DRUHY VÝŠEK A JEJICH TEORETICKÝ PRINCIP Hynčicová Tereza, H2IGE1 2014
ÚVOD o Pro určení výšky bodu na zemském povrchu je nutné definovat vztažnou (nulovou) plochu a jeho výškovou polohu nad touto plochou o V ČR standardně pracujeme s výškami vztahujícími se ke kvazigeoidu (v kombinaci s rovinnými souřadnicemi v S-JTSK) či s výškami elipsoidickými (vztaženy k elipsoidu WGS 84, určovány pomocí systémů GNSS) o Mezi elipsoidickými výškami 𝑯𝑯𝒆𝒆𝒊𝒊 a kvazigeoidickými výškami 𝑯𝑯𝒊𝒊 platí vztah: 𝑯𝑯𝒆𝒆𝒊𝒊 = 𝑯𝑯𝒊𝒊 + 𝜻𝜻𝒊𝒊 , kde 𝜻𝜻𝒊𝒊 je převýšení kvazigeoidu nad elipsoidem v bodě i
GEOID o Geoid je nepravidelné těleso, geofyzikální vyjádření tvaru Země, které je definované zvoleným základním tíhovým potenciálem W0 o Konstantní tíhový potenciál 𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. obecně definuje hladinovou plochu, která je ve všech bodech kolmá k tížnicím o Základní tíhový potenciál 𝑊𝑊0 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘. je volen tak, aby se plocha geoidu co nejlépe shodovala se střední hladinou moří o Pro elementární změnu dW platí:
𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌.,
kde dh je diferenciální změna výšky podél tížnice
GEOID o Tento vztah je označován jako Brunsův teorém (BT) a je základní diferenciální rovnicí v teorii výšek o Jelikož tíhové zrychlení roste směrem od rovníku k pólům, hladinové plochy se směrem k pólům sbíhají (dh=100m na rovníku ~ 99,473m na pólech)
DRUHY VÝŠEK o Praktickým důsledkem Brunsova teorému je fakt, že výsledek nivelace je závislý na cestě, po které nivelujeme o Výsledky je nutné opravovat o korekce ze sbíhavosti hladinových ploch o Podle zavedených korekcí a způsobu určení tíhového zrychlení rozeznáváme různé druhy výšek: o Geopotenciální kóty o Pravé ortometrické výšky o Normální ortometrické výšky o Normální Moloděnského výšky o Dynamické výšky
GEOPOTENCIÁNÍ KÓTY o Je-li 𝑊𝑊0 potenciál na geoidu a 𝑊𝑊B potenciál na zemském povrchu dle BT platí: 𝐵𝐵
𝑊𝑊𝐵𝐵 − 𝑊𝑊0 = − � 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑 0
o Zápornou hodnotu rozdílu potenciálů 𝐶𝐶𝐵𝐵 , 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑩𝑩
𝑪𝑪𝑩𝑩 = 𝑾𝑾𝟎𝟎 − 𝑾𝑾𝑩𝑩 = � 𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅 , 𝟎𝟎
nazýváme geopotenciální kótou bodu B o Je úměrná práci potřebné k přesunu jednotkové hmotnosti z geoidu na hladinovou plochu procházející bodem B
GEOPOTENCIÁNÍ KÓTY o Vyjadřují se v geopotenciálních jednotkách upg (1 upg = 10 m2 s-2) o Pro praktická využití v předchozím vzorci nahrazujeme integrál sumou součinů hodnot naměřených na jednotlivých stanoviscích o Jejich výhodou je, že je lze vypočíst pouze z hodnot měřených na povrchu o Nejde o výšky, od nich se liší cca o 2% o Jsou používány v mezinárodní evropské nivelační síti UELN
PRAVÉ ORTOMETRICKÉ VÝŠKY o Definovány jako délka tížnice mezi geoidem a daným bodem o Platí: 𝐵𝐵
𝐵𝐵
� 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑 = � 𝑔𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑 0
𝐵𝐵0
𝑔𝑔𝑔nahradíme její
střední hodnotou 𝐵𝐵 ∫0 𝑔𝑔
𝐵𝐵
𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔𝑚𝑚 ∫𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 𝑩𝑩
𝑯𝑯𝑩𝑩 𝒈𝒈
𝟏𝟏 𝑪𝑪𝑩𝑩 𝑾𝑾𝟎𝟎 − 𝑾𝑾𝑩𝑩 = 𝑩𝑩 � 𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑩𝑩 = 𝒈𝒈𝒎𝒎 𝟎𝟎 𝒈𝒈𝒎𝒎 𝒈𝒈𝑩𝑩 𝒎𝒎
PRAVÉ ORTOMETRICKÉ VÝŠKY o Jelikož hodnoty tíhového zrychlení nelze přímo měřit, nelze přesně určit ani jejich střední hodnotu o Pravé ortometrické výšky (přesné výšky nad geoidem) nelze vůbec určit a mají jen teoretický význam o Různi autoři (např. Helmert) ve vzorci užívali přibližnou hodnotu střední hodnoty tíhového zrychlení a pracovali tedy s přibližnými ortometrickými výškami (v geodetické praxi se nepoužívají)
NORMÁLNÍ ORTOMETRICKÉ VÝŠKY o Měření hodnot tíže bylo až do 30. let minulého století zdlouhavé a nákladné, a proto bylo místo skutečného tíhového pole uvažováno pole normální 𝐵𝐵 𝐵𝐵 , o Místo hodnoty 𝑔𝑔𝑚𝑚 se užívá hodnota 𝛾𝛾𝑚𝑚 která je rovna normálnímu tíhovému zrychlení v poloviční výšce bodu B
o Normální ortometrická výška je definována:
Lze rozvést v: 𝑯𝑯𝑩𝑩 𝜸𝜸 = 𝐵𝐵 𝐻𝐻𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝑯𝑯𝑩𝑩 𝜸𝜸
𝟏𝟏 = 𝑩𝑩 � 𝜸𝜸 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝜸𝜸𝒎𝒎
𝟏𝟏 𝑩𝑩 𝜸𝜸 ∫ 𝒎𝒎 𝜸𝜸𝑩𝑩 𝒎𝒎
z nivelace
𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝜸𝜸𝟏𝟏𝑩𝑩 ∫(𝜸𝜸 − 𝜸𝜸𝑩𝑩 𝒎𝒎 ) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒎𝒎
𝑐𝑐𝛾𝛾𝐵𝐵 normální ortometrická korekce (ze sbíhavosti hl. pl.)
NORMÁLNÍ ORTOMETRICKÉ VÝŠKY
o Normální ortometrickou výšku bodu B lze tedy psát jako: 𝑩𝑩 𝑩𝑩 𝑯𝑯𝑩𝑩 = 𝑯𝑯 + 𝒄𝒄 𝜸𝜸 𝜸𝜸 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 o Pro naše území je pro 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝜸𝜸 užíván zjednodušený ale dostatečně přesný vzorec: 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝜸𝜸 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝑯𝑯𝒔𝒔 𝚫𝚫𝚫𝚫𝚫𝚫 [mm], kde
𝐻𝐻𝑆𝑆 je průměr prozatímních výšek [m] 𝛥𝛥𝛥𝛥 je rozdíl zeměpisných šířek obou stanovisek [´´] o Z této teorie je zřejmé, že body na stejné hladinové ploše mají různé ortometrické výšky
NORMÁLNÍ MOLODĚNSKÉHO VÝŠKY
o Výšky užívané v systému Bpv o Vzorec vychází z definice pravé ortomentrické 𝐵𝐵 výšky, kde střední hodnotu 𝑔𝑔𝑚𝑚 nahradíme 𝐵𝐵 hodnotou 𝛾𝛾𝑚𝑚 , kterou jsme schopni přesně vypočíst o Normální výška 𝐻𝐻𝑁𝑁𝐵𝐵 bodu B je tedy:
𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑩𝑩 𝑵𝑵 = 𝑩𝑩 � 𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝜸𝜸𝒎𝒎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝑩𝑩 𝑩𝑩 Lze psát: 𝑯𝑯𝑵𝑵 = 𝑩𝑩 ∫ 𝜸𝜸𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝑩𝑩 ∫(𝒈𝒈 − 𝜸𝜸𝑩𝑩 𝒎𝒎 ) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝜸𝜸 𝜸𝜸 𝒎𝒎
norm. ort. výška 𝐻𝐻𝛾𝛾𝐵𝐵 = 𝐻𝐻𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑐𝑐𝛾𝛾𝐵𝐵
𝒎𝒎
korekce z anomálií tíže 𝑐𝑐(𝑔𝑔−𝛾𝛾)
NORMÁLNÍ MOLODĚNSKÉHO VÝŠKY
o Rozdíl normálních výšek bodů:
𝑨𝑨,𝑩𝑩 𝑨𝑨,𝑩𝑩 𝑨𝑨,𝑩𝑩 𝜟𝜟𝑯𝑯𝑨𝑨,𝑩𝑩 = 𝜟𝜟𝑯𝑯 + 𝒄𝒄 + 𝒄𝒄 𝜸𝜸 𝑵𝑵 (𝒈𝒈−𝜸𝜸) , kde 𝒎𝒎𝒎𝒎 normální korekce 𝑐𝑐𝑁𝑁𝐴𝐴,𝐵𝐵
𝐴𝐴,𝐵𝐵 𝑐𝑐(𝑔𝑔−𝛾𝛾) představuje korekci z normálního pole Země na pole skutečné Její hodnotu lze pro celé území bývalé ČSR vyjádřit jako:
𝒄𝒄𝑨𝑨,𝑩𝑩 (𝒈𝒈−𝜸𝜸) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈𝒈 − 𝜸𝜸 𝜟𝜟𝑯𝑯𝒎𝒎𝒎𝒎 [mm], kde 𝒈𝒈 − 𝜸𝜸 =Δ𝑔𝑔𝐹𝐹 = Δ𝑔𝑔𝐵𝐵 + 0,1119𝐻𝐻 [mgal]
Δ𝑔𝑔𝐹𝐹 (Δ𝑔𝑔𝐵𝐵 ) představuje Fayeovu (Bouguerovu) anomálii
NORMÁLNÍ MOLODĚNSKÉHO VÝŠKY
o Hodnoty korekcí anomálií tíže dosahují několika násobně vyšších hodnot než korekce ze sbíhavosti hladinových ploch o Tyto výšky jsou velmi vhodné pro vědecké i praktické účely - určují se jen z nivelačních a tíhových měření na povrchu (nezávislé na rozložení hmot) o Při výpočtu se respektuje skutečné vnější tíhové pole, přesnost závisí pouze na přesnosti měřených veličin o Vztažnou plochou je kvazigeoid, jehož výšky vzhledem k elipsoidu lze také s požadovanou přesností určit (astronomická nivelace)
DYNAMICKÉ VÝŠKY o Vzorec vychází z definice pravé ortomentrické 𝐵𝐵 výšky, kde střední hodnotu 𝑔𝑔𝑚𝑚 nahradíme �: libovolnou konstantní hodnotou 𝜸𝜸 𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝑪𝑪𝑩𝑩 𝑩𝑩 𝑯𝑯𝒅𝒅 = � 𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒅𝒅 = � 𝟎𝟎 � 𝜸𝜸 𝜸𝜸
o Za 𝛾𝛾̅ často volíme 𝛾𝛾45° , ale můžeme dosadit i např. střední hodnotu tíhového zrychlení pro určité území a vypočítat tak „místní dynamické výšky“ o Definiční vztah lze rozepsat: 𝟏𝟏 𝑨𝑨,𝑩𝑩 𝑩𝑩 𝜟𝜟𝑯𝑯𝒅𝒅 = 𝑯𝑯𝒎𝒎𝒎𝒎 + �(𝒈𝒈 − 𝜸𝜸𝟒𝟒𝟒𝟒° )𝜟𝜟𝜟𝜟 𝜸𝜸𝟒𝟒𝟒𝟒° dynamická korekce 𝑐𝑐𝑑𝑑𝐵𝐵
DYNAMICKÉ VÝŠKY o Jelikož jde o podíl geopotenciálních kót konstantou, body na určité hladinové ploše mají stejné dynamické výšky o Dynamické korekce dosahují tak velikých hodnot, že dynamická převýšení dvou bodů se značně liší od převýšení určeného nivelací (od normálních výšek se liší v řádů dm), a proto se v naší technické praxi nepoužívají
o Literatura: Vykutil, J.: Vyšší geodézie, Kartografie, n. p., Praha, 1982, 1. vydání.
DĚKUJI ZA POZORNOST
