2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan

Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat di alam. Sebagai contoh, lingkaran (yang didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik di bidang) merupakan gagasan yang terinspirasi oleh bendabenda bundar seperti koin, roda, dan lain-lain. Matematikawan kemudian bercengkerama dengan berbagai gagasan tersebut, melakukan pernalaran dan menarik kesimpulan via logika. Analisis Real berurusan dengan bilangan real, dengan gagasan ke-tak-terhingga-an-nya. (c) Hendra Gunawan (2015)

2

Materi Kuliah

I

II

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Pendahuluan Buku Rujukan: Robert S. Strichartz, Konstruksi Bilangan Real “The Way of Topologi Bilangan Real Analysis”, Jones Fungsi Kontinu and Bartlett Publishers, 2000 Turunan Integral Evaluasi: Barisan dan Deret UTS = 40%, UAS = 50%, Ruang Euclid dan Ruang Metrik PR = 10%

(c) Hendra Gunawan (2015)

3

1. Pendahuluan 1.1 Logika Kuantor

- Pernyataan berkuantor - Tabel Kebenaran: Tidak P, P dan Q, P atau Q, P h.j. Q, P j.h.j. Q

1.2 Himpunan Tak Terhingga - Himpunan terhitung - Himpunan tak terhitung

1.3 Bukti (dan Pembuktian) 1.4 Sistem Bilangan Rasional (c) Hendra Gunawan (2015)

4

1.1 Logika Kuantor Banyak kalimat dalam matematika mengandung kuantor. Sebagai contoh: “Setiap bilangan genap yang lebih besar daripada 2 dapat dituliskan sebagai jumlah dua bilangan prima.” Terdapat dua jenis kuantor: • Kuantor universal: “untuk setiap”, “untuk semua”, … • Kuantor eksistensial: “terdapat”, “ada”, “beberapa”, … (c) Hendra Gunawan (2015)

5

Benar atau Salah? 1. Terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiap bilangan rasional positif r berlaku r ≤ n. 2. Terdapat bilangan rasional positif r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku n < r. 3. Untuk setiap bilangan rasional positif r terdapat bilangan asli n sehingga berlaku r ≤ n. Catatan. Salah satu dari pernyataan di atas merupakan variasi dari Sifat Archimedes. (c) Hendra Gunawan (2015)

6

Benar atau Salah? 1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku 1 1 1 + + ... + ≤ r. 1 2 n

2. Untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku 1 1 1 + + ... + ≤ r. 1 2 n (c) Hendra Gunawan (2015)

7

Benar atau Salah? 1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku 1 1 1 + 2 + ... + 2 ≤ r. 2 1 2 n

2. Untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku 1 1 1 + 2 + ... + 2 ≤ r. 2 1 2 n (c) Hendra Gunawan (2015)

8

Kuantor Tersembunyi Ubahlah kalimat berikut menjadi kalimat berkuantor: 1. Ruas garis selalu mempunyai titik tengah. 2. 2 merupakan satu-satunya bilangan prima yang genap. 3. Tidak ada bilangan prima terbesar. (c) Hendra Gunawan (2015)

9

Tabel Kebenaran P

Q

Tidak P

P dan Q

P atau Q

P h.j. Q

P j.h.j. Q

B

B

S

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

B

S

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

Catatan: “P h.j. Q” dibaca “P hanya jika Q”, setara dgn “Jika P, maka Q” atau “Q jika P”.


10

Benar atau Salah? 1. Jika r > 1, maka r2 > 1. 2. Jika r2 > 1, maka r > 1. 3. Terdapat bilangan rasional r < 1 sehingga r2 > 1. 4. Terdapat bilangan rasional r > 1 sehingga r2 < 1. (c) Hendra Gunawan (2015)

11

1.2 Himpunan Tak Terhingga Himpunan (semua) bilangan asli N = {1, 2, 3, …} merupakan himpunan tak terhingga (dengan kardinalitas ℵ0). Himpunan A dikatakan terhitung (atau terbilang) apabila terdapat korespondensi 1-1 antara A dan N. Jika terdapat pemetaan dari N pada himpunan B, maka B mesti merupakan himpunan terhitung atau terhingga. (c) Hendra Gunawan (2015)

12

Latihan Konstruksi suatu korespondensi 1-1 antara himpunan (semua) bilangan bulat Z dan himpunan (semua) bilangan asli N. (Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa Z terhitung).


13

Himpunan Terhitung • Irisan dua himpunan terhitung dapat merupakan himpunan terhingga, termasuk himpunan kosong. • Jika A dan B terhitung, maka A U B terhitung. Bahkan, jika A1, A2, A3, … terhitung, maka  A terhitung. ∞

k

k =1


14

Paradoks Hotel Hilbert Hilbert mempunyai sebuah hotel yang memiliki kamar sebanyak ℵ0. Pada suatu malam, ketika seluruh kamar telah terisi, datang seorang tamu hendak menginap. Dengan enggan, resepsionis menelepon manajer hotel, menanyakan apa yang dapat dilakukan terhadap tamu tersebut. Jawab sang manajer: “terima tamu tersebut; kita dapat menyediakan kamar untuknya.” Tetapi, kata si resepsionis, “bagaimana caranya?” (c) Hendra Gunawan (2015)

15

Himpunan Tak Terhitung Apakah setiap himpunan tak terhingga merupakan himpunan terhitung? Jawabannya ternyata tidak. Contohnya adalah himpunan semua himpunan bagian dari N, yakni 2N. (Buktikan!) Himpunan bilangan real (yang akan kita bahas nanti) juga merupakan himpunan tak terhitung (dengan kardinalitas 𝖈). (c) Hendra Gunawan (2015)

16

1.3 Bukti (dan Pembuktian) Kebenaran suatu kalimat atau pernyataan matematika (selain definisi dan aksioma) diterima apabila telah dibuktikan. Secara prinsip, yang dimaksud dengan bukti adalah suatu rangkaian argumen logis dari hipotesis ke kesimpulan (dari pernyataan yang sedang ingin dibuktikan).


17

Bukti Langsung dan Bukti Tak Langsung Kalimat “Jika P, maka Q” dapat dibuktikan secara langsung dgn memisalkan P benar, lalu berusaha sampai pada kesimpulan bahwa Q benar, dengan berbagai argumen yang logis dan sahih. Kadang kita membuktikannya secara tidak langsung melalui kontraposisi-nya (yaitu dengan memisalkan Q salah, lalu berusaha menunjukkan bahwa P juga salah); atau dengan mengandaikan bahwa P benar dan Q salah, lalu berusaha mendapatkan suatu kontradiksi (sesuatu yang mustahil). (c) Hendra Gunawan (2015)

18

Contoh Pernyataan dan Buktinya Untuk setiap bilangan ganjil n, bilangan n2 – 1 senantiasa habis dibagi 8. Bukti. Kalimat ini setara dgn “jika n adalah bilangan ganjil, maka n2 – 1 habis dibagi 8.” Untuk membuktikannya, misalkan n adalah bilangan ganjil. Maka, n dapat dituliskan sebagai n = 2k + 1 untuk suatu bilangan bulat k. Akibatnya, n2 = 4k2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1, sehingga n2 – 1 = 4k(k+1). Tetapi k(k+1) pasti genap (!), sebutlah k(k+1) = 2m untuk suatu bilangan bulat m. Dengan demikian, kita peroleh n2 – 1 = 8m, habis dibagi 8. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015)

19

Latihan Buktikan bahwa 2N tak terhitung. (Petunjuk. Andaikan 2N terhitung, lalu perlihatkan suatu kontradiksi.)


20

1.4 Sistem Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat, yakni r = p/q, dengan p, q bilangan bulat dan q ≠ 0. Jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi (dengan pembagi tak nol) dari dua bilangan rasional juga merupakan bilangan rasional. Himpunan (semua) bilangan rasional Q membentuk suatu lapangan yang terurut (terhadap urutan “<”), tetapi – sayangnya – tidak lengkap! (c) Hendra Gunawan (2015)

21

Keterhitungan Q = Q+ U {0} U QQ+


22

Kekurangan Bilangan Rasional Jika r menyatakan panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan alas 1 dan tinggi 1, maka menurut Dalil Pythagoras r harus memenuhi persamaan r2 = 2. Tetapi, tidak ada bilangan rasional r yg memenuhi persamaan r2 = 2. Jika r adalah bilangan rasional, maka r2 ≠ 2. (Bukti?) Setiap ruas garis memiliki panjang yang dapat dihampiri oleh bilangan rasional seteliti yang kita kehendaki, tetapi ada (banyak) ruas garis yang panjangnya tidak dapat dinyatakan secara persis oleh bilangan rasional. Bilangan apakah yang dapat menyatakan panjang setiap ruas garis? (c) Hendra Gunawan (2015) 23

Latihan Buktikan tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi persamaan r2 = 2.


24

2016. Hendra Gunawan

Recommend Documents