174 KISI-KISI SOAL PENALARAN & KOMUNIKASI MATEMATIS Jenis Sekolah : SMP Alokasi Waktu Mata Pelajaran : Matematika Jumlah Soal Kelas/Semester : VIII/1 Bentuk Soal Standar Kompetensi : Menentukan panjang suatu garis dalam segitiga serta dapat menggunakannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Menentukan panjang garis tinggi segitiga.
Indikator Diberikan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan garis tinggi segitiga. Siswa dapat : Menjelaskan persoalan dari permasalahan tersebut dan menyatakannya dalam bentuk gambar. Menjelaskan dengan menggunakan gambar, fakta, dan hubungan dalam menyelesaikan soal.
Aspek Penalaran Memberikan penjelasan dengan menggunakan gambar, fakta, dan hubungan dalam menyelesaikan soal.
Aspek Komunikasi Menjelaskan suatu persoalan secara tertulis dalam bentuk gambar. (Menggambar)
: 90 Menit : 8 butir : Uraian
Soal 1. Perhatian denah lokasi berikut ! JL Sudirman PASAR 10 km
8 km JL Juanda
JL Merdeka 12 km
Sebuah pasar terletak pada pertemuan dua jalan, yaitu Jl. Juanda dan Jl. Sudirman. Kedua jalan ini dihubungkan oleh suatu jalan yang lain, yaitu Jl. Merdeka. Jika Pemerintah kota ingin menghubungkan Jl. Merdeka ke pertemuan Jl. Juanda dan JL. Sudirman, sehingga jaraknya terpendek. a. Gambarlah lokasi pada jalan Jl. Merdeka yang menghubungkan jalan tersebut ke pertemuan Jl. Juanda dan JL. Sudirman, sehingga jaraknya terpendek! b. Bagaimanakah posisi jarak terpendek terhadap Jl. Merdeka ?
175 Kompetensi Dasar .
2.Menentukan panjang garis berat dan titik berat
Indikator Siswa dapat menggambar garis tinggi segitiga, jika ditarik dari setiap titik sudut segitiga. Siswa dapat menghitung luas segitiga jika panjang ketiga sisi segitiga diketahui. Siswa dapat menghitung garis tinggi segitiga melalui rumus luas segitiga.
Diberikan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Siswa dapat : • Menjelaskan persoalan dari permasalahan
Aspek Penalaran Mengikuti argumenargumen logis
Aspek Komunikasi Menjelaskan suatu persoalan secara tertulis dalam bentuk gambar. (Menggambar)
Menjelaskan suatu persoalan secara tertulis dalam bentuk gambar. (Menggambar)
Soal 2. Perhatikan gambar segitiga KLM di bawah ini. a. Jika Panjang KL = k, LM = l, dan KM = m. Dengan menggunakan jangka dan penggaris, gambarlah : (i) Garis tinggi yang ditarik dari titik K, beri nama t k . (ii) Garis tinggi yang ditarik dari titik L, beri nama t l . (iii) Garis tinggi yang ditarik dari titik M, beri nama t m . b. Hitunglah luas segitiga KLM jika panjang k = 6 cm, l = 9 cm, dan m = 5 cm. c. Hitunglah panjang garis tinggi-garis tinggi segitiga tersebut.
3. Sebuah perusahaan developer memperoleh izin mendirikan tiga rumah yang terpisah pada sebidang lahan yang berbentuk segitiga samasisi. Untuk memanfaatkan lokasi itu sebaik mungkin, pihak developer bermaksud membagi lahan itu menjadi tiga petak daerah yang masing-masing sama luasnya. Bagaimana cara melakukannya ?
176 tersebut dan menyatakannya dalam bentuk gambar. • Siswa dapat menggambarkan titik berat sebuah segitiga, jika segitiga tersebut adalah segitiga sembarang yang salah satu sudutnya tumpul.
Menjelaskan suatu persoalan secara tertulis dalam bentuk gambar. (Menggambar)
• Siswa dapat menghitung panjang garis berat segitiga dengan menggunakan rumus.
Mengikuti argumenargumen logis.
• Siswa dapat dapat menentukan rumus panjang garis berat segitiga sama sisi dan
Mengikuti argumenargumen logis.
4. Sebuah segitiga sembarang salah satu sudutnya tumpul. Gambarkanlah titik berat segitiga tersebut!
5. Diketahui segitiga ABC dengan AB = 12 cm. BC = 10 cm dan AC = 8 cm, seperti gambar di bawah ini. Tentukan : (i) Panjang garis berat yang ditarik dari titik A. (ii) Panjang garis berat yang ditarik dari titik B. (iii) Panjang garis berat yang ditarik dari titik C. Menyatakan suatu persoalan secara tertulis dalam bentuk
6. Diketahui keliling segitiga samasisi RST adalah 42 cm. Jika panjang sisi segitiga sama sisi = s. Tuliskan rumus panjang garis berat segitiga samasisi RST dalam s. Tentukan nilai s dan hitung panjang garis berat tersebut!
177 menghitungnya., jika keliling segitiganya diketahui. Siswa dapat menghitung panjang sisi segitiga yang lainnya dengan menggunakan rumus, jika diketahui panjang dua sisi segitiga dan panjang garis berat ke salah salah satu sisi segitiga
model matematika (Ekspresi Matematik) Mengikuti argumenargumen logis.
7. Panjang dua sisi segitiga sebuah segitiga adalah 14 cm dan 20 cm. Jika panjang garis berat ke sisi 20 cm adalah 3 14 .Hitunglah panjang sisi segitiga yang lainnya.
178 Diberikan gambar yang terkait dengan kehidupan sehari-hari. Siswa dapat : • Menjelaskan idea dari suatu gambar yang diberikan dengan kata-kata sendiri dalam bentuk tulisan, kemudian mencari penyelesaiannya. • Menarik kesimpulan logis
Menarik kesimpulan logis.
Menjelaskan idea atau situasi dari suatu gambar yang diberikan dengan katakata sendiri dalam bentuk tulisan (Menulis)
8. Gambar di atas adalah gambar tampak depan kerangka atap sebuah rumah. Tinggi kerangka atap rumah adalah 1.20 m. Tentukan jarak dari titik puncak atap ke titik beratnya.
NO. SOAL 1. a. Misalkan :
KUNCI JAWABAN
P adalah pertemuan antara Jl. Juanda dan Jl. Sudirman Q adalah pertemuan antara Jl. Juanda dan Jl. Merdeka. R adalah pertemuan antara Jl. Sudirman dan Jl. Merdeka. Jarak terpendek yang menghubungkan Jl. Merdeka ke pertemuan Jl. Juanda dan Jl. Sudirman adalah jarak terpendek dari titik P ke sisi QR yang merupakan garis tinggi PS pada ∆ PQR yang melalui titik
P. Titik S adalah Lokasi pada Jl. Merdeka yang menghubungkan Jl. Merdeka ke pertemuan Jl. Juanda dan Jl. Sudirman seperti gambar berikut :
b. Berdasarkan gambar di atas, maka posisi jarak terpendek terhadap Jl. Merdeka adalah saling tegak lurus membentuk sudut 90 ° terhadap Jl. Merdeka. 2.
a. Garis tinggi yang ditarik dari titik K dengan alas KN adalah t k , yaitu garis tinggi yang ditarik dari K tegak lurus ke sisi k. b. Garis tinggi yang ditarik dari titik L dengan alas KM adalah t l , yaitu garis tinggi yang ditarik dari L tegak lurus ke sisi l. c. Garis tinggi yang ditarik dari titik M dengan alas MO adalah t m , yaitu garis tinggi yang ditarik dari M tegak lurus ke sisi m.
190
Gambar :
b. Karena panjang ketiga sisi segitiga KLM diketahui, maka luas segitiga KLM dapat dihitung melalui rumus luas, yaitu : L =
s ( s − k )( s − l )( s − m)
Dengan k = 9 cm, l = 5 cm, dan m = 6 cm. 1 (k + l + m) 2 1 = (9 + 5 + 6) 2 = 10 Kita tentukan luas segitiga :
Maka nilai s =
L =
s ( s − k )( s − l )( s − m)
L = 10(10 − 9)(10 − 5)(10 − 6) L = 10.4.1.5 L =
2 .5 .4 .5
L =
5 2.4.2
L = 5.2. L = 10
2
2
Jadi, luas segitiga ∆ KLM = 10
2 cm 2
191
(i) Panjang garis tinggi KN ke sisi LM, yaitu panjang garis tinggi
k
dapat dihitung luas, melalui rumus yaitu : L=
1 . tk . k 2
Dengan t k garis tinggi dari k. selanjutnya : 10
2 =
1 . 9 . tk 2
Panjang garis tinggi t k = =2
2 x 10 9 2 9
2
2
Jadi, panjang garis tinggi t k = 2
2 9
2 cm
(ii) Panjang garis tinggi LP ke sisi KM, yaitu panjang garis tinggi t l dan dapat dihitung melalui rumus luas, yaitu : L=
1 . tl . l 2
Dengan t l garis tinggi dari k. selanjutnya : 10
2 =
1 . 5 . tl 2
Panjang garis tinggi t l =
2 x 10 5
2
=
2 x 10 5
2
=4
2
Jadi, panjang garis tinggi LP = 4
2 cm
(iii) Panjang garis tinggi MO ke sisi KL, yaitu panjnag garis tinggi t m dan dapat dihitung melalui rumus luas, yaitu : L=
1 . tm . m 2
Dengan t m garis tinggi dari m. selanjutnya :
192
10
2 = =
1 . 6 . tm 2 2 x 10 6
=3
1 3
Jadi, panjang garis tinggi t m = 3 3.
2
2 1 3
2 cm
Penyelesaian : Cara melakukannya : Pihak developer dapat membagi lahan itu menjadi tiga petak yang sama luasnya dengan menggunakan konsep garis tinggi dan konsep garis berat pada segitiga. Konsep garis tinggi dan garis berat dapat digunakan untuk membagi lahan yang berbentuk segitiga sama sisi menjadi tiga petak yang sama luasnya, karena : Garis tinggi dan garis berat pada segitiga sama sisi membagi sisisisi pada segitiga manjadi dua bagian yang sama panjang. Garis tinggi dan garis pada segitiga sama sisi membagi sudut-sudut pada segitiga sama sisi membagi sudut pada segitiga tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.
Gambar 1
193
Gambar 2 4
Penyelesaian : Buatlah garis berat yang masing-masing melalui titik P, Q, dan R pada segitiga PQR Dari gambar tampak ketiga garis berat itu berpotongan di titk M. Titik M merupakan titik berat ∆ PQR, karena titik M merukan perpotongan ketiga garis berat RST.
194
5.
Penyelesaian : Diketahui : ∆ ABC ; AB = 12 cm, BC = 10 cm, AC = 8cm (i) z a merupakan garis berat segitiga ABC yang ditarik dari titik A, sehingga panjang garis berat z a : 1 1 1 z 2a = b 2 + c 2 - a 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 = 8 + 12 - 10 2 2 4 1 1 1 = 64 + 144 - 100 2 2 4 = 32 + 72 – 25 = 79 z a = 79 = 8,9 cm Jadi panjang garis berat yang ditarik dari titik A adalah 8,9 cm (ii) z b merupakan garis berat segitiga ABC yang melalui titik B, sehingga panjang garis berat z b adalah : 1 1 1 z b2 = c 2 + a 2 - b 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 = 12 + 10 - 8 2 2 4 1 1 1 = 144 + 100 - 64 2 2 4 = 72 + 50 – 32 = 90 z b = 90 = 9,49 cm Jadi panjang garis berat yang ditarik dari titik B adalah 9,49 cm (iii) z c merupakan garis berat segitiga ABC yang melalui titik C, sehingga panjang garis berat z c : 1 1 1 z c2 = a 2 + b 2 - c 2 2 2 4 1 1 1 = 10 2 + 8 2 - 12 2 2 2 4 1 1 1 = 100 + 64 - 144 2 2 4 = 50 + 32 – 72 = 10 z c = 10 = 3,16 cm Jadi panjang garis berat yang ditarik dari titik C adalah 3,16 cm.
195
6.
Penyelesaian : Oleh karena segitiga RST adalah segitiga samasisi, maka
panjang
ketiga garis berat segitiga samasisi adalah sama panjang. Misal : s = panjang sisi ketiga segitiga sama sisi RST p s = panjang garis berat segitiga RST. Berdasarkan rumus umum garis berat dan karena segitiga RST adalah segitiga sama sisi, maka rumus panjang garis berat segitiga samasisi RST adalah : 1 2 1 1 s + s2 - s2 2 2 4 3 2 s = 4 3 2 ps = s 4 1 ps = s 3 2
p 2s =
Jadi rumus panjang garis berat segitiga samasisi RST adalah Diket : Keliling segitiga RST = 42 cm K=s+s+s K = 3s 42 = 3s s = 14 Selanjutnya : p s = Panjang garis berat segitiga samasisi RST 1 s 3 2 1 = 14 3 2 =7 3
ps =
Jadi panjang garis berat segitiga PQR adalah 7 3 cm
1 s 2
3
196
7
Penyelesian : Panjang dua buah sisi segitiga adalah 14 cm dan 20 cm dan panjang garis berat ke sisi 20 cm adalah 3 14 . Misal : a = 14 ; b = 20 c = panjang sisi segitiga yang lainnya yang belum diketahui p b = panjang garis berat ke sisi 20 p b = 3 14 Maka panjang sisi segitiga yang lainnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus umum garis berat, yaitu : 1 2 1 1 a + c2 - b2 2 2 4 1 1 1 (3 14 ) 2 = (14) 2 + c 2 - (20) 2 2 2 4 1 1 2 1 (9)(14) = (196) + c - (400) 2 2 4 1 126 = 98 + c 2 - 100 2 1 128 = c 2 2 1 2 c = 256 2 c = 256 c = 14 Jadi panjang sisi segitiga yang lainnya adalah 14 cm.
(p b ) 2 =
8.
Penyelesaian : Karena kerangka tampak depan atap rumah tersebut berbentuk segitiga samakaki, maka tinggi atap rumah tersebut adalah garis berat yang melalui puncak atap rumah. Jadi : Panjang garis berat yang melalui puncak atap = tinggi atap = 1.20 m Berdasarkan sifat garis berat bahwa :
197
Jarak titik berat dari salah satu titik sudut segitiga adalah
2 dari 3
panjang garis berat yang melalui titik tersebut. 2 x 1.20 3 = 0.8 Jadi, jarak titik puncak atap rumah ke titik beratnya adalah 0.8 m Maka jarak dari titik puncak atap ke titik beratnya =
