DE TIJD VAN HILBERT. Bert SEGHERS FACULTEIT WETENSCHAPPEN VAKGROEP TOEGEPASTE WISKUNDE EN INFORMATICA

FACULTEIT WETENSCHAPPEN VAKGROEP TOEGEPASTE WISKUNDE EN INFORMATICA

DE TIJD VAN HILBERT Bert SEGHERS

Opdracht voor het vak GESCHIEDENIS VAN DE WISKUNDE Verantwoordelijke lesgever: Prof. Dr. Guido VANDEN BERGHE Eerste master wiskunde Academiejaar 2009–2010

Ten geleide David Hilbert. Niemand twijfelt eraan dat Hilbert één van de belangrijkste namen is in de geschiedenis van de moderne wiskunde. Het is niet alleen één van míjn favoriete wiskundigen, de meeste websites en boeken nemen hem ook op in hun top-10 van grootste wiskundigen aller tijden, waarin hij meestal de jongste wiskundige is, soms voorafgegaan door Newton, Gauss, Archimedes, Euler, Euclides, Riemann en/of Poincaré. D. J. Struik beschrijft hem als één van de vier wiskundigen van zijn tijd die de hele stand van de wiskunde aan het begin van de twintigste eeuw kon overschouwen. Gegeven de wildgroei aan mathematische disciplines sindsdien is hij waarschijnlijk één van de laatste die deze eer kan toegeschreven worden. Hilbert is actief geweest in zowat alle gebieden van de wiskunde en het aantal wiskundige objecten die zijn naam dragen is gigantisch - er staan er 35 op de Engelstalige Wikipedia. Een biografie schrijven van Hilbert in opdracht van een vak als Geschiedenis van de Wiskunde zou zich misschien herleiden tot het lezen van enkele boeken over hem en dan blindelings informatie overnemen uit de belangrijkste bronnen. Ik wilde echter zelf wat opzoekingswerk verrichten en daarom eerst het onderwerp De 23 problemen van Hilbert nemen, met inbegrip van de huidige stand van zaken. Toen echter bleek dat over de 23 problemen alleen al monografieën bestonden, werd de uitdaging anders opgevat. De revolutionaire gebeurtenissen aan het begin van de twintigste eeuw houden voor een groot stuk verband met de grondslagencrisis die toen heerste, of met de ontwikkelingen in de wiskundige natuurkunde. Hilbert is echter de persoon gebleken die bijna alle belangrijke wiskundige gebeurtenissen aan het begin van de twintigste eeuw actief heeft meegemaakt en het loont dan ook de moeite om een werk te schrijven dat de geschiedenis van de wiskunde in die periode verweeft met het leven en werk van David Hilbert - een nieuw standpunt dat voor zover ik weet nog belicht is in de literatuur. We proberen doorheen de tekst op een inleefbare wijze de gebeurtenissen van de tijd weer te geven, daarbij het midden zoekend tussen chronologisch en thematisch, historiografisch en wiskundig. Het samenvatten van bronnen over

1

topics zoals verzamelingenleer of intuïtionisme in van elkaar losstaande lo hoofdstukken hebben we namelijk uitdrukkelijk willen vermijden. Het nemen van Hilberts leven en in mindere mate de veranderende rol van intuïtie en ervaring als rode draden doorheen de geschiedenis voorziet het verhaal van een unificerende coherentie. tie. We vermelden de belangrijkste gebeurtenissen in het leven van Hilbert, zonder in detail te treden, tenzij van belang. Waar mogelijk doorspekken we de tekst met anekdotes die de sfeer moeten schetsen en de tekst verluchten. Als startpunt heb ik het ho hoofdstuk ofdstuk over de twintigste eeuw gelezen, in het standaardwerk van Dirk Jan Struik (1894 (1894-2000) 2000) over de geschiedenis van de wiskunde - dit hoofdstuk is later door de auteur toegevoegd. Verder heb ik de fameuze biografie over David Hilbert door Constance Reid helemaal en met veel plezier gelezen. Uit The Honors Class van Ben Yandell werd ongeveer de helft gelezen, waaronder de lange toespraak met de 23 problemen in Engelse vertaling. Uit The Architecture of Modern Mathematics Mathematics, Philosophy of Mathematics en David d Hilbert and the Axiomatization of Physics werden de relevante hoofdstukken geselecteerd geselecteerd. Verder vermelden we twee websites, websites die altijd een antwoord konden bieden op filosofische, historische of wiskundige vragen: de filosofie-encyclopedie encyclopedie van Stanford Un University iversity en de Engelstalige Wikipedia.

Tot slot nog enkele noten bij het lezen van dit verhaal. • Wanneer inhoudselementen overgenomen zijn, wordt dit soms met een referentie naar de bron aangegeven. • Hilberts uitspraken en publica publicaties ties waren origineel in het Duits. Hoewel de meeste bronnen in het Engels zijn, werd ervoor gekozen om ze waar mogelijk in het Nederlands te vertalen of ze in het Duits te behouden. • Om de tekst niet nodeloos te verlengen is soms een inexacte simplificatie gebruikt. Zo gebruiken we bijvoorbeeld de benaming thesis voor het dissertaat ter behaling van de het diploma Doctor in de Filosofie en doctoraat voor Habilitation. • We gaan ervan uit dat de wiskundige lezer kennis heeft van begrippen zoals axioma's, transc transcendente en irrationale getallen. Er wordt om beknoptheidsredenen geen aandacht besteed aan bijvoorbeeld de relatie met Hilberts zoon Franz, tijdelijke mentale depressies of skiverhalen. Voor meer informatie over het leven van Hilbert en mooie anekdotes, kan ka ik de geprezen biografie Hilbert van Constance Reid aanbevelen.

2

Inhoudsopgave Ten geleide ................................................................................................ 1 Inhoudsopgave .......................................................................................... 3 1. Inleiding .............................................................................................. 5 2. Aanloop (tot 1880) ................................................................................ 7 Mathematisch historisch kader................................................................... 7 Hilberts jeugd.......................................................................................... 8 Ideeën en idealen .................................................................................... 8 3. Cantors verzamelingenleer ..................................................................... 9 4. Aan de universiteit (1880-1888) ........................................................... 10 Königsberg ........................................................................................... 10 Klein .................................................................................................... 10 Parijs ................................................................................................... 11 Kronecker ............................................................................................. 11 5. Het probleem van Gordan (1888-1889) ................................................. 12 Het probleem ........................................................................................ 12 De oplossing ......................................................................................... 12 Receptie ............................................................................................... 13 6. Naar Göttingen (1890-1899) ................................................................ 14 Invloedrijke Klein en de Encyklopädie ....................................................... 14 Conversatie ........................................................................................... 14 Algebra ................................................................................................ 15 Prime Number Theorem .......................................................................... 15 7. Axiomatisatie van de meetkunde (1899) ................................................ 16 Interesse in de meetkunde...................................................................... 16 Grundlagen der Geometrie ...................................................................... 16 Metamathematica .................................................................................. 18 Intuïtie en ervaring als startpunt, axiomatische analyse als verduidelijking ... 18 8. Frege-Hilbert debat (1899)................................................................... 20 9. De 23 problemen (1900) ...................................................................... 22 De toespraak......................................................................................... 22 De problemen ....................................................................................... 24 10. Grote Hilbert (1900) ............................................................................ 28 Minkowski terug .................................................................................... 28

3

Maattheorie........................................................................................... 29 Redding van het Dirichletprincipe (1904) .................................................. 29 11. Russels Paradox (1903) ....................................................................... 30 Receptie ............................................................................................... 30 Hilberts gedachten ................................................................................. 30 Zermelo................................................................................................ 31 12. De Wohlordnungssatz en de axiomatisatie van de verzamelingenleer (19041908)...................................................................................................... 32 Wohlordnungssatz ................................................................................. 32 Receptie ............................................................................................... 32 Axiomatisatie van de verzamelingenleer ................................................... 32 13. Bijdragen in de fysica (1904-1915) ....................................................... 34 Speciale relativiteitstheorie (1905) ........................................................... 34 Het probleem van Waring ....................................................................... 34 De dood van Minkowski (1909) ................................................................ 35 Naar de fysica (1910-1912) .................................................................... 35 Axiomatisatie van de fysica ..................................................................... 37 Gas week (1913) ................................................................................... 37 Slecht in fysica ...................................................................................... 37 14. Einstein en de algemene relativiteitstheorie (1914-1916) ......................... 38 De gravitatie-veldvergelijkingen (1915) .................................................... 38 Invloed van Hilbert op Einstein ................................................................ 38 Impact van relativiteitstheorie op Hilbert .................................................. 39 15. Intuïtionisme en formalisme (1917-1929) .............................................. 40 De eerste wereldoorlog ........................................................................... 40 Kansen voor wiskundigen ....................................................................... 40 Intuïtionisme ......................................................................................... 40 Hilberts tegenstand ................................................................................ 41 Hilberts programma ............................................................................... 41 Receptie ............................................................................................... 42 Caveat ................................................................................................. 43 16. Weer fysica (1925-1926) ..................................................................... 44 17. Gödel (1930) ...................................................................................... 45 18. Einde van Göttingen en Hilbert (1930-1943) .......................................... 46 19. Geraadpleegde bronnen ....................................................................... 47

4

1. Inleiding In dit werk is het de bedoeling een beeld te schetsen van de ontwikkeling van de wiskunde aan het begin van de twintigste eeuw. Een centrale figuur in de gebeurtenissen in die tijd is David Hilbert (1862-1943), die de meeste wiskundige revoluties in die tijd vanop de eerste rij meemaakte en aan wie we dan ook speciale aandacht willen besteden. De volgende topics, die allen rond de eeuwwisseling plaatsvonden en Hilbert actief en van dichtbij heeft meegemaakt, hebben het beeld van de huidige wiskunde sterk beïnvloed of zelfs bepaald. • • • • • • • • • • • • • •

1873: 1888: 1899: 1899: 1900: 1900: 1901: 1904: 1905: 1908: 1915: 1918: 1920: 1930:

Cantors verzamelingenleer Gordans probleem en Hilberts basisstelling Startschot van de axiomatische revolutie Frege-Hilbert debat De 23 problemen Startschot voor de kwantumfysica De Paradox van Russell Wohlordnungssatz Speciale relativiteitstheorie Axiomatisatie van verzamelingenleer Algemene relativiteitstheorie Brouwer en het intuïtionisme Hilberts programma - formalisme Gödels onvolledigheidsstellingen

De controverse en revolutionaire aard van sommige van deze onderwerpen houdt er nauw verband mee dat in deze periode ervaring en wiskundige intuïtie een andere rol kwamen te spelen in de wiskunde. Hoe meer wiskundige resultaten opduiken die niet stroken met de intuïtie, hoe meer de vraag vanuit filosofische hoek komt wat eigenlijk de grondslagen zijn waarop de wiskunde voortbouwt of zou moeten voortbouwen. Nadat de paradox van Russell verschijnt, wordt deze vraag ook van wiskundig belang. Verschillende wiskundigen en groeperingen hadden hun eigen antwoord op deze grondslagencrisis: Cantor wilde de wiskunde grondvesten op de verzamelingenleer (Cantorisme), Frege en Russell op de logica (logicisme), Brouwer op de intuïtie (intuïtionisme). Hilbert zelf wilde elke discipline laten starten vanuit een bepaald consistent stel axioma's, van waaruit op correcte wijze alle gekende stellingen zouden kunnen worden afgeleid. Hij wilde voor absolute geloofwaardigheid eindige methoden gebruiken maar tegelijk de rijkdom van de wiskunde behouden, en ontwikkelde daarvoor zijn bewijstheorie, die als studieonderwerp de wiskundige bewijzen en hun overgangen neemt (formalisme). Pas vanaf het einde van de negentiende eeuw kwam deze grondslagenkwestie echt naar voor en werden belangrijke filosofische discussies ten tonele gebracht.

5

Ook met de kwantumfysica en de relativiteitstheorie beleefde de fysica en per uitbreiding de wiskunde, nieuwe hoogtepunten. Het begin van de twintigste eeuw is dan ook een bijzonder interessante periode om te analyseren, en onmogelijk kunnen we hier volledig zijn. De geïnteresseerde lezer verwijzen we graag verder naar de literatuur.

Hierboven vindt men een tijdslijn met de belangrijkste wiskundigen uit de tijd en omgeving van Hilbert. Hieronder staat een kaart met huidige landsgrenzen om de steden waarvan sprake in de tekst geografisch te kunnen situeren in Europa.

6

2. Aanloop Mathematisch historisch kader We bevinden ons in Europa, in de tweede golf van de industriële revolutie. Stoomschepen, treinen, telefoons, en andere technologische vernieuwingen zijn komen te bestaan en de wetenschap groeit sneller dan vroeger. Onder andere de ontwikkeling van de fysica maakt een groei van de wiskunde nodig en zo geschiedt: er werden veel resultaten geleverd en nieuwe ontdekkingen gedaan. Maar in vergelijking met de periode rond de eeuwwisseling waren de achttiende en negentiende eeuw een vrij rustige periode op wiskundig-revolutionair vlak. De controverses en revoluties die ze ontketenden waren niet zo talrijk als de deze die de twintigste eeuw zou meemaken. De meest notoire figuur in de negentiende eeuw is waarschijnlijk Carl Friedrich Gauss (1777-1855), die in bijna alle bestaande takken van de wiskunde belangrijke bijdragen heeft geleverd en verbonden was aan de universiteit van Göttingen. Zijn dagboeken verraden dat hij vele belangrijke wiskundige ontdekkingen gedaan had, decennia voor andere wiskundigen ze publiceerden, maar hij weigerde onvolledige of enigszins bekritiseerbare werken te publiceren. De schatting van wiskundig historicus Eric Temple Bell dat de wiskunde met vijftig jaar zou zijn vooruitgegaan mocht Gauss al zijn ontdekkingen tijdig gepubliceerd hebben, geeft een indruk van de genialiteit van deze man. Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857), Bernhard Riemann (1826-1866) en Karl Weierstrass (1815-1897) boekten vooruitgang in de calculus; Niels Abel (18021829) bewees de onoplosbaarheid van de vijfdegraadsvergelijking in radicalen en Évariste Galois (1811-1832) ontwikkelde daar de groepentheorie voor. In de rest van de algebra zijn de bijdragen van William Hamilton (1805-1865), George Boole (1779-1848) en Hermann Grassmann (1809-1877) vernoemenswaardig in respectievelijk niet-commutatieve algebra, booleaanse algebra (prolepsis) en vectorruimten. De meest revolutionaire ontdekkingen van die tijd gebeurden tussen 1820 en 1870, wanneer Janos Bolyai (1802-1860) en Nikolai Lobachevsky (1792-1856) niet-Euclidische meetkunden ontwikkelden. In de elliptische, resp. hyperbolische meetkunde, gaan door een punt, parallel aan een gegeven rechte geen, resp. oneindig veel rechten. Dit contra-intuïtief gebied zou Hilbert fascineren en hij zou er zelf nog furore in maken. De ontwikkeling van de wiskunde nam een vaart en werd georganiseerder, getuige de geboorte van vele Mathematical Societies en wiskundige tijdschriften aan het einde van de negentiende eeuw.

7

Hilberts jeugd Het was in die tijd dat Hilbert geboren werd. Als zoon van Otto en Maria Hilbert zag hij het levenslicht op 23 januari 1862. Zijn vader was rechter en in zijn familie zaten nog rechters, advocaten en directeurs van scholen en academische instellingen. Hij groeide op in Königsberg, nu Kaliningrad, toen in Oost-Pruisen, een stad met een vooraanstaande wiskundige traditie. Friedrich Bessel (1784-1846) had er een astronomisch observatorium opgericht en Carl Jacobi (1804-1851) had er gedoceerd aan de lokale universiteit. Zijn opvolger ontdekte het werk van Weierstrass, die de voornaamste Duitse wiskundige was tijdens Hilberts jeugd. Tijdens zijn jeugd kwam een jongen naar Königsberg, die met zijn gezin van linnenhandelaars Russische vervolging ontvluchtte. Hermann Minkowski (18641909) verschilde als kind sterk van Hilbert: hij was een wonderkind met een duidelijk wiskundig vermogen, een goed geheugen en een flexibel absorptievermogen voor nieuwe ideeën. Hilbert daarentegen viel niet op op school, kon slecht memoriseren, had moeite met nieuwe ideeën en herinnerde zichzelf als traag. Om iets te begrijpen moest hij het helemaal uitwerken. Nadat hij van het Friedrichskolleg overstapte naar het Wilhelm Gymnasium, verbeterden zijn schoolprestaties en kreeg hij bij het afstuderen een graad voortreffelijk voor wiskunde en goed voor de rest. Ideeën en idealen Weierstrass deed moeite om zijn wiskunde van de nodige rigoureuziteit te voorzien. Voortbouwend op het werk van Cauchy introduceerde hij voor het eerst na de intuïtieve en pragmatische aanpak van Newton en Leibniz een waterdichte definitie voor limiet en continuïteit, namelijk de nu ingeburgerde epsilon-deltadefinitie. Het streven naar duidelijkheid en rigueur zou een bepalende invloed achterlaten op het werk van Hilbert. Wat in elke biografie van Hilbert terugkomt, is de invloed van de filosoof Immanuel Kant (1724-1804), die zijn geboortestad met Hilbert deelt: elk jaar werd de crypte naast de kathedraal van Königsberg geopend om de buste van Kant van verse laurierkransen te voorzien. Kant had een opvatting over kennisleer en in het bijzonder wiskundige kennis. Niet alle kennis die we verwerven is aangeleerd; onze kennis van bepaalde wiskundige waarheden is a priori, aangeboren. De meeste wiskundigen volgden Kant als het op rekenkunde aankwam, maar niet als het op meetkunde aankwam - het parallellenpostulaat van Euclides wordt ons eerder geleverd door onze ervaring, niet door onze intuïtie. We kunnen immers ook logisch consistente, niet-euclidische meetkundes opbouwen, zoals eerder vermeld. Hilbert werd geboren in een tijd waarin intuïtie niet langer volledig kon vertrouwd worden[8]. 8

3. Cantors verzamelingenleer Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können (Hilbert, 1925) Zijn universiteitsjaren, te beginnen in 1880, waren voor Hilbert een vrijheid die anderen gebruikten om zich te bezatten, hij om zich op wiskunde te concentreren. Hij studeerde in zijn thuisstad Königsberg, maar trok er zijn tweede semester al op uit om in Heidelberg lessen te volgen. In het bijzonder kreeg hij les van Lazarus Fuchs (1833-1902), een naam die in die tijd synoniem stond met lineaire differentiaalvergelijkingen. Daarna keerde hij terug naar Königsberg. Het was in deze tijd dat Georg Cantor (1845-1918) een originele theorie ontwikkelde waarin hij het oneindige op een nieuwe manier behandelde. Hij kwam tot bijzondere resultaten omtrent de groottes van oneindige getallenverzamelingen en bouwde daaruit zijn verzamelingenleer op, voortbouwend op het werk van zijn voorloper Bernard Bolzano (1781-1848). Het begon in 1873 toen Cantor in een brief aan Richard Dedekind (1831-1916) met behulp van geneste intervallen bewees dat de reële rechte méér dan aftelbaar veel punten bevatte. Tot dan toe had bijna niemand met de mogelijkheid rekening gehouden dat er verschillende groottes oneindigheden waren. Het werd al paradoxaal genoeg gevonden dat oneindige verzamelingen echte deelverzamelingen konden hebben die even groot waren, één van de subtiliteiten die Bolzano ervan weerhield een verzamelingenleer te ontwikkelen. Het bestaan van overaftelbare verzamelingen en in het bijzonder de overaftelbaarheid der reëlen was de grootste controverse in de theorie van Cantor. Een vraag uit die tijd was naar de zeldzaamheid van transcendente getallen, waarvan er zonet een aantal ontdekt waren. Cantor bewees dat transcendente getallen overvloedig aanwezig waren op de reële rechte, in een grotere overvloed dan algebraïsche getallen. In zijn bewijs definieerde hij aftelbaar en bewees dat de algebraïsche getallen aftelbaar zijn en de reële niet. Het ganse bewijs construeert echter op geen enkele wijze een transcendent getal en steunt op de bovenvermelde resultaten van Cantor: het definiëren van verschillende graden oneindigheid. Jaren later zal ook Hilbert, die de Cantorcontroverse als tiener meemaakte, tegenwind krijgen door het leveren van een niet-constructief bewijs van een open probleem. In de daarop volgende jaren zou de verzamelingenleer verder uitgewerkt worden met kardinaal- en ordinaalgetallen, uitgebouwd tot een wiskundige theorie en in 1908 geaxiomatiseerd (zie hoofdstuk 12). Hoewel het verhaal van de verzamelingenleer pas goed begint met Cantor, kan men al stellen dat na Cantor wiskunde nooit meer hetzelfde geweest is[9]. 9

4. Aan de universiteit Königsberg In Königsberg was toen slechts één professor wiskunde - terwijl de meeste universiteiten er twee hadden - namelijk Heinrich Weber (1842-1913). Hilbert volgde cursussen getaltheorie, functietheorie en invariantentheorie van hem. In 1882 kwam Minkowski, die, hoewel twee jaar jonger, vóór Hilbert ingeschreven was op de universiteit, terug van Berlijn. De zeventienjarige jongeling hield zich dan bezig met de uitdaging dat ieder getal als de som van vijf kwadraten kan geschreven worden. Hij slaagde erin om met die publicatie de Grand Prix des Sciences Mathématiques te winnen. Hoewel vader-rechter Hilbert suggereerde dat een nadere kennismaking met zo'n bekende man van onbeschaamdheid zou getuigen, raakten Hilbert en Minkowski snel bevriend. Ze deelden eenzelfde wiskundig optimisme, tegengesteld aan de toen levende opvatting dat sommige wetenschappelijke vragen nooit beantwoord zouden kunnen worden, gekenmerkt door het citaat van filosoof-fysicus Emil duBoisReymond Ignoramus et ignorabimus. Dit optimisme werd nog versterkt toen in 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) bewees dat π transcendent was, daarmee het onoplosbaar probleem van de kwadratuur van de cirkel oplossend. Toen Weber Königsberg verliet kwam Lindemann in zijn plaats, die weinig invloed had op beide jongens, maar de echte leermeester van Hilbert naar de universiteit haalde: Adolf Hurwitz (1859-1919). Als wonderkind kreeg die laatste in 1884 de titel van wiskundeprofessor op 25-jarige leeftijd, en hij zou de belangrijkste lezing geven op het eerste International Congress of Mathematicians in 1897, over analytische functies. Hurwitz, Hilbert en Minkowski werden goede vrienden die elke dag om vijf uur een wandeling maakte naar de appelboom om over wiskunde te babbelen - hier vond Hilbert een leermethode die veel verkiesbaarder was dan het leren uit stoffige boeken. Zijn thesis maakte Hilbert in 1884 onder Lindemann, over invarianten van speciale binaire vormen. In 1885 verdedigde hij die en hij kreeg meteen zijn titel van Doctor in de Filosofie. Terwijl Minkowski legerdienst deed, ried Hurwitz Hilbert een studieverblijf in Leipzig aan, waar Klein toen doceerde. Klein Felix Klein (1849-1925) had een bijzonder veelzijdige wiskundige interesse en was al op 23-jarige leeftijd voltijds professor geworden in Erlangen. Rond deze tijd was hij legendarisch in wiskundige middens, niet in het minst door zijn

10

Erlangen Program: een oproepend voorstel om de initieel ongerelateerde meetkunden die uit het niets opdoken, te classificeren volgens hun symmetriegroepen. Toen Hilbert in Leipzig aankwam, sukkelde Klein met een mentale depressie ten gevolge van een wiskundige krachtmeting met Henri Poincaré (1854-1912). Niettemin was Hilbert erg onder de indruk van deze grote, knappe, donkerbaardige man wiens colleges wereldwijd werden bewonderd. Toen Klein Hilbert voor de eerste keer hoorde spreken in het seminarie, wist hij dat Hilbert de man van de toekomst was in de wiskunde, zo beweerde hij later. Op het oudejaarsavonddiner van 1885 bij Klein thuis spoorde Klein Hilbert aan om een semester in Parijs te studeren en aan de kant van Poincaré te komen. Enkele maanden later was hij al onderweg. Parijs In Parijs bezochten hij en zijn onaangename en zelfingenomen lotgenoot Eduard Study (1862-1930) de lokale wiskundigen, op aansturen van hun leermeester Klein, met wie ze een extensieve briefwisseling onderhielden. Ze werden vriendelijk verwelkomd bij Camille Jordan (1838-1922), Poincaré en de gezamenlijke vroegere leermeester van beide voornoemden, Charles Hermite (1822-1901). Hermite, toen 64, leek het meest aangetrokken tot Hilbert en maakte tijd vrij om met Hilbert te kunnen spreken. Hij legde het open probleem uit van Paul Gordan (1837-1912), een vriend van Klein in Erlangen. Kronecker Bij zijn terugkeer naar Königsberg stopte Hilbert in Berlijn, waar hij een bezoek bracht aan Leopold Kronecker (1823-1891). Deze had tot zijn dertigste zijn agriculturele familiebedrijf gerund en hield zich sinds zijn bijzonder vroegtijdig pensioen bezig met zijn hobby, wiskunde. Hij hield zich bezig met het storen van zijn medewiskundigen door de soliditeit van hun moderne wiskunde in vraag te stellen. Kronecker was virulent en persoonlijk in zijn aanvallen op de mannen wiens wiskunde hij afkeurde. De voorname oude Weierstrass werd tot tranen gebracht bij Kronecker's opmerkingen over “de onjuistheid van al die conclusies waarmee de zogenaamde analyse tegenwoordig werkt”. De gespannen en gevoelige Cantor was, als gevolg van Kronecker's aanvallen op zijn verzamelingenleer, volledig ingestort en moest onderkomen zoeken in een psychiatrische instelling[5]. Hoewel Hilbert zelfs in Berlijn niets goeds hoorde over Kronecker, werd hij door hem vriendelijk ontvangen.

11

5. Het probleem van Gordan Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie. (Gordan, 1888) Terug in Königsberg kon Hilbert zich voorbereiden op een reis die hij uitstippelde langs 21 prominente wiskundigen die hij wilde bezoeken. Hij vertrok in maart 1888 naar invariantenkoning Gordan, een indrukwekkende persoonlijkheid tussen wiskundigen, maar voornamelijk een rekenwonder sinds zijn kindertijd. Zijn publicaties bestonden niet zelden uit twintig pagina's tekstloze formules. Het probleem Het probleem van Gordan was een gesofistikeerd wiskundig probleem. Nu de interne structuur van invariante vormen vrij goed gekend werd, kwam de vraag of er een basis bestond, een eindige collectie invarianten waaruit alle - oneindig vele - invarianten konden worden opgebouwd. Twintig jaar voor de ontmoeting met Hilbert had Gordan na lang en ondoorzichtig rekenwerk een basis geconstrueerd voor de eenvoudigste, de binaire vormen. In Gordans probleem had Hilbert alle goede eigenschappen van een open probleem gezien, die hij in 1900 zou herhalen in Parijs: • Duidelijk en gemakkelijk begrijpbaar (“want wat duidelijk en begrijpelijk is, trekt ons aan, het gecompliceerde stoot ons af”) • Moeilijk (“zodat het ons uitdaagt”) maar niet helemaal onbereikbaar (“opdat ze onze inspanningen niet zouden bespotten”) • Relevant en betekenisvol (“een mijlpaal op de kronkelige wegen naar verborgen waarheden”) Het probleem zou hem niet loslaten en hij zou erover nadenken tijdens zijn bezoeken aan Hermann Schwarz (1843-1921) en Klein in Göttingen en Fuchs, Hermann von Helmholtz (1821-1894), Weierstrass en Kronecker in Berlijn. De oplossing Niemand was voorbereid op de oplossing van het oude probleem. Temeer omdat elke poging bestond uit lang rekenwerk en variabelentransformaties en Hilbert in december 1888 een verrassend eenvoudig bewijs publiceerde, was de eerste reactie dan ook ongeloof. Zijn sensationele existentiebewijs steunde op wat we vandaag kennen als Hilberts basisstelling: als in een ring R alle idealen eindig voortgebracht zijn als R-modulen, dan geldt hetzelfde voor de polynoomring R[x]. Hierin construeert hij geen eindige basis, maar bewijst hij dat het niet bestaan ervan tot een contradictie leidt. De oplossing van Hilbert kwam uit een onverwachte hoek. Hoe hij Gordans probleem oploste wordt in zijn biografie vergeleken met hoe Alexander de Grote

12

de Gordiaanse knoop aanpakte: in Gordium in Frygië bevond zich een dikke, bijna onlosmaakbare knoop in een touw tussen een juk en een strijdwagen, waarvan het orakel had gezegd dat degene die ze zou kunnen ontwarren, heerser zou worden over de wereld. Velen hadden het geprobeerd maar waren mislukt. Toen Alexander de knoop zag, hakte hij ze door met zijn zwaard, zo zegt de legende. Receptie Deze nieuwe aanpak vond Klein “geheel geheel eenvoudig en bijgevolg logisch sluitend”. sluitend Lindemann vond ze “oncomfortabel oncomfortabel en obscuur obscuur”.. Arthur Cayley (1821-1895), (1821 de vader der algebraïsche invarianten, had twee uitlegbrieven van va Hilbert nodig voor het bewijs hem bevredigde. Gordan zelf schreeuwde “Das ist nicht Mathematik! Das ist Theologie Theologie!” De onvriendelijke Kronecker was één van de grootste tegenstanders. Hij stelde dat er geen existentie was zonder constructie. Hilbert daare daarentegen ntegen bleef heel zijn leven volhouden dat als men kan aantonen dat eigenschappen of attributen toegewezen aan een concept nooit leiden tot een tegenstrijdigheid, het wiskundige bestaan van het concept daarmee gevestigd is. Hilberts basisstelling heeft dus actief bijgedragen aan de mathematischmathematisch filosofische discussie over het bestaan van mathematische objecten, dat samen met de verzamelingenleer van Cantor en de opvattingen van Frege aan de basis lag van het ontstaan van intuïtionisme en wiskundig constructivisme. construct Deze ontologische kwestie en nog meer details over de filosofische achtergrond, worden besproken in [7] Filosofie van de Wiskunde, een moderne inleiding door Wim Vanrie. De vijf volgende jaren, waarin Kronecker stierf, verdween de georganiseerde tegenstand en dit bezorgde Hilbert een reputatie. Hij bewees kort daarna zijn fundamentele en welbekende Nullstellensatz en was in 1892 in staat om steunend op dit resultaat een constructiemethode te beschrijven voor de basis waarvan hij het bestaan bewezen n had. Elke verzet tegen zijn existentiebewijs moest nu wel als sneeuw voor de zon smelten. Gordan moest eindelijk toegeven dat hij inzag dat “theologie theologie ook zijn verdiensten kan hebben”. Rechts staat een foto van Hilbert, genomen in de periode waarin hij het probleem van Gordan oploste.

13

6. Naar Göttingen Nog in 1892 trouwde Hilbert met Käthe Jerosch, met wie hij een jaar later een zoon Franz zou krijgen. Hilbert werd voltijds professor, Minkowski nam zijn oude plaats in. Beiden waren begonnen zich met enkel getaltheorie bezig te houden en de Duitse Mathematical Society gaf het duo de opdracht om de stand van zaken in dit onderwerp te rapporteren. Dat organiseren van een hele wiskundetak vond hij wel leuk. Invloedrijke Klein en de Encyklopädie Klein was na zijn professorstoelen in Erlangen, Leipzig, München en een depressie aanbeland in Göttingen. Daar had hij zich van gezaghebbend wiskundige ontpopt tot organisator en Wissenschaftspolitiker[5]. Hij begreep de rol van de wiskunde in de moderne industrie goed, sprak met industriëlen en verkreeg hun financiële steun voor zijn wetenschappelijke instelling. Zijn doel was om Göttingen te laten uitgroeien tot een wereldcentrum van de wiskunde, dat hij via zijn contacten met o.a. de Pruisische minister van Cultuur voortreffelijk wist te realiseren. De komst van Hilbert naar Göttingen was essentieel in zijn plan en hij deed er dan ook veel moeite voor. “Je moet me beloven het niet te zullen afwijzen, als het voorstel komt,” schreef Klein aan Hilbert. In 1895 komt Hilbert aan in Göttingen. Aan dezelfde universiteit waar Gauss een eeuw ervoor getaltheorie als het summum van de wiskunde omschreef, zal Hilbert zich nu met getaltheorie bezig houden. Minkowski neemt zijn professoraat over in Königsberg. Intussen had Klein ook een seminarie opgericht, de Göttingen Mathematische Gemeinschaft, waarvan later Hilbert het voorzitterschap overnam. In die tijd was Klein bezig met een groot project: het maken van de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, een verzamelwerk van de wiskunde met bijzonder oog voor haar toepassingen, zoals hydraulische pompen. De ideeën hiervoor groeiden in 1894. Vier jaar en enkele meningsverschillen en koersveranderingen later werd de eerste druk van het eerste volume gepubliceerd, en het zou tot 1935 duren eer het laatste volume werd gepubliceerd. Vele bekende en grote wiskundigen schreven hoofdstukken, maar daar het bedoeld was om de plaats van Göttingen in de wiskundige wereld te bevestigen, werden de Berlijnse wiskundigen niet gecontacteerd. Frankrijk begint kort nadien met een parallel project onder Jules Molk (1857-1914): de Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Conversatie Käthe en haar man maakten Göttingen warmer door hun deuren open te zetten voor grote sociale bijeenkomsten, zoals wiskundediners. Dit was in tegenstelling

14

met de formele Klein en zijn vrouw, kleindochter van de filosoof Hegel (17701831). Hilberts wiskundige leven was gebaseerd op conversatie. Hij deed alsof hij niet op de hoogte was van een sociale hiërarchie en begon lange wandelingen te maken met studenten en assistenten. Zijn doceerstijl was niet zo gestroomlijnd als de ingestudeerde van zijn voorgangers, maar vol pauzes, fouten en verwarringen die voorkomen in een denkproces. Zijn strategie was om in levende lijve te tonen hoe hij over wiskunde dacht, en gaandeweg realiseerden studenten zich dat echte nieuwe ideeën en verrassende inzichten uit Hilbert kwamen terwijl hij lesgaf. Algebra Het samenvattend werk over algebraïsche getaltheorie Zahlbericht werd een standaardwerk dat ontgonnen zou worden door toekomstige wiskundigen en werd in 1897 met groot enthousiasme onthaald in de Mathematical Society en de rest van de wiskundige wereld. Men verwachtte eerder een samenzetting van het bestaande werk dan een logisch opgebouwd meesterwerk met herziene bewijzen en nieuwe resultaten. Hilberts werk dat erop zou volgen zou gericht zijn op het veralgemenen van de wederkerigheidswetten - een favorietje van Gauss. Zijn werk zou de geboorte betekenen van de klassenveldtheorie, een nieuw wiskundegebied binnen de algebraïsche getaltheorie, waarmee toekomstige generaties wiskundigen zich levens zouden bezighouden. Na zijn werk dat zich tot nu toe in de algebra gesitueerd had, zou Hilbert bijna alle andere gebieden van de wiskunde aandoen die in die tijd bestonden. Die diversiteit in zijn onderzoek werd hem mogelijk gemaakt door zijn visie en aanpak als algebrist[2]. Prime Number Theorem In 1896, een jaar voor de publicatie van het Zahlbericht, werd noemenswaardige vooruitgang gemaakt in de analytische getaltheorie. De Belg Charles de la Vallée-Poussin (1866-1962) gaf onafhankelijk van Jacques Hadamard (18651863) een bewijs voor de asymptotische distributie der priemgetallen. Ze werkten hierbij op een belangrijke paper van 1859: Over het aantal priemgetallen kleiner dan een gegeven grootte, een publicatie van Riemann van acht pagina’s die veel ideeën bevat maar zo ondoorgrondelijk en ontoegankelijk geschreven is, dat een boek verscheen van meer dan 300 pagina’s dat de tekst uitwerkt. Riemann definieert hierin onder andere de Riemann ζ-functie en formuleert wat we vandaag de Riemannhypothese noemen. Wat sindsdien bekend staat als Prime Number Theorem stelt dat

met π(x) het aantal priemgetallen kleiner of gelijk aan x. 15

7. Axiomatisatie van de meetkunde Het bouwwerk der wetenschap wordt niet opgezet als een gebouw, waarbij de fundamenten eerst stevig worden gelegd en men daarna verderbouwt en kamers construeert. Wetenschap voorziet liever eerst enkele gezellige kamers om in rond te wandelen, en pas vervolgens, wanneer hier en daar signalen opduiken dat de losse fundamenten de groei van de kamers niet kunnen dragen, neemt ze het initiatief om de kamers te versterken en ondersteunen. Dit is geen zwakte, maar het juiste en gezonde pad van de ontwikkeling. (Hilbert - 1905) Interesse in de meetkunde In zijn meetkundecursussen van 1891 had Hilbert gesteld dat er drie manieren zijn om wiskunde aan te pakken. De intuïtieve, waarbij de geest leert van de Anschauung, de axiomatische, zoals Moritz Pasch (1843-1930) ze hanteerde maar waar Hilbert weinig aandacht aan besteedde, en de analytische, die de meeste toepassingen had. In september van dat jaar had hij een conferentie bijgewoond in Halle, waarop Hilbert greatly excited[2] werd na het horen van een lezing over de fundamenten van de meetkunde. De gedachte van wiskundige universaliteit dat alle stellingen hun waarheid behielden als punten, lijnen en rechten vervangen werden door tafels, stoelen en bierglazen1, prikkelde zijn interesse in de grondslagen der meetkunde zodanig dat hij een axiomatisch opgebouwde cursus Niet-Euclidische Meetkunden schreef. Omdat slechts één student het vak wilde volgen werd het pas het jaar nadien gegeven als Grondslagen der Meetkunde. Na nog een jaar onderzoek in de algebraïsche getaltheorie, volgend op het Zahlbericht, zou Hilbert het terrein van de getaltheorie verlaten om zich helemaal te storten op meetkunde. Grundlagen der Geometrie Hilbert presenteerde in 1899 een geheel nieuw axiomasysteem voor Euclidische meetkunde, in Grundlagen der Geometrie. 21 formele axioma's vervingen de traditionele axioma's van Euclides en Hilbert analyseerde hun belang en rol voor de meetkunde. Zijn axiomasysteem voldeed aan de vier eisen die hij eraan stelde: eenvoud, compleetheid, onafhankelijkheid en consistentie[3].

1

Hilberts voorbeeld

16

Zijn eis voor eenvoud had geen formeel criterium maar gold als een richtlijn voor het opstellen van axiomasystemen: axioma's zouden moeten overeenkomen met onze fysische ervaring. Met compleetheid bedoelde hij hier dat alle stellingen die al gekend waren in dat gebied, zouden moeten volgen uit het axiomasysteem. Het idee van een voor alle mogelijke uitdrukkingen compleet axiomasysteem zou bij Hilbert zelf pas later komen. Zijn eis voor consistentie was misschien de belangrijkste van allen, daar ze equivalent is met zinvolheid van de theorie. Als door logisch redeneren een bewering en haar negatie kunnen bekomen worden, moet de inconsistentie noodzakelijkerwijs al in de axioma's zitten. Voor Hilbert was existentie equivalent met consistentie (zie hoofdstuk 5, Receptie). De meeste aandacht spendeerde Hilbert zelf aan de independentie van bepaalde kleine groepjes axioma's en sommige van de meest fundamentele meetkundige stellingen. Daarvoor construeert hij modellen: als een bepaalde meetkunde voldoet aan alle axioma's behalve één, kan dat ene axioma geen gevolg zijn van de andere. Indien hij kon bewijzen dat bepaalde groepen axioma's onafhankelijk waren van elkaar, had hij er een sterke aanwijzing voor dat bepaalde menselijke ideeën over meetkunde ook onafhankelijk waren van elkaar - ideeën die ons eigen zijn door ervaring en intuïtie. Als dat zo was, was de band met de natuur van de mens gevestigd en kon wiskunde geenszins een formeel symbolenspel zijn, een bewering die later in zijn schoenen zou geschoven worden. Deze gedachte verrechtvaardigde het belang van empirische en intuïtieve ervaring dat Hilbert aanzag als basis voor de meetkundekennis en van Kant overnam. Hij wil ook de consistentie van de meetkunde aantonen, d.i. de consistentie van de axioma's waarop ze gebaseerd is. Dit deed hij zoals bij de onafhankelijkheidsbewijzen, door de constructie van modellen, meer bepaald als volgt: Laat koppels of vectoren reële getallen de rol van punten spelen, eerstegraadsvergelijkingen die van rechten in het vlak en bijgevolg corresponderen oplossingen van stelsels dergelijke vergelijkingen met snijpunten van rechten. Zo krijgen we de analytische meetkunde naar het idee van René Descartes (15961650). Deze interpretatie van punten en rechten voldoet aan de axioma's. Als de axioma's inconsistent zijn kan er een tegenspraak uit afgeleid worden. Omdat logische implicatie onafhankelijk is van de specifieke woorden punt en rechte, zullen de axioma's ook een contradictie impliceren onder hun cartesische herinterpretatie. Maar dat betekent een tegenspraak in de theorie van de reële getallen, dus ook deze is inconsistent. Hilbert kon dus bewijzen dat de meetkunde consistent was als de theorie van de reële rechte consistent was. En die kon op haar beurt teruggebracht worden tot de consistentie van de Peano-rekenkunde, de elementaire rekenkunde der natuurlijke getallen, met 0, 1, optelling en vermenigvuldiging. Giuseppe Peano (1858-1932), een Turijnse pionier in de logica, axiomatiek en rigueur die in Formulario Matematico een samenvatting van 4200 wiskundige stellingen in 17

symboolschrift had opgetekend, had de rekenkunde van logische axioma's voorzien, zie daarvoor o.a. [7]. De consistentie van de meetkunde was dus teruggebracht tot die van de rekenkunde, en Hilbert werkte op die laatste tot 1905. Hij begon er weer aan in 1914 en het zou een steeds prominentere bezigheid worden in zijn werk, zodat het vanaf 1922 zijn wiskundige activiteit zou domineren[3]. Metamathematica Hilbert toont zich met dit boek ook de eerste die zich beweegt op een hoger metageometrisch niveau. Eigenlijk is het niet zozeer meetkunde die het belang van dit werk uitmaakte, maar de aandacht voor de grondslagen en de metabeschouwingen. Dit zou Hilberts grote verdienste als wiskundige zijn en hij wordt dan ook terecht als de vader van de metamathematica beschouwd. Onderzoek naar de fundamenten vond Hilbert niet geïsoleerd, maar een organisch deel van de veelvuldige groei van de discipline in verschillende richtingen[2]. De fundamenten vormen het beginpunt van de rigoureuze opbouw van een theorie, maar niet noodzakelijk het beginpunt in de historische ontwikkeling, integendeel. Pas wanneer een theorie een volwassen stadium bereikt, begint men zich af te vragen of de leest waarop ze geschoeid is, goed in elkaar zit. Grondslagenonderzoek is dan zelfs een natuurlijke stap in de ontwikkeling van een vakgebied, zoals te lezen in het voorafgaand citaat. Het was Hilberts grote kracht om met zijn unificerende visie wiskundige theorieën te axiomatiseren, logisch te ordenen en van rigueur te voorzien. Elke discipline in een volwassen stadium op stevige axioma's laten rusten was zijn missie en de Euclidische meetkunde was het eerste en grootste domein waarvan hij de opdracht heeft voltooid. Er zouden er nog vele volgen, maar Grundlagen der Geometrie was onmiskenbaar het startschot van de axiomatische revolutie. Dit boek bleef verschijnen in nieuwe edities en was van de grootste invloed op de verspreiding van de axiomatische methode in de wiskunde[11], die een belangrijke rol zou gaan spelen in de rest van de twintigste eeuw en waarschijnlijk nog lang erna. Intuïtie en ervaring als startpunt, axiomatische analyse als verduidelijking Hilberts visie op meetkunde vraagt een filosofische uitweiding. Hij had namelijk een sterke affiniteit met de wetenschap van de meetkunde, die hij met gevoel bedreef. De twee voornaamste motieven voor Hilberts beeld van elementaire meetkunde zijn perceptieve ervaring en intuïtie (Anschauung, zoals Kant het noemde). Om de band met ervaring en intuïtie in zijn meetkundelessen duidelijk te maken, maakte hij veel figuren en voorzag hij zijn bewijzen van illustaties.

18

Aan de andere kant legt Hilbert op deze intuïtieve wetenschap wel een formeelaxiomatische basis, die het zou kunnen reduceren tot een wetenschap van zuiver redeneren. Een axiomatische analyse van een theorie zou volgens hem echter nooit de basisconcepten van ervaring en intuïtie kunnen vervangen, maar een regulatief kader vormen waarbinnen ze een betekenis zouden krijgen: een network of concepts, een Fachwerk von Begriffe, zoals hij het zelf noemde[3]. Onder wiskundigen in Göttingen en ver daarbuiten, sinds de tijd van Gauss, was er een consensus dat de wiskundige takken op te splitsen waren in deze die steunden op ervaring, en die op zuiver redeneren. Meetkunde classificeerde zich onder de eerste noemer, samen met alle gebieden van de fysica, daar was Hilbert van overtuigd. Zijn voorkeur voor de meetkunde verklaart zich doordat meetkunde de enige natuurwetenschap is wiens theorie als perfect kan beschreven worden, en die een voorbeeld is in de theoretische behandeling die zou moeten gevolgd worden door andere natuurwetenschappen2. Doorheen zijn verkenning van de fundamenten van de Euclidische meetkunde, de fundamentele stellingen uit de projectieve meetkunde en hun onafhankelijkheid, zag Hilbert de meetkunde tot een zuiver wiskundige discipline worden. Zijn eeuwige zoektocht naar eenheid in wiskunde en andere wetenschappen kreeg extra kracht wanneer hij de meetkunde een brug zag slaan tussen de eens gescheiden wiskundetakken zoals hierboven vernoemd. Een volledig geaxiomatiseerde versie van meetkunde belichaamde een network of concepts dat de betekenisvolle connecties met intuïtie en ervaring behield, en dus beide klassen overspande[3]. Hij verwees in zijn lessen graag naar het experiment van Gauss, die experimenteel de som der hoeken mat in een driehoek gevormd door drie bergtoppen in Hannover. Hilbert vond de resultaten overtuigend genoeg om aan te nemen dat het model van de Euclidische meetkunde de fysische ruimte correct beschrijft. Niettemin hield Hilbert er rekening mee dat toekomstige metingen of inzichten nieuwe modellen zouden nodig hebben. Hij integreerde dit in zijn lessen om zijn studenten mee te geven hoe de axiomatische methode zou moeten toegepast worden in de fysica, waar vaak nieuwe empirische feiten gevonden worden per experiment. Hij beklemtoonde dat het parallellenpostulaat van Euclides datgene was dat meest waarschijnlijk zou moeten vervangen worden als nieuwe experimenten daartoe zouden noodzaken. Dit zou nog tijdens zijn leven gebeuren, zie daarvoor hoofdstuk 14.

2

Dit laatste is een extract uit een les van Hilbert over de fundamenten van Euclidische meetkunde. De italische woordgroepen staan zo in het origineel.

19

8. Frege-Hilbert debat Ik was zeer geïnteresseerd in je zin: “Uit de waarheid van de axioma's volgt het dat ze elkaar niet tegenspreken.” Zolang als ik al aan het denken, lezen en lesgeven ben over deze onderwerpen, heb ik het volledig tegenovergestelde verkondigd: als de arbitrair gegeven axioma's elkaar niet tegenspreken, dan zijn ze waar, en de dingen erdoor gedefinieerd bestaan. Dat is voor mij het criterium van waarheid en existentie (Hilbert in een brief aan Frege, 1899) Na de publicatie van Grundlagen der Geometrie, pikt Gottlob Frege (1848-1925) in op de axiomatiserende ideeën van Hilbert. Hij werkte ook op grondslagen van de wiskunde en vindt Hilberts begrip van axioma's, consistentieen onafhankelijkheidsbewijzen onverstaanbaar en op zijn minst gebrekkig. Ze verschilden van mening over fundamentele zaken als • het begrijpen van de inhoud van een wiskundige theorie; • waaraan een succesfulle axiomatisatie moet voldoen; • wat de waarheden van een wiskundige theorie echt zijn; • wat een definitie is. Hilbert stelt in Grundlagen der Geometrie dat de benamingen helemaal vervangbaar zijn en dat enkel de wiskundige relaties die de axioma's uitdrukken, onderwerp zijn van studie. Als bijvoorbeeld X de axiomaverzameling {Er bestaan twee punten; Elk punt ligt op ten minste twee rechten} is, onderzoekt men alle abstracte structuren (P, L, I) met P en L verzamelingen met minstens twee elementen en I een relatie tussen P en L die met elk element van P ten minste twee elementen van L laat corresponderen[9]. In die optiek zijn de relatieve consistentie- en onafhankelijkheidsbewijzen uit de vorige paragraaf gerechtvaardigd. Frege daarentegen vindt gedachten de fundamentele objecten in de wiskunde, waarvan de axioma's slechts uitdrukkingen zijn. Maar één axioma correspondeert met één gedachte en het is nonsens om te spreken over herinterpretatie van gedachten, daar dat dan verschillende gedachten worden. Hiermee verband houdend is dat Hilbert de wiskundige objecten zoals punten en rechten enkel impliciet gedefinieerd vindt aan de hand van de axioma's: buiten deze axioma's bezit geen enkel wiskundig object een intrinsiek karakter[7]. Frege daarentegen ziet de axioma's als evidente en zelfverklarende waarheden, waarbij punten zo'n punten zijn zoals we ze ons voorstellen. Voor Frege is de Euclidische meetkunde consistent omdat de meetkundeaxioma's onbetwistbaar zijn. Voor Hilbert is het juist omgekeerd. 20

Hoewel dit dispuut tussen Hilbert en Frege van fundamenteel methodologisch belang is voor de wiskunde en de filosofie[3], heeft het geen revolutie teweeggebracht in het wiskundig landschap, integendeel: Hilbert heeft na 1900 nooit meer geantwoord op de bedenkingen die zijn tijdgenoot hem bleef toezenden. De discussie is wel van filosofisch belang geweest en wordt in de filosofieboeken in detail besproken. Hilbert ging zich rond de eeuwwisseling meer en meer bezighouden met analyse, in het bijzonder variatierekening en dus onvermijdelijk met fysica, het toepassingsgebied waarvoor deze wiskundige machinerie in de eerste plaats werd ontworpen. Zo begon hij bijvoorbeeld onderzoek te doen naar het Dirichletprincipe.

21

9. De 23 problemen De overtuiging van de oplosbaarheid van elk wiskundig probleem is een krachtige stimulans voor de onderzoeker. We horen in ons de onaflosbare roep: Daar is het probleem. Zoek de oplossing. U kunt het vinden door zuiver redeneren, want in de wiskunde is er geen ignorabimus. (Hilbert, 1900) Hilbert kreeg een uitnodiging om één van de grote lezingen te geven op het Second International Congress of Mathematicians in Parijs, het jaar 1900. Hij had al in de vier grote gebieden gewerkt die de wiskunde toen zowat overspanden: algebra, getaltheorie, meetkunde en sinds kort ook analyse. Bijgevolg had hij een goed zicht op de ontwikkeling en de stand van zaken van de hele wiskunde aan de eeuwwisseling. Meer nog, hij wordt beschouwd als één van de vier wiskundigen op aarde met zo'n overzicht, samen met Hadamard, zijn toekomstige student Weyl, en Andrey Kolmogorov (1903-1987)[6]. Hij besloot te spreken over de betekenis en het relevantie van individuele problemen en zou een lijst geven van problemen die hij als de meest vruchtbare voor de wiskunde van de volgende eeuw zag. Uit verschillende bronnen blijkt dat Hilbert de levendige wiskunde ziet als een organisme dat nood heeft aan nieuwe uitdagingen en hij verdedigt zijn keuze van onderwerp uitvoerig. Hij had een extract van zijn speech in het Frans laten vertalen en ronddelen - een ongewone praktijk die het publiek verraste en apprecieerde[5]. Wat Hilbert die ochtend de wiskundige wereld instuurde, is zo legendarisch geworden dat de problemen allen met uitleg vernoemd worden in Struiks Geschiedenis van de wiskunde. De volledige tekst is door Reid geïntegreerd als hoofdstuk in Hilberts biografie. In de paragrafen die volgen is gepoogd een essentievattende samenvatting te geven van de legendarisch geworden lezing, die David Hilbert bracht voor het tweede International Congress of Mathematicians. De man die aantrad op die morgen was amper 37, vlug, pezig en kaal op enkele slierten rossig haar na. Bril stevig op de neus met daaronder een ietwat verwilderde moustache, een verrassend brede mond voor een wat delicate kin. Langzaam en voorzichtig voor wie niet goed Duits verstond, begon hij te spreken[5]. De toespraak Wie van ons wil niet weten hoe de wiskunde in volgende eeuwen zal ontwikkelen? Om daarvan een glimp op te vangen moeten we de onbeantwoorde vragen voor onze ogen laten passeren. Welbepaalde problemen hebben een diep belang en getuigen dat een wetenschap leeft. 22

Wat is een goed probleem? Het moet relevant zijn, begrijpelijk, en juist goed van moeilijkheidsgraad.3 De variatiecalculus dankt zijn bestaan aan het probleem van Bernoulli, dat vroeg naar de kromme van vlugste afdaling. Uit een poging de laatste stelling van Fermat over xn+yn=zn te bewijzen ontdekte Kummer dat ieder getal van een cyclotomisch veld uniek decomposeert in ideaalpriemfactoren, nu van centraal belang in de getaltheorie en ver daarbuiten. De principes die Poincaré ontdekte in de hemelmechanica, zijn tot stand gekomen al zoekend naar een analytische oplossing van het drielichamenvraagstuk. Hoewel deze problemen uit verschillende uitersten van de wiskunde komen, gebeurt het vaak dat ze toepassingen en gevolgen hebben in heel andere delen van de wiskunde. Klein heeft met zijn werk over het icosahedron het belang aangetoond van regelmatige veelvlakken in de elementaire meetkunde, de groepentheorie en de theorie der lineaire differentiaalvergelijkingen. Hoe komen we aan deze problemen? De oudste problemen in elke tak komen van de ervaring. In de verdere ontwikkeling van de tak wordt de wiskunde zelf de nieuwe vraagsteller: door logische combinatie en hergroepering van ideeën, veralgemening en specialisatie ontstaan uit zichzelf nieuwe problemen. Intussen komen nieuwe vragen uit de ervaring die nieuwe takken van de wiskunde doen ontstaan - het gebeurt dat daar antwoorden opduiken op oude onopgeloste vragen. Waaraan moet een oplossing voldoen? De eis van een eindig aantal stappen correspondeert met de eis van rigoureus redeneren. De noodzaak van rigueur is universeel en filosofisch van aard en bovendien bereikt de inhoud van gedachten op die manier best hun effect. Het is fout te denken dat rigueur en eenvoud vijanden zijn: de moeite die we moeten doen voor rigueur spoort ons aan om eenvoudiger bewijzen te vinden. Getuige daarvan de theorie van algebraïsche krommen en de hervorming van de variatierekening onder Weierstrass. Ik wil tegenspreken dat alleen analyse en rekenkunde vatbaar zijn voor een rigoureuze behandeling. Als we een probleem niet kunnen oplossen, is dat soms omdat we ons het meest algemene standpunt niet realiseren waaruit dit probleem voortvloeit. Eens we dat wel inzien, kunnen we het beter oplossen en hebben we direct kennis over gerelateerde problemen. Een probleem kan ook te moeilijk blijken omdat gemakkelijker, onderliggende problemen nog niet opgelost zijn of slechts op een manier die geen veralgemening toelaat. Soms bestaat een oplossing niet en moeten we dat eerst beseffen vooraleer we dat kunnen bewijzen. 3

Hij formuleert de eigenschappen zoals aangegeven bij het probleem van Gordan, hoofdstuk 5.

23

De overtuiging, die iedere wiskundige deelt maar nog niemand heeft kunnen bewijzen, dat ieder gedefinieerd wiskundig probleem een antwoord heeft, hetzij in de vorm van een werkelijke oplossing of een onmogelijkheidsbewijs, is een stimulans voor de onderzoeker, want “in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus”. De 23 voorgestelde problemen zijn slechts voorbeelden die aantonen hoe rijk en veelvuldig de wiskunde is. Is de wiskunde gedoemd om zoals andere takken van de wetenschap op te splitsen in takken die elkaar amper begrijpen? Ik geloof noch wens dit! De vitaliteit van wiskunde steunt op de connecties tussen haar delen. Moge de nieuwe eeuw begaafde profeten brengen, en ijverige en enthousiaste leerlingen! De problemen Van de 23 problemen die hij voorbereid had, heeft hij er tien kort vermeld tijdens de voordracht. Ze komen allen uit het vroegere, huidige of toekomstige onderzoeksgebied van Hilbert zelf, maar dat was groot genoeg om de hele wiskunde te omvatten[6]. Om de aard van de problemen te tonen, zullen ze hieronder kort allen overlopen worden. Om hun belang en impact in te schatten, is ook een huidige stand van zaken per probleem bijgevoegd. Het vervolg op de problemen is immers een belangrijk stuk geschiedenis van de wiskunde van de twintigste eeuw. Eerste probleem (Continuümhypothese)

• Hilbert vindt ook de onafhankelijkheid van

• Vraag. Bestaat er een verzameling, met kardinaliteit tussen die van de natuurlijke en de reële getallen, die met geen van beide in bijectie is?

axioma’s belangrijk, en benadrukt in zijn speech nogmaals dat als contradictorische eigenschappen aan een object verbonden zijn, het object niet bestaat.

• Status. Men heeft kunnen aantonen dat het bestaan van zo'n verzameling onafhankelijk is van ZFC of ZF. Kurt Gödel toonde in 1940 aan dat de continuümhypothese niet kan weerlegd worden in ZFC, Paul Cohen (1934-2007) toonde in 1963 aan dat ze niet kan bewezen worden in ZFC en ontving hiervoor de Fields Medaille in 1966. Tweede probleem rekenkunde)

(Consistentie

van

de

Derde probleem

• Vraag. Volumes van viervlakken met gelijke hoogtes verhouden zich volgens hun basissen. In het vlak en voor symmetrische is dit bewezen door ze op te delen in congruente delen. Is dit mogelijk in het algemeen geval?

• Status.

Max Dehn (1878-1952), doctoraatsstudent van Hilbert, bewees binnen het jaar (1901) met invarianten dat dit onmogelijk is.

• Vraag. Bewijs dat de axioma’s van de rekenkunde niet met elkaar in tegenspraak zijn.

• Status. Gödel bewees dat dit onbewijsbaar is binnen de rekenkunde zelf (1931). Gentzen toonde aan dat de consistentie volgt uit de gegrondheid van een ordinaalgetal εn (1936).

Vierde probleem

• Vraag. Classificeer de meetkunden waarbij de kortste weg de rechte weg is (geodeten zijn rechten), zoals in de standaard Euclidische meetkunde.

• Status. Te vaag om op te lossen. Georg Hamel loste een goed gedefinieerde verfijning

24

van dit probleem op, met vele eisen op de axioma’s.

• Door

honderduit te vertellen over verschillende soorten meetkunden die men krijgt door axioma’s te wijzigen (Lobachevsky, Riemann, Minkowski), toont hij dat de fundamenten van de meetkunde hem nauw aan het hart liggen.

• Hilbert zei ooit: “Mocht ik wakkerworden na duizend jaar geslapen te hebben, zou mijn eerste vraag zijn: is de Riemannhypothese bewezen?” Het probleem stond ook op de lijst van Smale van open belangrijke problemen (2000) en bij de Millennium Problems van Clay Mathematical Institute. Experts vermoeden dat het nog verschillende eeuwen op dergelijke lijsten zal blijven staan.

Vijfde probleem

• Vraag. Lie definieert zijn continue groepen automatisch als afleidbaar. Volgt afleidbaarheid ook als enkel continuïteit wordt aangenomen? Hoever benadert deze afgezwakte definitie het concept Liegroep?

• Status. Als de Liegroep als lokaal compacte groep opgevat wordt, is dit probleem opgelost door bijdragen van John von Neumann (1929), Lev Pontryagin (1934), Andrew Gleason (1950) en Hidehiko Yamabe (1953). Als de groep gezien wordt als transformatiegroep, is het probleem het Hilbert-Smith-vermoeden en nog steeds open.

Negende probleem (Reprociteitswetten)

• Vraag.

Bewijs de meest wederkerigheidswet in een algebraïsch getallenveld.

algemene algemeen

• Status. De ontwikkelingen van Hilbert zelf gaven aanleiding tot de klassenveldtheorie. Emil Artin (1898-1962) bewees de Artin reciprociteitswet voor abelse uitbreidingen van algebraïsche getallenvelden. Ook de namen van Takagi, Hasse en Shafarevich zijn verbonden met dit probleem. De niet-abelse veralgemening is een langdurig open uitdaging in getaltheorie die tot op vandaag ver van opgelost is.

Zesde probleem (Axiomatisatie van de fysica)

• Vraag.

Axiomatiseer de natuurwetenschappen met een groot aandeel wiskunde. Begin met statistiek en mechanica.

• Status. Statistiek werd met maattheorie door Kolmogorov van stevige fundamenten voorzien. Dirac doet een poging om de kwantummechanica te formaliseren, maar dit is niet wat Hilbert op het oog had.

• Hilbert bedoelde de klassieke fysica, want hij kon niet anticiperen op de algemene relativiteitstheorie en kwantummechanica die pas in de volgende decennia zouden tevoorschijn komen. Zevende probleem transcendentie)

(Irrationaliteit

en

≠

Bedenk een algoritme dat diophantische vergelijkingen in een eindig aantal stappen op oplosbaarheid kan testen.

• Status. Niet mogelijk in het algemene geval. Gezamenlijk werk van Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Hilary Putnam and Julia Robinson tussen 1944 en 1970. Aan UGent werkt o.a. Jeroen Demeyer nog op dit probleem. Elfde probleem

• Vraag. Los kwadratische vergelijkingen op met algebraïsche numerieke coëfficiënten in een willekeurig aantal variabelen.

• Status.

• Vraag. Is ab altijd transcendent, voor een algebraïsche a algebraïsche b?

Tiende probleem (Diophantische vergelijkingen)

• Vraag.

0,1

• Status.

Ja. Opgelost Schneider in 1934-1935.

en

door

irrationale Gelfond

Hasse heeft hier belangrijke resultaten geleverd met zijn lokaalglobaalprincipe in 1923-1924. Het probleem is nog niet helemaal opgelost.

en Twaalfde probleem

• Vraag. Achtste probleem (Priemproblemen)

• Vraag. De Riemannhypothese: het reëel deel van elk niet-triviaal nulpunt van de Riemann ζ-functie is ½. Vermoeden van Goldbach: elk even getal groter dan 3 is de som van twee priemgetallen.

• Status. Beiden zijn open.

25

Uitbreiden van de stelling van Kronecker–Weber voor velden naar willekeurige abelse algebraïsche uitbreidingen van rationalen.

• Status. Open. Er zijn pogingen gedaan vanaf de jaren 1960, maar dit probleem blijkt een moeilijk raakpunt van algebraïsche functies, getaltheorie en abstracte algebra[6].

Dertiende probleem

Zeventiende probleem

• Vraag.

• Vraag. Kan een multivariate veelterm die

Oplossen van de zevendegraadsvergelijking x7 + ax3 + bx2 + cx + 1 = 0 in termen van een eindige combinatie van functies met twee parameters in a, b en c.

• Status.

Hilbert bedoelde zijn tweeparameter-functies in de ruimte van algebraïsche functies, zoals blijkt uit één van zijn publicaties. Als dusdanig is het probleem nog open. Kolmogorov en zijn negentienjarige student Arnold toonden in 1957 aan dat de oplossing van elke continue vergelijking met drie variabelen kan uitgedrukt worden als een samenstelling van eindig veel continue functies van twee parameters.

enkel niet-negatieve waarden aanneemt over de reëlen, voorgesteld worden als som van kwadraten van rationale functies? Begrens het aantal nodige functies. Kunnen de coëfficiënten die optreden in de bouwstenen gekozen worden als rationaal afhankelijk van de coëfficiënten van de originele vorm?

• Status. Artin bewees de mogelijkheid in 1927. Het aantal nodige functies is ten hoogste 2n, met n het aantal variabelen, dus onafhankelijk van de graad, maar een scherpere grens is mogelijk. Achttiende probleem (Vermoeden van Kepler)

• Vraag. Bestaat er een ruimtevullend veelvlak Veertiende probleem

• Vraag.

Is de invariantenring van een algebraïsche groep die werkt op een polynoomring altijd eindig voortgebracht? Is de deelring K ∩ k[x1, ..., xn], met K een deelveld van de rationale functies k(x1, …, xn), eindig voortgebracht?

• Status. Veel aanwijzingen ondersteunden het vermoeden van Hilbert, tot Nagata in 1959 een tegenvoorbeeld construeerde.

• Hilbert formuleerde zijn probleem in termen van relatief integrale functies X1, …, Xn. Deze herformulering komt uit [10]. Vijftiende probleem

• Vraag. Fundeer de enumeratieve calculus van Schubert rigoureus.

• Status. Men heeft het probleem opgesplitst in Schubert calculus en enumeratieve meetkunde. Het eerste is rigoureus gegrond op Grassmantopologie en intersectietheorie, het tweede is nog min of meer open. Zestiende probleem

• Vraag. Bestudeer de relatieve positie en het aantal takken van algebraïsche vlakke krommen en oppervlakken in de driedimensionale ruimte. Vind ook een bovengrens voor het maximaal aantal limietcycli in een dynamisch systeem over een polynomiaal vectorveld met vaste graad en bestudeer hun relatieve positie.

• Status. Helemaal open. Er is nog steeds relatief weinig bekend over krommen en oppervlakken. Sinds 2002 zijn er echter weer noemenswaardige vorderingen gemaakt.

26

of vlakvullende figuur die niet aan bepaalde regulariteitvoorwaarden voldoet? Wat is de meest economische stapelwijze van gelijke lichamen, bijvoorbeeld sferen in de ruimte?

• Status. In 1928 construeerde Reinhardt een dergelijk object. De vermoede optimaliteit van de piramidale stapelwijze op deze figuur is bekend als het vermoeden van Kepler (1611). Thomas Hales publiceerde in 1998 een gedeeltelijk computergebaseerd bewijs, waarvan het refereeteam uitsprak 99 % zeker te zijn dat het klopt, daar ze de computerberekeningen niet kunnen waarmerken[10]. Hales werkt intussen met een team op een formeel bewijs en vermoedt dat het minstens twintig jaar zal duren. Negentiende probleem

• Vraag. Zijn de oplossingen van Lagrangianen altijd analytisch?

• Status. Bernstein bewees onder bijkomende hypothesen dat dit zo is in zijn doctoraat in 1904. De Giorgio bewees het algemeen geval in 1957 en onafhankelijk van hem de gevierde John Nash met andere methoden. Twintigste probleem

• Vraag. Hebben alle randwaardeproblemen uit de variatierekening een oplossing?

• Status.

Dit werd een belangrijke onderzoekstopic doorheen de twintigste eeuw, met hoogtepunt in het vinden van oplossingen voor het niet-lineair geval. Het antwoord is ja, door het gezamenlijke werk van Hilbert die het Dirichletprincipe bewees in 1904, Bernstein, Hadamard, Lebesgue, Hopf,

Courant, Perron, Wiener, Schauder, Leray, Friedrichs, Giraud, Morrey, Garding, Finn en nog vele anderen. Eenentwintigste probleem correspondentie)

(Riemann-Hilbert

• Vraag. Bewijs dat er altijd een lineaire differentiaalvergelijking bestaat met gegeven monodromiegroep en singuliere punten.

• Status. Intussen opgelost. Het antwoord is afhankelijk van een meer exacte formulering van het probleem. Plemelj publiceerde een oplossing in 1908, maar in 1989 vond Bolibrukh een fout in zijn werk. De Belgische Fieldsmedaillewinnaar Pierre Deligne bewees de existentie in een algemenere context.

Drieëntwintigste probleem (Ontwikkeling van de variatierekening)

• Vraag. Ontwikkel de variatierekening verder. • Status. Te vaag om een status toe te kennen. • Hilbert gaf zelf aan dat dit een algemene oproep is in plaats van een goed gedefinieerd probleem. Vierentwintigste probleem (Bewijstheorie)

• Vraag.

Formaliseer de notie van een eenvoudig bewijs en bewijs dat stellingen een uniek eenvoudigste bewijs hebben.

• Status. Te vaag om een status toe te kennen. Het is meer een onderzoeksprogramma dan een probleem.

• Hilbert had dit probleem niet opgenomen in

Tweeëntwintigste probleem

• Vraag. Uniformiseer analytische relaties door middel van automorfe functies

• Status. Opgelost. Dit was het vakgebied van Poincaré en hij loste het probleem dan ook op in 1908, simultaan met Kleins leerling Paul Koebe (1882-1945).

zijn lijst van drieëntwintig problemen, maar in een kladversie van zijn problemen dook dit probleem als laatste op, dat hij uiteindelijk geschrapt heeft. Het werd in 2000 door Duits historicus Rüdiger Thiele ontdekt in Hilberts notities.

Receptie Zoals Hilbert zelf gewild had, zijn deze problemen inderdaad belangrijk gebleven en doorheen de twintigste eeuw meegenomen. Daar de fysica zich in de twintigste eeuw meer afscheidde van de formele wiskunde dan Hilbert had gewild, was de axiomatisatie van de fysica niet meer zo relevant. De vraag naar fundamenten van de meetkunde is zo vaag geformuleerd dat ze niet echt beantwoordbaar is. De andere eenentwintig problemen hebben allen gewichtige aandacht gekregen, en zelfs laat in de twintigste eeuw of nu werd het onderzoeken van deze problemen beschouwd als van het grootste belang[10]. Vele problemen hebben nieuwe takken van de wiskunde doen ontstaan.

27

10. Grote Hilbert Je hebt de gehele wiskunde van de twintigste eeuw aan je verpacht! (Minkowski in een brief aan Hilbert, 1900) Hoewel David Hilbert geen wonderkind was, had hij op 37-jarige leeftijd al de status verworven van bekendste Duitse wiskundige, zijn reputatie gevoed door • 1888: De oplossing van Gordans probleem (climax in invariantentheorie) • 1897: Standaardwerk getaltheorie Zahlbericht • 1899: Veelgelezen en invloedrijke Grundlagen der Geometrie • 1900: 23 problemen in Parijs • Belangrijk werk in invariantentheorie, getaltheorie en variatierekening. Zijn legendarisch geworden speech greep de aandacht en verbeelding van elke wiskundige rond de eeuwwisseling. Hilbert werd zo bekend als een wiskundige kan zijn, maar bleef bescheiden. De regering ridderde hem met de titel Geheimrat, maar het stoorde hem daarmee aangesproken te worden, in tegenstelling tot Klein, die steevast met dezelfde titel wenste aangesproken te worden. Zijn lessen trokken nu honderden studenten en studenten van over de hele wereld troepten bijeen in Göttingen, onder hen Teiji Takagi (1975-1960) en Erhard Schmidt (1876-1959). Göttingen, dat eigenlijk een klein dorpje was, zat nu vol met wiskundigen. Er bestaan talloze grappen en anekdotes, gebaseerd op de zeer grote kans dat een man die in de straat wandelde, een wiskundige was. De wiskundeprofessor in Heidelberg zou vrijwillig zijn professorstoel afgeven als Hilbert die zou accepteren - maar Hilbert accepteerde niet. Hij wees ook een aanlokkelijk aanbod van een professorstoel in Berlijn af. Tot voor kort was Berlijn het grootste centrum van de wiskunde, maar Hilbert gebruikte de eer van zijn afwijzing om te onderhandelen voor verdere mogelijkheden voor Göttingen: op één van zijn voorstellen was het antwoord: “Maar we hebben dat zelfs niet in Berlijn!” “Ja,” antwoordde Hilbert vrolijk, “maar Berlijn is ook Göttingen niet!”. Minkowski terug Hij creëerde een nieuw professoraat dat hij liet invullen door Minkowski, een hele verandering in de levens van beiden. Minkowski en Hilbert hielden van wiskunde, en dat was te merken. Wanneer Klein, die niets anders deed dan het wiskundedepartement in Göttingen en het wetenschappelijk onderwijs in Duitsland organiseren, een krijtbord had gevuld met cijfermateriaal over middelbare scholen, zei Minkowski: “Lijkt het je niet, Herr Geheimrat, dat er een ongewoon grote proportie priemgetallen tussen die gegevens zit?”[5] Naast Hilbert kwam ook Carl Runge (1856-1927) naar Göttingen als vierde professor, zodat de wiskundewandelingen die Minkowski en Hilbert vroeger met Hurwitz deden, nu in het gezelschap van Klein en Runge gebeurden. 28

Hermann Weyl (1885-1955) en Max Born (1882-1970) kwamen naar Göttingen als student en Hilbert maakte een grote indruk op hen. Maattheorie In 1900 kwam het verslag uit van Arthur Schönflies (1853-1928) over de ontwikkelingen in de verzamelingenleer, opgesteld in opdracht van de Duitse Mathematical Society. Het was een triomf voor de theorie, die nu algemeen aanvaard werd[6] en beoefend werd door Cantor, Peano, Jordan en vooral Borel. Émile Borel (1871-1956) was helemaal weg van Cantors verzamelingenleer en bewees in zijn doctoraat in 1894 de stelling van Heine-Borel. Samen met hem en RenéLouis Baire (1874-1932) ontwikkelde Henri Lebesgue (1875-1941, foto) de maattheorie met de maat en integraal die naar hem genoemd zijn in 1902. De Lebesgue-integraal was in staat moeilijkheden te overwinnen die men sedert Riemann en Weierstrass had ontmoet. Redding van het Dirichletprincipe Mijns inziens bestaan er slechts twee soorten wiskundigen: zij die problemen van erkende waarde aanpakken en oplossen, en zij die dat niet doen. (Hilbert, 1919) David Hilbert onderzocht het principe van Dirichlet, een nuttige maar onbewezen uitspraak over de existentie van oplossingen van in de fysica vaak opduikende differentiaalvergelijkingen. Weierstrass had de ongeldigheid van het algemene geval bewezen en wiskundigen zochten lange tijd naar een bewijs van het principe in een redelijk algemene vorm maar vonden nog niets. Hilbert volbracht in 1904 de taak door grenzen te leggen op de betrokken randwaarden - deze sloten geen fysisch realistische toestanden uit maar wel Weierstrass' tegenvoorbeelden. Deze redding van het Dirichletprincipe was een roemenswaardige verwezenlijking en belangrijke stap in het gebied van differentiaal- en integraalvergelijkingen. Het oplossen van een belangrijk en langdurig open probleem was wat Hilbert apprecieerde bij andere wiskundigen, waarvan getuige zijn citaat. Hij deed het dan ook zelf veelvuldig in zijn carrière. Van zijn eigen legendarische 23 problemen publiceerde hij belangrijk werk in de oplossing ernaartoe.

29

11. Russels Paradox Beschouw de verzameling R van alle verzamelingen die geen element zijn van zichzelf. R is element van R als en slechts als dat niet zo is. (vrij naar Russell, publicatie 1903) Toen Russell (1872-1970) in 1901 probeerde een fout te ontdekken in een bewijs van Cantor, stootte hij op zijn bekende paradox. Meer dan een jaar later maakt hij in een brief naar Frege zijn ontdekking bekend. Toen lag echter het tweede volume van Freges Grundgesetze der Arithmetik bij de drukker en hij was verplicht een appendix bij te voegen waarin hij de paradox erkende en vragen stelde over de gevolgen ervan. Frege zou veel van zijn visies op wiskunde en logica moeten verlaten. In 1903 publiceerde Russell zijn Principia Mathematica, waarin hij eveneens in een appendix de paradox ten volle uitwerkte en er met de theorie van types een mogelijke oplossing voor gaf. Receptie Russells paradox was een rampzalige ontdekking. Uit een tegenspraak kan men elke bewering afleiden, en uit verzamelingenleer kon men sinds Russells paradox een tegenspraak halen. Daar de wiskunde min of meer gebaseerd was op verzamelingenleer, rees de mogelijkheid dat alles bewijsbaar was en dus geen enkel wiskundig bewijs nog kon vertrouwd worden. De simpelste methoden en vruchtbaarste concepten leken bedreigd. De paradox bracht de hele wiskunde aan het wankelen en de grondslagencrisis was compleet. Hilbert vond dat de paradox een ronduit catastrofaal effect had[5]. De grote werkers in de fundamenten van de wiskunde zoals Frege en Dedekind haakten af, hun nederlaag toegevend. Hilberts gedachten Kronecker was ervan overtuigd dat het natuurlijk getal het fundament is en dat alles moest kunnen geconstrueerd worden vanuit de natuurlijke getallen. Hilbert was een passioneel tegenstander die geloofde dat de sterkte van wiskunde juist in haar vrijheid zat, en dat er een mogelijkheid moest bestaan om de paradox op te lossen zonder de offers te brengen die Kronecker bracht. Hilbert was van oordeel dat de fundamenten van de natuurlijke getallen zelf onderzocht moesten worden. Op het derde International Congress of Mathematicians in Heidelberg in 1904 stelde hij dat wiskundige bewijzen zelf onderdeel zouden moeten worden van wiskundige studies, daarmee de basis leggend voor de bewijstheorie. Uit zijn 30

vierentwintigste probleem bleek dat hij daar al langer mee in zijn hoofd zat. Hij zou zich hiermee pas echt bezighouden na de eerste wereldoorlog. Zermelo Ernst Zermelo (1871-1953) was naar Göttingen gekomen in 1897 om zijn doctoraat in de wiskundige natuurkunde af te werken. Hij begon geïnteresseerd te geraken in de fundamenten van de rekenkunde en verzamelingenleer. Onafhankelijk van Russell en Frege kwam ook Zermelo in Göttingen tot dezelfde paradox. Hij bracht er vóór Russells publicatie van de paradox in 1903 al verslag over uit bij zijn professor Hilbert[10]. Rond de eeuwwisseling vonden wel meer ongepubliceerde discussies plaats over verzamelingtheoretische paradoxen in de wiskundige gemeenschap. Hilbert begon ook te beseffen dat het gevoelige punt in zijn axiomatisatie van de meetkunde de actuele problemen waren in de rekenkunde of zelfs logica. Zermelo was de enige in Göttingen die zich al serieus had bezighouden met open problemen in de verzamelingenleer, zoals de welordening van de reële getallen, de continuümhypothese[3] en sindsdien ook een goede oplossing voor Russells paradox. Vanaf 1903 begon deze topic bredere aandacht te krijgen vanuit Göttingen.

31

12. De Wohlordnungssatz en de axiomatisatie van de verzamelingenleer Wohlordnungssatz In zijn 23-problemenspeech suggereerde Hilbert bij de Continuumhypothese om eerst de mogelijkheid tot welordening te onderzoeken voor verzamelingen. Cantor vermoedde namelijk dat elke verzameling welgeordend kon worden, en er werd vermoed dat dit een fundamentele band had met Hilberts eerste probleem. In 1904 bewees Zermelo inderdaad deze stelling van de welordening, die in het Engels bekend staat als Well-Ordering Theorem maar origineel Wohlordnungssatz genoemd werd, en die hem in de eerste plaats een reputatie gaf. Een jaar later werd hij als professor benoemd in Göttingen. Receptie Zijn resultaat werd verre van geaccepteerd door zijn collegae, integendeel: het werd massaal bekritiseerd. Het feit dat de reëlen een welordening toelaten, is namelijk intuïtief onwaarschijnlijk. Hetzelfde jaar claimde Gyula Kınig (18491913) bijvoorbeeld een bewijs van het tegendeel gevonden te hebben, maar Hausdorff ontdekte na enkele weken een fout in zijn bewijs. De belangrijkste reden waarom Zermelo's bewijs niet aanvaard werd, is omdat er geen axioma's waren voor de verzamelingenleer. Gegeven dit axiomatisatiegebrek, dat hij onder invloed stond van zijn medeprofessor Hilbert en dat er een paradox moest opgelost worden, is het niet moeilijk te raden wat Zermelo's volgende stap was. Axiomatisatie van de verzamelingenleer Tijdens zijn werk op de axiomatisatie van de verzamelingenleer, dat in 1905 begon, slaagde Zermelo er echter niet in om de consistentie van zijn axioma's aan te tonen, wat Hilberts stokpaardje was. Hij publiceerde zijn resultaten toch in 1908, in Onderzoekingen in de grondslagen van de verzamelingenleer, tegelijk met Een nieuw bewijs van de mogelijkheid van een welordening. Zijn origineel axiomasysteem uit de eerste publicatie, met zeven axioma's, staat in het kader. Het systeem werd verbeterd door Abraham Fraenkel (1891-1965) en onafhankelijk door Thoralf Skolem (1987-1963), tot wat we nu kennen als Zermelo-Fraenkel Set Theory with axiom of Choice (ZFC). Het is het meest gebruikte axiomasysteem voor de verzamelingenleer. In de tweede publicatie slaagde hij erin een bewijs te produceren dat de kritieken van vier jaar eerder weerlegde en veel breder geaccepteerd werd. Hij steunt daarbij op zijn keuzeaxioma, dat hij als onweerlegbaar beschouwt. Intussen is bewezen dat, gegeven de andere axioma's van ZFC, de Wohlordnungssatz equivalent is met het keuzeaxioma, net zoals het lemma van Zorn. Het 32

keuzeaxioma kende tegenstand van verschillende kanten, omdat het zoals de controverses rond Cantor Axioma I AXIOMA VAN EXTENSIONALITEIT (AXIOM vanaf 1873 en Hilbert in 1888 DER BESTIMMTHEIT). Als elk element van een het bestaan postuleert van verzameling M ook een element is van N en iets wat niet kan omgekeerd, dan is M = N. geconstrueerd worden. AXIOMA VAN ELEMENTAIRE Axioma II Hadamard en Hilbert hadden VERZAMELINGEN (AXIOM DER ELEMENTARMENGEN). Er geen probleem met de bestaat een verzameling, de ledige, ∅, die geen aanvaarding ermee, Poincaré elementen bevat. Voor elk object a van het en Borel al beduidend meer. domein bestaat er een verzameling {a} die alleen a als element bevat. Als a en b twee In Een nieuw bewijs van de objecten zijn uit het domein, bestaat er altijd mogelijkheid van een een verzameling {a, b} die beide objecten a en welordening claimt hij de b bevat en geen enkel ander verschillend van paradox onafhankelijk van die twee. Russell te hebben ontdekt, en Axioma III AXIOMA VAN SEPARATIE (AXIOM DER in Onderzoekingen in de AUSSONDERUNG). Wanneer de propositionele grondslagen van de functie p(x) gedefinieerd is voor alle elementen verzamelingenleer lost hij ze van een verzameling M, dan bevat M een op, door de notie van deelverzameling die juist alle elementen x uit M verzameling op de juiste bevat waarvoor p(x) waar is. manier te restringeren, Axioma IV AXIOMA VAN DE MACHTVERZAMELING namelijk door het axioma van (AXIOM DER POTENZMENGE). Met elke verzameling separatie, soms ook axioma T correspondeert een verzameling, genaamd de van specificatie genoemd. In machtverzameling, die als elementen precies dit axiomastelsel zijn de alle deelverzamelingen van T bevat. verzameling van alle Axioma V AXIOMA VAN DE UNIE (AXIOM DER verzamelingen en de VEREINIGUNG). Met elke verzameling T Russellverzameling niet correspondeert een verzameling ∪T, de unie construeerbaar met de van T, die als elementen precies alle elementen methodes aangereikt door de van elementen van T bevat. axioma's, en bijgevolg zijn het Axioma VI KEUZEAXIOMA (AXIOM DER AUSWAHL). dus geen verzamelingen. Als T een verzameling is wiens elementen verzamelingen zijn verschillend van ∅ en onderling disjunct, bevat de unie ∪T ten minste één deelverzameling die één en slechts één element gemeen heeft met elk element van T. Axioma VII AXIOMA VAN ONEINDIGHEID (AXIOM DES UNENDLICHEN). Er bestaat ten minste één verzameling in het domein die de ledige verzameling als element bevat, en zo is opgebouwd dat voor elk van zijn elementen a, ook het het corresponderende element van de vorm {a} erin bevat is.

33

13. Bijdragen in de fysica Vanaf nu moeten ruimte op zichzelf en tijd op zichzelf volledig tot schaduwen zinken, en slechts een soort unie van beiden moet zelfstandigheid behouden. (Minkowski, 1908) Speciale relativiteitstheorie Minkowski was gefascineerd door de elektrodynamica en had al veel kennis van fysica vergaard. Hilbert verschoof zijn interessegebied rond 1905 gedeeltelijk naar de klassieke fysica, na veel belangrijk werk geleverd te hebben in het gebied van de integraalvergelijkingen. Hij werkte nog steeds op de complete inproductruimten die we vandaag Hilbertruimten noemen. Rond 1905 waren de onderwerpen in het seminarie wiskunde fysisch van aard geworden. Zonder weet van de gelijktijdige ontwikkelingen door Albert Einstein (1879-1955), bediscussieerden Hilbert, Minkowski en Born dezelfde experimenten die tot de relativiteitstheorie zouden leiden. Toen de resultaten van Einstein bekend werden, i.e. zijn publicatie van de speciale relativiteitstheorie in 1905, zei Minkowski over zijn oud-student: “Och, Einstein, die brosser! Dat die ooit tot zoiets zou in staat zijn!” Minkowski creëerde in 1908 een vierdimensionale ruimte als model voor de relativiteitstheorie die de weg zou effenen voor de algemene relativiteitstheorie. Ook heeft dit idee tot meer zuiver wiskundig onderzoek geleid. Het probleem van Waring Hilberts eigenaardigheden werden meer uitgesproken[8]. Af en toe kwam het voor dat hij tijdens een les calculus voor een grote groep zo verstrikt raakte in de details dat hij het opgaf en naar buiten wandelde. Wanneer fietsen populair werden in Göttingen, kocht Hilbert er één en maakte hij wiskundige fietstochten. Thuis werkte hij graag in de tuin en er hing dan ook een krijtbord waardoor hij kon werken, onkruid wieden, op het bord schrijven, met bezoekers praten, op zijn fiets kruipen om in een lemniscaat rond zijn twee rozenperkjes te rijden, en naar zijn bord terugkeren.[5] Tot 1908 had Hilbert kunnen genieten van een uitstekende gezondheid en een natuurlijk optimisme. In dat jaar loste hij het getaltheoretisch probleem van Waring op, dag op dag 138 jaar na de verschijning ervan in 1770: “Voor elk natuurlijk getal k bestaat er een getal g(k), zodat elk natuurlijk getal kan uitgedrukt worden in g(k) k-de machten, en dit aantal is onafhankelijk van het te representeren getal.” Dit resultaat is alweer een oplossing van een langdurig open probleem en betekende een mijlpaal in de moderne getaltheorie[5]. Intussen is het aantal benodigde k-de machten voor vele waarden van k bekend. Een belangrijker probleem is het afschatten van G(k) geworden, het aantal benodigde k-de machten voor getallen die groot genoeg zijn. 34

De dood van Minkowski Begin 1909, wanneer Hilbert hem zijn oplossing voor Warings p probleem robleem wilde vertellen, kreeg Minkowski appendicitis. Zijn situatie verslechterde vlug en zijn einde naderde. Helder van geest verklaarde de jongeman op zijn sterfbed dat hij graag nog wat langer geleefd had omdat hij nog veel had kunnen verwezenlijken, m maar aar dat het goed zou zijn om zijn bewijzen te verbeteren zodat zijn laatste werken in de elektrodynamica gemakkelijker leesbaar en beter begrepen zouden worden. Hilbert weende wanneer hij het overlijden aan zijn studenten bekendmaakte. e zich de topologie, en met haar simplexen, complexen, Intussen ontwikkelde ketens en cycli de homologie. Speciale belangstelling wekten de publicaties van de Nederlander L.E.J. Brouwer (1881 (1881-1966), 1966), met onder andere de stelling dat elke continue afbeelding van de n-dimensionale e sfeer op zichzelf een fixpunt moet hebben, en andere fixpuntstellingen. Naar de fysica In 1910 werd voor de tweede maal de Bolyai prijs uitgereikt voor grote verdienste binnen de wiskunde. Poincaré, die de eerste editie van de prijs won en hiernaast staat afgebeeld,, publiceerde het jaar nadien zijn lofrede die het werk van Hilbert in de zuivere wiskunde prijst. Vanaf dan werd Hilbert een echte fysicus. Wanneer Poincaré rond Hilberts vijftigste verjaardag in 1912 stierf, wist iedereen wie de grootste wiskundige was - en hij zat tot over zijn oren in de fysica![5] Zijn vriend Minkowski, die tijdens zijn tijd buiten Göttingen met fysica bezig was geweest, was één van de belangrijkste factoren waarom Hilbert onderzoek deed in de natuurkunde. Da Daarnaast was de e fysica van die tijd vol recente experimentele ontdekkingen geweest die om theoretische modellen vroegen. Hier volgt een onvolledig overzicht van verrassende experimenten en voorgestelde modellen die poogden deze te verklaren. In korte tijd volgden v bijvoorbeeld verschillende atoommodellen elkaar op. Omdat ze weinig met de wiskunde in de twintigste eeuw te maken hebben, bespreken we ze niet in detail maar vatten we de essentie ervan in een figuur samen.

35

• Vanaf 1887: Michelson-Morley Morley experiment doet absolute lichtsnelheid • • • •

vermoeden 1888: Hertz bevestigt het bestaan van elektromagnetische golven, voorspeld door Maxwell 1895: Röntgen ontdekt straling die hij X-rays noemde 1896: De Curies ontdekken radioactiviteit 1897: Thomson ontdekt elektronen en n stelt een atoommodel voor

• 1900: Planck formuleert zijn kwantumhypothese: elke uitgestraalde of

geabsorbeerde energie is een veelvoud van discrete energie energie-elementen elementen • 1904: Lorentz en Poincaré komen tot voorlopige modellen in aanloop naar het relativiteitsprincipe • 1905: Einstein publiceert in zijn annus mirabilis vier belangrijke werken, namelijk o Over het foto-elektrisch elektrisch effect, de kwantumtheorie van het licht (Nobelprijs 1921) o Over de Brownse beweging o Speciale relativiteitstheorie o Massa-energie energie equival equivalentie, E=mc² • 1911: Rutherford stelt dat het gros van de massa van materie in positief geladen atoomkernen zit en suggereert een atoommodel (afbeelding)

• 1913: Niels Bohr stelt een planetair atoommodel voor dat vandaag nog min of

meer overeind staat.

36

Axiomatisatie van de fysica Fysica is veel te moeilijk voor fysici. (Hilbert) Bij Hilbert en andere wiskundigen leefde echter het ongemak van een bewijsloze fysica die principes aanneemt en er ongeordend vanalles uit afleidt. Er was nood aan een axiomatisatie van de fysica, zoals hij in zijn zesde probleem in Parijs stelde. Hij wilde orde scheppen in het chaotisch en weinig rigoureuze gebied van de natuurkunde. Hij verdiept zich in de kinetische gastheorie en schrijft een paper over de fundamenten van kinetische gastheorie. Daarin bundelde hij losse resultaten in een unificerende, mooie en eenvoudige theorie. Zijn werk is de basis geworden voor de ingenieursstudies over kunstmatige satellieten, in een tijd wanneer ruimtevaart slechts een science-fictiondroom was. Vervolgens axiomatiseerde hij de elementaire stralingtheorie, op een voorbeeldige manier zoals hij zelf voorstelde in 1900. Hij gaf lessen over de theorie der elektronen en over de moleculaire theorie der materie. Gas week Hilbert is er altijd van overtuigd geweest dat communicatie en het bijwonen van lezingen rendabeler waren in het verwerven van kennis dan publicaties lezen. Hoe waardevol, dacht hij, zou het niet zijn om de grootste geleerden voor een week samen te zetten? Het werd werkelijkheid in de Wolfskehl Conference over kinetische theorie der materie in 1913. Hilbert zat de bijeenkomst voor. Allen aanwezig zouden nog glorieus furore maken. De hall met de zwarte kachel was de arena voor een samenkomst van kroonprinsen en koningen der wetenschap, schreef een aanwezige later. Slecht in fysica Hilbert ging veel ten rade bij zijn talrijke begaafde studenten en vooral assistenten zodat hij meekon met de toendertijdse vlugge ontwikkeling van de verschillende fysische disciplines. Er was zelfs een officieuze functie, “Hilberts fysicatutor”, die erin bestond fysica-artikelen te lezen en ze uit te leggen aan Hilbert. Zijn bijdragen in de fysica hebben niet hetzelfde begrijpelijke en duidelijk omschreven karakter als zijn werk in getaltheorie, algebraïsche invarianten en meetkundegrondslagen die de bestaande literatuur synthetiseerden en een startpunt leverden voor nieuw onderzoek. Zijn publicaties in de fysica, in onder andere de grootste tijdschriften, heeft hij voornamelijk te danken aan zijn positie in de wiskundige wereld en de reputatie van Göttingen. Gelijkende publicaties door jongere specialisten zouden misschien niet aanvaard worden. Arnout Jaspers schrijft zelfs dat sommige van zijn collegae Hilbert dan ook tamelijk slecht vonden in zijn natuurkundeonderzoek[4].

37

14. Einstein en de algemene relativiteitstheorie Iedere jongen in de straten van Göttingen weet meer van vierdimensionale meetkunde dan Einstein. Desondanks deed hij het werk, en niet de wiskundigen. (Hilbert) De gravitatie-veldvergelijkingen Hilbert en zijn naasten volgden de ontwikkeling van Einstein richting een algemene relativiteitstheorie. Hilbert probeerde de zuivere veldtheorie van Gustav Mie (18681957) te identificeren met de speciale relativiteitstheorie. Tegelijkertijd probeerde Einstein via omwegen de geldende vergelijkingen te ontwikkelingen tussen zijn tien coëfficiënten van de gravitatiedifferentiaalvorm[5]. Beiden kwamen op hetzelfde moment, eind 1915 tot de “General Theory of Relativity” - van Hilbert kan dit gerust zijn grootste verdienste in de fysica genoemd worden. Merkwaardig genoeg leidde dit toeval niet tot een ruzie over wie eerst was, maar tot een reeks vriendelijke ontmoetingen en brieven. Hilbert gaf vrijelijk toe dat de grote ideeën die van Einstein waren, en benadrukte dat ook in zijn lezingen[5]. Eén auteur noemt deze fameuze vondst van de gravitatie-veldvergelijkingen in de algemene relativiteitstheorie de Hilbert-Einsteinvergelijkingen[2]. In 1978 werd ontdekt dat Hilbert een brief schreef naar Einstein waarin hij zijn vorderingen bekendmaakte, kort voor de publicatie van beiden - er is nog discussie of Einstein zijn vergelijkingen autonoom vond of de ontbrekende term in zijn vergelijkingen uit Hilberts brief haalde. De algemene relativiteitstheorie unificeert de speciale relativiteitstheorie met de universele aantrekkingswet van Newton en verklaart gravitationele aantrekking als kromming van de ruimtetijd. Ze werd niet onmiddellijk door natuurkundigen aanvaard. De wegen ernaartoe waren immers zuiver wiskundig geweest en niet experimenteel. De aanvaarding werd beduidend groter toen in 1919 de theorie kon getoetst worden met het experiment dat de afbuiging mat van het licht van een ster door de zwaartekracht van de zon. Tot op vandaag geldt de theorie als natuurkundige verklaring voor de gravitatie. Invloed van Hilbert op Einstein Einstein ondervond een directe invloed van Hilberts ideeën en contact. Na 1922 hechtte Einstein, die een tegenstander was van een strikt formele aanpak, meer belang aan wiskundig formalisme. Wat hij altijd beschouwd had als slechts een gereedschap ten dienste van de natuurkundige ideeën, erkende hij doorheen lange briefwisseling met Hilbert toch als een nuttig gereedschap. 38

Impact van relativiteitstheorie op Hilbert Hilbert heeft de ontwikkeling van de General Theory of Relativity vanop de eerste rij meegemaakt en stond er progressief tegenover: hij was bij de eersten om een systematische cursus relativiteitstheorie te doceren vanaf 1916-1917. Vele jaren heeft hij publieke lezingen gegeven over de implicaties van de theorie op ons begrip van ruimte en tijd[3]. En die waren er zeker: de algemene relativiteitstheorie had een grote impact op Hilberts eigen beleving van wiskunde. Het had zijn visie op ervaring en intuïtie veranderd, dewelke twee onderscheiden concepten waren: de één aanwezig door interactie met en waarneming van onze omgeving, de ander aangeboren. De balans tussen beide als mogelijke bron van meetkundige kennis, die hij in zijn vroegere schrijfsels in evenwicht achtte, sloeg om in het voordeel van ervaring wanneer hij zich met de algemene relativiteitstheorie ging bezighouden. Bovendien had de driedimensionale Euclidische ruimte haar bevoorrechte rol verloren als degene die natuurlijk onderdak verleent aan empirische ervaring. In zijn cursussen, in het bijzonder deze over relativiteitstheorie, besteedde hij aandacht aan de nieuwe fysica[3]. In heldere passages diept hij de evoluerende relatie tussen meetkunde en fysica uit: vroeger nam de fysica de axioma's van de meetkunde zomaar aan, en de experimenten zoals Gauss zijn bergdriehoeksmeting toonden dat dat terecht was. Gegeven de relativiteitstheorie was dit duidelijk niet meer zo. Moderne fysica moet meetkunde dus in het rijk van haar onderzoek trekken en haar gevestigde axioma's in vraag stellen! Hetzelfde gebeurde tientallen jaren eerder, wanneer Weierstrass een stelling bewezen achtte wanneer een bewering was teruggebracht naar een bewering over de natuurlijke getallen. Maar toen begonnen de fundamenten van de getallen te wankelen en het werd één van de vruchtbaarste domeinen van de wiskunde en verzamelingenleer. De wiskundige was verplicht een filosoof te worden, want anders hield hij op een wiskundige te zijn. Op deze samenvatting van een passage in Hilberts cursus relativiteitstheorie volgt deze tekenende passage: Hetzelfde gebeurt nu: de fysicus moet een meetkundige worden, want anders loopt hij het risico op te houden een fysicus te zijn, en andersom. De opdeling van de wetenschappen in faculteiten en beroepen is een antropologische, en is vreemd aan de realiteit als dusdanig. Een natuurfenomeen vraagt zich immers ook niet af of het zelf tot het domein van de fysicus of de wiskundige behoort. Op deze gronden zou het niet toegelaten mogen zijn de axioma's van de meetkunde zomaar te aanvaarden. Ze zomaar aanvaarden zou een uitdrukking kunnen zijn van bepaalde elementen van ervaring, die nog zouden kunnen tegengesproken worden door verdere experimenten.

39

15. Intuïtionisme en formalisme De wiskundige tertium non datur ontnemen is hetzelfde als ... de bokser het gebruik van zijn vuisten ontnemen. (Hilbert, 1928) De eerste wereldoorlog Sinds de oorlog in 1914 uitgebroken was zaten alle jongemannen in het leger en waren Hilberts auditoria op slag leeg. Tijdens de eerste wereldoorlog zei hij dat de oorlog stom was[5] en liet zich niet in met patriottistische vurigheid, zoals sommige studenten en professorszonen deden. Op het overlijden van de Franse wiskundige Gaston Darboux (1842-1917) schreef hij een In Memoriam voor een Duits tijdschrift. Een menigte studenten verzamelde voor zijn huis. Hilbert dreigde met wiskunde te stoppen als hij geen verontschuldiging kreeg. Hij kreeg er één, en de gedachtenis werd gepubliceerd.[8] Kansen voor wiskundigen Hilbert kwam in zijn vijftiger jaren en zijn begon creativiteit af te nemen. Zijn verdiensten in die periode neigden naar die van Felix Klein: hij was hoofd van instituten en werkgroepen en heeft vele jonge mensen die wiskundig sterk konden worden, de kansen gegeven om onderzoek te doen. Onder hen onder andere een joodse student met een bizar verleden die zijn middelbare school niet afmaakte, maar toch een uitmuntende thesis schreef. Ook Emmy Noether (1882-1935) was aan de universiteit van Göttingen gekomen maar haar doctoraat werd niet goedgekeurd door haar geslacht, hoewel Hilbert haar sterk verdedigde. Hilbert liet lessen met zichzelf als lesgever aankondigen, die door Fraulein Noether gegeven werden, om haar aan de universiteit te houden. Ze had een mannelijk uiterlijk en een onaangename stem. De lessen die ze gaf waren niet populair en de studenten vonden haar didactisch talent ondermaats. Niettemin had ze een grote invloed op de wiskunde in Göttingen. Haar realisaties in de algebra zijn talrijk, waarvan getuige vele wiskundetermen die naar haar genoemd zijn. Intuïtionisme Naar het einde van de oorlog toe verrichte Hilbert uit zichzelf al meer werk op de grondslagen van de wiskunde. Er was aan het einde van de oorlog ook een nieuwe machtgreep naar de volledige omvang van wiskunde, door een groep onder leiding van Brouwer die bekend geraakt was met zijn fixpuntstellingen. In drie artikelen, samen minder dan zeventien pagina's lang, stelde deze laatste 40

een drastisch programma voor om de fundamentencrisis te beëindigen die ingeluid werd door de paradox van Russell - hoewel intussen verschillend opgelost door Russel Russelll zelf en Zermelo. Hij geloofde namelijk niet dat de wetten van de klassieke logica een absolute waarheid hadden, onafhankelijk van het onderwerp waarin ze worden toegepast. Brouwer verwierp onder andere tertium non datur voor oneindige verzamelingen, terw terwijl ijl hij het accepteerde voor eindige verzamelingen. Hij redeneerde namelijk dat om de waarheid te achterhalen van “er er bestaat een element in een oneindige verzameling S dat een eigenschap P heeft”,, het voldoende was om alle elementen in S af te lopen en er één te vinden dat aan P voldoet. Maar als men er geen zou vinden, zijn er verschillende mogelijkheden: dat er werkelijk geen zijn, of dat men niet lang genoeg gezocht heeft. Hilberts tegenstand Hilbert heeft nooit een lijn van Brouwer zijn werk gelezen - hij las sowieso al weinig publicaties.. Brouwer's voorstel werd bij Hilbert onthaald op een besliste woede: hij vond Brouwer een gevaar voor de wiskunde. Intuïtionisten namen hetzelfde pad als Kronecker, door overboord te gooien wat voor problemen zorgde. Hilbert somde een grote lijst schatten op die zouden verloren gaan mocht het intuïtionistisch programma uitgevoerd worden en weigerde de wiskunde een dergelijke verminking te laten ondergaan. Hij zag echter een manier waarop de wiskundige objectiviteit d die ie Brouwer vroeg, zou kunnen teruggehaald worden zonder offers te doen. Met zijn bewijstheorie die hij al in 1904 op een conferentie in Heidelberg voorstelde en die vervat zat in zijn ongepubliceerde 24ste probleem, gaf Hilbert “een een compleet nieuwe wending geven aan de vragen van de grondslagen en de waarheidswaarde van wiskunde,” wiskunde, zou Hermann Weyl toegeven toegeven, de oud-student van Hilbert die volgeling van Brouwer geworden was. Hilberts programma Het was Hilberts doel om de ideeën van Kronecker te bevechten met me zijn eigen wapen, namelijk eindigheid. Maar dan wel met een andere opvatting van wiskunde. Wat resulteerde staat bekend als Hilberts programma en wordt als synoniem beschouwd van formalisme formalisme,, hoewel Hilbert die term zelf niet gebruikte. gebruikte Het is een oproep om alle wiskunde te formaliseren in een axiomatische vorm, en een metatheorie te ontwikkelen die een bewijs van consistentie kon leveren. Wat nieuw was in vergelijking met zijn bedenkingen van 1904, was dat hij liet eisen dat de consistentiebewijzen en met metatheorie atheorie met strikt finitistische methoden zouden tewerk gaan, teneinde Weyl en Brouwer gelukkig te stemmen.

41

Het intuïtief zinvol en inhoudelijk manipuleren van formules, zoals men dat doet in elementaire getaltheorie, vormde het uitgangspunt van Hilberts formalisme. Het studieobject zijn de sequenties van symbolen, zoals formules en geformaliseerde bewijzen. Deze kunnen syntactisch worden gemanipuleerd, en daarvoor kunnen logicaloze regels opgesteld worden. Wiskunde zelf, echter, werkt met abstracte maar inhoudsvolle begrippen zoals kwantoren, verzamelingen, functies, en maakt gebruik van logische gevolgtrekking op basis van wiskundige inductie of tertium non datur. Deze redeneerwijzen werden door Brouwer bekritiseerd omdat ze oneindige verzamelingen als gegeven veronderstellen. Hilbert wilde hun gebruik rechtvaardigen, door erop te wijzen dat ze geformaliseerd konden worden in axiomatische systemen. Op deze manier transformeren wiskundige stellingen en bewijzen tot formules, symboolsequenties en afleidingen vanuit axioma's die geschieden volgens strikt omschreven afleidingsregels, die verder niets met logica te maken hebben. Daar de formules en bewijzen zelf niet meer zijn dan eindige opeenvolgingen van karakters, zijn de methoden die gebruikt worden om ze te manipuleren eveneens eindig en moeten critici tevreden zijn. Wiskunde wordt zo een inventaris van bewijsbare formules, waarin wiskundige bewijzen onderworpen worden aan metamathematisch onderzoek. Het doel van Hilberts programma is dan om een inhoudelijk, metamathematisch bewijs te vinden dat er geen formele afleiding kan bestaan van een formule A en haar ontkenning ¬A. Hij was zelf optimistisch dat een dergelijk consistentiebewijs vlug zou gevonden worden. Receptie Uiteindelijk aanvaardde Weyl het formalisme als afdoende oplossing. Na jaren onder invloed van Brouwer kwam hij terug als professor bij Hilbert. Later vervaagde het enthousiasme voor de intuïtionisten, toch zeker in Göttingen. Het gevoel van de meeste Göttingse wiskundigen werd verwoord door Hans Lewy, als repliek op Brouwer wanneer hij een lezing gaf in Göttingen: Als we zoveel resultaten verliezen en door zo'n moeilijke hel moeten gaan om tot dezelfde resultaten te komen, wie zal wiskunde dan nog leuk vinden? Het blijft een menselijke activiteit... Zodra we contradicties tegenkomen zal de wiskunde ze oplossen, maar zolang Brouwer geen contradicties vindt in de klassieke wiskunde, zal niemand hem geloven. Er was kritiek tegen het formalisme van Hilbert, die stelde dat de wetenschap getransformeerd werd in een betekenisloos spel met betekenisloze symbolen op papier. Maar voor al wie vertrouwd was met Hilberts werk, was deze kritiek ongeldig. Men kon onmogelijk stellen dat Hilbert, de meest productieve en belangrijkste wiskunde van zijn tijd, de betekenis en echtheid van de wiskunde ontkende. Axioma's en stellingen die opduiken in het formeel systeem zijn slechts beelden van ideeën die het onderwerp zijn van de gewone wiskunde.

42

Caveat We spreken hier niet van willekeur in welke zin dan ook. Wiskunde is geen spel waarvan de taken bepaald worden door willekeurig bepaalde regels. Het is eerder een conceptueel systeem dat een interne necessiteit bezit en dat enkel zo kan zijn en geenszins anders. (Hilbert, 1919) Meestal wordt Hilbert geassocieerd met formalisme, maar dit behelsde slechts een klein deel van zijn verwezenlijkingen en betekenis voor de wiskunde. Nog erger is het als daarenboven formalisme wordt beschouwd als de overtuiging dat wiskunde niets is dan inhoudsloze manipulaties van ledige symbolen. Hoe Hilbert de wiskunde en haar objecten zelf ziet, is hiermee geenszins te rijmen! Zijn zin om wiskundige gebieden te axiomatiseren is slechts bedoeld om de juistheid en consistentie te garanderen en denkfouten te vermijden – pakweg om de grondslagencrisis te bezweren. Dit wordt niet door iedereen begrepen en vele bronnen, voornamelijk websites, slagen erin een verkeerd beeld en definitie van het formalisme te geven. Dit komt voornamelijk omdat het op dezelfde hoogte geplaatst wordt als platonisme, intuïtionisme, logicisme, cantorisme en andere filosofische stromingen die hun oplossing voor de grondslagencrisis wel als geloofwaardige visie op de wiskunde poneren. Felix Hausdorff (1868-1942) was, in tegenstelling tot Hilbert, een echtere formalist in de hierboven beschreven zin. Hij werd sterk beïnvloed door de Grundlagen der Geometrie, in een richting die Hilbert zelf nooit bedoeld had. Hij postuleerde de meetkunde als autonome discipline, losstaand van elke Anschauung of empirische basis, zoals hij ook de hele wiskunde als vrij, autonoom en betekenisloos zag. Wanneer wiskundige objecten betekenis krijgen, spreekt hij van toegepaste wiskunde. Intuïtie speelt een heuristische en pedagogische rol, maar is voor de rest inexact, beperkt, misleidend en veranderend, in tegenstelling tot wiskunde. Hier is ook de waarschuwing op zijn plaats, die in [3] en [5] terugkomt. Hilbert zelf was geen filosoof, maar een wiskundige. Hij had ideeën over Anschauung en formalisme, die in de eerste plaats dienden om de wiskunde begrijpelijker of correcter te laten schijnen. Hij hield zich met deze filosofische concepten niet bezig voor hun waarde op zich, maar enkel ter ondersteuning van de wiskunde. Hoe langer de tijd vorderde, hoe meer aangeboren intuïtie uitgesloten werd van welke rol dan ook in Hilberts beeld van meetkunde - een trend die goed begon sinds de relativiteitstheorie. Empirisme heerste in zijn beeld over de wiskunde nu alleen, en meetkunde werd definitief mede een onderzoeksgebied van de natuurkunde. Zoals Newtoniaanse fysica, was Euclidische meetkunde niets dan een goede benadering van de werkelijkheid. Formalisme, onnodig te zeggen, maakte op geen enkele manier deel uit van dit plaatje[3].

43

16. Weer fysica Na de eerste wereldoorlog werd de Duitse economie in drie jaar tijd ging de prijs van een uitgave van de 64 naar 28000 mark. Duitsers werden niet meer internationale conferenties - maar van Göttingen permanent internationaal congres was.

geplaagd door hyperinflatie: Mathematische Annalen van uitgenodigd op wiskundige werd gezegd dat het een

Toen de inflatie stopte begonnen ook de studenten terug te keren. Onder Born werd Göttingen in de jaren '20 een wereldcentrum voor de fysica, naast Cambridge en Kopenhagen. Zijn twee assistenten, Wolfgang Pauli (1900-1958) en Werner Heisenberg (1901-1976) zouden grote natuurkundigen worden. De jaren 1925-1926 werden Wunderjahren genoemd. Heisenberg kwam naar Born met zijn nieuwe kwantumtheorie met vreemd ogende wiskunde, onder andere niet-commutatieve matrixalgebra. Zestig dagen later publiceerden Born en Pascual Jordan (1902-1980) over de wiskundige fundamenten om die theorie te ondersteunen, waarvoor ze de Nobelprijs kregen. De matrixmechanica van Heisenberg werd vlug gevolgd door de golfmechanica van Erwin Schrödinger (1887-1961), die van verschillende fysische assumpties vertrok maar tot dezelfde conclusies kwamen. De equivalentie moest echter nog aangetoond worden. Wanneer Born en Heisenberg door hun niet-commutatieve problemen in hun matrixmechanica bij Hilbert ten rade kwamen, zei hij hen dat hij matrices enkel had tegengekomen als bijproduct van de eigenwaarden van een randwaardeprobleem van een differentiaalvergelijking, dus dat ze moesten zoeken naar de differentiaalvergelijking die deze matrices produceerde. Dat vonden ze maar een stom idee en Hilbert moest dan ook lachen toen hij ze uitlegde dat ze Schrödingers golfmechanica zes maanden eerder hadden kunnen ontdekken als ze beter naar hem geluisterd hadden. Het boek Methoden in de Wiskundige natuurkunde dat zijn collega Richard Courant (1888-1972) met Hilbert geschreven had in 1924, bleek helemaal niet verouderd te zijn, maar leek speciaal geschreven voor de fysici: de integraalvergelijkingen, eigenfuncties, eigenwaarden en Hilbertruimten, waar Hilbert in het begin van de eeuw op gewerkt had, bleken de gepaste wiskundige achtergrond voor de nieuwe kwantummechanica van Born, Heisenberg en Jordan. Hilbert, die ook tegenover deze nieuwe ontwikkelingen positief stond, gaf in 1926 de eerste lessen kwantummechanica. Hij oefende indirect een grote invloed uit op de ontwikkeling van de kwantummechanica in Göttingen: de atmosfeer waarin jonge wiskundigen gedrild werden in de wiskunde van Hilbert van integraalvergelijkingen en lineaire algebra maakte dat de kwantumfysica beter kon ontwikkeld worden in Göttingen dan waar ook ter wereld[5].

44

17. Gödel Wir müssen wissen, wir werden wissen. (Hilbert, 1930) Toen Hilbert deze woorden uitsprak, die live op de radio werden uitgezonden, als laatste woorden van zijn sp speech eech ter acceptatie van het ereburgerschap van Königsberg, werd echter een werk voltooid dat zijn initiële droom zou doorprikken. De vijfentwintigjare Kurt Gödel ((1906-1978), die sterk beïnvloed was door het programma van Hilbert en wiens werk erdoor gemotiveerd otiveerd was, publiceerde in zijn doctoraatsthesis met de grootste finaliteit drie belangrijke stellingen. • De compleetheid van de predikaatcalculus predikaatcalculus: voor beperkte logische systemen is bewijsbaarheid equivalent met waarheid. • De onvolledigheid van de geforma geformaliseerde liseerde getaltheorie: getaltheorie in alle consistente axiomatische systemen, sterk genoeg om de natuurlijke getallen en hun eigenschappen te bevatten, bestaan er ware uitspraken die niet kunnen bewezen worden. • De formele rekenkunde kan haar eigen consistentie niet bewijzen. be Dit was een oplossing voor sommige van de problemen di die e hij had voorgesteld in Parijs en Heidelberg. Hij vond ze zelf de belangrijkste vragen uit de fundamenten van de wiskunde en was er bijna zijn hele leven van overtuigd geweest dat het antwoord erop anders zou geweest zijn. Het werd duidelijk dat er te sterke restricties lagen op finitistische consistentiebewijzen. De exacte formulering van Gödel sloot echter niet uit dat er finitistische bewijzen van de consistentie van de Peano Peano-rekenkunde mogelijk elijk waren die niet formaliseerbaar waren in de Peano Peano-rekenkunde zelf. Het staat open voor discussie in welke mate deze dan nog finitistisch kunnen genoemd worden. Het vervolg van dit verhaal, de gevolgen van Gödels stellingen op het programma van Hilber Hilbertt en de zoektocht naar een aanvaardbaar consistentiebewijs is complex. Er is bijzonder veel werk op uitgevoerd in de rest van de twintigste eeuw, onder andere door Bernays, Ackermann en John von Neumann. Startend vanuit het werk van Gerhard Gentzen ((1909 1909-1945) uit de jaren dertig, is het werk op de zogenaamde gerelativeerde Hilbertprogramma's centraal geweest in de ontwikkeling van hedendaagse bewijstheorie[9]. Alle bronnen zijn echter bijzonder schaars over de reactie van Hilbert zelf op de onvolledigheidsstellingen sstellingen van Gödel.

45

18. Einde van Göttingen en Hilbert Geheugen verwart de gedachten ik heb het mijne al lange tijd geleden afgeschaft. (Hilbert, 1937) Hilberts creatief wiskundig leven had zich sinds 1922 gefocuseerd op het voortzetten van zijn logicaprogramma. Hilbert zou blijven werken en lesgeven tot zijn pensioen in 1930, en nog blijven lesgeven nadien. Göttingen was onder Klein en Hilbert een zonnig mekka van wiskunde en fysica geworden waar het hartstochtelijk wetenschappelijke leven kon geleefd worden, zo zou Weyl later schrijven. Het had de eerste wereldoorlog overleefd en de onrustige twenties. Maar het zou Hitler niet overleven. Hilberts toewijding aan de wetenschap was altijd compleet geweest. Geen vooroordelen op basis van nationaliteit, geslacht of ras konden die toewijding verstoren, waarvan getuige zijn hulde aan de Franse Darboux in oorlogstijd, zijn inzet voor Emmy Noether en het feit dat hij nooit onderscheid maakte tussen Arisch en niet-Arisch. De Göttingse school van Hilbert werd dan ook het zwaarst getroffen door de nazi's. Alle joden of met joodse getrouwden verdwenen onder de noemer “verplicht vertrek”. Tegen de zomer van 1933 was Göttingen schijnbaar leeg: alle belangrijke wiskundigen, behalve Hilbert zelf, waren verwijderd. Vrijgestelde Nobelprijswinnaars en overblijvenden vertrokken uit protest. Hilbert kon de wetteloosheid niet begrijpen - zijn vader was rechter geweest - en riep op de overheid te vervolgen, maar het mocht niet baten. Op een banket, zittend naast de nazistische minister van onderwijs, werd hem gevraagd hoe de wiskunde in Göttingen eraan toeging nu de joodse invloed verwijderd was. “Wiskunde in Göttingen? Er is er echt geen meer!” antwoordde Hilbert. Hilbert verouderde, kreeg minder bezoekers en kwam in 1934 niet meer naar de universiteit. Zijn geheugen liet het afweten maar hij bleef scherp onderzoek verrichten in de logica. In 1939 verscheen het tweede volume van Grundlagen der Mathematik, met co-auteur Paul Bernays (1888-1977). Käthe verloor haar zicht, Hilbert viel en brak zijn arm in 1942. David Hilbert stierf op 14 februari 1943.

46

19. Geraadpleegde bronnen [1]

BROWN, J.R., Philosophy of mathematics. 2de editie, Routledge, New York, 2008, 245 blz.

[2]

CORRY, L., David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898-1918). From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. (uit de reeks Archimedes, New Studies in the History and Philosophy of Science and Technology), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2004, 513 blz.

[3]

FERREIRÓS, J., GRAY, J.J. e.a., The Architecture of Modern Mathematics. Essays in History and Philosophy. Oxford University Press, Oxford, 2006, 442 blz.

[4]

JASPERS, A., David Hilbert (1862-1943): De paus van het formalisme. Artikel in Pythagoras, februari 2009, 48ste jaargang, pp. 28-32, Amsterdam.

[5]

REID, C., Hilbert. 2de druk, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1970, 290 blz.

[6]

STRUIK, D.J., Geschiedenis van de wiskunde. Aula - Het Spectrum, Utrecht, 1990, 320 blz.

[7]

VANRIE, W., Filosofie van de Wiskunde. Paper in opdracht van Geschiedenis van de Wiskunde, UGent, Gent, 2009, 50 blz.

[8]

YANDELL, B.H., The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters, Massachussets, 2002, 486 blz.

[9]

Stanford Encyclopedia of Philosophy. http://plato.stanford.edu/

[10]

Wikipedia, The Free Encyclopedia. http://www.wikipedia.org/

[11]

MacTutor. Hilbert Biography. http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Hilbert.html

47