Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9
Materi kuliah β’ Hasilkali Titik β’ Proyeksi Ortogonal
7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
2
Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika π dan π adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan π adalah sudut antara π dan π, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean π. π didefinisikan sebagai berikut: π π cos π jika π β π dan π β π π. π = π jika π = π dan π = π Catatan: π sudut antara π dan π dengan 0 β€ π β€ π 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
3
Contoh Tentukan π. π dengan π = (0, 0, 1), π = (0, 2, 2) dan π = 45Β°, seperti pada gambar di bawah ini:
Penyelesaian: π. π = π π cos π = 02 + 02 + 22 =2
7/9/2014
02 + 22 + 22 cos 45
Yanita, FMIPA Matematika Unand
4
Bentuk Komponen dari Hasilkali Titik Misalkan π = π’1 , π’2 , π’3 dan π = π£1 , π£2 , π£3 tak nol. Ingat kembali aturan cosinus pada segitiga:
adalah vektor-vektor
π 2 = π2 + π 2 β 2ππ cos π Rumus ini akan digunakan untuk menentukan hasilkali titik dalam bentuk komponen-komponen dari vektor tersebut. 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
5
Perhatikan gambar berikut ini:
Dengan menggunakan rumus cosinus pada segitiga, maka: ππ
7/9/2014
2
= π
2
+ π
2
β2 π
Yanita, FMIPA Matematika Unand
π cos π
(1)
6
Oleh karena ππ = π β π , maka persamaan menjadi: π β π 2 = π 2 + π 2 β 2 π π cos π Atau 1 π π cos π = π 2+ π 2β πβπ 2 2 Atau π. π = 7/9/2014
1 2
π
2
+ π
2
β πβπ
Yanita, FMIPA Matematika Unand
2
1
(2) 7
Perhatikan bahwa:
π dan
2
2
2
2
= π’1 + π’2 +π’3 , π πβπ
2
2
2
2
= π£1 + π£2 + π£3
2
= (π£1 β π’1 )2 +(π£2 β π’2 )2 +(π£3 β π’3 )2
Substitusi nilai ini pada persamaan (2), diperoleh 2 2 2 2 2 2 1 π’1 + π’2 +π’3 + π£1 + π£2 + π£3 π. π = 2 β( π£1 β π’1 2 + π£2 β π’2 2 + π£3 β π’3 2 ) = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
8
Jadi untuk hasilkali titik pada ruang berdimensi 3 dengan menggunakan komponen adalah: π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 Dan hasilkali titik pada ruang berdimensi 2 dengan menggunakan komponen adalah: π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2
7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
9
Menentukan Sudut Antara Dua Vektor
Jika π dan π adalah vektor-vektor tak nol, maka sudut antara π dan π dapat ditentukan dengan menggunakan rumus π. π = π π cos π yaitu: π. π cos π = π π 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
10
Contoh Tentukan π. π dan sudut π antara π dan π, dengan π = (1, β5,4) dan π = (3,3,3). Penyelesaian: β’ π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 = 1 3 + β5 3 + 4 3 =0 β’ cos π =
=
π.π π π
0
π π =0 Jadi sudut antara π dan π adalah 90Β° 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
11
Teorema 3.3.1 Misalkan π dan π adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3.
a. π. π = π 2 , yaitu π = π. π
1 2
b. Jika vektor-vektor π dan π adalah tak nol dan π adalah sudut di antaranya, maka 1. π adalah lancip jika dan hanya jika π. π > π 2. π adalah tumpul jika dan hanya jika π. π < π
3. π =
7/9/2014
π 2
jika dan hanya jika π. π = π
Yanita, FMIPA Matematika Unand
12
Bukti Teorema 3.3.1 a. Perhatikan bahwa π. π bermakna bahwa sudut antara π dengan π adalah 0, jadi 1 2
π. π = π π cos 0 = π 2 atau π = (π. π) b. Karena π memenuhi 0 β€ π β€ π, maka π adalah lancip jika dan hanya jika cos π > 0; π adalah tumpul jika dan hanya jika π cos π < 0; dan π = jika dan hanya jika cos π = 0. Kemudian 2 perhatikan bahwa cos π memiliki tanda yang sama dengan π. π, karena π. π = π π cos π, π > 0 dan π > 0. Jadi π adalah lancip jika dan hanya jika π. π > 0; π adalah π tumpul jika dan hanya jika π. π < 0; dan π = jika dan hanya 2 jika π. π = 0. 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
13
Contoh Tentukan apakah π dan π membentuk sudut lancip, tumpul atau saling tegak lurus, dengan a. π = (6,1,4) dan π = (2,0,3) b. π = (β6,0,4) dan π = (3,1,6) c. π = (0,0, β1) dan π = 1,1,1 d. π = (2,4, β8) dan π = 5,3,7
Penyelesaian: a. b. c. d.
π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 = π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 = π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 = π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 =
6 2 + 1 0 + 4 3 = 24 β6 3 + 0 1 + 4 6 = 6 0 1 + 0 1 + β1 1 = β1 2 5 + 4 3 + β8 7 = β34
Jadi untuk a. dan b. sudut lancip, c. dan d. sudut tumpul. 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
14
Sifat-sifat Hasilkali Titik Teorema 3.3.2 Jika π, π dan π adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3, dan π adalah skalar, maka: a. π. π = π. π b. π. π + π = π. π + π. π c. π π. π = ππ . π = π. ππ d. π. π > 0 jika π β 0 dan π. π = 0 jika π = 0 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
15
Bukti Teorema 3.3.2 (dibuktikan untuk vector pada ruang berdimensi 3 ; untuk vector pada ruang berdimensi 2 dibuktikan secara analog) a. π. π = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 = π£1 π’1 + π£2 π’2 + π£3 π’3 = π. π (analog untuk di ruang berdimensi 2) b. π. π + π = π’1 (π£1 +π€1 ) + π’2 (π£2 +π€2 ) + π’3 (π£3 +π€3 ) = π’1 π£1 + π’1 π€1 + π’2 π£2 + π’2 π€2 + π’3 π£3 + π’3 π€3 = π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 + π’1 π€1 + π’2 π€2 + π’3 π€3 = π. π + π. π c. π π. π = π π’1 π£1 + π’2 π£2 + π’3 π£3 = π π’1 π£1 + π π’2 π£2 + π π’3 π£3 = ππ’1 π£1 + ππ’2 π£2 + (ππ’3 )π£3 = ππ . π d. Jika π β 0, maka π. π = π’1 π’1 + π’2 π’2 + π’3 π’3 = π’1 2 + π’2 2 + π’3 2 > 0 2 = 0, π’ 2 = 0 Jika π = 0, maka π. π = π’ π’ + π’ π’ + π’ π’ = 0, karena π’ 1 1 2 2 3 3 1 2 dan π’3 2 = 0 7/9/2014
Yanita, FMIPA Matematika Unand
16
Vektor-Vektor Ortogonal β’ Vektor-vektor ortogonal adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus. β’ Berdasarkan Teorema 3.3.1 b., dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika π. π = π. β’ Jika π dan π saling tegak lurus, maka disimbolkan π β₯ π. 11/11/2014
17
Proyeksi Ortogonal Sebarang vektor π merupakan penjumlahan dua buah vektor, misal π = π1 + π2 , dimana π1 sejajar dengan dengan vektor tak nol tertentu π dan π2 β₯ π. Perhatikan gambar berikut:
Vektor π1 disebut proyeksi ortogonal π pada π (komponen vektor π’ sepanjang π), disimbokan dengan projπ π Vektor π2 disebut komponen vektor π yang ortogonal terhadap π π2 = u β projπ π 11/11/2014
18
Proyeksi Ortogonal Teorema 3.3.3 Jika π dan π adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan jika π β π, maka: Komponen vektor π sepanjang π: π. π projπ π = π 2 π Komponen vektor π yang ortogonal terhadap π: π. π π β projπ π = π β π 2 π 11/11/2014
19
Bukti Teorema 3.3.2 Perhatikan gambar berikut:
π = π1 + π2 (1) Misalkan π1 = projπ π dan π2 = π β projπ π. Karena π1 sejajar dengan π, maka pastilah π1 kelipatan skalar dari π, atau π1 = ππ. 11/11/2014
20
Jadi persamaan (1) menjadi: π = π1 + π2 = ππ + π2 (2) Lakukan perkalian titik dengan π pada kedua ruas persamaan (2), yaitu: π. π = ππ + π2 . π = ππ . π + π2 . π = π π. π + π2 . π = π π 2 + 0, karena π. π = π 2 dan π2 β₯ π Jadi π= 11/11/2014
π.π π 2 21
Oleh karena π1 = projπ π = ππ, maka π. π projπ π = ππ = π π 2 dan
11/11/2014
π. π π2 = π β projπ π = π β π π 2
22
Contoh Tentukan proyeksi ortogonal π terhadap π dan tentukan komponen vektor π yang ortogonal terhadap π, dengan: a. π = 3, 1, β7 dan π = (1, 0, 5) b. π = 1, 0, 0 dan π = (4, 3, 8) Penyelesaian: Proyeksi ortogonal π terhadap π adalah: π. π projπ π = π 2 π Jadi yang perlu dicari π. π dan π 2 11/11/2014
23
a. π = 3, 1, β7 dan π = (1, 0, 5) π. π = 3, 1, β7 . (1, 0, 5) = 3 1 + 1 0 + β7 5 = β32 π 2 = 12 + 02 + 52 = 26 Proyeksi ortogonal π terhadap π: π. π β32 16 80 projπ π = π= 1, 0, 5 = β , 0, β 2 π 26 13 13 Komponen vektor π yang ortogonal terhadap π: π. π 16 80 π’ β projπ π = π β π = 3, 1, β7 β β , 0, β 2 π 13 13 = 11/11/2014
55 11 , 1, β 13 13 24
b. π = 1, 0, 0 dan π = (4, 3, 8) π. π = 1, 0, 0 . (4, 3, 8) = 1 4 + 0 3 + 0 8 =4 π 2 = 42 + 32 + 82 = 89 Proyeksi ortogonal π terhadap π: π. π 4 16 12 32 projπ π = π= (4, 3, 8) = , , 2 π 89 89 89 89 Komponen vektor π yang ortogonal terhadap π: π. π 16 12 32 π’ β projπ π = π β π = 1, 0, 0 β , , 2 π 89 89 89 15 12 32 = β ,β ,β 89 89 89 11/11/2014
25
Panjang dari komponen vektor π sepanjang π Ingat bahwa panjang dari vektor π adalah π . Jika π pada ruang berdimensi 2, maka π = π1 2 + π2 2 Jika π pada ruang berdimensi 3, maka π = π1 2 + π2 2 + π3 2 Jadi panjang dari komponen vektor π sepanjang π adalah: π. π π. π π. π projπ π = π = π = π 2 2 2 π π π 11/11/2014
26
π. π projπ π = π π 2 Ingat kembali:
π. π = π π cos π Berarti π. π = π π cos π sehingga π π cos π projπ π = π 2 = π cos π 11/11/2014
π
27
Rumus antara jarak titik dan garis Misalkan kita ingin mencari jarak antara titik π0 (π₯0 , π¦0 ) dan garis ππ₯ + ππ¦ + π.
11/11/2014
28
Untuk
maka
Maka untuk
ππ0 . π = π π₯0 β π₯1 π = π2 + π2
Jadi 11/11/2014
π·=
ππ0 .π
π
=
projπ π =
π.π π 2
π
projπ ππ0 =
ππ0 .π
=
ππ0 .π
π 2
π
π
ππ0 = (π₯0 β π₯1 , π¦0 β π¦1 ) + π(π¦0 β π¦1 ) π π₯0 βπ₯1 +π(π¦0 βπ¦1 ))
π2 +π2 29
Karena titik π(π₯1 , π¦1 ) terletak pada garis ππ₯ + ππ¦ + π, maka titik ini memenuhi persamaan garis ini, sehingga: ππ₯1 + ππ¦1 + π = 0 atau π = βππ₯1 β ππ¦1 Subtitusi nilai ini ke π·, diperoleh π π₯0 β π₯1 + π(π¦0 β π¦1 ) π·= π2 + π 2 ππ₯0 + ππ¦0 + π = π2 + π 2 11/11/2014
30
Contoh Tentukan jarak antara a. Titik (β3,1) dengan garis 4π₯ + 3π¦ + 4 = 0 b. Titik (2, β5) dengan garis π¦ = β4π₯ + 2 c. Titik (1,8) dengan garis 3π₯ + π¦ = 5 Penyelesaian :
a. π· =
11/11/2014
ππ₯0 +ππ¦0 +π π2 +π2
=
4 β3 + 3 1 +4
4 =3 5
4 2 +32
31
Penyelesaian: b. π· =
ππ₯0 +ππ¦0 +π
c. π· =
ππ₯0 +ππ¦0 +π
11/11/2014
π2 +π2
π2 +π2
=
4 2 + 1 β5 +(β2)
=
3 1 + 1 8 +(β5)
4 2 +12
32 +12
= =
1 17 6 10
32
