Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab
I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
1
RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan – Ruang Vektor Umum – Subruang – Basis dan Dimensi – Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol Operation Research dan lain-lain 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
2
Ruang Vektor Umum
Misalkan u , v , w V dan k, l Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan Untuk setiap u , v V maka u v V 2. u v v u 3. u v w u v w 4. Terdapat 0 V sehingga untuk setiap u V berlaku u 0 0 u u
5. Untuk setiap u V
terdapat u sehingga
u u u u 0 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
3
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap u V
dan k Riil maka ku V
7. k u v ku kv 8.
k l u ku lu
9. k l u l k u kl u
10. 1. u u
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
4
Contoh : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
5
Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: • Penjumlahan u v u1 v1 , u 2 v2 , ..., u n vn
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
ku ku1 , ku2 ,..., kun • Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u v u1v1 u 2 v2 ... u n vn • Panjang vektor didefinisikan oleh : u u u
1
2
u1 u 2 ... u n 2
2
2
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : d u , v u v 13/03/2014 13:12
u1 v1 2 u 2 v2 2 ... u n vn 2 MA-1223 Aljabar Linear
6
Contoh :
Diketahui u 1, 1, 2, 3 dan v 2, 2, 1, 1 Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : 1 2 2 2 2 u u u 2 1 1 2 3 15 v 22 22 12 12 10
Jarak kedua vektor d u , v u v
1 22 1 22 2 12 3 12
12 12 12 22
7 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
7
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W { } 2. W V 3. Jika u , v W maka u v W 4. Jika u W dan k Riil maka k u W
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
8
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : 0 0 W maka W 1. O 0 0 2. Jelas bahwa W M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B W Tulis
0 A a2
13/03/2014 13:12
a1 0 dan B 0 b2
b1 0
MA-1223 Aljabar Linear
9
Perhatikan bahwa : 0 a1 0 b1 A B a2 0 b2 0 a1 b1 0 0 a2 b2
Ini menunjukan bahwa A B W 4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil maka 0 ka1 W kA ka2 0
Ini menunjukan bahwa kA W Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2. 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
10
Contoh : Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab : Ambil sembarang matriks A, B W Pilih a ≠ b :
a b , jelas bahwa det (A) = 0 A 0 0
0 0 , jelas bahwa det (A) = 0 B b a 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
11
Perhatikan bahwa :
A B
a b = b a
Karena a ≠ b Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
12
Sebuah vektor
u dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
v1, v2 , … , vn jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
u k1v1 k2v2 ... knvn dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
13
Contoh Misal
u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3)
adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas a.
a = (4, 2, 6)
b. b = (1, 5, 6) c.
c
= (0, 0, 0)
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
14
Jawab : a. Tulis k1u k 2 v a akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. 2 1 4 k1 4 k 2 - 1 2 0 3 6
Ini dapat ditulis menjadi: 2 1 4 1 0 3
13/03/2014 13:12
k1 4 2 k 6 2
MA-1223 Aljabar Linear
15
dengan OBE, diperoleh:
1 12 2 1 12 1 -3 -6 ~ 0 1 0 3 6 0 0
2 2 0
Dengan demikian,
a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v atau
a u 2v
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
16
b. Tulis : k1u k 2 v b 2 k1 4 k 2 0
1 1 1 5 3 6
ini dapat ditulis menjadi: 2 1 1 k1 5 4 - 1 0 3 k2 6
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
17
dengan OBE dapat kita peroleh : 2 1 4 -1 0 3
1 5 6
1 12 ~ 0 -3 0 3
0 3 6
1 ~ 0 0
1
2
1 0
1
2 3 2
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
18
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis
k1u k 2 v c
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
19
Definisi membangun dan bebas linear Himpunan vektor
S v1 , v2 , ... , vn
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S. Contoh : Tentukan apakah
v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), dan
v3 = (2, 1, 3) 13/03/2014 13:12
membangun V???
MA-1223 Aljabar Linear
20
Jawab : Ambil sembarang vektor di R2 misalkan .
Tulis :
u1 u u2 u 3
u k1v1 k 2 v2 k 3 v3 .
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : 1 1 2 k1 u1 1 0 1 k u 2 2 u 2 1 3 k3 3
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
21
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh :
Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebut tidak membangun R3 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
22
Misalkan S u1 , u 2 ,..., u n adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent)
JIKA SPL homogen :
k1u1 k 2 u1 ... k n u n 0 hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni 0 k1 , 0 k 2 ,...,
kn 0
Jika solusinya tidak tunggal maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent) 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
23
Contoh : Diketahui u 1, 3, 2 dan a 1, 1, 1 Apakah saling bebas linear di R3 Jawab : Tulis
k1u k 2 a 0
atau -1 1 k1 1 3 2 1 k2
13/03/2014 13:12
0 0 0
MA-1223 Aljabar Linear
24
dengan OBE dapat diperoleh : -1 1 0 1 1 0 ~ 0 3 2 1 0 0
1 0 1 0 0 4 0 ~ 0 1 0 0 0 0 1 0
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
25
Contoh : Misalkan
, 1 a 3 2
2 1 b 1 c 6 1 4
,
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : 0 k1 a k 2 b k 3 c
atau 2 k1 1 1 3 1 6 k 2 = 2 1 4 k3
13/03/2014 13:12
0 0 0
MA-1223 Aljabar Linear
26
dengan OBE diperoleh : 1 1 1 2 0 ~ 0 0 4 0 1 0 0
1 2 1 0 0 0
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak Jadi
a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
27
Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V Jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun V • S bebas linear
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
28
Contoh : Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut : M
3 6 3 6,
8 1 0 0 1 0 , , 1 0 12 4 1 2
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab : Tulis kombinasi linear :
3 6 k1 k2 3 6 atau
0 1 1 0 k3
3k1 k 4 3k1 k 2 12k 3 k 4
13/03/2014 13:12
0 8 12 4 k4
1 0 a b 1 2 c d
6k1 k 2 8k 3 a b 6 k1 4k 3 2 k 4 c d
MA-1223 Aljabar Linear
29
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL : 0 0 1 k1 a 3 6 1 8 0 k b 2 3 1 12 1 k3 c 6 0 4 2 k 4 d
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK) 0 SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2 • Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(MK) 0 SPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear. 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
30
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat… Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Contoh : Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
1 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 0 0, 1 0, 0 1
juga merupakan basisnya.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
31
Misalkan matriks : 1 2 1 1 A 1 2 3 1 1 2 2 1
Vektor baris
Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
32
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : 1 1 1 , 3 1 2
basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
33
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : 1 1 2 2 , 1 3 1 1
Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2. 13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
34
Contoh :
Diberikan SPL homogen : 2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s =0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s =0 Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab : SPL dapat ditulis dalam bentuk : 13/03/2014 13:12
2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 4 1 3 0 0 3
0 0 0 0
MA-1223 Aljabar Linear
35
dengan melakukan OBE diperoleh : 1 0 0 0
0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
Solusi SPL homogen tersebut adalah : p 1 0 q 0 2 r 0 a 1 b s 1 0
dimana a, b merupakan parameter.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
36
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
1 0 0 , 1
0 2 1 0
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
37
Latihan Bab 5 6 3 1.Nyatakanlah matriks 0 8
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : 1 2 0 1 3 , 2
1 4 2 , dan 0 2 4
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear ! a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 } b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2} 3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
38
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2) a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2} b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
5. Misalkan 2 J a bx cx
a 2 b2 c2
merupakan himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua. Periksa apakah J merupakan subruang dari ruang vektor Polinom orde dua
Jika ya, tentukan basisnya
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
39
6. Diberikan SPL homogen : p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0, Tentukan basis ruang solusi (buktikan)
dan tentukan dimensinya. 7. Tentukan rank dari matriks : 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 2 1
13/03/2014 13:12
MA-1223 Aljabar Linear
40