ANALISIS VEKTOR
Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran yang hanya memiliki nilai tanpa arah disebut dengan skalar. Contohnya adalah massa, muatan, kerapatan, dan temperatur. Untuk notasinya, besaran yang dinyatakan sebagai vektor akan , ditandai dengan tanda panah di atas simbolnya ( A B , dan seterusnya), sedangkan skalar dapat dituliskan ∣A∣ dinyatakan dengan huruf biasa. Besar (nilai) dari suatu vektor A atau dengan notasi skalar, A .
A
A
Gambar 1
Dalam diagram, vektor biasanya dinyatakan dengan panah. Panjang dari panah sebanding dengan besar vektor dan kepala panah menyatakan arah dari vektor tersebut. , tetapi (yaitu A ) adalah sebuah vektor dengan besar yang sama seperti A Minus A pada arah sebaliknya (gambar 1). Perhatikan bahwa vektor memiliki besar dan arah, tetapi tidak mutlak menyatakan lokasi. Sebagai contoh, sebuah perpindahan sejauh 4 km ke arah utara dari Bandung direpresentasikan dengan vektor yang sama pada perpindahan sejauh 4 km ke utara Padang (kelengkungan Bumi diabaikan). Dengan demikian vektor dapat digeser sesuka hati selama besar dan arahnya tidak diubah. halaman 1
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 2
Operasi vektor dapat dibagi menjadi empat kelompok: sehingga dapat (1) Penjumlahan dua vektor. Tempatkan ekor B pada kepala A hingga kepala diperoleh jumlah vektor A B , yaitu vektor dari ekor A B (gambar 2).
pada proses di Penjumlahan vektor bersifat komutatif sehingga jika B ditukar dengan A atas, maka hasilnya akan tetap sama: . A B= B A B B A
A
A
B A B Gambar 2
Penjumlahan ini juga bersifat asosiatif:
=A B C . A B C Untuk mengurangkan sebuah vektor (gambar 3), tambahkan kebalikannya: A B= A B .
A
B A
B Gambar 3
(2) Perkalian dengan sebuah skalar. Perkalian suatu vektor oleh sebuah skalar k positif merupakan perkalian besar vektor oleh skalar tersebut dengan arah yang tidak berubah (gambar 4). Namun jika k negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 3
Perkalian ini bersifat distributif: k k A B =k A B.
B 2A
A
A
Gambar 4
Gambar 5
(3) Perkalian titik dua vektor. Perkalian titik didefinisikan oleh A⋅ B= A B cos ,
(1)
dengan adalah sudut antara vektor-vektor tersebut ketika kedua ekornya saling bertemu (gambar 5). Perhatikan bahwa A⋅ B menghasilkan sebuah skalar sehingga perkalian titik ini sering juga disebut perkalian skalar. Perkalian ini bersifat komutatif, , A⋅ B= B⋅A dan distributif, ⋅ = A ⋅ ⋅C . A B C B A
(2)
(atau ⋅ Secara geometri, A B adalah perkalian dari A dengan proyeksi B pada A pada sebaliknya perkalian B dengan proyeksi A B ). Jika dua vektor sejajar, maka , secara khusus berlaku A⋅ B= A B . Untuk sembarang vektor A ⋅A = A2 . A
(3)
dan Jika vektor A B=0 . B saling tegak lurus, maka A⋅ (4) Perkalian silang dua vektor. Perkalian silang didefinisikan oleh × A B = A B sin n ,
(4)
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 4
dengan n adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1) mengarah tegak lurus bidang dan yang sisi-sisinya dibentuk oleh vektor A B . Namun ternyata ada dua arah yang
tegak lurus bidang tersebut, yaitu “masuk” dan “keluar”. Untuk mengatasi masalah ini, digunakanlah kesepakatan aturan tangan kanan: jadikan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus keempat jari), kemudian putar keempatnya (pada sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari menandakan arah dari perkalian silang kedua vektor tersebut. Perhatikan bahwa A× B akan menghasilkan sebuah vektor sehingga perkalian silang sering disebut dengan perkalian vektor. B A
× mengarah masuk bidang kertas. Gambar 6. A B mengarah keluar bidang kertas, B×A
Perkalian silang bersifat distributif, = A× C , A× B C B A×
(5)
tetapi tidak komutatif, justru . A× B= B× A
(6)
× dan Secara geometri, ∣A B∣ adalah luas daerah jajaran genjang yang dibentuk oleh A
B (gambar 6). Jika kedua vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol dan secara A=0 . khusus A× untuk sembarang vektor A
Bentuk komponen Pada bagian sebelumnya telah didefinisikan beberapa operasi vektor dalam bentuk yang masih kabur, yakni tanpa merujuk pada sistem koordinat tertentu. Dalam praktik biasanya cukup mudah untuk bekerja dengan komponen vektor dalam sistem koordinat tertentu. Misalkan pada koordinat kartesian:
i , j , dan k masing-masing adalah vektor satuan
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 5
dapat yang sejajar dengan sumbu-x, y, dan z (gambar 7). Sebuah vektor sembarang A dinyatakan dalam suku vektor basis tersebut (gambar 8), yaitu A x i A y j A z k . A= z
z A
k
j A x i
y
i
A z k y
A y j
x
x Gambar 7
Gambar 8
. Tafsiran geometri dari Bilangan A x , A y , dan A z disebut komponen dari A sepanjang tiga sumbu koordinat. Dengan komponen vektor tersebut adalah proyeksi A hasil ini, keempat operasi vektor yang telah dijelaskan sebelumnya dapat dirumuskan ulang dalam bentuk komponen-komponennya: (1) Penjumlahan dua vektor: A B= A x B x i A y B y j A z B z k .
(7)
(2) Perkalian dengan sebuah skalar: =k A x i k A y j k A z k . kA
(8)
(3) Perkalian titik dua vektor: i⋅i = j⋅j = k k=1; ˙ i ˙j = i⋅k= j⋅k=0 .
(9)
A⋅ B= A x B x A y B y A z B z .
(10)
⋅A = A 2x A 2y A 2z , A ⇒ A= A x A y A z . 2
2
2
(11)
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 6
(4) Perkalian silang dua vektor: i × i = j × j =k× k=0 , i × j = j × i= k ,
(12)
j ×k= j = i , k× i =i ×k= j . k×
∣
i A× B= A x Bx
j Ay By
∣
k Az . Bz
(13)
Perkalian tripel dapat menghasilkan , Perkalian titik dan silang antara 3 buah vektor, A B , dan C , dan A× sesuatu yang berarti dalam bentuk A⋅ B C , A⋅ B ×C B×C . Aturanaturan yang berlaku adalah: ⋅ . A B C ≠ A B⋅C
(14)
⋅ = B ⋅ C ×A =C⋅ A × A B ×C B ,
(15)
∣
∣
(16)
A× B×C ≠ A× B×C ,
(17)
= A⋅ C A× B ×C B A⋅ B C . B ×C = A⋅ C A A× B B⋅C
(18)
Ax = B x A⋅ B ×C Cx
Ay By Cy
Az Bz . Cz
⋅ disebut dengan perkalian tripel skalar dan dapat ditulis [ A Perkalian A B ×C B C ] . Secara geometri, perkalian tripel skalar akan menghasilkan besar volume ruang yang , sebagai sisi-sisinya. Volume ruang tersebut akan bernilai dibentuk oleh A B , dan C
positif atau negatif tergantung pada unsur perkalian silang di dalam perkalian tripel skalar. Sementara itu, perkalian A× B×C disebut dengan perkalian tripel vektor karena hasil akhirnya adalah sebuah vektor.
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 7
Posisi, perpindahan, dan jarak Lokasi sebuah titik dalam tiga dimensi dapat dinyatakan dalam koordinat kartesian
x , y , z . Vektor yang mengarah ke titik tersebut dari titik asal disebut dengan vektor posisi: r =x i y j z k .
(19)
2 2 2 r =x y z ,
(20)
r x i y j z k r = = , r x 2 y 2z 2
(21)
Besarnya
adalah jarak dari titik asal, dan
merupakan vektor satuan yang mengarah radial keluar. Bagian kecil vektor perpindahan, dari x , y , z hingga x dx , ydy , z dz adalah d r =dx i dy j dz k .
(22)
Pada berbagai kasus fisika, kita akan sering berhadapan dengan permasalahan yang melibatkan dua titik, yatu sebuah titik sumber r ' (tempat sumber medan berada) dan titik medan r yang sedang ditinjau besar medannya. Akan memudahkan jika sejak awal dibuatkan notasi baru untuk menyatakan posisi relatif dari titik sumber ke titik medan. Notasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah r (gambar 9): r =r r ' .
(23)
titik medan r r titik sumber r '
Gambar 9. Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan.
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 8
Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah r=∣r r '∣ ,
(24)
dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ): r r r ' . r = = r ∣r r '∣
(25)
Kalkulus Vektor Limit, kontinuitas, dan turunan fungsi vektor , maka A disebut Jika untuk setiap nilai suatu skalar u kita kaitkan sebuah vektor A u . Notasi ini dalam tiga dimensi dapat dituliskan fungsi dari u dan dinyatakan dengan A u =A x u i A y u j Az u k . menjadi A Konsep fungsi ini dapat diperluas dengan mudah. Jika setiap titik x , y , z berkaitan , maka A adalah fungsi dari x , y , z yang dinyatakan dengan dengan sebuah vektor A x , y , z = A x x , y , z i A y x , y , z j A z x , y , z k . Dapat dikatakan vektor A A ini mendefinisikan sebuah medan vektor dan serupa dengannya x , y , z mendefinisikan medan skalar. Aturan limit, kontinuitas, dan turunan untuk fungsi vektor mengikuti aturan yang sama seperti skalar. u dikatakan kontinu pada u 0 jika untuk (1) Fungsi vektor yang dinyatakan dengan A setiap bilangan positif dapat ditemukan suatu bilangan positif sehingga u A u 0 ∣ ∣A
dengan
∣uu 0∣ .
Pernyataan
ini
ekuivalen
dengan
u 0 . lim Au = A
u u0
u didefinisikan d A = lim A u u A u , dengan syarat (2) Turunan dari A du u 0 u u =A x u i A y u j Az u k dapat diperoleh limitnya ada. Pada kasus A
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 9
dA x dA dA dA i y j z k . = du du du du
(26)
/du 2 didefinisikan dengan cara yang serupa. Turunan yang lebih tinggi seperti d 2 A x , y , z = A x x , y , z i A y x , y , z j A z x , y , z k , maka (3) Jika A = ∂ A dx ∂ A dy ∂ A dz . dA ∂x ∂y ∂z
(27)
. adalah diferensial total dari A (4) Turunan dari perkalian vektor dengan skalar atau vektor dengan vektor mengikuti aturan yang sama seperti pada fungsi skalar. Namun perlu diingat ketika kita melibatkan perkalian silang maka urutan penulisan penting untuk diperhatikan karena terkait dengan arah dari hasil perkalian tersebut. Beberapa contoh diantaranya: d = d A d A , A du du du
(28)
∂ ⋅∂ B ∂ A ⋅ A⋅ B = A B , (urutan tidak masalah) ∂ y ∂y ∂y
(29)
∂ A dan × × ∂ B ∂ A × B = A B (pertahankan urutan A B ). ∂z ∂ z ∂z
(30)
Gradien, Divergensi, dan Curl dalam koordinat kartesian didefinisikan Misalkan sebuah operator vektor ∇ i ∂ j ∂ k ∂ ∇= ∂x ∂y ∂z .
(31)
x , y , z memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada Jika x , y , z dan A daerah tertentu, maka dapat didefinisikan beberapa besaran berikut: = ∂ i ∂ j ∂ k gradien: grad =∇ ∂x ∂ y ∂z
(32)
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 10
∂ A x ∂ A y ∂ Az A = ∇⋅ = divergensi: div A ∂x ∂y ∂z
∣
i A = ∇× = ∂ curl: curl A ∂x Ax
j ∂ ∂y Ay
k ∂ ∂z Az
∣
(33)
(34)
, Jika turunan parsial dari fungsi-fungsi A B , U , dan V diasumsikan ada, maka 1.
U V = ∇ U ∇ V atau grad U V =grad U grad V ∇
2.
A A ∇⋅ div ∇⋅ B = ∇⋅ B atau div A B =div A B
3.
×A × ∇ div ∇× A B =∇ B atau curl A B =curl A B
4.
U ⋅A A = ∇ U ∇⋅ ∇⋅U A
5.
U × A A = ∇ U ∇× ∇×U A
6.
A ×A × × A ⋅ ∇ ∇⋅ B = B⋅ ∇ B
7.
A A × A ⋅∇ ∇⋅ ∇× A B = B⋅∇ B ∇⋅ B A B
8.
A A ×A × ⋅ A ⋅∇ A × ∇ ∇ B = B⋅∇ B B × ∇ B
9.
2 2 2 ∇ U =∇ 2 U = ∂ U ∂ U ∂ U disebut Laplacian dari U ∇⋅ 2 2 2 ∂x ∂y ∂z
∂2 ∂2 ∂2 dan ∇ = 2 2 2 disebut dengan operator Laplacian. ∂x ∂ y ∂z 2
∇ U =0 . Curl dari gradien U adalah nol. 10. ∇× ∇ ×A adalah nol. 11. ∇⋅ =0 . Divergensi dari curl A ∇× A ∇⋅ A 12. ∇× =∇ ∇ 2 A Gradien, divergensi, dan curl bukanlah sekedar operasi matematik belaka. Ketiganya dapat ditafsirkan secara geometri.
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 11
Tafsiran Gradien. Seperti vektor lainnya, gradien memiliki besar dan arah. Untuk menentukan arti geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi tiga variabel, katakanlah temperatur dalam ruang, T x , y , z , yang merupakan sebuah skalar. Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut dinyatakan dalam bentuk diferensial total dT =
∂T ∂T ∂T dx dy dz . ∂x ∂y ∂z
(35)
Dalam bentuk perkalian titik, pernyataan di atas setara dengan dT =
∂ T ∂T ∂ T i j k ⋅dx i dy j dz k ∂x ∂ y ∂z
(36)
T ⋅d r , = ∇ atau T⋅d T∣∣d r ∣cos , dT = ∇ r =∣∇
(37)
dT T⋅u , =∣∇ T∣cos =∇ dr
(38)
yang berarti
T dan d dengan adalah sudut antara ∇ r , kemudian u adalah suatu vektor satuan yang menyatakan arah gerak kita. Dengan demikian, laju perubahan temperatur ( dT /dr ) T (yaitu saat =0 ). akan bernilai paling besar ketika geraknya searah dengan ∇ Bayangkan kita berada pada sebuah lereng bukit. Lihat ke sekeliling dan temukan bagian yang paling curam. Itu adalah arah dari gradien. Sekarang ukur kemiringan pada arah tersebut. Itu adalah besar dari gradien. Lalu bagaimana jika gradiennya nol? Jika T =0 pada x , y , z , maka dT =0 untuk perpindahan yang kecil di sekitar titik ∇ x , y , z . Keadaan ini akan berarti sebuah titik stasioner dari fungsi T x , y , z . Titik tersebut dapat berupa nilai maksimum (puncak), minimum (lembah), daerah pelana, atau sebuah permukaan berbentuk seperti “bahu”. Tafsiran Divergensi. Sesuai namanya, divergensi
A ∇⋅
menyatakan ukuran
. Perhatikan gambar 10 sebagai contoh pada kasus dua dimensi. penyebaran vektor A
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 12
Fungsi pada gambar 10(a) memiliki divergensi yang sangat besar dan positif (jika panahnya mengarah ke dalam berarti nilainya negatif), fungsi pada gambar 10(b) memiliki divergensi nol, dan fungsi pada gambar 10(c) memiliki divergensi positif yang nilainya agak kecil.
(a)
(b)
(c) Gambar 10
Tafsiran Curl. Pemilihan nama curl juga disesuaikan dengan arti geometrinya yang menyatakan ukuran rotasi pada sebuah titik. Oleh karena itu seluruh fungsi pada gambar 10 memiliki curl yang bernilai nol (bisa kita cek dengan mengetahui fungsinya) dan fungsi pada gambar 11 memiliki curl yang sangat besar berarah pada sumbu-z. z
y
x Gambar 11
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 13
Koordinat lengkung Misalkan persamaan transformasi x = f u 1 , u 2 , u 3 ,
y = g u 1 , u 2 , u 3 ,
z =h u 1 , u 2 , u 3
(39)
(dengan asumsi f, g, h kontinu, memiliki turunan parsial kontinu, dan memiliki sebuah nilai invers tunggal) membentuk korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam sistem koordinat xyz dan u 1 u 2 u 3 . Dalam notasi vektor, persamaan (39) dapat dituliskan f u 1 , u 2 , u 3 i g u 1 , u 2 , u 3 j h u 1 , u 2 , u 3 k . r =x i y j z k=
(40)
Sebuah titik P (gambar 12) dengan demikian dapat didefinisikan tidak hanya oleh koordinat x , y , z tetapi juga oleh koordinat u 1 , u 2 , u 3 . Kita sebut u 1 , u 2 , u 3 sebagai koordinat lengkung dari suatu titik.
z e3 u3 e1
u1
P
u2
r
e2
y
x Gambar 12
Dari persamaan (40), diperoleh d r=
∂ r ∂ r ∂ r du 1 du 2 du . ∂ u1 ∂ u2 ∂ u3 3
(41)
Dalam sistem koordinat lengkung ini, bentuk diferensial dari panjang busur suatu kurva dapat dituliskan ds 2= g 11 du 1 2 g 22 du 2 2 g 33 du 3 2 , dengan
(42)
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 14
g 11 =
∂ r ∂ r ⋅ , ∂x ∂x
g 22 =
∂ r ∂ r ⋅ , ∂ y ∂y
g 22 =
∂ r ∂ r ⋅ . ∂z ∂z
43)
Vektor ∂ r /∂ u 1 bersinggungan dengan koordinat u 1 pada P. Jika e1 merupakan sebuah vektor satuan pada arah tersebut, maka ∂ r /∂ u 1=h 1 e1 dengan h 1=∣∂ r /∂ u 1∣ . Serupa dengannya, ∂ r /∂ u 2 =h 2 e2 dan ∂ r /∂ u 3=h 3 e3 dengan h 2 =∣∂ r / ∂ u 2∣ dan r /∂ u 3∣ . Dengan demikian, h 3=∣∂ d r =h 1 du 1 e1h 2 du 2 e2 h 3 du 3 e3 ,
(44)
Besaran h 1 , h 2 , h 3 sering disebut sebagai faktor skala. Jika e1 , e2 , e3 saling tegak lurus pada titik P, koordinatnya dikatakan ortogonal. Oleh karena itu, kita temukan kuadrat panjang busur adalah ds 2=d r ⋅d r =h 12 du 21 h 22 du 22 h 32 du 23 ,
(45)
yang bersesuaian dengan panjang diagonal ruang balok pada gambar 12, dan elemen volumnya ( d ) dapat ditulis d =h 1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 .
(46)
A 1 e1 A 2 e2 A 3 e3 adalah fungsi Misalkan adalah sebuah fungsi skalar dan A= dalam koordinat lengkung ortogonal u 1 , u 2 , u 3 , maka gradien, divergensi, curl, dan laplacian-nya adalah: 1.
=grad = 1 ∂ e 1 ∂ e 1 ∂ e ∇ h 1 ∂u 1 1 h2 ∂ u 2 2 h3 ∂u 3 3
2.
A =div A = ∇⋅
3.
h 1 e1 1 ∂ A =curl A = ∇× h1 h2 h3 ∂ u1 A1
4.
∇ 2 =laplacian =
1 ∂ A h h ∂ h A h ∂ h h A h1 h2 h3 ∂ u 1 1 2 3 ∂u 2 1 2 3 ∂u 3 1 2 3
[
]
∣
h2 e2 ∂ ∂ u2 A2
[
∣
h 3 e3 ∂ ∂u 3 A3
1 ∂ h2 h 3 ∂ ∂ h 1 h 3 ∂ ∂ h 1 h 2 ∂ h 1 h 2 h3 ∂u 1 h1 ∂ u 1 ∂ u 2 h 2 ∂ u 2 ∂ u 3 h 3 ∂ u 3
]
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 15
Keempat bentuk tersebut* akan tereduksi menjadi ekspresi biasa dalam koordinat kartesian jika u 1 , u 2 ,u 3 digantikan oleh x , y , z ; lalu e1 , e2 , e3 diganti dengan i , j , k ; dan h 1=h 2 =h 3 =1 . Bentuk khusus koordinat lengkung ortogonal lain diantaranya adalah koordinat silinder dan koordinat bola. Z
Z
z
P(r, θ, φ)
P(ρ, θ, z)
r z
kˆ
r O
x
φ
iˆ
y
ρ
x
Y
θ
ˆj
O
φ
y
ρ
Y
X
X Gambar 13
Gambar 14
Koordinat Silinder , , z . Perhatikan gambar 13. Persamaan transformasi: x= cos , y= sin , z =z , dengan ≥0 , 0≤2 ,∞z ∞ . Faktor skala: h 1=1 , h 2= , h 3 =1 . Elemen panjang busur: ds 2=d 2 2 d 2 dz 2 . Elemen volum: d = d d dz Perhatikan bahwa dari sini dapat juga diperoleh hasil lain untuk koordinat polar dalam bidang dengan mengabaikan ketergantungan pada z. Sebagai contoh dalam kasus koordinat polar tersebut,
ds 2=d 2 2 d 2 ; sedangkan elemen volum digantikan oleh
elemen luas, da= d d .
* Lihat buku Mathematical Methods in The Physical Sciences (Mary L. Boas) untuk penurunan lengkapnya.
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 16
Koordinat Bola , , . Perhatikan gambar 14. Persamaan transformasi: x=r sin cos , y=r sin sin , z =r cos , dengan r ≥0 , 0≤≤, 0≤2 . Faktor skala: h 1=1 , h 2=r , h 3 =r sin . Elemen panjang busur: ds 2=dr 2 r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2 . Elemen volum: d =r 2 sin dr d d .
Integral Garis, Permukaan, dan Volum Dalam bahasan listrik magnet selanjutnya akan ditemui berbagai macam bentuk integral, diantaranya yang paling penting adalah integral garis (atau lintasan), integral permukaan (atau fluks), dan integral volum. Integral Garis. Sebuah integral garis I adalah suatu pernyataan dalam bentuk b
I =∫ v ⋅d r ,
(47)
a
dengan v adalah sebuah fungsi vektor, d r adalah elemen vektor perpindahan (pers. 22), dan daerah integrasi berada pada lintasan antara titik a hingga titik b . Jika lintasan integrasi membentuk loop tertutup, maka tanda integral diberi tambahan lingkaran:
∮ v⋅d r . Integral Permukaan. Sebuah integral permukaan I didefinisikan I =∫ v ⋅d a , S
(48)
dengan v adalah sebuah fungsi vektor dan d a adalah elemen vektor luas yang arahnya tegak lurus permukaan yang dimaksud. Jika permukaannya tertutup (menjadi seperti ruang), maka seperti sebelumnya tanda integral diberi tambahan lingkaran:
∮ v⋅d a . Untuk integral permukaan biasa (pers. 48) , dapat ditemui dua arah yang tegak lurus
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 17
permukaan sehingga pemilihan arah permukaan akan cukup membingungkan. Namun biasanya kita bebas memilih salah satu dari kedua arah tersebut. Untuk kasus integral permukaan tertutup, arah yang keluar (menjauh) dari permukaan disepakati sebagai arah elemen luas, d a . Integral Volum. Sebuah integral volum I dinyatakan I =∫ T d ,
(49)
V
dengan T adalah sebuah fungsi skalar dan d adalah elemen kecil dari volum. Untuk koordinat kartesian,
d =dx dy dz . Sebagai contoh, jika T adalah kerapatan suatu materi (yang nilainya dapat bervariasi dari titik ke titik), maka integral volum akan memberikan massa total. Kadang akan ditemui juga bentuk integral volum dari suatu fungsi vektor:
∫ v d =∫ v x i v y j v z k d =i ∫ v x d j ∫ v y d k ∫ v z d . Teorema fundamental Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya. b
Teorema Gradien:
∫ ∇ T ⋅d r =T b T a
(50)
a
Teorema Curl (Stokes):
∫ ∇ ×v ⋅d a=∮ v⋅d r
Teorema Divergensi (Gauss):
v d =∮ v ⋅d a ∫ ∇⋅
S
V
(51) (52)
S
Dari pers. 50 s.d. 52 dapat dilihat bahwa teorema gradien melibatkan operasi gradien dan integral garis; teorema curl melibatkan operasi curl, integral permukaan, dan integral garis;
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 18
dan teorema divergensi melibatkan operasi divergensi, integral volum, dan integral permukaan.
Teorema potensial (skalar dan vektor) Teorema 1. Jika curl dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun, maka F dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar V : F V, =0 ⇔ F =∇ ∇×
(53)
atau setara dengan pernyataan berikut: b
∫ F⋅d r
tidak tergantung lintasan (konservatif) untuk setiap titik-titik ujung yang
a
diberikan,
∮ F⋅d r =0
untuk sembarang loop tertutup.
Teorema 2. Jika divergensi dari sebuah medan vektor F bernilai nol dimanapun, : maka F dapat dinyatakan sebagai curl dari sebuah potensial vektor A F ×A =0 ⇔ F =∇ , ∇⋅
(54)
yang juga setara dengan:
∫ F⋅d a
∮ F⋅d a =0
tidak tergantung permukaan untuk setiap batas tertutup yang diberikan, untuk sembarang permukaan tertutup.
KUMPULAN SOAL-JAWAB SOAL 1 B
seperti pada gambar di samping. Turunkan Misalkan suatu vektor C pada aturan cosinus dengan memanfaatkan perkalian titik dari vektor C dirinya sendiri dengan menyesuaikan variabel pada A dan B !
A
C
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 19
Jawab:
=A Dari gambar dapat kita tentukan: C B , kemudian C = A A A⋅ C⋅ B⋅ A B = A⋅ B B⋅A B⋅ B, atau C 2 =A 2 B 2 2 A B cos (aturan cosinus). SOAL 2 Tentukan sudut antara dua buah diagonal ruang suatu kubus! Jawab: Berdasarkan gambar di samping,
z 1
=1 i 1 j 1 k ; A= 3 A
r A
B =1 i 1 j 1 k ; B= 3 r B
θ
⋅ A B =111=1= A B cos= 3 3cos
1
y
1
1 ⇔cos = , 3 sehingga =arc cos
x
1 ≈70,5288o . 3
SOAL 3 Dengan
menggunakan
perkalian
silang,
tentukanlah
z
komponen vektor satuan yang tegak lurus bidang seperti
3
ada gambar!
nˆ
Jawab: 2
Perkalian silang antara dua vektor sembarang yang menjadi sisi-sisi bidang pada gambar akan menghasilkan vektor
y
1 x
yang tegak lurus bidang tersebut. Sebagai contoh, ambil bagian alas dan sisi sebelah kiri dan masing-masing menjadi vektor A B:
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 20
=1 i 2 j 0 k ; A B =1 i 0 j 3 k
∣ ∣
i j k A ×B = 1 2 0 =6 i 3 j 2 k . 1 0 3 ×B ini arahnya sudah sesuai dengan n , tetapi besarnya belum cocok (ingat, Vektor A
vektor satuan harus bernilai 1 satuan). Untuk menghasilkan vektor satuan n , bagi saja × ×B ∣= 3694=7 . Dengan demikian, A B dengan besarnya: ∣ A n =
× A B 6 3 2 = i k . j 7 × ∣A B∣ 7
SOAL 4 Carilah vektor posisi relatif r dari titik sumber (2, 8, 7) ke titik medan (4, 6, 8). Tentukan besarnya dan bentuk vektor satuan r ! Jawab:
i 8 j7 k=2 i 2 j1 k . r=r r '=4 i 6 j 8 k2 2 2 1 ∣r∣= 441=3 , sehingga r = i j k . 3 3 3 SOAL 5 Tentukan gradien fungsi-fungsi berikut: (a) f x , y , z =x 2 y 3z 4 ; (b) f x , y , z =x 2 y 3 z 4 ; (c) f x , y , z =e x sin y lnz . Jawab: f =2 x i 3 y 2 j 4 z 3 k (a) ∇ f =2 x y 3 z 4 i 3 x 2 y 2 z 4 j 4 x 2 y 3 z 4 k (b) ∇
f =e x sin y ln z i e x cos y ln z j e x sin y 1 k (c) ∇ z
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 21
SOAL 6 Ketinggian dari suatu bukit (dalam satuan meter) diberikan oleh 2
2
h x , y =10 2 x y 3 x 4 y 18 x 28 y 12 , dengan y adalah jarak (dalam km) sebelah utara, x adalah jarak ke timur kota Bandung. (a) Di manakah puncak bukit tersebut berada? (b) Berapa ketinggian bukit tersebut? (c) Seberapa curam kemiringan (dalam satuan m/km) pada sebuah titik 1 km utara dan 1 km timur kota Bandung? Pada arah manakah kemiringan tercuram di titik tersebut? Jawab: (a) Tentukan gradien fungsi terlebih dahulu: h=10[ 2 y 6 x 18 i 2 x 8 y 28 j ] . ∇ h=0 (puncak bukit merupakan Untuk menentukan puncak bukit, gunakan syarat ∇ salah satu jenis titik stasioner): h=10[ 2 y6 x 18 i 2 x 8 y28 j ]=0 , menghasilkan sistem persamaan ∇ linear dua peubah: 2 y 6 x 18=0 2 x 8 y 28=0
} . Solusi dari sistem persamaan ini adalah x , y =2 ,3 .
Dengan demikian puncak bukit tersebut berada pada 2 km sebelah barat dan 3 km utara Bandung. (b) Substitusikan x , y =2 ,3 pada h x , y : h 2, 3=10 121236368412=720 m . h. (c) Substitusikan x , y =1 , 1 pada ∇ h 1 ,1=10 [2618 i 2828 j ]=220 i j . ∇
h∣=220 2≈311 m/km , arahnya ke barat laut (135 derajat dari sumbu-x positif). ∣∇
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 22
SOAL 7 Misalkan r adalah sebuah vektor dari suatu titik tertentu x 0 , y 0 , z 0 ke titik x , y ,z dan r adalah panjangnya. r 2=2 r (a) Tunjukkan bahwa ∇
r n (dalam bentuk r , yaitu vektor satuan yang searah (b) Cari rumus umum untuk ∇ dengan r ) Jawab: (x, y, z)
r=x x 0 i y y 0 jz z 0 k r= x x 0 y y 0 z z 0 2
2
2
r 2=x x 0 2 y y 02z z 02
(x0 , y 0 , z 0 )
2 2 2 2 2 2 ∂ 2 ∂ (a) ∇ r = ∂ x [ x x 0 y y 0 z z 0 ] i ∂ y [ x x 0 y y 0 zz 0 ] j 2 2 2 ∂ [ x x 0 y y 0 z z 0 ] k ∂z
=2 x x 0 i 2 y y 0 j 2z z 0 k=2 r (terbukti) (b)
∂ r n =n r n1 ∂ r =n r n1 1 1 2 r =n r n 1 r , ( r =x x ) x x 0 ∂x ∂x 2 r x ∂ r n =n r n1 r ∂ r n =n r n1 r r n =n r n1 r . y , z ; sehingga ∇ ∂y ∂z
SOAL 8 Ujilah kebenaran teorema gradien, menggunakan fungsi T =x 24 x y 2 y z 3 dengan titik-titik a=0, 0 ,0 , b=1 ,1, 1 dan dua lintasan berikut: (a)
(b)
z
z
(1 , 1 , 1 )
(1 , 1 , 1 )
O
O
y
z = x2 = y 2 x
x
y
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 23
Jawab: b
Teorema gradien adalah:
∫ ∇ T ⋅d r =T b T a . a
Pada soal telah disebutkan T =x 24 x y2 y z 3 , sehingga T a=0 ; T b=142=7 ; dan T bT a =7 . (a) Lintasan ini dapat dibagi menjadi 3 bagian, 1
- bagian 1, x :0 1 , y =z =dy=dz =0 .
∫ ∇ T ⋅d r1=∫ 2 x dx=[x 2 ]10=1 . 0 1
- bagian 2, y :0 1 , x =1 , z =0 , dx=dz =0 .
∫ ∇ T ⋅d r2=∫ 4 dy=[4 y ]10=4 . 0 1
- bagian 3, z :0 1 , x = y=1 , dx=dy=0 .
∫ ∇ T ⋅d r3=∫ 6 z 2dz =[2z 3]10=2 . 0
b
∫ ∇ T ⋅d r =∫ ∇ T ⋅d r1∫ ∇ T ⋅d r2∫ ∇ T ⋅d r3=142=7 . a
T ⋅d r =2 x 4 ydx 4 x 2z 3dy 6 y z 2 dz . (b) ∇ Karena x :0 1; y =x , z =x 2 , dy =dx , dz =2 x dx , maka T ⋅d r =2 x 4 x dx 4 x 2 x 6 dx6 x x 4 dx=10 x 14 x 6 dx ∇ 1
1
0
0
∫ ∇ T ⋅d r =∫ 10 x 14 x 6 dx=[5 x 22 x 7 ]10=52=7 . z
SOAL 9 Uji
kebenaran
teorema
divergensi
v =x y i 2 y z j 3 x z k .
untuk
Gunakan
volum
2
fungsi pada
gambar kubus di samping dengan panjang sisi 2 satuan!
2 2
Jawab: x
Teorema divergensi adalah:
v d =∮ v ⋅d a ∫ ∇⋅ . V
S
v = y2z 3 x . Cari dulu nilai ruas kiri: sesuai dengan soal, dapat diperoleh ∇⋅
y
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 24 2 2 2
v d =∫∫∫ y 2z 3 x dx dy dz =48 . ∫ ∇⋅ 0 0 0
Cek nilai ruas kanan dengan menggunakan penomoran permukaan berikut ini: z
(V ) (II)
(III)
(IV )
y
(I) (V I)
x
2 2
(I)
∫ v⋅d a1=∫∫ 2 y dy dz =2[ y2 ]02=8 .
d a1 =dy dz i , x =2 ;
0 0
(II)
d a2=dy dz i , x =0 ; v ⋅d a2 =0 ;
∫ v⋅d a2=0 .
2 2
(III) d a3 =dx dz j , y=2 ;
∫ v⋅d a3=∫∫ 4z dx dz =16 . 0 0
(IV) d a4 =dx dz j , y=0 ; v ⋅d a4 =0 ;
∫ v⋅d a4=0 .
2 2
(V)
d a5 =dx dy k , z=2 ;
∫ v⋅d a5=∫∫ 6 x dx dy =24 . 0 0
(VI) d a6 =dx dy k , z =0 ; v ⋅d a6=0 ;
∫ v⋅d a6=0 .
Jumlahkan seluruh integrasi (I) s.d. (VI), ternyata hasilnya adalah
∫ v⋅d a =81624=48
(cocok dengan ruas kiri).
SOAL 10 Ujilah kembali kebenaran teorema divergensi untuk fungsi 2 2 2 . v =r cos r r cos r cos sin
Gunakan bola berjari-jari R pada oktan pertama sebagai volum yang ditinjau!
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 25
Jawab: z
Sesuai transformasi pada koordinat lengkung, divergensi
R
untuk koordinat bola dapat dituliskan ∂ v sin 1 ∂v , v = 1 ∂ r 2 v 1 ∇⋅ r 2 ∂r r sin ∂ r sin ∂ r
R y R
sehingga untuk soal ini diperoleh x
∂ ∂ r 2 cos sin 1 v = 1 ∂ r 2 r 2 cos 1 ∇⋅ r 2 cos sin 2 r sin ∂ r sin ∂ r ∂r =
1 3 1 1 r 2 cos cos r 2 cos cos 4 r cos 2 r sin r sin r
=
r cos [4 sin coscos ]=4 r cos . sin
Kemudian hitung ruas kiri teorema divergensi dengan elemen volum dalam koordinat bola, d =r 2 sin dr d d : R
v d =∫∫∫ 4r cos r 2 sin dr d d =4 ∫ r 2 dr ∫ ∇⋅ 0
=R
4
/ 2
/ 2
∫ cos sin d ∫ d 0
0
4 R = . 2 4
1 2
Sekarang cek ruas kanan, perrmukaan bola yang dimaksud terdiri dari 4 bagian: (1) bagian lengkung, d a1 =R 2 sin d d r ; r =R ; v⋅d a1=R 2 cos R 2 sin d d /2
/2
∫ v⋅d a1=R 4 ∫ cos sin d ∫ d =R 4 0
0
1 2
4 R . = 2 4
=0 ; v⋅d a2=r 2 cos sin r dr d =0 ⇒ (2) kiri: d a2=r dr d ;
∫ v⋅d a2=0 .
; = ; v⋅d a3=r 2 cos sin r dr d =r 3 cos dr d (3) belakang: d a3=r dr d 2 / 2
R
∫ v⋅d a3=∫ r 0
3
dr
∫ cos d = 0
1 1 4 R 1= R 4 . 4 4
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 26
= ; v⋅d a =r 2 cosr dr d (4) alas: d a4 =r sin dr d ; 2 / 2
R
∫ v⋅d a4=∫ r
3
dr
0
Totalnya adalah:
1
∫ cosd = 4 R 4 . 0
∫ v⋅d a =
4
4
R 1 4 1 4 R (cocok). 0 R R = 4 4 4 4
SOAL 11
z
Uji kebenaran teorema Stokes (curl) untuk fungsi v = y k
(0 , 0 , a)
pada permukaan segitiga seperti gambar di samping! (0 , 2 a, 0 )
Jawab: Teorema Stokes adalah:
y
∫ ∇ ×v ⋅d a=∮ v⋅d r S
(a, 0 , 0 ) x
Cek ruas kanan, v ⋅d r = y dz .
Ambil jalur yang berlawanan jarum jam pada garis-garis batas permukaan tertutup segitiga. Ada 3 bagian garis pada segitiga tersebut: (1) kiri: z =ax ; dz =dx ; y=0 ; sehingga (2) alas: dz =0 , sehingga
∫ v⋅d r2=0 .
(3) belakang (kanan): z =a 0
∫ v⋅d r3=∫ 2a
∫ v⋅d r1=0 .
1 1 y ; dz = dy ; y : 2a 0 . 2 2 0
[ ]
1 1 y2 y dy = 2 2 2
Totalnya dalam loop tertutup adalah
2a
=
4 a2 2 =a 4
∮ v⋅d r =00a 2=a 2 .
v =i . Sekarang cek ruas kiri: ∇× 1
∫ ∇ ×v ⋅d a = proyeksi permukaan segitiga pada bidang xy= 2 a 2a =a 2
(cocok).
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 27
SOAL 12 Misalkan F1 =x 2 k dan F2=x i y j z k . Hitung divergensi juga curl dari F1 dan F2 . Manakah yang dapat dituliskan sebaga gradien dari skalar? Cari potensial skalar yang cocok dengannya! Dan manakah yang dapat dinyatakan sebagai curl dari vektor? Cari potensial vektor yang cocok dengannya! Jawab: F = ∂ x ∂ y ∂z =111=3 . F = ∂ 0 ∂ 0 ∂ x 2 =0; ∇⋅ ∇⋅ 1 2 ∂x ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂z
∣
i F = ∂ ∇× 1 ∂x 0 ➔
∣
j ∂ ∂y 0
∣
k ∂ 2 ∂ ∂ z = j ∂ x x =2 x j ; ∇ × F 2= x2
i ∂ ∂x x
j ∂ ∂ y y
∣
k ∂ =0 . ∂z z
F =0 , maka F2 adalah gradien dari suatu skalar. ∇× 2 1 2 2 2 V. Potensial skalar yang memenuhi adalah V = x y z sehingga F2= ∇ 2
➔
F =0 , maka F1 adalah curl dari suatu vektor. ∇⋅ 1 ×A dengan syarat F1=∇ , Potensial vektor yang berkaitan dengan F1 adalah A menyebabkan
∂ A y ∂ Ax ∂ A y ∂ Az ∂ A x ∂ Az x3 2 =x ⇒ A y = . = =0 ; ∂z ∂ y ∂z ∂x ∂x ∂y 3 2
= x j (tapi tidak unik). Dengan ketentuan ini dapat dipilih A x = Az =0 sehingga A 3
Fungsi Delta Dirac (Pengayaan) Misalkan ada suatu fungsi vektor v = mengarah radial keluar.
1 r dalam koordinat bola. Pada setiap titik, v r2
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 28
Jika seseorang mencari sebuah fungsi dengan divergensi positif yang sangat besar, maka fungsi itulah contohnya. Akan tetapi, jika divergensinya dihitung dengan cara biasa (koordinat bola), ternyata hasilnya tepat nol !
v = 1 ∂ r 2 1 = 1 ∂ 1=0 . ∇⋅ 2 2 2 r ∂r r r ∂r Lebih aneh lagi jika kita coba uji kebenaran teorema divergensi dengan mengecek ruas kanan teorema, yaitu dengan mengintegrasikan fungsi sepanjang permukaan bola berjarijari R yang berpusat pada titik asal koordinat:
∮ v⋅d a =∫
2
1 r ⋅R 2 sin d d r =∫ sin d ∫ d =4 , 2 R 0 0
padahal ruas kiri teorema divergensi,
v d =0 . ∫ ∇⋅
Mana yang benar? Ruas kiri atau ruas kanan? Apakah teorema divergensi telah salah? Permasalahan rupanya disebabkan oleh titik r =0 di mana v nilainya meledak secara v ) liar (pembagian dengan nol akan menghasilkan nilai tak hingga). Divergensi v ( ∇⋅ sebenarnya memang bernilai nol, kecuali di r =0 . Oleh karena itu, perlu didefinisikan fungsi baru yang dapat mengakomodasi sifat divergensi ini. Patokan yang digunakan untuk adalah nilai teorema divergensi untuk kasus ini haruslah 4 (mengacu pada ruas kanan). Fungsi spesial ini dikenal dengan nama fungsi delta Dirac.
Fungsi delta Dirac 1D x a luasnya 1 satuan
a
x
Gambar 15. Fungsi delta Dirac, luas daerah di bawah kurva bernilai 1 satuan.
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 29
Definisi:
{
jika x ≠a jika x =a
0, x a = ∞,
}
∞
∫ x a dx =1 . ∞
(55)
∫ f x x a dx = f a . ∞
(56)
dengan
Sifat-sifat: ∞
f x x a = f a x a dan
Fungsi delta Dirac 3D Definisi yang diberikan pada fungsi delta Dirac 1D dapat diperluas menjadi 3D: 3 r = x y z ,
(57)
dan integral volumnya bernilai 1: ∞
∞
∞
∫ 3 r d =∞ ∫ ∞ ∫ ∞ ∫ x y z dx dy dz =1 .
(58)
f r 3 r r0= f r0 .
(59)
Selain itu,
Dengan fungsi delta Dirac ini, masalah yang dikemukakan pada bagian awal dapat terpecahkan secara mudah, yaitu
r =4 3 r , ∇⋅ r2 atau secara umum
r =4 3 r . ∇⋅ r2
(60)
SOAL 13 (a) Tuliskan pernyataan yang menyatakan kerapatan massa dari sebuah partikel bermassa m yang berada pada titik r0 . Lakukan hal yang sama untuk rapat muatan dari suatu
Kappa Mu Phi, 2007 halaman 30
muatan titik pada r0 ! (b) Berapa rapat muatan dari sebuah dipol listrik, yang terdiri dari muatan titik -q pada titik asal koordnat dan muatan titik +q pada r0 ? (c) Berapakah rapat muatan yang seragam dari kulit bola tipis berjari-jari R dan muatan totalnya Q? Jawab: (a) Perhatikan pers. (58), satu per volum merupakan fungsi delta Dirac, sehingga: m r =m 3 r r0 ; q r =q 3 r r0 . (b) r =q 3 r r0 q 3 r. (c) Misalkan r = A r R . Untuk mendapatkan konstanta A, maka dibutuhkan syarat Q=∫ r d =∫ A r R 4 2 dr = A 4 R 2 , sehingga A= Dengan demikian, r =
Q r R . 4 R 2
***
Q . 4 R 2
