ANALISIS STRUKTUR DALAM FORMULASI MATRIKS
Penulis: Dr. Ir. H. Iskandar B. Paggaru, M.Sc. Editor: Ir. Jonbi, MT., MM., MSi Pengetikan Naskah dan Penggambaran: Didi Wahyudi Penerbit: John Hi-Tech Idetama Edisi dan cetakan pertama, 2013 SN : 31 ISBN 978 – 979 – 1124 – 14-0
iŝ
KATA PENGATAR Mekanika teknik nerupakan salah satu bahan perkuliahan dalam ilmu teknik sipil pada umumnya, dan rekayasa struktur pada khususnya. Pemahaman teori dan kemampuan penerapannya merupakan bekal dasar yang mutlak harus dimiliki oleh seorang yang berkecimpun dalam perencanaan kesipilan, sebagai pengetahuan awal yang mendasar. Selain itu, mekanika teknik merupakan dasar ilmu rakayasa struktur. Buku ini yang diberi judul “ANALISIS STRUKTUR DALAM FORMULASI MATRIKS” berisikan konsep dasar dan teori mekanika teknik klasik serta pengenaln metode matriks. Pembelajaran mekanika teknik umumnya dimulai dari penyajian bahan, di mana komponen gaya-gaya dapat dihitung cukup dengan menerapkan statika saja. Penentuan komponen perpindahan sebagai pelengkap solusi analisis, maupun sebagai dasar perhitungan gaya-gaya pada kasus sistem struktur yang statis tidak tentu. Hubungan yang lengkap antara gaya luar, gaya-gaya dalam atau reaksi dengan perpindahan sesamanya, di mana gaya maupun perpindahan diberlakukan sebagai respons yang setara, dibahas secara mendalam dalam buku ini. Bahasan selanjutnya di fokuskan kepada dua macam metode analisis, yaitu metode gaya (force method) dan metode perpindahan (displacement method). Dalam kesempatan ini, penulis menghaturkan ucapan terima kasih kepada Universitas Muslim Indonesia (UMI) Makassar yang telah mendidik dan memberikan kesempatan dalam pengajaran, pendidikan dan pengabdian penerapan dalam dunia rekayasa pada khususnya. Bimbingan dari staf dosen pengajar yang penulis peroleh selama dalam bangku perkuliahan di beberapa kampus, termasuk kesempatan studi lanjut di Institut Teknologi Bandung dan Universitas Tarumanagara merupakan harta yang tak ternilai besarnya. Penulis menghaturkan ucapan terima kasih kepada Bapak Prof. Binsar Hariandja atas kesediannya mengoreksi dan memberikan masukan kepada penulis. Dan kepada Sdr. Didi Wahyudi atas Pengetikan dan penggambaran dan kepada Ir. Jonbi, MT., MM.,M.Si., sebagai editing serta pencetakan naskah yang dilakukan oleh Yayasan John Hi-Tech Idetama, Jakarta. Untuk semua upaya tersebut, penulis mengucapkan banyak terima kasih. Wassalam.
Makassar, April 2013 Penulis
iii
ANALISIS STRUKTUR DALAM FORMULASI MATRIKS DAFTAR ISI BAB
Judul
Halaman
KATA PENGANTAR ........................................................................................... DAFTAR ISI ........................................................................................................
iii v
I
PENDAHULUAN 1.1 Komputerisasi ............................................................................................. 1.2 Metode matriks Dalam Analisis Struktur .................................................... 1.3 Lingkup dan Sistimatika Pembahasan ...................................................... 1.4 Notasi dan Simbol .....................................................................................
1 1 2 3
II
TEORI MATRIKS ................................................................................................ 2.1 Umum ......................................................................................................... 2.2 Definisi Matriks ........................................................................................... 2.3 Jenis Matriks .............................................................................................. 2.4 Operasi dan Sifat Matriks ........................................................................... 2.5 Determinasi Matriks .................................................................................... 2.6 Invers Matriks ............................................................................................. 2.6.1 Determinan Matriks .......................................................................... 2.6.2 Matriks kofaktor dan Adjoin .............................................................. 2.6.3 Penentuan Determinan Matriks........................................................ 2.6.4 Penentuan Matriks Invers ................................................................ 2.6.5 Determinan dan Invers matriks ........................................................ 2.7 Contoh penerapan ...................................................................................... 2.8 Rangkuman ................................................................................................ 2.9 Soal-Soal ....................................................................................................
7 7 8 9 10 12 13 13 15 16 17 17 19 22 23
III
SISTEM PERSAMAAN SIMULTAN LINIER ....................................................... 3.1 Umum ......................................................................................................... 3.2 Rank Dari Sistem Persamaan Simultan ..................................................... 3.3 Skema Solusi Sistem Persamaan simultan ................................................ 3.4 Sifat-Sifat Matriks Koefisien ....................................................................... 3.4.1 Persebaran Unsur-unsur .................................................................. 3.4.2 Kesimetrian Matriks Koefisien .......................................................... 3.5 Teknik Solusi Sistem Persamaan Simultan ................................................ 3.6 Metode Triangulasi ..................................................................................... 3.7 Metode Diagonalisasi ................................................................................. 3.8 Metode Crout .............................................................................................. 3.9 Metode Iterasi Gauss-Seidel ...................................................................... 3.10 Metode Relaksasi ....................................................................................... 3.11 Rangkuman ................................................................................................ 3.12 Soal-Soal ....................................................................................................
25 25 25 26 29 29 29 30 31 33 34 36 37 42 42
IV
BEBERAPA HUKUM DAN KRITERIA PENTING................................................ 4.1 Umum ......................................................................................................... 4.2 Hukum Proporsionalitas dan Superposisi .................................................. 4.3 Prinsip Kerja Perpindahan Gaya ................................................................
45 45 45 47
v
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12
Teorema Castigliano .................................................................................. Metode Gaya Maya .................................................................................... Teorema Timbal Balik Maxwell-Betti .......................................................... Prinsip Muller-Breslau ................................................................................ Metode Bidang Momen .............................................................................. Teorema Balok Konyugate ......................................................................... Contoh Perenapan ..................................................................................... Rangkuman ................................................................................................ Soal-Soal ....................................................................................................
50 54 55 58 59 61 62 72 72
V
PEMODELAN SISTEM STRUKTUR ................................................................... 5.1 Umum ......................................................................................................... 5.2 Diskritisasi Struktur ..................................................................................... 5.3 Vektor Perpindahan dan Gaya ................................................................... 5.4 Kriteria Keseimbangan dan Kompabilitas .................................................. 5.4.1 Kriteria Keseimbangan ..................................................................... 5.4.2 Kriteria Kompabilitas ........................................................................ 5.5 Ketidak-tentuan Statis dan Kinematis Struktur ........................................... 5.5.1 Ketidak-tentuan Statis ...................................................................... 5.5.2 Ketidak-tentuan Kinematis ............................................................... 5.6 Hubungan Aksi dan Perpindahan ............................................................... 5.7 Transformasi Matriks .................................................................................. 5.7.1 Tata Sumbu Lokal dan Global.......................................................... 5.7.2 Konvensi Tanda ............................................................................... 5.7.3 Translasi Gaya dan Perpindahan..................................................... 5.7.4 Rotasi Tata Sumbu .......................................................................... 5.7.5 Gabungan Rotasi dan Translasi....................................................... 5.8 Contoh Penerapan ..................................................................................... 5.9 Rangkuman ................................................................................................ 5.10 Soal-Soal ....................................................................................................
75 75 75 77 81 81 81 82 82 83 84 86 86 87 88 90 92 94 100 100
VI
METODE MATRIKS ............................................................................................ 6.1 Umum ......................................................................................................... 6.2 Metode Gaya vs Metode Perpindahan ....................................................... 6.3 Metode Gaya .............................................................................................. 6.4 Metode Perpindahan .................................................................................. 6.5 Metode Keserasian Perpindahan ............................................................... 6.6 Metode keseimbangan ............................................................................... 6.7 Perbandingan Antara Metode Gaya dan Metode Perpindahan ................. 6.8 Contoh Penerapan ..................................................................................... 6.9 Rangkuman ................................................................................................ 6.10 Soal-Soal ....................................................................................................
103 103 103 107 110 114 120 125 126 142 142
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................
145
LAMPIRAN A B C D
147 149 151 153
Jenis Elemen Batang ................................................................................. Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Pendel ........................................... Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Torsi ............................................... Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Lentur ............................................
vi
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Komputerisasi Penemuan komputer di akhir tahun-tahun40an telah memberikan danpak yang luar biasa dalam perkembangan cabang ilmu pengetahuan. Di dalam perkembangan perenerapan komputer, khususnya dalam disiplin ilmu teknik, penyajian suatu problem teknik dituliskan dalam formulasi matriks, ternyata sangat mendorong optimalisasi dan efisiensi penggunaan komputer, karena pertama, data yang disusun dalam format matriks sangat mudah di keluarkan dan disimpan oleh komputer, kedua, data yang disusun dalam format matriks dapat dimodifikasi atau dioperasikan oleh computer secara sangat cepat. Itulah dasar-dasar dari metode analisis struktur dalam formulasi matriks. 1.2
Metode Matriks Dalam Analisis Struktur Metode matriks merupakan suatu cara standar dalam formulasi ilmu matematika yang dapat dimanfaatkan untuk menyederhanakan penyelesaian masalah dalam berbagai disiplin ilmu. Hampir semua cabang ilmu, khususnya sains dan rekayasa telah memanfaatkan formulasi matriks. Sebagai contoh, dalam ilmu egangan terhadap mekanika bahan (engineering mechanics), komponen tegangan regangan masing-masing disusun dalam matriks kolom atau vector, lalu kedua matriks kolom dikaitkan dengan suatu matriks bujur sangkar. Matriks bujur sangkar ini dinamakan matriks fleksibilitas jika mengkaitkan terhadap tegangan. be Matriks pada awalnya dalam pengertian sempit hanya merupakan sekedar metode penulisan dalam cabang ilmu matetmatika. Namun dalam perkembangannya, khususnya dalam kaitan dengan penerapan computer, cara penulisan matriks ini sangat cocok diterapkan serta memberikan kemudahan dalam analisis. Khusus dalam analisis struktur, cara-cara perhitungan yang lebih cocok diterapkan secara manual, seperti metode iteraif Cross, Takabeya dan Kani menjadi usanfg dan digantikan oleh apa yang dinamakan metode matrikas kekakuan dan matriks fleksibilitas. Analisis struktur dalam metode matriks tetap menggunakan metode-metode baku dalam mekanika rekayasa, yaitu kriteria keseimbangan dalam kaitan komponen gaya sesamanya, kriteria keserasian perpindahan dalam kaitan komponen perpindahan sesamanya, hubungan antara gaya dan tegangan, hubungan antara perpindahan dan tegangan yang mencerminkan sifat bahan. Dalam metode gaya, komponen gaya yang seimbang diambil sebagai besaran yang belum diketahui. Kriteria keserasian perpindahan digunakan untuk menyusun suatu persamaan simultan, setelah itu diselesaikan untuk komponen gaya sebagai besaran anu. Dengan menggunkan kriteria hubungan gaya vs perpindahan, komponen-komponen gaya yang telah dihitung digunakan untuk menghitung komponen-komponen perpindahan. Dalam metode perpindahan, komponen perpindahan yang serasi diambil sebagai besaran yang belum diketahui. Kemudian kriteria keseimbangan digunakan untuk menyusun persamaan simultan setelah itu diselesaikan untuk komponen perpindahan sebagai besaran
1
anu. Dengan menggunakan kriteria hubungan hubungan perpindahan vs gaya. Komponenkomponen perpindahan yang telah dihitung sebelumnya digunakan untuk menghitung komponen-komponen gaya. Dibandingkan dengan penyajian analisis struktur yang konvensioanl, perbedaan dalam metode matriks hanya di dalam cara penyajian atau penulisan analisis saja. Dalam metode matriks, hubungan antara gaya dan tegangan, perpindahan dan regangan, regangan dan tegangan yang pada akhirnya digunakan dalam menghubungkan komponen perpindahan dan komponen gaya, semuanya dituliskan dalam formulasi matriks. 1.3
Lingkup dan Sistematika Pembahasan Bahasan buku ini mencakup analisis struktur dalam metode matriks. Ruang lingkup dibatasi hanya untuk struktur yang elastik linier dengan beban luar yang statis dan proporsional. Dalam analisis struktur lazimnya diterapkan dua macam metode, yaitu metode perpindahan (displacement method) dan metode gaya (force method). Kedua macam metode analisis ini sepenuhnya akan dibahas secara rinci, yang dikenal sebagai metode matriks kekakuan (stiffness matrix) dan metode fleksibilitas (flexibility matrix). Sajian buku ini diatur dengan urutan sebagai berikut. Pertama, aspek pendahuluan dan aspek mengenai teori matriks dan system persamaan linier simultan disajikan dalam bab I hingga bab III. Beberapa kriteria dan hukum dasar diberikan dalam bab IV. Aspek mengenai pemodelan sistem struktur disajikan dalam Bab V. Aspek metode matriks disajikan dalam Bab VI. 1.4
Notasi dan Simbol
Bahasan dalam buku ini disajikan dengan menggunakan notasi dan symbol yang umumnya disertai penjelasan. Untuk memperlncar pembaca dalam memnggunakan buku ini, maka berikut ini diberikan daftar notasi dan symbol yang ada. Notasi dan Simbol Keterangan A : luas penampang A : matriks system koefisien dalam persamaan simultan aij : unsur matriks B : vektor konstanta dalam persamaan simultan bi : unsur vector E : modulus elastisitas bahan Fi : komponen gaya translasi di arah sumbu i : vektor gaya elemen f : jumlah komponen gaya struktur I : momen inersia penampang J : momen inersia polar penampang k : orde ketidaktentuan kinematis l : koefisien arah garis, arah sumbu x Mi : momen, dengan arah sumbu i Mij : momen ujung i, batang ij ne : jumlah persamaan keseimbangan elemen
2
Notasi dan simbol Keterangan ______________________________________________________________________ nj nm P q r s U Um Un Ut W We Wi w wi Ij W
I
: jumlah persamaan kesimbangan titik simpul : jumlah komponen gaya elemen : gaya luar : perpindahan : vektor gaya kelebihan : jumlah kekangan struktur : orde ketidaktentuan statis struktur : vector gaya elemen : energy regangan : energy regangan lentur : energy regangan normal : energy regangan torsi : kerja : kerja luar : kerja dalam : komponen perpindahan di arah z : perpindahan lateral ujung elemen i : vector persamaan simultan : koefisien dalam metode relaksasi : kerja maya : regangan normal : putaran ujung elemen : regangan geser : matriks rotasi derajat kebebasan : angka poison : tegangan normal : tegangan geser
3
Notasi dan simbol Keterangan ______________________________________________________________________
h I [I ] J Kij
: : : : :
[ Ks ] k kij [k] [kr ] l Mi M ij m
: matrik kekauan struktur, Pers.(9.4.9)
mij n
jumlah sendi dalam pada struktur, Pers.(4.5.2) momen inersia penampang matriks identitas momen inersia polar penampang kekangan lentur batang ij , Pers.(6.5.15)
: orde ketidaktentuan kinematis struktur, Pers.(4.5.4) : unsur matriks kekakuan elemen, Pers.(7.4.12) : matriks kekakuan absolute elemen, Pers.(7.2.1) : matriks kekakuan relative elemen, Pers.(7.2.3) : koefisien arah garis, terhadap sumbu x : momen, dengan arah vektorial pada sumbu : momen ujung , batang ij , Pers.(6.3.1), (6.4.1) : jumlah elemen dalam struktur, Pers.(4.5.1) : koefisien arah garis, terhadap sumbu y , Pers.(5.3.7) : minor dari matriks, Pers.(2.5.4) : jumlah elemen dalam struktur, Pers.(8.3.2) : koefisien arah garis, terhadap sumbu z , Pers.(5.3.7) : jumlah persamaan keseimbangan elemen, Pers.(4.5.1)
ne nj
: jumlah persamaan keseimbangan titik simpul, Pers.(4.5.1)
nm
: jumlah komponen gaya eleman, Pers.(4.5.2)
{Ps } {p} { pe } { po } q [R] [ Rs ]
: vektor gaya struktur, Pers.(10.2.8)
[ Ri ] r ri S {SM } {SS }
{SSJ } {SSR} s
: vektor gaya elemen, Pers.(7.2.1) : vektor gaya ekivalen elemen akibat beban lokal, Pers.(7.6.15) : vektor gaya ujung elemen akibat beban lokal, Pers.(7.6.14) : perpindahan, Pers. (5.3.1) : tensor regangan, Pers. (5.3.9) : : : : :
matriks rotasi elemen, Pers.(4.7.18) reaksi kekangan, Pers.(12.3.4) sub-matriks rotasi, simpul , Pers.(4.7.17) jumlah kekangan struktur, Pers.(4.5.3) residu, dalam metoda relaksasi, Pers.(3.8.5)
: permukaan struktur, Pers.(5.10.2) : vektor gaya struktur, tidak terakit, Pers.(8.3.1) : vektor gaya struktur, Pers.(8.3.4) : sub-vektor gaya struktur, di arah {VSJ } , Pers.(8.3.10) : sub-vektor gaya reaksi struktur, di arah {VSR} , Pers.(8.3.10) : orde ketidaktentuan statis struktur, Pers.(4.5.3)
4
Notasi dan simbol Keterangan ______________________________________________________________________
{s} [T ]
[Ti ] t U Um
: : : : : : :
vektor gaya elemen, Pers.(7.3.9) matriks transformasi elemen, Pers.(7.4.4) tensor tegangan, Pers.(5.2.2) matriks tujuan elemen , Pers.(10.2.6) gaya traksi permukaan, Pers.(5.10.11) energy regangan, Pers.(5.7.8) energy regangan lentur, Pers.(5.8.2)
Un Ut
: energy regangan normal, Pers.(5.8.1)
U0 {U s } u ui {u} V {Vij }
: kerapatan energy regangan, Pers.(5.5.2)
{VM } {VS } {VSJ } {VSR} {Vx } v {v} {v0 }
: vektor perpindahan struktur, tidak terakit, Pers.(8.3.1)
: energy regangan torsi, Pers.(5.8.3) : vektor perpindahan struktur, Pers.(10.2.8) : komponen perpindahan di arah x : komponen perpindahan di arah sumbu : vektor perpindahan absolute elemen, Pers.(7.2.1) : volume struktur, Pers.(5.10.2) : matriks transfer vektor gaya dari j ke , Pers.(4.7.2) : vektor perpindahan struktur, Pers.(8.3.8) : sub-vektor perpindahan bebas struktur, Pers.(8.3.11) : sub-vektor perpindahan tidak bebas struktur, Pers.(8.3.11) : matriks transfer gaya elemen, Pers.(7.3.2) : komponen pepindahan di arah y : vektor perpindahan relatif elemen, Pers.(7.3.9) : vektor perpindahan elemen, akibat akibat pengaruh lokal, Pers.(7.6.1)
d
: vektor perpindahan elemen, akibat kesalahan pemasangan,Pers.(7.6.1)
q
: vektor perpindahan elemen, akibat beban lokal, Pers.(7.6.5)
t 0
: vektor perpindahan elemen, akibat suhu, Pers.(7.6.7)
{v0 } {v0 } {v } W We Wi w wi {X} xj
ij
: kerja, Pers.(5.7.6) : kerja luar, Pers.(5.7.6) : kerja dalam, Pers.(5.7.6) : komponen perpindahan di arah z : perpindahan lateral ujung elemen , Pers.(6.3.1) : vektor besaran anu sistem persamaan simultan, Pers.(2.1.6) : unsur vektor {X} , Pers.(2.1.6) : koefisien dalam metoda relaksasi, Pers.(3.8.4) : koefisien fleksibilitas geser vs lentur, Pers.(7.3.13)
5
Notasi dan simbol Keterangan ______________________________________________________________________
ij
ij W i [ ] ij ij i ij
: kofaktor matriks, Pers.(2.5.4) : delta Kronecker : : : : : : :
kerja maya, Pers.(5.10.2) regangan normat, Pers.(5.3.9), (5.4.1) putaran ujung elemen, Pers.(6.3.1) regangan geser, Pers.(5.3.9), (5.4.1) kelengkungan lentur batang, Pers.(5.6.8) matriks rotasi derajat kebebasan titik simpul, Pers.(4.7.14) faktor perbesaran di arah garis, Pers.(5.3.7)
: koefisien distribusi Cross ujung
elemen ij , Pers.(6.5.14)
: angka Poisson : koefisien induksi momen Cross dari ujung
ke ujung j elemen ij ,
Pers.(6.5.16) : putaran batang pada simpul : rotasi ujung : : : :
elemen ij
radius kelengkungan lentur batang, Pers.(5.6.7) tegangan normal atau aksial, Pers.(5.2.1) tegangan geser, Pers.(5.2.1) determinan, Pers.(2.5.1)
[]T [] {}
: transpus matriks, Pers.(2.4.3) : matriks persegi atau bujur sangkar : matriks kolom atau vektor
() ~) ( (ˆ )
: besaran vektor : besaran vektor
: operator diferensial parsial : operator, besaran maya atau khayal
: besaran vektor
6
BAB II TEORI MATRIKS
2.1. Umum Bab ini menyajikan pengertian mengenai definisi serta teori-teori dasar matriks, yang sebenarnya secara umum dipelajari dalam mata kuliah aljabar linier. Dalam sajian berikut ini, bahasan dibatasi hanya untuk aspek yang berkaitan langsung serta yang kerap diterapkan dalam analisis struktur. Kita memulai penjelasan dengan memberikan suatu contoh sederhana dari kehidupan sehari-hari seperti berikut ini. Timothy adalah seorang anak yang baik dan sering diminta ibunya membeli keperluan dapur. Suatu sore dia disuruh ibunya membeli 2 kilo gula dan 1 kilo kopi. Dari selembar uang lima puluh ribuan, dia menerima kembalian lima belas ribu rupiah. Suatu sore lainnya, dia diminta membeli 3 kilo gula dan 2 kilo kopi dan untuk uang seratus ribuan dia menerima kembalian empat puluh ribu rupiah. Masalah muncul ketika dia disuruh ibunya membeli 1 kilo gula dan 1 kilo kopi dan ibunya menanyakan berapa rupiah harga pas yang perlu disediakan, karena sering kedai sulit menyiapkan uang kembalian. Timothy bingung karena dia selalu buru-buru dan tidak pernah menanyakan harga pas gula dan kopi per kilo. Beruntunglah Timothy karena mempunyai seorang abang bernama David yang telah belajar aljabar linier di tingkat persiapan. Atas petunjuk kakaknya dia memisalkan harga kiloan gula dan kopi masing-masing sebagai x1 dan x2 . Dari pembelian pertama dan kedua dia mendapatkan masing-masing sebuah persamaan dan keduanya digabungkan bersama untuk memberikan suatu sistem persamaan simultan dalam x1 dan x2 dalam bentuk
2 x1 x2 35.000
3x1 2 x2 60.000
(2.1.1)
Nilai x1 dan x2 dia peroleh dengan teknik eliminasi, di mana persamaan pertama dikurangi setengah persamaan kedua dijadikan persamaan pertama yang baru, dan persamaan kedua dikurangi satu setengah kali persamaan pertama dijadikan persamaan kedua yang baru, dengan hasil
(2 0.5 3) x1 (1 0.5 2) x2 (35.000 0.5 60.000) (3 1.5 2) x1 (2 1.5 1) x2 (60.000 1.5 35.000)
(2.1.2)
atau
(0.5) x1
(5.000)
(0.5) x2 (7.500) 7
(2.1.3)
dengan solusi
x1 10.000;
x2 15.000
(2.1.4)
Ini berarti bahwa harga sekilo gula adalah Rp. 10.000 dan sekilo kopi Rp. 15.000, dan untuk membeli sekilo gula dan sekilo kopi Timothy perlu membawa uang pas senilai Rp. 25.000. Timothy benar-benar tertolong karena menggunakan teori aljabar linier. Boleh jadi dia akan disuruh ibunya untuk membeli keperluan gula dan kopi di waktu mendatang. Untuk itu, dia menuangkan persamaan dalam Pers. (2.1.1) ke bentuk yang paling umum sebagai
a11x1 a12 x2 b1
a 21x1 a 22 x2 b2
(2.1.5)
yang untuk kasus sebelumnya berlaku, dengan a11 2 kilo, a12 1 kilo, a 21 3 kilo,
dan a 22 2 kilo, serta b1 35.000 rupiah
dan b2 60.000 rupiah . Bentuk dalam
Pers. (2.1.5) dapat diterapkan secara umum dengan koefisien-koefisien ini yang kemungkinan berobah dari waktu ke waktu. Persamaan (2.1.5) dapat dituangkan dalam bentuk matriks sebagai berikut ini,
a11 a12 x1 b1 a 21 a 22 x2 b2
(2.1.6)
yang setara dengan bentuk dalam Pers.(2.1.5), dalam mana persamaan pertama dalam Pers.(2.1.5) diperoleh dari Pers.(2.1.6) dengan mengalikan unsur-unsur a1 j , j 1,2 dengan unsur-unsur x j ,
j 1,2 . Cara sama dapat dilakukan untuk mendapatkan
persamaan kedua dalam Pers.(2.1.5), yaitu dengan mengalikan unsur-unsur a 2 j , j 1,2
dengan unsur-unsur x j , j 1,2 . Bentuk dalam Pers.(2.1.6) dapat dituliskan secara simbolis sebagai dalam mana
AX B
a12 a x b [ A] 11 ; X 1 ; {B} 1 a 21 a 22 x2 b2
(2.1.7)
(2.1.8)
Bentuk A dalam hal ini dinamakan matriks persegi berukuran 2 x 2, bentuk X dan
B
dinamakan matriks berukuran 2 x 1 atau lebih sering dinamakan matriks kolom. Dalam pasal berikut akan disajikan definisi mengenai matriks, yang secara sepintas telah diperkenalkan dalam pasal ini. 2.2
Definisi Matriks
Pada awalnya, matriks sebenarnya merupakan sekedar susunan sekelompok unsur-unsur yang diatur dalam format baris dan kolom, sebagai mana kita telah mendapatkan format beberapa matriks dari pada suatu bentuk persamaan simultan 8
seperti telah dipaparkan dalam pasal terdahulu. Secara umum, suatu matriks A yang terdiri atas m baris dan n kolom dituliskan dalam bentuk
[ A] a ij
a 11 a 21 mn a i1 a m1
a 12 a 22 ai2 a m2
a1 j a2 j a ij a mj
a 1n a 2 n a in a mn
(2.2.1)
di mana m merupakan ukuran baris, dan n merupakan ukuran kolom matriks, sementara ((a ij , j 1, n), i 1, m)
adalah unsur-unsur matriks. Jenis-jenis matriks
dipaparkan dalam pasal berikut ini. 2.3. Jenis Matriks Beberapa jenis matriks diberikan dalam paparan berikut ini.
(1)
Matriks persegi, di mana m n , dan m 1 serta n 1
(2)
Matriks bujur sangkar, di mana m n , dan m 1 serta n 1 . Dalam kasus ini,
(3)
off-diagonal. Matriks baris (row matrix), di mana m 1 serta n 1 .
(4) (5)
(a ii , i 1, m) dinamakan unsur diagonal utama dan (a ij , i j ) dinamakan unsur
Matriks kolom (column matrix), di mana m 1 serta n 1 . Matriks identitas, yang merupakan matriks bujur sangkar, di mana m n , dan m 1 serta n 1 , yang dituliskan dalam symbol
[ I ] ij
mn
(2.3.1)
dalam mana unsur-unsur merupakan delta Kronecker yang memiliki sifat
1 jika i j 0 jika i j
ij (6)
(2.3.2)
Matriks nol (null matrix), yang merupakan matriks bujur sangkar, di mana m n , dan m 1 serta n 1 , yang dituliskan dalam symbol
[O] a ij
mn
(2.3.3)
dalam mana unsur-unsur merupakan bilangan nol, yaitu
a ij 0 9
(2.3.4)
(7)
Matriks simetri (symmetric matrix), yang merupakan matriks bujur sangkar, di mana m n , dan m 1 serta n 1 , dalam mana unsur-unsur merupakan bilangan memiliki sifat
a ij a ji
(8)
Matriks anti-simetri (anti-symmetric matrix), yang merupakan matriks bujur sangkar, di mana m n , dan m 1 serta n 1 , dalam mana unsur-unsur merupakan bilangan memiliki sifat atau
2.4
(2.3.5)
a ij a ji
(2.3.6)
a ij a ji 0
(2.3.7)
Operasi dan Sifat Matriks
Beberapa sifat dan kaidah operasi matriks yang sangat sering dihadapi dalam terapan, antara lain adalah sebagai berikut. Pertama, disajikan beberapa sifat operasional dari matriks sebagai berikut. (1)
Sifat komutatif perjumlahan,
[ A] [ B] [ B] [ A] (2)
(2.4.1)
Sifat distributif perjumlahan dan perkalian,
[ A][[ B] [C] ] [ A] [ B] [ A] [C ] (3)
(2.4.2)
Sifat anti komutatif perkalian,
[ A][ B] [ B][ A] (4)
(2.4.3)
Sifat distributif perjumlahan dan perkalian dengan bilangan skalar,
a [ A][b [ B] c [C ]] ab [ A] [ B] ac [ A] [C] (5)
(2.4.4)
Beberapa rumus penting operasi matriks,
[ A]( [ B] [C ] ) ( [ A] [ B]) [C ]
[ A]( [ B] [C ] ) [ A] [ B] [ A] [C ] [ A] [C ] [ A] [ B] ([ A] [ B] [C ] ) [C ] [ B] [ A] T
T
T
T
T
(b) (c )
(k[ A] l [ B]) k [ A] l [ B] k[ A] [ B]; di mana bij k a ij T
(a )
T
(d ) (e)
[ I ] [ A] [ A][ I ] [ A]
(f)
[ A] 1 [ A] [ A][ A] 1 [ I ]
(g) 10
(2.4.5)
Berikutnya diberikan beberapa hubungan sifat antara matriks, antara lain sebagai berikut. (1)
Kesamaan. Dua matriks, katakanlah A dan B , adalah sama, jika kedua matriks berukuran sama, dan unsur-unsur pada lokasi yang sama bernilai sama, yaitu
[ A]mn [ B] pq , m p, n q dan a ij bij (2)
Keberlawanan. Dua matriks, katakanlah
A
(2.4.6)
dan B , adalah berlawanan, jika
kedua matriks berukuran sama, dan unsur-unsur pada lokasi yang sama memiliki nilai yang berlawanan, yaitu
(3)
(2.4.7)
[ B]mn [ A]T pq , m q, n p dan bij a ji
(2.4.8)
Transpos. Matriks B dikatakan sebagai transpos dari matriks A , jika berlaku hubungan
(4)
[ A]mn [ B] pq , m p, n q dan a ij bij
Perjumlahan. Matriks C merupakan perjumlahan dari matriks A dan B jika kedua matriks berukuran sama dan matriks hasil jumlah diberikan oleh
[C ]mn [ A] pq [ B]r s ; m p r , n q s, dan cij a ij bij
(5)
(2.4.9)
Perkalian. Matriks C merupakan perkalian dari matriks A dan B jika ukuran kolom matriks pertama sama dengan ukuran baris matriks kedua, dengan matriks hasil kali yang diberikan oleh
[C ]mn [ A] pq [ B]r s ; q r , m p, n s, dan cij a ik bkj q
(6)
(2.4.10)
Inversi. Matriks B dikatakan sebagai inversi dari matriks bujur sangkar A , jika k 1
berlaku hubungan
[ B]nn [ A]
1
nn
a q
,
k 1
Eksistensi dari inversi matriks
b ij ;
A
ik kj
b q
k 1
ik
a kj ij
(2.4.11)
tergantung dari sifat singularitas matriks
tersebut, sebagai mana dibahas dalam Pasal 2.5. (7)
Matriks nol (null matrix), yang merupakan matriks bujur sangkar, di mana m n , dan m 1 serta n 1 , yang dituliskan dalam symbol
[O] a ij
mn
dalam mana unsur-unsur merupakan bilangan nol, yaitu 11
(2.4.12)
a ij 0
(2.4.13)
Perlu ditambahkan bahwa perbagian antara matriks tidak terdefinisi. 2.5
Determinan Matriks
Suatu sifat yang sangat penting dari matriks bujur sangkar adalah apa yang dinamakan dengan determinan (determinant) yang merupakan suatu besaran skalar serta yang sekaligus menentukan perilaku dari suatu sistem persamaan simultan dalam bentuk seperti yang dituliskan dalam Pers.(2.1.6) serta yang dituliskan dalam bentuk matriks seperti dalam Pers.(2.1.7). Secara simbolis, determinan dari pada suatu matriks bujur sangkar A dituliskan sebagai
A det [ A] nn
a 11 a 21 a i1 a m1
a 12 a 22 a i2 a m2
a1 j a2 j a ij a mj
a 1n a 2n a in a mn
(2.5.1)
yang dapat dihitung sebagai berikut. Pertama, dihitung besaran skalar mij sebagai minor yang merupakan nilai determinan dari sub matriks yang diperoleh dari matriks awal, namun dengan mencoret baris i dan kolom j . Kemudian dihitung kofaktor ij dengan rumus
ij (1) i j mij
(2.5.2)
Akhirnya, determinan matriks dapat diperoleh lewat ekspansi baris atau lewat ekspansi kolom, dalam rumus
n ij a ij ekspansi menurut baris i j 1 A n a ekspansi menurut kolom j ij ij i 1
(a ) (2.5.3)
(b)
Sebagai contoh, determinan dari pada matriks koefisien dalam Pers.(2.1.6)
2 1 [ A] 3 2
(2.5.4)
dapat diperoleh pertama-tama menghitung minor
m11 a 22 2 ;
m12 a 21 3; m21 a12 1; m22 a11 2 12
(2.5.5)
yang kemudian digunakan untk menghitung kofaktor
11 (1)11 a11 a11 2 ;
21 (1) 21 a 21 a 21 3 ;
12 (1)1 2 a12 a12 1
22 (1) 2 2 a 22 a 22 2
(2.5.6)
Penentuan determinan matriks berdasarkan ekspansi menurut baris kedua memberikan hasil
A 2 j a j 2 21a12 22 a 22 (a 21 )a12 (a11 )a 22 1 2
j 1
(2.5.7)
Sebagai manfaat lanjut, rumus umum determinan matriks A yang berukuran 2 x 2
dapat dituliskan dalam bentuk
A a11a 22 a 21a12
(2.5.8)
dengan cara sama, rumus umum determinan matriks A yang berukuran 3 x 3 dapat
dituliskan dalam bentuk
A a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32 a12a 21a 33 a13a 22a 31 a11a 22a 31 (2.5.9)
Rumus dalam Pers.(2.5.8) dan (2.5.9) dapat disusun dengan menggunakan gambar skematis seperti dalam Gambar 2.5.1. 2.6
Inversi Matriks
Dalam paparan terdahulu telah dinyatakan bahwa matriks invers dari suatu matriks bujur sangkar adalah suatu matriks lain yang jika dikalikan dari depan atau dari belakang dengan matriks yang pertama, akan menghasilkan matriks identitas. Apa persyaratan agar matriks invers terdefinisi, serta bagai mana menentukan matriks invers tersebut, merupakan bahan bahasan pasal ini. 2.6.1 Determinan Matriks Definisi serta penentuan formal secara matematis dari determinan matriks, merupakan bahan yang sudah umum dan baku, namun terkadang sulit dicerna. Determinan adalah suatu besaran skalar yang dihitung dari suatu matriks, yang berfungsi vital di dalam mencerminkan perilaku matriks. Jika matriks ini merupakan matriks koefisien dari suatu persamaan simultan, maka determinan matriks akan menentukan eksistensi dari pada solusi sistem persamaan. Untuk memberikan gambaran mengenai determinan, maka sekali lagi kita meninjau contoh dalam Pasal 2.1 dengan persamaan simultan yang disajikan dalam Pers. (2.1.1),
2 x1 x2 35,000 x1 x2 25,000 13
(2.6.1)
dan dituliskan secara lebih umum dalam bentuk
a 11x1 a12 x2 b1
a 21x1 a 22 x2 b2
(2.6.2)
atau secara lebih umum,
a11 a12 x1 b1 a a x b AX B 21 22 2 2
(2.6.3)
Dalam aljabar, kita telah mengetahui bahwa salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan simultan adalah dengan teknil eliminasi sebagai berikut.
a 11x1 a12 x2 b1 a 22 a 21x1 a 22 x2 b2
a12
(2.6.4)
Perkurangan antar baris kedua dan baris pertama memberikan
(a 11a 22 a12a 21) x1 a 22b1 a12b2
(2.6.5)
Dengan cara analog diperoleh
a 11x1 a12 x2 b1 a 21 a 21x1 a 22 x2 b2
a11
(2.6.6)
dan perkurangan antar baris kedua dan baris pertama memberikan
(a 11a 22 a12a 21) x2 a 21b1 a11b2
(2.6.7)
Penggabungan solusi dari Pers. (2.9.5) dan (2.9.7) memberikan
x1 a 22 a12 b1 1 a a b X A'B x ( ) a a a a 21 11 2 2 11 22 12 21
(2.6.8)
Dari pemeriksaan atas Pers. (2.6.3) dan (2.6.8) terlihat bahwa
A[ A' ] [ A' ][ A] [I ]
yang memberikan 14
(2.6.10)
[ A' ] [ A] 1
(2.6.11)
Dengan demikian, secara simbolis solusi dari Pers. (2.6.3) adalah dengan mengalikan dari depan persamaan tersebut dengan invers dari [A],
dengan
A1AX I X X A1B
(2.6.12)
A1
(2.6.13)
a 22 a12 1 (a 11a 22 a12a 21) a 21 a11
Bentuk penyebut dalam Pers. (2.6.13) yang dinyatakan dengan
D A a 11a 22 a12a 21
(2.6.14)
dinamakan determinan dari matriks [A]. Determinan ini merupakan penentu dari eksistensi solusi dari pada Pers. (2.6.3). Agar sistem persamaan simultan mempunyai solusi, maka determinan tidak bernilai nol; jadi,
D0
(2.6.15)
Menyangkut nilai determinan dari suatu matriks maka kita dapat mengeluarkan pernyataan berikut ini. (a) Jika matriks memiliki nilai determinan nol, maka matriks dinamakan matriks singulir, dengan matriks invers yang tidak terdefinisi.
(2.6.16)
(b) Jika matriks memiliki nilai determinan yang tidak nol, maka matriks dinamakan matriks non-singulir, dengan matriks invers yang terdefinisi.
2.6.2 Matriks Kofaktor dan Adjoin Setelah usai memperkenalkan determinan dengan proses kemunculannya dari proses peninjauan solusi persamaan simultan, maka kita siap untuk membahas penentuan matriks invers secara lebih matematis dalam paparan berikut. Pertama-tama, kita mendefinisikan suatu langkah yang dinamakan sebagai penguraian matriks. Jika dalam format matriks kita memegang unsur a ij , dan melalui unsur tersebut ditarik garis horisontal yang mencoret semua unsur baris i dan garis vertikal yang mencoret semua unsur kolom j , maka tertinggal unsur-unsur sisa yang jika dipadatkan kembali untuk mengisi baris i dan kolom j yang hilang, mendapatkan suatu sub-matriks baru yang dinyatakan dengan
15
a11 a 21 Aij a i11 a i11 a n1
a12.........a1 j 1 a 22.........a 2 j 1 a i 12.......a i1 j 1 a i 12.......a i 1 j 1 a n 2 .........a nj1
a1 j 1.........a1n a 2 j 1.........a 2 n a i 1 j 1 .....a i 1n a i1 j 1 .....a i1n a nj1.......a mn
dengan nilai determinan
Aij det Aij Aij
(2.6.17)
(2.6.18)
Kemudian, kita mendefinisikan suatu besaran
ij (1)i j Aij
(2.6.19)
di mana faktor ini memberikan suatu pola papan catur yang berisikan unsur yang +1 dan -1 secara bergantian mulai dengan nilai +1 pada lokasi i j 2 . Besaran ini digunakan untuk menyusun suatu matriks yang dinamakan matriks kofaktor dari matriks [ A] , yaitu
11 21 Cof A i1 n1
12.........1 j .........1n 22......... 2 j ......... 2 n i 2 .........ij .........in n 2 ......... nj ......... mn
(2.6.20)
Kemudian dari pada itu, dapat didefinisikan suatu matriks yang dinamakan matriks adjoin dari matriks [ A] , yang diperoleh dari
Adj A Cof AT
(2.6.21)
yang akan dimanfaatkan dalam penyusunan matriks invers. 2.6.3 Penentuan Determinan Matriks Menurut Cramer, penentuan determinan dari suatu matriks dapat dilakukan dengan cara penguraian atas baris atau atas kolom, dengan menggunakan rumus
det A A aik ik ( penguraian atas baris i ) n
atau
k 1
16
(2.6.22)
det A A a kj kj ( penguraian atas kolom j ) n
k 1
(2.6.23)
2.6.4 Penentuan Matriks Invers Dengan tersusunnya matriks adjoin dan matriks kofaktor serta nilai determinan, maka matriks invers dapat disusun dengan
A1
1 Adj A 1 Cof AT det A det A
(2.6.24)
Berdasarkan semua uraian di atas, penentuan matriks invers dari suatu matriks [ A] dapat dilakukan dengan prosedur sebagai berikut. (1) Susunlah matriks kofaktor dan/atau matriks adjoin dari matriks yang ditinjau, yaitu dengan rumus
ij (1)i j Aij
di mana
Aij det Aij Aij
(2.6.25)
(2.6.26)
dengan Aij yang merupakan matriks yang disusun menurut Pers. (2.6.17) (2) Hitunglah nilai determinan dengan rumus
det A A aik ik ( penguraian atas baris i ) n
atau
k 1
det A A a kj kj n
k 1
( penguraian atas kolom j )
(2.6.27)
(2.6.28)
(3) Jika matriks adalah non-singulir, susunlah matriks invers dengan rumus
A1
1 Adj A 1 Cof AT det A det A
(2.6.29)
2.6.5 Determinan dan Invers Beberapa Matriks Dalam terapan, kita akan sering menghadapi penentuan determinan dan invers dari suatu matriks. Berikut ini diberikan determinan dan matriks invers dari matriks nonsingulir berorde dua dan tiga. Untuk matriks [ A] berukuran (2 x 2), diperoleh
dan
det A a11a 22 a12a 21 17
(2.6.30)
A 1
a 22 a12 1 (a 11a 22 a12a 21 ) a 21 a11
(2.6.31)
Untuk matriks [ A] berukuran (3 x 3), diperoleh
A11 a 22a 33 a 32a 23 A12 a 21a 33 a 31a 23
A13 a 21a 32 a 31a 22
A21 a12a 33 a 32a13 A22 a11a 33 a 31a13
A31 a12a 23 a 22a13
(2.6.32)
A23 a11a 32 a 31a12
A32 a11a 23 a 21a13
A33 a11a 22 a 21a12
Penguraian atas baris pertama memberikan determinan yang setelah suku-sukunya disusun, diberikan oleh
det A a11a 22a 33 a12a 23a 31 a13a 21a 32
a11a 23a 32 a13a 22a 31 a12a 21a 33
(2.6.33)
Dengan diperolehnya data-data dalam Pers. (2.6.32) dan (2.6.33), matriks invers untuk [ A] dapat disusun (tidak dituliskan di sini secara eksplisit). Gambar 2.6.1 menunjukkan bagan cara perhitungan determinan, yang diperagakan hingga matriks berorde tiga. +
+
+
-
-
-
13
11
12
13
11
23
21
22
23
21
33
31
32
33
31
Gambar 2.6.1: Bagan Perhitungan Determinan Dalam gambar diperlihatkan kolom ketiga yang dipindah ke depan kolom pertama, dan 18
kolom pertama yang dipindah ke belakang kolom ketiga. Suku-suku determinan diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur diagonal menurut arah panah, dan diberi tanda positif untuk perkalian unsur-unsur diagonal yang mengarah dari kiri atas ke kanan bawah, dan negatif untuk perkalian diagonal yang mengarah dari kanan atas ke kiri bawah. 2.7
Contoh Penerapan
Di dalam memberikan pengertian serta peningkatan pendalaman materi bahasan bab ini, maka disajikan beberapa contoh penerapan seperti berikut ini. Contoh 2.1: Jika terdefinisi, maka carilah matriks hasil perjumlahan berikut ini.
2 1 0 2 3 0 1 1 4 7 Penyelesaian: Karena kedua matriks yang dijumlahkan tidak memiliki ukuran (jumlah baris dan jumlah kolom) yang sama, maka perjumlahan tidak terdefinisi, dan matriks hasil perjumlahan juga tidak terdefinisi. Contoh 2.2: Jumlahkanlah matriks berikut ini.
Penyelesaian:
2 0 1 1 1 3 ; 5 2
Karena ukuran kedua matrik sama, maka perjumlahan tidak terdefinisi. Hasilnya menurut Pers. (2.7.2) adalah
2 0 1 1 (2 1) (0 1) 3 1 1 3 5 2 (1 5) (3 2) 6 1 Contoh 2.3: Tentukanlah matriks hasil kali dari perkalian berikut ini.
2 0 1 2 3 1 3 2 0 2 Penyelesaian: Karena ukuran kolom matriks depan dan ukuran baris matriks belakang sama, maka perkalian terdefinisi. Menurut Pers. (2.7.4), matriks hasil kali adalah
2 0 1 2 3 (2)(1) (0)(2) (2)(2) (0)(0) (2)(3) (0)(2) 2 4 6 1 3 2 0 2 (1)(1) (3)(2) (1)(2) (3)(0) (1)(3) (3)(2) 7 2 9 19
Contoh 2.4: Buktikanlah bahwa suatu matrik bujur sangkar sembarang selalu dapat didekomposir atas bagian matriks yang simetris dan bagian matriks yang anti-simetris. Penyelesaian: Andaikanlah dihadapi matriks bujur sangkar sembarang [ A] dengan unsur-unsur
a ij , yang selalu dapat dituliskan dalam bentuk a ij
1 1 (a ij a ji ) (a ij a ji ) 2 2
Selanjutnya, jika bagian pertama dan bagian kedua dari ruas kanan diambil sebagai unsur-unsur dari dua matriks, yang masing-masing dinyatakan sebagai [ As ] dan [ Aa ] , maka terlihat bahwa masing-masing matriks ini merupakan matriks yang simetris dan anti-simetris. Ini berarti bahwa suatu matriks bujur sangkar sembarang selalu dapat didekomposir atas sub-matriks yang simetris dan sub-matriks yang antisimetris. Contoh 2.5: Kalikanlah dua matriks berikut ini untuk dua kasus yang diperoleh dengan mempertukarkan urutan dalam proses perkalian.
A
2 1 ; B 1 1
Penyelesaian:
1 1 3 2
Perhatikan bahwa karena kedua matriks berukuran (2 x 2) maka perkalian dengan urutan yang dipertukarkan, terdefinisi. Hasil adalah
A B
2 1 1 1 1 3 1 3 2 B A 3 2 1
3 5 2 4 1 5 1 8
8 5
4 5
Melihat hasil di atas, disimpulkan bahwa hasil perkalian matriks tergantung dari urutan dalam perkalian. Selain itu, juga terlihat bahwa matriks hasil kali dua matriks simetris belum tentu merupakan matriks simetris. Contoh 2.6: Tunjukkanlah bahwa kedua matriks berikut ini memiliki hubungan yang bersifat inversi.
A
2 1 1 1 ; B 1 1 1 2 20
Penyelesaian: Jika kedua matriks memiliki hubungan yang bersifat inversi, maka hasil kali kedua matriks merupakan matriks identitas. Kita menghitung,
A B
2 1 1 1 1 0 ; 1 1 1 2 0 1
B A
1 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 1
Dengan mengamati matriks hasil kali di atas, yang untuk kedua urutan memberikan matriks identitas, maka matriks yang satu merupakan inversi dari matriks lainnya. Contoh 2.7: Buktikanlah kebenaran dari pernyataan berikut ini.
A B C AB A C
Penyelesaian:
Jika kita memisalkan bahwa
B C D ;
A D E
maka diperoleh unsur-unsur
eij a ik d kj a ik (bkj ckj ) a ik bkj a ik ckj
yang sekaligus membuktikan kebenaran dari pada pernyataan yang dikeluarkan. Contoh 2.8: Buktikanlah pernyataan berikut ini.
Penyelesaian:
D AB AC 0 B C
Menurut definisi, ruas kiri dari pernyataan memberikan
dij a ik bkj a ik ckj ) a ik (bkj ckj ) 0
yang memberikan dua kemungkinan yaitu cik 0 dan bkj ckj 0. Karena matriks [ A] sembarang, maka sekalipun pada umumnya
a ij 0,
namun kondisi
d ij 0
kemungkinan tidak selalu diberikan oleh kondisi bkj ckj 0, namun oleh a ij 0. Dengan demikian, pada umumnya bkj ckj 0, dan karenanya, [ B] [C ] .
Contoh 2.9: Hitunglah hasil operasi matriks berikut ini, secara langsung maupun secara aturan distributif.
1 3 4 0 1 1 2 4 3 2 1 1 1 0 2 21
Penyelesaian: Secara langsung, diperoleh hasil yang diberikan oleh
2 6 12 0 4 4 2 6 16 4 50 74 4 2 3 3 0 8 4 2 3 11 70 38 Secara aturan distribusi hasil dapat diperoleh dengan
7 3 6 8 9 1
1 7 50 74 2 4 70 38
Terlihat bahwa kedua cara memberikan hasil yang sama, sehingga merupakan cara numerik dalam membuktikan aturan distributif dalam Pers. (2.8.3). Contoh 2.10:Tentukanlah hasil dari operasi.
2 1 0 1 2 1 0 1 0 3
T
dengan cara langsung maupun menggunakan aturan dalam Pers. (2.8.5a). Penyelesaian: Secara langsung, diperoleh hasil
1 2 7 0 1 2
T
1 0 2 1 7 2
Sedangkan dengan menggunakan Pers. (2.8.5a) diperoleh hasil
0 1 1 0 2 1 1 0 2 3
1 0 2 1 7 2
yang mengisyaratkan bahwa kedua cara perhitungan memberikan hasil akhir yang sama. 2.8
Rangkuman
Dalam bab ini telah dipaparkan definisi dari pada matriks. Bahasan dilengkapi dengan penggolongan matriks menurut bentuk atau ukuran, maupun menurut nilai unsur-unsur. Bahasan dilanjutkan dengan hubungan antara beberapa matriks. Bahasan mengenai sifat-sifat operasional matriks juga diberikan, yaitu sifat asosiatif, distributif dan anti-komutatif. Bahasan dalam bab diakhiri dengan aturan operasional matriks. 22
Contoh penerapan sebagai pendalaman materi juga diberikan. Suatu proses yang sangat penting dalam teori matriks, yaitu mengenai inversi matriks, disajikan secara khusus di dalam bab yang akan datang. Penerapan metoda matriks dan inversi matriks di dalam kaitan penyelesaian sistem persamaan simultan linier, diberikan dalam bab tersendiri dalam bahasan mendatang. 2.9
Soal-soal
Soal 2.1: Jika terdefinisi, maka carilah matriks hasil perjumlahan berikut ini.
2 1 0 2 0 9 1 4 Soal 2.2: Jumlahkanlah matriks berikut ini.
8 4 1 1 1 3 ; 5 2 Soal 2.3: Tentukanlah matriks hasil kali dari perkalian berikut ini.
2 0 1 2 3 4 3 5 10 2 Soal 2.4: Kalikanlah dua matriks berikut ini untuk dua kasus yang diperoleh dengan mempertukarkan urutan dalam proses perkalian.
A
4 3 5 1 ; B 1 1 3 11
Soal 2.5: Tunjukkanlah bahwa kedua matriks berikut ini memiliki hubungan yang bersifat inversi.
A
3 1 ; B 2 1
1 1 2 3
Soal 2.6: Hitunglah hasil operasi matriks berikut ini, secara langsung maupun secara aturan distributif.
5 0 6 1 4 3 4 3 2 0 2 2 0 9 7
23
Soal 2.7: Tentukanlah hasil dari operasi.
2 1 0 1 1 0 1 2
24
T
BAB III SISTEM PERSAMAAN SIMULTAN LINIER
3.1
Umum
Dalam uraian bab terdahulu, telah dicontohkan bagai mana suatu problem seharihari bermuara kepada suatu sistem persamaan simultan linier dalam urutan proses analisis. Penyelesaian sistem persamaan simultan linier mencakup penentuan besaran anu atau yang belum diketahui (unknowns) yang di dalam notasi matriks, dimuat dalam suatu matriks kolom yang dengan matriks koefisien, dihubungkan dengan matriks kolom lain yang diketahui. Merujuk kembali kepada sistem persamaan simultan linier yang dituangkan dalam formulasi matriks
AX B
(3.1.1)
maka upaya pencarian solusi mencakup penentuan matriks kolom {X} untuk matriks koefisien [ A] dan matriks kolom {B} yang diketahui. Jika kita memisalkan secara umum, matriks koefisien [ A] berukuran (m x n) dan
matriks kolom {X} berukuran (n 1) sehingga dengan perkalian, matriks {B}
berukuran (m 1) . Secara umum pula, m tidak selalu sama dengan n . Matriks koefisien [ A] boleh jadi memiliki jumlah baris yang melampaui jumlah kolom; jadi,
m n . Matriks koefisien [ A] boleh jadi pula memiliki jumlah baris yang kurang dari jumlah kolom; jadi, m n , atau mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Dari
matematika, akan diketahui bahwa eksistensi dari solusi sistem persamaan simultan linier tergantung dari pada beberapa hal, salah satu di antaranya adalah perbandingan antara besar m dan n . Bab ini bertujuan untuk membahas konsep dan metoda penyelesaian sistem persamaan simultan linier. Pertama, aspek mengenai eksistensi solusi sistem persamaan simultan, dibahas sebagai dasar bagi kelanjutan upaya penentuan solusi. Dalam artian, kita hanya akan melanjutkan proses penentuan solusi jika telah terbukti bahwa sistem persamaan simultan memiliki solusi, sekalipun solusi tersebut belum tentu manunggal atau unik (unique solution). Dalam bab ini, kita terutama tertarik kepada penyelesaian sistem persamaan simultan linier dengan solusi yang manunggal. Memang, ada juga kasus di mana dibutuhkan pencarian solusi sistem persamaan simultan linier yang memiliki solusi atau jawab jamak. 3.2
Rank Dari Sistem Persamaan Simultan
Sebelum kita melakukan apa pun terhadap suatu sistem persamaan simultan linier non-homogen, kita perlu memeriksa tabiat dari pada sistem persamaan tersebut, lewat apa yang dinamakan rank dari pada persamaan. Untuk itu, sekali lagi kita menuliskan 25
sistem persamaan simultan linier dalam bentuk yang telah kita tuliskan dalam bab terdahulu, yaitu
a11x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1
a 21x1 a 22 x2 ... a 2 j x j ... a 2 n xn b2
.
(3.2.1)
.
a m1 x1 a m2 x2 ... a mj x j ... a mn xn bm
yang dituangkan dalam format matriks
Amn Xn1 Bm1
(3.2.2)
Andaikanlah bahwa dari matriks koefisien [ A] dengan ukuran m n , dapat dipilih beberapa baris dan beberapa kolom dengan jumlah sama yang dinyatakan dengan r , sedemikian hingga jika unsur-unsur disusun dalam suatu matriks yang non-singulir. Dapat kita lihat bahwa r paling tinggi sama dengan nilai terkecil dari m dan n . Dikatakan bahwa rank dari matriks [ A] adalah r , yang diberikan oleh
r min( m, n)
(3.2.3)
Sesuai dengan bahasan di atas, maka baris-baris dan kolom-kolom yang berurutan dalam matriks yang berukuran (r r ) tersebut, belum tentu berurutan dalam matriks [ A] yang asal. Biasanya, baris-baris dan kolom-kolom dalam matriks asal, dipilih lalu dicoba-coba, sedemikian hingga didapatkan suatu sub-matriks yang nonsingulir dengan rank r tertinggi. Boleh jadi, dalam kasus m n , determinan matriks
[ A]nn tidak nol sehingga diperoleh rank r n . Lihat skema dalam Gambar 3.2.1
sebagai penjelasan. 3.3
Skema Solusi Sistem Persamaan Simultan Seturut dengan kaitan antara nilai m, n dan r sebagai mana telah dibahas dalam
pasal yang terdahulu, maka berikut ini diberikan skema dari penyelesaian sistem persamaan simultan linier. (1)
Kasus di mana r m n
Untuk kasus seperti ini, sejumlah s n r kolom dipindahkan ke ruas kanan untuk membentuk sistem persamaan yang baru dalam format
atau
Arr Xr1 Br1 [ A]rs {X}s1
Arr Xr1 B'r1 26
(3.3.1) (3.3.2)
{B'}r 1 Br 1 [ A]r s { X}s1
di mana
1
r
(3.3.3)
n<m
n>m
1
r
m
m>n
Gambar 3.2.1: Rank Dari Matriks Koefisien Karena sub-matriks [ A]r r disusun sedemikian hingga non-singulir maka pada hematnya, sistem persamaan modifikasi dalam Pers. (3.3.2) dapat diselesaikan. Namun, matriks kolom {B' }r 1 tidak diketahui, karena matriks kolom { X}s1 dalam Pers. (3.3.3). Solusi dapat diperoleh dengan mengasumsikan nilai-nilai unsur { X}s1 , memasukkannya ke dalam Pers. (3.3.3), serta memasukkan {B' }r 1 dari persamaan ini
ke dalam Pers. (3.3.2) untuk mendapatkan { X}r 1 . Kemudian, { X}s1 yang diasumsikan dan { X}r 1 yang dihitung lalu digabungkan dalam memperoleh solusi. Melihat cara penyelesaian ini, solusi kasus semacam ini tidak manunggal, tetapi jamak. (2)
Kasus di mana r n m
Untuk kasus seperti ini, sejumlah t n r baris ditinggalkan dan dipindahkan ke suatu sistem persamaan yang baru, sehingga diperoleh dua sub-persamaan simultan dalam format
Arr Xr1 Br1
[ A' ]tr { X}r 1 {B'}tx1
(a ) (b)
(3.3.4)
Sebagai mana biasa, Pers. (3.3.4a) disolusikan untuk mendapatkan { X}r 1 , lalu dimasukkan ke dalam Pers. (3.3.4b). Jika solusi ini memenuhi persamaan tersebut maka hasil ini merupakan solusi sistem persamaan simultan yang diharapkan; jika tidak, maka sistem persamaan simultan tidak memiliki solusi. Dalam hal sistem persamaan simultan memiliki solusi, maka sistem persamaan sisa dalam Pers. (3.3.4b) merupakan sistem persamaan dengan baris-baris yang merupakan kombinasi linier dari baris-baris dalam Pers. (3.3.4a). 27
(3)
Kasus di mana r m dan r n
Kasus ini merupakan kombinasi dari dua kasus yang terdahulu, dan yang dapat dituliskan dalam format
Solusi
Xr 1
Ar r Xr 1 Br 1 [ A]r s {X}s1 Asr Xr 1 [ A]txs {X}sx1 Bt1
(a ) (b)
(3.3.5)
dari Pers. (3.3.5a) untuk { X}s1 yang diasumsikan, dicobakan ke
dalam Pers. (3.3.5b). Jika memenuhi, maka sistem persamaan simultan memiliki solusi jamak; jika tidak, sitem persamaan simultan tidak memiliki solusi. Yang menarik dari bentuk Pers. (3.3.5) adalah kemungkinan adanya solusi di mana { X}sx1 dari Pers. (3.3.5b) dimasukkan ke dalam Pers. (3.3.5a) untuk mendapatkan sistem persamaan yang baru. Solusi Xr 1 dari sistem persamaan baru ini kemudian digunakan untuk
menghitung { X}sx1 . Sistem persamaan simultan hanya memiliki solusi jika matriks koefisien dari sistem persamaan simultan yang baru tersebut bersifat non-singulir. (4)
Kasus di mana m n
Kasus semacam ini merupakan yang paling sering dihadapi dalam terapan. Kasus ini masih dapat dibagi atas beberapa sub-kasus sebagai berikut. (a) Sub-kasus sistem persamaan simultan linier homogen Sistem persamaan simultan linier homogen adalah persamaan dengan matriks {B} yang semua unsurnya bernilai nol, jadi diperoleh
Ann Xn1 On1
(3.3.6)
yang untuk kondisi r n , memiliki solusi trivial, yaitu
Xn1 On1
(3.3.7)
Untuk kondisi r n , sub-kasus ini berobah menjadi kasus 3 dengan kondisi {B} {O} , sehingga tidak perlu lagi diulangi di sini. (b)
Sub-kasus sistem persamaan simultan linier non-homogen Untuk kasus ini juga dihadapi dua sub-kasus. Jika r n , maka sistem persamaan simultan linier
Ann Xn1 Bn1 28
(3.3.8)
memiliki solusi yang manunggal. Jika r n , maka sistem persamaan simultan linier non-homogen tidak memiliki solusi. Dalam bahasan pasal-pasal berikut ini, kita akan membahas kasus sistem persamaan simultan dalam Pers. (3.3.8) untuk kondisi r n secara lebih rinci dan mendalam. 3.4
Beberapa Sifat Dari Matriks Koefisien
Sebelum membahas teknik solusi, maka terlebih dahulu kita akan mencermati sifat-sifat yang kemungkinan dimiliki oleh matriks koefisien dan sistem persamaan linier simultan non-homogen,
Ann Xn1 Bn1
(3.4.1)
yang tercermin dari nilai unsur-unsur a ij dalam
Ann
a11 a 21 a i1 a n1
a12.........a1 j .........a1n a 22.........a 2 j .........a 2 n a i 2 .........a ij ...........a in a n 2 .........a nj .........a nn
(3.4.2)
Beberapa sifat matriks koefisien yang penting untuk disimak karena berkaitan dengan pemilihan metoda penyelesaian, adalah sebagai berikut. 3.4.1 Persebaran Unsur-unsur Aspek persebaran (sparseness) unsur-unsur yang menjauhi unsur-unsur diagonal utama, mencerminkan kuat-lemahnya kaitan antara baris persamaan. Semakin menyebar unsur-unsur yang tidak nol menjauhi diagonal utama (off diagonal), semakin kuat keterkaitan (coupling) sesame baris persamaan, dan sebaliknya. Jika unsur-unsur yang tidak nol mengumpul di sekitar diagonal utama, maka semakin mudah sistem persamaan simultan untuk disolusikan. Ini akan terlihat nantinya dalam pemilihan teknik solusi yang dilakukan berdasarkan persebaran dari unsur-unsur yang tidak nol menjauh dari diagonal utama matriks koefisien. 3.4.2 Kesimetrian Matriks Koefisien Dalam bahasan teori matriks, diketahui bahwa setiap matriks bujur sangkar selalu dapat didekomposir atas bagian yang simetri dan bagian yang anti-simetri sebagai berikut,
A [ As ] [ Aa ] 29
(3.4.3)
dalam mana [ As ] adalah bagian yang simetri dan [ Aa ] bagian yang anti-simetri, sedemikian hingga a ij a ijs a ija (3.4.4) dengan
Untuk matriks simetri,
dan untuk matriks anti-simetri,
1 a ijs (a ij a ji ) 2 1 a ija (a ij a ji ) 2 a ija 0
(a ) (3.4.5)
(b) (a )
a ijs a ij a ji
(b)
a ijs 0
(a )
a ija a ij a ji
(b)
(3.4.6)
(3.4.7)
Dalam teknik solusi numerik, semakin kecil bagian yang anti-simetri, semakin efisien sistem persamaan simultan untuk disolusikan. Hal ini akan dibahas dalam teknikteknik solusi dalam pasal-pasal mendatang. 3.5
Penggolongan Teknik Solusi Sistem Persamaan Simultan
Dalam penyelesaian sistem persamaan simultan linier non-homogen, tersedia beberapa metoda solusi yang dapat diterapkan. Secara garis besar, teknik solusi dapat digolongkan atas dua kelompok besar, yaitu metoda eksak dan metoda tidak eksak. Metoda eksak mencakup penentuan invers dari matriks koefisien secara formal, lalu mengalikan sistem persamaan simultan dari depan (pre-multiplication) dengan matriks invers sehingga diperoleh rentetan bentuk persamaan modifikasi sebagai berikut,
AX B A 1 AX A 1 B I X A 1 B X A 1 B
(a ) (b) (c )
(3.5.1)
(d )
di mana bentuk dalam Pers. (3.5.1a) diproses hingga menjadi bentuk dalam Pers.(3.5.1d) dalam format
X A 1B
(3.5.2)
Keuntungan dari metoda eksak berupa inversi formal seperti ini adalah bahwa dalam penyusunan matriks invers, diperoleh nilai determinan yang sekaligus dapat digunakan untuk memeriksa eksistensi dari solusi. Selain itu, didapatkan bentuk matriks invers secara formal, yang dapat digunakan untuk keperluan lain. 30
Kerugian dari metoda eksak ini adalah kenyataan bahwa proses penyusunan matriks invers secara formal menyita upaya yang sangat panjang; padahal, dalam terapan tertentu, yang diminati hanya solusi saja dan bukan bentuk formal dari matriks invers. Metoda tidak eksak pada umumnya dilakukan secara numerik, sehingga sering dinamakan sebagai metoda numerik. Dalam metoda semacam ini, penentuan solusi dilakukan secara numerik dan kerap tanpa menyusun matriks invers secara formal. Tergantung kepada cara perhitungan solusi, metoda numerik dibagi atas dua kelompok, yaitu kelompok metoda numerik langsung (direct numerical methods) dan metoda numerik tidak langsung (indirect numerical methods). Kelompok metoda numerik langsung melakukan serentetan proses modifikasi atas bentuk dari matriks koefisien, yang pada akhirnya dicapai suatu bentuk modifikasi akhir yang memungkinkan perhitungan solusi sekali jalan. Metoda-metoda solusi yang termasuk kelompok ini umumnya didasarkan atas teknik eliminasi Gauss. Contoh dari kelompok ini antara lain adalah metoda triangulasi, metoda diagonalisasi, metoda Crout, Cholesky dan lain-lain. Kelompok metoda numerik tidak langsung melakukan serentetan proses modifikasi bentuk dari persamaan simultan, dan pada akhir setiap proses, dilakukan perhitungan solusi. Solusi sementara ini kemudian dimanfaatkan dalam proses berikutnya untuk mendapatkan solusi yang terbarukan. Demikian proses dilakukan secara iteratif sehingga solusi berkonvergen kepada nilai akhir dengan tingkat ketelitian yang dapat ditentukan atau dipilih. Contoh dari kelompok metoda numerik tidak langsung antara lain adalah teknik relaksasi Seidel-Southwell. Lihat Tabel 3.5.1 sebagai penjelasan. Tabel 3.5.1: Penggolongan Metoda Solusi Numerik kelompok 1
2
contoh
metoda eksak
metoda tidak eksak
inversi
langsung
tidak langsung
triangulasi diagonalisasi Crout Cholesky relaksasi iterasi Gauss-Seidel
Satu per satu metoda solusi sistem persamaan simultan linier non-homogen dibahas dalam paparan berikut ini. 3.6
Metoda Triangulasi
Metoda triangulasi didasarkan atas teknik eliminasi Gauss, berupa operasi antar baris persamaan, baik ruas kiri maupun ruas kanan secara bersamaan sedemikian 31
hingga matriks koefisien berobah menjadi matriks segi tiga atas (upper triangle) atau matriks segi tiga bawah (lower triangle). Matriks segi tiga atas memiliki unsur-unsur di bawah diagonal utama yang bernilai nol, sedangkan matriks segi tiga bawah memiliki unsur-unsur di atas diagonal utama yang bernilai nol. Untuk itu, dalam kasus modifikasi matriks koefisien menjadi matriks segi tiga atas, proses modifikasi secara simbolis dituliskan
di mana
LT
L AX L B T
(3.6.1)
T
mewakili rentetan operasi antar baris sedemikian hingga matriks
koefisien termodifikasi menjadi matriks segi tiga atas, dan persamaan simultan menjadi
di mana
U nn
u11 0 0 0 0 0
U X B'
u12 u 22 0 0 0 0
(3.6.2)
u13.........u1 j .................u1n u 23.........u 2 j ................u 2 n u 33.........u3 j ................u 3n 0............u ij .................u in 0............u ij ......uin1 .....u in 0............0.........0........u nn
(3.6.3)
Rentetan operasi yang merobah [ A] menjadi matriks segi tiga atas [U ] dinamakan proses triangulasi, sementara proses terkait di ruas kanan, berupa perobahan dari {B} menjadi {B' } dinamakan proses reduksi. Proses penentuan besaran xi dimulai dari bawah, yaitu
xn k 1
1 a n k 1, n k 1
[b'n k 1
a
nk2 l 1
n k 1, l l
x]
(3.6.4)
yang merupakan perhitungan unsur-unsur mulai dari xn , xn1 ,..., x2 dan x1 , secara mundur. Rentetan operasi ini dinamakan substitusi balik (back substitution). Dalam kasus modifikasi matriks koefisien menjadi matriks segi tiga bawah, proses modifikasi secara simbolis dituliskan
L AX L B B
B
(3.6.5)
di mana L B mewakili rentetan operasi antar baris sedemikian hingga matriks koefisien termodifikasi menjadi matriks segi tiga bawah, dan persamaan simultan menjadi
32
LX B"
di mana
Lnn
u11 u 21 u 31 u i1 u n1
0 u 22 u32 ui 2 un2
0...........0............0 0...........0............0 u33..........0............0 ui 3 ..........uij ...........0 u n 3 ..........u nj .........u nn
(3.6.6)
(3.6.7)
Rentetan operasi yang merobah [ A] menjadi matriks segi tiga atas [L] dinamakan proses triangulasi, sementara proses terkait di ruas kanan, berupa perobahan dari {B} menjadi {B"} dinamakan proses reduksi. Proses penentuan besaran xi dimulai dari atas, yaitu
xk
n 1 [b"k a k l xl ] a kk l k 1
(3.6.8)
yang merupakan perhitungan unsur-unsur mulai dari x1 , x2 ,..., xn1 dan xn , secara maju. Rentetan operasi ini dinamakan substitusi balik (back substitution). 3.7
Metoda Diagonalisasi
Pada hematnya, metoda diagonalisasi merupakan gabungan dari proses triangulasi atas dan bawah atau sebaliknya, sedemikian hingga diperoleh bentuk matriks koefisien yang diagonal; dalam artian, semua unsur-unsur selain unsur-unsur diagonal utama, dibuat nol. Proses dimulai dari bentuk matriks koefisien segi tiga, misalnya segi tiga atas dalam Pers. (3.6.2), yang dikalikan dengan operator dari depan,
[ L' ] U X [ L' ]B'
DX B' ' '
yang menghasilkan di mana
Dnn
d11 0 0 0
0 d 22 0 0
0...........0............0 0...........0............0 0...........d ii ...........0 0............0...........d nn 33
(3.7.1) (3.7.2)
(3.7.3)
Proses penentuan besaran xi dimulai dari atas, yaitu
xk
1 [bk ' ' ' ] d kk
(3.7.4)
yang merupakan perhitungan unsur-unsur mulai dari x1 , x2 ,..., xn1 dan xn , secara maju. Rentetan operasi ini dinamakan substitusi balik (back substitution). 3.8
Metoda Crout
Pada dasarnya, metoda Crout merupakan metoda triangulasi dengan suatu proses sistemisasi seperti akan diterangkan berikut ini. Di dalam proses triangulasi, baik matriks koefisien maupun matriks {B} dimodifikasi secara bersamaan. Pada akhir proses, dilakukan proses substitusi balik dalam menentukan {X} . Namun di dalam terapan, sering dibutuhkan penghitungan {X} untuk {B} yang berbeda-beda; namun, dengan [ A] yang sama. Untuk itu, proses triangulasi diselesaikan terlebih dahulu. Setelah itu, untuk setiap kasus {B} , dilakukan proses reduksi dan substitusi balik untuk menghitung {X} yang bersangkutan. Demikian dilakukan proses reduksi dan substitusi balik untuk setiap kasus dari {B} . Hal ini dimungkinkan dengan melakukan pencatatan faktor-faktor eliminasi antar baris, seperti akan diterangkan berikut ini. Pertama, kita menuliskan persamaan simultan awal sebagai berikut.
a11x1 a12 x2 a13x3 ... a1n xn b1
a 21x1 a 22 x2 a 23x3 ... a 2 n xn b2
a 31x1 a 32 x2 a 33x3 ... a 3n xn b3
a i1 x1 a i 2 x2 a i 3 x3 ... a in xn bi
(3.8.1)
a n1 x1 a n 2 x2 a n 3 x3 ... a nn xn bn
Proses modefikasi triangulasi dimulai dengan melakukan teknik eliminasi, di mana dengan menggunakan unsur a11 , unsur-unsur kolom ini di bawahnya dibuat menjadi nol. Ini dapat dilakukan dengan mengalikan baris ke-1 dengan factor
a i1 / a11 , lalu
mengurangi baris pertama. Proses ini dinamakan pemegangan (pivoting on) pada a11 . Di akhir proses ini, unsur-unsur matriks koefisien menjadi
a i01 0 a a 0 a ij ; i 2, n ; j 1, n a11 1 ij
0 ij
(3.8.2)
Perhatikan bahwa superskrip (0) menandakan bahwa nilai adalah nilai awal, dan (1) menandakan nilai diakhir proses eliminasi pertama. Di akhir proses ini, 34
a i11 0, (i 2, n). Karena kita akan melakukan proses reduksi atas {B} secara terpisah, 0 nantinya, maka pada lokasi padahal kita membutuhkan factor-faktor eliminator a i01 / a11 0 tersebut. Seterusnya, a 122 a i11 yang sudah bernilai nol, dicatatkan besaran a i01 / a11
dipegang untuk menolkan unsur-unsur a i12 , (i 3, n), yaitu dengan menggunakan faktor-
faktor eliminasi a i12 / a 122 , (i 3, n). Di akhir proses kedua ini, diperoleh unsur-unsur bernilai baru
a i12 1 a a 1 a ij ; i 3, n ; j 2, n a 22 2 ij
yang
1 ij
a i22 , 0, (i 3, n), dan
menghasilkan
pada
lokasi
(3.8.3) ini
dicatatkan
nilai
(a / a , i 3, n). Proses yang sama dilakukan berturutan, dengan nilai pada akhir pemegangan pada a kk sebesar 1 i2
1 22
a a k ij
k 1 ij
a ikk1 k1 k1 a ij ; i k 1, n ; j k, n a kk
(3.8.4)
hingga berakhir pada pemegangan pada unsur diagonal utama baris ke- (n 1) . Isi dari Pada matriks koefisien menjadi seperti yang diperlihatkan dalam Tabel 3.8.1, yang untuk kesederhanaan hanya diberikan untuk n 4 . Tabel 3.8.1: Isi Matriks Koefisien, Cara Crout (n = 4) 1 2
3
4
1
2
3
0 11
0 12
0 13
4
a
a
a
0 a14
0 a 21 0 a11
a 122
a 123
a 124
0 a 31 0 a11
1 a 32 a 122
2 a 33
2 a 34
0 a 41 0 a11
a 142 a 122
2 a 43 2 a 33
2 a 44
Pada akhir proses triangulasi ini, matriks koefisien telah berbentuk segi tiga, sekalipun pada lokasi unsur-unsur di bawah diagonal utama yang seharusnya bernilai nol, telah terisikan faktor-faktor eliminasi yang dapat digunakan untuk mereduksi {B} nantinya. Untuk matriks {B} yang akan diproses untuk mendapatkan solusi {X} yang bersangkutan, dapat dilakukan proses reduksi dengan rumus
b b k i
k 1 i
a ikk1 k1 k1 bk ; i k 1, n ; k 1, n 1 a kk 35
(3.8.5)
yang dilakukan secara berturutan terhadap vektor {B} satu per satu. 3.9
Metoda Iterasi Gauss-Seidel
Metoda Gauss-Seidel merupakan metoda numerik tidak langsung, yang secara iteratif menghitung nilai xi . Untuk itu, Pers. (3.8.1) dituangkan dalam bentuk modifikatif sebagai berikut,
x1
x2
xn
a12 x2 a13 x3 ... a1n xn )
1 (b1 a11
1 (b2 a11x1 a 22
a13 x3 ... a1n xn )
1 (bn a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a nn
(3.9.1)
)
yang hanya berlaku untuk a ii 0 ; i 1, n . Perhatikan bahwa penerapan Pers. (3.9.1) pertama-tama dimulai dengan mengambil ( xi 0 ; i 1, n) , dan ini dimasukkan ke dalam ruas kanan persamaan, dan kemudian nilai ( xi ; i 1, n) yang baru. Nilai baru ini
kemudian dimasukkan ke dalam ruas kanan untuk menghitung nilai yang lebih baru. Proses iterasi ini dilakukan secara menerus hingga solusi berkonvergen ke nilai akhir dengan tingkat ketelitian yang dapat diatur. Efisiensi dari penerapan metoda iterasi numerik ini sangat tergantung kepada nilai rasio aij / aii , yaitu rasio dari unsur-unsur di luar diagonal terhadap unsur-unsur diagonal utama. Konvergensi akan lebih cepat tercapai jika nilai rasio-rasio ini relatif kecil. Dengan perkataan lain, nilai-nilai unsur diagonal utama relatif jauh lebih besar dibandingkan nilai-nilai unsur di luar diagonal. 3.10 Metoda Relaksasi Metoda relaksasi menggunakan kriteria residu, yaitu beda atau selisih dari ruas kiri dan ruas kanan persamaan simultan. Untuk solusi yang sebenarnya, xi adalah sedemikian hingga dipenuhi bentuk modifikasi
a n
j 1
ij
x j bi 0 ; i 1, n
(3.10.1)
Namun, jika pasangan xi belum memenuhi, maka setiap baris persamaan memiliki selisih yang dapat dinyatakan dengan ri, sedemikian hingga
ri a ij x j bi ; i 1, n n
j 1
(3.10.2)
Mulai dari taksiran awal xi , residu (ri ; i 1, n) lalu dihitung. Baris dengan residu paling besar lalu ditinjau, dengan meninjau nilai xi yang bersangkutan, sedemikian hingga r 36
yang bersangkutan dibuat nol. Dengan melakukan ini, nilai r lainnya akan berobah, lalu dipegang lagi baris dengan residu paling besar dan nilainya dibuat nol dengan merevisi nilai x yang bersangkutan. Proses relaksasi ini diteruskan hingga residu lebih kecil dari pada toleransi yang ditetapkan. 3.11 Contoh Penerapan Untuk melaksanakan metoda-metodayang telah disajikan dalam pasal-pasal sebelumnya, maka berikut ini diberikan contoh penerapan. Contoh 3.1: Dengan metoda iteratif Gauss-Seidel, hitunglah xi (i 1, n) yang memenuhi sistem persamaan simultan non-homogen sebagai berikut.
3x1 x2 x3 8
x1 2 x2 x3 2
(3.11.1)
x1 2 x2 3x3 6
Penyelesaian:
Menurut cara seperti dalam Pers. (3.9.1), sistem persamaan dalam Pers. (3.11.1) dapat dirobah ke dalam bentuk sebagai berikut.
x1
8 1 1 x2 x3 2 3 3 1 1 x2 1 x1 x3 2 2 1 2 x3 2 x1 x2 3 3
(a ) (b)
(3.11.2)
(c )
x2 x3 0, Pers. (3.11.2a) memberikan x1 8 / 3 . x3 0 dan Pers. (3.11.2b) memberikan x1 8 / 3
Pertama, dengan mengambil Kemudian,
dengan
x2 1 (8 / 3) / 2 (0) / 2 1 / 3 . Nilai paling baru dari x1 dan x2 lalu dimasukkan ke dalam Pers. (3.11.2c), untuk memberikan x3 2 (8 / 3) / 3 2(1 / 3) / 3 8 / 9 . Putaran pertama memberikan x1 8 / 3 , x2 1 / 3 dan x3 8 / 9 . Putaran kedua, ketiga dan seterusnya dilakukan dengan cara serupa untuk menghasilkan hasil yang konvergen ke nilai akhir dari xi sebagai berikut.
x1 1.0 ; x2 2.0 ;
x3 3.0
(3.11.3)
Suatu program yang sederhana dapat dituliskan untuk alogaritma iteratif GaussSeidel di atas. Untuk konvergensi, digunakan suatu besaran pembantu berupa norm
dari pada vektor {X} , yaitu XNOR ( x12 x22 ... xn2 )1/ 2 . Nilai mutlak pertambahan xi
dibagi dengan norm XNOR lalu dibandingkan dengan suatu nilai toleransi TOL positif yang diambil kecil menurut ketelitian yang diinginkan. Jumlah iterasi dibatasi dengan suatu jumlah iterasi maksimum MAXIT yang nilainya ditetapkan terlebih dahulu. Jika iterasi belum berkonvergensi hingga jumlah iterasi MAXIT , maka proses dihentikan, 37
atau iterasi diberi tambahan dengan merobah nilai MAXIT hingga proses iterasi konvergensi. Contoh 3.2: Dengan proses eliminasi Gauss, hitunglah solusi dari sistem persamaan simultan linier non-homogen berorde tiga sebagai berikut.
2 x1 3x2 x3 13
3x1 3x2 x3 1
x1 2 x2 2 x3 7
(3.11.4)
Penyelesaian: Pertama, koefisien-koefisien dalam Pers. (3.11.4) disusun sebagai berikut.
2 3 1 13 3 3 1 16
(3.11.5)
1 1 2 7 Proses eliminasi dapat dimulai dengan ”memegang” a11 , di mana baris pertama tetap, baris kedua dikurangi dengan (a 21 / a11 ) kali baris pertama, dan baris ketiga dikurangi dengan (a 31 / a11 ) kali baris pertama, hasilnya adalah
2 3 0 3/ 2
1 13 1/ 2 7 / 2
0 1/ 2 3 / 2 1/ 2
(3.11.6)
Kemudian, proses yang sama dilakukan dengan memegang a 22 , untuk membuat unsur-unsur kolom kolom ke-2 di bawahnya menjadi nol. Hasilnya adalah
2 3 1 13 0 3 / 2 1/ 2 7 / 2 0
5/3 5/3
0
(3.11.7)
Pada tahap ini, matriks koefisien sudah termodifikasi menjadi matriks segi tiga atas. Sekarang, proses substitusi balik dapat dilakukan mulai dari bawah.
3 5 x3 1 5 3
2 7 1 x2 x1 2 3 2 2 1 x1 13 3x2 x3 3 2
38
(3.11.8)
Contoh 3.3: Selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen dalam Pers. (3.11.4), namun kali ini dengan metoda relaksasi Seidel-Southwell. Penyelesaian:
11
a 21 a b 3 13 1 ; 12 12 ; 1 ; 1 1 13 a 22 a11 2 a11 2 2
a11 a 1 16 1 ; 22 22 1 ; 23 ; 2 3 3 a11 a 22 7 1 1 1 31 ; 32 ; 33 ; 3 2 1 2 2
21
(3.11.9)
sehingga Pers. (3.11.4) menjadi
1 13 3 x1 x2 x3 0 2 2 2 1 16 x2 x1 x3 0 3 3
(3.11.10)
1 7 1 x3 x1 x2 0 2 2 2 Pasangan ( x1 , x2 , x3 ) suatu tahap diandaikan memberikan residu sebesar
(r1 , r2 , r3 ), sehingga Pers. (3.11.10) dituliskan dalam bentuk 1 13 3 r1 x1 x2 x3 2 2 2 1 16 r2 x2 x1 x3 3 3
(3.11.11)
1 7 1 r3 x3 x1 x2 2 2 2 yang berarti, minimisasi (r1 , r2 , r3 ), untuk ( x1 , x2 , x3 ) memberikan solusi yang memenuhi Pers. (3.11.10), dan tentunya juga Pers. (3.11.4). Prosedur relaksasi dimulai dengan taksiran awal ( x1 , x2 , x3 ) , misalnya (0,0,0) sehingga dari Pers. (3.11.11) diperoleh
r1 13 / 2 ; r2 16 / 3 ; r3 7 / 2
(3.11.12)
di mana r1 13 / 2 merupakan residu terbesar. Ini dibuat nol dengan mengoreksi
x1 13 / 2, sehingga
x1 13 / 2 r1 13 / 2 0 0 13 / 2 0 x2 0 r2 0 13 / 2 0 16 / 3 7 / 6 x 0 r 0 13 / 4 0 7 / 2 1 / 4 3 3
(3.11.13)
Sekarang, r2 sekarang sebagai residu terbesar dibuat nol dengan x2 7 / 6, maka 39
x1 13 / 2 r1 13 / 2 7 / 6 0 13 / 2 7 / 4 x2 7 / 6 r2 7 / 6 13 / 2 0 16 / 3 0 x 0 r 0 13 / 4 7 / 12 7 / 2 10 / 12 3 3
(3.11.14)
Begitulah, proses relaksasi diteruskan sedemikian hingga konvergensi ke nilai sebenarnya. Perlu diperhatikan bahwa nilai eksak solusi tidak akan diperoleh dengan cara ini, kecuali dengan menggunakan tebakan ”jitu” dalam proses relaksasi. Cara ini mencakup proses berulang yang sangat cocok dilakukan dengan bantuan komputer. Contoh 3.4: Gunakanlah metoda Crout untuk menyelesaikan sistem persamaan simultan linier non-homogen untuk dua kasus, yaitu seperti dalam persamaa
4 2 1 x1 7 2 2 1 x 5 2 1 1 2 x3 4 (1)
12 8 7
(3.11.15)
( 2)
Penyelesaian: Pertama, proses modifikasi atas matriks koefisien dilakukan lebih dahulu. Pivotisasi pada a11 memberikan
2 1 4 2 / 4 1 1 / 2 1 / 4 1 / 2 7 / 4
(3.11.16)
Pivotisasi pada unsur a 22 memberikan
2 1 4 2 / 4 1 1 / 2 1 / 4 1 / 2 3 / 4
(3.11.17)
Sekarang, bentuk dalam Pers. (3.11.17) siap untuk digunakan menghitung {X} . Untuk kasus pertama, b1 7 (3.11.18) B b2 5 b 4 3 direduksi (reduction process) dengan menggunakan koefisien dalam bentuk Pers. (3.11.17), yaitu
b1(1) b1( 0) 7
2 2 1 b2(1) b2( 0) b1( 0) 5 7 1 4 4 2 9 1 1 b3(1) b3( 0) b1( 0) 4 7 4 4 4 40
(3.11.19)
dan
b2( 2) b2(1) 1 ( 2) 3
b
1 2
1 9 1 3 6 b b2(1) 2 4 2 2 4
(3.11.20)
(1) 3
sehingga hasil {B} tereduksi menjadi
7 B 3 / 2 3/ 2
(3.11.21)
Akhirnya, proses substitusi balik memberikan
2 3 x3 1 3 2 1 1 x2 1 1 1 1 2 2 1 x1 7 2 1 11 1 4
(3.11.22)
dan solusi akhir untuk kasus pertama adalah
x1 1 X x2 1 x 1 3
(3.11.23)
Untuk kasus kedua, dipunyai {B} sebagai
12 B 8 7
(3.11.24)
Proses reduksi vektor {B} adalah sebagai berikut
b1(1) b1( 0) 12
dan
2 2 b2(1) b2( 0) b1( 0) 8 12 2 4 4 1 1 b3(1) b3( 0) b1( 0) 7 12 4 4 4
(3.11.25)
b1( 2) b1(1) 12 b2( 2) b2(1) 2
1 1 b3( 2) b3(1) b2(1) 4 2 3 2 2 41
(3.11.26)
sehingga akhirnya vektor {B} tereduksi adalah
Substitusi balik memberikan
sehingga solusi menjadi
12 B 2 3
2 x3 3 2 3 1 x2 1 2 2 1 2 1 x1 12 2 1 1 2 2 4 2 X 1 2
(3.11.27)
(3.11.28)
(3.11.29)
3.12 Rangkuman Bahasan dalam babi ni mencakup penyelidikan sifat dan penyelesaian sistem persamaan simultan linier. Beberapa hal penting yang dapat dicatat adalah sebagai berikut. (1)
Sistem peramaan simultan dengan jumlah baris yang lebuh besar dari jumlah kolom, tidak memiliki solusi, kecuali jika jumlah baris yang berlebihan hanyalah sekedar kombinasi linier dari baris lainnya.
(2)
Untuk sistem persamaan simultan dengan matriks koefisien yang bujur sangkar, dihadapi kasus sebagai berikut. (a) Untuk persamaan simultan yang homogen, solusi hanya hanya ada jika determinan dari matriks koefisien, bernilai nol. Dalam hal ini, solusi tidak unik. (b) Untuk sistem persamaan yang non-homogen, solusi hanya ada jika matriks koefisien adalah non-singulir. Dalam hal non-singulir; solusi adalah unik.
(3)
Untuk sistem persamaan dengan jumlah kolom yang lebih besar dari jumlah baris, kolom kelebihan dapat dipindahkan keruas kanan. Dengan melakukan ini, dihadapi kasus yang sama dengan butir (2)(a).
(4)
Untuk sistem persamaan simultan dalam butir (2)(b), dapat diterapkan beberapa teknik penyelesaian yang umumnya digolongkan atas tiga kelompok, yaitu metoda inversi, metoda numerik langsung dan metoda numerik tidak langsung.
3.13 Soal-soal Soal 3.1: Dengan metoda eliminasi Gauss, tentukan solusi dari sistem persamaan simultan linier non homogen
42
4 x1 x2 x3 15
x1 2 x2 3 x3 10 x1 3x2 4 x3 13
Soal 3.2: Dengan metoda diagonal, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen dalam Soal 3.1. Soal 3.3: Dengan metoda relaksasi, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen dalam Soal 3.1. Hentikan proses iterasi dengan toleransi 0.001, dari inkrementasi xi terhadap norm dari {X} yang diperoleh sesaat. Soal 3.4: Dengan metoda Crout, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier nonhomogen dengan 3 kasus sebagai berikut.
3 1 3 x1 7 1 4 1 x 6 2 3 1 5 x3 9 (1)
10 7 14 ( 2)
10 7 12 ( 3)
Soal 3.5: Dengan metoda Gauss-Seidel, selesaikanlah sistem persamaan simultan linier non-homogen sebagai berikut.
12 1 1 x1 14 1 6 1 x 6 2 1 1 5 x3 5 Berikan komentar mengenai kecepatan dari proses berkonvergen ke solusi. Jelaskan alasan Saudara, mengapa?
43
perhitungan
25,27,29,31,33,35,37,39,41,43 26,28,30,32,34,36,38,40,42,44
44
BAB IV BEBERAPA HUKUM DAN KRITERIA PENTING 4.1
Umum
Mekanika teknik adalah bahan perkuliahan dasar penting dalam disiplin ilmu rekayasa, terutama Teknik Sipil, yang dalam perkembangannya telah banyak didukung, dipengaruhi serta diperkaya oleh disiplin ilmu lainnya, terutama fisika dan matematika. Seyogyanya kita tidak lupa menghargai jasa mereka yang telah banyak memajukan mekanika, seperti Newton, Gauss, Fourier, Lagrange, Bernoulli dan lain-lain. Dalam sejarah perkembangannya, sering temuan innovatif maupun intuitif didapat oleh para perekayasa, yang kemudian difomulasikan dan dijabarkan secara matematis dan teoritis oleh para ilmuwan pasti alam. Sebelum menerjunkan diri ke dalam analisis mekanika teknik yang akan banyak menyita waktu dan perhatian, kita perlu melengkapi pengetahuan awal kita dengan membahas beberapa hukum dan kriteria terkait yang sangat penting, serta yang nantinya akan sangat bermanfaat di dalam memperkuat diri kita di dalam proses analisis mekanika. Dalam bab ini akan dibahas beberapa hukum atau kriteria penting, antara lain hukum proporsionalitas dan superposisi, prinsip energi, prinsip kerja perpindahan maya atau virtual, teorema Castigliano, metoda gaya maya, teorema timbal balik (reciprocal theorem) Maxwell-Betti, prinsip Muller-Breslau, metoda bidang momen (moment area method) dan metoda balok konyugasi (conjugate beam method). Hukum-hukum, teorema, prinsip dan metoda-metoda tersebut akan dibahas secara berturutan dalam paparan berikut.
4.2
Hukum Proporsionalitas dan Superposisi
Aspek proporsionalitas merupakan kriteria yang mungkin kedengarannya agak sepele, namun secara hakiki sangat penting dalam mekanika teknik, di dalam jabaran kaitan respons dan gaya ataupun pengaruh luar yang sebanding di dalam lingkup bahan maupun sistem struktur yang elastis linier. Proporsionalitas antara tegangan sebagai pengukur intensitas gaya reaksi, dan regangan sebagai pengukur ekstensi deformasi misalnya, diatur dalam suatu hubungan kesebandingan atau proporsional menurut hukum Hooke. Integrasi dari hubungan tegangan-regangan yang proporsional tersebut, memberikan hubungan yang proporsional antara perpindahan dan gaya luar, ataupun antara gaya reaksi dan gaya luar. Hukum kesebandingan ini memberikan dasar bagi beberapa kriteria penting lainnya. Salah satunya adalah kriteria superposisional, di mana tanggap total suatu sistem struktur terhadap beberapa kombinasi gaya luar, dapat dihitung sebagai 45
perjumlahan aljabar dari semua tanggap struktur terhadap masing-masing kombinasi gaya luar. Untuk jelasnya, tinjauan suatu sistem balok sederhana dengan gaya luar P1 dan
P2 , di mana masing-masing gaya dipandang sebagai kombinasi pembebanan. Perpindahan w1 dan w2 adalah perpindahan pada penampang 1 dan 2 akibat gaya P1 dan P2 yang bekerja secara serentak. Dalam Gambar 5.1c, w11 dan w21 adalah perpindahan penampang 1 dan 2 akibat P1 yang bekerja secara individual, dan dalam Gambar 5.1d, w12 dan w22 adalah perpindahan pada titik 1 dan 2 akibat gaya P2 yang bekerja secara individual. Y
P1
P2
A
B 2
1
w1
w2
w11
w21
X
(a) struktur dan gaya
(b) akibat P1 dan P2 simultan
(c) akibat P1
(d) akibat P2 w12
w22
Gambar 4.2.1: Hukum Superposisi Menurut kriteria superposisi, diperoleh hubungan bahwa
w1 w11 w12
w2 w21 w22
(4.2.1)
Tentunya, kriteria superposisional juga berlaku untuk komponen gaya reaksi atau komponen perpindahan lainnya. Selain itu, tanggap total sistem struktur adalah tetap dan tidak tergantung kepada urutan pembebanan; dalam contoh di atas, apakah P1 yang bekerja terlebih dahulu lalu diikuti oleh P2 , atau sebaliknya, atau
P1 dan P2 bekerja secara bersamaan, akan
menimbulkan perpindahan total w1 dan w2 yang sama. Dengan perkataan lain, tanggap sistm struktur yang elastis linier terhadap gaya atau pengaruh luar, tidak tergantung kepada sejarah atau riwayat pembebanan sebelumnya. Dikatakan bahwa, sistem struktur yang elastis linier merupakan sistem dengan ingatan pendek (short-memory 46
system). Sifat ini sangat nyata berbeda dengan sistem yang elastis nonlinier, di mana tanggap sistem struktur semacam ini tergantung kepada sejarah atau riwayat pembebanan sebelumnya. Dikatakan bahwa, sistem struktur yang elastis non-linier merupakan sistem dengan ingatan panjang (long-memory system). Hal ini dapat dibaca dalam buku-buku referensi sistem struktur nonlinier. 4.3
Prinsip Kerja Perpindahan Maya
Prinsip kerja perpindahan maya (virtual atau khayal) adalah suatu bentuk alternatif pernyataan dari kriteria keseimbangan sistem struktur, dalam format yang sangat sering diterapkan orang, khususnya dalam kasus sistem struktur yang merupakan sistem berupa medium menerus (kontinuum). Untuk menjelaskan prinsip ini, maka tinjaulah suatu sistem struktur medium menerus yang sebelum pembebanan menempati konfigurasi awal V0 yang dibatasi permukaan S0 seperti dalam Gambar 4.3.1. Akibat gaya luar yang terdiri dari gaya badan (body force) b dan gaya traksi permukaan t , struktur mengalami perpindahan u sedemikian hingga sistem menempati konfigurasi akhir V yang dibatasi permukaan S pada mana struktur mencapai keseimbangan di bawah pengaruh gaya-gaya luar tersebut. Perpindahan ini menimbulkan regangan dan tegangan . Perpindahan u memenuhi persyaratan keserasian dan memenuhi persyaratan kompatibilitas. Keseimbangan sistem struktur menyaratkan bahwa
σ xx σ yx σ zx b x 0 z y x σ xy σ yy σ zy b y 0 z y x σ xz σ yz σ zz b z 0 z y x
(a) (4.3.1)
(b) (c)
t V’ S
So
b V
Vo
Gambar 4.3.1: Prinsip Kerja Perpindahan Maya pada titik-titik bermateri dalam volume V , dan syarat batas gaya
47
S’
t x xx m xy n xz t x t y yx m yy n yz t y
(4.3.2)
t z zx m zy n zz t z
pada permukaan S yang memiliki normal dengan koefisien arah (l , m, n) terhadap sumbu ( X, Y, Z ) . Dalam Pers. (4.3.2), (t x , t y , t z ) adalah komponen pada ( X, Y, Z ) dari gaya luar yang diketahui dan bekerja pada permukaan. Kemudian, atas konfigurasi V yang berseimbang, dibayangkan terjadinya suatu medan
perpindahan
maya
u
yang
sembarang
namun
secara
kinematis
dimungkinkan. Pada dasarnya, perpindahan maya ini, dapat merupakan perpindahan yang mengikuti pola perpindahan riel u yang tentunya memenuhi syarat-syarat batas natural pada S . Dengan mengingat bentuk-bentuk dalam Pers. (4.3.1) dan (4.3.2) kita dapat menuliskan
W ( v
σ xx σ yx σ zx b x )u y z x (
(t
σ xy σ yy σ zy b y )v x y z
( σ xz σ yz σ zz b z )w dV z y x
x
(4.3.3)
t x )u (t y t y )v (t z t z )w dS
S
dalam mana ( u, v, w) adalah komponen dari
u yang nota bene sembarang.
Bentuk dalam Pers. (4.3.3) jelas berlaku, karena integran dalam integrasi bernilai nol, mengingat bentuk dalam Pers. (4.3.1) dan (4.3.2). Bentuk dalam Pers. (4.3.3) dapat dimodifikasi dengan melakukan pengelompokan unsur-unsur dengan bentuk sebagai berikut.
xxu yxv zxw xyu yyv zyw z y x z y x
W v
xzu yzv zzw dV x y z
(bxu b yv bzw)dV (t xu t yv t zw)dS
(t xu t yv t zw)dS 0 v
S
S
(4.3.4) 48
Dengan melihat bahwa integran-interan dalam interasi volume pertama dalam Pers. (4.3.4) dapat dituliskan dalam bentuk
xxu xyu xzu yxu yyv yzw zxu zyv zzw dV z y x
W
xx v
v
yt (
u yy v zz w xy ( u v) x y z y x
v w) zx ( w u dV x z y z
(b xu b yv b z w)dV (t xu t yv t z w)dS
(t xu t y v t z w)dS 0 v
S
(4.3.5)
S
Setelah itu, diterapkan teorema Gauss untuk merobah integrasi-integrasi volume dalam Pers. (4.3.5) menjadi integrasi permukaan. Sebagai contoh, dituliskan
x (
( v
u xyv xzw)dV dV
u x xyv xz )dS xx
(4.3.6)
xx
S
Dengan melakukan proses yang sama terhadap dua integran lainnya, serta menuliskan
xx
u ; yy v ; xy u v x y y x
(4.3.7)
dan seterusnya, maka diperoleh
W xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx
( xx m xy xz t x )u ( yx m yy n yt t y )dV v
( zx m zy n xx t z )w dS S
(bxu byv bzw)dV (t xu t yv t zw)dS 0
(4.3.8)
S
v
yang dengan mengingat bentuk dalam Pers. (4.3.2), dapat dituliskan dalam bentuk
W ( .~)dV (b . u~)dV (t. u )dS 0 ~
V
V
(4.3.9)
S
Akhirnya, dari Pers. (4.3.9) diperoleh
U We
(4.3.10) 49
di mana
U ( .~)dV
We (b . u~ )dV (t. u )dS V
~
V
(4.3.11)
S
yang masing-masing merupakan energi regangan maya (atau kerja dalam maya) dan kerja gaya luar di arah perpindahan maya. Karena kita telah menyusun bentuk persamaan dalam Pers. (4.3.10) berdasarkan kriteria keseimbangan, maka kita dapat mengatakan bahwa untuk suatu sistem struktur yang seimbang, maka kerja dalam sama dengan kerja luar. Karena dari Pers. (4.3.10) kita secara prosedur berbalikan dapat menemukan bentuk dalam Pers. (4.3.1), maka kita juga dapat mengatakan bahwa, jika kerja dalam sama dengan kerja luar, maka sistem struktur berada dalam keseimbangan. Dengan demikian, kita dapat menuliskan pernyataan berikut ini. Jika suatu sistem berada di dalam keadaan seimbang, maka kerja yang dilakukan oleh gaya luar di arah perpindahan maya, sama dengan energi dalam maya.
(4.3.12)
Sebaliknya juga berlaku pernyataan sebagai berikut ini. Jika kerja yang dilakukan oleh gaya luar di arah perpindahan maya, sama dengan kerja dalam yang timbul, maka sistem berada di dalam keadaan seimbang.
(4.3.13)
Secara skematis, kedua pernyataan dalam Pers. (4.3.12) dan (4.3.13) dapat dituliskan dalam bagan sebagai berikut. sistem seimbang ↔ kerja luar = kerja dalam 4.4
(4.3.14)
Teorema Castigliano
Dalam analisis, sering dihadapi kebutuhan untuk menghitung perpindahan yang terjadi pada arah suatu gaya, atau gaya yang menimbulkan perpindahan tertentu. Tentunya, kita dapat melakukan hal ini dengan cara formal, berupa integrasi langsung persamaan diferensial untuk mendapatkan solusi perpindahan, atas mana dapat dimasukkan parameter lokasi titik pada mana komponen perpindahan (translasi ataupun rotasi) ingin dihitung. Namun, dengan bantuan teorema Castigliano, perpindahan pada suatu lokasi yang ditanyakan, dapat dihitung tanpa melakukan integrasi formal persamaan diferensial batang. Untuk menurunkan teorema Castigliano, kita meninjau suatu sistem struktur dalam Gambar 4.4.1, dengan gaya-gaya ( Pi , i 1, n) yang bekerja dan yang koresponden
dengan perpindahan (ui , i 1, n) , sedemikian hingga 50
Pi ik u k n
(4.4.1)
k 1
Pertanyaannya sekarang, berapa perpindahan ui yang diukur pada arah Pi ? Atau sebaliknya, berapa Pi yang bekerja dan yang menimbulkan perpindahan u i
yang
diketahui? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kita mulai dengan menyusun persamaan keseimbangan yang dinyatakan di dalam kesamaan energi dalam dan kerja luar yang dilakukan oleh gaya-gaya, yaitu
We U
Pu
atau
n
i 1
i i
(4.4.2)
1 ( .~)dV 2 V
(4.4.3)
di mana energi regangan dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat dari komponen perpindahan
1 n 1 n n We U Pk u k kl u l u k 2 k 1 2 k 1 l 1
Dari Pers.(4.4.4) diperoleh
yang memberikan
karena
U 1 n n kl u l u k u m u m 2 k 1 l 1 U 1 n n ml kl u k mk kl u l u m 2 k 1 l 1 u i ij u j
(4.4.4)
(4.4.5)
(4.4.6)
(4.4.7)
dalam mana adalah delta Kronecker, sehingga dari Pers.(4.4.6) diperoleh n U 1 n n kmu k ml u l kmu k u m 2 k 1 l 1 k 1
(4.4.8)
Mengingat bentuk Pers.(4.4.1b), maka Pers.(4.4.8) akhirnya memberikan
Pk
U uk
yang merupakan Teorema I dari Castigliano yang mengatakan, 51
(4.4.9)
Turunan energi regangan terhadap suatu perpindahan, menghasilkan gaya di arah perpindahan tersebut.
(4.4.10)
Pi ui
P1
δui
Gambar 4.4.1: Teorema Castigliano Di lain pihak, perpindahan dapat dipandang sebagai kombinasi linier dari pada komponen gaya, dalam bentuk
u i ik Pk n
k 1
(4.4.11)
sedemikian hingga energi regangan dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat dari komponen gaya,
We U
Dari Pers.(4.4.12) diperoleh
yang memberikan
karena
1 n 1 n n P u kl Pl Pk k k 2 2 k 1 k 1 l 1
U 1 n n kl Pl Pk Pm Pm 2 k 1 l 1 U 1 n n ml kl Pk mk kl Pl Pm 2 k 1 l 1 Pi ij P j
(4.4.12)
(4.4.13)
(4.4.14)
(4.4.15)
dalam mana adalah delta Kronecker, sehingga dari Pers.(4.4.14) diperoleh n U 1 n n km Pk ml Pl km Pk Pm 2 k 1 l 1 k 1
52
(4.4.16)
Mengingat bentuk Pers.(4.4.11), maka Pers.(4.4.16) akhirnya memberikan
uk
U Pk
(4.4.17)
yang merupakan Teorema II dari Castigliano, yang mengatakan Turunan energi regangan terhadap suatu gaya, menghasilkan perpindahan di arah gaya tersebut.
(4.4.18)
Dengan demikian, jika energi regangan secara eksplisit dinyatakan sebagai fungsi dari perpindahan dan/atau gaya, maka menurut Teorema I Castigliano, diferensiasi parsial dari energi regangan terhadap suatu componen perpindahan, akan menghasilkan komponen gaya yang bekerja di arah komponen perpindahan tersebut. Di lain fihak, menurut Teorema II Castigliano, diferensiasi parsial dari energi regangan terhadap suatu componen gaya, akan menghasilkan komponen perpindahan yang terjadi dan diukur di arah komponen gaya tersebut. Pada hematnya, komponen perpindahan dan komponen gaya dalam teorema Castigliano adalah komponen yang koresponden, yaitu perpindahan translasi dengan gaya translasi terpusat, dan rotasi dengan momen. Sebagai contoh, tinjaulah suatu balok kantilever dengan gaya terpusat P pada ujung bebas seperti terlihat dalam Gambar 4.4.2. Kita ingin menghitung perpindahan di titik ujung bebas tersebut. Tanpa menyusun fungsi perpindahan secara formal, maka dengan bantuan teorema Castigliano, kita dapat menghitung perpindahan tersebut, sebagaimana dipaparkan berikut ini. Pertama, karena yang kita hadapi adalah batang dengan ragam lentur, kita dapat menyusun energi regangan lentur seperti telah dituliskan di dalam Pers. (2.7.3), yaitu
Um
1 M 2 ( x) dx 2 L EI
(4.4.11)
dengan momen yang kita peroleh dalam badan bebas potongan sebagai
Y
P A
B x
X
L,EI P Mx L-x
Gambar 4.4.2: Penerapan Teorema Castigliano 53
M ( x) P ( L x) Dengan demikian, diperoleh
Um
1 P 2 ( L x) 2 dx EI 2 L
(4.4.12)
(4.4.13)
yang menurut Pers. (4.4.8), memberikan
PL3 U m 1 (2 P )( L x)2 dx wb 20 3EI EI P L
4.5
(4.4.14)
Metoda Gaya Maya
Dalam Pasal 4.4 telah dipaparkan bahwa teorema Castigliano dapat digunakan untuk menghitung perpindahan di arah gaya yang diketahui, atau menghitung besarnya gaya di arah perpindahan yang diketahui. Sekarang timbul pertanyaan, bagai mana kita dapat menentukan perpindahan pada suatu arah, pada titik di mana dan pada arah mana tidak ada gaya bekerja. Sebagai contoh, bagai mana kita dapat menghitung perpindahan pada tengah bentang kantilever dalam Gambar 4.4.2, padahal tidak ada gaya yang bekerja di arah tersebut. Hal ini dapat dilakukan dengan metoda gaya maya atau gaya palsu (dummy load method) sebagai berikut. Pertama, di arah dan pada lokasi di mana perpindahan ingin dihitung, dikerjakan suatu gaya. Setelah itu, prosedur yang sama dengan cara Castigliano dilaksanakan dengan menerapkan teorema II Castigliano dalam Pers. (4.4.9). Hasil akhir diperoleh dengan memasukkan nilai nol dalam gaya tersebut, karena gaya itu memang tidak ada. Inilah alasan kenapa cara ini dinamakan metoda gaya maya atau palsu. Cara ini dapat diterapkan dalam contoh berikut. Jika kita ingin menghitung rotasi titik ujung balok kantilever dalam Gambar 4.4.2, maka kita mengerjakan gaya palsu di arah rotasi tersebut, dalam hal ini momen seperti dalam Gambar 4.5.1. Untuk kasus ini, bidang momen menjadi
M ( x) P ( L x) m
(4.5.1)
yang dapat dimasukkan ke dalam Pers. (2.7.3), untuk memberikan
1 [ P ( L x) m]2 Um dx 20 EI L
(4.5.2)
Penerapan teorema II Castigliano dalam Pers. (4.4.9) atas bentuk dalam Pers. (4.5.2) memberikan
b
sehingga diperoleh
U m [ P ( L x) m] (1)dx m 0 EI L
b
PL2 mL 2 EI EI 54
(4.5.3)
(4.5.4)
dan karena m adalah palsu, maka nilai m 0 dimasukkan ke dalam Pers. (4.5.4) untuk mendapatkan hasil akhir, yaitu
b
PL2 2 EI
(4.5.5)
θb Y P
A
X
L,EI P
x m=0 M(x)
Gambar 4.5.1: Penerapan Metoda Gaya Palsu 4.6 Teorema Timbal Balik Maxwell-Betti Teorema Castigliano berurusan dengan gaya dan perpindahan pada lokasi yang sama dalam struktur. Sekarang dapat muncul pertanyaan, bagaimana kita dapat menghitung perpindahan pada suatu lokasi akibat gaya yang bekerja di lokasi lain? Pertanyaan ini dapat dijawab dengan teorema Betti, yang kemudian disempurnakan oleh Maxwell, sehingga akhirnya dinamakan teorema Maxwell-Betti, sebagai berikut. Untuk menjelaskan teorema ini, pandanglah suatu sistem struktur dengan dua skema pembebanan ( Pi , i 1, m) dan (Q j , j 1, n) seperti dalam Gambar 4.6.1. Jika gaya Pi bekerja sendiri, timbul perpindahan (ui , i 1, n) , dan jika Q j bekerja sendiri,
timbul (Vi , i 1, n) . Perpindahan total menurut hukum superposisi menjadi
wi ui vi ; i 1, n
(4.6.1)
sehingga hubungan kerja dalam dan kerja luar diberikan oleh
1 m 1 Pi ui 2 i1 2
Q w n
j m1
j
j
1 w wdV 2 V
(4.6.2)
Jika diandaikan Pi bekerja terlebih dahulu, baru Q j menyusul, maka u i sudah ada pada saat Q j dikerjakan. Dalam hal ini, kaitan kerja luar dan energi regangan menjadi
1 m Piui 2 i1
Q u n
j m1
j
j
1 2
Q v n
j m1
j
j
1 1 u u dV v u dV v vdV 2 V 2 V V 55
(4.6.3)
Y
P1
Qm+1
P2
Pm
Qm+2
Qn X
Pm
P2
P1
(a) struktur
(b) Pi bekerja Um+1
Um+2
Q1
Q2
Un Qn
(c) Qi bekerja V1
V2
Vn
Gambar 4.6.1: Teorema Betti Di lain pihak, jika Q j dikerjakan terlebih dahulu baru Pi menyusul kemudian, ini berarti bahwa vi telah ada saat Pi dikerjakan. Dalam hal ini diperoleh m 1 m 1 P u Pi vi i i 2 i1 2 i 1
Q v n
j m1
j
j
1 1 u u dV u vdV v vdV 2 V 2 V V
(4.6.4)
Karena hasil harus sama dan tidak tergantung dari urutan bekerjanya gaya, maka dari Pers.(4.6.2), (4.6.3) dan (4.6.4) diperoleh
Pi vi m
i 1
Q u n
j m1
j
j
(4.6.5)
Bentuk dalam Pers. (4.6.5) yang merupakan teorema Betti menyatakan bahwa kerja yang dilakukan oleh suatu pola gaya di arah perpindahan akibat pola gaya yang lain, sama dengan kerja yang dilakukan oleh pola gaya yang kedua di arah perpindahan akibat pola gaya yang pertama tadi. Selanjutnya, teorema Betti yang dinamakan hukum timbal balik (reciprocal theorem), merupakan kondisi khusus dari teorema Maxwell, di mana ditinjau kaitan dua gaya yang bernilai satuan gaya, sehingga Pers. (4.6.5) memberikan 56
(1)(v1 ) (1)(u2 )
(4.6.6)
yang memiliki interpretasi bahwa perpindahan di suatu tempat pertama akibat suatu satuan gaya di suatu tempat kedua, sama dengan perpindahan di lokasi kedua akibat satu satuan gaya di tempat pertama. Keampuhan dari teorema timbal balik ini dapat didemonstrasikan dalam contoh yang ada dalam Gambar 4.6.2. Kita ingin menghitung perpindahan di ujung bebas akibat P pada lokasi sejarak a dari jepitan A . Penentuan ini dengan cara biasa akan cukup sulit, karena fungsi perpindahan dan gaya-gaya dalam pada segmen AB berbeda dengan yang ada pada segmen (bidang momen berbeda antara segmen AB dan BC , dan karenanya perpindahan pada kedua segmen batang tersebut juga akan berbeda). Sekarang, kita mengerjakan Q 1 pada ujung C , dengan solusi yang sangat mudah, karena dalam kasus ini, kita memiliki fungsi perpindahan dan gaya dalam yang manunggal. Akibat Q 1 ini, diperoleh hasil dengan menerapkan Pers. (3.7.64) sebelumnya yaitu
2 3 (1)( L3 ) a a vB 3 6 EI L L
Y
(4.6.7)
P A
B
X
C
a
(a) batang
(L – a)
(uc)P
(b) P bekerja
1 (c) Q=1 bekerja
VB
Gambar 4.6.2: Penerapan Teorema Maxwell-Betti Menurut teorema Maxwell-Betti dalam Pers. (4.6.6), diperoleh
sehingga diperoleh hasil
(vB )( P ) (uC )(1) 2 3 PL3 a a uC 3 6 EI L L
Sebagai pemeriksaan, untuk a L , diperoleh 57
(4.6.8)
(4.6.9)
uC 4.7
PL3 3EI
(4.6.10)
Prinsip Müller-Breslau
Prinsip Müller-Breslau bermanfaat untuk diterapkan di dalam penyusunan garis pengaruh dalam kasus sistem struktur dengan beban bergerak. Prinsip ini sendiri disusun berdasarkan teorema Betti sebagai yang akan disajikan berikut ini Kita meninjau suatu balok dengan bentang L seperti dalam Gambar 4.7.1. Jika kita ingin menyusun garis pengaruh dari momen pada penampang pada lokasi sejarak
xc dari A , maka kita menghapus kekangan pada penampang yang menimbulkan momen M c tersebut, yaitu dengan memberi sendi dalam pada penampang tersebut,
kemudian diberi rotasi sebesar satu satuan, yaitu c 1 . Akibat dari rotasi tersebut, timbul perpindahan badan kaku dari balok dengan perpindahan
C
x xC ( L xC ) ; 1 1 ( L xC ) ; L L
2
xC ( L x2 ) L
(4.7.1)
Kita sekarang menerapkan teorema Betti atas gaya-gaya dan perpindahan dalam model Gambar 4.7.1(b) dan 4.7.1(c) sebagai
( Ra v )(0) ( P1 )(1 ) (MC )(1) ( P2 )(2 ) ( Rbv )(0) 0 MC ( P1 )(1 ) ( P2 )(2 )
yang menghasilkan
(4.7.2)
(4.7.3)
Y P2
P1
A x1
B
xc
η1
X
(a) balok
x2
ηc
η2
(b) θc = 1
θ=1 Vc Rav
Mc
(c) badan bebas
Rbv
Vc
Gambar 4.7.1: Penurunan Prinsip Müller-Breslau 58
yang menuruti sifat khas daripada suatu garis pengaruh. Dengan demikian, pola perpindahan badan kaku yang diperoleh dengan melepaskan kekangan yang mengerahkan momen M c ,
dan pada lokasi pelepasan kekangan tersebut (dalam
contoh ini sendi dalam) dikerjakan satu satuan perpindahan (dalam contoh ini, satu satuan notasi), seperti terlihat dalam Gambar 4.7.1(b), adalah garis pengaruh yang dimintakan bagi gaya yang diminati. Dengan demikian, untuk penyusunan garis pengaruh, prinsip Müller-Breslau dapat diterapkan dengan menjalankan suatu prosedur sebagai berikut. 1.
Lepaskanlah kekangan yang mengerahkan gaya yang diminati serta yang garis pengaruhnya ingin disusun. Pelepasan ini akan memperkenankan kecenderungan terjadinya perpindahan pada garis kerja gaya.
2.
Melawan arah perpindahan akibat pelepasan tersebut, diberikan satu-satuan perpindahan.
3.
Perpindahan balok akibat pelepasan kekangan dan pengerjaan satu satuan perpindahan di arah gaya, memberikan konfigurasi akhir dari balok yang sekaligus merupakan bentuk dari garis pengaruh yang diinginkan. Untuk struktur contoh dalam Gambar 4.7.2 misalnya, jika diminati garis pengaruh
gaya reaksi Ra v , maka kekangan yang mengerahkan Ra v tersebut, dalam hal ini perletakan sendi, dilepaskan. Lalu, ujung A yang sudah bebas tersebut diberi satu satuan perpindahan seperti dalam Gambar 4.7.2, yaitu perpindahan translasi di arah gaya Ra v . Dengan demikian, telah didapatkan garis pengaruh terhadap Ra v , dari gaya yang berjalan di atas bentang AB , seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.7.2(c).
A
(a) balok
Rav (b) kekangan dilepas (1-
1,0
x )(1) L
(c) garis pengaruh Rav
x
Gambar 5.9: Penerapan Prinsip Müller-Breslau 4.8
Metoda Bidang Momen
Metoda bidang momen merupakan pemanfaatan persamaan kelengkungan balok lentur, dalam perhitungan perpindahan dan rotasi balok. Metoda bidang momen 59
(moment area method) disusun dengan menggunakan persamaan kelengkungan yang telah diturunkan dalam Pasal 2.4, yaitu
d 1 M ( x) EI zz dx
(4.8.1)
yang jika diintegrasikan di sepanjang bentang xa xa , memberikan
b a
Xb
M ( x) dx EI zz Xa
(4.8.2)
Interpretasi dari Pers. (4.8.2) adalah bahwa luas bidang momen dibagi EI , memberikan perubahan sudut kemiringan antara dua penampang pada batang. Interpolasi ini dapat dijadikan dasar untuk menurunkan rumus yang lebih formal sebagai berikut. Y oa
B’
ba
A’
ab
ob
B
A
X
(a) balok
dob
do
kaku
B
A
(b) balok semi-kaku
ℓ = xb -xa
M(x) EI
A X
ξ
B dξ
X
(c) bidang momen
ℓ -ξ
Gambar 4.8.1: Metoda Bidang Momen Tinjaulah suatu balok lentur seperti dalam Gambar 4.8.1. Untuk balok pada segmen AB sepanjang L , kita dapat mengisolir sumbangan rotasi yang dikerahkan oleh segmen batang sepanjang d , dengan memisalkan bagian batang lainnya dalam
segmen di luar segmen d tersebut, kaku tak terhingga, seperti dalam Gambar 4.8.1(b). Dengan demikian, diperoleh 60
d a
M ( ) d d ; EI zz
sehingga
d b
M ( ) a d ; l EI zz Xa Xb
d
b
Xa
EI zz
M ( )
l
Xb
M ( )
EI zz
d
d
(4.8.3)
(4.8.4)
dan perpindahan tangensial a b dan ba yang diberikan oleh
a b a ( ) Xb
M ( ) b d EI zz Xa Xa
ba
M ( ) d EI zz
Xb
(4.8.5)
Persamaan (4.8.4) dan (4.8.5) masing-masing memberikan rotasi dan perpindahan dalam suatu segmen balok dengan bidang momen dan kekakuan lentur EI yang diketahui. 4.9
Teorema Balok Konyugasi
Metode balok konyugasi (conjugate beam) merupakan suatu varian lain daripada pemanfaatan bidang momen dibagi dengan faktor EI , sebagai “beban” dalam perhitungan perpindahan dan rotasi balok. Untuk itu, kita menuliskan kembali bentuk dalam Pers. (4.8.1) bagi balok dalam Gambar 4.8.1, yaitu
d yang memberikan
dan
da
M ( x) dx EI zz
x L x d ; db d L L
dw( x) xda
x( L x) d L
(4.9.1)
(4.9.2)
(4.9.3)
Yang menarik dari bentuk Pers. (4.9.2) dan (4.9.3) adalah bahwa jika d dalam Pers. (4.9.1) dipandang sebagai gaya di atas suatu “balok”, maka gaya lintang dalam Pers. (4.9.2) dan momen pada Pers. (4.9.3) masing-masing memberikan rotasi dan perpindahan balok yang sesungguhnya. Suatu “balok” yang memiliki sifat seperti ini dinamakan balok konjugasi (conjugate beam). Pertanyaan kita sekarang adalah bagai mana syarat-syarat batas pada balok konjugasi harus dipilih, agar solusi yang diperoleh dari peninjauan balok konyugasi dapat memberikan perpindahan yang memenuhi syarat-syarat batas balok yang sesungguhnya. Kita melihat bahwa ada kaitan antara balok sebenarnya dengan balok konyugasi, sebagaimana disajikan dalam Tabel 4.9.1. Untuk ujung bebas balok
ˆ dan geser sebenarnya, perpindahan w dan rotasi adalah bebas, sehingga momen M 61
Vˆ dalam balok konjugasi dibuat tidak nol. Ini berarti bahwa ujung bebas balok sebenarnya diwakili oleh ujung jepit pada balok konjugasi. Untuk perletakan sendi balok
ˆ 0 . Ini sebenarnya, 0 dan w 0 , sehingga dalam balok konjugasi Vˆ 0 dan M berarti bahwa perletakan sendi balok sebenarnya diwakili oleh perletakan sendi pada balok konjugasi. Untuk jepitan pada balok sebenarnya, maka w 0 dan 0 ,
ˆ 0 dan Vˆ 0 . Dengan demikian, ujung jepit sehingga pada balok konjugasi, M diwakili oleh ujung bebas pada balok konjugasi. Lihat Tabel 4.9.2 sebagai penjelasan. Tabel 4.9.1: Hubungan Balok Dengan Balok Konyugasi balok
konyugasi
beban
q
perpindahan
w
M
momen
rotasi
0
V
gaya geser
momen
M
M =q EI
beban
Yang perlu dicatat adalah bahwa metoda balok konjugasi ini dapat memberikan kemudahan, atau justru kerumitan di dalam perhitungan perpindahan dan rotasi balok sebenarnya. Efektifitas penerapan metoda balok konjugasi tergantung kepada kondisi balok yang dihadapi. Tabel 4.9.2: Perletakan Balok Dengan Balok Konyugasi
balok
balok konyugasi
jepitan
bebas
sendi
sendi
bebas
jepitan
4.10 Contoh Penerapan Contoh 4.1: Dengan tidak menyusun fungsi perpindahan secara formal lewat integrasi persamaan diferensial terlebih dahulu, terapkanlah teorema Castigliano untuk menghitung perpindahan tengah bentang balok sederhana dalam Gambar 4.10.1 akibat gaya terpusat P .
62
Y
L/2
L/2 P
A
B EI
C
X
(a) balok
x PL/4
(b) bidang momen
M(x)
Gambar 4.10..1: Struktur Contoh 4.1 Penyelesaian: Bidang momen untuk balok ini dapat disusun dalam bentuk
1 L L M ( x) Px P x h x 2 2 2
(4.10.1)
di mana h adalah fungsi tangga (step function), sehingga
1 L L M ( x) x x h x P 2 2 2
(4.10.2)
Menurut teorema Castigliano, perpindahan wc dapat ditentukan dengan penurunan energi regangan terhadap gaya P yang kebetulan searah dengan wc . Jadi
wc
U M ( x) M ( x) dx P P EI
L/ 2
0
P 1 PL3 L x P [ ][ x]2 dx dx EI 2 2 2 EI 48EI L/ 2 L
2
(4.10.3)
Contoh 4.2: Dengan cara Castigliano, hitunglah reaksi perletakan B akibat gaya terpusat P pada ujung bebas struktur balok dalam Gambar 4.10.2. Penyelesaian: Dengan melepas perletakan sendi di B dan mengerjakan Rbv sebagai gaya luar, diperoleh momen lentur
dan
M ( x) P (2L x) Rbv ( L x)[1 h( x L)]
63
(4.10.4)
M ( x) ( L x)[1 h( x L)] RBV
(4.10.5)
P
Y A
B
X
L
(a) balok
L P
A
(b) sistem statis tentu Rbv
(c) perpindahan
wb = 0
Gambar 4.10.2: Struktur Contoh 4.2 Menurut teorema Castigliano, perpindahan di B diberikan oleh turunan dari pada energi regangan terhadap gaya translasi di arah perpindahan yang ditanyakan. Dengan demikian, dapat dituliskan
wb
M ( x) M ( x) U dx EI Rbv Rbv
[ EI ][P (2L x) R L
1
bv
[
0
2L
L
( L x)]( L x)dx
(4.10.6)
1 5PL3 RbvL3 ][P (2 L x) Rbv ( L x)](0)dx 6 EI 3EI EI
Kita mengetahui bahwa perpindahan di arah Rbv adalah nol; jadi
dengan solusi
5PL3 RbvL3 0 6 EI 3EI
(4.10.7)
5 Rbv P 2
(4.10.8)
Contoh 4.3: Dengan metode beban palsu, hitunglah rotasi titik A akibat gaya terpusat P pada tengah bentang struktur Contoh 4.1. Penyelesaian:
Karena tidak ada gaya di arah a (dalam hal ini momen), momen palsu ma 0
dikerjakan pada titik A di arah positif. Dengan demikian, bidang momen menjadi 64
1 L L x M ( x) Px P ( x )h( x ) (1 )ma 2 2 2 L dari mana diperoleh
x M ( x) (1 ) L ma
(4.10.9)
(4.10.10)
Menurut teorema beban palsu, diperoleh
a
M ( x) M ( x) U dx EI ma ma
L/ 2
0
Px x P x PL2 ( )(1 )dx ( )( x L)(1 )dx L L 2 EI 2 EI 16 EI L/ 2 L
(4.10.11)
Contoh 4.4: Dengan metode balok konjugasi, tentukanlah perpindahan dan notasi pada ujung bebas balok kantilever yang diperagakan dalam Gambar 4.10.4 akibat gaya terpusat P pada ujung tersebut. Penyelesaian: Karena pada balok, kondisi ujung A adalah terjepit dan B bebas, maka dalam balok konjugasi A menjadi ujung bebas dan B ujung terjepit seperti dalam Gambar 4.10.4(d). Bidang momen dibagi faktor EI dalam Gambar 4.10.4(c) balok asli, menjadi gaya luar pada balok konjugasi. Gaya geser dan momen pada titik B balok konjugasi, memberikan rotasi dan perpindahan ujung B pada balok asli. Dengan demikian, diperoleh
PL2 1 PL 2 L PL3 1 PL ; wb L L 2 EI 3 3EI 2 EI 2 EI
a Y
(4.10.12)
P A
X
B EI,L
θb wb
L/3
(a) batang
(b) perpindahan
2L/3
PL/EI
(c) bidang momen/EI
2
PL /(2EI)
A’
B’
(d) balok konyugasi
Gambar 4.10.4: Struktur Contoh 4.4 65
Contoh 4.5: Dengan metode balok konyugasi, hitunglah momen pada perletakan jepitan A sistem struktur seperti dalam Gambar 4.10.5. Penyelesaian: Kita menyusun bidang momen yang dibagi dengan faktor EI , di mana besaran
M a belum diketahui. Balok konjugasi diperoleh dengan melihat bahwa wa 0, a 0
sehingga titik A menjadi ujung bebas dalam balok konjugasi. Karena b 0, wb 0 , maka ujung B dibuat terjepit dalam balok konjugasi. Pada titik C, c 0 tetapi wc 0 ; karena itu, titik C menjadi sendi dalam pada perletakan balok konyugasi, seperti dalam Gambar 4.10.5(c). Karena momen harus nol pada sendi dalam penampang C balok konjugasi, maka haruslah
1 M a L 2 L PL L L L ( ) 0 2 EI 3 EI 2 3
sehingga
Ma
1 PL 2
Y
(4.10.13)
P C
A
B L,EI
L,EI
PL/EI
X
(a) balok
(b) bidang momen/EI
Ma/EI A
C
sendi dalam
B
(c) balok konyugasi
Gambar 4.10.5: Struktur Contoh 4.5 Sebagai tambahan, penerapan metoda konjugasi dalam menghitung perpindahan dan rotasi di titik B , justru lebih sulit dari pada perhitungan yang sama dalam balok biasa, karena segmen CB merupakan sistem statis tidak tentu dalam versi balok konjugasi. Contoh 4.6: Dengan metoda Castigliano, tentukanlah gaya reaksi dan perpindahan pada perletakan C struktur dalam Gambar 4.10.6 akibat gaya horisontal P pada titik B . 66
Penyelesaian:
Ada dua komponen perpindahan pada titik C , yaitu hc dan c . Perpindahan
vertikal di C adalah nol, tetapi reaksi Rbv yang dalam ini kita ambil sebagai gaya
kelebihan. Untuk menentukan c , kita akan menggunakan metoda beban palsu dengan mengerjakan M c 0 pada C . Untuk menentukan hc , kita akan menurunkan energi regangan terhadap gaya P , karena hc searah dengan gaya P . Momen lentur menjadi
CB: BA:
M ( s) Rbvs M c
M (t ) Rbvl M c P t Rbv
P
C
P
RbvL Mc=0
L,EI
B
Mc=0
t s
L,EI
+
+
Mc=0
+ + _
A
PL
(b) sistem statis tentu
(a) struktur
Mc=0
RbvL
(c) bidang momen
Gambar 4.10.6: Struktur Contoh 4.6 dengan
M (s) 0 ; M (s) s ; M ( s ) 1; P Rbv M c
M (t ) t ; M (t ) L ; M (t ) 1 P Rbv M c
(4.10.14)
Menurut teorema Castigliano, diperoleh
RbvL3 PL3 M (t ) M (t ) M ( s) M ( s) dt ds hc P P EI 2 EI 3EI EI 0 0 L
vc L
L
R L3 R L3 PL3 M ( s ) M ( s ) M (t ) M (t ) 0 ds dt bv bv EI Rbv EI Rbv EI 3EI 2 EI 0 L
RbvL2 RbvL2 PL2 M ( s) M ( s ) M (t ) M (t ) ds c dt EI M c EI M c 2 EI EI 2 EI 0 0 0
L
L
67
dengan solusi
7 PL3 3 PL2 ; vc 0 ; c Rbv P ; hc 48EI 16 EI 8
(4.10.15)
Contoh 4.7: Dengan metoda Castigliano, hitung gaya-gaya serta perpindahan ujung balok akibat gaya momen M yang bekerja langsung pada ujung B , seperti dalam Gambar 4.10.7. Penyelesaian: Momen jepit M a pada ujung A dipandang sebagai gaya kelebihan. Bidang momen pada sistem statis tentu dalam Gambar 4.10.7(b) menjadi
x x M ( x) (1 ) M a M L L dari mana diperoleh
x x M ( x) M ( x) (1 ) ; L L M M a
Y B
A Ma
B
A
(4.10.17)
M X
EI,L
(4.10.16)
X
(a) balok
(b) sistem statis tentu
Gambar 4.10.7: Struktur Contoh 4.7 Menurut teorema Castigliano, perpindahan dapat diperoleh dengan rumus
a
M L ML M ( x) M ( x) U dx a M a 0 EI M a 3EI 6 EI L
M L ML M ( x) M ( x) U b dx a M 6 EI 3EI M 0 EI L
(4.10.18)
Syarat batas natural diberikan oleh persyaratan keserasian perpindahan pada titik A , yaitu
a 0
(4.10.19)
yang jika dimasukkan dalam bentuk persamaan sebelumnya, menghasilkan
Ma
1 ML M ; b 2 4 EI 68
(4.10.20)
Contoh 4.8: Kerjakanlah kembali Contoh 4.7 namun dalam kesempatan ini digunakan metoda balok konyugasi. Penyelesaian: Bidang momen dalam Contoh 4.7 yang dibagi dengan faktor EI , menjadi gaya balok konyugasi dari sistem struktur balok Gambar 4.10.7. Keseimbangan gaya di arah vertikal dan momen terhadap sendi B balok konyugasi memberikan
Rbv
1 Ma 1M L L0 ; 2 EI 2 EI
yang menghasilkan:
Ma
1 M a 2L 1 M L L( ) L( ) 0 2 EI 3 2 EI 3
1 ML M ; b RbvL 2 4 EI
(4.10.21)
M/EI (a) beban balok konyugasi Ma/EI L/3
L/3
L/3 B
A
(b) balok konyugasi
Gambar 4.10.8: Struktur Contoh 4.8 Contoh 4.9: Sistem struktur balok dengan bentang L dan kekakuan lentur EI yang bervariasi, dibebani gaya P seperti dalam Gambar 4.10.9. Dengan metoda Castigliano, hitung rotasi pada ujung-ujung dan perpindahan pada titik tengah bentang. Penyelesaian:
Untuk dapat menghitung a , b ,
dan c
pada arah rotasi-rotasi tersebut
dikerjakan M a , 0, Mb 0 dan M c 0 , sedangkan untuk menentukan wc , kita sudah memiliki gaya P di arah wc tersebut. Bidang momen menjadi
L x x x M ( x) (1 ) M a Mb [ h( x )]M c L L L 2 dari mana diperoleh
69
(4.10.22)
x x M ( x) (1 ) ; M ( x) ; M a L M b L
x L x L L M ( x) h( x ) ; M ( x) ( x )h( x ) M c 2 P 2 2 2 L
Y Ma=0
P
L A C
EI
L
B
X
EI
(4.10.23)
(a) balok non-prismatis
PL/4 Ma=0
+
Mb=0 (b) bidang momen
Mc/2=0
+ Mc/2=0
Gambar 4.10.9: Struktur Contoh 4.9 Menurut metoda beban palsu, perpindahan menjadi
M ( x) M ( x) M ( x) M ( x) PL2 PL2 2 1 dx dx a (1 ) (2 ) ; b EI M b EI M a 48EI 48EI 0 0 L
c L
0
L
M ( x) M ( x) M ( x) M ( x) PL 1 1 PL dx (1 ) ; wc (1 ) dx EI M c 48EI P 96 EI EI 0 2
L
(4.10.24)
2
Untuk kasus khusus berupa balok prismatis, 1 , sehingga diperoleh
a
PL3 PL2 PL2 ; b ; c 0 ; wc 16 EI 16 EI 48EI
(4.10.25)
Contoh 4.10: Dengan menggunakan metoda balok konjugasi, tentukan perpindahan dan rotasi balok Contoh 4.9 akibat gaya terpusat P pada tengah bentang. Penyelesaian: Bidang momen dibagi EI sebagai gaya luar terhadap balok konyugasi dari struktur Gambar 4.10.9, diperlihatkan dalam Gambar 4.10.10. Dari konsiderasi balok konyugasi ini diperoleh
70
PL L 2 L PL L L LRa v 0 4 EI 4 3 4EI 4 3 PL L L PL L 2 L LRbv 0 4 EI 4 3 4EI 4 3 yang menghasilkan
Ra v
PL2 PL2 1 2 (2 ) ; Rbv (1 ) 48EI 48EI
(4.10.26)
PL/(4EI)
PL/(4 EI) (a) beban balok konyugasi L/2
L/2 C
A
B EI
EI (b) balok konyugasi
Gambar 4.10.10: Struktur Contoh 4.10 Momen dan geser pada lokasi C adalah
PL2 1 PL L Vc Ra v (1 ) 48EI 4 EI 4 PL2 1 L PL L M c Ra v (1 ) 96 EI 2 4 EI 6
(4.10.27)
Dengan demikian, diperoleh
a
1 2 PL2 PL2 (2 ) ; b (1 ) ; 48EI 48EI 2 2 PL PL 1 1 (1 ) ; wc (1 ) c 48EI 96 EI
(4.10.28)
yang sama dengan hasil yang diperoleh dalam Contoh 4.9. Terlihat bahwa khusus untuk sistem struktur ini, cara balok konjugasi memberikan proses perhitungan yang lebih sederhana. 71
4.11 Rangkuman Dalam bab ini telah disajikan beberapa hukum dan teorema yang sangat penting dan bermanfaat dalam analisis sistem struktur. Semua teorema yang diturunkan, khususnya berkaitan dengan kriteria keserasian perpindahan dan keseimbangan gaya, serta yang nantinya akan sangat sering diterapkan didalam analisis struktur baik dalam metoda gaya maupun metoda perpindahan. Berkaitan dengan metoda gaya, akan terlihat nantinya bahwa sering diperlukan untuk menghitung komponen perpindahan translasi maupun rotasi pada titik-titik tertentu. Keterampilan dalam menghitung perpindahan yang terkait medan gaya yang berseimbang, dengan demikian sangatlah penting dimiliki untuk digunakan dalam analisis struktur dengan metoda gaya. Dalam hal ini, teorema II Castigliano akan sangat bermanfaat untuk diterapkan. Berkaitan dengan metoda perpindahan, akan terlihat nantinya bahwa sering diperlukan untuk menghitung komponen gaya-gaya translasi maupun momen pada titiktitik tertentu. Keterampilan dalam menghitung gaya-gaya yang terkait dengan medan perpindahan yang serasi, dengan demikian sangatlah penting dimiliki untuk digunakan dalam analisis struktur dengan metoda perpindahan. Dalam hal ini, teorema I Castigliano akan sangat bermanfaat untuk diterapkan. 4.12 Soal-soal Soal 4.1: Dengan cara Castigliano, tentukanlah gaya reaksi perletakan B dalam struktur Gambar 4.12.1 akibat gaya terdistribusi q0 pada segmen balok BC . Soal 4.2: Dengan metoda Castigliano, hitung gaya-gaya ujung balok dalam Gambar 4.12.2 akibat gaya merata q0 pada paroh bentang kiri. Y
Y
q0
q0 A EI,L
X
X
B EI,L
A
C
Gambar 4.12.1: Struktur Soal 4.1
EI,L/2
C
EI,L/2
B
Gambar 4.12.2: Struktur Soal 4.2
Soal 4.3: Dengan cara Castigliano, hitung gaya-gaya ujung pada penampang C balok menerus akibat gaya terpusat pada tengah kedua bentang. Soal 4.4: Dengan cara Castigliano, hitung gaya-gaya ujung balok akibat gaya momen M pada titik penampang B . Soal 4.5: Dengan teorema Castigliano, hitung rotasi pada titik B akibat gaya momen M yang bekerja pada titik tersebut.
72
Y
P
Y
P
A
C
B EI,L
X
M
A
EI,L
C
EI,L
Gambar 4.12.3: Struktur Soal 4.3
X
EI,L
B
Gambar 4.12.4: Struktur Soal 4.4
Soal 4.6: Kerjakanlah kembali Soal 4.5, namun kali ini dengan metoda balok konyugasi. Soal 4.7: Dengan metoda gaya maya, hitunglah rotasi pada sendi S akibat gaya momen M dalam Gambar 4.12.5. Soal 4.8: Dengan cara gaya maya, tentukanlah rotasi pada sendi S akibat gaya terpusat P seperti dalam Gambar 4.12.6. Y
Y P S
A EI,L
M
EI
A
EI,L
B
X
S
L
Gambar 4.12.5: Struktur Soal 4.5, 4.6 dan 4.7
EI L/2
B L/2
X
Gambar 4.12.6: Struktur Soal 4.8
Soal 4.9: Dengan teorema Castigliano, hitunglah perpindahan vertikal dan horisontal ujung balok C akibat gaya terpusat P yang bekerja pada arah miring sesudut α terhadap garis horisontal pada ujung bebas tersebut. Soal 4.10: Dengan metoda gaya palsu, hitunglah rotasi di titik C akibat gaya terpusat P seperti dalam Gambar 4.12.7. P
Y C B
L,EI
L,EI
X
A
Gambar 4.12.7: Struktur Soal 4.9 dan 4.10
73
74
BAB V PEMODELAN SISTEM STRUKTUR
5.1
Umum
Struktur adalah suatu sistem yang mengambil tempat dalam ruang, dengan komponen atau bagian yang memiliki ukuran-ukuran tertentu. Struktur dapat merupakan sistem yang kompleks, yang jika tidak dimodelkan dengan suatu bentuk yang lebih sederhana, akan sulit dianalisis dengan cara tertentu, baik cara eksak maupun cara numerik. Sebelum melakukan proses analisis, pemodelan struktur merupakan suatu langkah awal untuk mendapatkan suatu model analisis untuk digunakan sebagai representasi sistem struktur sebenarnya. Model representasi ini tentulah tidak persis sama dengan struktur nyata, karena mendapatkan sistem yang relative mudah, sering diperlukan langkah penyederhanaan (simplikasi) yang membutuhkan asumsi pendekatan. Bab ini bertujuan untuk membahas pemodelan struktur, yang mencakup proses diskritisasi dalam Pasal 5.2, vektor perpindahan dan gaya dalam Pasal 5.3, kriteria keseimbangan dan keserasianperpindahan dalam Pasal 5.5. Aspek ketidaktentuan statis dan kinematis disajikan dalam Pasal 5.5, yang diikuti dengan aturan hubungan gayadan perpindahan dalam Pasal 5.6. Aspek transformasi antara tata sumbu yang mengkaitkan vektor perpindahan dan gaya., disajikan dalam Pasal 5.7. Beberapa contoh penerapan yang merupakan latihan pendalaman materi disajikan dalam Pasal 5.8. 5.2
Diskritisasi Struktur
Sebagai mana umumnya di dalam metoda analisis numerik lainnya, metoda matriks analisis suatu struktur juga didasarkan atas model diskrit dari struktur yang ditinjau. Model diskrit ini diperoleh dengan cara membagi-bagi struktur atas sejumlah elemen di mana setiap elemen dilingkupi oleh pembatas (berupa bidang untuk struktur elemem tiga dimensi, garis untuk elemen dua dimensi,dan titik elemen untuk satu dimensi). Dengan demikian, elemen merupakan bagian terkecil dari struktur yang ditinjau. Kemudian, pada pada pembatas antara elemen (dan kadang-kadang di dalam elemen) diambil titik simpul sebagai lokasi percontohan (sampling) komponen medan tertertu (misalnya medan perpindahan, gaya, dan lain-lain) yang mewakili medan tersebut untuk keseluruhan struktur. Di dalam struktur berbentuk rangka, dapat dimengerti bahwa titik juga sekaligus berfungsi sebagai pembatas antara elemen. Titik simpul pada struktur rangka secara taktis dapat diambil pada lokasi di mana terjadi perobahan mendadak dari sifat bahan atau geometri dari sruktur, atau tempat bekerjanya beban titik ataupun terpusat. Sebagai contoh, struktur dalam Gambar 5.2.1 75
dapat dimodel dengan beberapa elemen seperti dalam Gambar 5.2.1(b) sampai 5.2.1(d). Tentunya di samping ketiga model ini masih banyak lagi diskrit yang dapat digunakan. Karena analisis di dalam model diskrit hanya mengenal bsaran pada titik-titik simpul, maka medan gaya, perpindahan, deformasi, atau medan-medan lainnya, harus terlebih dahulu diolah dengan suatu cara tertentu sedemikian hingga terwakili oleh besaran pengganti (representatif) pada titik simpul. Dalam hal ini medan perpindahan ataupun medan lainnya dalam seluruh titik bermateri struktur diambil sebagai interpolasi dari besaran atau komponen titik simpul. Besaran-besaran titik simpul merupakan besaran-besaran anu yang belum diketahui dan yang nantinya akan ditentukan dalam analisis struktur. Sebagai contoh, kita meninjau suatu struktur portal dalam Gambar 5.2.1(a), yang dimodel dengan 3 macam. Dalam model 1 yang diperlihatkan dalam Gambar 5.2.1(b), titik E dan F sebagai titik tangkap gaya terpusat tidak disertakan atau dipilih sebagai titik simpul. Dalam model ini, struktur dibagi atas 3 elemen batang, yaitu batang AB , BC dan CD masing-masing sebagai elemen 1, 2 dan 3 dengan titik A , B , C dan D sebagai titik simpul. Dengan demikian, gaya terpusat pada titik E merupakan gaya interior elemen 1 dan gaya terpusat pada titik F merupakan gaya interior elemen 2. Titik simpul A dan D merupakan perletakan. Dalam model 2 yang ditunjukkan Gambar 5.2.1(c), titik F sebagai titik tangkap gaya terpusat tidak disertakan atau dipilih sebagai titik simpul. Dalam model ini, struktur dibagi atas 4 elemen batang, yaitu batang AE , EB , BC dan CD masing-masing sebagai elemen 1, 2, 3 dan 4 dengan titik A, E , B , C dan D sebagai titik simpul. Dengan demikian, gaya terpusat pada titik E merupakan gaya titik simpul E dan gaya terpusat pada titik F merupakan gaya interior elemen 2. Titik simpul A dan D merupakan perletakan. Dalam model 3 yang ditunjukkan Gambar 5.2.1(d), titik F sebagai titik tangkap gaya terpusat juga disertakan atau dipilih sebagai titik simpul. Dalam model ini, struktur dibagi atas 5 elemen batang, yaitu batang AE , EB , BF , FC dan CD masing-masing sebagai elemen 1, 2, 3, 4 dan 5 dengan titik A, E , B, F , C dan D sebagai titik simpul. Dengan demikian, gaya terpusat pada titik E merupakan gaya titik simpul E dan gaya terpusat pada titik F merupakan gaya titik simpul F . Titik simpul A dan D juga merupakan perletakan. Dalam model 1, gaya terpusat pada titik E yang bukan titik simpul, dan gaya terpusat pada titik F yang juga bukan titik simpul, perlu digantikan atau diwakili oleh komponen-komponen gaya yang bekerja di arah derajat kebebasan titik-titik simpul yang membatasi elemen yang bersangkutan pada mana gaya luar bekerja. Demikian juga halnya gaya terpusat pada titik F yang bukan titik simpul dalam model 2. Dalam model 3, semua gaya-gaya terpusat merupakan gaya titik simpul yang nantinya dapat disertakan dalam persamaan global struktur (persamaan keseimbangan ataupun keserasian perpindahan). 76
Y
V
V B
C
B P
P X
A
D
1
3 elemen P, V beban elemen
D (b) model 1
V B
3
V B
C
2 E 1 A
3
A
(a) struktur
Z
P
C
2
3 2
P
4 4 elemen V beban elemen P beban titik simpul
1 D
(b) model 2
E
4
F
C
5 5 elemen P, V beban titik simpul
A
(b) model 3
D
Gambar 5.2.1: Diskritisasi Struktur Pengambilan atau pemilihan model diskrit sebagai representasi struktur yang sebenarnya dalam proses analisis, merupakan langkah yang sangat subyektif karena sangat tergantung kepada kemauan atau bahkan selera perekayasa. Semakin banyak jumlah elemen, dan dengan dengan demikian jumlah titik simpul dan orde persamaan simultan, maka semakin halus model yang digunakan serta kemungkinan semakin teliti hasil perhitungan yang diperoleh, namun semakin tinggi upaya (effort) perhitungan yang harus dilakukan. 5.3
Vektor Perpindahan dan Gaya
Dalam modelisasi struktur, langkah awal dimulai dengan memilih titik-titik simpul (nodes) yang berperan sebagai batas-batas elemen sekaligus sebagai titik-titik penghubung antar elemen atau perletakan. Pada titik-titk simpul, diperkenalkan derajat kebebasan (degrees of freedom). Untuk kasus struktur ruang (tiga dimensi) kaku, pada masing-masing titik simpul di arah sumbu ( X, Y, Z ) diambil komponen perpindahan translasi serta komponen vektorial perpindahan rotasi, yang menghasilkan 6 derajat kebebasan. Di masing-masing arah vektorial perpindahan juga dipasangkan komponen vektorial gaya-gaya, sehingga misalnya untuk titik simpul i ada 6 derajat kebebasan dan 6 komponen gaya yang diatur dalam vektor sebagai berikut.
U U xi , F Fxi ,
M
U yi , U zi , ix , iy , iz F yi , F zi , M xi , M yi ,
77
i z
(5.3.1)
Elemen balok-kolom struktur rangka ruang kaku yang memiliki ujung 1 dan 2 seperti dalam Gambar 5.3.1, vektor perpindahan dan gaya pada ujung 1 dan 2 memberikan vektor perpindahan dan vektor gaya lengkap sebagai berikut.
u u 1x , u 1y , f f x1 , f y1 ,
u 1z , x1 , 1y , z1 , u x2 , u y2 , u z2 , x2 , y2 , z2 f z1 , m1x , m1y , m1z , f x2 , f y2 , f z2 , mx2 , my2 , mz2
(5.3.2)
Dalam hal ini, komponen perpindahan translasi u 1x berkoresponden dengan komponen gaya translasi
f x1 , komponen perpindahan rotasi y2
berkoresponden dengan
komponen gaya momen m , dan sebagainya. 2 y
Untuk kasus struktur rangka bidang kaku (dua dimensi) pada masing-masing titik simpul di arah sumbu ( X, Y) diambil 2 komponen perpindahan translasi serta 1 komponen vektorial perpindahan rotasi, yang menghasilkan 3 derajat kebebasan. Dengan demikian, vektor perpindahan dan vektor gaya titik simpul i dalam kasus bidang ( X, Y) menjadi
U U xi , F F xi ,
M
U yi , iz F yi ,
(5.3.3)
i z
Untuk elemen balok-kolom struktur rangka bidang kaku yang memiliki ujung 1 dan 2, vektor perpindahan dan gaya pada ujung 1 dan 2 memberikan vektor perpindahan dan vektor gaya lengkap sebagai berikut.
u u 1x , u 1y , F Fx1 , F y1 ,
z1 , u x2 , u y2 , z2 M 1z , F x2 , F y2 , M z2
(5.3.4)
Untuk kasus struktur grid bidang pada masing-masing titik simpul di arah sumbu ( X, Y) diambil 1 komponen perpindahan translasi tegak lurus bidang, serta 2 komponen vektorial perpindahan rotasi, yang menghasilkan 3 derajat kebebasan. Dengan demikian, vektor perpindahan dan vektor gaya titik simpul i dalam kasus struktur grid bidang ( X, Y) menjadi
U U zi , F Fzi ,
iy , iz
M yi ,
M zi
(5.3.5)
Untuk elemen grid bidang ( X, Y) di arah sumbu X yang memiliki ujung 1 dan 2, vektor perpindahan dan gaya pada ujung 1 dan 2 memberikan vektor perpindahan dan vektor gaya lengkap sebagai berikut.
u u 1z , 1y , F Fz1 , M 1y ,
z1 , u z2 , y2 , z2 M 1z , F z2 , M y2 , M z2 78
(5.3.6)
Untuk elemen torsi bidang ( X, Y) di arah sumbu X yang memiliki ujung 1 dan 2, vektor perpindahan dan gaya pada ujung 1 dan 2 memberikan vektor perpindahan dan vektor gaya lengkap sebagai berikut.
u x1 , F M 1x ,
x2
M x2
(5.3.7)
Untuk kasus struktur rangka ruang (tiga dimensi) sendi, pada masing-masing titik simpul di arah sumbu ( X, Y, Z ) diambil komponen perpindahan translasi yang menghasilkan 3 derajat kebebasan. Di masing-masing arah vektorial perpindahan juga dipasangkan komponen vektorial gaya-gaya, sehingga misalnya untuk titik simpul i ada 3 derajat kebebasan dan 3 komponen gaya yang diatur dalam vektor sebagai berikut.
U U xi , F F xi ,
U yi , U zi F yi , F zi
(5.3.8)
Elemen pendel struktur rangka ruang sendi yang memiliki ujung 1 dan 2, vektor perpindahan dan gaya pada ujung 1 dan 2 memberikan vektor perpindahan dan vektor gaya lengkap sebagai berikut.
u u 1x , u 1y , f f x1 , f y1 ,
u 1z , u x2 , u y2 , u z2 f z1 , f x2 , f y2 , f z2
(5.3.9)
Untuk kasus struktur rangka bidang (dua dimensi) sendi, pada masing-masing titik simpul di arah sumbu ( X, Y) diambil komponen perpindahan translasi yang menghasilkan 2 derajat kebebasan. Di masing-masing arah vektorial perpindahan juga dipasangkan komponen vektorial gaya-gaya, sehingga misalnya untuk titik simpul i ada 2 derajat kebebasan dan 2 komponen gaya yang diatur dalam vektor sebagai berikut.
U U xi , F F xi ,
U yi F yi
(5.3.10)
Elemen pendel struktur rangka bidang sendi pada bidang ( X, Y) yang memiliki ujung 1 dan 2, vektor perpindahan dan gaya pada ujung 1 dan 2 memberikan vektor perpindahan dan vektor gaya lengkap sebagai berikut.
u u 1x , u 1y , f f x1 , f y1 ,
u x2 , u y2 f x2 , f y2
(5.3.11)
Untuk kasus struktur rangka garis (satu dimensi) sendi, pada masing-masing titik simpul di arah sumbu X diambil komponen perpindahan translasi yang menghasilkan 1 derajat kebebasan. Di masing-masing arah vektorial perpindahan juga dipasangkan 79
komponen vektorial gaya-gaya, sehingga misalnya untuk titik simpul i ada 1 derajat kebebasan dan 1 komponen gaya yang diatur dalam vektor sebagai berikut.
U U xi F F xi
(5.3.12) 4
Y 2
EA,L
1
X
1
2
2
pendel 1-dimensi
3
,L EA
X
1 pendel 2-dimensi
Y 5
EA,L
2
3
4
6
X
X
torsi
1
3
2
GJ,L
1
4
pendel 3-dimensi Y
1
2
5
3
EA,L
Y X 6
4
Z
1
5
EI, EA, L
4
balok-kolom 2-dimensi
Y Y 2 7 Z
3
1
6
11 8
4
EI, L
X
6
3
Z
lentur 2-dimensi
2
X 8
5
3
grid pada bidang ZX
6
5 2
12
7 9
10 X
1 4 balok-kolom 3-dimensi
Gambar 5.3.1: Model Beberapa Elemen Batang Elemen pendel struktur rangka garis sendi pada sumbu X yang memiliki ujung 1 dan 2, vektor perpindahan dan gaya pada ujung 1 dan 2 memberikan vektor perpindahan dan vektor gaya lengkap sebagai berikut.
u u 1x , f f x1 ,
u x2 f x2
(5.3.13)
Vektor perpindahan dan vektor gaya serta model beberapa elemen yang sudah diturunkan terdahulu, yaitu elemen balok-kolom ruang kaku dalam Pers.(5.3.2), elemen balok-kolom bidang kaku dalam Pers.(5.3.4), elemen grid dalam Pers.(5.3.6), elemen torsi dalam Pers.(5.3.7), elemen pendel ruang dalam Pers.(5.3.9), elemen pendel 80
bidang dalam Pers.(5.3.11) serta elemen pendel garis dalam Pers.(5.3.13), diperagakan dalam Gambar 5.3.1. 5.4
Kriteria Keseimbangan dan Kompatibilitas
Komponen gaya-gaya dan komponen perpindahan elemen masing-masing mengikuti kriteria keseimbangan sebagai mana akan dipaparkan dalam bahasan berikut ini. Berbagai jenis elemen akan dibahas, mulai dari elemen yang paling komplit hingga elemen yang paling sederhana. 5.4.1 Kriteria Keseimbangan Komponen gaya-gaya elemen maupun titik simpul sesamanya dihubungkan dengan kriteria keseimbangan. Untuk kesederhanaan, komponen-komponen gaya dan perpindahan elemen dinyatakan terhadap satu sistem koordinat yang khusus diperuntukkan bagi elemen tersebut, yang dinamakan tata sumbu lokal (local coordinates), sedangkan komponen-komponen gaya dan perpindahan struktural atau titik-titik simpul dinyatakan terhadap satu sistem koordinat yang khusus diperuntukkan bagi struktur, yang dinamakan tata sumbu global (global coordinates). Masing-masing tata sumbu elemen (lokal) memiliki hubungan transformasional terhadap tata sumbu global. Bahasan mengenai ini akan dipaparkan secara lebih mendalam dalam Pasal 5.7 mendatang. Untuk struktur total atau titik simpul dalam kasus struktur rangka kaku ruang, persamaan keseimbangan adalah
F 0; F M 0; M x
y
x
0;
y
0;
F M
z z
0
0
(5.5.1)
Untuk masing-masing elemen, dapat dituliskan persamaan keseimbangan yang koresponden dengan kasus elemen. Sebagai contoh, untuk elemen balok-kolom rangka kaku ruang, keseimbangan di berikan oleh persamaan yang identik dengan Pers.(5.5.1). Untuk kasus balok-kolom bidang, persamaan keseimbangan diberikan oleh
F
x
0;
F
y
0;
M
z
0
(5.5.2)
Untuk kasus grid pada bidang ( X, Y) , persamaan keseimbangan adalah
F
x
0;
F
y
0;
M
x
0
(5.5.3)
Persamaan keseimbangan dapat disusun untuk masing-masing jenis elemen lainnya, dengan misalnya menggunakan model elemen dalam Gambar 5.3.1. 5.4.2 Kriteria Keserasian Perpindahan Demi menjamin integritas dari sistem struktur baik sebelum perpindahan dan deformasi akibat gaya luar terjadi maupun sesudahnya, maka medan perpindahan 81
harus tetap memenuhi kriteria kompatibilitas, baik melalui syarat batas natural (syarat batas perpindahan) pada perletakan, syarat kontinuitas perpindahan dalam titik simpul, dan sebagainya. Sebagai contoh, syarat kontinuitas perpindahan pada titik simpul dan syarat batas perpindahan diberikan dalam Gambar 5.5.1.
jepit
i'
i
I'
j'
i
'
i
Vi j
i
I
sendi
Ui
i
k'
Ui
k
rol
i
Vi
bebas Ui
(a) perpindahan titik simpul
(b) perpindahan perletakan
Gambar 5.5.1: Kompatibilitas Perpindahan 5.5
Ketidak-tentuan Statis dan Kinematis Struktur
Dalam uraian di atas telah dipaparkan bahwa komponen gaya maupun komponen perpindahan memiliki hubungan antar sesamanya, antar komponen gaya dengan kriteria keseimbangan dan antar komponen perpindahan dengan kriteria kompatibilitas. Hubungan antara jumlah komponen gaya yang tidak diketahui dengan jumlah persamaan keseimbangan memberikan kondisi ketidak-tentuan statis sistem, sementara jumlah komponen perpindahan bebas (derajat kebebasan) memberikan kondisi ketidaktentuan kinematis sebagai mana akan dibahas berikut ini. 5.5.1 Ketidak-tentuan Statis Derajat ketidak-tentuan sistem, baik struktur global maupun elemen secara lokal ditentukan oleh selisih dari pada jumlah komponen gaya dengan jumlah persamaan keseimbangan. Jika jumlah komponen gaya sistem dinyatakan dengan f dan jumlah persamaan keseimbangan yang bebas satu sama lain (independen) dinyatakan dengan e , maka derajat ketidak-tentuan statis sistem yang dinyatakan dengan s diberikan oleh
s f e
82
(5.5.1)
Besaran f dan e dapat ditentukan untuk kasus yang dihadapi. Sebagai contoh, untuk kasus sistem struktur balok sederhana, ada 2 persamaan keseimbangan, yaitu
F
y
0
M
z
0
(5.5.2)
sehingga e 2 , dan komponen gaya yang tidak diketahui adalah reaksi perletakan di kedua ujung sehingga f 2 dan s f e 2 2 0 ; dengan demikian, sistem struktur berupa balok sederhana merupakan sistem yang statis tentu. Untuk elemen balok-kolom bidang, ada 6 komponen gaya yang tidak diketahui dan 3 persamaan keseimbangan seperti diberikan oleh Pers.(5.5.3), sehingga f 6 dan
e 3 sehingga elemen balok-kolom sebagai sistem yang mandiri memiliki s f e 6 3 3 ; dengan demikian, sistem struktur berupa elemen balok-kolom
merupakan sistem yang statis tidak tentu orde ketiga. Untuk kasus sistem struktur yang lebih umum, derajat ketidak-tentuan statis dapat ditentukan dengan cara standard berikut ini. Andaikanlah suatu struktur diwakili oleh model diskrit dengan jumlah elemen (member) m dan jumlah simpul (joint) n , dalam mana setiap elemen memiliki sejumlah m f komponen gaya dan me persamaan keseimbangan, dan setiap titik simpul memiliki sejumlah n e persamaan keseimbangan, sementara ada sejumlah r reaksi perletakan dan h sendi dalam. Dengan demikian, jumlah komponen gaya menjadi
dan jumlah persamaan bebas menjadi
f mf . m r h
(5.5.3)
e me . m ne . j
(5.5.4)
sehingga derajat ketidak-tentuan statis diberikan oleh
s f e (mf me ) m ne . n r h
(5.5.5)
Cara analog dapat digunakan jika suatu sistem struktur dimodel dengan menggunakan campuran beberapa jenis elemen. Dari penerapan Pers.(5.5.5) akan terlihat bahwa untuk model diskrit yang berbedabeda, m dan n akan berbeda, namun peningkatan nilai m dan n akan memberikan nilai s yang tetap. Dengan demikian, kita dapat menuliskan kesimpulan berikut ini. Derajat ketidak-tentuan statis adalah tetap serta tidak tergantung kepada model diskrit yang digunakan untuk mewakili sistem struktur dalam analisis.
(5.5.6)
5.5.2 Ketidak-tentuan Kinematis Derajat ketidak-tentuan kinematis elemen tidak memiliki relevansi yang tinggi. Yang relevan kita perlu mengetahui adalah ketidak-tentuan kinematis sistem struktur 83
global. Yang penting kita perlu mengetahui adalah model diskrit yang bagai mana yang digunakan dalam analisis struktur. Untuk suatu model diskrit, kita memperhatikan jumlah komponen perpindahan titik simpul yang bebas, dikurangi dengan derajat kebebasan perletakan yang terkekang (restrained). Jika suatu sistem struktur dimodel dengan sejumlah n titik simpul di mana setiap titik simpul memiliki n e derajat kebebasan, sementara ada sejumlah r reaksi perletakan dan h sendi dalam, maka derajat ketidaktentuan kinematis yang dinyatakan dengan k diberikan oleh
k ne . n r h
(5.5.7)
Sebagai contoh, kita tinjau sistem struktur portal kaku bidang yang diperagakan dalam Gambar 5.2.1 serta yang telah dimodel dengan 3 cara. Dalam model 1, n 4 dan
ne 3 , sementara r 6 (3 reaksi perletakan A dan 3 reaksi perletakan B ) dan h 0
(tidak ada sendi dalam). Dengan demikian, untuk model ini
k ne . n r h
3 4 6 0 6 . Dengan demikian, sistem struktur menurut model diskrit ini adalah
kinematis tidak tentu berderajat 6. Dalam model 2, n 5 dan ne 3 , sementara r 6
dan h 0 . Dengan demikian, untuk model ini k ne . n r h 35 6 0 9 . Dengan demikian, sistem struktur menurut model diskrit ini adalah kinematis tidak tentu
berderajat 9. Dalam model 3, n 6 dan ne 3 , sementara r 6 dan h 0 sehingga untuk model ini k ne . n r h 3 6 6 0 12 . Dengan demikian, sistem struktur menurut model diskrit ini adalah kinematis tidak tentu berderajat 12. Dari bentuk Pers.(5.5.7) terlihat bahwa untuk struktur yang sama dengan model diskrit yang berbeda-beda, peningkatan jumlah titik simpul akan menimbulkan peningkatan derajat ketidak-tentuan kinematis struktur. Berdasarkan hal ini, kita memberikan kesimpulan berikut. Derajat ketidak-tentuan kinematis tidak tetap tetapi tergantung kepada model diskrit yang digunakan untuk mewakili sistem struktur dalam analisis. 5.6
(5.5.8)
Hubungan Aksi dan Perpindahan
Hubungan antara aksi dan perpindahan merupakan pencerminan sifat-sifat mekanis dari apa sistem struktur dibuat. Sebagai contoh yang sangat sederhana, kita meninjau suatu struktur dalam Gambar 5.6.1 berupa pegas elastis linier sempurna dengan panjang awal L dan akibat gaya s , pegas memanjang sebesar v . Hubungan linier antara s dan v dituliskan dalam bentuk
dan sebaliknya, di mana
v f s
(5.6.1)
s k v
(5.6.2)
84
k f 1
atau
k
1 f
atau f
(5.6.3)
1 k
(5.6.4)
s, v f ,k Gambar 5.6.1: Sistem Pegas Elastis Bentuk dalam Pers.(5.6.1) yang menghubungkan gaya terhadap perpindahan dinamakan hubungan fleksibilitas dalam mana v adalah perpindahan dan f .s juga merupakan besaran perpindahan. Dengan demikian, persamaan fleksibilitas mengkaitkan perpindahan dengan perpindahan. Dengan perkataan lain, persamaan fleksibilitas melambangkan kriteria kompatibilitas. Dalam hal ini, f dinamakan faktor fleksibilitas. Bentuk dalam Pers.(5.6.2) yang menghubungkan perpindahan terhadap perpindahan dinamakan hubungan kekakuan dalam mana s adalah gaya dan k.v juga merupakan besaran gaya. Dengan demikian, persamaan kekakuan mengkaitkan gaya dengan gaya. Dengan perkataan lain, persamaan kekakuan melambangkan kriteria keseimbangan. Dalam hal ini, k dinamakan faktor kekakuan. Untuk suatu sistem berderajat kebebasan ganda, hubungan fleksibilitas berbentuk persamaan simultan linier dalam format
v1 f11s1 f12 s 2 ... f1m s1
v2 f 21s1 f 22 s 2 ... f 2 m s1
vm f m1 s1 f m2 s 2 ... f mm s m
atau secara simbol matriks,
v f s
(5.6.5)
(5.6.6)
untuk sistem statis tidak tentu berderajat m . Untuk suatu sistem berderajat kebebasan ganda, hubungan kekakuan berbentuk persamaan simultan linier dalam format
s1 k11u1 k12u 2 ... k1mu1
s 2 k21u1 k22u 2 ... k2 mu1
s n kn1u1 kn 2 u 2 ... knnu n 85
(5.6.7)
s ku
atau secara simbol matriks,
(5.6.8)
untuk sistem kinematis tidak tentu berderajat n . Secara umum, tidak ada hubungan spesial antara matriks fleksibilitas [ f ] dengan matriks kekakuan [k ] , karena pada umumnya derajat ketidak-tentuan statis yang menentukan ukuran matriks fleksibilitas dan vektor gaya, tidak sama dengan derajat ketidak-tentuan kinematis yang menentukan ukuran matriks kekakuan dan vektor perpindahan. Hanya jika derajat ketidak-tentuan statis dan derajat ketidaktentuan kinematis yang sama, serta komponen gaya dan komponen perpindahan yang koresponden satu sama lain, berlaku hubungan
k f f k I
k f 1 ; f k1
atau
5.7
(5.6.9) (5.6.10)
Transformasi Matriks
Dalam keseluruhan bahasan, segala sesuatu besaran berkomponen (dengan demikian, vektor) disusun dalam matriks berbentuk persegi, bujur sangkar maupun bentuk kolom ataupun baris. Kita mengetahui bahwa sesuatu besaran yang dinyatakan dalam komponen, memiliki bentuk varian seturut dengan tata sumbu terhadap mana komponen-komponen diukurkan. Bentuk yang satu memiliki hubungan transformasional dengan bentuk lainnya. Dengan demikian, dalam pasal ini kita akan membahas aspek tata sumbu, konvensi tanda serta hubungan transformasional antar matriks. 5.7.1 Tata Sumbu Lokal dan Global Dalam menjabarkan sistem struktur riel melalui model diskrit yang terdiri atas elemen-elemen, titik-titik simpul termasuk perletakan dan sendi dalam (jika ada), kita memerlukan tata sumbu sebagai referensi. Untuk kemudahan formulasi, maka setiap elemen yang berupa batang dapat diberi tata sumbu lokal yang khusus baginya, yang dipilih sedemikian hingga formulasi matriks-matriks elemen dapat dilakukan dengan mudah. Tata sumbu ini dinamakan koordinat lokal (local coordinates) karena bersifat lokal dan spesial bagi elemen. Dalam mendefinisikan serta membentuk struktur global, digunakan satu tata sumbu bersama bagi semua elemen-elemen yang ada. Pada arah tata sumbu yang dinamakan tata sumbu global (global coordinates) manunggal inilah semua komponen perpindahan dan gaya, baik komponen elemen maupun global, diukurkan. Semua tata sumbu, termasuk tata-tata sumbu lokal dan tata sumbu global mengikuti aturan tangan atau sekrup kanan (right hand screw rule).
x , x , x
X1 , X2 , X3
Untuk jelasnya, andaikanlah suatu elemen
k 1
k 2
k 3
yang terhadap tata sumbu global
k memiliki tata sumbu lokal dalam mana r1ki , r2ki , r3ki ,
i 1,3 merupakan koefisien arah sumbu-sumbu lokal terhadap sumbu-sumbu global. 86
Dalam hal ini, dipunyai hubungan transformasional antara kedua tata sumbu dalam bentuk k k X1 r11 r12 k k X 2 r21 r22 X r k r k 3 31 32
r13k x1k r23k x2k r33k x3k
(5.7.1)
X r k xk
atau secara simbolis
Jelaslah kiranya bahwa matriks
r yang k
(5.7.2)
dinamakan matriks rotasi berfungsi
merotasikan vektor dari tata sumbu lokal ke tata sumbu global. Matriks rotasi ini berbeda untuk elemen dengan tata sumbu lokal yang berbeda. Dengan perkataan lain, komponen-komponen lokal elemen dirotasikan dari masing-masing tata sumbu lokal yang berbeda ke tata sumbu global yang sama dengan matriks rotasi yang berbeda. 5.7.2 Konvensi Tanda Sebagai pegangan dalam memiliki pandangan dan pengertian yang sama dalam sajian keseluruhan buku ini, diperlukan konvensi tanda yang secara konsisten dianut dalam buku ini. Berikut ini diberikan beberapa perjanjian tanda menyangkut tata sumbu, komponen perpindahan dan komponen gaya. 1.
Dalam tata sumbu global, komponen gaya luar pada titik simpul, gaya reaksi perletakan dan perpindahan titik simpul diberi tanda positif jika arah vektorial komponen berarah ke sumbu positif tata sumbu global seperti dalam Gambar 5.7.1.
2.
Gaya luar elemen, komponen gaya maupun komponen perpindahan ujung dikaitkan dengan tata sumbu lokal, dan diberi tanda positif jika arah vektorial komponen berarah ke sumbu positif tata sumbu lokal seperti dalam Gambar 5.7.2.
Y P
X
Z Gambar 5.7.1: Komponen Global Positif 87
3.
Gaya-gaya dalam (momen, geser dan aksial) elemen dikaitkan dengan tata sumbu lokal, dan diberi tanda positif jika momen menimbulkan tekan pada serat atas batang, geser memutarkan batang searah sumbu z dan gaya aksial menimbulkan tarik pada batang, seperti dalam Gambar 5.7.3.
yl + 1
zl
+
+ l
+
+
+
xl
+
Gambar 5.7.2: Komponen Gaya dan Perpindahan Ujung Elemen Positif
yl
M Q N
xl
zl Gambar 5.7.3: Gaya-gaya Dalam Elemen Positif 5.7.3 Translasi Gaya dan Perpindahan Melalui Badan Kaku Pandanglah dua titik A(0,0,0) dan titik B ( x, y, z) dalam ruang yang dihubungkan sesamanya dengan tuas kaku seperti dalam Gambar 5.7.5. Komponen gaya-gaya pada kedua titik adalah
fa f xa , fb f xb ,
f ya , f za , mxa , mya , mza f yb , f zb , mxb , mby , mzb
(5.7.3)
Jika komponen gaya-gaya pada ujung A dipandang sebagai pindahan dari komponen gaya-gaya pada ujung B , maka dapat dituliskan
f xa f xb ;
f ya f yb , f za f zb ; mxa z f yb y f zb mxb
mya z f xb x f zb mby ;
mza y f xb x f yb mzb
yang secara matriks dapat dituliskan dalam bentuk 88
f xa 1 0 0 a 1 0 fy 0 a f z 0 0 1 a mx 0 z y mya z 0 x a 0 mz y x
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 f xb 0 f yb 0 f zb 0 mxb 0 mby 1 mzb
(5.7.4)
fa VAB fb
atau secara simbolis
(5.7.5)
Y
myB f yB
f zB f xB mzB
A y
m y
f
f
A z
A f
B
kaku
A y
mxB
X A x
A x
m
z
A z
m Z
Matriks
VAB
x Gambar 5.7.4: Translasi Komponen Gaya Dalam Ruang merupakan matriks translasi yang dalam kaitan ini memindahkan
komponen-komponen gaya dari ujung B ke ujung A (bedakan dengan: dari ujung B ke ujung A ). Dengan demikian, matriks tersebut sering dinamakan matriks transfer. Khusus untuk elemen balok-kolom bidang seperti dalam Gambar 5.7.5, vektor gaya dan vektor perpindahan titik-titik ujung diberikan oleh
fa f xa , fb f xb ,
Y f Z
f yb , mzb
a
a x
a y
a z
b
b x
b y
b z
(5.7.6)
L
f A x
u u , u , ; u u , u ,
f ya , mza ;
A y
f yB
A
X
B
mzB
mzA
f
B x
Gambar 5.7.5: Translasi Komponen Gaya Dalam Balok-kolom Bidang 89
Dengan demikian, hubungan translasional antara komponen-komponen gaya ujung B kepada komponen-komponen gaya ujung A seturut Pers.(5.7.4) diberikan oleh
f xa 1 0 0 f xb a b f y 0 1 0 f y m a 0 L 1 mb z z
fa VBA fb
atau
(5.7.7)
(5.7.8)
Di lain fihak, perpindahan pada titik B dapat dipandang sebagai fungsi dari pada perpindahan pada titik A dengan hubungan
u xb u xa ; u by u ya L. za ; zb za yang dapat dituliskan dalam formulasi matriks
u xb 1 0 0 u xa b a u y 0 1 L u y b 0 0 1 a z z
ub VAB u a
atau
(5.7.9)
(5.7.10)
Pemeriksaan atas bentuk dalam Pers.(5.7.7) dan (5.7.9) memberikan hubungan
VAB VBA T
atau
VBA VAB T
(5.7.11)
5.7.4 Rotasi Tata Sumbu Dalam Ayat 5.7.3 kita mempelajari hubungan translasional antara vektor perpindahan maupun vektor gaya. Hal ini menyangkut kaitan antara komponen dalam aspek titik yang berbeda. Sekarang kita mempelajari komponen gaya atau perpindahan pada titik yang sama, namun dinyatakan terhadap tata sumbu yang berbeda. Hal ini menyangkut proses rotasi tata sumbu sebagai mana akan dibahas berikut ini. Andaikanlah suatu gaya F dinyatakan dengan komponen ( f x , f y , f z ) yang diukur terhadap tata sumbu ( x, y, z) dan dengan komponen ( F x , F y ,F z ) yang diukur terhadap tata sumbu ( X, Y, Z ) seperti dalam Gambar 5.7.6. Kedua set komponen tersebut dihubungkan dengan
f x 11 12 f y 21 22 f z 31 32 90
13 F x 23 F y 33 F z
(5.7.12)
f F
atau
(5.7.13)
dalam mana adalah matriks rotasi yang unsur-unsurnya merupakan koefisien arah sumbu-sumbu ( x, y, z) terhadap ( X, Y, Z ) . Baris pertama hingga ketiga merupakan koefisien arah sumbu x hingga z ; yang dari Gambar 5.7.6 diperoleh
11 cos ;
12 sin ; 13 0 ;
21 sin ; 22 cos ; 23 0 ; 31 0 ;
sehingga
32 0 ;
cos sin 0
sin cos 0
(5.7.14)
33 1;
0 0 1
(5.7.15)
Matriks rotasi dalam Pers.(5.7.15) dapat digunakan untuk merotasikan seluruh komponen gaya pada suatu titik. Untuk kasus balok-kolom ruang, kita memperoleh
Y fy
y
zZ
mz M z
Fy
fx
x
Fx
X
Gambar 5.7.6: Proses Rotasi Dalam Kasus Portal Bidang
f x cos f sin y f z 0 mx 0 m y 0 mz 0 atau
sin 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 0 cos 0 0 sin 0 0 0
f RF
dalam mana 91
0 0 F x 0 0 F y 0 0 F z sin 0 M x cos 0 M y 0 1 M z
(5.7.16)
(5.7.17)
O R O
(5.7.18)
Dengan cara serupa, kita dapat merotasikan komponen-komponen gaya dari tata sumbu ( X, Y, Z ) terhadap ( x, y, z) . Hasilnya adalah
F x cos F y sin F 0 z
sin cos 0
0 f x 0 f y 1 f z
(5.7.19)
F T f
atau
(5.7.20)
Namun, dari Pers.(5.7.13) kita bisa mendapatkan
dalam mana
F 1 f
1
cos sin 0
sin cos 0
(5.7.21)
0 0 1
(5.7.22)
Pengamatan atas bentuk Pers.(5.7.19) dan (5.7.22) memberikan hubungan
T 1
(5.7.23)
yang dinamakan kontragrediens (contra-gredience). 5.7.5 Gabungan Rotasi dan Translasi Proses translasi dan rotasi telah dibahas dalam pasal-pasal terdahulu secara tersendiri. Pertanyaan sekarang adalah urutan dari kedua proses jika dialami oleh suatu sistem struktur, apakah rotasi terjadi terlebih dahulu baru translasi atau sebaliknya. Menurut teori Chasles, perpindahan badan kaku terdiri atas dua komponen, yaitu rotasi dan translasi. Teori ini tidak menyebutkan apa-apa mengenai urutan terjadinya kedua ragam tersebut, tetapi karena suatu medan perpindahan badan kaku harus unik, maka urutan terjadinya kedua ragam perpindahan kaku tidak akan mempengaruhi hasil akhir perpindahan, sebagai mana akan ditunjukkan berikut ini. Tinjaulah suatu proses transformasi antara dua sumbu ( x, y, z) dan ( X, Y, Z ) . Tanpa mengurangi keabsahan secara umum, maka untuk kesederhaan kita mengambil suatu titik pada elemen balok-kolom AB seperti dalam Gambar 5.7.7. Kita meninjau dua urutan proses perpindahan, yaitu (a) rotasi dulu, baru translasi, dan (b) translasi dulu, baru rotasi. Urutan (a) mencakup rotasi dari ( x, y, z) ke ( X, Y, Z ) pada titik B , kemudian translasi sumbu dari ( X, Y, Z ) ke ( X, Y, Z ) pada B . Rotasi dari ( x, y, z) ke
( X, Y, Z ) memberikan 92
F Bx cos B F y sin M Bz 0
sin cos 0
0 F xb 0 F yB 1 M zB
(5.7.24)
F R F
atau
B
B
(5.7.25)
B
Kemudian, translasi dari B ke A memberikan B F xA 1 0 0 F x B A 1 0 F y Fy 0 M A Y X 1 M Bz z
(5.7.26)
F A VAB F B
atau
y
Y X
(5.7.27) y
Y x
B
X
y
B
Y
x
Y
X
x
X
Y
A
zZ
Y X
z
Z
(a) rotasi dulu, baru translasi
X
A z // Z (b) translasi dulu, baru rotasi
Gambar 5.7.7: Gabungan Proses Rotasi dan Translasi Gabungan kedua proses memberikan
dalam mana
T ' AB
F A TAB' FB
cos sin VAB RB sin cos Y cos X sin Y sin X cos
(5.7.28)
0 0 1
(5.7.29)
Urutan (b) mencakup translasi dari titik B ke titik A , dan proses ini diberikan oleh
F xA 1 0 0 F xB A 1 0 F yB F y 0 M zA Y X 1 M B z 93
(5.7.30)
F V F
atau
A
AB
(5.7.31)
B
Kemudian, rotasi dari ( X, Y, Z ) ke ( X, Y, Z ) memberikan
F xA cos A F y sin M A 0 z
atau
Gabungan kedua proses memberikan
dalam mana
T R V '' AB
Akan tetapi, mengingat
maka
A
AB
A 0 F x A 0 F y A 1 M z
sin cos 0
(5.7.32)
F A RA F A
(5.7.33)
F A TAB' ' FB
(5.7.34)
cos sin Y
sin cos X
0 0 1
(5.7.35)
X X cos Ysin ; Y X sin Y cos
T '' AB
cos sin sin cos Y cos X sin Y sin X cos
T T
0 0 1
(5.7.36)
(5.7.37)
sehingga berdasarkan pengamatan atas Pers.(5.7.29) dan (5.7.37), diperoleh '' AB
' AB
(5.7.38)
yang mengindikasikan bahwa proses transformasi badan kaku adalah unik dan tidak tergantung kepada urutan proses translasi dan rotasi. 5.8
Contoh Penerapan
Untuk memperdalam pengertian dan pemahaman mengenai bahan sajian dalam bab ini, maka berikut ini disajikan beberapa contoh penerapan. Contoh 5.1: Suatu struktur berupa portal bidang seperti dalam Gambar 5.8.1 ingin dimodel dengan dua elemen batang 12 dan 23 . Jika deformasi batang aksial diabaikan, maka tentukanlah jenis elemen paling sederhana yang dapat digunakan untuk pemodelan diskrit struktur. 94
Penyelesaian: Dengan mengabaikan deformasi aksial batang, titik 2 tidak bertranslasi horizontal maupun vertical, sehingga komponen perpindahan bebas struktur hanyalah berupa rotasi titik simpul 1, 2 dan 3 seperti dalam Gambar 5.8.1(b). Dengan demikian, jenis elemen paling sederhana yang cukup untuk permodelan struktur adalah elemen balok seperti terlihat dalam Gambar 5.8.1(c). Contoh 5.2: Dalam Contoh 5.1, pilihlah tata sumbu global dan tata sumbu lokal untuk masing-masing elemen. Dengan pilihan tata sumbu tersebut, tentukanlah matriks rotasi untuk transformasi dari tata sumbu lokal ke tata sumbu global bagi masing-masing elemen. Penyelesaian: Tata sumbu global ( X, Y, Z ) struktur dipilih seperti dalam Gambar 5.8.2(a), dengan titik 1 sebagai titik awal dan sumbu X diambil mendatar, kemudian sumbu Y P2 P1
3
2 2
2
3
2
1 (c) model elemen
(a) struktur 1
1
Y
2
P1 2
2
P2 3
3
(b) perpindahan
1
Gambar 5.8.1: Struktur Contoh 5.1 1
X
Z
dan Z disesuaikan menurut aturan tangan kanan. Untuk elemen 1, titik awal diambil titik 1 dan sumbu x1 diambil sesuai sumbu pusat elemen dari titik 1 ke titik 2 (vertikal) sementara sumbu y1 dan z1 disesuaikan menurut aturan tangan kanan seperti dalam
Gambar 5.8.2(c). Sudut rotasi untuk elemen ini menjadi 1 90 o , sehingga matriks rotasi untuk elemen ini menjadi 95
cos 90 o o sin 90 R1 0 0 0 0
sin 90 o cos 90 o 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 cos 90 o 0 sin 90 o 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 sin 90 o cos 90 o 0
(5.8.1)
namun karena yang muncul hanya derajat kebebasan rotasi, maka matriks rotasi yang diperlukan hanya merupakan baris ketiga dan keenam serta kolom ketiga dan keenam; sehingga diperoleh
R1
1 0 0 1
(5.8.2) x1 y2
Y 3
2
2
O2
z2
1
Z
x2
2
1
y1
X
1
O
3
2
1
O1
z1
(a) tata sumbu global
(b) tata sumbu lokal
Gambar 5.8.2: Struktur Contoh 5.2 Untuk elemen 2, titik awal diambil titik 2 dan sumbu x2 diambil sesuai sumbu pusat elemen dari titik 2 ke titik 3 (horizontal) sementara sumbu y2 dan z2 disesuaikan menurut aturan tangan kanan seperti dalam Gambar 5.8.2(c). Sudut rotasi untuk elemen ini menjadi 2 0 o , sehingga matriks rotasi untuk elemen ini menjadi
cos 0 o o sin 0 R2 0 0 0 0
sin 0 o cos 0 o 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 cos 0 o 0 sin 0 o 0 0
96
0 0 0 sin 0 o cos 0 o 0
0 0 0 0 0 1
(5.8.3)
namun karena yang muncul hanya derajat kebebasan rotasi, maka matriks rotasi yang diperlukan hanya merupakan baris ketiga dan keenam serta kolom ketiga dan keenam; sehingga diperoleh
R2
1 0 0 1
(5.8.4)
Contoh 5.3: Dalam contoh ini, ulangilah soal dalam Contoh 5.2, namun kali ini perhitungkanlah ragam deformasi aksial batang-batang. P1
Y
2'
z2 u
z2
2
4
P2 2 y
3
5
2
5
4
1
z3
2
u x2
6
3
6
1
z1 X
1 Z
(a) struktur dan perpindahan
2
1 3
(b) model elemen
Gambar 5.8.3: Struktur Contoh 5.3 Penyelesaian: Dengan memperhitungkan deformasi aksial batang, titik 2 bertranslasi horizontal maupun vertikal, sehingga komponen perpindahan bebas struktur adalah berupa rotasi titik simpul 1, 2 dan 3, ditambah translasi horizontal dan vertikal titik simpul 2 seperti dalam Gambar 5.8.3(b). Dengan demikian, jenis elemen paling sederhana yang cukup untuk permodelan struktur adalah elemen balok-kolom seperti terlihat dalam Gambar 5.8.3(c). Tata sumbu global dan tata sumbu local elemen-elemen batang tetap dipilih
seperti dalam Gambar 5.8.2(b), dengan 1 90 o dan 2 0 o . Untuk elemen 1, matriks rotasi menjadi
cos 90 o o sin 90 R1 0 0 0 0
sin 90 o cos 90 o 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 cos 90 o 0 sin 90 o 0 0
0 0 0 sin 90 o cos 90 o 0 97
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
(5.8.5)
dan untuk elemen 2, matriks rotasi menjadi
cos 0 o o sin 0 R2 0 0 0 0
sin 0 o cos 0 o 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 cos 0 o 0 sin 0 o 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 sin 0 o cos 0 o 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
(5.8.6)
Contoh 5.4: Struktur dalam Gambar 5.8.4 ingin dimodel dengan batang 12 sebagai elemen 1 dan batang 23 sebagai elemen 2, dengan u1 , u 2 ,..., u9 seperti dalam Gambar 5.8.4(b) sebagai perpindahan struktur, sedemikian hingga syarat batas perletakan rol titik 3 dengan mudah dapat diterapkan dengan
menuliskan u8 0 . Tentukanlah jenis elemen yang akan digunakan dan
susunlah matriks rotasi kedua elemen. Y
P
L
u4
u1
1
1
u5
u2
L
2
1
u3
u6
2
L
2
Z
u7
3
X
u9 (b) dof struktur
(a) struktur
1
1
O
o
2
2
O
o
u8
315o 2
(c) sudut arah dalam proses rotasi
90o
u7
u9
3
u8
Gambar 5.8.4: Struktur Contoh 5.4 Penyelesaian: Dengan memperhitungkan deformasi aksial batang, titik 2 bertranslasi horizontal maupun vertikal, sehingga komponen perpindahan bebas struktur mencakup translasi horizontal dan vertikal titik simpul 2 sebagai mana telah diambil dalam Gambar 5.8.4(b). 98
Dengan demikian, jenis elemen paling sederhana yang cukup untuk permodelan struktur adalah elemen balok-kolom seperti terlihat dalam Gambar 5.8.4(c). Tata sumbu global dipilih seperti dalam Gambar 5.8.2(b) dan derajat kebebasan elemen dipilih seperti dalam Gambar 5.8.4(c), sehingga sudut bernilai 0 o untuk ujung 1 dan 2 elemen 1, dan sudut bernilai 315 o untuk ujung 1 dan 90 o untuk ujung 2 elemen 2. Untuk elemen 1, matriks rotasi menjadi
cos 0 o o sin 0 R1 0 0 0 0
sin 0 o cos 0 o 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 cos 0 o 0 sin 0 o 0 0
0 0 0 sin 0 o cos 0 o 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
(5.8.7)
dan untuk elemen 2, matriks rotasi menjadi
cos 315 o sin 315 o o o sin 315 cos 315 0 R2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 o 0 cos 90 sin 90 o 0 sin 90 o cos 90 o 0 0 0
0 0 0 0 0 1
2/2 2/2 2/2 2/2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
(5.8.8) Contoh 5.5: Suatu sistem struktur balok dengan titik 2 diambil sebagai sendi dalam, seperti dalam Gambar 5.8.5 ingin dimodel dengan dua elemen, yaitu batang 12 sebagai elemen 1 dan batang 23 sebagai elemen 2. Dengan mengabaikan deformasi aksial balok, tentukan derajat kebebasan struktur dan model elemen paling sederhana yang cukup untuk digunakan dalam modelisasi struktur. Penyelesaian: Gambar 5.8.5(a) menunjukkan struktur balok dengan perpindahan yang ditunjukkan dalam Gambar 5.8.5(b), di mana terlihat adanya loncatan (kink) dalam
rotasi. Dengan demikian diperlukan 2 komponen rotasi pada titik 2, yaitu 21 untuk rotasi titik ujung kanan elemen 1 dan 23 untuk rotasi titik ujung kiri elemen 2. Namun,
terdapat defleksi vertikal yang sama untuk kedua ujung (ujung kanan elemen 1 dan ujung kiri elemen 2) yang dinyatakan sebagai u y2 dalam Gambar 5.8.5(c). Dengan mengabaikan deformasi batang, elemen 1 dan 2 dapat dimodel dengan elemen balok seperti dalam Gambar 5.8.5(d).
99
Y 1
2 1 L1
Z
3
21
X
2 L2 (a) struktur balok
21
u y2
23
23
(c) dof struktur 1
1
u y2
P2
P1
3
3
1
2
1
2
4 1
2 (b) perpindahan
3
2
3
2 2
4
(d) model elemen
Gambar 5.8.5: Struktur Contoh 5.5
5.9
Rangkuman
Bahasan dalam bab ini dirangkum dalam beberapa pokok sari bahasan sebagai berikut ini. 1.
Untuk dapat memulai analisis, struktur yang sebenarnya perlu dimodel dalam suatu sistem diskrit yang diupayakan sesederhana mungkin, namun cukup andal dalam merepresentasikan struktur dengan ketelitian yang cukup.
2.
Ketidak-tentuan statis sistem struktur adalah tetap serta tidak tergantung kepada model diskrit yang digunakan.
3.
Ketidak-tentuan kinematis sistem struktur tidak tetap serta tergantung kepada model diskrit yang digunakan.
4.
Untuk dapat menuliskan hubungan antara gaya dan perpindahan elemen, digunakan tata sumbu lokal yang berlaku untuk elemen tersebut.
5.
Untuk keseluruhan struktur, digunakan suatu tata sumbu global yang terhadapnya dapat dituliskan hubungan transformasional dari masing-masing tata sumbu lokal elemen.
5.10 Soal-soal Soal 5.1: Struktur rangka kaku bidang dalam Gambar 5.10.1 ingin dimodel dengan 5 elemen batang, yaitu segmen 12, 23, 34, 25 dan 46. Dengan memperhitungkan deformasi aksial batang, pilihlah jenis elemen paling sederhana yang dapat mewakili masing-masing segmen batang tersebut di atas. Pilihlah tata sumbu lokal untuk masing-masing elemen dan pilih satu tata sumbu global untuk struktur. Kemudian, susunlah matriks rotasi untuk masing-masing elemen. 100
Soal 5.2: Struktur rangka kaku bidang dalam Gambar 5.10.2 ingin dimodel dengan 3 elemen batang, yaitu segmen 12, 23, dan 35. Dengan memperhitungkan deformasi aksial batang, pilihlah jenis elemen paling sederhana yang dapat mewakili masing-masing segmen batang tersebut di atas. Pilihlah tata sumbu lokal untuk masing-masing elemen dan pilih satu tata sumbu global untuk struktur. Kemudian, susunlah matriks rotasi untuk masing-masing elemen. Soal 5.3: Suatu struktur rangka bidang yang kaku pada titik simpul 2 seperti dalam Gambar 5.10.3 ingin dimodel dengan 5 elemen batang, yaitu segmen 12, 23, 14, 24 dan 35. Dengan memperhitungkan deformasi aksial batang, pilihlah jenis elemen paling sederhana yang dapat mewakili masing-masing segmen batang tersebut di atas. Pilihlah tata sumbu lokal untuk masing-masing elemen dan pilih satu tata sumbu global untuk struktur. Kemudian, susunlah matriks rotasi untuk masing-masing elemen.
2
4
3
1
1
L
2
L
5 L
4
6
3
L
L
L
Gambar 5.10.1: Struktur Soal 5.1
L
L
Gambar 5.10.2: Struktur Soal 5.2
Soal 5.4: Suatu struktur rangka sendi seperti dalam Gambar 5.10.4 dimodel dengan 3 elemen batang, yaitu segmen 12, 13, dan 23. Dengan mengambil titik 1, 1 dan 2 sebagai ujung awal dari masing-masing elemen 1, 2 dan 3, maka pilihlah tata sumbu global dan tata sumbu lokal untuk masing-masing elemen. Kemudian, pilihlah jenis elemen yang digunakan serta susunlah matriks rotasi untuk masing-masing elemen.
3
2
1
2
L
L
L
4
3
1
L L
Gambar 5.10.3: Struktur Soal 5.3
Gambar 5.10.4: Struktur Soal 5.4
101
Soal 5.5: Suatu struktur boks seperti dalam Gambar 5.10.5 dicor kaku pada titik simpul 1, 2, 3 dan 4 dan ingin dimodel dengan 4 elemen batang, yaitu segmen 12, 13, 24 dan 35. Dengan mengambil titik 1, 1, 2 dan 3 sebagai ujung awal dari masing-masing elemen 1, 2, 3 dan 4, maka pilihlah tata sumbu global dan tata sumbu lokal untuk masing-masing elemen. Kemudian, pilihlah jenis elemen yang digunakan serta susunlah matriks rotasi untuk masing-masing elemen.
4
3
L
2
1
L Gambar 5.10.5: Struktur Soal 5.5
102
BAB VI PENGANTAR KEPADA METODA MATRIKS
6.1
Umum
Seperti diketahui, analisis struktur mencakup penentuan tanggap (response) terhadap gaya dan/atau pengaruh luar yang ada. Pertama, akibat gaya atau pengaruh luar yang bekerja, struktur berpindah dari kedudukan awal (initial configuation) ke kedudukan akhir (current configuration) pada mana tercapai keadaan berimbang struktur di bawah pengaruh gaya luar. Peralihan dari konfigurasi awal ke konfigurasi akhir mencakup medan perpindahan (displacement field). Kedua, perpindahan struktur pada umumnya mencakup dua bagian. Yang pertama adalah bagian perpindahan badan kaku (rigid body displscement) yang tidak menimbulkan gaya reaksi dalam (internal reaction force) dan yang kedua, adalah bagian perpindahan yang menimbulkan deformasi (deformation). Perpindahan deformatif inilah yang menimbulkan gaya reaksi dalam struktur maupun perletakan. 6.2
Metoda Gaya vs Metoda Perpindahan
Dengan demikian, secara singkat tanggap struktur terdiri atas dua bagian, yaitu medan perpindahan dan medan gaya reaksi. Untuk gaya atau pengaruh luar, analisis struktur mencakup dua kelompok tanggap ini. Analisis struktur dikelompokkan atas dua metoda, yaitu: (a) metoda gaya (force method) dan (b) metoda perpindahan (displacement method). Sebelum menerangkan kedua metoda analisis tersebut satu per satu, kita perlu membahas beberapa kriteria yang bersifat sangat sentral dalam mekanika struktur. Yang pertama adalah kriteria keseimbangan (equilibrium criterion) yang mengatur hubungan antara komponen gaya sesamanya, yaitu antara komponen gaya luar maupun gaya reaksi. Kriteria ini secara mendalam telah dipelajari dalam statika. Yang kedua adalah kriteria keserasian perpindahan (displacement compatibility criterion) yang mengatur hubungan antara komponen perpindahan sesamanya. Yang ketida adalah kriteria sifat bahan (material properties) yang mengatur hubungan antara komponen gaya dan komponen perpindahan. Metoda gaya memilih komponen gaya sebagai besaran yang tidak diketahui (anu) serta yang akan ditentukan terlebih dahulu. Analisis dengan metoda gaya memulai proses dengan mengambil suatu pola gaya yang secara statis dimungkinkan (statically possible) dan seimbang. Perpindahan yang muncul akibat gaya yang diasumsikan ini, kemudian diselaraskan dan persamaan yang tersusun atas dasar telaah keserasian perpindahan ini kemudian diselesaikan secara simultan untuk menghitung komponen gaya. Komponen gaya terhitung ini kemudian dimasukkan ke dalam persamaan hubungan antara gaya dan perpindahan untuk menentukan komponen perpindahan 103
untuk melengkapi solusi. Karena besaran dasar anu yang dipilih adalah komponen gaya, metoda analisis semacam ini dinamakan metoda gaya. Karena kriteria yang digunakan untuk menyusun persamaan global dalam besaran anu adalah keserasian, metoda ini sering dinamakan sebagai metoda keserasian atau kompatibilitas perpindahan. Lihat Tabel 6.2.1 sebagai penjelasan. Metoda perpindahan memilih komponen perpindahan sebagai besaran yang tidak diketahui (anu) serta yang akan ditentukan terlebih dahulu. Analisis dengan metoda perpindahan memulai proses dengan mengambil suatu pola perpindahan yang secara kinematis dimungkinkan (kinematically admissible) dan serasi. Gaya-gaya yang muncul akibat perpindahan yang diasumsikan ini, kemudian diseimbangkan dan persamaan yang tersusun atas dasar telaah keseimbangan ini kemudian diselesaikan secara simultan untuk menghitung komponen perpindahan. Komponen perpindahan terhitung ini kemudian dimasukkan ke dalam persamaan hubungan antara perpindahan dan gaya untuk menentukan komponen gaya untuk melengkapi solusi. Karena besaran dasar anu yang dipilih adalah komponen perpindahan, metoda analisis semacam ini dinamakan metoda perpindahan. Karena kriteria yang digunakan untuk menyusun persamaan global dalam besaran anu adalah keseimbangan, metoda ini sering dinamakan sebagai metoda keseimbangan. Lihat Tabel 6.2.1 sebagai penjelasan. Tabel 6.2.1: Metoda Gaya vs Metoda Perpindahan Aspek 1. Besaran anu 2. Asumsi awal 3. Penyusunan persamaan dasar 4. Penentuan orde persamaan 5. Nama
Metoda Gaya Perpindahan komponen gaya komponen perpindahan gaya keseimbangan perpindahan yang serasi keserasian perpindahan keseimbangan ketidaktentuan statis ketidaktentuan kinematis metoda keserasian deformasi metoda keseimbangan metoda gaya metoda perpindahan metoda fleksibilitas metoda kekakuan
Untuk jelasnya, kita meninjau contoh struktur balok dalam Gambar 6.2.1 yang secara berurutan dianalisis dengan metoda gaya dan metoda perpindahan. Akibat gaya luar, timbul gaya reaksi R1 dan momen M1 pada ujung kiri balok dan R2 pada ujung kanan balok. Kemudian, dengan mengambil keseluruhan balok sebagai suatu sistem
diskrit, ada satu komponen perpindahan yaitu rotasi 2 pada ujung kanan. Pertamatama, kita akan melakukan analisis struktur dengan metoda gaya. Keseimbangan gaya memberikan
F v
0
M thd 1 0
R1 R2 P 0
M1 ( R2 )( L) ( P )(a ) 0
(6.2.1)
yang merupakan dua persamaan melibatkan tiga besaran anu R1 , R2 dan M1 ; dalam konteks metoda gaya, struktur merupakan sistem statis tidak tentu orde pertama. Dengan demikian, untuk dapat menentukan ketiga besaran anu tersebut, diperlukan satu persamaan tambahan yang dapat diperoleh dengan jalan menerapkan kriteria 104
perpindahan. Berikut ini adalah cara untuk mendapatkan persamaan tambahan tersebut. Andaikanlah kita memandang salah satu di antara ketiga besaran anu sebagai gaya kelebihan (redundant), dalam contoh ini kita ambil R2 yang sementara dinolkan dengan jalan menghapuskan perletakan rol, sedemikian hingga didapatkan satu sistem modifikatif yang statis tentu seperti dalam Gambar 6.2.1(c). Dalam sistem statis tentu ini, kita menghitung komponen perpindahan akibat gaya luar di arah gaya kelebihan tadi, dalam hal ini perpindahan vertikal dan rotasi ujung kanan masing-masing akibat gaya luar sebesar Y
a
L a
P
1
2
L, EI
X
P 1
(a) struktur
Z M1
R1
2R (d) sistem primer
P
2
1
2
1
2R
R2
R2
(b) perpindahan dan reaksi
2
2R
2R
(e) sistem sekunder
(c) sistem statis tentu
Gambar 6.2.1: Analisis Dengan Metoda Gaya
P 2
P a3 P a2 P a2 P (L a ) ; 2 3EI 2 EI 2 EI
(6.2.2)
seturut Gambar 6.2.1(d), dan akibat gaya kelebihan dalam Gambar 6.2.1(e) sebesar
2R
R2 L3 R L2 ; 2R 2 3EI 2 EI
(6.2.3)
Agar sistem dalam Gambar 6.2.1(d) dan 6.2.1(e) menghasilkan sistem seperti dalam Gambar 6.2.1(a) yang kita inginkan, maka haruslah perpindahan vertikal di arah gaya R2 , bernilai nol; yaitu,
2 2P 2R 0
(6.2.4)
yang merupakan kriteria keserasian perpindahan sistem struktur yang ditinjau, dan yang sekaligus merupakan pemasok persamaan tambahan. Substitusi bentuk dalam Pers.(6.2.2) dan (6.2.3) ke dalam Pers.(6.2.4) menghasilkan
R L3 P a3 P a2 (L a ) 2 0 3EI 2 EI 3EI 105
(6.2.5)
dengan solusi
Pa a R1 3 2 L L 2
(6.2.6)
Nilai solusi ini dapat dimasukkan ke dalam Pers.(6.2.1) untuk menghitung dua besaran anu lainnya untuk mendapatkan solusi lengkap. Rotasi ujung 2 dapat dihitung dengan memasukkan nilai solusi ke dalam persamaan
P a 2 R2 L2 2 2 EI 2 EI P 2
(6.2.7)
R 2
Berikut ini, sistem struktur yang telah dianalisis dengan metoda gaya akan dianalisis dengan metoda perpindahan. Metoda perpindahan perlu dimulai dengan terlebih dahulu mengambil suatu sistem diskrit sebagai model yang mewakili struktur riel dalam analisis struktur (bahasan mengenai ini akan disajikan secara lebih mendalam nantinya dalam bab yang akan datang). Jika struktur balok kita ambil di wakili oleh satu elemen tunggal seperti dalam Gambar 6.2.2(c), maka ujung-ujung 1 dan 2 hanya memiliki satu komponen perpindahan bebas (yang dinamakan derajat kebebasan atau degrees of freedom), yaitu rotasi 2 . Dengan demikian, model diskrit struktur ini
merupakan sistem yang kinematis tidak tentu orde pertama. Jika perpindahan bebas ini sementara dimatikan, diperoleh sistem kinamatis tentu seperti dalam Gambar 6.2.2(d) dengan gaya-gaya ujung yang diberikan oleh balok dengan kondisi ujung jepit-jepit seperti dalam Gambar 6.2.2(e) sebesar
P a (L a ) 2 P a 2 (L a ) P M ; M2 L2 L2 P 1
Y
a
P
L a
1
X
2
1
L, EI
Z
2
(d) sistem kinematis tentu
(a) struktur M1
(6.2.8)
P 1
2
(e) sistem primer
R2
R1
P
(b) perpindahan dan reaksi 2
1
1 0
(c) model elemen
1
2
2
(f) sistem sekunder
Gambar 6.2.2: Analisis Dengan Metoda Perpindahan 106
2
Kemudian, introduksi 2 pada model balok jepit-jepit seperti dalam Gambar 6.2.2(f) memberikan
M1
2 EI 2 4 EI 2 ; M 2 L L
(6.2.9)
sehingga momen-momen ujung total menjadi
P a ( L a ) 2 2 EI 2 L L2 2 4 EI 2 P a (L a ) M 2 M 2P M 2 2 L L M1 M1P M1
(6.2.10)
Keseimbangan gaya (dalam hal ini momen) di arah rotasi 2 yang bebas seperti dalam Gambar 6.2.2(a) menyaratkan bahwa
M
di a ra h 2
0 M 2 0
(6.2.11)
yang jika dimasukkan ke dalam Pers.(6.2.10b) menghasilkan
2
P a a 1 4 EI L L
(6.2.12)
Akhirnya, untuk melengkapi solusi, hasil dalam Pers.(6.2.12) dimasukkan ke dalam Pers.(6.2.10) untuk mendapatkan gaya-gaya
M1 6.3
PL 2
a a a 1 3 ; M 2 0 L L L
(6.2.13)
Metoda Gaya
Dalam pasal sebelumnya telah diterangkan bahwa metoda gaya memilih komponen-komponen gaya sebagai besaran anu yang akan ditentukan terlebih dahulu. Dengan demikian, orde ketidak tentuan statis akan menentukan proses analisis. Jika struktur yang dihadapi merupakan sistem yang statis tentu, maka statika cukup untuk menentukan distribusi gaya reaksi yang timbul akibat gaya atau pengaruh luar. Jika yang dihadapi adalah kasus ini, perhitungan gaya-gaya dengan statika tinggal dilanjutkan dengan perhitungan komponen-komponen perpindahan dengan menggunakan kriteria hubungan gaya-perpindahan. Jika yang dihadapi adalah struktur yang statis tidak tentu, maka terdapat komponen gaya kelebihan. Jika jumlah persamaan keseimbangan adalah e dan jumlah komponen gaya reaksi adalah f , maka orde ketidak-tentuan statis s menjadi
s f e
(6.3.1)
Dengan demikian, ada sejumlah s komponen gaya kelebihan di antara sejumlah f komponen gaya reaksi. Dalam pasal sebelumnya telah dipaparkan bahwa metoda gaya 107
dilakukan dengan terlebih dahulu memilih s komponen gaya kelebihan, lalu sistem statis tentu diperoleh dengan sementara melepaskan kekangan yang mengerahkan masing-masing komponen gaya kelebihan tadi. Dengan demikian, untuk sistem struktur berderajat ketidak-tentuan s ada sejumlah
Csf
f ! s ! ( f s) !
(6.3.2)
Analisis struktur dapat dilanjutkan dengan memilih salah satu dari sekian banyak sistem statis tentu. Atas sistem statis tentu yang dipilih ini, dikerjakan masing-masing gaya kelebihan pada lokasi bekerjanya, lalu komponen perpindahan dihitung di arah masing-masing gaya kelebihan. Setelah itu, total perpindahan di arah masing-masing gaya kelebihan, termasuk akibat beban luar dinolkan untuk mendapatkan s buah syarat kompatibilitas perpindahan sebagai persamaan dalam menghitung komponen gayagaya kelebihan. Jika fij adalah perpindahan di arah gaya kelebihan i oleh satuan gaya
kelebihan R j , j 1, s dan i adalah perpindahan di arah kelebihan i akibat gaya luar, maka persamaan kompatibilitas perpindahan menjadi
fi1 R1 fi 2 R2 ... fis Rs i 0 ; i 1, s
(6.3.3)
Bentuk dalam Pers.(6.3.3) mencakup sistem persamaan simultan linier dalam komponen gaya kelebihan, yang dapat dituliskan dalam format matriks
f11 f 21 fi1 f s1
f12 f22 fi 2 fs 2
atau dalam notasi matriks,
f1 j f2 j fij f sj
f1s R1 1 f2 s R2 2 fis Ri i f ss Rs s
[ F ]{R} {}
(6.3.4)
(6.3.5)
yang dapat diselesaikan untuk menentukan satuan gaya kelebihan R j , j 1, s . Dari bahasan di atas, sistem statis tentu suatu struktur statis tidak tentu tidaklah manunggal, tetapi tergantung pilihan pasangan s gaya kelebihan dari antara f komponen gaya yang ada. Jumlah kombinasi gaya kelebihan tersebut diberikan oleh Pers.(6.3.2). Sebagai contoh, kita meninjau struktur dalam Gambar 6.3.1 yang memiliki jumlah
komponen gaya f 4 yaitu M1 berupa momen jepit di titik 1 dan V1 ,V2
dan V3
berupa reaksi vertikal masing-masing titik 1, 2 dan 3. Jumlah persamaan adalah e 2 108
berupa keseimbangan gaya vertikal dan momen terhadap salah satu titik. Dengan demikian, derajat ketidak-tentuan statis adalah s f e 4 2 2 . Kombinasi gaya kelebihan dapat diambil sejumlah
C24
4! 6 2 ! (4 2) !
yaitu ( M1 ,V1 ) , ( M1 ,V2 ) , ( M1 ,V3 ) , (V1 ,V2 ) , (V1 ,V3 ) dan (V2 ,V3 ) yang dapat dipilih salah
satunya. Jika kombinasi terakhir dipilih, (V2 ,V3 ) ( R1 , R2 ) maka sistem statis tentu yang digunakan dalam analisis adalah seperti dalam Gambar 6.3.1(c). Sistem statis tentu dengan gaya luar bekerja yang dinamakan sistem primer ditunjukkan dalam Gambar 6.3.1(d), dengan
1P
P 2
7 PL3 P ( L / 2) 3 PL2 L ( ) ; 3EI 2 EI 2 24 EI P ( L / 2) 3 P (3L / 2) 2 L 29 PL3 ( ) 48EI 3EI 2 EI 2
(6.3.6)
Berikutnya, sistem statis tentu dengan gaya R1 1 bekerja yang dinamakan sistem sekunder 1 ditunjukkan dalam Gambar 6.3.1(e), dengan
L3 5L3 ( L) 3 ( L) 2 11 ( L) ; 21 6 EI 3EI 2 EI 3EI
(6.3.7)
Kemudian, sistem statis tentu dengan gaya R2 1 bekerja yang dinamakan sistem sekunder 2 ditunjukkan dalam Gambar 6.3.1(f), dengan
12
(2 L) 3 8L3 5L3 ; 22 3EI 3EI 6 EI
(6.3.8)
Substitusi hasil-hasil di atas ke dalam bentuk Pers.(6.3.4) memberikan
L3 3EI3 5 L 6 EI dengan solusi
7 PL3 5L3 6 EI R1 24 EI 8L3 R2 29 PL3 48EI 3EI
7P R1 12 R2 189 P 96 109
(6.3.9)
(6.3.10)
Untuk mendapatkan solusi lengkap, gaya-gaya R1 dan R2 dapat diperlakukan sebagai gaya luar di samping gaya P untuk menghitung gaya-gaya reaksi dan komponen perpindahan (rotasi dan translasi) pada titik-titik simpul 1, 2 dan 3. Y
P
P
1
2 L/ 2
X
EI
EI
Z
3
L/ 2
L
R2 1
M1
V2 R1
2P
(d) sistem primer
(a) struktur
V1
1P
11 (e) sistem sekunder 1
V3 R2
(b) perpindahan dan reaksi
21 R3 1
22 21
(f) sistem sekunder 2
(c) sistem statis tentu
Gambar 6.3.1: Analisis Struktur Dengan Metoda Kompatibilitas Atas pengamatan terhadap metoda gaya yang telah dipaparkan di atas, dapat diberikan beberapa komentar sebagai berikut. Pertama, sistem statis tentu untuk suatu sistem struktur tidak manunggal, tetapi tergantung kepada pilihan komponen gaya mana yang dipilih sebagai gaya kelebihan yang nantinya muncul dalam bentuk Pers.(6.3.4). Berikutnya, umumnya pengaruh dari gaya-gaya kelebihan terhadap komponen perpindahan di arah gaya-gaya kelebihan, akan berpengaruh jauh dari lokasi gaya kelebihan yang diterapkan. Ini berarti bahwa unsur-unsur tidak nol dari matriks koefisien akan relatif tersebar di seluruh lokasi (sparse coefficient matrix). Dengan demikian, proses penyelesaian sistem persamaan simultan akan relatif lebih membutuhkan upaya eksekusi. Selain itu, mengingat hukum Maxwell-Betti, matriks koefisien merupakan matriks yang simetris. 6.4
Metoda Perpindahan
Dalam pasal sebelumnya telah diterangkan bahwa metoda perpindahan memilih komponen-komponen perpindahan sebagai besaran anu yang akan ditentukan terlebih dahulu. Dengan demikian, orde ketidak tentuan kinematis akan menentukan proses analisis. Jika struktur yang dihadapi merupakan sistem yang kinematis tentu, maka sistem batang dengan ujung jepit-jepit cukup untuk menentukan distribusi gaya reaksi yang timbul akibat gaya atau pengaruh luar. Jika yang dihadapi adalah struktur yang kinematis tidak tentu, maka terdapat komponen perpindahan bebas. Jika jumlah komponen bebas adalah k , maka dimiliki k persamaan keseimbangan gaya-gaya di arah komponen perpindahan bebas. Dalam pasal sebelumnya telah dipaparkan bahwa metoda perpindahan dilakukan dengan 110
terlebih dahulu memilih suatu model sistem diskrit yang membagi struktur atas beberapa elemen yang dibatasi atau dihubungkan oleh titik-titik simpul. Analisis struktur dapat dilanjutkan dengan pertama-tama memegang atau mematikan semua komponen perpindahan yang bebas, untuk mendapatkan sistem struktur yang kinematis tentu, lalu gaya-gaya ujung jepit batang-batang akibat gaya luar lalu disusun. Setelah itu, gaya-gaya akibat komponen perpindahan bebas juga disusun dan ditambahkan atas gaya-gaya ujung akibat gaya luar. Gaya-gaya di arah masingmasing komponen perpindahan bebas lalu diseimbangkan dalam suatu persamaan, dan seluruh persamaan keseimbangan dipadukan dalam suatu sistem persamaan simultan yang kemudian disolusikan untuk komponen perpindahan bebas. Komponen perpindahan bebas kemudian digunakan untuk menghitung gaya-gaya ujung masingmasing elemen. Untuk memulai, kita meninjau suatu elemen batang prismatis sepanjang L dan kekakuan lentur EI dengan bersamaan gaya-perpindahan dalam bentuk
4 EI 2 EI 6 EI 6 EI 1 2 2 w1 2 w2 L L L L 2 EI 4 EI 6 EI 6 EI 0 1 2 2 w1 2 w2 m21 m21 L L L L
0 m12 m12
(6.4.1)
0 0 dalam mana m12 dan m21 adalah momen ujung jepit akibat gaya lateral dalam elemen,
1 dan 2 adalah rotasi ujung 1 dan 2, dan w1 dan w2 adalah perpindahan lateral
ujung 1 dan 2. Rotasi dan perpindahan lateral ujung-ujung batang akan berkoresponden dengan rotasi dan perpindahan titik-titik simpul struktur. Korespondensi ini akan menentukan pengumpulan gaya-gaya yang koresponden dengan rotasi dan perpindahan titik simpul mana kala dilakukan penyeimbangan gaya-gaya di arah perpindahan-perpindahan bebas tersebut.
Jika i , i 1, k adalah komponen perpindahan bebas maka keseimbangan gaya-
gaya di arah masing-masing dari semua komponen perpindahan memberikan
ki1 1 ki 2 2 ... kik k Pi 0 ; i 1, k
(6.4.2)
Bentuk dalam Pers.(6.4.2) mencakup sistem persamaan simultan linier dalam komponen perpindahan bebas, yang dapat dituliskan dalam format matriks
k11 k 21 ki1 kk1
k12 k22 ki 2 kk 2
k1 j k2 j kij kkj
k1k 1 P1 k2 k 2 P2 kik i Pi kkk k Pk 111
(6.4.3)
atau dalam notasi matriks
[ K]{} {P}
(6.4.4)
yang dapat diselesaikan untuk menentukan perpindahan bebas j , j 1, k . Dari bahasan di atas, sistem kinematis tentu suatu struktur kinematis tidak tentu adalah manunggal, dan matriks koefisien dalam Pers.(6.4.3) berukuran k k di mana nilai k tergantung kepada model diskrit yang digunakan untuk merepresentir struktur yang sebenarnya. Sebagai contoh, kita meninjau struktur dalam Gambar 6.4.1 berupa balok tunggal sepanjang 3L dan kekakuan lentur EI yang dijepit pada kedua ujung A dan B . Balok menerima gaya luar P yang bekerja secara terpusat pada titik C sejarak L dari ujung kiri A . Jika kita menganalisis sistem struktur sebagai satu elemen saja (segmen total AB ), maka ujung A dan B menjadi titik simpul yang terpegang sempurna (restrained) dan gaya P menjadi gaya local dan model diskrit yang ditunjukkan sebagai model 1 dalam Gambar 6.4.1(b). Gaya-gaya ujung elemen dapat langsung dihitung atas model yang kinematis tentu ini dengan bentuk dalam Pers.(6.4.1) dengan hasil
ma b
P ( L)(2 L) 2 4 EI 2 EI 4 (0) PL (0) 2 9 3L 3L (3L)
2 P ( L) 2 (2 L) 2 EI 2 EI (0) PL mba (0) 2 9 3L 3L (3L)
(6.4.5)
Hasil ini dapat digunakan untuk menghitung gaya-gaya reaksi, termasuk reaksi gaya translasi pada titik A dan B dan juga pada penampang-penampang balok, termasuk pada penampang titik C . Sayangnya, kita tidak bisa mendapatkan perpindahan (translasi dan rotasi) pada titik C .
Translasi wc dan rotasi c dapat tersedia dari analisis jika titik C diambil sebagai
titik simpul. Dengan demikian, dalam analisis ini digunakan model diskrit dengan 2 elemen (segmen AC dan segmen CB ) dan 3 titik simpul ( A , C dan B ) yang kinematis
tidak tentu orde kedua, di mana wc dan c merupakan komponen perpindahan bebas
struktur yang belum diketahui. Penerapan Pers.(6.4.1) atas elemen 1 dan 2 berturutturut memberikan
4 EI 1 2 EI 1 6 EI 1 1 2 2 w2 L L L 2 EI 1 4 EI 1 6 EI 1 mca 1 2 2 w2 L L L
ma c
(6.4.6)
dan
4 EI 2 2 EI 2 6 EI 2 1 2 w1 (2 L) (2 L) (2 L) 2 2 EI 2 4 EI 2 6 EI 2 1 2 w1 mcb (2 L) (2 L) (2 L) 2
mcb
112
(6.4.7)
dengan gaya lintang
ma c mca 6 EI 6 EI 12 EI 2 11 2 21 3 w12 L L L L m mca 6 EI 6 EI 12 EI 2 11 2 21 3 w12 vca a c L L L L
va c
dan
(6.4.8)
mcb mbc 6 EI 2 6 EI 2 12 EI 2 1 2 w1 (2 L) (2 L) 2 (2 L) 2 (2 L) 3 m mbc 6 EI 2 6 EI 2 12 EI 2 1 2 w1 vbc cb (2 L) (2 L) 2 (2 L) 2 (2 L) 3
vcb
(6.4.9)
Y
Z
A
P
wc C
C
B
EI
(a) struktur dan perpindahan 1
C
(b) model satu elemen 1
P v cb
vca
mca
mcb
2
(c) model dua elemen
(d) keseimbangan gaya di arah perpindahan bebas
Gambar 6.4.1: Analisis Dengan Metoda Keseimbangan Selanjutnya, keseimbangan gaya di arah komponen bebas wc dan c titik C berturut-turut memberikan
vca vcb P 0
mca mcb 0
(6.4.10)
Dari geometri struktur kita melihat bahwa
11 0 ;
21 c ; 12 c ; 22 0 ; w12 wc ;
w12 wc
(6.4.11)
Selanjutnya, pemasukan bentuk-bentuk dalam Pers.(6.4.6) hingga (6.4.9) ke dalam Pers.(6.4.10), dan dengan mengingat korespondensi antara komponen perpindahan elemen-elemen dengan komponen perpindahan struktural dalam Pers.(6.4.10), kita
113
memperoleh sistem persamaan simultan berorde kedua dalam wc dan c , yang disusun dalam format matriks sebagai berikut
27 EI L3 9 EI 2 L
Solusi adalah
9 EI L2 wc P 6 EI c 0 L
(6.4.12)
8 PL3 wc 81 EI 2 c 2 PL 27 EI
(6.4.13)
yang jika dimasukkan ke dalam Pers.(6.4.6) dan (6.4.7), memberikan
ma c
4 PL ; 9
mca
8 PL ; 27
mcb
8 PL ; 27
2 mbc PL 9
(6.4.14)
dan jika dimasukkan ke dalam Pers.(6.4.8) dan (6.4.9), memberikan
va c
20 20 14 14 P ; vca P ; vcb P ; vbc P 27 27 27 27
(6.4.15)
Perhatikan bahwa hasil yang diberikan analisis berdasarkan model 1 identik dengan hasil yang diberikan analisis berdasarkan model 2, dengan catatan bahwa hasil yang diberikan analisis berdasarkan model 2 memberikan data tambahan berupa gaya-gaya ujung dan perpindahan pada titik C karena titik ini diambil sebagai titik simpul. Atas pengamatan terhadap metoda gaya yang telah dipaparkan di atas, dapat diberikan beberapa komentar sebagai berikut. Pertama, sistem kinematis tentu untuk suatu sistem struktur adalah manunggal. Berikutnya, derajat kebebasan yang muncul dalam persamaan global struktur, tergantung kepada model diskrit yang digunakan. Semakin banyak elemen dan titik simpul yang digunakan (dengan perkataan lain, semakin halus model diskrit yang digunakan), semakin tinggi orde ketidak-tentuan kinematis struktur. 6.5
Metoda Keserasian Perpindahan
Untuk memulai, kita meninjau suatu sistem balok kantilever prismatis dengan gaya terpusat pada ujung bebas seperti dalam Gambar 6.5.1. Struktur contoh ini sudah sangat sering dianalisis dalam bab-bab yang sebelumnya. Struktur sederhana ini khusus dicontohkan dalam kesempatan ini, untuk mendemonstrasikan dua cara yang agak berbeda, namun yang masih termasuk di dalam lingkup metoda gaya. Pertama, kita akan menggunakan cara analisis yang konsisten dengan teknik permodelan diskrit yang lebih standard, seperti yang telah dibahas dalam Bab IV, dengan diskritisasi yang tergambar sebagai model 1 dalam Gambar 6.5.1(b). Yang kedua, kita akan mengunakan analisis dengan teknik potongan dan badan bebas 114
seperti yang lazim dilakukan dalam statika yang konvensional, yang tergambar sebagai model 2 dalam Gambar 6.5.1(c).
Y
P X L,EI
Z VA
VA
V1 MA
M1
B M2
P
V2 V2
V1
(a) struktur
(b) model 1
M2
M1
P
VA
(c) model 2
MA
Gambar 6.5.1: Analisis Struktur Dengan Metoda Gaya Dalam model 1, kita menggunakan satu elemen balok sehingga menurut bahasan
Bab IV, m 1, n 2, m f 4, me 2, ne 2 jumlah komponen gaya
dan r 2 sehingga kita menghadapi
f 4 1 2 6 dan jumlah persamaan keseimbangan
e 2 1 2 2 6 dan kita memperoleh
s f e 0
(6.5.1)
yang mengindikasikan bahwa sistem struktur stabil dan statis tentu. Keenam komponen gaya adalah (M1 , V1 , M 2 , V2 ) pada batang dan ( M a , Va ) sebagai reaksi perletakan,
sedang keenam persamaan keseimbangan adalah dua ( F y 0 , M 0 ) pada
masing-masing simpul A dan B , serta dua pada elemen. Keseimbangan elemen dan simpul A dan B berturut-turut memberikan persamaan-persamaan yang dapat disusun dalam formulasi matriks
0 1 L 1 1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 0
0 V1 0 0 M1 0 0 V2 0 1 M 2 0 0 Va P 0 M a 0
yang dapat disolusikan untuk memberikan 115
(6.5.2)
V1 P; M1 PL; V2 P; M2 0; Va P; Ma PL
(6.5.3)
Dengan cara statika “konvensional” via model 2, keseimbangan badan bebas struktur total memberikan
F y 0
Va P 0
M thd A 0 M a P.L 0
sehingga
M a PL; Va P
(6.5.4)
(6.5.5)
yang selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung gaya-gaya ujung elemen dengan hasil
V1 Va P; M1 Ma PL; V2 P; M2 0
(6.5.6)
Tentu saja, kedua model harus memberikan hasil yang sama; namun, terlihat bahwa cara statika konvensional jauh lebih mudah dan sederhana, dibandingkan terhadap cara dengan model 1. Hal ini barangkali dikarenakan sistem struktur yang kita tinjau merupakan contoh yang masih sederhana. Masalahnya adalah, bahwa cara analisis statika yang konvensional penuh dengan kerancuan di dalam mengidentifisir mana gaya-gaya ujung batang, dan mana gaya-gaya pada titik simpul. Hal ini menjadi sangat krusial di dalam analisis struktur, di mana terdapat banyak ujung batang yang bertemu pada suatu titik simpul bersama, dan dengan orientasi batang yang berbeda-beda dalam tatanan global struktur. Khususnya, hal ini menjadi sangat penting dalam analisis struktur yang standard dan menggunakan formulasi matriks, di mana keseimbangan ditinjau pada elemen dan titik simpul, dan bukan atas sesuatu badan bebas sebagian atau badan bebas total. Sekarang kita meninjau sistem struktur balok yang dimodel dengan satu segmen
seperti dalam Gambar 6.5.2. Dengan m 1, n 2, m f 4, me 2, ne 2 tetapi r 2
(M a , Va , Vb ) , maka untuk contoh ini kita menghadapi jumlah komponen gaya
f 4 1 3 7 dan jumlah persamaan keseimbangan e 2 1 2 2 6 sehingga
s f e 7 6 1 yang mengindikasikan bahwa sistem struktur stabil tetapi statis tak
tentu berorde pertama. Jika kita ingin tetap menggunakan metoda gaya, harus dicari satu persamaan tambahan untuk dapat meneruskan analisis dengan metoda gaya. Jika persamaan keseimbangan disusun, maka diperoleh
0 1 L 1 1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
V 0 0 0 1 q0 L 1 M 1 0 0 0 1 q0 L2 V 2 0 1 0 0 2 0 M 2 0 0 1 0 0 V 0 0 0 1 a 0 M a 1 0 0 0 0 Vb 0
116
(6.5.7)
yang jika gaya-gaya ujung batang (M1 , V1 , M 2 , V2 ) dieliminir, diperoleh
Va 1 0 1 q0 L L 1 0 M a 1 q L2 V 2 o b
(6.5.8)
yang koresponden dengan persamaan keseimbangan gaya-gaya yang terkait dengan model 2 dalam Gambar 6.5.2. Dengan demikian ada dua persamaan keseimbangan dengan tiga gaya yang belum diketahui. Jadi, ada satu gaya kelebihan, yaitu satu di antara 3 gaya. Misalnya, dapat dipandang Va sebagai gaya kelebihan, yang jika telah terhitung, dapat dimasukkan ke dalam Pers. (6.5.8) untuk menghitung dua gaya lainnya. Hal yang sama juga dapat dilakukan terhadap M a atau Vb . Kita dapat melanjutkan proses analisis dengan mengambil satu gaya sebagai gaya kelebihan, misalnya Vb . Jika kekangan yang menimbulkan Vb ini dihapuskan, maka Vb menjadi nol, dan diperoleh suatu sistem modifikasi yang statis tentu. Atas sistem yang statis tentu ini, dikerjakan gaya luar dan gaya (atau gaya-gaya) kelebihan. Sistem statis tentu dengan gaya luar bekerja, dinamakan sistem primer. Sistem statis tentu dengan gaya kelebihan bekerja (atau masing-masing gaya kelebihan bekerja satu per satu), dinamakan sistem sekunder. Jadi untuk model 2, ada 3 macam sistem sekunder seperti dalam Gambar 6.5.3. Dalam model sistem sekunder 1, akibat penghapusan Vb , aka pada garis kerja Vb yang dihapuskan itu, timbul perpindahan, yang jika dihitung (misalnya dengan cara Castigliano), diperoleh Y
P
q0
X Z
B MA VA M1
V1 M1
M2
V1 q0
(a) balok dan gaya
P
V2 (b) model 1
V2 M2
(c) model 2
MA VB
VA
Gambar 6.5.2: Konsep Gaya Kelebihan 117
wB0
q0 L4 8EI
(6.5.9)
Setelah itu, kita merestorasi Vb kembali, dan akibat Vb ini, di B timbul perpindahan
wbs
Vb L3 3EI
(6.5.10)
Dalam struktur sebenarnya, perpindahan ujung B adalah nol, dan ini harus diberikan oleh sistem primer dengan beban q0 bekerja (yang dinamakan sistem primer), dan sistem sekunder dengan Vb bekerja. Jadi dari Pers. (6.5.9) dan (6.5.10) diperoleh
wb wb0 wbs
q0 L4 Vb L3 0 8EI 3EI
(6.5.11)
yang merupakan persamaan tambahan yang kita butuhkan. Penggabungan Pers. (6.5.8) dan (6.5.11) memberikan
VA = 0 0A = 0
MA = 0
(a) sistem sekonder 1
(b) sistem sekonder 2
0A
(c) sistem sekonder 3 wA Gambar 6.5.3: Sistem Sekonder, Struktur Gambar 6.5.2
q 0 L 1 0 1 Va 1 2 L 1 0 M a q0 L 3 L V 2 0 0 b q L4 0 3EI 8 EI 118
(6.5.12)
dengan solusi
5 1 3 Va q0 L; M a q0 L2 ; Vb q0 L 8 8 8
(6.5.13)
yang dapat digunakan untuk menghitung gaya-gaya ujung elemen,
5 1 3 V1 q0 L; M1 q0 L2 ; V2 q0 L; M 2 0 8 8 8
(6.5.14)
Kita juga dapat mencoba sistem sekonder 2, di mana momen M a dipilih sebagai gaya kelebihan. Dalam model ini, kriteria keserasian perpindahan adalah bahwa tidak ada rotasi pada jepitan di A , yaitu
A A0 AS
(6.5.15)
di mana A0 adalah rotasi pada sistem sekonder akibat gaya luar q0 , dan As adalah rotasi pada sistem sekonder akibat M a , yaitu
A
1 1 q0 L3 ; AS M AL 24 EI 3EI
(6.5.16)
Dengan demikian, persamaan tambahan adalah
1 1 M AL q0 L3 3 24
(6.5.17)
yang jika digabungkan dengan sistem Pers. (6.5.8) , akan menghasilkan gaya kelebihan
M a , yang tentunya sama dengan yang diperoleh dalam Pers. (6.5.13). Kita dapat merangkum metoda keserasian perpindahan yang kita telah bahas di atas, di dalam suatu rentetan prosedur analisis sebagai berikut. (1)
Tentukan orde ketidak-tentuan statis sistem persamaan.
(2)
Jika sistem struktur adalah statis tentu, hitung gaya-gaya dengan cara statika, dan perpindahan dengan kriteria gaya-perpindahan. Jika sistem struktur statis tidak tentu berorde S , teruskan proses analisis dengan langkah berikut.
(3)
Pilih gaya-gaya kelebihan sebanyak S , lalu dapatkan sistem sekonder berupa sistem statis tentu dengan cara menghapuskan kekangan yang menimbulkannya.
(4)
Analisislah sistem primer, berupa system yang statis tentu dengan gaya luar yang bekerja.
(5)
Kerjakan gaya-gaya kelebihan pada arah masing-masing secara satu per satu atas sistem yang statis tentu, dan hitung perpindahan di arah gaya-gaya tersebut sebagai superposisi dari semua analisis sistem sekunder.
(6)
Tetapkan kriteria keserasian perpindahan di arah gaya-gaya kelebihan, kumpulkan semua persamaan untuk mendapatkan satu sistem persamaan simultan. 119
(7)
Solusikanlah sistem persamaan simultan tersebut untuk mendapatkan gaya-gaya kelebihan.
(8)
Dengan memandang gaya-gaya kelebihan yang sudah terhitung sebagai gayagaya luar, hitung reaksi lainnya serta perpindahan sistem perpindahan struktur dengan kriteria hubungan gaya-perpindahan.
Dengan merujuk kepada prosedur analisis dengan metoda keserasian perpindahan di atas, kita dapat memberikan beberapa catatan sebagai berikut. Pertama, kita membutuhkan kemahiran untuk menyusun perpindahan akibat gaya-gaya terpusat, terhadap potongan-potongan dalam struktur. Dalam hal ini, kepiawaian dalam menerapkan teknik-teknik perhitungan perpindahan, seperti teorema Castigliano atau Maxwell-Betti dan cara beban palsu, sangat dibutuhkan. Kedua, kita membutuhkan pemilihan gaya-gaya kelebihan di antara gaya-gaya yang ada. Dengan f sebagai jumlah gaya, dan s orde ketidak-tentuan statis, ada s buah gaya kelebihan, dengan jumlah pilihan kombinasi gaya kelebihan yang diberikan oleh rumus kombinatorial
ss
f! ( f s) ! s !
(6.5.18)
Sekalipun pilihan adalah bebas, namun pilihan tertentu dapat membuat proses perhitungan menjadi lebih mudah, atau justru lebih sulit. Pilihan juga harus diakukan secara bijaksana, agar setelah pelepasan gaya-gaya kelebihan, diperoleh sistem struktur keseluruhan atau sub bagian yang statis tentu dan stabil. Pemilihan yang kurang arif dapat mengakibatkan adanya sub bagian struktur yang menjadi labil. Proses pemilihan gaya-gaya kelebihan yang dilakukan atas dasar pengamatan visual, membuat metoda keserasian perpindahan ini hanya cocok untuk perhitungan manual, dan kurang cocok diterapkan untuk proses perhitungan yang otomatis, misalnya dengan bantuan program komputer. Selain itu, proses perhitungan seakan dilakukan dua kali, pertama untuk gaya, yang kedua untuk perpindahan. 6.6
Metoda Keseimbangan
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, metoda perpindahan adalah metoda analisis yang memilih komponen perpindahan bebas yang tidak diketahui, sebagai besaran dasar yang akan dihitung. Di dalam konteks sistem struktur yang berbentuk rangka, komponen gaya dan perpindahan yang diambil sebagai besaran dasar adalah yang komponen-komponen gaya ujung batang dan reaksi perletakan, serta perpindahan bebas yang timbul pada titik simpul. Dengan demikian, di dalam analisis dengan metoda perpindahan sebagai dasar, kriteria keseimbangan ditinjau pada arah komponen perpindahan titik simpul yang aktif, atau yang bebas. Untuk memulai, kita kembali meninjau sistem struktur dalam Gambar 6.6.1 yang telah dianalisis dengan metoda keserasian perpindahan. Dalam model ini, hanya ada satu batang dan dua titik simpul, yaitu titik A dan B . Komponen perpindahan yang aktif 120
dalam titik simpul adalah translasi w2 dan rotasi 2 pada titik B . dengan demikian, sistem struktur ini adalah kinematis tidak tentu berorde dua. Metoda analisis dimulai dengan membuat sistem menjadi sistem kinematis tentu, yaitu dengan memegang semua perpindahan yang aktif, seperti dalam Gambar 6.6.1(c). Dalam sistem yang kinematis tentu ini, dihitung gaya-gaya ujung pada batang, yang kebetulan dalam hal ini semua nol karena tidak ada gaya luar yang bekerja secara internal atau lokal pada batang. Gaya terpusat P pada titik B adalah gaya luar yang bekerja pada titik B sebagai titik simpul.
P A
X
B L,EI
VA
V2VA V1
MA
M1
P
B M2
W1,V1
(a) batang dan gaya
V2
(b) model elemen
w2,V2 θ2,M2
M1 θ1
(c) struktur primer w2 (1) (d) struktur sekonder (2) θ2 Gambar 6.6.1: Analisis Dengan Metoda Keseimbangan Setelah itu, atas sistem yang kinematis tentu, ditinjau satu per satu komponen perpindahan yang aktif, seperti dalam Gambar 6.6.1(d). Perhatikan bahwa dalam Gambar 6.6.1(d)(1), pada saat w2 diperkenalkan, 2 ditahan nol. Begitu juga pada saat
w2 diperkenalkan, w2 ditahan nol seperti dalam Gambar 6.6.1(d)(2). Akibat gaya luar, w2 dan w2 , diperoleh gaya-gaya ujung seperti telah diberikan dari dalam Pers. (6.4.1),
yaitu
12 EI 6 EI w2 2 2 3 L L 6 EI 4 EI M 2 2 w2 2 L L
V2
121
(6.6.1)
Sekarang, keseimbangan gaya-gaya pada titik simpul B di masing-masing arah w2 dan
2 memberikan
P V2 0 M2 0
dalam mana V2 dan M 2 mengandung w2 dan 2 . Pengaturan persamaan di atas dalam kedua besaran perpindahan yang belum diketahui ini memberikan
12 EI 6 EI w2 2 2 P 3 L L 6 EI 4 EI 2 0 2 w2 L L
atau, dalam notasi matriks,
dengan solusi
12 EI L3 6 EI L2
w2
6 EI L2 w2 P 4 EI 2 0 L
PL3 PL2 ; 2 3EI 2 EI
(6.6.2)
(6.6.3)
sehingga dari Pers. (6.4.1) diperoleh
12 EI 6 EI w2 2 2 P 3 L L 6 EI 2 EI M1 2 w2 2 PL L L 12 EI 6 EI V2 3 w2 2 2 P L L 6 EI 4 EI M 2 2 w2 2 0 L L V1
(6.6.4)
Keseimbangan titik-titik simpul akan memberikan gaya-gaya reaksi perletakan, yaitu
VA P; M A PL
(6.6.5)
Sebagai contoh kedua, sistem struktur dalam Gambar 6.6.2, yang telah dianalisis dengan metode gaya, dalam kesempatan ini akan dianalisis dengan metode perpindahan. Dengan menggunakan satu elemen, ada dua titik simpul, yaitu A dan B , dan komponen perpindahan yang aktif hanya rotasi di B . Sistem yang kinematis tentu, yaitu yang memegang rotasi di B ini, ditunjukkan dalam Gambar 6.6.1(b). Sistem primer, yaitu sistem yang kinematis tentu dengan gaya luar 2 yang bekerja,
memberikan 122
M 2q Y
1 q0 L2 12
(6.6.6)
q0 X EI,L
(a) balok dan gaya
(b) sistem kinematis tentu
q0 (c) sistem primer
(d) sistem sekunder θ2 Gambar 6.6.2: Penerapan Metoda Perpindahan
sementara sistem sekunder, yaitu sistem yang kinematis tentu dengan 2 yang bekerja, memberikan
M 2
4 EI 2 L
(6.6.7)
Keseimbangan gaya (dalam hal ini momen) di arah komponen perpindahan bebas 2 memberikan
M 2 M 2q
yang menghasilkan
2
4 EI 1 2 q0 L2 0 L 12
(6.6.8)
q0 L3 48EI
(6.6.9)
yang jika dimasukkan kedalam Pers. (6.4.1), memberikan
1 6 EI 5 1 6 EI 3 V1 q 0 L 2 2 q 0 L V2 q 0 L 2 2 q 0 L 2 8 2 8 L L 1 2 EI 1 1 4 EI M 1 q 0 L2 2 q 0 L2 M 2 q 0 L2 2 0 L 12 8 L 12 Keseimbangan titik simpul memberikan
123
(6.6.10)
3 1 5 VA q0 L; M A q0 L2 ; VB q0 L 8 8 8
(6.6.11)
Menyimak proses perhitungan di atas, kita dapat merangkum analisis struktur dengan metoda perpindahan, dalam urutan langkah sebagai berikut. (1)
Pilih sistem diskrit yang digunakan untuk memodelkan sistem struktur, dan tentukan derajat ketidak-tentuan kinematis model tersebut.
(2)
Jika sistem adalah kinematis tentu, gaya dan perpindahan diperoleh dari model batang jepit-jepit. Jika sistem kinematis tidak tentu, dilakukan urutan langkah berikut.
(3)
Nonaktifkan semua komponen perpindahan aktif, untuk mendapatkan sistem yang kinematis tentu.
(4)
Atas sistem yang kinematis tentu ini, dikerjakan gaya luar, dan hitung gaya-gaya ujung jepit batang. Ini dinamakan sistem primer.
(5)
Atas sistem yang kinematis tentu, dikerjakan komponen perpindahan yang aktif satu persatu. Ini dinamakan sistem sekonder.
(6)
Kumpulkan semua gaya-gaya ujung akibat sistem primer dan semua sistem sekonder, pada setiap arah komponen perpindahan bebas.
(7)
Terapkan keseimbangan gaya di masing-masing arah komponen bebas, dan kumpulkan semua sistem persamaan tersebut dalam membentuk satu sistem persamaan simultan yang melibatkan komponen perpindahan bebas dan gaya luar.
(8)
Solusikan sistem perusahaan keseimbangan simultan tersebut untuk menghitung komponen perpindahan bebas.
(9)
Gunakan komponen perpindahan yang sudah dihitung, untuk menentukan gayagaya ujung semua batang, dengan menggunakan hubungan gaya-perpindahan.
Mengenai metoda perpindahan, diberikan beberapa komentar sebagai berikut. Pertama, diperlukan kepiawaian di dalam pemodelan sistem struktur, dan penjabaran model perpindahan yang secara kinematis serasi. Kedua, terlihat bahwa proses penyusunan keseimbangan, diperlukan kepiawaian di dalam perhitungan gaya-gaya ujung batang. Ini semua sudah dibahas secara mendalam pada Bab III dan V. Berikutnya, terlihat bahwa begitu model diskrit yang akan digunakan telah dipilih, orde ketidak-tentuan kinematis yang akan menentukan orde dari sistem persamaan keseimbangan simultan, beserta komponen perpindahan yang aktif yang terlibat di dalam persamaan simultan tersebut, telah tertentu, dan tidak memerlukan pengamatan visual seperti dalam metoda gaya sewaktu memilih gaya kelebihan mana yang akan digunakan dalam persamaan keserasian perpindahan. Inilah salah satu alasan, metoda perpindahan lebih cocok untuk dituangkan dalam perhitungan yang lebih otomatis, seperti misalnya penggunaan program komputer.
124
Ditinjau dari segi keabsahan, kedua metoda analisis, yaitu metoda gaya (atau metoda keserasian perpindahan) dan metoda perpindahan (atau metoda keseimbangan) merupakan dua metoda yang setara, khususnya di dalam konteks sistem struktur yang terbuat dari bahan Newtonian padat (solid materials). Namun, sesuai dengan perkembangannya, metoda perpindahan mendapatkan perhatian dan penerapan yang melebihi dari yang diterima oleh metoda gaya. Ini disebabkan oleh beberapa hal sebagai mana akan dibahas berikut ini. 6.7
Kaji Banding Antara Metoda Gaya dan Metoda Perpindahan
Berdasarkan pengamatan atas formulasi metoda gaya dan perpindahan, diberikan beberapa aspek dalam kaji banding kedua metoda sebagai berikut. Pertama, kita melihat bahwa kedua metoda menggunakan hukum-hukum dan kaidah mekanika yang sama. Karena itu, kedua metoda memiliki tingkat validitas atau keabsahan yang setara. Metoda gaya dan metoda perpindahan masing-masing menggunakan gaya dan perpindahan sebagai besaran dasar, dengan orde persamaan simultan akhir yang ditentukan oleh orde ketidak-tentuan statis dan ketidak-tentuan kinematis sistem. Seperti telah diterangkan sebelumnya, orde ketidak-tentuan statis suatu sistem struktur adalah tetap dan tidak tergantung kepada model diskrit yang digunakan dalam mewakili struktur yang sebenarnya di dalam proses analisis. Di lain fihak, orde ketidak-tentuan kinematis suatu sistem struktur tidak tetap, dan tergantung kepada model diskrit yang digunakan. Orde ketidak-tentuan statis dan ketidak-tentuan kinematis merupakan dua hal yang antagonistis. Semakin tinggi orde ketidak-tentuan statis, semakin rendah orde ketidak-tentuan kinematis sistem struktur, dan sebaliknya. Dalam metoda gaya, diperlukan langkah manual untuk memilih gaya kelebihan yang nantinya dilibatkan dalam persamaan akhir. Dengan demikian, sekalipun ordenya tetap, yaitu sama dengan orde ketidak-tentuan statis, persamaan akhir yang diperoleh akan berbeda-beda sesuai dengan kombinasi gaya-gaya yang dipilih sebagai gaya kelebihan (redundants). Di dalam metoda perpindahan, orde ketidak-tentuan kinematis tergantung kepada model diskrit yang digunakan. Dengan demikian, orde dari persamaan simultan akhir, tergantung kepada model diskrit yang digunakan. Hanya saja, begitu model diskrit yang akan digunakan telah dipilih, komponen perpindahan bebas sebagai besaran akhir dalam persamaan global struktur, telah tertentu pula. Dengan demikian dan dengan perkataan lain, sistem persamaan simultan akhir adalah unik untuk setiap model diskrit yang digunakan. Dalam menyusun persamaan akhir di dalam konteks metoda gaya, sistem modifikasi yang statis tentu sebagai dasar formulasi persamaan akhir, diperoleh dengan melepaskan kekangan yang mengerahkan gaya-gaya kelebihan yang dipilih. Karena itu, pengaruh dari gaya-gaya kelebihan akan cenderung menyebar ke seantero sistem, sehingga matriks yang menghubungkan vektor gaya terhadap vektor perpindahan, cenderung memiliki unsur-unsur yang menyebar keluar dari diagonal utama matriks. Di lain pihak, sistem modifikasi yang kinematis tentu serta yang digunakan sebagai dasar penyusunan persamaan akhir, dilakukan dengan memegang komponen perpindahan yang aktif. Akibatnya, pengaruh dari aplikasi komponen perpindahan yang aktif dalam sistem sekunder, cenderung terlokalisir, sehingga matriks koefisien yang 125
menghubungkan vektor perpindahan terhadap vektor gaya, cenderung memiliki unsurunsur yang mengumpul di sekitar diagonal utama. Dua hal yang terakhir ini, yaitu penentuan dalam pemilihan gaya-gaya kelebihan, serta menyebarnya unsur-unsur ke luar diagonal utama matriks koefisien persamaan akhir, membuat metoda gaya ketinggalan popularitas di dalam otomatisasi analisis (misalnya dengan program komputer), dibandingkan dengan rekannya, metoda perpindahan. Hal ini khususnya sangat signifikan, terlebih jika sistem struktur yang dianalisis berukuran sangat besar, dalam artian memiliki jumlah elemen dan titik simpul yang relatif besar. 6.8
Contoh Penerapan
Contoh 6.1: Dengan menggunakan metoda keserasian perpindahan (metoda gaya) dan metoda keseimbangan (metoda perpindahan), analisislah sistem struktur dalam Gambar 6.8.1 untuk menghitung tanggap sistem struktur terhadap gaya merata q0 . Gunakan elemen tunggal untuk pemodalan sistem. Penyelesaian: Untuk model diskrit seperti dalam Gambar 6.8.1, diperoleh jumlah komponen gaya f 4 1 4 8 dan jumlah persamaan keseimbangan e 2 1 2 2 6 sehingga
s f e 8 6 2 . Dalam konteks metoda gaya, ada dua gaya kelebihan, yang dalam contoh ini, diambil V2 dan M 2 , dengan model statis tentu, model sekunder dan
primer sebagai yang terlihat dalam gambar. Akibat gaya luar q0 , dari model primer diperoleh
w2q
q0 L4 q L3 ; 2q 0 8EI 6 EI
(6.8.1)
Akibat gaya kelebihan V2 dan M 2 , dari model sekonder diperoleh
V2 L3 V2 L2 v ; 2 ; w 3EI 2 EI v 2
M 2 L2 M L ; 2m 2 w 2 EI EI m 2
(6.8.2)
Merujuk kepada sistem struktur dalam Gambar 6.8.1(c), syarat keserasian perpindahan untuk sistem ini adalah bahwa perpindahan dan rotasi ujung B harus nol. Dengan demikian, diperoleh
w2 w2q w2v w2m 0
2 2q 2v 2m 0
(6.8.3)
Substitusi bentuk-bentuk dalam Pers. (6.8.1) dan (6.8.2) dalam Pers. (6.8.3), serta pengaturan bentuk persamaan, menghasilkan
126
L2 V q0 L4 2 2 EI 8EI L q0 L3 M 2 EI 6 EI
(6.8.4)
1 1 V2 q0 L; M 2 q0 L2 2 12
(6.8.5)
L3 3EI L2 2 EI
dengan solusi
Perpindahan struktur dapat dihitung dengan mengerjakan q0 , V2 dan M 2 pada sistem statis tentu dalam Gambar 6.8.1(c), yang identik dengan gabungan dari model primer dan semua modal sekonder. Hasilnya adalah Y
q0
X
(a) stuktur
L,EI (b) model elemen (c) model statis tentu wvb
0 vb
(1)
V2 wm b
(d) model sekonder 0m b
(2)
M2 q0
wqb
0 qb (e) model primer
Gambar 6.8.1: Metoda Gaya, Contoh 6.1
w( x)
1 x x x q0 L4 ( ) 4 2( )3 ( ) 2 24 EI L L L
(6.8.6)
Dalam analisis struktur dengan metoda perpindahan, dalam contoh ini terlihat bahwa semua derajat kebebasan sistem struktur tidak aktif karena kedua ujung A dan 127
B terjepit sempurna, sehingga sistem adalah kinematis tentu. Dalam hal ini, gaya-gaya diberikan oleh gaya ujung jepit, yaitu
V1 , M1 ,V2 , M 2 1 q 0 L, 1 2
1 1 q0 L2 , q 0 L, q0 L2 12 2 12
(6.8.7)
dengan fungsi perpindahan yang telah disusun dan dituliskan dalam Pers. (6.8.6). Contoh 6.2: Dengan metoda keserasian perpindahan dan metoda gaya, analisislah sistem struktur dalam Gambar 6.8.2 untuk menghitung gaya-gaya dan perpindahan ujung-ujung batang, akibat gaya terpusat. Gunakan model dua elemen, yaitu segmen AB dan segmen BC . Penyelesaian:
Dengan menggunakan model dua elemen, diperoleh f 4 2 4 12 dan jumlah
persamaan keseimbangan e 2 2 2 3 10 sehingga s f e 12 10 2 , dan sistem struktur adalah statis tidak tentu orde dua. Gaya reaksi perletakan Rbv dan Rcv dalam contoh ini dipilih sebagai gaya kelebihan. Dengan metoda keserasian perpindahan, diperoleh sistem modifikasi yang statis tentu dalam Gambar 6.8.2(b), dengan model primer dan model-model sekonder dalam Gambar 6.8.2(c) hingga 6.8.2(e). Perpindahan di arah Rbv dan Rcv diperoleh sebagai dalam Gambar 6.8.2(c) hingga 6.8.2(e), dengan nilai
wb 0
wb b
wb c
7 PL3 ; 12 EI
RbvL3 ; 3EI 5Rcv L3 ; 6 EI
wc 0
wc b
wc c
27 PL3 ; 16 EI 5RbvL3 6 EI
(6.8.8)
8Rcv L3 3EI
di mana teorema Castigliano dan Mawell-Belti telah diterapkan. Syarat keserasian perpindahan mengharuskan bahwa
wb wb0 wbb wbc 0
wc wc0 wcb wcc 0
(6.8.9)
yang jika bentuk-bentuk dalam Pers. (6.8.8) dimasukkan ke dalamnya dan kemudian dilakukan pengaturan unsur-unsurnya, memberikan
128
L3 3EI 5L3 6 EI
R
dengan solusi
bv
5L3 R 7 PL3 bv 6 EI 12 EI 8L3 27 PL3 Rcv 3EI 16 EI 43 Rcv P 56
(6.8.10)
11 P 28
(6.8.11)
Gaya-gaya ujung balok menjadi mudah dihitung sebagai berikut Y
P A
B
1
L
w0b
wBb
P
L/2
w0c
wbc
X
(a)
L/2
(b)
(f)
(c)
(g)
(d)
(h) 0b
R bv wcc wbc
C
2
(i)
(e) 0c
R cv
Gambar 6.8.2: Metoda Gaya dan Perpindahan, Contoh 6.2
V
3 9 3 9 M1 V2 M 2 1 P PL P PL 28 56 28 56 3 11 V2 M 2 V2 M 2 2 17 P PL P 0 28 28 28 1
(6.8.12)
Analisis dengan metoda perpindahan dimulai dengan pengamatan bahwa derajat kebebasan aktif titik simpul adalah notasi pada B dan C . Model kinematis tentu, model primer dan sekonder diperlihatkan dalam Gambar 6.8.2(f) hingga 6.8.2(i). Akibat beban luar, B dan C , gaya-gaya ujung menjadi
129
4 EI B L 1 4 EI 2 EI 2 B C M1 PL 8 L L 1 2 EI 4 EI 2 B C M 2 PL 8 L L
M2 1
(6.8.13)
Keseimbangan gaya-gaya di arah B dan C (dalam hal ini, gaya-gaya momen), memberikan
M 2 M1 0 1
2
M2 0
(6.8.14)
2
yang dengan Pers. (6.8.13), memberikan
8EI L 2 EI L dengan solusi
B
2 EI 1 PL B L 8 4 EI 1 PL L C 8
3PL2 112 EI
C
5PL2 112 EI
(6.8.15)
(6.8.16)
yang jika dimasukkan ke dalam Pers. (6.8.13), dan dengan menggunakan Pers. (6.4.1), menghasilkan gaya-gaya ujung balok berikut.
V1 M1 V2 M 2
3 9 3 9 P; PL ; P ; PL 56 56 28 56 V1 M1 V2 M 2 2 17 P ; 3 PL ; 11 P ; 0 28 28 28
(6.8.17)
Contoh 6.3: Suatu sistem struktur yang terdiri atas dua batang aksial, dibebani dengan gaya aksial seperti dalam Gambar 6.8.3. Dengan menggunakan metoda keserasian perpindahan, analisislah struktur tersebut untuk menghitung perpindahan dan gaya yang timbul akibat gaya terpusat horisontal P di titk B . Penyelesaian:
Untuk m 1, n 2 dan untuk batang aksial, m f 2, me 1, ne 1 tetapi r 2
( Ra dan Rc ), diperoleh f 2 2 2 6 dan e 1 2 1 3 5 sehingga struktur merupakan sistem statis tidak tentu orde pertama. Dengan mengambil Rc sebagai gaya kelebihan, maka sistem statis tentu, sistem primer dan sistem sekonder menjadi seperti dalam Gambar 6.8.3(b), 6.8.3(c), 6.8.3(d). Dalam sistem primer, diperoleh 130
ub0 dan pada sistem sekonder
PL ; EA
ucr
uc0
PL EA
(6.8.18)
Rc (2 L) EA
(6.8.19)
Keserasian perpindahan di arah Rc menyaratkan bahwa
uc uc0 ucr 0
yang memberikan
dengan solusi
(6.8.20)
PL 2 Rc L 0 EA EA
(6.8.21)
1 Rc P 2
(6.8.22)
Y A
B
P
L,EA A
C
X
(a) stuktur
L,EA B
C
(b) sistem statis tentu
P
(c) sistem primer Rc
(d) sistem sekonder
Gambar 6.8.3: Struktur Contoh 6.3 Dengan terhitungnya gaya reaksi ini, perpindahan titik simpul dapat dihitung dengan memasukkan nilainya, yaitu
ub uc
PL (1 / 2 P )(2 L) PL EA 2 EA 2 EA
PL (1 / 2 P )(2 L) 0 EA 2 EA
(6.8.23)
Selain itu, gaya-gaya ujung batang AB dan BC dapat dihitung sebagai pelengkap solusi, yaitu 131
p11
EA EA EA PL 1 u11 u 21 ( ) P L L L 2 EA 2 EA PL EA EA 1 u 21 u11 p21 ( ) P L 2 EA L L 2 EA PL EA EA 1 u 22 u 21 p12 ( ) P L 2 EA L L 2 EA PL EA EA 1 u 22 u 21 p22 ( ) P L 2 EA L L 2
(6.8.24)
Contoh 6.4: Analisislah kembali sistem struktur dalam Gambar 6.8.3(a), namun dalam kesempatan ini, gunakan metoda perpindahan. Penyelesaian: Perpindahan yang aktif hanya pada titik B , sehingga sistem adalah kinematis tidak tentu orde pertama. Sistem kinematis tentu, primer dan sekonder terlihat dalam Gambar 6.8.4. Dalam sistem primer, 0 0 0 0 p11 0 ; p21 0 ; p12 0 ; p22 0
dan dalam sistem sekonder,
A
EA EA EA ua ub ub L L L EA EA EA p21 ua ub ub L L L EA EA EA ub uc ub p12 L L L EA EA EA ub uc ub p22 L L L
(6.8.25)
p11
B
C P
(6.8.26)
(a) sistem kinematis tentu (b) sistem primer
Ub (c) sistem sekonder
Gambar 6.8.4: Struktur Contoh 6.4 Keseimbangan gaya-gaya di arah ub mengharuskan
p21 p12 P 0 132
(6.8.27)
yang dengan mengingat Pers.(6.8.26), memberikan
2 EA ub P L dengan solusi
ub
(6.8.28)
PL 2 EA
(6.8.29)
Substitusi hasil dalam Pers. (6.8.29) ke dalam Pers.(6.8.26) memberikan
1 1 1 1 p11 P ; p21 P ; p12 P ; p22 P 2 2 2 2
(6.8.30)
Contoh 6.5: Suatu sistem struktur portal buntung seperti dalam Gambar 6.8.5, dianalisis dengan metoda keserasian perpindahan. Tentukan gaya-gaya ujung batang AB dan BC . Penyelesaian: Dengan mengabaikan deformasi aksial, kita dapat menggunakan model elemen seperti dalam Gambar 6.8.5(b), dengan EA . Karena itu kita menghadapi kasus di
mana m 2, n 3 dan m f 5, me 2, ne 3 tetapi r 4 (tiga reaksi pada simpul
A , satu pada simpul C ), diperoleh f 5 2 4 14 dan e 2 2 3 3 13 . Terlihat
bahwa struktur merupakan sistem yang statis tidak tentu orde pertama. Jika kita mengambil Rcv sebagai gaya kelebihan, maka sistem yang statis tentu dengan gaya luar dan gaya kelebihan yang bekerja, ditunjukkan dalam Gambar 6.8.5(b), dengan bidang momen seperti dalam Gambar 6.8.5(c). Menurut Castigliano, diperoleh perpindahan di arah Rbv dengan prosedur sebagai berikut. Segmen CB :
Segmen BA : Perpindahan vc menjadi
vc
M ( s) Rcv s ;
M ( s) s Rcv
M (t ) RbvL Pt ;
M (t ) L Rcv
L Rcv L3 Rcv L3 PL3 M ( s) M ( s) M (t ) M (t ) ds dt Rcv Rcv 3EI 2 EI EI EI EI 0 0
(6.8.31)
(6.8.32)
L
(6.8.33)
Persyaratan keserasian perpindahan di arah Rcv adalah
vc 0
133
(6.8.34)
yang jika dimasukkan ke dalam Pers. (6.8.33), memberikan
4 L3 PL2 Rcv 0 3EI 2 EI
sehingga
Rcv
(6.8.35)
3 PL 8
(6.8.36)
Dengan terhitungnya Rcv , gaya-gaya ujung batang dapat dihitung dengan mudah. Y C
P
RbvL
P P
EI,L
B
+
Rcv 2
1
EI,L
t
s
4
3
5
1 +
_
X
A (a) struktur
(b) model statis tentu
RbvL PL
(c) bidang momen
Gambar 6.8.5: Struktur Contoh 6.5 Contoh 6.6: Analisislah kembali struktur dalam Gambar 6.8.5(a); namun dalam contoh ini, gunakan metoda perpindahan. Penyelesaian: Komponen perpindahan bebas diperlihatkan dalam Gambar 6.8.6(a), dengan pola perpindahan yang serasi dalam Gambar 6.8.6(b) hingga 6.8.6(d). Gaya-gaya akibat gaya luar dan perpindahan ujung-ujung elemen AB dan BC adalah
12 EI 6 EI b ; ub 3 12 L 12 EI 6 EI Va b 3 ub 2 b ; L L 6 EI 6 EI Vbc 2 b 2 c ; L L 6 EI 6 EI Vcb 2 b 2 c ; L L
Vba
6 EI 4 EI b ub 2 L L 6 EI 2 EI b M a b 2 ub L L 4 EI 2 EI b 2 c M bc L L 2 EI 4 EI b 2 c M cb L L M ba
(6.8.37)
Keseimbangan gaya-gaya berturut-turut di arah ub , c1 dan c memberikan
Vba P 0
M ba M bc 0 M cb 0
134
(6.8.38)
yang jika bentuk Pers. (6.8.37) dimasukkan ke dalamnya, menghasilkan
12 EI L3 6 EI L2 0
0 u B P 2 EI b 0 L 4 EI L c 0
EA L2 8EI L 2 EI L C
1
(6.8.39)
Ub
1
Ub
EI,L
B
3
2 EI,L
(a) dof struktur
(b) goyangan
A
0b 0c 0b (d) rotasi titik C
(c) rotasi titik B
Gambar 6.8.6: Struktur Contoh 6.6 Solusi dari Pers. (6.8.39) adalah
ub b
7 PL3 PL2 PL2 c , , 8EI 16 EI 48EI
(6.8.40)
sehingga gaya-gaya ujung menjadi
Vba P ; M ba
3 5 PL ; Va b P ; PL 8 8 3 3 3 Vbc P ; M bc PL ; Vcb ; M cb 0 8 8 8 135
(6.8.41)
Contoh 6.7: Suatu sistem struktur rangka sendi bidang dalam Gambar 6.8.7 dibebani gaya terpusat horisontal P di titik simpul D . Dengan metoda keserasian perpindahan, analisislah sistem struktur. Penyelesaian: Kita memodelkan sistem struktur atas 3 elemen dan empat titik simpul, serta 6 reaksi perletakan (2 reaksi pada masing-masing perletakan A, B dan C ). Untuk
m 2, n 3 dan m f 2, me 2, ne 2 tetapi r 6 , diperoleh f 2 3 6 12 dan
e 3 1 2 4 11 , sehingga s 1 dan struktur adalah sistem statis tidak tentu orde
pertama. Jika gaya dalam R3 diambil sebagai gaya kelebihan, sistem statis tentu, sistem primer serta sistem sekonder menjadi seperti terlihat dalam Gambar 6.8.7(b) hingga 6.8.7(d). Untuk sistem primer, diperoleh gaya-gaya
S1 P ; S2 P 2 ; S3 0
dengan perpindahan
(6.8.42)
titik C di arah x dan y yang dapat diperoleh dengan cara
Castigliano sebagai berikut,
S12 L S22 L 2 P 2 L P 2 L 2 N ( x) 2 dx Un EA 2 EA 2 EA 2 EA 2 EA sehingga
U n PL (1 2 2 ) EA P
cx0
(6.8.43)
(6.8.44)
Untuk sistem sekonder, diperoleh
dan
dengan
S1 R3 ; S2 R3 2 ; S3 R3
(6.8.45)
Un
R32 L R32 L 2 R32 L EA 2 EA 2 EA
(6.8.46)
U n R3 L (2 2 2 ) S3 EA
(6.8.47)
cxs
Syarat keserasian perpindahan adalah bahwa perpindahan C di arah X bernilai nol, yaitu
cx cx0 cxs 0
(6.8.48)
yang jika Pers.(6.8.37) dan (6.8.40) dimasukkan di dalamnya, memberikan
R3
P (3 2 ) 2
136
(6.8.49)
sehingga
S1 P
P 1 (3 2 ) P (1 2 ) 2 2 P 1 S2 P 2 (3 2 2) P (2 2 ) 2 2 1 S3 P (3 2 ) 2
(6.8.50)
L R3
P C
Y
L
A
D
3
2
1
X
B
(a) struktur
(b) sistem statis tentu P
P
3
(c) sistem primer
(d) sistem sekonder
Gambar 6.8.7: Struktur Contoh 6.7 dan perpindahan titik D dapat dicari dengan menggunakan teorema Castigliano,
Un Sehingga
DX
S1 L S2 L 2 S3 L 2 EA 2 EA 2 EA 2
2
2
(6.8.51)
U n S1 L Un S3 L PL PL (3 2) ; DY ( 2 1) (6.8.52) 2 EA S1 2 EA S 3 EA EA
Contoh 6.8: Dengan menggunakan metoda perpindahan, analisislah kembali sistem struktur dalam Gambar 6.8.7(a) dalam Contoh 6.7. 137
2 1 3
3
2
1
2
1
(b) sistem kinematis tentu
(a) dof struktur Ub
1 2
3
VD 2 Vb
3 1 2
UD 2
1
2
2
1
(d) sistem sekunder 2
(c) sistem sekunder 1
Gambar 6.8.8: Struktur Contoh 6.8 Penyelesaian: Dengan menggunakan model diskrit seperti dalam Gambar 6.8.8(a), diperoleh kesimpulan dari model bahwa sistem adalah kinematis tak tentu dengan perpindahan horisontal dan vertikal di D sebagai derajat kebebasan struktur. Sistem kinematis tentu, dan sistem sekonder diperlihatkan dalam Gambar 6.8.8(c) hingga 6.8.8(d). Akibat U D , diperoleh U1 0, U 2 1 / 2U D 2 dan U 3 2U D dan akibat VD , U1 VD , U 2 1 / 2 VD 2 dan U 3 0 . Gaya-gaya akibat gaya luar dan perpindahan dalam elemen-elemen menjadi
p11 p 22
EA 1 EA 1 EA EA ( U D 2) (VD ) ; p 21 (VD ) ; p12 ( U D 2) L L L 2 2 L 2 2 EA EA EA 1 EA 1 (U D ) ; (U D ) ( VD 2 ) ; p13 ( U D 2) P23 L L L 2 2 L 2 2
Keseimbangan gaya-gaya yang ada di arah U D dan VD memberikan
138
(6.8.53)
p22 (
1 2 ) p23 P 0 2 1 p21 p22 ( 2 ) 0 2
(6.8.54)
yang jika bentuk dalam Pers. (6.8.53) dimasukkan ke dalamnya dan diatur formatnya, Pers. (6.8.54) memberikan,
1 EA L (1 4 2 ) EA ( 1 2 ) L 4
dengan solusi
sehingga
U D
EA 1 ( 2 ) U D P L 4 1 EA 2 ) (1 VD 0 4 L
1 PL 1 VD (3 2 ) ( 2 1) 2 EA 2
1 1 p11 P ( 2 1) ; p21 P ( 2 1) 2 2 1 1 p12 P (2 2 ) ; p22 P (2 2 ) 2 2 1 1 p13 P (3 2 ) ; p23 P (3 2 ) 2 2
(6.8.55)
(6.8.56)
(6.8.57)
Contoh 6.9: Sistem struktur rangka sendi bidang dalam Gambar 6.8.9, dianalisis dengan metoda keserasian perpindahan. Tentukan gaya batang dan perpindahan titik simpul. Penyelesaian:
Dengan model diskrit seperti dalam Gambar 6.8.9(a), diperoleh m 3, n 3 dan
m f 2, me 1, ne 2 tetapi r 3 , diperoleh f 2 3 3 9 dan e 1 3 2 3 9 ,
sehingga s 0 dan struktur merupakan sistem yang statis tentu. Gaya-gaya dapat ditentukan cukup dengan statika seperti dalam Gambar 6.8.9(b) dengan hasil
S1 P ; S2 P ; S3 P 2 ; Ra v P ; Rbh P ; Rbv P
(6.8.58)
Perpindahan titik simpul adalah U a , U c dan Vc , yang dapat dihitung dengan cara Castiglano. Energi regangan menjadi
S12 L S22 L S32 L 2 P 2 L Un (1 2 ) EA 2 EA 2 EA 2 EA 139
(6.8.59)
sehingga
Ua
U n S1 L U n PL PL PL (2 2 2 ) ; Uc S1 P EA EA EA EA
U n S2 L PL Vc S2 EA EA
C
Y
P
C
S3 3
A
EA
1 EA
2 EA
L
S3 S1
B
L
Rav
(a) struktur
(6.8.60)
P
S2
S2 S1
(b) keseimbangan
Rbh Rbv
Gambar 6.8.9: Struktur Contoh 6.9 Contoh 6.10: Sistem struktur dalam Gambar 6.8.9(a), kembali dianalisis, namun kali ini dengan metoda perpindahan. Tentukan gaya-gaya dan perpindahan sistem struktur. Penyelesaian: Perpindahan bebas sistem struktur adalah perpindahan horisontal titik simpul A , dan perpindahan horisontal dan vertikal titik simpul C , sehingga sistem struktur adalah kinematis tidak tentu orde tiga. Sistem kinematis tentu, dengan gaya luar serta perpindahan yang dimunculkan, diperlihatkan dalam Gambar 6.8.10(b) hingga 6.8.10(e). Akibat gaya luar atas sistem primer, tidak ada gaya reaksi. Akibat U a , U c dan Vc , diperoleh gaya-gaya ujung batang sebagai berikut.
p11
EA EA U a ; p21 Ua L L EA EA p12 Vc ; p22 Vc L L EA 1 EA 1 EA 1 p13 ( Uc 2) ; ( Vc 2 ) ( Ua 2) L 2 2 L 2 2 L 2 2 EA 1 EA 1 EA 1 p23 ( Uc 2) ( Vc 2 ) ( Ua 2) L 2 2 L 2 2 L 2 2 140
(6.8.61)
Keseimbangan gaya di arah U a , U c dan Vc berturut-turut memberikan
p11 p13 (
1 1 1 2 ) 0 ; p23 ( 2 ) P 0 ; p22 p23 ( 2 ) 0 2 2 2
(6.8.62)
yang jika bentuk Pers. (6.8.60) dimasukkan di dalamnya, memberikan sistem persamaan
EA 1 EA 2 (1 2) L 4 L 4 EA 2 EA 2 L 4 L 4 EA 2 EA 2 L 4 L 4
U a
dengan solusi
Vc
Uc
3
1 A
3
0
B
2
1
0
(a) dof struktur
(6.8.64)
P
2
1 0
(b) sistem primer C
C
3
U3
3
2
1
A
B
A Ua=U1
U3
C Vc
3
A
(c) perpindahan
2
1
(6.8.63)
PL 1, (2 2 2 , 1 EA
2
C
3
EA 2 U a 0 L 4 EA 2 U c P L 4 EA 2 1 (1 2 ) Vc 0 L 4 4
B
Gambar 6.8.10: Struktur Contoh 6.10 141
U3
2
1
B
Uc
yang dapat dimasukkan ke dalam Pers. (6.8.54) untuk menghitung gaya-gaya dalam batang,
p11 P ;
p12 P ;
p21 P
(elemen 1 tekan)
p22 P
p13 P 2 ; p23 P 2 6.9
(elemen 2 tekan)
(6.8.65)
(elemen 3 tarik )
Rangkuman
Dalam bab ini, kita telah membahas dua macam metoda analisis, yaitu metoda keserasian perpindahan dan metoda keseimbangan. Metoda keserasian perpindahan menggunakan komponen gaya sebagai besaran dasar yang belum diketahui dan yang akan dihitung. Dengan mengambil distribusi gaya-gaya yang seimbang, kriteria keserasian perpindahan digunakan untuk menentukan gaya-gaya kelebihan. Setelah itu, gaya-gaya kelebihan diperlakukan sebagai gaya luar, di dalam menghitung perpindahan. Untuk kasus sistem struktur yang statis tentu, tidak ada gaya kelebihan, dan gaya-gaya dapat ditetapkan dengan statika. Metoda perpindahann atau metoda keseimbangan menggunakan komponen perpindahan sebagai besaran dasar yang belum diketahui dan yang akan dihitung. Dengan mengambil medan perpindahan yang serasi, gaya-gaya yang timbul diseimbangkan pada arah komponen perpindahan bebas. Komponen perpindahan sebagai solusi dari persamaan dasar (keseimbangan), kemudian digunakan untuk menghitung gaya-gaya reaksi. Untuk sistem struktur yang kinematis tentu, gaya-gaya merupakan gaya-gaya ujung jepit dari batang-batang. Kedua metoda yang telah dibahas dalam bab ini, merupakan dasar dan cikal bakal dari pada metoda gaya dan metoda perpindahan, baik dari dalam versi teknik solusi yang klasik seperti dalam Bab VII dan Bab VIII, khususnya dalam metoda matriks seperti yang dibahas dalam Bab IX mendatang. 6.10 Soal-Soal Soal 6.1: Dengan metoda keserasian perpindahan dan metoda keseimbangan (perpindahan), analisislah sistem struktur dalam Gambar 6.10.1 untuk menentukan gaya-gaya dan perpindahan ujung batang. Gunakan model yang terdiri atas dua elemen AB dan BC . Soal 6.2: Analisislah sistem struktur rangka bidang dalam Gambar 6.10.2 untuk mendapatkan gaya-gaya reaksi dan perpindahan struktur. Gunakan metoda keserasian perpindahan dan metoda keseimbangan. Soal 6.3: Dengan metoda keserasian perpindahan, analisislah sistem struktur rangka sendi bidang dengan batang diagonal yang saling silang seperti dalam Gambar 6.10.3.
142
Y P2 X
B
P1 A L,EA1
L,EA2
C
Gambar 6.10.1: Struktur Soal 6.1
Y
P
P1
Y
C
1
2 L,EA
EA 2
L,EA
X L/2
A
P2
EA 6
D
4
3
EA
EA
1 EA
5 EA
B
L
X
L
L/2
Gambar 6.10.2: Struktur Soal 6.2
Gambar 6.10.3: Struktur Soal 6.3 dan 6.4
Soal 6.4: Kembali analisislah sistem struktur dalam Gambar 6.10.3, namun kali ini dengan menggunakan metoda keseimbangan (perpindahan). Soal 6.5: Dengan metoda keserasian perpindahan dan metoda keseimbangan, analisislah sistem struktur dalam Gambar 6.10.4 untuk mendapatkan gaya reaksi dan perpindahan. Soal 6.6: Struktur dalam Gambar 6.10.5 merupakan model dari suatu jembatan yang ditopang oleh perletakan pada ujung-ujung, dan satu pilar di dalam bentang pada titik B . Ternyata terjadi penurunan pilar di B sebesar . Dengan metoda keserasian perpindahan, analisislah sistem struktur untuk menghitung gaya-gaya ujung balok akibat penurunan tersebut. Soal 6.7: Dengan menggunakan metoda perpindahan (metoda keseimbangan), analisislah kembali sistem struktur dalam Soal 6.6 di atas. Soal 6.8: Suatu portal bidang kaku dalam Gambar 6.10.6 mengalami settlement (penurunan) vertikal ke bawah sebesar pada perletakan jepit B , jauh sebelum ada pembebanan luar. Dengan menggunakan metoda keserasian 143
perpindahan, analisislah sistem struktur untuk mendapatkan gaya-gaya reaksi. Abaikan deformasi aksial batang. Soal 6.9: Analisislah kembali sistem struktur dalam Gambar 6.10.6, namun kali ini dengan metoda perpindahan. Soal 6.10: Sistem struktur dalam Gambar 6.10.7, dilaksanakan dalam konstruksi di lapangan. Ternyata, setelah usai pelaksanaan, jepitan di A berputar sesudut . Analisilah sistem struktur dengan metoda perpindahan, untuk menghitung gaya-gaya sekunder yang timbul dalam batang-batang akibat kesalahan konstruksi tersebut.
Y B L
2
C
EA C P
1
L
3 EA
D
L,EI
EA
A
A
L,EI
-∆
Gambar 6.10.4: Struktur Soal 6.5
Gambar 6.10.6: Struktur Soal 6.8 dan 6.9
Y
Y L1,EA 1
B
X
L
L
A
D
L,EI
L2,EA
-∆
B
X
2
L1,EI
A 1
Gambar 6.10.5: Struktur Soal 6.6 dan 6.7
144
B
0b 2
C L2,EI
Gambar 6.10.7: Struktur Soal 6.10
X
DAFTAR PUSTAKA 1.
Argyris, J.M., dan Kelsey, S., Energy Theorems and Structural Analysis, Butterworth, London (1960).
2.
Ghali, A., dan Neville, A.M., Structural Analysis: A Unified Classical and Matrix Approach, Chapman and Hall, London, edisi kedua (1978).
3.
Hariandja, B.H., Analisis Lanjut Sistem Struktur Berbentuk Rangka, Penerbit Erlangga, Jakarta, edisi pertama (1996).
4.
Hariandja, B.H., Mekanika Bahan dan Pengantar Teori Elastisitas, Penerbit Erlangga, Jakarta, edisi pertama (1997).
5.
Hariandja, B.H., Statika Dalam Analisis Struktur Berbentuk Rangka, Penerbit Erlangga , Jakarta, edisi pertama (1996).
6.
Hariandja, B.H., Analisis Struktur Berbentuk Rangka Dalam Formulasi Matriks, Penerbit Aksara Hutasada, Bandung, edisi pertama (1997).
7.
Hariandja, B.H., Mekanika Teknik: Statika, Idetama, Jakarta, edisi pertama (2009).
8.
Hariandja, B.H., Mekanika Bahan dan Teori Elastisitas, Penerbit Yayasan John Hi-Tech Idetama, Jakarta, edisi pertama (2009). Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., New York, edisi ketiga (1972).
9.
Penerbit Yayasan John Hi-Tech
10.
Laible, J. P., Structural Analysis, Holt Rinehart and Winston, CBS College Publishing, New York (1985).
11.
Martin, H.C., Introduction to Matrix Methods of Structural Analysis, McGraw-Hill Company, New York (1966).
12.
Raz, S.A., Analytical Methods in Structural Engineering, Wiley Eastern Private Limited, New Delhi (1974).
13.
Roark, R.J., dan Young, W.C, Formulas for Stresses and Strains, McGraw-Hill Company, New York, edisi kelima (1975).
14.
Vanderbielt, M.D., Matrix Structural Analysis, Quantum Publishers, Inc., New York (1975).
15.
Wang, C.-K., Intermediate Structural Analysis, International Student Edition, McGraw-Hill International Book Company, Singapore (1983). 145
16.
Wang, C.-K., Introductory Structural Analysis with Matrix Methods, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1973).
17.
Weaver Jr, W., dan Gere, J. M, Matrix Analysis of Framed Structures, Van Nostrand Company, New York, edisi kedua (1980).
18.
Willems, N., dan Lucas Jr, W.M., Matrix Analysis for Structural Engineers, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliff, New Jersey (1968).
146
LAMPIRAN A Jenis Elemen Batang No.
Jenis
2
1
Jumlah
Derajat Kebebasan
4
balok-kolom ruang
8
7
9
5
3
grid
4
2
2
1
1
0
6
3
1
3
balok
2
6
3
4
1
batang tarik
6
5
balok-kolom bidang
pendel
3
6
2
5
6
5 3
4
6
4
2
3
12 10
11
1 2
keseimbangan
12
6
1
dof
4
1
2
1
1
147
148
LAMPIRAN B Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Pendel
x= ξ L u( ξ ) u1,p1
No
1
2
3
Perpindahan u(ξ)
Model
u1
u1
p1
L,EA
(1 )u1 u2
u2
u1
p2
u2
p2 L EA
p1 L (1 ) u2 EA
149
u2,p2
Gaya dan Perpindahan Ujung p1
EA EA u2 u1 L L EA EA u2 u1 p2 L L u 2 u1 p1 p2
u1 u 2 p2 p1
pl L EA
pl L EA
150
LAMPIRAN C Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Torsi
x L
1 ,t1
No
1
2
3
Model
o1
o1
t1
( )
L, GJ
Perpindahan
o2
(1 )1 2
1
t2
o2
( )
t2 L GJ
t1L (1 ) 2 GJ
151
2 ,t 2
Gaya dan Perpindahan Ujung GJ GJ 1 2 L L GJ GJ t2 1 2 L L
t1
2 1 t1 t 2
1 2 t 2 t1
tl L GJ
tl L GJ
152
LAMPIRAN D Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Lentur
w1 , v1
1 , m1
No
Model
1
w2
1
(1 3 2 ) w1 2
3
( 2 2 3 )1 L (3 2 2 3 ) w2
2
( 2 3 ) 2 L
v2
w1 2
L, EI
Perpindahan w(ξ)
w1 1
w( )
x L
m2
2
3
w2
2
m1
L3 v2 6 EI
L2 m2 2 EI
(2 3 3 )
3
L v1 6 EI L2 m1 (1 2 2 ) 2 EI (1 ) w1 w2
w1
w2
4 m1
m2
Gaya dan Perpindahan Ujung 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI w1 2 1 3 w2 2 2 3 L L L L 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI m1 2 w1 1 2 w2 2 L L L L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI v2 3 w1 2 1 3 w2 2 2 L L L L 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI m2 2 w1 1 2 w2 2 L L L L v1
m1 v2 L m2
w2 (1 ) 2 L
v1
2 , m2
v1 v2
w1 1L
(3 2 3 )
w2 , v2
L2 m1 (2 3 2 3 ) 6 EI L2 m2 ( 3 ) 6 EI
153
w2 w1 1 L
L3 L2 v2 m2 3EI 2 EI L2 L 2 1 v2 m2 2 EI EI w1 w2 2 L
L3 L2 v1 m1 3EI 2 EI L2 L 1 2 v1 m1 2 EI EI v2 v1 m2 v1 L m1
v1
1 1 m1 m2 EIL EIL w w L L m1 m2 1 1 2 L L 3EI 6 EI 1 1 v2 m1 m2 EIL EIL w w L L m1 m2 2 1 2 L L 6 EI 3EI
LAMPIRAN D (lanjutan 1) Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Lentur
w1 , v1
1 , m1
No
Model
v1
5
1
w2
7
v2
2
v1
1
w2
2
v1
8
1
w2 m2
(2 3 2 3 ) (1 )1 L w2 2
m2
1
L, EI
Perpindahan w(ξ)
w1
6
w( )
x L
L3 v1 6 EI
Gaya dan Perpindahan Ujung L3 v1 1 L w2 3EI m1 m2 v1 L w1
2
1 w1 (2 2 )1 L 2 L3 (3 2 2 3 ) v2 12 EI 1 2 m2 L 2 (2 3 2 2 3 )
L3 v1 12 EI
1 (1 2 3 )1 L w2 2 1 (1 2 ) 2 L 2
L3 v1 6 EI
(1 )1 L w2 (1 2 )
2 , m2
v2 v1
L2 m2 2 EI
(2 3 2 3 )
w2 , v2
v1 v2
EI L EI 1 v2 2 2 L L L L L3 v2 2 w2 w1 1 2 12 EI 2 EI L EI 2 m2 1 v2 L 2 L
m1
L3 L L v1 1 w2 2 6 EI 2 2 L EI EI 1 2 m1 v1 2 L L v2 v1 w1
m2
L3 L2 v1 1 L w2 m2 3EI 2 EI m1 v1 L m2
2
154
L EI EI 1 2 v1 2 L L
w1
v2 v1
L2 m2 2 EI
L2 L v1 1 m2 EI 2 EI
L2 L v1 1 m2 EI 2 EI
LAMPIRAN D (lanjutan 2) Gaya dan Perpindahan Ujung Batang Lentur
w1 , v1
1 , m1
No
Model
v2
2
m1
L, EI
Perpindahan w(ξ)
w1
9
w1 (2 2 )
L2 m1 2 EI L3 (3 2 3 ) v2 6 EI 2 L (2 3 3 )
w2
w1
2
10 m1
w( )
x L
(3 3 )
L2 m1 4 EI
w2 2
(2 3 2 3 )
w2
w1
11
1
m2
w1 2 L (2 3 2 3 ) 1 2 2 3 (3 ) w2 ( 2 3 )
2 , m2
Gaya dan Perpindahan Ujung v1 v2
1
L L2 m1 v2 2 EI 2 EI L2 L3 w2 w1 m1 v2 2 L 2 EI 3EI m2 m1 v2 L
3EI 3 3EI 3EI w1 m1 3 w2 2 2 L3 L L 2 L 3 3 1 1 m1 w2 2 w1 2L 4 EI 2L 2 3EI 3 3EI 3EI v2 3 w1 m1 3 w2 2 2 L L L 2 3EI 1 3EI 3EI 2 m2 2 w1 m1 2 w2 L L L 2 v1
w1 2
( 2 2 3 )
w2 , v2
L2 m2 4 EI
155
3EI 3EI 3EI 3 w1 2 1 3 w2 m2 3 L L L 2L 3EI 3EI 3EI 1 1 2 w2 m2 m1 2 w1 L L L 2 3EI 3EI 3EI 3 v2 3 w1 2 1 3 w2 m2 2L L L L 3 1 3 L 2 w1 1 w2 m2 2L 2 2L 4 EI v1
156
INDEKS A: Aksi, 84 Analisis struktur, 01, 02, 103, 108, 110 B: Balok, 45, 61 Balok lentur, 60 Balok kantilever, 53,114 Balok konyugasi,61,70,71, Balok sederhana, 46 Betti,55 Bidang momen,69 Breslau,58 C: Castigliano,50 D: Definisi matriks, 8 Deformasi aksial, 97 Determinan matriks, 13 Derajat kebebasan,82,84,96 Diskritisasi, 75,77,106,139 E: Energi regangan,51,139, F: Formulasi matriks, 01,115 G: Gaya,45 Gaya luar,45,50 Gaya ujung,78 Gaya-gaya reaksi,87 Gaya-gaya terpusat,76 Garis pengaruh,59 I: Invers matriks, 13 K: Kelengkungan,60 Kekangan,59 Kekakuan,85
Kekakuan lentur,61,69 Ketidaktentuan kinematis,83,104 Ketidaktentuan statis,82,104,110 Keseimbangan gaya,104 Keserasian perpindahan,103,104,114,119 Kriteria Kompatibilitas,81 Kriteria keseimbangan,81,113 M: Matriks koefisien,33 Matriks segi tiga, 33 Matriks transfer,33 Matriks translasi,89 Matriks rotasi,87 Metode bidang momen,59 Metode gaya,103,107,125 Metode keseimbangan,120 Metode perpindahan,103,110,125 Momen ujung jepit,111 P: Perpindahan bebas,111 Perpindahan horizontal,140 Perpindahan lateral,111 Perpindahan vertikal,105 Perpindahan struktural,113 R: Rotasi ujung,106 Rotasi tata sumbu,90 S: Statis tentu,105,128 Statis tidak tentu,107 T: Tata sumbu lokal,86 Tata sumbu global,86 Transformasi matriks,86 V: Vektor gaya,78 Vektor perpindahan,79,89
157
