IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA.

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednotkový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce delta) – někdy též distribuce delta – z matematického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis teorie distribucí)

δ ( t − t0 ) = 0

pro t ≠ t0

→∞

pro t = t0

Jednotkový impuls musí splňovat integrál ∞

∫ δ ( t − t ) dt = 1 0

−∞

Mohutnost jednotkového impulsu je tedy rovna 1. Matematická definice jednotkového impulsu (spojité funkce) ∞

∫ f ( t )δ ( t − t ) dt = f ( t ) 0

0

−∞

Pro účely analýzy elektrických obvodů (v matematice existují další definice) bude jednotkový impuls definován: V praxi nelze samozřejmě takový impuls vytvořit, pro konkrétní obvod ale stačí, pokud t0 τ (nejkratší časová konstanta obvodu)

®¥

S=1 0

Velký význam má u diskrétních obvodů, kde přechází na prosté číslo 1 (a např. u obvodů typu FIR je impulsová odezva rovna přímo koeficientům filtru).

Grafické znázornění:

Laplaceův obraz:

1

0 Pavel Máša, X31EO2, přednáška č. 9

t0 ® 0

L {w ( t )} = 1 t strana 1


Jednotkový skok 0, t < 0 1( t ) =  1, t > 0

Časté je značení u ( t ) , v elektrických obvodech by se ale pletlo s napětím. Velikost skoku v bodě 0 budeme v elektrických obvodech předpokládat 1( 0− ) = 0 , 1( 0+ ) = 1 , matematicky se jednotkový skok často zobecňuje t<0

 0,  1( t ) = 0.5,  1 

t =0 t >0

Graficky jednotkový skok znázorníme:

1

1 0.5

0

t

0

t

Mezi jednotkovým impulsem a jednotkovým skokem se někdy uvádí vztah

δ (t ) =

d1( t ) dt

1( t ) =

,

t

∫ δ (τ ) dτ

−∞

Ačkoli rigorózní matematika by mohla mít k uvedeným rovnicím oprávněné výhrady (teorie distribucí), rovnice poskytují dobrou představu o relaci mezi těmito funkcemi – viz minulý semestr, měření napětí a proudu na L, C; pokud tyto prvky jednu obvodovou veličinu derivovaly, a tato obvodová veličina měla obdélníkový průběh, objevil se jako druhá veličina (přibližně) „diracův impuls“. Praktická realizace – připojení zdroje napětí o velikosti 1V. Laplaceův obraz:

L {1( t )} =

Pavel Máša, X31EO2, přednáška č. 9

1 p

strana 2


Impulsní a přechodová charakteristika Uvažujme lineární obvod, který byl v čase t = 0 bez energie.

u1(t)

LO

u2(t)

Vztah mezi vstupním a výstupním napětím můžeme popsat v oboru (Laplaceových) obrazů přenosem P( p) =

U2 ( p) U1 ( p )

.

Obdobně bychom mohli přenos vyjádřit pro fázory (HUS), nebo jω (Fourierova transformace), ale nikdy ne v časové oblasti. Např. u1 ( t ) je stejnosměrné napětí, na výstupu se může objevit kupř. exponencielní impuls – podíl funkcí bude obecně v každém časovém okamžiku různý, zatímco přenos je stále stejná racionálně lomená funkce. V HUS vede přenos na komplexní číslo, které se mění s frekvencí (amplituda a fáze, v časové oblasti amplituda a časové zpoždění).

Impulsní charakteristika

u1 ( t ) = δ ( t ) ,

w ( t ) = u2 ( t )

Přechodová charakteristika

u1 ( t ) = 1( t ) ,

a ( t ) = u2 ( t )

V případě obrazů je přímo daný vztah mezi přenosem obvodu a obrazem impulsní / přechodové charakteristiky: U 2 ( p ) = W ( p ) = 1⋅ P ( p ) = P ( p ) W ( p) = P( p)

U 2 ( p ) = A( p ) = A( p ) =

P( p) p


P( p) 1 ⋅ P( p) = p p ⇒ P ( p ) = pA ( p )

strana 3


Změřením časového průběho výstupního napětí u2 ( t ) a jeho transformací tak nalezneme přenos neznámého obvodu. Odtud můžeme nalézt m.j. kmitočtovou charakteristiku obvodu. Pro impulsní charakteristiku platí obdobně pro Fourierův obraz w(t ) = F

−1

{P ( jω )} ,

ale ekvivalentní vztah neexistuje pro přechodovou charakteristiku (neexistuje Fourierův obraz jedtnotkového skoku). Vztah mezi impulsní a přechodovou charakteristikou v časové oblasti můžeme nalézt z vlastností obrazů derivace a integrálu: d  L  u ( t )  = pU ( p ) − u ( 0+ ) ,  dt 

u ( 0+ ) = lim u ( t ) t →0 +

 da ( t )  P ( p ) = W ( p ) = p ⋅ A( p ) = L   + a ( 0+ ) dt   w(t ) =

da ( t ) dt

+ a ( 0+ ) δ ( t )

t

a ( t ) = ∫ w (τ ) dτ + a ( 0+ ) 0


strana 4


Konvoluce Jak vyjádřit vztah mezi vstupním napětím u1 ( t ) a u2 ( t ) přímo v časové oblasti? Takový vztah již vyjádřit umíme – bohužel pouze pro dva signály – jednotkový impuls δ ( t ) a jednotkový skok 1( t ) . Výstupním napětím je impulsní, resp. přechodová charakteristika. Různé časové průběhy je možné aproximovat (nekonečně mnoha) jednotkovými impulsy, resp. jednotkovými skoky, násobené funkční hodnotou pro daný časový okamžik. ⇒ součet impulsních (přechodových) charakteristik.

Vzdálenost mezi impulsy

∆t

Mohutnost impulsu

∆t ⋅ x1 ( tk )

Odpovídající výstupní napětí

∆t ⋅ x1 ( tk ) ⋅ w ( t − tk )

Celkové výstupní napětí bude součtem reakcí na jednotlivé impulsy (impulsních charakteristik), n

x2 ( t ) = ∑ ∆t ⋅ x1 ( tk ) ⋅ w ( t − tk ) k =1

které pro ∆t → 0 přejde v integraci – konvolutorní integrál t

x2 ( t ) = ∫ x1 (τ ) w ( t − τ ) dτ 0


strana 5


Symbolem konvoluce je hvězdička (*) a platí: t

t

0

0

x2 ( t ) = x1 ( t ) * w ( t ) = ∫ x1 ( t ) w ( t − τ ) dτ = ∫ x1 ( t − τ ) w ( t ) dτ

Geometrický význam: 1

0.5

0

0

0.5

0

0.5

0 −2

−1.5

1

1.5

2

1

w (τ )

1.5

2

−1

−0.5

0

u1 (τ )

u1 (τ ) w ( 0.75 − τ ) , S = u2 ( 0.75 )

2 1.5 1 0.5 0

u1 (τ ) w (1 − τ ) , S = u2 (1)

2 1.5 1 0.5

w ( −τ )

u1 (τ ) w (1.25 − τ ) , S = u2 (1.25 )

u1 (τ ) w ( 0.25 − τ ) , S = u2 ( 0.25 )

u1 (τ ) w (1.5 − τ ) , S = u2 (1.5 )

u1 (τ ) w ( 0.5 − τ ) , S = u2 ( 0.5 )

u1 (τ ) w (1.75 − τ ) , S = u2 (1.75 )


strana 6


Příklad:

Mějme RC integrační článek, buzený ze zdroje u1 ( t ) = U 0 e − at

e−at

Úkol: najít časový průběh výstupního napětí u2 ( t ) . a) Laplaceova transformace + přenos 1 1 1 , P( p) = = ⋅ 1 + pRC RC p + 1 RC

U1 ( p ) =

U0 p+a

 U0 U 1 1 1  1 1 ⋅ = 0 − U2 ( p) =  p + a RC p + 1 RC 1 − a  p + a p + 1 RC RC RC  1 − t  U0 1  − at RC − u2 ( t ) = e e   RC 1 − a   RC b) Impulsní charakteristika + konvoluce 1 t 1 − RC w(t ) = e , u1 ( t ) = U 0 e − at RC t 1 − ( t −τ ) − aτ 1 RC u2 ( t ) = u1 ( t ) * w ( t ) = ∫ U 0 e e dτ = RC 0

    

  1 t  − U 0 t  RC −a τ − RC t U0 1  − at RC = τ = − e d e e   RC ∫0 RC 1 − a   RC c) Přechodová charakteristika + Duhamelův vzorec, viz dále 1

1


strana 7


Duhamelův vzorec Namísto obdélníkových impulsů jako v případě konvoluce je možné vstupní veličinu aproximovat pomocí skokových funkcí:

Vzdálenost mezi skoky

∆t

Výška skoku

∆x1k x1′ ( tk ) ∆t

Odpovídající výstupní napětí

∆x1k ( tk ) ⋅ a ( t − tk )

Časový průběh výstupního napětí u2 ( t ) bude součtem všech odezev obvodu na jednotlivé skoky n

x2 ( t ) = x1 ( 0+ ) a ( t ) + ∑ x1′ ( tk ) a ( t − tk ) ∆t k =1

Pokud ∆t → 0 , pak součet přechází v integraci a dostaneme Duhamelův vzorec t

x2 ( t ) = x1 ( 0+ ) a ( t ) + ∫ x1′ (τ ) a ( t − τ ) dτ 0

Z operátorového počtu: X 2 ( p ) = X1 ( p ) P ( p ) = X1 ( p ) ⋅ p ⋅ A ( p )  dx ( t )  pX 1 ( p ) = L  1  + x1 ( 0+ ) ,  dt  Pavel Máša, X31EO2, přednáška č. 9

 da ( t )  pA ( p ) = L   + a ( 0+ ) dt   strana 8


  dx ( t )   X 2 ( p ) = L  1  + x1 ( 0+ )  A ( p ) =   dt     da ( t )   = L  + 0 a ( + ) X1 ( p )    dt  

Zpětnou transformací další tvary Duhamelova vzorce: t

u2 ( t ) = x1 ( 0+ ) a ( t ) + x1′ ( t ) * a ( t ) = x1 ( 0+ ) a ( t ) + ∫ x1′ (τ ) a ( t − τ ) dτ 0

Nebo t

u2 ( t ) = a ( 0+ ) x1 ( t ) + x1 ( t ) * a′ ( t ) = a ( 0+ ) x1 ( t ) + ∫ x1 (τ ) a′ ( t − τ ) dτ = 0

t

= a ( 0+ ) x1 ( t ) + ∫ x1 ( t − τ ) a′ (τ ) dτ 0

Stabilita Obvod nazveme stabilním, pokud se po odeznění budících veličin postupně navrátí do stabilního stavu, tedy

lim u2 ( t ) = u p ( t ) t →∞

⇒

lim w ( t ) = u p ( t ) t →∞

jinými slovy, odezní přechodná složka Takový obvod je stabilní. Obvody rozdělujeme na • stabilní • na mezi stability • nestabilní


strana 9


Stabilní obvody 1

u [V]

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −1

−0.5

0

0.5 t [s]

1

1.5

2

2

u [V]

1.5 1 0.5 0 −1

0

1

2

3

4

3

4

3

4

t [s]

Obvod na mezi stability 2

u [V]

1.5 1 0.5 0 −1

0

1

2 t [s]

Nestabilní obvod 60 40

u [V]

20 0 −20 −40 −60 −1

0

1

2 t [s]


strana 10


Při studiu přechodných dějů jsme poznali, že obecné řešení, které popisuje vlastní přechodnou složku nezávisí na charakteru buzení ⇒ impulsní charakteristika je obecným řešením přechodného děje Polynom v čitateli přenosu musí být nižšího stupně, nežli stupeň polynomu ve jmenovateli: W ( p) = P( p) =

M ( p) N ( p)

= D+

Q( p)

N ( p)

Pak  Q ( p )  w ( t ) = Dδ ( t ) + L-1    N ( p ) 

Zpětná transformace – rozklad na parciální zlomky, je určena polynomem N ( p ) ; kořeny – póly mohou být w ( t ) = " + K n e − pnt + "

• reálné

w ( t ) = " + ( K n1 + K n 2t + ") e − pnt + "

• vícenásobné • komplexně sdružené

w ( t ) = " + K n sin (ωnt + ψ n ) e −α nt + "

Ve všech případech obsahuje řešení exponenciální funkci, takže pokud je pól (jeho reálná část) záporný, je obvod stabilní, pro kladný pól nestabilní p - rovina Im

Stabilní oblast

Nestabilní oblast Re

Mez stability


strana 11

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

Recommend Documents