Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Himpunan dari Bilangan-Bilangan Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko

October 22, 2014

Rollback Malaria :)

Hidayati Rais, S.Pd.,M.Si

Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Himpunan dari Bilangan-Bilangan 1

Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan dari bilangan riil dan sifat-sifatnya disebut sistem bilangan riil.

2

Bilangan-bilangan Bulat : bilangan-bilangan riil atau bilangan yang utuh, seperti ..., −2, −1, 0, 1, 2, ..., kita nyatakan bilangan bulat dengan Z. Dapat ditulis Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.

3

Bilangan-bilangan Rasional : bilangan-bilangan riil yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua buah bilangan bulat. Kita nyatakan himpunan bilangan rasional dengan Q, dapat ditulis Q = {x|x = pq di mana p ∈ Z, q ∈ Z}. Rollback Malaria :)



Himpunan dari Bilangan-Bilangan 1

Bilangan-bilangan asli adalah bilangan bulat positif. Kita nyatakan himpunan bilangan asli dengan N , dapat ditulis, N = {1, 2, 3, ...}.

2

Bilangan-bilangan prima adalah bilangan asli P , tidak termasuk 1, yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan P sendiri, kita daftarkan bilangan prima pertama yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

3

Bilangan-bilangan Irrasional : bilangan riil yang tidak rasional, jadi himpunan bilangan irasional adalah komplemen dari himpunan bilangan rasional Q dalam bilangan riil, oleh 0 karena √ itu Q menyatakan bilangan irasional. Contoh : √ 2, 7, π dan seterusnya.

4

Bilangan-bilangan Kompleks :√bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a + bi. Contoh : −1 Rollback Malaria :)



Ketidaksamaan

Definisi : Bilangan riil a lebih kecil daripada bilangan riil b, yang dituliskan a < b, jika b − a sebuah bilangan positif.

Rollback Malaria :)



Ketidaksamaan

Sifat-sifat berikut dari hubungan a < b dapat dibuktikan. Misalkan a, b dan c adalah bilangan-bilangan Riil, maka : P1 P2 P3 P4 P5

: : : : :

Salah satunya a < b, a = b atau b < a Jika a < b dan b < c, maka a < c Jika a < b, maka a + c < b + c Jika a < b, dan c positif, maka ac < bc Jika a < b dan c negatif, maka bc < ac

Secara Geometris, jika a < b maka titik a pada garis riil terletak disebelah kiri titik b. Kita menyatakan a < b dengan b > a, yang dibaca ”b lebih besar daripada a”. Selanjutnya ditulis a ≤ b atau b ≥ a, jika a < b atau a = b, yaitu jika a tidak lebih besar daripada b.

Rollback Malaria :)



Contoh

1

2 < 5; − 6 ≤ −3 dan 4 ≤ 4; 5 > −8.

2

Notasi x < 5 berarti bahwa x adalah bilangan riil yang lebih kecil daripada 5; oleh karena itu x terletak disebelah kiri 5 pada garis riil.

3

Notasi 2 < x < 7 berarti 2 < x dan juga x < 7; oleh karena itu x akan terletak diantara 2 dan 7 pada garis riil.

Rollback Malaria :)



Ketidaksamaan

Pernyataan 1: Perhatikan konsep urutan, yaitu hubungan a < b, didefinisikan dengan menggunakan konsep bilangan posiitif. Sifat mendasar dari bilangan-bilangan positif yang digunakan untuk membuktikan sifat-sifat dari hubungan a < b adalah bilangan-bilangan positif tertutup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian. Pernyataan 2: Pernyataan berikut adalah benar apabila a, b, c adalah sebarang bilangan-bilangan riil: 1 2 3

a ≤ a. Jika a ≤ b dan b ≤ a maka a = b. Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c.

Rollback Malaria :)



Harga Mutlak Harga mutlak dari bilangan riil x, dinyatakan oleh, |x| didefinisikan oleh rumus | x |=

x jika x ≥ 0 −x jika x < 0

yaitu, jika x positif atau nol maka |x| sama dengan x, dan jika x negatif maka | x | sama dengan −x. Akibatnya, harga mutlak dari bilangan apa pun, selalu tidak negatif, yang berarti |x| ≥ 0 untuk setiap x ∈ R. Rollback Malaria :)



Harga Mutlak

Secara geometris, maka harga mutlak dari x adalah jarak antara titik x pada garis riil dengan titik asal yaitu titik 0. Selanjutnya, jarak antara dua titik apa pun yaitu bilangan-bilangan riil a dan b adalah |a − b| = |b − a|.

Rollback Malaria :)



Harga Mutlak

Contoh 1: 1

| − 2|

2

|7|

3

−π

4

|3 − 5|

5

|8 − 3|

Contoh 2: Pernyataan |x| < 5 Berarti jarak antara x dan titik asal lebih kecil daripada 5 yang berarti x haruslah terletak diantara −5 dan 5 pada garis riil.

Rollback Malaria :)



Interval (Selang)

Interval : Bilangan a dan b adalah bilangan riil dan a < b maka himpunan bagian dari R : 1

A1 = {x| a < x < b}

2

A2 = {x| a ≤ x < b}

3

A3 = {x| a ≤ x ≤ b}

4

A4 = {x| a < x ≤ b}

Rollback Malaria :)



Interval (Selang)

Khusus untuk interval di atas kadang-kadang dinyatakan oleh, 1

A1 = (a, b)

2

A2 = [a, b)

3

A3 = [a, b]

4

A4 = (a, b]

Rollback Malaria :)



Interval-Interval Tak Berhingga Himpunan-himpunan yang berbentuk, 1

A = {x|x < a}

2

B = {x|x > a}

3

C = {x|x ≤ a}

4

D = {x|x ≥ a}

5

E = {x|x ∈ R}

disebut interval tak berhingga dan dapat dinyatakan oleh, 1

A = (−∞, a)

2

B = (a, +∞)

3

C = (−∞, a)

4

D = (a, +∞]

5

E = [−∞, +∞) Rollback Malaria :)



Interval-Interval Tak Berhingga

Contoh: Gambarkan interval-interval tak berhingga dari himpunan-himpunan berikut, 1

A = {x|x > 1}

2

B = {x|x ≥ 2}

3

C = {x|x < 3}

4

D = {x|x ≤ 4}

5

E = {x|x ∈ R}

Rollback Malaria :)



Latihan

Tunjukkan apakah masing-masing bilangan-bilangan berikut ini benar atau salah. 2

−7 ∈ N √ 2 ∈ Q0

3

4∈Z

4

9∈P

5

−6 ∈ Q

1

Rollback Malaria :)



Latihan

1

Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk notasi 1 2 3

2

a lebih kecil daripada b a tidak lebih besar daripada atau sama dengan b a lebih kecil daripada atau sama dengan b

Sisipkan antara pasangan bilangan berikut simbol yang benar. 1 2 3

3... − 9 −4... − 8 −5...3

Rollback Malaria :)



Latihan 1

Hitunglah, 1 2 3 4

2

Tuliskan kembali tanpa tanda harga mutlak, 1 2

3

|x| < 3 |x − 2| < 5

Tulis kembali interval-interval berikut dalam bentuk diskriptif (pembentuk himpunan) 1 2 3

4

|3 − 5| | − 3 + 5| | − 2| − | − 6| |3 − 7| − | − 5|

M = [−3, 5) S = (3, 8) T = [0, 4]

Gambarkan interval R = (−1, 2], S = [−2, 2) dan T = (0, 1) pada garis riil. Rollback Malaria :)



Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Recommend Documents