Irányítástechnikai modellek
2008.02.15.
Irányítástechnika MI BSc
1
Az irányítástechnikai rendszer fogalma cél: a szabályozási kör és az abban található elemek vizsgálata eszköz: matematikai modellek hatásvázlat szimuláció
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/2
Lineáris – nemlineáris rendszerek Linearitás: u1(t) → y1(t) u2(t) → y2(t) λ1, λ2∈R λ1·u1(t)+ λ2·u2(t) → λ1·y1(t)+ λ2·y2(t) a leíró egyenletek nem tartalmazhatják a változók szorzatait vagy hatványait elméleti rendszerek Irányítástechnika MI BSc
Modellek/3
Lineáris – nemlineáris rendszerek valós rendszerek többé-kevésbé nemlineárisak lehetséges kezelés: munkaponti linearizálás Legyen Y = f (U1, U2, U3, …) parciálisan deriválva az egyes változók szerint: ∂Y ∂Y ∂Y dY = dU1 + dU 2 + dU 3 + ... ∂U 1 ∂U 2 ∂U 3
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/4
Lineáris – nemlineáris rendszerek legyen adott egy tetszőleges munkapont, aminek viszonylag szűk környezetében vizsgáljuk a rendszer működését jelölje a munkaponti értékeket 0 index, így [Y]0, [U1]0, [U2]0, … a munkapont környezetében legyen a függő változó (Y) viselkedése lineáris jelölje a változóknak a munkapont körüli relatív megváltozásait: y, u1, u2, u3, … Irányítástechnika MI BSc
Modellek/5
Lineáris – nemlineáris rendszerek ekkor a linearizált egyenlet a következő alakú lesz: y = C1u1+ C2u2+ C3u3+ … ahol
∂Y ∂Y C1 = , C2 = ,K ∂U1 0 ∂U 2 0
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/6
Modellek típusai Irányítástechnikában alkalmazott matematikai modellek típusai: bemenet/kimenet modellek
állapottér modellek
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/7
Bemenet/kimenet modellek Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenet/kimenet (I/O) modell:
an y (n ) + an −1 y (n −1) + K + a1 y (1) + a0 y = bmu (m ) + K + b0u ahol u – a bemenő jel y – a kimenő jel an,…,a0,bm,…,b0 – paraméterek
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/8
Állapottér modellek Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y(t ) = C x(t ) + Du(t ) ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor y – a kimeneti vektor A – az állapot-átmeneti mátrix B – a bemeneti mátrix C – a kimeneti mátrix D – a segédmátrix Irányítástechnika MI BSc
Modellek/9
Bemenet/kimenet modellek an y (n ) + an −1 y (n −1) + K + a1 y (1) + a0 y = bmu (m ) + K + b0u
I/O modell jelzői: lineáris időinvariáns folytonos idejű y(t0), …, y(n-1)(t0) – kezdeti feltételek inhomogén n-ed rendű n≥m – oksági szabály SISO Irányítástechnika MI BSc
Modellek/10
Bemenet/kimenet modellek an y (n ) + an −1 y (n −1) + K + a1 y (1) + a0 y = bmu (m ) + K + b1u (1) + b0u
Szabályozástechnikában az általában ezt az egyenletet a következő alakra hozzák:
(
Tnn y (n ) + Tnn−−11 y (n −1) + K + T1 y (1) + y = K τ mmu (m ) + K + τ 1u (1) + u
ahol a0 ≠ 0
ai Ti = a0 i
b0 y (∞ ) K= = a0 u (∞ ) Irányítástechnika MI BSc
)
bi τ = a0 i i
(stabil rendszer esetén) Modellek/11
Bemenet/kimenet modellek differenciálegyenlet megoldása: a rendszer válasza, azaz y(t) időbeli lefolyása a rendszer bemenetére adott jel, azaz az u(t) bemenet és adott kezdeti feltételek y(i)(t0) i = 1,…, n-1 esetén
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/12
Bemenet/kimenet modellek inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y(t) = yh0(t) + yih0 (t) ahol yh0(t) – homogén egyenlet általános megoldása yih0 (t) – inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/13
Bemenet/kimenet modellek legyen az u(t) bemenet állandó vagy periodikus lefolyású jel, ekkor az yih0 (t) partikuláris megoldás adja meg a kimenő jelet állandósult állapotban az yh0 (t) homogén megoldás írja le a tranziens (átmeneti) állapotbeli viselkedést
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/14
Bemenet/kimenet modellek keressük a tranziens megoldást a következő n alakban: pt yh 0 (t ) = ∑ Ci e
i
i =1
visszahelyettesítve ezt a homogén egyenletbe: n
∑ (a
)
pi t n p + K + a p + a ⋅ C e =0 n i 1 i 0 i
i =1
innen p = pi, i =1,…,n -re teljesüljön: K ( p ) = an p n + K + a1 p + a0 = 0
karakterisztikus egyenlet Irányítástechnika MI BSc
Modellek/15
Vizsgálójelek alkalmazásuk indoka: aktív kísérlettervezés ismeretlen modellű rendszernél a paraméterek meghatározása ismert modell esetén ellenőrzés
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/16
Egységimpulzus függvény Dirac delta, δ(t), unit-impulse function, delta fv.
∞ , t = 0 δ (t ) = 0, t ≠ 0
t
alkalmazás: impulzus jellegű zavarások Irányítástechnika MI BSc
Modellek/17
Egységimpulzus függvény fizikai jelenségek: két golyó ütközése ütő és labda ütközése kondenzátor feltöltése i(t) Q/ε0 ∼ C=1 t
q(t ) = ∫ i (τ )dτ 0
Irányítástechnika MI BSc
ε0 i (t ) = Q ⋅ pε 0
t Q = ε0 0
0 ≤ t ≤ ε0 egyébként Modellek/18
Egységimpulzus függvény kondenzátor töltése: Qt t ε0 q(t ) = i (τ )dτ = Q 0 0
∫
0 ≤ t ≤ ε0 t > ε0 t<0
elméletileg tekintve, azaz ε-t mindenhatáron túl csökkentve: 0 i (t ) = Q ⋅ δ (t ) = ∞
t=0 t≠0
∞
∫
q(t ) = Q δ (τ )dτ = Q −∞ Irányítástechnika MI BSc
Modellek/19
Egységugrás függvény 1(t), unit step function
1, t ≥ 0 1(t ) = 0 , t < 0
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/20
Egységugrás függvény 1(t), unit step function 1, t ≥ 0 1(t ) = 0 , t < 0
alkalmazás: alapjelváltás, ugrás jellegű zavarások Irányítástechnika MI BSc
Modellek/21
Egység-sebességugrás függvény v(t), ramp function t , t ≥ 0 v(t ) = 0 , t < 0
alkalmazás: programozott alapjelváltás, növekvő jellegű zavarások Irányítástechnika MI BSc
Modellek/22
Egység-gyorsulás függvény a(t), acceleration function t 2 2 , t ≥ 0 a(t ) = 0 , t < 0
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/23
Szinusz függvény sinωt sint , t ≥ 0 ,ω = 1 sinωt = t<0 0 ,
alkalmazás: periodikus bemenetű hálózatok Irányítástechnika MI BSc
Modellek/24
(Pszeudo) Random bináris jelsorozat Pseudo random binary sequences (PRBS)
alkalmazás: statisztikus zaj bemenet szimulációja Irányítástechnika MI BSc
Modellek/25
Négyszögimpulzus függvény pε(t), rectangle function
t<0 0, pε (t ) = 1 / ε , 0 ≤ t ≤ ε 0, t >ε
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/26
Vizsgáló jelek tulajdonságai Az egységimpulzus függvénnyel értelmezhető szakadásos függvények differenciálhányadosa: δ (t ) = lim pε (t ) = lim ε →0
1(t ) − 1(t − ε )
ε →0
ε
d = 1(t ) dt
Dirac delta differenciálhányadosainak értelmezése: 1/ε
δ (1) (t ) =
d δ (t ) − δ (t − ε ) δ (t ) = lim ε →0 dt ε
ε
t -1/ε
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/27
Vizsgáló jelek tulajdonságai egység impulzus függvény tulajdonságai eltolás pε (t ) =
1(t ) − 1(t − ε )
ε
ha u(t) folytonos függvény, akkor lim ∫ u (t ) pε (t )dt = u (0 )
ε →0
illetve
∫ u (t )δ (t )dt = u(0) Irányítástechnika MI BSc
Modellek/28
Vizsgáló jelek tulajdonságai felhasználva az általánosított deriváltat, és ha u(1)(0) létezik: δ (t ) − δ (t − ε ) lim ∫ u (t ) pε (t )dt = lim ∫ u (t ) dt = ε →0 ε →0 ε u (0) − u (0 − ε ) = lim = −u (1) (0 ) ε →0 ε (1)
∫
u (t )δ (1) (t )dt = −u (1) (0 )
• általánosítva, ha u(n)(0) létezik:
∫ Irányítástechnika MI BSc
u (t )δ (n ) (t )dt = (− 1)n u (n ) (0 ) Modellek/29
Vizsgáló jelek tulajdonságai vizsgáló jelek közti időtartománybeli kapcsolat: d1(t ) δ (t ) = dt
dv(t ) 1(t ) = dt
da(t ) v(t ) = dt
∫ δ (t )dt = 1(t )
∫ 1(t )dt = v(t )
∫ v(t )dt = a(t )
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/30
Nevezetes válaszfüggvények Súlyfüggvény: Dirac impulzus bemenő jelre adott válaszfüggvény jele: h(t) Átmeneti függvény: Egységugrás bemenő jelre adott válaszfüggvény jele: w(t) értelmezhető a egység-sebességugrás és egységgyorsulás bemenetekre adott válaszfüggvény is Irányítástechnika MI BSc
Modellek/31
Nevezetes válaszfüggvények A súlyfüggvény és az átmeneti függvény közötti összefüggés: dw(t ) h(t ) = dt
Megj.: az összefüggés a linearitás következménye
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/32
Válaszfüggvény meghatározása időtartományban
legyen adott egy u bemenő jel
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/33
Válaszfüggvény meghatározása időtartományban
vizsgáljuk meg, hogy τ időpontbeli u(τ) bemenő jel értéknek milyen hatása lesz a kimenetre egy tetszőleges t >τ időpontban
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/34
Válaszfüggvény meghatározása időtartományban
az u(τ) bemenet hatására a t időpontban létrejövő kimenő jel érték közelíthető a súlyfüggvény és a bemenő jel érték alapján
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/35
Válaszfüggvény meghatározása időtartományban
természetesen a rendszer y(t) kimenete valamennyi t időpillanat előtti bemenő jel értéktől függ: n
y (t ) ≈ ∑ h(t − τ i )u (τ i ) ∆τ i =1
ha ∆τ→ 0, akkor a bemenetek impulzusok lesznek, így +∞
y (t ) = ∫ h(t − τ )u (τ ) dτ −∞
konvolúciós integrál Irányítástechnika MI BSc
Modellek/36
Laplace-transzformáció „Intuitív” bevezetés bevezetés célja: differenciálegyenletek megoldásának egyszerűsítése analógia: a logaritmizálás bevezetése egyszerűsíti a szorzási, osztási, hatványozási feladatok elvégzését alkalmazásának menete függvények Laplace transzformációja műveletek elvégzése az eredmény visszatranszformálása Irányítástechnika MI BSc
Modellek/37
Laplace-transzformáció legyen f(t) egy függvény legyen f(t) = 0, ha t < 0; „bekapcsolási” függvény legyen f(t) értelmezve, ha t ≥ 0 legyen s = σ + jω komplex változó, az ún. Laplaceoperátor Az f(t) függvény Laplace transzformáltja: ∞
F (s ) = L[ f (t )] = ∫ f (t ) ⋅ e − st dt 0
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/38
Laplace-transzformáció összefoglalva: a rendszerről (modellről) való ismereteinket a t = 0 időpontig elhanyagoljuk: ez lesz a viszonyítási pont ekkor adunk a bementre jelet, így a rendszer válasza sem lehet korábbi – okozati rendszerek „egy oldalas” Laplace transzformáció szigorúan véve: t = 0- és t = ∞ az integrálási határ azaz t → 0-hoz balról gond, ha f(t)-nek t = 0-ban szakadása van vagy impulzus jelet kap Irányítástechnika MI BSc
Modellek/39
Laplace-transzformáció gyakorlati kivitelezés: táblázatok segítségével inverz Laplace-transzformáció: c + j∞
1 st ( ) f (t ) = L [F (s )] = F s ⋅ e ds ∫ 2πj c − j∞ −1
parciális törtekre bontás után táblázatok segítségével
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/40
Laplace-transzformáció tételei szorzás konstanssal
L[k ⋅ f (t )] = k ⋅ F (s )
összegzés, kivonás
L[ f1 (t ) ± f 2 (t )] = F1 (s ) ± F2 (s )
deriválás
df (t ) L = s ⋅ F (s ) − lim f (t ) = sF (s ) − f (0) t →0 dt
d n f (t ) (n − 2 ) (0 ) − f (n −1) (0 ) n n −1 n − 2 (1) ( ) ( ) ( ) L = s ⋅ F s − s f 0 − s f 0 − K − sf n dt
ahol Irányítástechnika MI BSc
f (i ) (0 ) =
d i f (t ) dt i
t =0
Modellek/41
Laplace-transzformáció tételei integrálás
t 1 L ∫ f (t ) = F (s ) 0 s
kezdeti érték
lim f (t ) = lim sF (s )
végérték
lim f (t ) = lim sF (s )
t →0
t →∞
s →∞
s →0
ha sF(s)-nek nincs nulla vagy pozitív valós részű pólusa
időbeli eltolás Irányítástechnika MI BSc
L[ f (t − T )1(t − T )] = e −Ts F (s ) Modellek/42
Laplace-transzformáció
nevezetes függvények Laplace-transzformáltjait és a Laplace transzformáció tulajdonságait összefoglaló táblázat
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/43
Vizsgáló jelek Laplace transzformáltjai pε Laplace-transzformáltja:
1 1 1 − sε 1 1 1 − e − sε L{pε (t )} = L{1(t ) − 1(t − ε )} = − e = ε ε s ε s ε s 1
δ Laplace-transzformáltja
{
}
∞
∞
L{δ (t )} = L lim pε (t ) = ∫ lim pε (t ) e − st dt = lim ∫ pε (t ) e − st dt = ε →0
0
ε →0
ε →0
0
1 1 − e − sε se − sε = lim = lim =1 ε →0 ε s ε →0 s
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/44
Vizsgáló jelek Laplace transzformáltjai
Egységugrás függvény, 1(t)
1 L{1(t )} = s
Egység-sebességugrás függvény, v(t) L{v(t )} = Egység-sebességugrás függvény, a(t) L{a(t )} = Szinuszos bemenet, sinωt Irányítástechnika MI BSc
1 s2 1 s3
ω L{sin ωt} = 2 s +ω2 Modellek/45
Átviteli függvény Az átviteli függvény: L( y (t ) ) bm s m + bm −1s m −1 + K + b0 G (s ) = = L(u (t )) z .k . f . an s n + an −1s n −1 + K + a0
célja: a rendszer modelljének megadása operátor tartományban, a kimenet és a bemenet közti kapcsolat racionális törtfüggvény formájában történő megadásával Irányítástechnika MI BSc
Modellek/46
Átviteli függvény levezetése – I/O modell alapján an y (n ) + an −1 y (n −1) + K + a1 y (1) + a0 y = bmu (m ) + K + b0u
(
) (
L an y (n ) + an −1 y (n −1) + K + a1 y (1) + a0 y = L bm u (m ) + K + b0 u
)
a n s nY (s ) + a n −1s n −1Y (s ) + K + a1sY (s ) + a0Y (s ) = bm s mU (s ) + K + b0U (s ) (zérus kezdeti feltételek!)
(a s n
n
)
(
)
+ a n −1s n −1 + K + a1s + a0 Y (s ) = bm s m + K + b0 U (s )
Y (s ) bm s m + bm −1s m −1 + K + b0 G (s ) = = U (s ) an s n + an −1s n −1 + K + a0 Irányítástechnika MI BSc
Modellek/47
Átviteli függvény levezetése – konvolúciós integrál alapján +∞
y (t ) = ∫ h(t − τ ) ⋅ u (τ )dτ −∞ ∞
∞∞
Y (s ) = ∫ y (t )e − st dt = ∫ ∫ h(t − τ ) ⋅ u (τ )dτ e − st dt 0 ∞
0 0 ∞
− s (t −τ ) − st ( ) ( ) ( ) Y s = ∫ h t −τ e dt ⋅ ∫ u τ e dτ 0 ∞
0 ∞
Y (s ) = ∫ h(ϑ )e − sϑ dϑ ⋅ ∫ u (τ )e − st dτ , ϑ = t − τ 0
Y (s ) = G (s ) ⋅ U (s )
Irányítástechnika MI BSc
0
Modellek/48
Átviteli függvény szokásos jelölései:
Y (s) b(s) z (s) G( s) = = = U ( s ) a( s ) p( s ) számláló gyökei: zérushelyek nevező gyökei: pólusok bm s m + bm −1s m −1 + K + b0 G (s ) = an s n + an −1s n −1 + K + a0 ( s − z m ) ⋅ K ⋅ (s − z 2 )(s − z1 ) G (s ) = (s − pn )⋅K ⋅ (s − p2 )(s − p1 ) Irányítástechnika MI BSc
Modellek/49
Átviteli függvény tulajdonságai csak lineáris, időinvariáns rendszerekre operátortartománybeli kapcsolat a rendszer jellemzője, független a rendszer bementének nagyságától, formájától: a rendszer tulajdonságainak hordozója kimenetek-bemenetek közötti kapcsolat, a rendszer belső szerkezetéről nem ad információt → különböző rendszereknek lehet azonos az átviteli függvénye Irányítástechnika MI BSc
Modellek/50
Átviteli függvény ismert átviteli függvény esetén különböző bemenetekkel vizsgálható a rendszer:
Y(s)=G(s)U(s) az átviteli függvény nevezője alakilag megegyezik a karakterisztikus polinommal: bm s m + bm −1s m −1 + K + b0 G (s ) = an s n + an −1s n −1 + K + a0
n
∑ (a i =1
rendszer tulajdonságok meghatározása Irányítástechnika MI BSc
)
pi t n p + K + a p + a ⋅ C e =0 n i 1 i 0 i
Modellek/51
Átviteli függvény ha az átviteli függvény alakja ismert, de az együtthatók értéke nem, akkor a vizsgáló jelek segítségével azok meghatározhatók – paraméter identifikáció ha az átviteli függvény nem ismert, akkor a vizsgáló jelekre adott kimenetek vizsgálatával meghatározható – struktúra identifikáció
Irányítástechnika MI BSc
Modellek/52
Átviteli függvény több bemenetű – több kimenetű rendszerek: u1 (t ) u (t ) = M u r (t )
G11 (s ) K G1r (s ) G (s ) = M O K G p1 (s ) K G pr (s )
Irányítástechnika MI BSc
y1 (t ) y (t ) = M y p (t )
ahol
Yi (s ) Gij (s ) = U j (s ) Modellek/53
Válaszfüggvények Laplace transzformáltjai legyen G(s) egy jelformáló tag átviteli függvénye ekkor a kimenet operátor tartományban Y(s) = G(s) U(s) legyen a bemenet u(t)=δ (t), ekkor a kimenet a súlyfüggvény lesz: h(t ) = L−1 {G (s ) ⋅ U (s )} = L−1 {G (s )}
mivel L{δ (t)}=1
legyen a bemenet u(t)=1(t), ekkor a kimenet az átmeneti függvény lesz: 1 w(t ) = L {G (s ) ⋅ U (s )} = L G (s ) s −1
Irányítástechnika MI BSc
−1
Modellek/54
Átviteli függvény • Az átviteli függvény felhasználásával definiálható a bement/kimenet modell és az állapottér modell közötti kapcsolat: an y (n ) + an −1 y (n −1) + K + a1 y (1) + a0 y =
x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t )
= bmu (m ) + K + b1u (1) + b0u
y(t ) = C x(t ) + Du(t )
L{y (t )} bm s m + bm −1s m −1 + K + b0 −1 G (s ) = = = C ( sI − A ) B+D n n − 1 L{u (t )} a n s + a n −1s + K + a0 Irányítástechnika MI BSc
Modellek/55