6.1 Kijkhoeken[1]
• Het plaatje is een bovenaanzicht; • De persoon kan het gedeelte binnen de kijkhoek zien; • De twee rode lijnen zijn kijklijnen; • De kijklijnen geven de grenzen aan van het gebied dat de persoon kan zien. Willem-Jan van der Zanden
1
6.1 Kijkhoeken[1]
In het plaatje is een flatgebouw getekend. Iemand, die vanaf punt P (op de grond) naar dit gebouw kijkt, kijkt met de kijkhoek QPR. De kijklijnen zijn PR en PQ.
Willem-Jan van der Zanden
2
6.1 Kijkhoeken[1]
Kijkhoek QPR kan als volgt berekend worden:
tan QPR QPR 45
QR 30 1 PQ 30
Let op: • GR op graden; • Bereken met tan-1(1). Willem-Jan van der Zanden
3
6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 1: Teken een zijaanzicht met de hulplijn PS loodrecht op QR.
Willem-Jan van der Zanden
4
6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 2: Bereken ∠SPQ.
In ∆SPQ:
QS 1,8 tan SPQ 0, 06 PS 30 SPQ tan 1 (0, 06) 3, 43
Willem-Jan van der Zanden
5
6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 3: Bereken ∠SPR.
In ∆SPR:
PS 30 1,8 tan SPR 0,94 PR 30 SPR tan 1 (0,94) 43, 23
Willem-Jan van der Zanden
6
6.1 Kijkhoeken[1] Voorbeeld: Bereken in tienden van graden nauwkeurig de kijkhoek waaronder iemand, die op punt P staat QR ziet. Neem aan dat de afstand van de ogen van deze persoon tot de grond 1,8 meter is. Stap 4: Bereken ∠QPR.
∠QPR
Willem-Jan van der Zanden
= ∠ RPS + ∠ SPQ = 3,43˚ + 43,23˚ ≈ 46,7˚
7
6.2 De cosinusregel [1] Cosinusregel: In elke ∆ABC geldt de cosinusregel: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ Met behulp van de cosinusregel is het dus mogelijk de grootte van de hoeken van een driehoek uit te rekenen als je alleen de lengtes van de zijden weet.
Willem-Jan van der Zanden
8
6.2 De cosinusregel [1] Voorbeeld : Gegeven is ∆ABC met a = 4,46 b = 4,84 en c = 4,96. Bereken ∠A in graden nauwkeurig. a2 = b2 + c2 – 2bc cos α 4,462 = 4,842 + 4,962 – 2 · 4,84 · 4,96 cos α 19,89 = 48,03 – 48,01 cosα 48,01 cos α = 28,14 cos α = 0,586 α = 54,13
Grafische Rekenmachine: Op de GR bereken je cos α = 0,586 met: 2ND | COS | COS-1(0,586)
Willem-Jan van der Zanden
9
6.2 De cosinusregel [2] Voorbeeld : Gegeven is ∆ABC met α = 54,13 b = 4,84 en c = 4,96. Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a2 = b2 + c2 – 2bc cos α a2 = 4,842 + 4,962 – 2 · 4,84 · 4,96 cos 54,13 a2 = 48,03 – 48,01 ⋅ 0,586 a2 = 19,896 a = 4,46
Willem-Jan van der Zanden
10
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [1]
Afspraak: De hoek tussen twee snijdende lijnen is de niet-stompe hoek tussen die lijnen. De hoek tussen de lijnen AC en BD is ∠ASD (of ∠BSC).
Willem-Jan van der Zanden
11
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [1]
Voorbeeld: Gegeven is de kubus OABC DEFG met AB = 4. Het punt M is het midden van de zijvlaksdiagonaal OB. Bereken ∠(CE, GM) in graden nauwkeurig. Willem-Jan van der Zanden
12
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [1]
Stap 1: Teken het vlak ACGE apart. S is het snijpunt van de lijnen CE en GM.
∠(CE, GM) = ∠CSG
Willem-Jan van der Zanden
13
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [1]
Stap 2: ∠CGS (of ∠CGM) en ∠GCE liggen beiden in een rechthoekige driehoek. Hiervoor zijn de lengtes van EG en CM nodig. Met behulp van deze twee hoeken kan ∠CSG berekend worden. EG is een zijvlaksdiagonaal. In een kubus waarvan de zijden lengte 4 hebben, is de lengte van EG (en ook van AC) 4√2. CM = ½ ∙ AC = ½ ∙ 4√2 = 2√2 Willem-Jan van der Zanden
14
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [1]
CM 2 2 1 2 CG 4 2 1 CGM tan 1 ( 2) 35,3 2 tan(CGM )
Stap 4: (In ∆CGS) ∠GSC = 180˚ - ∠GCS - ∠CGS = 180˚ - 35,3˚ - 54,7˚ = 90˚
EG 4 2 2 CG 4 GCE tan 1 ( 2) 54, 7 tan(GCE )
∠(CE, GM) = 90˚ Willem-Jan van der Zanden
15
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [2]
In het plaatje hierboven is een lijn getekend, die loodrecht op het getekende vlak staat. Deze lijn is een loodlijn. Een loodlijn van een vlak staat loodrecht op iedere lijn in dat vlak.
Willem-Jan van der Zanden
16
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [2]
Hierboven is een lijn getekend (door de punten S en P), die niet loodrecht op een vlak staat. Vanuit het punt P op de lijn is een loodlijn getrokken naar het vlak. Het punt P’ is het snijpunt van deze loodlijn en het vlak. De lijn door de punten S en P’ is de loodrechte projectie van de getekende lijn op het vlak. De hoek PSP’ is nu de hoek tussen de getekende lijn en het vlak. Deze hoek wordt ook wel de hellingshoek genoemd.
Willem-Jan van der Zanden
17
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [2]
Gegeven is de kubus ABCD EFGH met ribbe 4. Het punt M is het midden van de Ribbe BC. Bereken de hellingshoek van HM in graden nauwkeurig. Stap 1: Gebruik dat DM de loodrechte projectie van HM op ABC is. ∠(HM, ABC) = ∠(HM, DM) = ∠DMH Willem-Jan van der Zanden
18
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [2]
Stap 2: (In ∆DCM) DM2 = CM2 + CD2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20 DM = √20 Willem-Jan van der Zanden
19
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [2]
Stap 3: (In ∆DMH)
4 => tan 1 42 20 De gevraagde hellingshoek is ongeveer 42˚. tan(∠DMH) =
4 20
Willem-Jan van der Zanden
20
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Hiernaast is de balk ABCD EFGH getekend met AB = 5, BC = 3 en AE = 4 De hoek die het vlak EBC maakt met het vlak ABC is gelijk aan hoek ABE. Ook de hoek HCD is een hoek tussen de vlakken EBC en ABC. Ook de hoek JKI is een hoek tussen de vlakken EBC en ABC. Merk op dat BC de snijlijn is van de vlakken ABC en EBC. Willem-Jan van der Zanden
21
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] De vlakken ABE, IJK en HDC zijn alle drie standvlakken van de vlakken ABC en EBC. Een standvlak van de vlakken ABC en EBC is een vlak dat loodrecht staat op de snijlijn BC van de vlakken ABC en EBC.
∠(EBC, ABC)
= ∠(BE, AB) = ∠EBA = ∠(CH, CD) = ∠HCD = ∠(IK, JK) = ∠IKJ
De hoeken hierboven zijn standhoeken van de vlakken EBC en ABC.
Willem-Jan van der Zanden
22
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 1: Hiernaast is de balk ABCD EFGH getekend met AB = 5, BC = 3 en AE = 4. Bereken de hoek tussen de vlakken ABE en ABC.
Stap 1: Zoek de snijlijn k van de vlakken ABE en ABC. Dit is de lijn BC.
Willem-Jan van der Zanden
23
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 1: Hiernaast is de balk ABCD EFGH getekend met AB = 5, BC = 3 en AE = 4. Bereken de hoek tussen de vlakken ABE en ABC.
Stap 2: Zoek een geschikt standvlak. Dit is het vlak ABE.
Willem-Jan van der Zanden
24
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 1: Hiernaast is de balk ABCD EFGH getekend met AB = 5, BC = 3 en AE = 4. Bereken de hoek tussen de vlakken ABE en ABC.
Stap 3: Bereken de gevraagde hoek. ∠(EBC, ABC)
= ∠(BE, AB) = ∠EBA
AE 4 AB 5 4 EBA tan 1 38, 7 5 tan(EBA)
Willem-Jan van der Zanden
25
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 2: Gegeven is de ∆ABC met AC = 6, AB = 8 en de rechte hoek A. De oppervlakte van deze driehoek kan op twee manieren berekend worden: Opp(∆ABC)
= ½ ∙ AB ∙ AC = ½ ∙ BC ∙ AD
(1) (2)
Uit (1) en (2) volgt: ½ ∙ AB ∙ AC = ½ ∙ BC ∙ AD AB ∙ AC = BC ∙ AD Met deze zijde x hoogte – methode is het mogelijk om de lengte van lijnstuk AD te berekenen. Willem-Jan van der Zanden
26
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de balk ABCD EFGH Met AB = 5, AE = 4 en BC = 3. Bereken ∠(ABC, DBG) Stap 1: De vlakken ABC en DBG snijden elkaar volgens de lijn BD. Stap 2: Een standvlak is het vlak door CG loodrecht op BD. Let op: Omdat het grondvlak van de balk geen kubus is, is ACGE geen standvlak, want het staat niet loodrecht op BD.
Willem-Jan van der Zanden
27
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de balk ABCD EFGH Met AB = 5, AE = 4 en BC = 3. Bereken ∠(ABC, DBG) Stap 4: BD2 BD
= BC2 + CD2 = 32 + 52 = 9 +25 =34 = √34
Met behulp van de zijde x hoogte methode in ∆BDC kan CK berekend worden. BD x CK = BC x DC √34 x CK = 3 x 5 CK = 15/√34 Willem-Jan van der Zanden
28
6.3 Hoeken bij lijnen en vlakken [3] Voorbeeld 3: Gegeven is de balk ABCD EFGH Met AB = 5, AE = 4 en BC = 3. Bereken ∠(ABC, DBG) Stap 5: ∠(ABC, DBG) = ∠GKC tan(∠GKC) =
GC 4 CK 15
34
4 57 tan 1 15 34 ∠(ABC, DBG) ≈ 57˚
Willem-Jan van der Zanden
29
6.4 Rotaties [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T ABCD met AB = 3 en hoogte ST = 5. De piramide wordt geroteerd (gedraaid) om de ribbe BC, zo dat T op de tafel terecht komt. Bereken de rotatiehoek (draaiingshoek) α in graden nauwkeurig.
Willem-Jan van der Zanden
30
6.4 Rotaties [1] Voorbeeld 1: T roteert om Q in het vlak PQT. P is het midden van AD en Q het midden van BC. Maak een tekening van de situatie:
De rotatiehoek is de hoek TQT’ (α) in het plaatje. tan(SQT )
ST 5 SQ 1,5
5 SQT tan 1 73,3 1,5
∠TQT’ ≈ 180˚ - 73,3˚ ≈ 107˚
Willem-Jan van der Zanden
31
6.4 Rotaties [1] Voorbeeld 2: Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T ABCD met AB = 3 en hoogte ST = 5. De piramide wordt geroteerd (gedraaid) om de ribbe BC, zo dat T op de tafel terecht komt. Bereken in cm nauwkeurig de lengte van de baan die T tijdens de rotatie beschrijft. T beschrijft een cirkelboog met straat TQ. 2
1 QT 5 1 27, 25 2 2
Lengte baan
107 107 2r 2 27, 25 9, 7 360 360
Willem-Jan van der Zanden
32
6.5 Afstanden in de ruimte [1] Afspraak: De afstand van een punt P tot een lijn l is de afstand van P tot zijn loodrechte projectie P’ op l.
Afspraak: De afstand van een punt P tot een vlak V is de afstand van P tot zijn loodrechte projectie P’ op V. Willem-Jan van der Zanden
33
6.5 Afstanden in de ruimte [1] Voorbeeld afstand tussen punt en lijn: Gegeven is de balk ABCD EFGH met AB = 5, BC = 6 en AE = 4. Bereken in twee decimalen nauwkeurig: d(H, AG). Vlak AGH is het diagonaalvlak ABGH.
Willem-Jan van der Zanden
34
6.5 Afstanden in de ruimte [1] Stap 1: Teken het diagonaalvlak ABGH. Stap 2: Bereken AH en AG.
AH AE 2 EH 2 42 62 52 AG AC 2 CG 2 52 62 42 77 Stap 3: Bereken HH’ m.b.v. de zijde x hoogte – methode. AG x HH’ = AH x GH √77 x HH’ = √52 x 5 HH’ =
5 52 4,11 77 Willem-Jan van der Zanden
35
6.5 Afstanden in de ruimte [1] Voorbeeld afstand tussen punt en vlak: Gegeven is de balk ABCD EFGH met AB = 5, BC = 6 en AE = 4. Bereken in twee decimalen nauwkeurig: d(H, DCF). Vlak DCF is het diagonaalvlak DCFE. Het lijnstuk HH’ (de afstand van H tot DCF) Ligt in het vlak ADHE.
Willem-Jan van der Zanden
36
6.5 Afstanden in de ruimte [1] Stap 1: Teken het vlak ADHE. Stap 2: Bereken de lengte van HH’ met de zijde x hoogte methode.
DE x HH’= DH x EH √52 x HH’= 4 x 6 HH’=
24 3,33 52
Willem-Jan van der Zanden
37
6.5 Afstanden in de ruimte [2] De lijnen l en m zijn evenwijdig. Voor een willekeurig punt D op l geldt nu: d(l, m) = d(D, m).
De lijn l en het vlak V zijn evenwijdig. Voor een willekeurig punt P op l geldt nu: d(l, V) = d(P, V)
Willem-Jan van der Zanden
38
6.5 Afstanden in de ruimte [2] De vlakken V en W zijn evenwijdig. Voor een willekeurig punt P in V. geldt nu: d(V, W) = d(P, W)
Willem-Jan van der Zanden
39
6.5 Afstanden in de ruimte [3] Voorbeeld: Gegeven is de kubus ABCD EFGH. M is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen EG en FH. Het lijnstuk MN staat loodrecht op de lichaamsdiagonaal BH. Bereken MN in twee decimalen nauwkeurig. Stap 1: Teken het diagonaalvlak BDHF. Stap 2: HF = HE 2 EF 2 42 42 32 BH = BD2 DH 2 32 42 48
Willem-Jan van der Zanden
40
6.5 Afstanden in de ruimte [3] Stap 3: ∠N = ∠F = 90˚ ∠MHN = ∠BHF Hieruit volgt ∆HMN ∾ ∆HBF (hh) Stap 4: MN
HM
MN
½ √32
BF
HB
4
√48
MN
4 1
2 48
32
1, 63
Willem-Jan van der Zanden
41