Az általános relativitáselmélet logikai alapjai

Intro SpecRel AccRel GenRel

Az általános relativitáselmélet logikai alapjai Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G. MTA Rényi Intézet/NKE

GR100 konferencia, 2016.11.09.

Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G.


S.R.


G.R.


S.R.

G.R.

SpecRel

GenRel



S.R.

SpecRel

G.R.

AccRel


GenRel


Szóhasználat (változás) Euklidesz/Einstein/. . .

Hilbert/Tarski/. . .

Posztulátumok

Axiómák

Axiómák



Einstein eredeti posztulátumai (1905): Relativitás elve: „A fizikai törvények ugyanazok minden inerciális megfigyelő számára.” Fény posztulátum: „Van olyan inerciális megfigyelő, aki számára a fényjelek minden irányban ugyanakkora sebességgel terjednek.”



Einstein eredeti posztulátumai (1905): Relativitás elve: „A fizikai törvények ugyanazok minden inerciális megfigyelő számára.” Fény posztulátum: „Van olyan inerciális megfigyelő, aki számára a fényjelek minden irányban ugyanakkora sebességgel terjednek.”

Köv.: „A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora.”



Nyelv Axiómák Tételek

SpecRel




Logikai nyelv: { B, IOb, Ph, Q, +, ·, ≤, W } B

W

hQ, hQ, +, +, ·,˙, ≤i

IOb Ph

B ! Fizikai objektumok (próbatestek) IOb ! Inerciális megfigyelők Ph ! Fényjelek Q ! Mennyiségek (idő, távolság) +, · és ≤ ! összeadás, szorzás és rendezés W ! Világképreláció (6 argumentumú reláció) Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G.



W(m, b, x, y , z, t) ! „Az m megfigyelő a b próbatestet az hx, y , z, ti téridő pontban koordinátázza.” mt

b

b0

hx, y , z, ti x

y A b próbatest világvonala az m megfigyelő szerint: wlinem (b) = {hx, y , z, ti ∈ Q4 : W(m, b, x, y , z, t)} Az m megfigyelő szerint az hx, y , z, ti pontban „látott” esemény: evm (hx, y , z, ti) = {b ∈ B : W(m, b, x, y , z, t)} Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G.



Fő axiómák Axióma [ AxPh ]: A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora. mt y¯ time(¯ x , y¯ )2

p

x space2 (¯ x , y¯ ) y

x¯

h ∀m IOb(m) → ∃c c > 0 ∧ ∀¯ x y¯ ∃p Ph(p) ∧ W(m, p, x¯) i ∧W(m, p, y¯ ) ↔ space2 (¯ x , y¯ ) = c 2 · time(¯ x , y¯ )2 Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G.



Fő axiómák Axióma [ AxPh ]: A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora. Axióma [ AxOf ]: A mennyiségek struktúrája hQ; +, ·, ≤i egy rendezett test. Racionális számok: Q, √ √ Q( 2), Q( 3), Q(π), . . . Kiszámítható számok, Szerkeszthető számok, Algebrai valós számok: A, Valós számok: R, Hiperracionális számok: Q∗ , Hipervalós számok: R∗ , stb. Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G.



Fő axiómák Axióma [ AxPh ]: A fénysebesség minden inerciális megfigyelő számára minden irányban ugyanakkora. Axióma [ AxOf ]: A mennyiségek struktúrája hQ; +, ·, ≤i egy rendezett test. Axióma [ AxEv ]: Az inerciális megfigyelők ugyanazokat az eseményeket (próbatestek találkozásait) koordinátázzák.




Egyszerűsítő axiómák Axióma [ AxSm ]: Az inerciális megfigyelők ugyanazokat a mértékegységeket használják. Axióma [ AxSf ]: Az inerciális megfigyelők a saját vonatkoztatási rendszerükhöz képest nem mozognak. SpecRel SpecRel = AxPh + AxOf + AxEv + AxSf + AxSm




Tétel: (Andréka–Madarász–Németi, 1998) SpecRel ⇒ „Bármely két inerciális megfigyelő m és k világképe között az áttéréstranszformáció egy Poincaré transzformáció.” k

m világképe

k

k világképe

Köv.: SpecRel ⇒

„Mozgó órák lelassulnak.”, „Mozgó méterrudak megrövidülnek.”, stb.



Nyelv Axiómák TwP

AccRel



Nyelv Axiómák TwP

A logikai nyelv ugyanaz. B IOb

W

hQ, +, ·, ≤i

Ph

Ob B ! Fizikai objektumok (próbatestek) IOb ! Inerciális megfigyelők Ph ! Fényjelek Q ! Mennyiségek W ! Világképreláció (6 argumentumú reláció) def

Megfigyelő: Ob(k) ⇐⇒ ∃xyzt b W(k, b, x, y , z, t)



Nyelv Axiómák TwP

Axióma [ AxCmv ]: Minden megfigyelő, világvonalának minden pillanatában lokálisan olyannak látja a világot, mint egy inerciális megfigyelő. ∀k ∈ Ob ∀¯ x

∃m ∈ IOb ∀k ∈ Ob ∀¯ x ∈ wlinek (k) ∃m ∈ IOb dx¯ wmk = Id , ahol def

dx¯ wmk = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀¯ y |¯ y − x¯| ≤ δ → |wmk (¯ y )−L(¯ y )| ≤ ε|¯ y − x¯|. Andréka H., Madarász X. J., Németi I., Székely G.


Nyelv Axiómák TwP

Tétel: (Sz.G., 2004) SpecRel + AxCmv + hQ, +, ·, ≤i ∼ = R ⇒ TwP SpecRel + AxCmv + Th(R) 6⇒ TwP Szia fiam!

Ikerparadoxon


TwP


Nyelv Axiómák TwP

Tétel: (Sz.G., 2004) SpecRel + AxCmv + hQ, +, ·, ≤i ∼ = R ⇒ TwP SpecRel + AxCmv + Th(R) 6⇒ TwP

m

k


k


Nyelv Axiómák TwP

Axiómaséma [ CONT ]: Ha egy megfigyelhető jelenség megváltozik, akkor van egy olyan időpont, ahol ez a változás bekövetkezett. Racionális számok: Q, √ √ Q( 2), Q( 3), Q(π), . . . Kiszámítható számok, Szerkeszthető számok, Algebrai valós számok: A, Valós számok: R, Hiperracionális számok: Q∗ , Hipervalós számok: R∗ , stb.



Nyelv Axiómák TwP

Tétel: (Madarász–Németi–Sz.G., 2006) SpecRel + AxCmv + CONT ⇒ TwP Axióma [ AxCmv ]: Minden megfigyelő, világvonalának minden pillanatában lokálisan olyannak látja a világot, mint egy inerciális megfigyelő. Axiómaséma [ CONT ]: Ha egy megfigyelhető jelenség megváltozik, akkor van egy olyan időpont, ahol ez a változás bekövetkezett. AccRel AccRel = SpecRel + AxCmv + CONT + AxEv− + AxSf − + AxDiff



Nyelv Axiómák Teljesség EFE

GenRel




A logikai nyelv ugyanaz. B IOb

W

hQ, +, ·, ≤i

Ph

Ob B ! Fizikai objektumok (próbatestek) IOb ! Inerciális megfigyelők Ph ! Fényjelek Q ! Mennyiségek W ! Világképreláció (6 argumentumú reláció) def

Megfigyelő: Ob(k) ⇐⇒ ∃xyzt b W(k, b, x, y , z, t)




„Az axiómák szintjén legyen minden megfigyelő egyenrangú.” (Einstein)

AxPh−

AxPh AxEv

AxCmv

AxEv−

AxSf

AxDiff

AxSf −

AxSm

Például: AxPh, AxCmv ⇒ AxPh− .


AxSm−



Axióma [ AxPh− ]: Bármely fényjel pillanatnyi sebessége 1 a kibocsátás pillanatában, a fényjelet kibocsátó megfigyelő szerint. m p

x¯




GenRel GenRel=AxPh− +AxEv− +AxSf − +AxSm− +AxDiff+AxOf+CONT

AccRel

SpecRel


GenRel



Tétel: (Andréka–Madarász–Németi–Sz.G., 2013) GenRel teljes a Lorentz sokaságokra nézve. M ψi

ψk

Qd

Qd wik

ψj

Qd wij


wjk



Einstein egyenletek: Rij − 12 Rgij =Tij





Definíció

vagy


Axióma

?




Definíció

vagy

Axióma

Nincs lényeges különbség. . .


?


Miért nem



tétel ?


Miért nem


tétel ?

Lehetne tétel is! (más úton haladva)

Például: Hilbert-hatás + variációs elvek


Einstein egyenletek



Ax : Rij − 12 Rgij = Tij

SpecRel

def

Tij = Rij − 12 Rgij

G.R.

Köszönöm a figyelmet! Thm : Rij − 12 Rgij = Tij


Az általános relativitáselmélet logikai alapjai

Recommend Documents