˇc´ısla 1 a 60, coˇz je spor s t´ım, ˇze jsme pˇredpokládali, ˇze tato normáln´ı podgrupa je netriviáln´ı a r˚ uzná od A5 .

42

2. Necht’ n ≥ 6. Pˇredpokládejme, ˇze jiˇz byla dokázána jednoduchost grupy An−1 . Dále pˇredpokládejme, ˇze existuje netriviáln´ı normáln´ı podgrupa H grupy An r˚ uzná od An . ∼ Oznaˇcme Gi stabilizátor prvku i ∈ {1, 2, . . . , n}. Protoˇze Gi = An−1 , je Gi podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu jednoduchá grupa. Pˇredpokládejme, ˇze existuje prvek ρ ∈ H, ρ 6= 1 takov´ y, ˇze nechává na m´ıstˇe prvek i ∈ {1, 2, . . . , n}, tzn. ρ ∈ Gi ∩H. Protoˇze H ∩ Gi E Gi a Gi je jednoduchá, plat´ı, ˇze H ∩ Gi = Gi , tzn. Gi je podgrupou grupy H. Dále pro kaˇzdé j ∈ {1, . . . , n} existuje v An permutace τ splˇ nuj´ıc´ı τ (i) = j. Pak −1 −1 Gj = τ Gi τ ≤ τ Hτ = H, nebot’ H je normáln´ı. Plat´ı tedy, ˇze G1 ∪ . . . ∪ Gn ≤ H. Kaˇzdé σ ∈ An lze podle vˇety 4.1.2 psát ve tvaru σ = σ1 σ2 . . . σs , kde kaˇzdé σj je cyklus délky 3. Protoˇze n > 4, bude σj prvkem stabilizátoru Gi pro vhodné j, tedy An = hG1 ∪ . . . ∪ Gn i ≤ H. To je spor s t´ım, ˇze H 6= An . Dokázali jsme, ˇze ˇza´dn´ y neidentick´ y prvek ρ ∈ H nenechává na m´ıstˇe ˇzádné i ∈ {1, . . . n}. Z toho dostáváme, ˇze pokud ρ1 , ρ2 ∈ H takové, ˇze ρ1 (i) = ρ2 (i) pro nˇejaké i ∈ {1, . . . , n},

(4.1)

pak ρ1 = ρ2 , protoˇze plat´ı, ˇze ρ−1 redpokládejme tedy, ˇze existuje ρ ∈ H, 2 ρ1 (i) = i. Pˇ které má v rozkladu na nezávislé cykly alespoˇ n jeden cyklus délky alespoˇ n 3, tj. ρ = (r1 r2 r3 . . .)(s1 s2 . . .) . . . Necht’ pro ψ ∈ An plat´ı, ˇze ψ(r1 ) = r1 , ψ(r2 ) = r2 , ψ(r3 ) 6= r3 .

Z vˇety 1.3.18 dostáváme, ˇze ρ = ψρψ −1 = (r1 r2 ψ(r3 ) . . .)(ψ(s1 ) ψ(s2 ) . . .) . . . Prvky ρ a ρ jsou navzájem r˚ uzné a plat´ı, ˇze ρ(r1 ) = ρ(r1 ) = r2 . Ale to je spor s 4.1. To znamená, ˇze v rozkladu prvk˚ u z H na nezávislé cykly se mohou vyskytovat pouze transpozice. Mˇejme neidentick´ y prvek ω ∈ H ve tvaru ω = (a1 a2 )(a3 a4 )(a5 a6 ) . . .. Necht’ µ = (a1 a2 )(a3 a5 ) ∈ An . Potom plat´ı, ˇze ω = µωµ−1 = (a1 a2 )(a5 a4 )(a3 a6 ) . . . 43

Vˇsimnˇeme si, ˇze ω a ω jsou r˚ uzné prvky z H, ale plat´ı pro nˇe rovnost ω(a1 ) = ω(a1 ) = a2 . Na tomto m´ıstˇe dostáváme spor s 4.1. Nyn´ı necht’ ω ∈ H je prvek tvaru ω = (a1 a2 )(a3 a4 ). Pak dostáváme, ˇze ω = µωµ−1 = (a1 a2 )(a3 a5 )(a1 a2 )(a3 a4 )(a1 a2 )(a3 a5 ) = (a1 a2 )(a4 a5 ), a to je opˇet spor s 4.1. Tedy v An neexistuje ˇza´dná netriviáln´ı normáln´ı podgrupa menˇs´ı neˇz An .

4.2 4.2.1

Grupy symetri´ı Automorfismy grupy symetri´ı

Vˇ eta 4.2.1. Necht’ n ∈ N takové, ˇze n ≥ 2 a n 6= 6. Pak kaˇzdý automorfismus Sn je vnitˇrn´ı. D˚ ukaz. Oznaˇcme si Cσ tˇr´ıdu konjugovanosti prvku σ. Necht’ τ ∈ Cσ je tvaru ρ−1 σρ, kde ρ ∈ Sn . Pak pro libovoln´ y automorfismus Ψ ∈ Aut(Sn ) plat´ı, ˇze Ψ(τ ) = Ψ(ρ−1 σρ) = Ψ−1 (ρ)Ψ(σ)Ψ(ρ), coˇz je prvek konjugovan´ y s prvkem Ψ(σ). Tedy libovoln´ y automorfismus grupy Sn zobraz´ı tˇr´ıdu konjugovanosti na tˇr´ıdu konjugovanosti. Oznaˇcme si T tˇr´ıdu konjugovanosti vˇsech transpozic (ta podle vˇety 1.3.23 obsahuje . Nyn´ı uvaˇzme tˇr´ıdu konjugovanosti právˇe transpozice). Snadno spoˇc´ıtáme, ˇze |T | = n(n−1) 2 prvku µ ∈ Sn ˇra´du 2 takového, ˇze je sloˇzen´ım k nezávisl´ ych transpozic, kde k 6= 1. Tu n(n−1)...(n−2k+1) oznaˇcme M. Poˇcet prvk˚ u M je . k!2k Pˇredpokládejme, ˇze existuje automorfismus, kter´ y zobraz´ı T na M. Pak by musela platit rovnost n(n − 1) n(n − 1) . . . (n − 2k + 1) = . 2 k!2k Tato rovnost je splnˇena pouze v pˇr´ıpadˇe, kdy n = 6 a k = 3, coˇz vede ke sporu s pˇredpokladem, ˇze n 6= 6. Pro n 6= 2 a k > 1 nemá rovnice ˇreˇsen´ı. Tedy libovoln´ y automorfismus zobraz´ı transpozici na transpozici. 44

Ukaˇzme si, ˇze libovoln´ y automorfismus Ψ mus´ı platit, ˇze Ψ(1 2) = (a1 a2 ), Ψ(1 3) = (a1 a3 ), . . . , Ψ(1 n) = (a1 an ), kde a1 , . . . , an jsou navzájem r˚ uzné. Skuteˇcnˇe, (1 2)(1 3) je prvek ˇra´du 3, proto i tranzpozice Ψ(1 2), Ψ(1 3) maj´ı spoleˇcn´ y prvek. Prvek (1 2)(1 3)(1 4) má ˇrád 4, proto i sloˇzen´ım transpozic Ψ(1 2), Ψ(1 3), Ψ(1 4) dostaneme prvek ˇrádu 4, atd. Automorfismus Ψ je tedy urˇcen t´ım, na které transpozice zobraz´ı prvky (1 2), . . . , (1 n). Tyto obrazy jsou urˇceny zobrazen´ım i 7→ ai , coˇz je permutace mnoˇziny {1, . . . , n}. Existuje tedy nejv´ yˇse n! r˚ uzn´ ych automorfism˚ u grupy Sn : | Aut(Sn )| ≤ n!. Na druhou stranu podle pˇr´ıkladu 2.2.8 je Inn(Sn ) = n!. Z inkluze Inn(Sn ) ⊆ Aut(Sn ) plyne rovnost Inn(Sn ) = Aut(Sn ).

Pozn´ amka 4.2.2. Pro n = 6 v´ yˇse uvedená vˇeta neplat´ı. Existuje zobrazen´ı, které zobraz´ı transpozice na permutace s tvarem cykl˚ u 2, 2, 2. Toto zobrazen´ı je dáno následuj´ıc´ım pˇredpisem: Ψ(1 Ψ(2 Ψ(3 Ψ(4 Ψ(5

2) 3) 4) 5) 6)

= = = = =

(1 (1 (1 (1 (1

2)(3 4)(2 3)(2 2)(3 4)(2

4)(5 5)(3 4)(5 6)(4 3)(5

6), 6), 6), 5), 6).

Ukázat, ˇze toto zobrazen´ı je skuteˇcnˇe automorfismem, pˇresahuje rámec této práce. Proto si dovol´ıme ˇctenáˇre odkázat na [4] (strana 219 pˇr´ıklad 5 a strana 221 cviˇcen´ı 10).

4.2.2

Struktura centraliz´ eru permutace

Vˇ eta 4.2.3. Necht’ G, H jsou grupy a necht’ H p˚ usob´ı na G tak, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı reprezentace je homomorfismus ϕ : H → Aut(G). Potom mnoˇzina vˇsech uspoˇrádaných dvojic (g, h) s operac´ı danou pˇredpisem (g1 , h1 )(g2 , h2 ) = (g1 (h1 · g2 ), h1 h2 ), ∀g1 , g2 ∈ G, ∀h1 , h2 ∈ H tvoˇr´ı grupu.

45

D˚ ukaz. Ovˇeˇr´ıme, ˇze v´ yˇse definovaná operace je asociativn´ı. Necht’ g1 , g2 , g3 ∈ G, h1 , h2 , h3 ∈ H, potom z vlastnost´ı akce grupy H na G a z vlastnost´ı grup G a H dostáváme: [(g1 , h1 )(g2 , h2 )](g3 , h3 ) = = = = = =

(g1 (h1 · g2 ), h1 h2 )(g3 , h3 ) = (g1 (h1 · g2 )((h1 h2 ) · g3 ), (h1 h2 )h3 ) = (g1 (h1 · g2 )(h1 · (h2 · g3 )), (h1 h2 )h3 ) = (g1 (h1 · (g2 (h2 · g3 ))), h1 (h2 h3 )) = (g1 , h1 )(g2 (h2 · g3 ), h2 h3 ) = (g1 , h1 )[(g2 , h2 )(g3 , h3 )]

Je zˇrejmé, ˇze indentick´ ym prvkem bude prvek (1, 1). Inverzn´ım prvkem k prvku (g, h) je −1 −1 −1 prvek (h · g , h ), protoˇze (g, h)(h−1 · g −1 , h−1 ) = = = =

(g(h · (h−1 · g −1 )), hh−1 ) (g((hh−1 ) · g −1 ), 1) = (gg −1 , 1) = (1, 1)

Analogicky ukáˇzeme, ˇze i (h−1 · g −1 , h−1 )(g, h) = (1, 1).

Definice 4.2.4. Grupu definovanou ve vˇetˇe 4.2.3 naz´ yváme polopˇr´ımý souˇcin grup G a H vzhledem k dané akci H na G a znaˇc´ıme G oϕ H, kde ϕ je reprezentace permutacemi odpov´ıdaj´ıc´ı akci H na G.

Definice 4.2.5. Necht’ H ≤ Sn , G grupa, Gn pˇr´ım´ y souˇcin n kopi´ı grupy G. Dále necht’ n H p˚ usob´ı na G jako permutace na indexech, tj. σ · (g1 , g2 , . . . , gn ) = (gσ(1) , gσ(2) , . . . , gσ(n) ), kde σ ∈ H, (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈ Gn , a necht’ ϕ je reprezentace permutacemi odpov´ıdaj´ıc´ı této akci H na Gn . Potom polopˇr´ım´ y n souˇcin G oϕ H naz´ yváme kruhovým souˇcinem grup G a H vzhledem k dané akci H na Gn a oznaˇcujeme G oϕ H.

Definice 4.2.6. Necht’ G je grupa a necht’ G p˚ usob´ı na mnoˇzinˇe A. Necht’ g ∈ G. Podmnoˇzina B mnoˇziny A se naz´ yvá g-invariantn´ı, jestliˇze pro kaˇzdé b ∈ B plat´ı, ˇze g · b ∈ B. Mnoˇzina B se naz´ yvá G-invariantn´ı, je-li g-invariantn´ı pro kaˇzdé g ∈ G.

46

Lemma 4.2.7. Necht’ n ∈ N, σ ∈ Sn s tvarem cykl˚ u s1 , s2 , . . . , sr a necht’ σ = (a11 a12 . . . a1s1 )(a21 a22 . . . a2s2 ) . . . (ar1 ar2 . . . arsr ) je rozklad σ na nezávislé cykly. Pak ρ ∈ Sn komutuje se σ právˇe tehdy, kdyˇz σ = (ρ(a11 ) ρ(a12 ) . . . ρ(a1s1 ))(ρ(a21 ) ρ(a22 ) . . . ρ(a2s2 )) . . . (ρ(ar1 ) ρ(ar2 ) . . . ρ(arsr )).

D˚ ukaz. Tvrzen´ı plyne pˇr´ımo z vˇety 1.3.18.

Lemma 4.2.8. Necht’ n ∈ N a necht’ σ ∈ Sn je tvaru σ = (a11 a12 . . . a1s1 )(a21 a22 . . . a2s2 ) . . . (ar1 ar2 . . . arsr ).

(4.2)

Pro kaˇzdé k, 1 ≤ k ≤ n, oznaˇcme Ωk mnoˇzinu vˇsech aij , které se v 4.2 vyskytuj´ı v cyklech délky k. Necht’ ρ ∈ Sn je libovolné. Dále necht’ ρk , resp. σk , je z´ uˇzen´ı ρ, resp. σ, na Ωk . Pak plat´ı, ˇze ρσ = σρ právˇe tehdy, kdyˇz pro kaˇzdé k = 1, . . . , n je Ωk ρ-invariantn´ı a plat´ı ρk σk = σk ρk . D˚ ukaz. ⇒“Podle lemmatu 4.2.7 plat´ı, ˇze ρ zobraz´ı kaˇzdé aij ∈ Ωk opˇet na prvek z Ωk , ” tedy Ωk je ρ-invariantn´ı. Pokud je ρ komutuje se σ, pak ρ a σ komutuj´ı i na jejich z´ uˇzen´ıch na Ωk . ⇐“ Protoˇze je Ωk ρ-invariantn´ı, existuje z´ uˇzen´ı ρk : Ωk → Ωk . Zˇrejmˇe je Ωk také ” σ-invariantn´ı. Protoˇze n [ Ωk = {1, . . . , n} k=1

a na kaˇzdé mnoˇzinˇe Ωk plat´ı ρk σk = σk ρk , plat´ı také ρσ = σρ.

Vˇ eta 4.2.9. Necht’ n ∈ N a necht’ σ ∈ Sn , která má rozklad na nezávislé cykly ve tvaru σ = (a11 a12 . . . a1s1 )(a21 a22 . . . a2s2 ) . . . (ar1 ar2 . . . arsr ). Oznaˇcme si Ωk mnoˇzinu vˇsech aij , které se objevuj´ı v vˇsech cyklech délky k v rozkladu σ, a σk z´ uˇzen´ı σ na Ωk . Potom CSn (σ) = CSΩ1 (σ1 ) × CSΩ2 (σ2 ) × . . . × CSΩn (σn ). D˚ ukaz. Uvˇedomme si, ˇze pro kaˇzd´ y prvek CSn (σ) podle lemmatu 4.2.8 plat´ı, ˇze je urˇcen t´ım, jak se chová na jednotliv´ ych z´ uˇzen´ıch. Okamˇzitˇe tedy dostáváme poˇzadované tvrzen´ı.

47

Pozn´ amka 4.2.10. D´ıky v´ yˇse uvedené vˇetˇe se pˇri popisu CSn (σ) m˚ uˇzeme omezit pouze na permutace, které maj´ı v rozkladu na nezávislé cykly pouze cykly délky k. Vˇ eta 4.2.11. Necht’ n ∈ N takové, ˇze n = mk, a necht’ σ ∈ Sn takové, ˇze σ = (a1,0 a1,1 . . . a1,k−1 )(a2,0 a2,1 . . . a2,k−1 ) . . . (am,0 am,1 . . . am,k−1 ). Potom CSn (σ) ∼ = Zk o Sm . D˚ ukaz. Necht’ σ = (a1,0 a1,1 . . . a1,k−1 )(a2,0 a2,1 . . . a2,k−1 ) . . . (am,0 am,1 . . . am,k−1 ) je rozklad σ ∈ Sn na nezávislé cykly. Oznaˇcme si A = {1, 2, . . . , m}. Dále necht’ ρ ∈ CSn (σ). Postupnˇe ukáˇzeme, na jak´ y prvek souˇcinu Zk o Sm se tato permutace zobraz´ı. Necht’ f je libovolné zobrazen´ı mnoˇziny A do Zk . Vˇsimnˇeme si, ˇze toto zobrazen´ı je jednoznaˇcnˇe urˇceno uspoˇrádanou m-tic´ı obraz˚ u prvk˚ u z A, tj. (f (1), f (2), . . . , f (m)). Tedy m uˇzeme chápat jako mnoˇzinu vˇsech zobrazen´ı A → Zk . Zk m˚ Nyn´ı se jiˇz pod´ıváme, jak vypadá námi hledané zobrazen´ı. Necht’ pro ρ plat´ı, ˇze ρ(ai,0 ) = ari ,si , kde i = 1, . . . , m. Oznaˇcme si ϕρ ∈ Sm permutaci takovou, ˇze ϕρ (i) = ri , a fρ : A → Zk urˇcené pˇredpisem fρ (ri ) = si . Pro kaˇzdé i ∈ A a p ∈ {0, 1, . . . , k − 1} plat´ı, ˇze ρ(ai,p ) = ρ(σ p (ai,0 )) = σ p (ρ(ai,0 )) = σ p (ari ,si ) = ari ,si +p ,

(4.3)

kde druh´ y index poˇc´ıtáme modulo k. Odtud plyne, ˇze pro i 6= j je ri 6= rj a tedy ϕg : A → A je injekce, a tedy i bijekce, tj. skuteˇcnˇe ϕρ ∈ Sm , A = {ri | i = 1, . . . , m} a fρ je definováno korektnˇe. Také odtud plyne, ˇze fρ a ϕρ urˇcuj´ı ρ jednoznaˇcnˇe. To m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt k tomu, ˇze sestroj´ıme zobrazen´ı Ψ : CSn (σ) → Zk o Sm , zadané pˇredpisem Ψ(ρ) = (fρ , ϕρ ). Nyn´ı ukáˇzeme, ˇze Ψ je homomorfismus. Pˇredpokládejme, ˇze pro prvky ρ, τ ∈ CSn (σ) plat´ı, ˇze pro vˇsechna 1 ≤ i ≤ m je ρ(ai,0 ) = ari ,si , τ (ari ,0 ) = aji ,ti . Potom d´ıky platnosti 4.3 plat´ı, ˇze (τ ◦ ρ)(ai,0 ) = = = = = = 48

τ (ρ(ai,0 )) = τ (ari ,si ) = τ (σ si (ari ,0 )) = σ si (τ (ari ,0 )) = σ si (aji ,ti ) = σ si +ti (aji ,0 ).

Dostáváme tedy, ˇze fρ = (s1 , . . . , sm ), ). , . . . , tϕ−1 fτ = (tϕ−1 ρ (m) ρ (1) Prvek ϕρ p˚ usob´ı na fτ následuj´ıc´ım zp˚ usobem )= , . . . , tϕρ ◦ϕ−1 ϕρ · fτ = (tϕρ ◦ϕ−1 ρ (m) ρ (1) = (t1 , . . . , tm ). Dále plat´ı, ˇze permutace ϕτ ◦ρ = ϕτ ◦ ϕρ zobraz´ı i na ji . Podle definice kruhového souˇcinu a podle v´ yˇse uveden´ ych v´ ypoˇct˚ u dostáváme, ˇze Ψ(τ )Ψ(ρ) = (fρ + (ϕ · fτ ), ϕτ ◦ ϕρ ) = = ((s1 , . . . , sm ) + (t1 , . . . , tm ), ϕτ ◦ρ ) = = Ψ(τ ◦ ρ). Tedy zobrazen´ı Ψ je homomorfismus. Je zˇrejmé, ˇze Ker Ψ obsahuje pouze permutace ρ takové, ˇze ρ(ai,0 ) = ai,0 pro kaˇzdé 1 ≤ i ≤ m. Ale to plat´ı pouze pro identitu, tedy Ψ je injektivn´ı. Naopak pro kaˇzdé f : A → Zk a ϕ ∈ Sm existuje ρ ∈ CSn (σ) tak, ˇze Ψ(ρ) = (f, ϕ). Je tedy Ψ surjektivn´ı a dostáváme, ˇze Ψ je hledan´ ym izomorfismem.

49

Literatura ´ [1] Alexandrov, P. S., Uvod do teorie grup, 1. vydán´ı, Mir, Moskva, 1985. [2] Beran, L., Grupy a svazy, Nakladatelstv´ı technické literatury, Praha, 1971. [3] Cameron, Peter J., Introduction to Algebra, Oxford University Press Inc., New York, 1998. [4] Dummit, David S. - Foote, Richard M., Abstract algebra, 3.vydán´ı, John Wiley and Sons, New Jersey, 2004. [5] Procházka, L., Bican, L., Kepka, T., Nˇemec, P., Algebra, 1. vydán´ı, Nakladatelstv´ı ˇ Ceskoslovensk´ e akademie vˇed, Praha, 1990. [6] Rosick´ y, J., Algebra, 4.vydán´ı, skriptum MU, Brno, 2002. [7] Suzuki, M., Group Theory I, Springer-Verlag, New York, 1982. [8] Weil, J. a kolektiv, Rozpracovaná ˇreˇsen´ı u ´loh z vyˇsˇs´ı algebry, 1. vydán´ı, Academia, Praha, 1987. [9] Wilson, R. A.: The finite simple groups, http://www.maths.qmul.ac.uk/ raw/fsgs.html, 2009.

[10] Lomtatidze, L., Plch, R.: Sáz´ıme v LATEXu diplomovou práci z matematiky, Masarykova univerzita, 2003. [11] Rybiˇcka, J.: LATEXpro zaˇcáteˇcn´ıky, KONVOJ, 2003.

50

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy

Recommend Documents