Adri Priadana ilkomadri.com
Pengertian Sistem Persamaan Linier Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan bentuk umum a1x1 + a2x2 +…+ an xn= b yang tidak melibatkan hasil kali, akar, pangkat selain satu dari variabelnya serta bukan sebagai fungsi trigonometri (sin, cos, tan), logaritma, atau eksponensial
Pengertian Sistem Persamaan Linier Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1
Contoh: x + y + 2z = 9 Solusi: berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai
sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan di atas:
{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. } Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution
space)
Pengertian Sistem Persamaan Linier Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih)
persamaan linier. Contoh: x + y = 3
3x – 5y = 1 Ruang Solusi:
berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut, untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }
Pengertian Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Linier mempunyai salah satu dari
3 kemungkinan : a. Tidak ada solusi, atau tidak berpotongan b. Satu solusi, atau berpotongan di 1 titik c. Banyak solusi, atau berimpit
a.
b.
c.
Solusi Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Linier dikatakan Consistent jika memiliki satu solusi atau banyak solusi, dan
dikatakan Inconsistent jika tidak ada solusi. Persamaan Linier memiliki beberapa solusi,
yaitu : a. Eliminasi / Substitusi b. Aturan Cramer c. Eliminasi Gauss d. Eliminasi Gauss - Jordan
Solusi Sistem Persamaan Linier a.
Eliminasi / Substitusi x dieliminasi
I.
x + y = 3
3x
+ 3y = 9
3x – 5y = 1
3x
– 5y = 1 8y = 8
y =1
3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2 II.
y=3–x
y disubstitusi 3x – 5 (3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 y=3–x y= 1
x=2
Solusi Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Liner dapat diungkapkan dalam
bentuk Matriks Koefisien Contoh : x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0 Jika setiap koefisien dari sistem persamaan linier di atas
disusun ke dalam matriks, maka
Disebut matriks koefisien
1
1
2
2
4
-3
3
6
-5
Solusi Sistem Persamaan Linier Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-
koefisien Sistem Persamaan Linier dengan tambahan kolom yang berisi konstanta pada sisi kanan sistem persamaan linier Contoh :
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Matriks Augmented-nya :
1
1
2
9
2
4
-3
1
3
6
-5
0
Solusi Sistem Persamaan Linier b.
Aturan Cramer Apabila Ax = b maka nilai x dapat dicari dengan |Ak|
xk =
|A|
Di mana: |Ak| adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujur sangkar A dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh b. |A| adalah harga determinan matriks bujur sangkar A
Contoh :
2x + y – z = 3
3x + 2y – 4z = 1
x + 4y + z = 15
Solusi Sistem Persamaan Linier b.
Aturan Cramer (cont) Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut:
2x + y – z = 3
Matriks : A
3x + 2y – 4z = 1 2
1
-1
3
2
-4
1
4
1
Ax =
x + 4y + z = 15
b 3
1
-1
1
2
-4
15
4
1
b
Ay =
b
2
3
-1
3
1
-4
1
15
1
Az =
2
1
3
3
2
1
1
4
15
Solusi Sistem Persamaan Linier b.
Aturan Cramer (cont)
b
2
1
-1
3
1
-1
3
2
-4
1
2
-4
1
4
1
15
4
1
det(A) =
= 19,
det(Ax) =
b
b
det(Ay) =
det(Ax)
2
3
-1
3
1
-4
1
15
1
19
= 19
= 57, det(Az) =
det(Ay)
57
2
1
3
3
2
1
1
4
15
= 38
det(Az) 38 Maka x = = 1, y = = = 3, z = = =2 det(A) 19 det(A) 19 det(A) 19
Solusi Sistem Persamaan Linier c.
Eliminasi Gauss ditulis dalam
x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0
bentuk matriks augmented
lalu diusahakan berbentuk →
1
1
2
9
2
4 -3
1
3
6 -5
0
1
1
2
9
0
?
?
?
0
0
?
?
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) Elementary Row Operation (ERO)
Solusi Sistem Persamaan Linier c.
Eliminasi Gauss (cont) (Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier 1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0 2. Menukar posisi dua baris 3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j
1
1
2
9 baris-2 + (-2) x baris-1
2
4 -3
1
3
6 -5
0
baris-3 + (-3) x baris-1
1 1 2
9
0 2 -7
-17
0 3 -11 -27 baris-3 + (-3/2)x baris-2
1 1 2
9
0 2 -7
-17
0 0 -1/2 -3/2
Solusi Sistem Persamaan Linier c.
Eliminasi Gauss (cont) x
y
z
1
1
2
9
0
2
-7
-17
0
0
-1/2 -3/2
1
1
2
9
0
2
-7
-17
0
0
-1/2 -3/2
1
1
2
9
0
2
-7
-17
0
0
-1/2 -3/2
Substitusi Balik
-1 / 2 z = -3 / 2
z =3
2y – 7z = - 17
z
2y = 21 – 17
y=2
x + y + 2z = 9
y
x =–2–6+9
z
x =1
Solusi Sistem Persamaan Linier d.
Eliminasi Gauss - Jordan ditulis dalam
x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0
bentuk matriks augmented
lalu diusahakan berbentuk →
1
1
2
9
2
4 -3
1
3
6 -5
0
1
0
0
?
0
1
0
?
0
0
1
?
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) Elementary Row Operation (ERO)
Solusi Sistem Persamaan Linier d.
Eliminasi Gauss – Jordan (cont) contoh: x - 2y + z = 0 2y – 8z = 8 -4x + 5y + 9z = -9 1 -2 1
0
0
2 -8
8
-4 5 9
-9
baris-3 + (4) x baris-1
1 -2 1
0
0 2 -8
8
0 -3 13
-9
(1/2)x baris-2
1 -2 1
0
0
1 -4
4
0 -3 13
-9
Solusi Sistem Persamaan Linier d.
Eliminasi Gauss – Jordan (cont) 1 -2 1
0
0 1 -4
4
0 -3 13
-9 Baris-3 + (3) x baris-2
1 -2 1
0
0
1 -4
4
0
0 1
3
1 -2 0
-3
0
16
1 0
Baris-2 + (4) x baris-3 Baris-1 + (-1) x baris-3
x y z 1
0 0
29
0
1 0
16
0
0 1
3
Baris-1 + (2) x baris-2
0
0 1
3
Matur Nuwun