MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 11 April 2014
Kuliah yang Lalu yang Lalu 12.1 Fungsi . u gs dua (atau lebih) peubah eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan 12.6 Aturan Rantai 12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II 12.7 Bidang Bag II 12.8 Maksimum dan minimum 12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode Lagrange 4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini 13.1 Integral Lipat 13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 Integral Lipat 33 l i Dua atas Daerah Bukan h k Persegi Panjang 13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar 13.5 Penggunaan gg Integral Lipat g p Dua
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG Menghitung atau menaksir integral lipat integral lipat dua atas persegi panjang dengan menggunakan definisi
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Ingat: Integral Tentu untuk Fungsi Satu Peubah b hn
Jumlah Riemann untuk f , , f (ti )).xi i 1
merupakan hampiran untuk luas daerah di bawah kurva y = f(x), x є y n= f(x) x є [a,b]. Jika [a b] Jika
lim f (ti ).xi
| P| 0
i 1
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b] dd f didefinisikan k sebagai b b
n
f ( x)dx lim f (t ).x a
10/25/2013
| P| 0
i 1
i
(c) Hendra Gunawan
i
0
1/3
½ ¾ 7/8 1 5
Jumlah Riemann Fungsi Riemann Fungsi Dua Peubah Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} {( ,y) , y } dan f : S R kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ai, dengan panjang ∆xi dan lebar ∆yi, dan dan di tiap Ai pilih titik sampel (xi,yi). Maka diperoleh jumlah Riemann n
f ( x , y )A i 1
i
i
i
yg merupakan k hampiran h i volume ruang l di antara permukaan z = f(x,y) dan persegi p g p panjang j g S. 4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
S
6
Integral Lipat Fungsi Dua Peubah Integral Lipat Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisi yang terdefinisi pada persegi panjang S. Jika n
lim
|| P||0
f ( x , y )A i 1
i
i
i
ada, maka ada maka f dikatakan terintegralkan pada S. S Selanjutnya, n
f ( x, y)dA : lim f ( x , y )A S
|| P|| 0
i 1
i
i
i
di b t integral lipat disebut i t l li t dua d dari d i f pada d S. S 4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Contoh Diketahui persegi panjang S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}. 64 8 x y dA T k i nilai Taksir il i 16 S 2
dengan g jjumlah Riemann, , dengan membagi S atas 8 persegi sama besar dan memilih titik‐titik tengah tiap persegi sebagai titik sampelnya. l 4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Jawab: Kita hitung Jawab: Kita hitung nilai f di titik‐titik titik titik sampel: sampel: f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16, f(1 7) = 105/16 f(3 1) = 41/16 f(3 3) = 49/16 f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) = 49/16, f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16. L l d Lalu, dengan ∆Ai = 4, kita 4 kit peroleh l h 8 64 8 x y 6 dA f ( xi , yi )Ai S 16 i 1 2
4 (57 65 81 105 41 49 65 89) 138. 16 4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Teorema Keterintegralan Jika f kontinu (kecuali pd suatu pd suatu kurva) kurva) dan terbatas pada persegi panjang S, maka k f terintegralkan t i t lk pada d S. S Contoh: Setiap polinom dua peubah terintegralkan pada sembarang persegi panjang. 4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
10
Sifat‐Sifat Sifat Sifat Integral Lipat Integral Lipat Dua 1. Linear: Jika k R, maka a.
kf ( x, y)dA k f ( x, y)dA . S
b.
S
[ f ( x, y) g ( x, y)]dA f ( x, y)dA g ( x, y)dA S
S
S
2 Aditif: Jika 2. Aditif: Jika S = S = S1 U S U S2, maka maka
f ( x, y)dA f ( x, y)dA f ( x, y)dA S
S1
S2
3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y) S, maka
f ( x, y)dA g ( x, y)dA. S
4/11/2014
S
(c) Hendra Gunawan
11
MA1201 MATEMATIKA 2A
13.2 INTEGRAL BERULANG 13.2 INTEGRAL BERULANG Menghitung integral lipat dua (pada persegi panjang) sebagai j ) b i integral berulang i t lb l
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Menghitung Integral Lipat Integral Lipat Dua Jika f terintegralkan g pada p p persegi g p panjang j g S = [a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada S p dihitungg sebagai g integral berulang: g g dapat d b
atau
f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy S
c a b d
f ( x, y)dA f ( x, y)dydx. S
a c
Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajar sumbu x terlebih dahulu. sumbu‐x dahulu 4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Contoh 1 Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8], 64 8 x y 2 dA sbg integral berulang hitung 16 S dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu. dahulu. 8 4 x y2 64 8 x y 2 Jawab: dA 4 dxdyy 16 2 16 S 0 0
y2 12 dy d 4 0 512 2 96 138 . 12 3 (c) Hendra Gunawan 8
4/11/2014
14
Contoh 2 Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8], 64 8 x y 2 dA sbg integral berulang hitung 16 S dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu. dahulu. 4 8 64 8 x y 2 x y2 Jawab: dA 4 dydx y 16 2 16 S 0 0
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Catatan Pengintegralan berulang: Terhadap y dahulu, l l terhadap lalu h d x:
Terhadap x dahulu, l l terhadap lalu h d y:
S
4/11/2014
S
(c) Hendra Gunawan
16
Soal Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1], hitung xe xy dA sebagai integral berulang. S
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
17
MA1201 MATEMATIKA 2A
13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAH BUKAN PERSEGI PANJANG Menghitung integral lipat integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Bagaimana menghitung integral lipat pada d daerah d h bukan b k persegi panjang?
S
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Integral pada Daerah y Integral pada Daerah y‐Sederhana Sederhana Himpunan S disebut yy‐sederhana sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai S = {(x,y) : u = {(x y) : u1(x) ≤ y ≤ u (x) ≤ y ≤ u2(x), a ≤ x ≤ b}, (x) a ≤ x ≤ b} dengan u1(x) dan u2(x) kontinu. D l Dalam h l ini, integral f hal i i i l f pada d S dapat d dihitung sebagai
S
b u2 ( x )
f ( x, y)dA f ( x, y)dydx. S
4/11/2014
b
a
a u1 ( x )
(c) Hendra Gunawan
20
Integral pada Daerah x Integral pada Daerah x‐Sederhana Sederhana Himpunan S disebut xx‐sederhana sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai S = {(x,y) : v = {(x y) : v1(y) ≤ x ≤ v (y) ≤ x ≤ v2(y), c ≤ y ≤ d}, (y) c ≤ y ≤ d} dengan v1(y) dan v2(y) kontinu. D l Dalam h l ini, integral f hal i i i l f pada d S dapat dihitung sebagai
S
4/11/2014
S c
d v2 ( y )
f ( x, y)dA
d
f ( x, y )dxdy.
c v1 ( y ) (c) Hendra Gunawan
21
Contoh 1 Hitung
xydA apabila S adalah daerah tertutup S
yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1. J Jawab: b
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Contoh 2 Hitung e dA apabila S adalah daerah tertutup x2
S
yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dan sumbu x sumbu‐x. Jawab:
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
23
Soal 1 Tentukan volume benda pejal yang terletak di Oktan I dan dibatasi oleh paraboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, dan bidang‐bidang koordinat.
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Soal 2 Hitung
2 x dA apabila S
S
adalah daerah cincin yg dibatasi oleh lingkaran x2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.
4/11/2014
(c) Hendra Gunawan
0
1
2
25