DRUHY ROVNOB ŽNÍK
A JEJICH VLASTNOSTI
1 HODINA Podívej se na následující obrázek:
Na obrázku je rovnob žník s vyzna eným pravým úhlem. Odpovídej na otázky: ? Jaká je velikost vnit ního úhlu p i vrcholu C ? Je rovna 90˚, protože podle jedné z vlastnosti rovnob žníku platí, že velikosti úhl protilehlých vrchol rovnob žníku jsou shodné ? Jaká je velikost vnit ních úhl p i vrcholech B, D ?
u
Op t 90˚, protože podle další vlastnosti rovnob žníku platí, že sou et dvou sousedních vnit ních úhl je 180˚, proto nap íklad úhel p i vrcholu B má velikost 180 180 90 90 Shrnutí: Je-li jeden z vnit ních úhl vnit ní úhly rovnob žníku. Jsou-li všechny vnit ní PRAVOÚHELNÍK
úhly
rovnob žníku pravý, pak jsou pravé všechny
rovnob žníku
pravé,
nazývá
se
rovnob žník
Není-li žádný z vnit ních KOSOÚHELNÍK
úhl
90 ;
rovnob žníku
90 ;
90 ;
pravý,
nazývá
se
rovnob žník
90
PRAVOÚHELNÍK -
je to rovnob žník, jehož sousední strany jsou na sebe kolmé (všechny vnit ní úhly mají velikost 90˚) pravoúhelník, jehož sousední strany jsou stejn dlouhé, se nazývá tverec pravoúhelník, jehož sousední strany nejsou stejn dlouhé, se nazývá obdélník TVEREC
Zakresli si na tvere kovaný papír tverec o stran mající nap . délku p ti stran tvere k na tvere kovaném papí e (viz. obr.) nebo lépe v tší. Vyzna si na obrázku také úhlop í ky tverce a pr se ík S úhlop í ek.
? Zm si velikosti obou úhlop í ek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil ? Úhlop í ky mají stejnou velikost ? Zm si úhel, který úhlop í ky svírají a rozhodni, jakou vlastnost v má bod S ? Úhlop í ky spolu svírají pravý úhel, v bod S se úhlop í ky vzájemn p lí
i úhlop í kám
? Na jaké rovinné útvary nám nap . úhlop í ka AC rozd lí tverec ? Na dva shodné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC a ADC se spole nou základnou AC ? Na jaké rovinné útvary nám tverec rozd lí ob úhlop í ky ? Na ty i shodné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky s pravým úhlem u vrcholu S ? Je tverec st edov soum rný útvar (existuje ve tverci n jaký bod, pomocí n hož se tverec ve st edové soum rnosti s tímto bodem zobrazí sám na sebe) ? Ano, tverec je st edov soum rný útvar se st edem soum rnosti S, platí totiž:
S (S ) : A
C
S (S ) : B
D
S (S ) : X
Y
S S :S
S
ve st edové soum rnosti se st edem S se bod A zobrazí do bodu C ; AS
sa mod ružný bod (bod, který se zobrazí sám na sebe)
SC
? Je tverec osov soum rný útvar (existuje n jaká osa, pomocí které se tverec zobrazí sám na sebe ? Ano, tverec je osov soum rný útvar, existují ty i osy soum rnosti (viz obr.) O (o1 ) : A C O (o1 ) : B
B sa mod ružný bod
O (o1 ) : K
L;
kolmá (nejkratší) vzdálenost bod K, L od osy o1 je stejná
OBDÉLNÍK
Zakresli si na tvere kovaný papír obdélník o stranách majících nap . délku p ti a t í stran tvere k na tvere kovaném papí e (viz. obr.) nebo lépe v tší. Vyzna si na obrázku také úhlop í ky tverce a pr se ík S úhlop í ek.
? Zm si velikosti obou úhlop í ek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil ? Úhlop í ky mají stejnou velikost ? Zm si úhel, který spolu úhlop í ky svírají a rozhodni, jakou vlastnost v i úhlop í kám má bod S ? Úhlop í ky spolu nesvírají pravý úhel, ale úhel ostrý (úhel BSC) nebo tupý (úhel ASB), v bod S se úhlop í ky vzájemn p lí podobn jako u tverce ? Na jaké rovinné útvary nám nap . úhlop í ka AC rozd lí obdélník ? Na dva shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky ABC a ADC se spole nou základnou AC ? Na jaké rovinné útvary nám obdélník rozd lí ob úhlop í ky ? Na dv dvojice shodných rovnoramenných trojúhelník (ABS a CDS; BSC a DSA) se základnami na obvodu obdélníku (AB a CD; BC a DA). Trojúhelníky jsou shodné nap . podle v ty sss.
? Je obdélník st edov soum rný útvar (existuje v obdélníku n jaký bod, pomocí n hož se obdélník ve st edové soum rnosti s tímto bodem zobrazí sám na sebe) ? Ano, obdélník je st edov soum rný útvar se st edem soum rnosti S, platí totiž: S ( S ) : A C ve st edové soum rnosti se st edem S se bod A zobrazí do bodu C ; AS SC S (S ) : B
D
S (S ) : X
Y
S S :S
S
sa mod ružný bod (bod, který se zobrazí sám na sebe)
? Je obdélník osov soum rný útvar (existuje n jaká osa, pomocí které se tverec zobrazí sám na sebe ? Ano, obdélník je osov soum rný útvar, existují dv osy soum rnosti (viz obr.) O (o1 ) : A D O (o1 ) : B
D sa mod ružný bod
O (o1 ) : K
L
kolmá (nejkratší ) vzdálenost bod K, L od osy o1 je stejná
O (o1 ) : X
X
sa mod ružný bod
KOSOÚHELNÍK -
je to rovnob žník, jehož vnit ní úhly nejsou pravé, dva vnit ní úhly jsou ostré a dva vnit ní úhly jsou tupé kosoúhelník, jehož sousední strany jsou stejn dlouhé, se nazývá koso tverec kosoúhelník, jehož sousední strany nejsou stejn dlouhé, se nazývá kosodélník
KOSO TVEREC Nakresli si libovolný koso tverec dle následujícího postupu: 1. Narýsuj si libovolný rovnoramenný trojúhelník ABD se základnou AD a rameny AB, BD. Nech tento trojúhelník není pravoúhlý. 2. Sestroj st ed S strany BD 3. S ( S ) : A C - ve st edové soum rnosti se st edem S sestroj bod C jako obraz bodu A 4. M ením ov , zda jsi dostal koso tverec ABCD
Jaký rovinný útvar by jsi dostal, kdyby byl trojúhelník ABD pravoúhlý rovnoramenný ? Dostali bychom tverec ABCD P íklad koso tverce vidíš na obrázku:
? Zm si velikosti obou úhlop í ek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil ? Úhlop í ky mají r znou velikost – vlastnost, která platí pro kosodélníky ? Zm si úhel, který spolu úhlop í ky svírají a rozhodni, jakou vlastnost v i úhlop í kám má bod S ? Úhlop í ky spolu svírají pravý úhel, v bod S se úhlop í ky vzájemn (stejn jako u tverce) p lí ? Na jaké rovinné útvary nám nap . úhlop í ka AC rozd lí koso tverec ? Na dva shodné rovnoramenné trojúhelníky ABC a ADC se spole nou základnou AC ? Na jaké rovinné útvary nám koso tverec rozd lí ob úhlop í ky ? Na ty i shodné trojúhelníky ABS; BSC; CSD; DSA (podle v ty sss) ? Co m žeš íci o velikostech vnit ních úhl DAS a BAS ? Jsou shodné, protože také trojúhelníky DAS a BAS jsou shodné ? Jaký existuje vztah mezi úhlop í kou AS a vnit ním úhlem DAS ? Úhlop í ka AS je osou vnit ního úhlu p i vrcholu A (kterého ješt ?), p lí jej tedy na poloviny ? Je koso tverec st edov soum rný útvar ? Ano, koso tverec je st edov soum rný útvar se st edem soum rnosti S, platí totiž:
S (S ) : A
C
ve st edové soum rnosti se st edem S se bod A zobrazí do bodu C ; AS
S (S ) : B
D
S (S ) : X
Y - platí totiž XS
S S :S
S
SY
sa mod ružný bod (bod, který se zobrazí sám na sebe)
SC
? Je koso tverec osov soum rný útvar ? Koso tverec je osov soum rný útvar. Existují dv osy soum rnosti Úkol: Na obrázku máš n kolik os. Ukaž, které osy jsou a které nejsou osou soum rnosti koso tverce:
ešení: - osy o1, o2 nejsou osy soum rnosti koso tverce, protože nap : o o1 : X Y bod Y ale neleží na obvodu koso tverce(viz.obr.) - osy o3, o4 (úhlop í ky koso tverce) jsou osami soum rnosti koso tverce
KOSODÉLNÍK Nakresli si libovolný kosodélník dle následujícího postupu: 1. Narýsuj si libovolný nap íklad ostroúhlý trojúhelník ABD. Nech má trojúhelník r zné délky stran (není rovnoramenný). 2. Sestroj st ed S strany BD 3. S ( S ) : A C - ve st edové soum rnosti se st edem S sestroj bod C jako obraz bodu A 4. M ením ov , zda jsi dostal kosodélník ABCD
? Jaký rovinný útvar by jsi dostal, kdyby byl trojúhelník ABD pravoúhlý s pravým úhlem p i vrcholu A ? Dostali bychom obdélník ABCD ? Jaký rovinný útvar by jsi dostal, kdyby byl trojúhelník ABD rovnoramenný s rameny AB a AD ? Dostali bychom koso tverec ABCD ? Zm si velikosti obou úhlop í ek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil ? Úhlop í ky mají r znou velikost – vlastnost, která platí také pro koso tverec ? Zm si úhel, který spolu úhlop í ky svírají a rozhodni, jakou vlastnost v i úhlop í kám má bod S ? Úhlop í ky spolu nesvírají pravý úhel, ale úhel ostrý (úhel BSC) nebo tupý (úhel ASB) stejn jako u obdélníku, v bod S se úhlop í ky vzájemn p lí podobn jako u jiných rovnob žník ? P lí úhlop í ky vnit ní úhly u vrchol podobn jako nap . u koso tverce ? Nep lí. Aby úhlop í ky p lily nap . vnit ní úhel u vrcholu A, museli by být trojúhelníky ASB a ASD shodné. Nejsou však, liší se velikostí stran AD a AB (na rozdíl od koso tverce) ? Je kosodélník st edov soum rný útvar ? Ano, kosodélník je st edov soum rný útvar se st edem soum rnosti S ? Je kosodélník osov soum rný útvar ? Není osov soum rný útvar (porovnej s ko tvercem) Úkol: Koso tverec má dv osy soum rnosti (jsou to úhlop í ky koso tverce). Ukaž, že tyto úhlop í ky nejsou osami soum rnosti kosodélníku ABCD
ešení: Na obrázku je na koso tverci vyzna en bod X a jeho Y obraz v osové soum rnosti podle osy (úhlop í ky) AC. Vidíš, že obraz Y neleží na kosodélníku ABCD, proto koso tverec není osov soum rný podle úhlop í ky AC. Podobn se eší i pro úhlop í ku BD a další osy soum rnosti.
ZÁV
RE
NÉ SHRNUTÍ
DRUHY ROVNOB ŽNÍK
ROVNOB tverec
Obdélník
A JEJICH VLASTNOSTI
ŽNÍKY Koso tverec
Kosodélník
Všechny strany jsou Sousední strany Všechny strany jsou Sousední strany stejn dlouhé mají r zné délky stejn dlouhé mají r zné délky (rovnostranný (r znostranný (rovnostranný (r znostranný rovnob žník) rovnob žník) rovnob žník) rovnob žník)
Všechny vnit ní úhly jsou pravé (pravoúhelníky)
Žádný vnit ní úhel není pravý (kosoúhelníky)
Úhlop í ky se navzájem p lí
Úhlop í ky mají stejnou délku Úhlop í ky jsou k sob kolmé
Úhlop í ky k sob nejsou kolmé
Úhlop í ky nemají stejnou délku Úhlop í ky jsou k sob kolmé
Úhlop í ky k sob nejsou kolmé
St edov soum rné útvary Osov soum rný ( ty i osy soum rnosti)
Osov soum rný Osov soum rný (dv osy soum rnosti) (dv osy soum rnosti)
Není osov soum rný
