MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 4 Oktober 2013
Latihan (Kuliah yg Lalu) 1. Tentukan pada selang mana grafik fungsi f(x) = x3 – 2x 2 2 + x + 1 1 naik ik atau t turun. Tentukan t T t k pula l pada selang mana ia cekung ke atas atau cekung ke bawah, serta bawah serta titik belok‐nya, bila belok nya bila ada. ada 2. Air dituangkan ke dalam tangki berbentuk kerucut terbalik dengan laju 8 dm 8 dm3/menit. /menit Jika tinggi tangki tersebut adalah 24 dm dan jari‐jari permukaan atasnya 12 dm, nyatakan 12 dm nyatakan tinggi air (h) sebagai fungsi dari waktu (t). Selidiki kemonotonan dan kecekungan grafik fungsi h(t). 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 3.3 Maksimum 3 3 Maksimum dan Minimum Lokal Minimum Lokal Menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari suatu fungsi yang diberikan. yang diberikan 3.4 Masalah Maksimum dan Minimum Memecahkan masalah maksimum dan minimum.
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
3
MA1101 MATEMATIKA 1A
3.3 MAKSIMUM DAN MINIMUM LOKAL Menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari suatu fungsi yang diberikan.
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
4
Maksimum dan Minimum Lokal Minimum Lokal Nilai f(c) disebut nilai maksimum lokal f jika ter‐ dapat δ > 0 sehingga f(c) ≥ f(x) pada I ∩ (c‐δ,c+δ). f(c)) disebut nilai minimum lokal f jjika ter‐ Nilai f( dapat δ > 0 sehingga f(c) ≤ f(x) pada I ∩ (c‐δ,c+δ). Nilai maksimum/minimum lokal maksimum/minimum lokal disebut nilai ekstrim lokal. y
0 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
x 5
Teorema: Uji Turunan Pertama Teorema: Uji Misalkan f kontinu di c. Jika f f ’(x) (x) >> 0 di sekitar kiri c dan f f ’(x) (x) << 0 0 di sekitar kanan c, maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal. lokal Jika f ’(x) < 0 di sekitar kiri c dan f ’(x) > 0 di sekitar kanan c, maka f(c) c maka f(c) merupakan nilai minimum lokal. Jika f f ’(x) (x) bertanda bertanda sama di sekitar kiri dan kanan c, maka f(c) bukan merupakan nilai ekstrim lokal. lokal 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
maks. lokal
min. lokal
bukan ekstrim
6
Contoh. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal i i l k l f(x) = x f( ) 3 – 12x. Jawab: f Jawab: f ’(x) (x) = 3x 3x2 – 12 12 = 3(x 3(x – 2)(x 2)(x + 2) 2) mem mem‐ punyai tanda sbb: +++
––– ‐2
+++ 2
Menurut Uji Turunan Pertama, f(‐2) merupakan nilai maksimum lokal dan f(2) merupakan nilai minimum lokal, sesuai dengan yang kita lihat pada grafiknya. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
7
Grafik fungsi f(x) = x f(x) = x3 – 12x. 12x 20 16 12 8 4 0 -4
-3
-2
-1 -4 0
1
2
3
4
-8 -12 12 -16 -20
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
8
Teorema: Uji Turunan Kedua Teorema: Uji Misalkan f f ’(c) (c) = 0 = 0 dan f mempunyai turunan kedua pada suatu selang yang memuat c. Jika f f ’’(c) (c) < 0, maka < 0 maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal. Jik f ’’(c) > 0, maka Jika f ’’( ) 0 k f(c) f( ) merupakan k nilai il i minimum lokal. Catatan: Dalam hal f ’’(c) = 0, tidak ada kesimpulan apa‐apa tentang f(c). Titik (c,f(c)) belum tentu merupakan titik belok. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Contoh. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal i i l k l f(x) = x f( ) 3 – 12x. JJawab: f ’(x) = 3x b f ’( ) 3 2 – 12 = 0 12 0 di x = ‐2 2 dan d di x = 2. 2 Dengan Uji Turunan Kedua, kita hitung f ’’(x) = 6x < 0 di x = ‐2; jadi f(‐2) merupakan nilai maksimum lokal. Sementara itu, f ’’(x) = 6x > 0 di x = 2; jadi f(2) merupakan nilai minimum lokal. Catatan: Hasil ini sesuai dengan hasil sebelumnya. Catatan: Hasil sebelumnya 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
10
Latihan Menggunakan Uji Turunan Pertama, tentukan Pertama, tentukan nilai ekstrim lokal fungsi berikut: 1 f(x) 1. f(x) = x = x4 – 2x2 + 3. +3 2. h(x) = x/2 – sin x, 0 < x < 2π. Menggunakan Uji Turunan Kedua, tentukan nilai ekstrim lokal fungsi berikut: 3. g(x) = x + 1/x, x ≠ 0. 4. F(x) F(x) = 64/(sin x) + 27/(cos 64/(sin x) + 27/(cos x), 0 < x < π/2. x), 0 < x < π/2. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
11
MA1101 MATEMATIKA 1A
3.4 MASALAH MAKSIMUM & MINIMUM Memecahkan masalah maksimum dan minimum.
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
12
Contoh 1. Tentukan titik pada lingkaran x2 + y2 = 1 yang terdekat d k ke k titik i ik P(1,2). ( ) Jawab: Misalkan Jawab: Misalkan s menyatakan jarak titik (x,y) pada lingkaran x2 + y2 = 1 ke titik P(1 2) yakni P(1,2), yakni s = √(x – 1)2 + (y – 2)2. K Karena meminimumkan i i k s sama dengan d meminimumkan s2, kita tinjau D = s2, D = (x – ( 1)2 + (y – ( 2)2 = x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 6 – 6 2x – 2 4√1 – 4√1 x2. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
P
13
Turunkan D terhadap x, kita x kita peroleh dD/dx = ‐2 + 4x/√1 – x2. Perhatikan bahwa dD/dx = 0 bila 4x = 2√1 – x2, yyaitu apabila p x = 1/√5. [Kita pilih / [ p x > 0.]] Dengan memeriksa tanda dD/dx di sekitar 1/√5, –––
+ + + 1/√5
kita simpulkan bahwa D mencapai minimum di minimum di x = 1/√5. Jadi titik terdekat ke P(1,2) adalah (1/√5,2/√5). 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Contoh 2. Pak Umar akan memagari kebunnya d dengan menggunakan k 100 m 100 pagar dan d ia i ingin i i menjadikan sebagian atau seluruh sisi gudang yang panjangnya j 20 sebagai 20 m b i bagian b i dari d i salah l h satu sisi kebun (lihat gambar). Tentukan luas k b maksimum kebun ki yang dapat d di dipagari. i 20
20
x
x 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
15
Contoh 3. Tentukan panjang tangga terpendek yang menghubungkan h b k lantai l i ke k dinding. di di
P 1 2
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
16
Latihan 1. Tentukan titik pada hiperbola x2 – 4y2 = 4 yang terdekat d k ke k titik i ik Q(5,0). Q(5 0) 2. Sebuah pulau kecil berjarak 2 km dari titik terdekat P pada garis pantai. Jika seseorang di pulau tersebut dapat mendayung perahunya dengan laju 3 km/jam dan berjalan kaki di pantai 4 km/jam, di mana ia harus berlabuh agar sampai di Q yang berjarak 5 km dari P dalam waktu yang paling singkat? 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
17
