5.4. EXPONENCIÁLNÍ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA
V této kapitole se dozvíte: •
jak je d efin ována exp o nenciální funkce v komplexním oboru a jak é má vlastnosti;
•
jak vypad á důležitý Eulerův vzo rec a jaký m vý početním v zorcem p očítáme hodnoty ex ponenciální fu nkce ko mp lexní p ro měnn é;
•
jak je definován exponenciální tv a r ko mp lexn ího čísla a jaké má výho d y;
•
jak se p řev ádí ko mp lex ní čísla z algebraického tvaru na exp onen ciální a n aopak a jak je to s přechodem mezi exp o n enciáln ím a gonio metrický m tv arem;
•
jak vypad á náso bení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru ;
•
co jsou to fázory a j ak používáme komp lexní ch čísel k popisu re álný ch harmonických veličin.
Klíčová slova této kapitoly: komplexní exponenciální funkce, Eulerův vzorec, exponenciální tvar komplexního čísla, násobení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru, fázory.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,5 + 1 ,25 hodin y (teo rie + řešení p říkladů )
Komplexní exponenciála. Pomocí diferenciálního počtu se dá odvodit pro exponenciální funkci reálné proměnné x vztah ∞ xn e x = ∑ . Obdobně definujeme exponenciální funkci v komplexním oboru. n =0 n ! Definice. Exponenciální funkci komplexní proměnné z definujeme nekonečnou mocninnou řadou ∞ zn ez = ∑ , n=0 n ! kde e ≈ 2,7182818284590... je známé Eulerovo číslo (základ přirozených logaritmů). Poznámka. Při aplikacích nebudeme počítat konkrétní hodnoty e z podle definice, ale daleko jednodušším způsobem. Uvedená definice má pro nás pouze teoretický význam. Věta. Všechny věty uvedené v kapitole o reálné exponenciální funkci platí i pro exponenciálu komplexní, např. e z1 + z2 = e z1 ⋅ e z2 apod. Eulerův vzorec. Věta. Exponenciální funkci imaginárního argumentu ( z = iϕ , ϕ ∈ R ) lze vyjádřit tzv. Eulerovým vzorcem eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ . Poznámka. V učebnicích se často uvádí ještě vzorec e-iϕ = cos ϕ − i sin ϕ , který je jednoduchým důsledkem vzorce předchozího. Věta. Hodnotu e z lze v libovolném čísle z = x + iy vypočítat pomocí reálné exponenciály a reálných funkcí sinus a kosinus podle vzorce e z = e x ⋅ ( cos y + i sin y ) . Důkaz. Nejprve rozepíšeme exponent na algebraický tvar e z = e x +iy , pak aplikujeme větu o součtu v exponentu e x +iy = e x ⋅ eiy a nakonec použijeme Eulerův vzorec (to můžeme, protože y ∈ R ) e x ⋅ eiy = e x ⋅ ( cos y + i sin y ) . Cbd. Komplexní exponenciální funkce má ovšem i vlastnosti, které bychom u reálné exponenciální funkce hledali marně. Následující věta plyne z věty předchozí a z 2π -periodicity funkcí sinus a kosinus.
Věta. Komplexní exponenciální funkce je 2π i -periodická, tj. e z = e z + 2π i . Exponenciální tvar komplexního čísla. Definice. Exponenciálním tvarem komplexního čísla z rozumíme jeho vyjádření ve formě z = r ⋅ eiϕ , kde r = z a ϕ = arg z jsou již známé veličiny modul (absolutní hodnota) a argument komplexního čísla z. Poznámka. a) K odůvodnění, že uvedený tvar je vůbec možný, stačí vyjít z goniometrického tvaru z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) a dosadit za závorku podle Eulerova vzorce ( cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ ). b) Exponenciální tvar je velmi blízký goniometrickému, v obou vystupují tytéž veličiny r a ϕ . Výhodou exponenciálního tvaru je především jeho stručnost (zápis je tvořen pouze čtyřmi znaky oproti zhruba třinácti znakům u goniometrického tvaru). Goniometrický tvar je v podstatě jakási přechodová forma mezi tvarem algebraickým a exponenciálním a při aplikacích vyšší matematiky se používá z uvedených tří tvarů nejméně. Přechod mezi exponenciálním tvarem a ostatními tvary komplexních čísel. Přechod mezi exponenciálním a algebraickým tvarem (v obou směrech) je v podstatě stejný problém jako přechod mezi goniometrickým a algebraickým tvarem. Jedná se vždy o vztah mezi reálnou a imaginární složkou komplexního čísla na jedné straně a modulem a argumentem tohoto čísla na druhé straně. Přechod mezi exponenciálním a goniometrickým tvarem je triviální záležitost (jde jen o jiný přepis, není nutné nic počítat). Součin a podíl komplexních čísel v exponenciálním tvaru. Exponenciální tvar je nejvýhodnější pro vyjádření součinů a podílů komplexních čísel. Vzorce z r iϕ ϕ 1 1 iϕ ϕ z1 z2 = r1r2 ⋅ e ( 1 + 2 ) , = e −iϕ , 1 = 1 e ( 1 − 2 ) z r z2 r2 plynou přirozeně ze známých vlastností exponenciální funkce a není je třeba je už dále odůvodňovat (jako tomu bylo u goniometrického tvaru). Fázory. Exponenciální tvar komplexních čísel je v přírodních vědách hojně používán, např. k popisu periodických harmonických dějů v mechanice, teorii střídavých obvodů, optice apod. Libovolné reálné harmonické veličině a ( t ) ≡ A cos (ω t + φ ) , kterou může být např. výchylka i t kmitajícího oscilátoru, přiřazujeme komplexní veličinu aˆ ( t ) = Ae (ω +φ ) , jejíž reálná část je
totožná s původní reálnou veličinou a ( t ) (dokažte!). Dále platí (ověřte!), že arg aˆ ( t ) = ω t + φ , což znamená, že veličina aˆ ( t ) se v čase otáčí kolem bodu nula s úhlovou rychlostí ω a počáteční fází φ . Komplexní veličinu aˆ ( t ) je často výhodné rozepsat na součin aˆ ( t ) = Aeiφ eiω t , kde první činitel Aeiφ nezávisí na čase a obsahuje informaci o amplitudě a počáteční fázi; nazývá se fázorem veličiny a ( t ) . Druhý člen eiω t je funkcí času a je původcem výše uvedené rotace. Často se v rovnicích vyskytuje více harmonických veličin, které mají stejnou frekvenci ω ; pak lze členem eiω t celou rovnici krátit. Obdrží se tím rovnice pro fázory, která již neobsahuje časovou proměnnou, což výrazně zjednodušuje řešení.
Shrnutí kapitoly: V komplexním oboru definujeme exponenciální funkci e z komplexní proměnné z = x + iy pomocí jisté nekonečné mocninné řady. Pro aplikace je výhodné, že všechny vzorce probírané u exponenciální funkce v reálném oboru platí také pro exponenciální funkci v komplexním oboru. Výpočet hodnot exponenciální funkce neprovádíme podle definice, ale využíváme výpočetního vztahu e z = e x ⋅ ( cos y + i sin y ) . Důležitý je dále tzv. Eulerův vzorec eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ , platný pro libovolné ϕ∈R . Exponenciálním tvarem komplexního čísla rozumíme tvar z = r ⋅ eiϕ , kde r = z a ϕ = arg z . Tento tvar úzce souvisí s goniometrickým tvarem, je však v praxi daleko používanější. Je nezbytně nutné umět převádět komplexní čísla z jednoho tvaru na jiný. Přechod mezi goniometrickým a exponenciálním tvarem je triviální, přechod mezi algebraickým a exponenciálním tvarem je prakticky totéž jako již probraný převod mezi tvarem algebraickým a goniometrickým. Exponenciální tvar je stručný a vhodný zejména pro násobení a dělení komplexních čísel. Při těchto operacích totiž nemusíme znát žád né speciální vzorce, stačí aplikovat již známé vzorce z teorie reá lné exponenciální funkce. Příkladem konkrétní praktické aplikace komplexní exponenciály je tzv. fázorový počet. Fázorem rozumíme komplexní veličinu, která nese informaci o amplitudě a počáteční fázi určité reálné harmonické veličiny. Otázky: •
Jak je definována expo nenciální fu nkce v k o mp lexním ob o ru? Má d efinice vý znam p ro praktické v ýpočty?
•
Jak zní tzv. Eulerův vzorec? Pro jaký o b or pro měnné je platný?
•
Pod le jakéh o vzo rce po čítáme ho d n oty expo nen ciální fu nk ce ko mp l exn ího z argumentu e ? Jaké reáln é fu nkce k v ý počtu potřebujeme?
•
Definujte exponenciální tvar komp l exních čísel. K jak ému jinému tvaru má nejblíže?
•
Jak é jsou v ýhod y expo nenciálního tvaru? Jak vypadá násobení a d ělení v tomto tv aru?
•
Co si před stavujete pod pojme m fázo r (fázo rov ý po čet)? Jak mů že me p opsat harmon ick é veličin y po mo cí komp lexních čísel?
Příklad 1. Převeďte komplexní číslo v algebraickém tvaru na exponenciální tvar: 3 1 3 1 − i . d) z = − − i . e) z = −1 + 3i . a) z = 1 + i . b) z = 1 − i . c) z = 2 2 2 2
Příklad 2. Vyjádřete výraz s komplexními čísly v exponenciálním tvaru v algebraickém tvaru: a) 4e
i
5π 6
i
π 8
; b) −2e ⋅ 3e
−i
5π 8
; c) 3e
i
10π 12
1 − i 46π ⋅ e ; d) 6
1 8e
i
2π 3
; e)
e
i
11π 3
⋅ 2e 6e
−i
−i
7π 6
15π 6
.
Návod. Nejprve výraz upravte pomocí vzorců pro práci s exponenciálními funkcemi na exponenciální tvar (tj. tvar s jedinou exponenciálou) a pak teprve převádějte na algebraický tvar.
Řešení příkladů: i
π 4
1a) z = 2e ; 1b) z = 2e
−i
π 4
; 1c) z = e
−i
π 6
; 1d) z = e
−i
5π 6
; 1e) z = 2e
i
2π 3
.
Poznámka. Ve všech výsledcích byly použity hlavní hodnoty argumentu, což ale není nezbytně nutné. 2a) −2 3 + 2i ; 2b) −6i ; 2c)
3 1 1 3 1 + i ; 2d) − − i ; 2e) − . 4 4 16 16 3
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR:
