DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT TEORITIS 2 TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-10
Distribusi Hipergeometrik
Eksperimen hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi) 2. k dari N item dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu eksperimen hipergeometrik disebut dengan variabel random hipergeometrik dan distribusi probabilitas dari variabel random ini disebut dengan distribusi hipergeometrik.
1
Distribusi Hipergeometrik Distribusi probabilitas dari variabel random hipergeometrik X, jumlah sukses dalam sebuah sampel random berukuran n yang diambil dari N item yang mengandung k item sukses dan N – k gagal adalah:
h(x;N, n, k) =
⎛k ⎜⎜ ⎝x
⎞⎛ N − k ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎠⎝ n − x ⎠ ⎛N ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n ⎠
Distribusi Hipergeometrik (Contoh) Sebuah lot berisi 40 komponen akan ditolak seandainya dalam lot tersebut terdapat 3 atau lebih komponen yang rusak. Prosedur sampling yang ada adalah sebagai berikut: ambil sampel 5 komponen secara random, dan tolak lot tersebut seandainya ditemukan lebih dari 1 komponen yang rusak. Berapa probabilitas suatu lot yang mengandung 3 komponen yang rusak akan ditolak? Bagaimana komentar anda?
2
Rataan dan Deviasi Standar Distribusi Hipergeometrik Rataan dan variansi dari distribusi hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah:
µ=
nk N
σ2 =
N −n k ⎛ k ⎞ .n . ⎜1 − ⎟ N −1 n ⎝ N ⎠
Pendekatan Distribusi Binomial atas Distribusi Hipergeometrik
Pada saat n cukup kecil dibandingkan N, kondisi item-item dalam populasi akan kecil perubahannya. Sehingga k/N dapat dianggap konstan. Dalam hal ini k/N dapat dianggap sebagai parameter p pada distribusi binomial. Secara rule of thumb, pendekatan ini dapat digunakan jika n/N < 0,05
3
Pendekatan Dist. Binomial atas Dist. Hipergeometrik (Contoh) Sebuah pabrik komponen menyatakan dari 5000 produk yang diproduksi dalam satu batch, terdapat 1000 produk yang tidak sempurna. Jika seseorang membeli 10 produk dari batch ini secara random, berapakah probabilitas tepat 3 produk yang dibelinya tidak sempurna?
Distribusi Hipergeometrik Multivariat Jika N item dapat dipartisi ke dalam k sel A1, A2, …, Ak dengan a1, a2, …, ak elemen, maka distribusi probabilitas dari variabel random X1, X2, …, Xk yang menggambarkan jumlah elemen yang terpilih dari A1, A2, …, Ak dalam sebuah sampel random berukuran n adalah: ⎛ a1 ⎞⎛ a 2 ⎞ ⎛ a k ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ L ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ x 1 ⎠⎝ x 2 ⎠ ⎝ x k ⎠ f(x1, x2, …, xk; a1, a2,…, ak, N, n) = ⎛N ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝n ⎠ dengan
k
∑xi = n i =1
k
ai ∑ i
=N
=1
4
Contoh Distribusi Hipergeometrik Multivariat Satu lot mie instan yang terdiri atas 15 bungkus mie instan dari 3 jenis merk akan digunakan dalam suatu penelitian tentang gizi. Lot tersebut terdiri atas 3 buah merk A, 5 buah merk B, dan 7 buah merk C. Tentukan probabilitas sebuah sampel berukuran 4 yang diambil secara acak dari lot tersebut terdiri atas: 1 buah merk A, 2 buah merk B, dan 1 buah merk C!
Distribusi Binomial Negatif Jika ulangan suatu percobaan independen dapat menghasilkan outcome sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1− p, maka distribusi probabilitas variabel random X yaitu jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai sukses ke-k terjadi adalah
⎛ x − 1 ⎞ k x −k b*(x; k, p) = ⎜⎜ ⎟⎟ p q , x = k, k + 1, k + 2, … ⎝ k − 1⎠
5
Distribusi Binomial Negatif (Contoh ) Seseorang maksimum mengikuti tiga kali ujian SIM dalam satu bulan. Jika probabilitas seseorang lulus dalam sebuah ujian SIM adalah 0.4, tentukan probabilitas seseorang baru lulus pada percobaan terakhirnya!
Distribusi geometri Jika ulangan suatu percobaan independen dapat menghasilkan outcome sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1− p, maka distribusi probabilitas variabel random X yaitu jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai sukses pertama terjadi adalah:
g(x; p) = pqx-1,
x= 1,2,3,…
6
Contoh Distribusi Geometri Berapa probabilitas munculnya angka enam pada pelemparan sebuah dadu pertama kali terjadi pada pelemparan yang keenam?
Rataan dan Variansi Distribusi Geometri Mean dan variansi dari sebuah variabel random yang mengikuti distribusi geometri adalah:
µ=
1
p
σ2 =
1−p
p2
7
Proses Poisson Suatu proses dikatakan mengikuti proses Poisson jika memenuhi properti-properti sebagai berikut: 1. Jumlah outcome yang muncul dalam satu interval waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap outcome yang muncul pada interval waktu atau daerah tertentu lainnya yang disjoin. 2. Probabilitas terjadinya satu buah outcome dalam sebuah selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat sempit adalah proporsional dengan panjang interval waktu atau luas daerah tersebut.
Proses Poisson 3. Probabilitas munculnya lebih dari satu kejadian dalam selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut adalah sangat kecil dan dapat diabaikan.
8
Distribusi Poisson Distribusi probabilitas dari variabel random Poisson X yang menggambarkan jumlah outcome yang terjadi dalam sebuah selang waktu atau daerah tertentu t, adalah:
e − λt (λt ) p ( x ; λt ) = x!
x
,
x = 0, 1, 2, …
di mana λ adalah jumlah rata-rata outcome per unit waktu atau daerah dan e = 2,718281828…
Contoh soal distribusi Poisson Rata-rata jumlah panggilan lewat telepon yang masuk bagian pelayanan Telkom per menit adalah 5 buah. Berapa probabilitas dalam satu menit tertentu tidak terdapat panggilan yang masuk dari pelanggan? Berapa probabilitas dalam satu menit lebih dari 5 panggilan masuk?
9
Rataan dan Variansi Poisson
Mean dan variansi dari distribusi Poisson adalah p(x; λt) keduanya memiliki nilai λt
Pendekatan Distribusi Poisson terhadap Distribusi Binomial Diberikan X adalah variabel random binomial dengan distribusi probabilitas b(x;n, p). Ketika n Æ ∞, p Æ 0, dan µ = np tetap konstan, b(x; n, p) Æ p(x; µ) Contoh: Probabilitas sebuah pesawat mengalami gangguan mesin dalam sebuah penerbangan adalah 0.001. Berapa probabilitas sebuah pesawat mengalami 5 kali gangguan mesin dalam 500 kali penerbangan berikutnya? Diketahui masing-masing gangguan adalah independen.
10
