BAB V HIMPUNAN TAK BERHINGGA Tujuan Instuksional Umum Mahasiswa memahami himpunan berhingga dan tak-berhingga, himpunan denumerabel dan non-denumerabel, himpuna countabel dan non-countabel. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menyebutkan himpunan berhingga 2) Mahasiswa dapat menyebutkan himpunan tak-berhingga 3) Mahasiswa dapat menyebutkan himpunan denumerabel 4) Mahasiswa dapat menyebutkan himpunan non-denumerabel 5) Mahasiswa dapat menyebutkan himpunan countabel 6) Mahasiswa dapat menyebutkan himpunan non-countabel
5.1 Ketakberhinggaan Kita ingat kembali bahwa dua himpunan S dan T equipoten jhj dapat ditemukan suatu fungsi bijektif diantara dua himpunan itu. Sekarang disajikan dua definisi himpunan tak berhingga. Yang pertama mendefinisikan lebih dahulu himpunan berhingga, dengan ingkarannya himpunan tak berhingga. Sedangkan yang kedua sebaliknya, yaitu dimulai dengan suatu definisi himpunan tak berhingga dengan ingkarannya himpunan berhingga, dimana kedua definisi tersebut ekuivalen. Definisi 1 : Suatu himpunan S disebut berhingga atau induktif jika dan hanya jika S ekuipoten dengan suatu himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan- bilangan asli,
yaitu apabila ada bilangan asli n sedemikian sehingga S memuat n anggota. Apabila tidak demikian maka S disebut tidak berhingga atau non-induktif. Definisi 2 : Suatu himpunan S disebut tak-berhingga atau refleksif jika dan hanya jika S ekuipoten dengan himpunan bagian sejati dari diri sendiri. Apabila tidak demikian maka S disebut berhingga atau non refleksif. 5.2 Denumerabilitas Definisi : Suatu himpunan yang ekuipoten dengan himpunan bilangan-bilangan asli disebut himpunan denumerabel, sedangkan himpunan yang tidak memenuhi syarat diatas disebut
non-denimerabel. Suatu fungsi tertentu yang memperlihatkan
denumerabilitas disebut suatu enumerasi. Contoh : Himpunan bilangan-bilangan genap positif adalah denumerabel.Suatu enimerasi terlihat dibawah ini.
1
2
3
4
5
6
7...
n...
2
4
6
8
10
12
14 . . . 2n . . .
Teorema 1. Apabila dari suatu himpunan yang denumarbel ditambahkan anggota yang berhingga banyaknya maka hasilnya tetap denumarbel. Apabila darinya dikeluarkan anggota-anggota yang berhingga banyaknya maka sisanya tetap denumerabel. Bukti :
Perhatikan bahwa dimungkinkannya menggunakan himpunan indeks I = {1,2,3, …} untuk anggota-anggota suatu himpunan, memperlihatkan bahwa himpunan itu denumerabel. Jadi S = { s1, s2, s3, . . . }, misalnya kepada S ditambahkan p1, p2, . . . pn . Maka S1 = { p1, p2, . . . pn, s1, s2, . . .}. Suatu enumerasi didapat demikian S1 : s1 s2
s3 . . . sn
sn+1
sn+2
S :
p3 . . . pn
s1
s2
p1
p2
Bagian kedua dibuktikan secara analog. Teorema 2. Gabungan dari dua himpunan A dan B yang kedua-duanya denumerabel adalah himpunan denumerabel. A :
a1
a2
a3 . . .
B :
b1
b2
b3 . . .
Suatu enumerasi dari A B adalah a1, b1, a2, b2, a3, . . . yang didapat dengan mengikuti lintasan anak panah.
Teorema 3. Gabungan dari suatu keluarga himpunan dengan anggota yang denumerabel banyaknya, sedangkan setiap anggota keluarga himpunan tersebut denumerabel adalah himpunan denumerabel. A1 :
a11
a12
a13
A2 :
a21
a22
a23
A3 :
a31
a32
a33
a14
An :
an1
an2
an3
Suatu enumerasi dari A A A . . . A . . . umpamanya adalah A A A . . . A . . . : a ,a, a, a, a, . . . Catatan Perhatikan bahwa anggota-anggota setiap himpunan kita sajikan dengan menggunakan dua indeks, yaitu indeks pertama sama dengan indeks dari himpunannya, sedangkan indeks kedua memperlihatkan enumerasi dari himpunan yang bersangkutan. Teorema 4. Himpunan semua pasangan terurut dari bilangan-bilangan asli adalah denumerabel. Bukti : Pasangan-pasangan itu kita susun dalam aturan sebagai berikut : (1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
dan seterusnya. Suatu enumerasi didapat dengan mengikuti jalannya arah anak-anak panah.
(1,1)
(2,1)
(1,2)
(3,1)
(2,2)
(1,3) . . .
1
2
3
4
5
6 ...
4.2 Himpunan Countabel Definisi : Suatu himpunan disebut countabel (terbilang) jika himpunan tersebut merupakan himpunan berhingga atau denumerabel. Suatu himpunan disebut himpunan uncountabel jika tak-berhingga dan non-denumerabel. Catatan 1) Suatu subset dari himpunan countabel merupakan himpunan cauntabel
2) Gabungan dari suatu keluarga himpunan dengan anggota yang countabel, sedangkan setiap anggota keluarga himpunan itu countabel adalah himpunan cauntabel. Contoh-Contoh Soal 1) Jika A = {1, 2, 3, . . .} dan B = { 2, 4, 6 . . .} a) Apakah himpunan A ekivalen dengan himpunan B ? b) Apakah himpunan A infinit? Jawab : a) Dari himpunan A dapat dibuat fungsi f
ke B yang didefinisikan sebagai
f(x) = 2x. Karena setiap anggota yang berbeda dari A dipasangkan dengan anggota yang berbeda dari B, dan semua anggota B akan menjadikan pasangan anggota A, maka
A B.
b) Himpunan A infinit, karena A ekivalen dengan himpunan bagian sejati dari dirinya sendiri, dalam hal ini himpunan B ( B subset dari A) 2) Ditentukan K = { 1, ½, 1/3, . . ., 1/n, . . . } M = { 1, -2, 3, -4, . . . , (-1)n - 1 n, . . .} N = {(1,1), (4,8), (3,27), . . ., (n2 , n3),. . . } Periksalah mana yang merupakan himpunan denumerabel ? Jawab : Pada K atau M atau N dapat dibuat fungsi f(n) =an yang domainnya adalah himpunan bilangan asli, sehingga menjadi barisan infinit a1, a2, a3, . . . . Jika an merupakan elemenelemen yang berbeda, maka fungsi itu merupakan fungsi satu-satu dan onto. Jadi K, M dan N merupakan himpunan denumerabel.
Rangkuman
1) Himpunan S disebut berhingga atau induktif jika dan hanya jika S ekuipoten dengan suatu himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan- bilangan asli, yaitu apabila ada bilangan asli n sedemikian sehingga S memuat n anggota. Apabila tidak demikian maka S disebut tidak berhingga atau non-induktif. 2) Himpunan yang ekuipoten dengan himpunan bilangan-bilangan asli disebut himpunan denumerabel, sedangkan himpunan yang tidak memenuhi syarat diatas disebut non-denimerabel. 3) Himpunan disebut countabel (terbilang) jika himpunan tersebut merupakan himpunan berhingga atau denumerabel. Suatu himpunan disebut himpunan uncountabel jika tak-berhingga dan non-denumerabel. Latihan Soal-Soal 1) Buktikan bahwa relasi A B dalam himpunan adalah relasi ekivalen 2) Buktikan bahwa : a) Himpunan bagian dari suatu himpunan denumerabel merupakan himpunan finit atau denumerabel. b) Interval satuan A = [0,1] bukan himpunan denumerabel. 3) Himpunan bilangan bulat B dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan asli A sebagai berikut : 1
2
3
4
5
6
7
0
1
-1
2
-2
3
-3
Dapatkan rumus yang mendefinisikan fungsi f : A B
4) Buktikan bahwa jika A dan B adalah himpunan denumerabel maka A x B merupakan himpunan denumerabel. 5) Buktikan bahwa himpunan bilangan-bilangan rasional positif adalah denumerabel. 6) Himpunan semua bilangan-bilangan rasional (positif, nol, negatif) adalah denumerabel. Buktikan!. 7) Buktikan bahwa himpunan semua himpunan berhingga yang terdiri dari bilanganbilangan asli adalah denumerabel.
